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Comparaison entre les échantillons

Michelle Dion Université McMaster

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http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

La comparaison de moyennes & de proportions entre les différents

échantillons

Les types des paires d'échantillons Les échantillons aléatoires indépendants • Le choix d‘un échantillon ne

dépend pas d'un autre• Exemples

– Hommes et femmes– Démocraties et non-

démocraties

• La correspondance naturelle entre les échantillons

• Un groupe à deux moments dans le temps– Les étudiants au premier et

au dernier jour de cours– 50 états à deux moments

dans le temps

CC BY NC SA‐ ‐ 3

Les échantillons dépendants

Une vue d'ensemble

1. La comparaison de moyennes et de proportions observées sur des échantillons indépendants

A. Les exemples de la comparaison des moyennesB. Les exemples de la comparaison des proportions

2. La comparaison des moyennes observées sur des échantillons dépendants

A. Exemples


La comparaison des valeurs dans deux échantillons indépendants


Étape 1: Est-ce que vous comparez une variable quantitative or qualitative?

Quantitative• La comparaison de

moyennes dans 2 échantillons indépendants

• La comparaison de μ1 et de μ2

• Exemples– La hauteur moyenne en

pouces pour les hommes et les femmes, μhommes et μfemmes

– Le taux moyen d'alphabétisme des adultes dans les démocraties et dans les non-démocraties, μdém et μnon-dém

Qualitative• La comparaison de

proportions dans 2 échantillons indépendants

• La comparaison de P1 et de P2

• Exemples– Les proportions des hommes

et des femmes avec l'éducation postsecondaire, Phommes et Pfemmes

– Les proportions des démocraties et des non-démocraties qui ont ratifié le Protocole de Kyoto, Pdém et Pnon-dém


Étape 2: Énoncez vos hypothèses nulles et vos hypothèses de recherche

MoyennesH0: μ1 = μ2

Ha: μ1 ≠ μ2

ProportionsH0: P1 = P2

Ha: P1 ≠ P2


Étape 3: Avez-vous de grands échantillons?

Moyennes

• La comparaison entre µ1 et µ2

• n1, n2 ≥ 20

• n1 et n2 doivent être

supérieurs ou égals à 20

Proportions

• La comparaison entre P1 et P2

• Plus de 5 observations dans chaque catégorie pour chaque échantillon


Étape 4: Calculez la statistique du test appropriée

Moyennes• Les grands échantillons

• Les petits échantillons

L’option 1

L’option 2

Proportions

• Les grands échantillons


Utilisez la méthode exacte de

Fisher


2

22

1

2112

12

12

ˆ where,ˆ n

snsyy

z yyyy

:ways 2of 1 in calculated be can

freedomof degrees the and ˆ where

,ˆ

12

12

12

yy

yy

yyt

df for formula complex withˆ 2

22

1

21

12 ns

ns

yy

2 df with

, 1

n1

2

)()(ˆ

21

2121

222

211

12

nn

nnn

yyyy iiyy

)11

)(1( where ,21

1212

12nn

pppp

z pppp

Étape 5: L'interprétation de la valeur de p & la conclusion

Moyennes• Les faibles valeurs de p

rejetez l'hypothèse nulle selon laquelle il n'existe pas de différence entre les moyennes

Proportions• Les faibles valeurs de p

rejetez l'hypothèse nulle selon laquelle il n'existe pas de différence entre les proportions


Exemples


Est-ce que les musulmans et les non-musulmans ont des avis différents sur les

États-Unis?• L'enquête Pew dans 22 pays au printemps 2009

• La question: Pourriez-vous me dire si votre avis sur les États-Unis est très favorable (1), plutôt favorable (2), plutôt défavorable (3) ou très défavorable (4)?

• De plus grands nombres indiquent des avis moins favorables sur les États-Unis.



États-Unis?

• La comparaison de moyennes des attitudes des musulmans & des non-musulmansH0: μmusulman = μnon-musulman

Ha: μmusulman ≠ μnon-musulman



États-Unis?• Calculez la statistique pour

un grand échantillon • Musulmans

• Non-musulmans


17431832.17.2

lim

lim

lim

Musnon

Musnon

Musnon

nsy

7186032.102.3

lim

lim

lim

Mus

Mus

Mus

nsy

?

ˆ where,ˆ

2

22

1

21

12

2

22

1

2112

12

12

z

ns

ns

yyz

ns

nsyy

z yyyy


États-Unis?• Calculez la statistique pour

un grand échantillon• Musulmans

• Non-musulmans


17431832.17.2

lim

lim

lim

Musnon

Musnon

Musnon

nsy

7186032.102.3

lim

lim

lim

Mus

Mus

Mus

nsy

006.62014.85.

17431832.

7186032.1

17.202.322

2

22

1

21

12

z

z

z

ns

ns

yyz


États-Unis?• Si z = 62.006, quelle est la valeur de p associée?• Où est ce score-z sur la distribution de z?


Image source: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bb/Normal_distribution_and_scales.gif


États-Unis?• Est-ce qu`il y a une différence statistiquement significative entre les musulmans et les non-musulmans quant à leur opinion moyenne sur les États-Unis dans le monde?

• Comment interpréter la valeur de P associée à ce test statistique?


En décrivant la différence entre les musulmans & les non-musulmans quant à leurs opinions sur les États-Unis

• Quelle est la différence moyenne?

• La construction d‘un intervalle de confiance autour de la différence

• Quel est l'intervalle de confiance de 99%?• L'interprétation?


85.limlim MusnonMus yy

)014(.85.

)()(

)ˆ()(

2

22

1

21

limlim

limlim limlim

z

ns

ns

zyy

zyy

MusnonMus

yyMusnonMus MusnonMus

Est-ce que l'héritage du colonialisme explique la corruption?

• Est-ce que les pays colonisés par les Britanniques ont vraiment de plus faibles niveaux de corruption que ceux colonisés par les Espagnols?


Image source: www.bit.ly/9yNr94


• Le score moyen de transparence0 = “fortement corrompu”10 = “sans corruption”

• La comparaison de moyennes

H0: μBritannique = μEspagnole

Ha: μBritannique > μEspagnole


• Les colonies britanniques

• Les colonies espagnoles


52732.1940.3

British

British

British

nsy

19

379.1

358.3

Spanish

Spanish

Spanish

n

s

y


• Calculez le score t

Option 1

Option 2

• Utilisez le logiciel pour calculer

• Les colonies britanniques

• Les colonies espagnoles


52732.1940.3

British

British

British

nsy

19

379.1

358.3

Spanish

Spanish

Spanish

n

s

y

:ways 2of 1 in calculated be can

freedomof degrees the and ˆ where

,ˆ

12

12

12

yy

yy

yyt


22

1

21

12 ns

ns

yy

2 df with

, 1

n1

2

)()(ˆ

21

2121

222

211

12

nn

nnn

yyyy iiyy



Group Statistics

British and Spanish

colonies N Mean Std. Deviation Std. Error Mean

Corruption Perceptions

Index

Colonized by Spanish 19 3.3579 1.37894 .31635

Colonized by British 52 3.9404 1.73208 .24020

Independent Samples Test

Levene's Test for

Equality of Variances t-test for Equality of Means

F Sig. t df

Sig. (2-

tailed)

Mean

Difference

Std. Error

Difference

95% Confidence

Interval of the

Difference

Lower Upper

Corruption

Perceptions Index

Equal variances

assumed

2.735 .103 -1.319 69 .192 -.58249 .44159 -1.46343 .29845

Equal variances

not assumed

-1.466 40.040 .150 -.58249 .39720 -1.38524 .22027



Group Statistics

British and Spanish



Index




Levene's Test for


F Sig. t df

Sig. (2-

tailed)

Mean

Difference

Std. Error

Difference

95% Confidence

Interval of the

Difference

Lower Upper

Corruption

Perceptions Index

Equal variances

assumed

2.735 .103 -1.319 69 .192 -.58249 .44159 -1.46343 .29845

Equal variances

not assumed

-1.466 40.040 .150 -.58249 .39720 -1.38524 .22027




Levene's Test for


F Sig. t df

Sig. (2-

tailed)

Mean

Difference

Std. Error

Difference

95% Confidence

Interval of the

Difference

Lower Upper

Corruption

Perceptions Index

Equal variances

assumed

2.735 .103 -1.319 69 .192 -.58249 .44159 -1.46343 .29845

Equal variances

not assumed

-1.466 40.040 .150 -.58249 .39720 -1.38524 .22027


22

1

21

12 ns

ns

yy

2 df with

, 1

n1

2

)()(ˆ

21

2121

222

211

12

nn

nnn

yyyy iiyy

L’option 2:

L’option 1:



Group Statistics

British and Spanish



Index




Levene's Test for


F Sig. t df

Sig. (2-

tailed)

Mean

Difference

Std. Error

Difference

95% Confidence

Interval of the

Difference

Lower Upper

Corruption

Perceptions Index

Equal variances

assumed

2.735 .103 -1.319 69 .192 -.58249 .44159 -1.46343 .29845

Equal variances

not assumed

-1.466 40.040 .150 -.58249 .39720 -1.38524 .22027


• Est-ce que les pays colonisés par les Britanniques sont plus transparents (moins corrompus) que ceux colonisés par les Espagnols? H0: μBritannique = μEspagnole

Ha: μBritannique > μEspagnole

• La valeur de P? Un test t unilatéral ou bilatéral?

• L’interprétation et la conclusion?CC BY NC SA‐ ‐ 29

Le résumé des tests de moyennes dans deux échantillons indépendants

• La comparaison d’une variable quantitative entre deux catégories– Une variable dépendante quantitative avec une variable indépendante nominale avec deux résultats (binaires)

• Les grands échantillons contre les petits échantillons– Les tests Z contre les tests T – N’oubliez pas: Avec la croissance des petits échantillons, le tests T devient le même que le test Z

• Le logiciel indiquera les tests effectués à l'aide de petits échantillons (uniquement)

• Pourriez-vous indiquer d'autres moyennes potentielles pour comparer?


Plus d'exemples


Est-ce que les voisins des États-Unis ont des avis différents sur les États-Unis?

• Le Canada et le Mexique sont des alliés et des voisins importants des États-Unis.

• Utilisez la même enquête de Pew (2009)• Est-ce que les attitudes envers les États-Unis sont différentes au Canada et au Mexique?H0: PMexique = PCanada

Ha: PMexique ≠ PCanada



• Le Canada et le Mexique sont des alliés et des voisins importants des États-Unis.

• Utilisez la même enquête de Pew (2009)

• Est-ce que les attitudes favorables envers les États-Unis sont différentes au Canada et au Mexique?H0: PMexique = PCanada

Ha: PMexique ≠ PCanada

• Mexique

• Canada


719708.

210 eUnfavorabl509 Favorable

Canada

Canada

np

953718.


Mexico

Mexico

np


• Est-ce que les attitudes favorables envers les États-Unis sont différentes au Canada et au Mexique?H0: PMexique = PCanada

Ha: PMexique ≠ PCanada• S'agit-il de grands

echantillons?• La statistique de test

Vous devez calculer le p

• Mexique

• Canada


)11

)(1( where ,21

1212

12nn

pppp

z pppp

953718.


Mexico

Mexico

np

719708.


Canada

Canada

np


• Mexique

• Canada


719708.


Canada

Canada

np

953718.


Mexico

Mexico

np

)11

)(1( where ,21

1212

12nn

pppp

z pppp

• La statistique de test

• Quel est le p? La proportion de ‘favorable’ cumulée Les réponses ‘favorable’ cumulées = 685+509= 1194Le n total = 953+719=1672Le p total = 1194 /1672 = 0.714


• Mexique

• Canada


719708.


Canada

Canada

np

953718.


Mexico

Mexico

np)

11)(1(

)11

)(1( where ,

21

12

21

1212

12

nnpp

ppz

nnpp

ppz pp

pp



• La valeur de P? Un test unilatéral ou bilatéral La valeur de p = 0.6542

• L’interprétation et la conclusion?


• Mexique

• Canada


719708.


Canada

Canada

np

953718.


Mexico

Mexico

np

-0.4480.0220.01-

)7191

9531

)(714.1(714.

718.708.

)11

)(1(

)11

)(1( where ,

21

12

21

1212

12

z

z

z

nnpp

ppz

nnpp

ppz pp

pp


• Est-ce que les attitudes favorables envers les États-Unis sont différentes au Canada et au Mexique?

• Qui possède une opinion plus favorable?• Est-ce que la différence est statistiquement significative?



• Construisez un intervalle de confiance de 95% autour de la différence

– Notez l'erreur type différent de la statistique de test. Pourquoi serait-ce différent?

– L’interprétation?


2

22

1

1112

)1()1(n

ppn

ppzpp


• Comment testez-vous la même hypothèse avec le SPSS?– Les mêmes hypothèses – Le SPSS n'offre pas exactement le même test mais ce logiciel dispose de plusieurs alternatives




Canada (Mexico=0) dummy variable * Favorable view of U.S. (recode of Q11A.) Crosstabulation

Count

Favorable view of U.S. (recode of Q11A.)

Total

Somewhat unfavorable or

very unfavorable

Somewhat favorable or

very favorable

Canada (Mexico=0) dummy variable Mexico 268 685 953

Canada 210 509 719

Total 478 1194 1672

Chi-Square Tests

Value df

Asymp. Sig. (2-

sided)

Exact Sig. (2-

sided)

Exact Sig. (1-

sided) Point Probability

Pearson Chi-Square .237a 1 .627 .662 .333

Continuity Correctionb .186 1 .666

Likelihood Ratio .236 1 .627 .662 .333

Fisher's Exact Test .662 .333

Linear-by-Linear Association .236c 1 .627 .662 .333 .039

N of Valid Cases 1672

a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 205.55.

b. Computed only for a 2x2 table

c. The standardized statistic is -.486.

44

Et qu'est-ce qu'on fait si l'on veut comparer les proportions dans les petits

échantillons?

• Les hypothèses pour les petits échantillons– Au moins un résultat a moins de 5 observations

• Les mêmes hypothèses• Utilisez le test exacte de Fisher sur l'ordinateur

• L’interpretation des valeurs de P et les conclusions seront les mêmes

CC BY NC SA‐ ‐



Canada (Mexico=0) dummy variable * Favorable view of U.S. (recode of Q11A.) Crosstabulation

Count

Favorable view of U.S. (recode of Q11A.)

Total

Somewhat unfavorable or

very unfavorable

Somewhat favorable or

very favorable

Canada (Mexico=0) dummy variable Mexico 268 685 953

Canada 210 509 719

Total 478 1194 1672

Chi-Square Tests

Value df

Asymp. Sig. (2-

sided)

Exact Sig. (2-

sided)

Exact Sig. (1-

sided) Point Probability

Pearson Chi-Square .237a 1 .627 .662 .333

Continuity Correctionb .186 1 .666

Likelihood Ratio .236 1 .627 .662 .333

Fisher's Exact Test .662 .333

Linear-by-Linear Association .236c 1 .627 .662 .333 .039

N of Valid Cases 1672

a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 205.55.

b. Computed only for a 2x2 table

c. The standardized statistic is -.486.

Le résumé des tests de proportions dans deux échantillons indépendants

• La comparaison d’une variable qualitative entre deux catégories– Une variable dépendante qualitative avec deux résultats (binaires) et une variable indépendante nominale avec deux résultats (binaires)

• Le grand échantillon– Facile à calculer avec l'information minimale du tableau de contingence

– Facile à interpréter, y compris les intervalles de confiance• Le petit échantillon

– Utilisez le Test exacte de Fisher• Pourriez-vous indiquer d'autres proportions

potentielles pour comparer?


La comparaison de moyennes & de proportions entre échantillons

dépendants

48

Quels sont les échantillons dépendants?

• Les échantillons dépendants, par définition, consistent de paires– Le même échantillon à deux moments dans le temps (le plus fréquent)

– Parfois des expériences sont conçues pour mettre ” des différentes observations en “paires”

• Les études médicales dans lesquelles le groupe traité et celui ayant pris un placebo sont appariés selon des caractéristiques secondaires

• Pourriez-vous imaginer comment cela pourrait fonctionner dans une expérience de science politique?

CC BY NC SA‐ ‐

La comparaison de moyennes dans 2 échantillons dépendants — Le test de moyenne d'échantillons appariés

• Deux stratégies 1. Créez une nouvelle variable qui mesure la

différence entre les deux valeurs et la traitez comme un test T pour échantillon unique

2. Utilisez le logiciel statistique pour calculer le test de moyenne d'échantillons appariés

• Les résultats doivent être identiques – Pourquoi?


50

La comparaison de moyennes dans 2 échantillons dépendants — Le test de moyenne d'échantillons appariés

• La première stratégie 1. Créez une nouvelle variable: d = y2 – y1

2. Effectuez un test de signification d’une moyenne

CC BY NC SA‐ ‐

)( :CI

0

for deviation standard for mean sample

ns

td

ns

dt

dsdd

d

d

d

Exemples des tests de moyenne d'échantillons appariés


Est-ce que la “troisième vague de démocratisation” a contribué à renforcer la démocratie dans le monde?

• La troisième vague de démocratisation (Huntington 1991)

• Est-ce que le niveau moyen de démocratie dans le monde était plus élevé en 2000 qu'en 1975?H0: μ1975 = μ2000

Ha: μ1975 < μ2000



• La première stratégie1. Créez une nouvelle variable

Avec SPSS, Transform Compute Variable

(Transformer Calculer la variable)

CC BY NC SA‐ ‐53

12 yyd


• La première stratégie1. Créez

une nouvelle variable

2. Faites un test de moyenne pour échantillon unique


12 yyd





CC BY NC SA‐ ‐55

12 yyd






12 yyd

One-Sample Statistics

N Mean Std. Deviation Std. Error Mean

polity20001975 129 5.2093 6.69267 .58926

One-Sample Test

Test Value = 0

t df Sig. (2-tailed) Mean Difference

95% Confidence Interval of the

Difference

Lower Upper

polity20001975 8.840 128 .000 5.20930 4.0434 6.3752


• La première stratégie1. Créez une nouvelle variable


3. L’interprétation et la conclusion?– Un test unilatéral ou

bilatéral?


12 yyd

One-Sample Test

Test Value = 0

t df Sig. (2-tailed)

Mean

Difference

95% Confidence Interval of

the Difference

Lower Upper

polity20001975 8.840 128 .000 5.20930 4.0434 6.3752


• La deuxième stratégie 1. Utilisez le logiciel

statistique pour faire un test de moyenne d'échantillons appariés



• La deuxième stratégie1. Utilisez le logiciel statistique pour

faire un test de moyenne d'échantillons appariés



• La deuxième stratégie1. Utilisez le logiciel statistique

pour faire un test de moyenne d'échantillons appariés


Paired Samples Statistics

Mean N

Std.

Deviation

Std. Error

Mean

Pair

1

p_polity2.2000: Revised

Combined Polity Score

3.01 129 6.627 .583



-2.20 129 7.485 .659

Paired Samples Correlations

N Correlation Sig.

Pair 1 p_polity2.2000: Revised

Combined Polity Score &



129 .556 .000

Paired Samples Test

Paired Differences

t df

Sig. (2-

tailed)Mean

Std.

Deviation

Std. Error

Mean

95% Confidence Interval

of the Difference

Lower Upper

Pair 1 p_polity2.2000: Revised Combined Polity Score -

p_polity2.1975: Revised Combined Polity Score

5.209 6.693 .589 4.043 6.375 8.840 128 .000





Paired Samples Test

Paired Differences

t df

Sig. (2-

tailed)Mean

Std.

Deviation

Std. Error

Mean


of the Difference

Lower Upper



5.209 6.693 .589 4.043 6.375 8.840 128 .000

One-Sample Test

Test Value = 0

t df Sig. (2-tailed)

Mean

Difference

95% Confidence Interval of

the Difference

Lower Upper

polity20001975 8.840 128 .000 5.20930 4.0434 6.3752




2. L’interprétation et la conclusion?


Paired Samples Test

Paired Differences

t df

Sig. (2-

tailed)Mean

Std.

Deviation

Std. Error

Mean


of the Difference

Lower Upper



5.209 6.693 .589 4.043 6.375 8.840 128 .000

Le résumé des tests de moyenne d'échantillons appariés (dans les échantillons dépendants)

• La comparaison d’une variable quantitative entre deux échantillons appariés – Les différences entre les paires pour une variable dépendante quantitative (moyenne)

• Deux stratégies– Créez une nouvelle variable qui saisit la différence entre la paire

– Utilisez le logiciel statistique pour calculer le test de moyenne d'échantillons appariés

– Essentiellement équivalentes• Pourriez-vous indiquer d'autres tests de

moyenne d'échantillons appariés que vous voulez peut-être faire?


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