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Collection of Math Notes
Mathematical Constants , Formulas
Edgar Valdebenito
Abstract
Collection of formulas involving mathematical constants
Collection of math notes
Edgar Valdebenito 1
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Contenido
1. Series para constantes clásicas que contienen la sucesión 𝑥𝑥𝑛𝑛 = √𝑛𝑛 + 1 − √𝑛𝑛 ,𝑛𝑛 = 1,2,3, … ,.............................................3-5
2. Producto infinito para 𝜋𝜋 , ……………………………............6-7
3. Productos infinitos para la constante 𝑒𝑒𝑒𝑒 ,…………….………8-9
4. El número 𝑣𝑣 = 𝑒𝑒−𝑒𝑒−𝑒𝑒…
= 0.5671432 …,…………….........10-11
5. Una fórmula que contiene el número 𝜋𝜋,……………..........12-13
6. Fórmulas que contienen el número 𝜋𝜋 y las funciones: 𝐸𝐸(𝑞𝑞),𝑉𝑉(𝑞𝑞),𝑅𝑅(𝑞𝑞), 𝐽𝐽(𝑞𝑞) , ……………………………………..14-15
7. Colección de series que involucran la constante 𝜋𝜋,…….…16-22
8. 𝜋𝜋 - Fórmulas,………………………………………..….….23-24
9. Número 𝑒𝑒 , Números harmonicos 𝐻𝐻𝑛𝑛 ,……………………25-26
10. Integral que relaciona el número 𝜋𝜋 y los números 𝑥𝑥(𝑛𝑛) =
�1 + �1 + √1 + ⋯𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ,𝑛𝑛 ∈ ℕ − {1} , …………………………27
11. Series para 𝜋𝜋 , utilizando los vértices de un triángulo,….28-30
12. La constante ln 2 , ………………………………………31-33
Collection of math notes
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SERIES PARA CONSTANTES CLASICAS QUE CONTIENEN LA SUCESION nx n 1 n ,n 1,2,3,...= + − =
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen Se muestran series para algunas constantes clásicas como son: π , , , , ln 2 e ( )3ζ 1
2ζ ∗ ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠,
.Las series contienen la sucesión G nx n 1 n= + − n∈ .
1. INTRODUCCIÓN. Las constantes π , ln , e , , 2 ( )3ζ 1
2ζ ∗ ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠, G , se definen como sigue:
( )n
n 0
14 3.14159265...
2n 1π
∞
=
−= =
+∑
( )n 1
n 1
1ln 2 0.69314718...
n
−∞
=
−= =∑
n 0
1e 2.71828182...n!
∞
=
= =∑
( ) 3n 1
13 1.20205690...n
ζ∞
=
= =∑
( )n 1
n 1
11 0.60489864...2 n
ζ−∞
∗
=
−⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑
( )
( )
n
2n 0
1G 0.91596559...
2n 1
∞
=
−= =
+∑
En esta nota se muestran series para las constantes anteriores, que contienen la sucesión:
nx n 1 n= + − n∈
{ }nx 2 1, 3 2 , 4 3 , 5 4 ,...= − − − −
2. SERIES.
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2.1.
( )n
n 1 4n 4k 2k
n 1 k 1
4 8 1 xπ∞
+ − +
= =
= − −∑∑
2.2.
( )n
k 1 2n 2k 1k
n 1 k 1
1 2 1 x2
ζ∞
−∗ −
= =
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑∑ +
2.3.
( ) ( )n
k 1 2n 2k 12k
n 1 k 1
ln 2 8 1 n k 1 x∞
− − +
= =
= − − +∑∑
2.4.
( )( )
n2n 2k 2k
n 1 k 1
n k 1e 1 4 x
k 1 !
∞− +
= =
− += +
−∑∑
2.5.
( ) ( )n
k 1 2n 2k 22k 1
n 1 k 1
16 1 n k 1 xπ∞
− − +−
= =
= − − +∑∑
2.6.
( )( )( )
n2n 2k 6n kk
n 1 k 1
63 64 x
n k !ζ
∞− +−
= =
=−∑∑
2.7.
( ) ( )( )
k 1n2n 2k 2k2
n 1 k 1
1 k n k 1G 4 x
2k 1
−∞− +
= =
− − +=
−∑∑
2.8.
( ) ( )n
n 4n 4k 4k
n 1 k 1
G 1 4 1 n k 1 x∞
− +
= =
= + − − +∑∑
2.9. Para : m∈
( )( )
( ) ( )( )
n kn2m 12m 4n 4k 4mn k
k2m2mm n 1 k 1
1 2m2m ! 2 1 xn k !22 1 B
π−∞+
− +−
= =
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
∑∑
donde son los números de Bernoulli: mB { }m
1 1 1 1 5 691B , , , , , ,...6 30 42 30 66 2730
=
3. REFERENCIAS.
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1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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PRODUCTO INFINITO PARA π
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen
Se muestra un producto infinito para el número π 3.14159265...=
1. INTRODUCCIÓN.
El número π se define por la serie: ( )n
n 0
14
2n 1π
∞
=
−=
+∑ , en esta nota se muestra un producto
infinito para la constante π , además se muestran algunas variantes de dicho producto. 2. PRODUCTO INFINITO PARA π : 2.1.
( ) ( )1n k 1n
k 1n 1
1 14 1
2n 1 2k 1π
−−∞
==
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑∏
2.2.
( ) ( )( )
n
nnn 1
1 2n !4 1
2n 1 2 n! Aπ
∞
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∏
donde
( ) ( ) ( )nn 1 n n
2n !A 2n 1 A 1
2 n!+ = + + − , n∈ , 1A 1=
2.3.
( ) ( )n
nn 1
1 2n !4 1
Bπ
∞
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∏
donde
( )( ) ( ) ( )( )nn 1 nB 2 n 1 2n 3 B 1 2n+ = + + + − ! , n∈ , 1B 6=
2.4.
( ) ( )n n 1
kk
k 1n 1
14 1 1 1 C
2n 1π
∞ −
==
⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟= + − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑∏
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donde ( ) 2
k kk k 1
2k ! 1CA A2 k ! +
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )kk 1 k k
2k !A 2k 1 A 1
2 k !+ = + + − , k ∈ , 1A 1=
2.5.
( )( )
nn
nn 1
1 a4 1
2n 1 bπ
∞
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∏
donde
( )n 1 na 2n 1+ = + a
a 1
( ) ( )nn 1 n nb 2n 1 b 1+ = + + − , 1 1a b= =
2.6.
( ) ( )( )
n
nn 1
1 2n !4 1
2n 1 Dπ
∞
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∏
donde
( ) ( ) ( ) (n 1
kn
k 0
D 1 2k ! 2k 2 2n−
=
= − + ⋅⋅⋅∑ ) , n∈
3. REFERENCIAS. 1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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PRODUCTOS INFINITOS PARA LA CONSTANTE ee
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen Se muestran algunos productos infinitos para la constante ,donde ee 15.15426224147926...=
n
n
1e lim 1 2.71828182845904...n→∞
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1. INTRODUCCIÓN. El número se define por: e
n
n
1e lim 1n→∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
n
nk 0
1e limk !→∞
=
= ∑
k 0
1ek !
∞
=
=∑
En esta nota se muestran algunos productos infinitos para el número . ee 2. PRODUCTOS INFINITOS. 2.1.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
n
n 12n n
2n n 1n
1n n 1n n 2n n 1
en n 1 n n 2n 1
n n 2e 4
n 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+
+
⎛ ⎞ +++⎜ ⎟∞⎜ ⎟⎜ ⎟
+ + +⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
+=
+∏
2.2.
( )n2n n
n22
n 1
2 1 2
2 1 2 1n 14e
nn 1
1 23 3e 2 2 1 2
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
−−
−+
+⎛ ⎞⎜ ⎟− +
− −⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+=
−∏
2.3.
( )( )
n
k 0
1n 1 k!1 n
n!e2n 1
n 1
n n 2n 2e 4 n 1 n 1
=+∞
+=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
∑++=
+ +∏
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2.4.Para n sea la sucesión definida por la recurrencia:∈ na ( )n 1 na n 1 a 1+ + 1a 2=, . =+
Algunos valores de la sucesión son: { }na 2,5,16,65,326,1957,13700,...= .
( )
( )
( ) ( )n 1 n 1n n2n 11
n n 2 n n 1n 1e n 1
nn 1
an!e 4a n 1 !
+ ++ + ++∞+
=
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥
⎣ ⎦
=+∏
( )
n 1n
1a n!
a n 1e n 1
nn 1
an!e 4 a n 1 !
+⎡ ⎤⎢ ⎥+⎛ ⎞∞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
=+∏
2.5.Para n sea la sucesión definida por la ecuación: .Algunos valores de la
sucesión son: .
∈ na ( )n1 nna n n 1−= +
{ }1 2 2 3 3 4na 2,2 3 ,3 4 ,4 5 ,...− − −=
n 1
n n 1
a
ea a
n 1
21 ne 411 n
+
+
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥∞ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥+⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+=
+∏
3. REFERENCIAS. 1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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EL NÚMERO ....eeeν −−−= 0.5671432...=
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen
Se muestran algunas fórmulas que involucran el número ν .
1. INTRODUCCIÓN.
El número ....eee 0.5671432....ν−−−= = , donde
n
n
1e lim 1 2.7182818...n→∞
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠
, satisface la
ecuación . En esta nota se muestran algunas fórmulas en las que aparece el número
eνν = 1ν .
2. FÓRMULAS.
2.1. ( ) ( )( )
( )2n 1 2nn 1 nn 2n
n 1 n 1
2 2 1 B1 1ln 2 1
n 2n ! nν
ν−−∞ ∞
= =
⎛ ⎞−− −⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
2.2. ( ) n
n 1
1 1n
γ νν Γ ν∞
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠∏ ν
2.3. ( ) ( )( ) ( )
n 1
2 2n 1
1 2n 11 13 2n 1 2 2
νπ ν ζ ν
−∞
=
− −⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ − +∑
2.4. ( )
2
2n 1
42 12n 1
π π νν ν∞
−
=
⎛ ⎞⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟−⎝ ⎠
∏
2.5. 2
2n 1
2 1n
π πν ν ννπ
∞−
=
⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠∏
3. REFERENCIAS.
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1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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UNA FÓRMULA QUE CONTIENE EL NÚMERO π
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen Se muestra una fórmula que contiene el número 3.14159265...π =
1. INTRODUCCIÓN.
El número π se define por la serie: ( )n
n 0
14
2n 1π
∞
=
−=
+∑ , en esta nota se muestra una fórmula
que contiene la constante π . 2. FÓRMULA.
6 2 6 22 220 3 6 3 2 20 3 6 3 210 3 21 ln
16 20 3 6 3 2 10 3 2 20 3 6 3 2
+ −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + −+⎢ ⎥ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− − − − +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) ( )1 13 6 2 3 21 6 2 tan 2 2 tan
8 16− −
⎛ ⎞− −⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
3+
( ) ( ) ( )1 13 6 2 3 3 21 6 2 tan 2 2 tan
8 16− −
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
7+ + −
⎜ ⎟⎝ ⎠
+
( )( )
n
12nn 0
128 12n 1 3π
∞
=
−+ =
+∑ (1)
Algunas variantes de la fórmula (1) son:
( )( )
n1 1
12nn 0
16 55 6 6 22 2428416 2ln A tan tan16 8 144 16 10339103 16 12n 1 3
π∞
− −
=
−+− − + =+∑ (2)
1 16 6481 2840 6 2 2428416 2ln A tan tan16 8 431 16 10339103
− −−+ − +
( )( )
n
12nn 0
16 2 232 12n 1 3
π∞
=
−++ =+∑ (3)
1 1 16 3 6 6 334 6 2 2428416 2ln A tan tan tan16 8 20 8 1935 16 10339103
− − −− − − +
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( )( )
n
12nn 0
16 216 12n 1 3
π∞
=
−++ =+∑ (4)
( )n 2n 2 3n 1 2n 1 19n 6 4n 2 2n 1 2n 1
3n 4 2n 1 3n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1n 0
1ln A 3 2 167 2 3 17 3116 2n 1 2 5 3 5 43 991 10433
∞ + − + + + + +
+ + + + + + +=
− ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∑ +
( )( )
n
12nn 0
16 216 2n 1 3
π∞
=
−++ =+∑ (5)
En todos los casos:
6 2 6 22 2
20 3 6 3 2 20 3 6 3 210 3 2A20 3 6 3 2 10 3 2 20 3 6 3 2
+ −⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞+ + + −+= ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟− − − − +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
(6)
3. REFERENCIAS. 1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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Edgar Valdebenito 13
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FÓRMULAS QUE CONTIENEN EL NÚMERO π Y LAS FUNCIONES ( )E q , ( )V q , ( )R q , ( )J q
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen
Se muestran algunas fórmulas que involucran el número ( )n
n 0
14 3.141592...
2n 1π
∞
=
−= =
+∑ , y las funciones
( )E q , ( )V q , ( )R q , ( )J q . 1. INTRODUCCIÓN. Para q 1< las funciones ( )E q , ( )V q , ( )R q , ( )J q se definen por :
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )n 1 4n 3 6n 4 4n 1 6n 2 2n 12n 1 2n 12n 1
n 1
E q 1 1 q q q q∞
− − − − − − +
=
= + − − − −∑
( ) 2 12 22 26 40 70E q 1 q q q q q q ....= + − − − − + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )n 1 4n 3 6n 5 2n 1 12n 7 2n 1 12n 5 4n 1 6n 1
n 1
V q 1 q q q q∞
− − − − − − − − −
=
= − − + −∑
( ) 5 7 15 35 51 57V q q q q q q q q ....= − + − − + − +
( ) ( ) ( )2 24n 2 4n
n 1
R q 1 2 q q∞
−
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠∑
( ) ( )4 16 36 64R q 1 2 q q q q ....= + + + + +
( ) ( ) ( )2 24n 3 4n 1
n 1
J q 2 q q∞
− −
=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∑
( ) ( )9 25 49J q 2 q q q q ....= + + + +
En esta nota se muestran algunas fórmulas ( sumas de arcotangentes ) que involucran la constante π . 2. FÓRMULAS. 2.1.Para q 1< se tiene:
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Edgar Valdebenito 14
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( ) ( )( )
( )2 4n 11 1 1
8nn 1
1 q qV qtan q tan tan
E q 1 q
−∞− − −
=
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
( ) ( )( )
( )2 4n 11 1 1
8nn 1
1 q qJ q1tan q tan tan2 R q 1 q
−∞− − −
=
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
( ) ( )( )
( )( )
( )2 4n 11 1 1 1
8nn 1
1 q qJ q V qtan q tan tan tan
R q E q 1 q
−∞− − − −
=
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
2.2.
( )( )
( )( )
4n
1 18n
n 1
V 2 3 2 3 2 3tan tan
12 E 2 3 1 2 3
π∞
− −
=
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
( )( )
( )( )
4n
1 18n
n 1
V 2 1 2 2 1tan tan
8 E 2 1 1 2 1
π∞
− −
=
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
( )( )
2n 11 1
4nn 1
V 1 3 2 3 3tan tan6 3 1E 1 3π
∞ −− −
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠∑
3. REFERENCIAS. 1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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COLECCIÓN DE SERIES QUE INVOLUCRAN LA CONSTANTE π
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen Se muestra una colección de series que contienen la constante Pi ,
( )n
n 0
14 3.14159265...
2n 1π
∞
=
−= =
+∑
1. INTRODUCCIÓN. En esta nota mostramos una colección de series que involucran la clásica constante π , y que corresponden a casos particulares de la siguiente fórmula general:
( )22 1 2pa 1 aa 1p qa sen a q 1 a q
2 4 4−⎛ ⎞ −⎛ ⎞− + + + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
( )( )
2
2n 3 2n 2n
n 0n
12 a ap q
2n 3 2n 23 n!2
∞ + +
=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑
donde p,q∈ 0 a 1< <
Escogiendo los valores de , de manera adecuada podemos obtener muchas series que involucran la constante
p,q,aπ .A continuación mostramos algunos ejemplos.
2. EJEMPLOS DE SERIES. 2.1.Para 6 2a
4−= , , se tiene: q a= p∈
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
nnn 0
2n ! 2 p 1 n 2 p 3A B
16 2 3 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π
∞
=
+ + ++ =
+ + +∑
+=
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
nnn
n 0n
1 2 p 1 n 2 p 32
3 4 2 3 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ + +=
+ + +∑
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donde 5 p 3pA 10 2 8 3 6 6 162 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2.1.1.Caso : p 0=
( ) ( )( )5 3 3 4 p 2 3B
6 2
+ − +=
( )
( ) ( ) ( )nn
n 0
2n !A B
16 2 3 n! n 1 ! 2n 1π
∞
=
+ =+ + +
∑ =
( )( ) ( ) ( )
2
nnn
n 0n
12
3 4 2 3 n 1 !2
∞
=
=+ +
∑
A 10 2 8 3 6 6 16= − + − 1 3B3 2+=
2.1.2.Caso : p 1= −
( )
( ) ( ) ( )( )nn
n 0
2n !A B
16 2 3 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π
∞
=
+ =+ + + +
∑ =
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
nnn
n 0n
12
3 4 2 3 n 1 ! 2n 32
∞
=
=+ + +
∑
9 615 2A 8 3 16
2 2= − + − 11 7 3B
6 2+=
2.1.3.Caso : p 4= −
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )nn
n 0
2n ! 6n 5A B
16 2 3 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π
∞
=
++ = −
+ + + +∑ =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
nnn
n 0n
1 6n 52
3 4 2 3 n 1 ! 2n 32
∞
=
+= −
+ + +∑
A 8 3 16= − − 19 11 3B3 2+=
2.1.4.
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( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
nnn 0
2n ! a n 1 31A3 16 2 3 n! n 1 ! 2n 1 2n 3
π∞
=
+ ++ = =
+ + + +∑
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
nnn
n 0n
1 a n 1 321
3 3 4 2 3 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ +=
+ + +∑
19 6A 10 3 11 2 16
2= − + − a 30 6 8 3 54 2 6= + − −
2.1.5.
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
nnn 0
2n ! a n 1 1B
16 2 3 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π
∞
=
+ += =
+ + + +∑
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
nnn
n 0n
1 a n 1 12
3 4 2 3 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ +=
+ + +∑
11 6 16 3 19 2 24B
6− + −= a 8 6 8 2 6= − −
2.2.Para 1a q
2= = , : p∈
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( )n
n 0
2n ! 2 p 1 n 2 p 32 pp 4 3 8
3 16 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π
∞
=
+ + +−+ + − = =
+ + +∑
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
1 2 p 1 n 2 p 323 4 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ + +=
+ +∑
2.2.1.Caso : p 0=
( )( ) ( )n
n 0
2n !36 3 122 16 n! n 1 ! 2n 1
π∞
=
+ = ++ +∑ =
( )( ) ( )
2
n
nn 0
n
12312
2 3 4 n 1 !2
∞
=
= ++
∑
2.2.2.Caso : p 1= −
Collection of math notes
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( )( ) ( )( )n
n 0
2n !3 3 8
16 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π
∞
=
+ = ++ + +∑ =
( )( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
128
3 4 n 1 ! 2n 32
∞
=
= ++ +
∑
2.2.3.Caso : p 4= −
( ) ( )
( ) ( )( )nn 0
2n ! 6n 5142 16 n! n 1 ! 2n 1 2n 3
π∞
=
+= − =
+ + +∑
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
1 6n 5214
2 3 4 n 1 ! 2n 32
∞
=
+= −
+ +∑
2.3.Para 1a q
2= = , : p∈
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )nn 0
2n ! 2 p 1 n 2 p 3p 4 2 822 8 n! n 1 ! 2n 1 2n 3
π∞
=
+ + ++ −+ =
+ + +∑ =
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
1 2 p 1 n 2 p 323 2 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ + +=
+ +∑
2.3.1.Caso : p 0=
( )( ) ( )n
n 0
2n !2 2 4
2 8 n! n 1 ! 2π
∞
=
+ = ++ +∑ n 1
=
( )( ) ( )
2
n
nn 0
n
124
3 2 n 1 !2
∞
=
= ++
∑
2.3.2.Caso : p 4= −
( ) ( )
( ) ( )( )nn 0
2n ! 6n 54
2 8 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π
∞
=
+= − =
+ + +∑
Collection of math notes
Edgar Valdebenito 19
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( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
1 6n 524
3 2 n 1 ! 2n 32
∞
=
+= −
+ +∑
2.3.3.Caso : p 1= −
( )
( ) ( )( )nn 0
2n !3 42 8 n! n 1 ! 2n 1 2n 3
π∞
=
+ = + =+ + +∑
( )( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
124
3 2 n 1 ! 2n 32
∞
=
= ++ +
∑
2.3.4.Caso ( )p 4 2 1= − :
( ) ( )( )( ) ( )( )n
n 0
2n ! 8 2 6 n 1 1
2 8 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π
∞
=
⎡ ⎤− + +⎣ ⎦= =+ + +∑
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
1 8 2 6 n 1 12
3 2 n 1 ! 2n 32
∞
=
⎡ ⎤− + +⎣ ⎦=
+ +∑
2.4.Para 3a q2
= = , : p∈
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )n
n 0
2n ! 2 p 1 n 2 p 32 p 6 p 3 12 39 n! n 1 ! 2n 1 2n 3 169 3
π∞
=
+ + ++ − ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠∑ =
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
nn
n 0n
1 2 p 1 n 2 p 32 3
43 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠+ +
∑
2.4.1.Caso : p 0=
( )( ) ( )
n
n 0
2n !4 4 33 n! n 1 ! 2n 1 163 3
π∞
=
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠∑
( )( ) ( )
2
nn
n 0n
124 3
3 43 n 1 !2
∞
=
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠+
∑
Collection of math notes
Edgar Valdebenito 20
![Page 21: Collection of Math Notes Mathematical Constants , Formulasvixra.org/pdf/1601.0321v1.pdf · 2016. 1. 30. · Collection of Math Notes Mathematical Constants , Formulas Edgar Valdebenito](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/61052cdc80855a335702d9d3/html5/thumbnails/21.jpg)
2.4.2.Caso : p 1= −
( )
( ) ( )( )n
n 0
2n !10 1 34 3n! n 1 ! 2n 1 2n 3 163 3 3
π∞
=
⎛ ⎞− = + ⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠∑ =
( )( ) ( ) ( )
2
nn
n 0n
12 34 3
43 n 1 ! 2n 32
∞
=
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠+ +
∑
2.4.3.Caso p 4 3= :
( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )n
n 0
2n ! 8 3 2 n 1 19 32 34 n! n 1 ! 2n 1 2n 3 16
π∞
=
+ + + ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠∑ =
( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
2
nn
n 0n
1 8 3 2 n 1 129 3
4 43 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠+ +
∑
2.5.Para 6 2a q
4+= = , : p∈
( ) ( )( )( ) ( )( )
n
n 0
2n ! 2 p 1 n 2 p 3 2 3A Bn! n 1 ! 2n 1 2n 3 16
π∞
=
+ + + ⎛ ⎞++ = ⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠∑ =
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2n
n
n 0n
1 2 p 1 n 2 p 32 2 3
43 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ + +⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎝ ⎠+ +
∑
( )( )2 3 3 5 p 4 4 6 4 2
A2
− + − −=
( ) ( )( )2 3 3 5 20 5 p 2 3
B12
− + +=
2.5.1.Caso : p 0=
( )( ) ( )
n
n 0
2n ! 2 3A Bn! n 1 ! 2n 1 16
π∞
=
⎛ ⎞++ = ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠∑ =
( )( ) ( )
2n
n
n 0n
12 2 3
43 n 1 !2
∞
=
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎝ ⎠+
∑
Collection of math notes
Edgar Valdebenito 21
![Page 22: Collection of Math Notes Mathematical Constants , Formulasvixra.org/pdf/1601.0321v1.pdf · 2016. 1. 30. · Collection of Math Notes Mathematical Constants , Formulas Edgar Valdebenito](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/61052cdc80855a335702d9d3/html5/thumbnails/22.jpg)
A 6 6 8 3 10 2 16= + − − ( )5 2 3 1B
6
−=
2.6.Para 1a
2= , , : p 2= q∈
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( )n
n 0
2n ! 2 q 1 n 3q 22q 14q 1 3 8q
3 16 n! n 1 ! 2n 1 2n 3π ∞
=
+ + +−+ + − =
+ + +∑ =
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
1 2 q 1 n 3q 223 4 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ + +=
+ +∑
2.6.1.Caso q : 0=
( )( ) ( )( )2n
n 0
2n !3 2
3 16 n! 2n 1 2n 3π
∞
=
− = =+ +∑
( )( ) ( )
2
n
nn 0
n
122
3 4 n! 2n 32
∞
=
=+
∑
2.6.2.Caso 2 3 3q
4+= :
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )nn 0
2n ! 4 3 4 n 6 3 1732 3 12 16 n! n 1 ! 2n 1 2n 3
π∞
=
+ + ++ =
+ + +∑ =
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2
n
nn 0
n
1 4 3 4 n 6 3 1723
2 3 4 n 1 ! 2n 32
∞
=
+ + +=
+ +∑
3. REFERENCIAS.
1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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π - FÓRMULAS
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen Se muestran algunas fórmulas que involucran la constante 3.14159265...π =
1. INTRODUCCIÓN.
EL número Pi se define por la serie: ( )n
n 0
14
2n 1π
∞
=
−=
+∑ , en esta nota se muestran algunas
fórmulas que contienen la constante π . 2. FÓRMULAS. 2.1.
3 3 3
3 3 3
2 1 3 1 3 1 ...a2 1 3 1 3 1 ...
− + + +=
+ + + +
( )( )( )
2242
n 1
18n 12n 1324 2n 4 9n 5 9n 4π
∞
=
⎛ ⎞−⎛ ⎞− ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏
2.2.
a( )( )
( ) ( )
2k 2n 2kn2n k n k4n
n 1 k 1
2 1 2 1 B B
2k ! 2n 2k !3π
−∞−
= =
− −=
−∑ ∑
kB son los números de Bernoulli { }k1 1 1 1 5B , , , , ,.6 30 42 30 66
= ..
2.3.
( ) ( )2 2n 1
81 1 1a 19n 5 9n 4π
∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
∑ 2
2.4.
( )( )( )( )
n
2n 1 k 1
81 1a9k 5 9k 4 9n 9k 5 9n 9k 4π
∞
= =
=− − − − − −∑∑
3. REFERENCIAS. 1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965.
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2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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NÚMERO e , NÚMEROS HARMONICOS nH
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen Se muestran tres fórmulas que relacionan la constante e 2.71828182...= , y los números
harmonicos n
nk 1
1Hk
=
=∑
1. INTRODUCCIÓN. La constante e de Euler se define por:
n
nk 0
1 1e lim 1n k
∞
→∞=
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠ !∑
Los números harmonicos n
nk 1
1Hk
=
=∑ , { }n 1,2,3,...∈ = , aparecen en una infinidad de
fórmulas matemáticas y tienen propiedades interesantes.A continuación mostramos algunas relaciones que involucran números harmonicos:
n 1 n1H H
n 1+ = ++
m n
n m n mk 1 k 1
1 1H H Hn k m k+
= =
= + = ++ +∑ ∑
m m
n m n mk n 1 k n 1
1 1H H 2H 2Hk k
= + = +
+ = + = −∑ ∑ n m<
m m2 2
n m n n m mk n 1 k n 1
1 1H H H H H Hk k
= + = +
= + = −∑ ∑ n m<
( )( )
n 1 n nnn 1
n 1 nn
a n 1 a ba1H a b
b n 1 bb+
+
⎧ = + +⎪= ⇔ = =⎨ = +⎪⎩1
{ }n3 11 25 137 49 363H 1, , , , , , ,...2 6 12 60 20 140
=
En esta nota se muestran tres fórmulas que involucran el número y los números e nH . 2. FÓRMULAS.
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n1 Hne lim n→∞
=
( ) n 1 n1 H 1 H
n 1e 1 n 1 n+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∞
== + + −∑
n 1n
1 H1 n 1 H
n 1
n 1 1e n n
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
∞ +
=
+=∏
3. REFERENCIAS. 1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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INTEGRAL QUE RELACIONA EL NÚMERO π Y LOS NÚMEROS ( ) n n nx n 1 1 1 ...= + + + { }n 1∈ −
EDGAR VALDEBENITO V. (1991)
Resumen Se muestra una fórmula integral que involucra la constante 3.141592...π = , y los números
( ) n n nx n 1 1 1 ...= + + + , { }n 1∈ − .
1. INTRODUCCIÓN.
EL número Pi se define por la serie: ( )n
n 0
14
2n 1π
∞
=
−=
+∑ , los números ( ) n n nx n 1 1 1 ...= + + +
{ }n∈ − 1 , satisfacen la ecuación ( )( ) ( )nx n x n 1 0− − = . En esta nota se muestra una fórmula integral que relaciona el número π y los números ( )x n .
2. INTEGRAL.
( )( )
n2 it n 1 it n 1n n in
nit n 1 it n 10
n 3 e 2 e 3 211 1 1 ... e d4 3 e 2 e 2
π
π− −
− −
+ − − ⋅+ + + =
+ − −∫ t t
3. REFERENCIAS. 1. Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover, 1965. 2. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey), Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980. 3. M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968. 4. E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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SERIES PARA π UTILIZANDO LOS VERTICES DE UN TRIANGULO EDGAR VALDEBENITO V. (1991) Resumen. Usando los vértices de un triangulo y la serie de Taylor para la función
, se pueden obtener series para el número ( )arcsen x π . 1. INTRODUCCIÓN. Consideremos un triángulo con vértices en los puntos:
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2V1 a ,a ,V 2 b ,b ,V 3 c ,c= = =
( ) ( ) ( )A d V1,V 2 , B d V 2,V 3 ,C d V1,V3= = =
V1 , V 2 , V 3β γ α= = = La condición para que V1 sean los vértices de un triángulo es: ,V 2,V 3
1 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2
1 2
a a 1b b 1 a b b c c b b c a b a c 0c c 1
= + + − − − ≠
Por trigonometría sabemos que:
( )2 2 2A B C 2BC cos α= + −
( )2 2 2B A C 2AC cos β= + −
( )2 2 2C A B 2ABcos γ= + −
poniendo: ( ) ( ) ( )P cos ,Q cos ,R cosα β= = = γ , se tiene:
2 2 2 2 2 2 2 2 2B C A A C B A B CP ,Q , R2BC 2AC 2AB+ − + − + −= = =
Se tienen dos casos: Caso1. todos positivos. P,Q,R
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Caso2. Alguno de los números es negativo.supondremos: . P,Q,R P 0,Q 0,R 0> > < Caso1. : P 0,Q 0,R 0> > > Se tiene que: π α β γ= + + , y por trigonometría:
( ) ( ) ( )1 1 1sen P sen Q sen R2π − − −= + +
usando la serie de Taylor para la función ( ) ( )1arcsen x sen x−= , se tiene:
( )( ) ( )
( )2n 1 2n 1 2n 12n
n 0
2n !P Q R
2 4 n! 2n 1π
∞+ + +
=
= ++∑ +
Caso2. : P 0,Q 0,R 0> > < Se tiene que: π α β γ= + + , y por trigonometría:
( ) ( ) ( )1 1 1sen P sen Q sen R2π − − −= + − −
usando la serie de Taylor para la función ( ) ( )1arcsen x sen x−= , se tiene:
( )
( ) ( )( )( )2n 12n 1 2n 1
2nn 0
2n !P Q R
2 4 n! 2n 1π
∞++ +
=
= ++∑ − −
2. EJEMPLOS. 2.1. Caso1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2a ,a 3,4 , b ,b 1,1 , c ,c 4,1= = =
2 2 2A 13 , B 9 ,C 10= = =
1 7P ,Q , R10 130 13
= = = 2
( )( ) ( )
2n 1 2n 1 2n 1
2nn 0
2n ! 1 7 22 10 130 134 n! 2n 1π
+ +∞
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⎝ ⎠∑
+
+
2.2. Caso2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2a ,a 2,2 , b ,b 1,1 , c ,c 5,1= = =
2 2 2A 2 , B 16 ,C 10= = =
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3 1P ,Q , R10 5 2
= = − = 1
( )( ) ( )
2n 1 2n 1 2n 1
2nn 0
2n ! 3 1 12 10 5 24 n! 2n 1π
+ +∞ +
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⎝ ⎠∑ +
3. REFERENCIAS.
1) Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover , 1965.
2) I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey) , Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980.
3) M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968.
4) E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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LA CONSTANTE ( )Log 2 EDGAR VALDEBENITO V. (1991) Resumen. Se muestran algunas fórmulas para la constante ( ) ( )Log 2 ln 2 0.69314...≡ = 1. INTRODUCCIÓN. Recordamos la clásica serie para ( )ln 2 :
( ) ( )n 1
n 1
1 1 1 1 1ln 2 1 ....n 2 3 4 5
−∞
=
−= = − + − +∑ −
En esta nota se muestran algunas series trigonométricas para ( )ln 2 . 2. FÓRMULAS.
2.1. Para 0 x2π< ≤ , se tiene:
( ) ( )( ) ( )( )2n n
n 1
cos x cos 2xln 2
n
∞
=
−=∑
2.2. Para 0 x2π≤ < , se tiene:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2n nn
n 1
sen x 1 cos 2xln 2
n
∞
=
− −=∑
2.3. Para 0 x2π< < , se tiene:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2n 2n 2n
n 1
sen x cos x cos 2x1ln 22 n
∞
=
+ −= ∑
2.4. Para 0 x8π< < , se tiene:
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( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )n 2n
n 1
1 tan x tan x 1 tan 2xln 2
n
∞
=
− − − −=∑
n
3. CASOS PARTICULARES. 3.1.
( )( )2n
nn 1 n 1
1 2 1ln 2n n2
∞ ∞
= =
= =∑ ∑
( )( )
n2n
n 1
1 12 22 2ln 2
n
∞
=
⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟⎝ ⎠=∑
( )( )
2n n
n 1
1 12 2 2 2 22 2ln 2
n
∞
=
⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠=∑
3.2.
( )( ) ( )
n2nn
n 1
1 12 2 12 2ln 2
n
∞
=
⎛ ⎞− − − ⎜ ⎟⎝ ⎠=∑
( )( ) ( )
2n nn
n 1
1 12 2 2 1 2 22 2ln 2
n
∞
=
⎛ ⎞− + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠=∑
( )( )
2n nn
n 1
1 12 2 2 2 1 2 2 22 2
ln 2n
∞
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠=∑
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![Page 33: Collection of Math Notes Mathematical Constants , Formulasvixra.org/pdf/1601.0321v1.pdf · 2016. 1. 30. · Collection of Math Notes Mathematical Constants , Formulas Edgar Valdebenito](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/61052cdc80855a335702d9d3/html5/thumbnails/33.jpg)
3.3.
( )( ) ( )
2n2n 2n
n 1
1 12 2 2 22 2 21ln 2
2 n
∞
=
⎛ ⎞− + + − ⎜ ⎟⎝ ⎠= ∑
1
( )( )
2n 2n 2n
n 1
1 1 12 2 2 2 2 2 2 22 2 21ln 2
2 n
∞
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ∑
( )
2n 2n 2n
n 1
5 5 5 1 5 18 4 41ln 2
2 n
∞
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ++ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= ∑−
3.4.
( )( ) ( )n 2
n 1
2 2 2 1ln 2
n
∞
=
− − −=∑
n
4. REFERENCIAS.
1) Abramowitz, M. e I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Nueva York: Dover , 1965.
2) I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products (A. Jeffrey) , Academic Press, New York, London, and Toronto, 1980.
3) M. R. Spiegel, Mathematical Handbook, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968.
4) E. Valdebenito, Pi Handbook, manuscript, unpublished, 1989 , ( 20000 fórmulas).
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