FACULTAD DE INFORMÁTICA Y CIENCIAS APLICADAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS

CÁTEDRA DE MATEMATICA

SECCIÓN:03

TEMA: “COMPARACION DE SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES, CILINDRICAS Y ESFERICAS”

PRESENTADO POR:

APELLIDOS, NOMBRES CARNETSANCHEZ VASQUEZ, VICTOR RENÉ 22-1694-2007SANDOVAL TEJADA, SARA EDITH 25-0025-2014VASQUEZ CARDOZA, CINDY YAMILETH 22-1630-2005ZAVALETA MENJIVAR, CHRISTIAN ALEXANDER 22-2956-2010ZELAYA PEREZ, ANGEL ARNOLDO 22-5205-2007

CONTENIDO

INTRODUCCION.............................................................................................................................3

COORDENADAS POLARES O SISTEMAS POLARES............................................................4

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.......................................................................4

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES................................................................................5

LA ROSA POLAR........................................................................................................................7

LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES...............................................................................................8

LEMNISCATA..............................................................................................................................9

EL CARACOL DE PASCAL.......................................................................................................9

CARDIOIDE...............................................................................................................................10

SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS........................................................................11

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS..........................................................................11

RELACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS............................12

ENTRE CARTESIANAS Y CILÍNDRICAS......................................................................13

ENTRE CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS...........................................................................13

ENTRE CARTESIANAS Y ESFÉRICAS........................................................................14

CONCLUSION...............................................................................................................................15

BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................................16

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INTRODUCCION

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas que sirven para definir

laposición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y

una distancia. También definiremos los sistemas de coordenadas cartesianas,

polares, cilíndricas y esféricas, al mismo tiempo que mostramos la relación que

existe entre cada uno de los sistemas de coordenadas.

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COORDENADAS POLARES O SISTEMAS POLARES

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas

bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un

ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen

o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje

polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia.

Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder

asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano

corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es

el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor

θ crece en sentido anti-horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0)

se conoce como la “coordenada radial” o “radio vector”, mientras que el ángulo es

la “coordenada angular” o “ángulo polar”.

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En

ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

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En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos

o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un

sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en   se pueden definir

sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto

(A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto

( ) sobre un eje determinado:

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de

coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O)

y un vector ( ) tal que:

, cuyo módulo es 

El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del

vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

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A las coordenadas polares o sistemas polares se le llama ecuación polar ya que

define a la ecuación como una curva expresada en coordenadas polares. En

muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo   como una función de

θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se

puede representar como la gráfica de una función  .

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función

polar  . Si  (−θ) =  (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°),

si  (180°−θ) =  (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si 

(θ−α°) =  (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le

llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O,

llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de

referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para

poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del

plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y

θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida que va de O a P. El

valor θ crece en sentidoanti horario y decrece en sentido horario. La

distancia r (r ≥ 0) se conoce como la “coordenada radial” o “radio vector”, mientras

que el ángulo es la “coordenada angular” o “ángulo polar”.En el caso del origen, O,

el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la

convención de representar el origen por (0,0º).El sistema de coordenadas polares

es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del

plano se determina por un ángulo y una distancia.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas

se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma

cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son:

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LA ROSA POLAR

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La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y

puede expresarse como una ecuación polar simple,

para cualquier constante   (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas

ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k

es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los

pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6,

10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo   para   ,

la gráfica de la ecuación:

es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural  . Y si  , la gráfica

es una circunferencia de radio 

LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES

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La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la

cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa

con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b

controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada.

La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los

dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre

el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas,

después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos.

Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más

fácil con una ecuación polar.

LEMNISCATA

En geometría analítica, sean n puntos del plano F1, F2,...,Fn y k un número real

estrictamente positivo. El conjunto de los puntos del plano cuyo producto de las

distancias a cada uno de los puntos F1, F2,...,Fn es constante e igual a k es una

curva (lugar geométrico) llamada lemniscata de n focos. Lemniscata, en griego

significa cinta de lana.

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En matemáticas la, en particular, lemniscata de Bernoulli es un tipo de curva

descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

 y tiene sólo dos focos.

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a  ,

el símbolo del infinito, que es ampliamente utilizado en matemáticas.

EL CARACOL DE PASCAL

El caracol de Pascal es la concoide de una circunferenciaque pase por el polo. Es

un tipo de epitrocoide.

Por tanto, su ecuación en coordenadas polares es:

En el caso particular

de h=2·a, se obtiene

una cardioide:

CARDIOIDE

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Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a(1+cos θ), por su

semejanza con el dibujo de un corazón.

La cardioide es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es

un caracol de Pascal, cuando 2a=h.

SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

El sistema de coordenadas cilíndricas   se usa para

representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta

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especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas

es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al

que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera

coordenada es la distancia existente entre el eje y y el punto, la segunda es el

ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la

tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro.

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que

las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un

punto mediante una distancia y dos ángulos.En consecuencia, un punto P queda

representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio  , el ángulo

polar colatitud φ y el azimut θ.Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de

colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2radianes), siendo

el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según se mida el

ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -

180° a +180° (-π a π).Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor

determinado.

Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se

usa en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas

esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el

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origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las

otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

RELACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS

ENTRE CARTESIANAS Y CILÍNDRICAS

Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres

sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada z, es la

misma,

Mientras que las coordenadas   e   constituyen los catetos de un triángulo

rectángulo de hipotenusa  , por lo que

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De aquí se tienen las relaciones inversas

ENTRE CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS

Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En

primer lugar, la coordenada   es la misma en los dos sistemas. El resto de

coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo

Y con las correspondientes relaciones inversas

ENTRE CARTESIANAS Y ESFÉRICAS

Combinando las relaciones anteriores obtenemos el paso de esféricas a

cartesianas.

Y sus correspondientes relaciones inversas

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CONCLUSION

Por lo tanto en base a este trabajo podemos concluir que los sistemas polares pueden graficar sus coordenadas polares haciendo uso del “Eje Polar” que consiste en un punto “O” del plano, al que se le llama “origen”o “polo”, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada “eje polar” que es equivalente al eje x del sistema cartesiano, como sistema de referencia.

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BIBLIOGRAFIA

https://books.google.com.sv/books?

id=oLgUANewDrYC&pg=PA210&dq=ESPECIFICACIONES+SOBRE+LAS+

ECUACIONES+DE+COORDENADAS+POLARES&hl=es&sa=X&ei=C481V

cK1LMT3oATA4IHoAg&ved=0CC0Q6AEwAw#v=onepage&q=ESPECIFICA

CIONES%20SOBRE%20LAS%20ECUACIONES%20DE

%20COORDENADAS%20POLARES&f=false

http://es.wikipedia.org/wiki/Caracol_de_Pascal

http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata

16

http://www.monografias.com/trabajos33/coordenadas-polares/coordenadas-

polares.shtml#concl

https://academica.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica/Jesus

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https://books.google.com.sv/books?id=fcvPeAOIV-

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X&ei=ZY81VY3nNM-

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%20POLARES%20en%20calculo&f=false

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