combinatorica cerchez

8/12/2019 Combinatorica Cerchez

1/6

Numerele lui Catalan, Stirling, Bell

Numerele lui Catalan

Problem

S se determine numrul irurilor formate din klitere Ai mlitere B, care au proprietatea(P): pentru orice 1im+k, numrul de litere Bnu depete numrul de litere An prefixul iruluide lungime i.

Soluie

Numrul acestor iruri este nenul dac i numai dac este ndeplinit condiia mk.Numrul irurilor care conin litera Ade kori, iar litera Bde mori esteNr(k,m)=(m+k)!/(m!k!)=Comb(m+k,m)

Dintre aceste iruri, vom determina numrul irurilor care nu verific proprietateaP.S considerm Sun ir care conine litera Ade kori, litera Bde mori i care nu verific proprietatea

P. Exist n acest ir o poziie 2p+1p0! astfel nc"t S#2p+1$%B, iar prefixul irului Sde lungime2pconine plitere Ai plitere B. &om alege pminim cu aceast proprietate.'ransformm irul Sdup cum urmeaz. (dugm pe prima poziie o liter A. Se o)ine astfel un ir format din mlitere Bi k+1litere A,

iar prefixul de lungime 2p+2al acestui ir conine un numr egal de litere Ai B. *n prefixul de lungime 2p+2al irului o)inut sc+im)m litera An litera B, iar litera Bn litera

A. rin aceast transformare numrul total de litere Ai Bnu se modific, iar prima liter din ireste acum B.

rin aceste transformri asociem n mod )iunivoc unui ir care conine litera Ade kori, litera Bde mori i care nu verific proprietateaPun ir care conine litera Ade k+1ori, litera Bde mori i carencepe cu litera B. (dic numrul irurilor care conin litera Ade kori, litera Bde mori i care nuverific proprietateaPeste egal cu numrul irurilor care conin litera Ade k+1ori, litera Bde morii care ncep cu litera B m


2/6

-onform formulei de mai sus, numerele lui -atalan constituie un ir de numere naturale, primiitermeni fiind:1, 1, 2, , 14, 42, 1"2, 42#, 14"0, 4$%2, 1%%, $&$%, 20$012, &42#00, 2%&4440,#%#4$4, ...

Numerele lui -atalan intervin n numeroase pro)leme de com)inatoric. (mintim unele dintre celemai cunoscute interpretri com)inatorice ale numerelor lui -atalan.. /ie 0 o operaie )inar asociativ. *n c"te moduri poate fi parantezat expresia a1*a2*'''*an1

Soluia acestei pro)leme a fost dat de matematicianul )elgian Eugene -+arles -atalan n 232 ieste Catalan(n-1).

4. Numrul de posi)iliti de a trianguliza partiiona n triung+iuri! un poligon cu n v"rfuri cua5utorul a n-"diagonale care nu se intersecteaz except"nd extremitile! este Catalan(n-2).

3. Numrul de ar)ori )inari cu nv"rfuri neetic+etate este Catalan(n).6. Numrul de moduri n care 2npersoane aezate la o mas rotund i pot st"nge m"inile fr ca

)raele lor s se intersecteze este Catalan(n).7. Numrul de profiluri montane distincte se pot desena cu a5utorul a ncaractere /i ncaractere ,

fr a co)or su) 8nivelul mrii9 linia orizontal care trece prin punctul de plecare! esteCatalan(n).

. S considerm o ta)l de a+ de dimensiune (n+1)*(n+1)i o pies plasat iniial ntr;un colal ta)lei. < mutare const n plasarea piesei n una dintre poziiile alturate pe orizontal sauvertical!. Numrul de drumuri distincte de lungime 2npe care le poate str)ate piesa din coluliniial n colul opus, fr a intersecta diagonala principal este Catalan(n).

=. Numrul de permutri ce se pot o)ine cu a5utorul unei stive n care se introduc succesiv numerele1, 2, ..., neste Catalan(n).

O abordare recursiv

S revenim la pro)lema iniial, pro)lema parantezelor s determinm numrul de iruri formate dinnperec+i de paranteze care se nc+id corect!.(naliz"nd pro)lema pentru n=1, o)inem o soluie (), pentru n=2o)inem dou soluii ()()i(()). reprezint numrul de permutri ale elementelor ?, 4, ..., n@ careconin exact kcicluri notat (n,k)! .

ObservaieDefiniia anterioar corespunde numerelor lui Stirling de spea >, fr semn.


3/6

Numerele lui Stirling de spea > cu semn sunt coeficienii polinomuluin()=(-1)(-2)'''(-n+1).(n()=.(n,0)+.(n,1)+.(n,2)

2+'''+.(n,n)n)

Aelaia dintre numerele lui Stirling de spea > cu semn i fr semn este:.(n,k)=(-1)n-k(n,k)

O abordare recursiv

Numerele lui Stirling de spea > cu semn satisfac relaia de recuren:.(n,0)=0 .(n,1)=1

.(n+1,k)=.(n,k-1)-n.(n,k)

#usti"icaren+1()=n()*(-n)=n()*-nn()

Numerele lui Stirling de spea > fr semn satisfac relaia de recuren:(n+1,k)=n(n,k)+(n,k-1)

#usti"icareElementul nB poate forma singur cel de;al C;lea ciclu sau poate fi inserat n unul dintre ciclurileformate cu celelalte n elemente n n moduri posi)ile!.

Numerele lui Stirling de spea a $a

!e"iniie

/ie o mulime finit, nevid. S%?1, 2, ..., k@ formeaz o partiie a mulimii n kclase dac:. isunt su)mulimi nevide ale lui i%, 4, ..., k!

4. ii sunt dis5uncte i5%, 4, ..., k!3. 12'''k=

Observaie


4/6

>;a, deducem c:

(n)=S(n,1)+S(n,2)+'''+S(n,n).(0)=1.O abordare recursiv

Numerele lui Fell satisfac urmtoarea relaie de recuren

/olosind definiia numerelor lui Stirling i cea de a doua formul de recuren pentru numerele luiStirling, urmat de sc+im)area ordinii de sumare, o)inem:

Dar

=

=.

.

!.,!,.!,n

kx

kxSxnCombknS

=

=+n

k

kBknCombnB !!,!.

=

=

k

r

nrkrrkComb

k

knS

J

!,!.

I

.!,

+

=

+

= = =

+

=

+=+=++=+.

4

.

4 . .

.

4

!.,!,.!.,!,.!,..!.n

k

n

k

n

ki

n

i

i

k

kiSinCombkiSinCombknSnB

!!.,.

4

iBkiS

i

k

=+

=


5/6

Deci are loc relaia de mai sus.)*erciii

1+ Numere asociate numerelor lui Stirling de spea utem asocia numerele 32(n,k)%numrul de permutri de ordin ncare conin kcicluri av"nd

lungime K4.a. Deducei o formul pentru cazurile speciale: 32(n,1) 32(2k,k).). Deducei o relaie de recuren pentru 32(n,k).

4. Numerele lui )ntringerNumerele luiEntringersunt definite astfel:(n,k)%numrul de permutri de ordin n+1care ncep cu ki care au forma unui L;zig;zag.Determinai o relaie de recuren pentru numerele lui Entringer.

3. S considerm irurile de paranteze n care o parantez este nc+is de dou !!.De exemplu, pentru n%4: !! !!, ! !! !, !! !!.

Mai exact o parantezare este corect dac ea conine cel puin o secven de forma !!, iar prineliminarea acestei secvene parantezarea o)inut este de asemenea corect.Determinai numrul de parantezri corecte de ordin n.

6. Partiii ale unui numr natural

!e"iniie/ie nun numr natural nenul. Numim partiie a lui nn kpri un sistem de numere naturale deforma a1a2'''ak1, astfel nc"t a1+a2+'''+ak=n.

Notm (n,k)%numrul de partiii ale lui nn kpri.

Demonstrai c numerele (n,k) verific urmtoarea relaie de recuren:(n,1)=(n,n)=1

(n+k,k)=(n,1)+(n,2)+'''+(n,k)

Probleme

1+ )P%)SSONS -Baltic . 1///0et O )e t+e smallest set defined as folloPs

Q an emptG string )elongs to O,

Q if (, F )elong to O t+en )ot+, (! and (F, )elong to O.'+e elements of O are called correctly built parenthesis expressions.'+e folloPing strings are correctlG )uilt parent+esis expressions:!!!!!!!!'+e expressions )eloP are not correctlG )uilt parent+esis expressions:!!!!!!!et E )e a correctlG )uilt parent+esis expression.'+e lengt+ of E is t+e num)er of single parent+esis in E.


6/6

'+e dept+ DE! of E is defined as folloPs:

0 i5 i 6mpt7

8()= 8()+1 i5 = (), an3 i in

ma(8(),8()) i5 = , an3 , ar6 in

L+at is t+e num)er of correctlG )uilt parent+esis expressions of lengt+ n and dept+ d, for givenpositive integers n and d1Task

Lrite a program P+ic+ reads tPo integers n and d from t+e text file (A.>N computes t+e num)er ofcorrectlG )uilt parent+esis expressions of lengt+ n and dept+ d Prites t+e result into t+e text file(A.N contains tPo integers n and d separated )G a single spacec+aracter, 4 n 32, d .

utput data'+e onlG line of t+e output file (A.?

12 " 2 "

)*plicaii12=1+2+#

12=2+"+&

12=2+4+%

Bibliogra"ie>oan 'omescu Q -om)inatoric i teoria grafurilor, Fucureti =2PPP.mat+Porld.Polfram.com
http://www.mathworld.wolfram.com/http://www.mathworld.wolfram.com/

combinatorica cerchez

Documents