Introduccin

lgebra: Concepciones del lgebra Escolar

Universidad de Sonora

Departamento de Matemticas

Programa de Maestra en Matemtica Educativa

Diplomado "La Enseanza de las Matemticas en la Educacin Secundaria"

Material Didctico sobre Concepciones del lgebra EscolarResponsable:Del Castillo Bojrquez Ana Guadalupe Colaboradores:Maricela Armenta Castro Villalba Gutirrez Martha CristinaHermosillo, Sonora. Octubre de 2006

Contenido:

Leccin 1: lgebra como el estudio de relaciones entre cantidadesActividad 1 La Torre de Nmeros

Actividad 2 Camino a la escuela

Actividad 3 Llenando botellasLeccin 2: El lgebra como el estudio de mtodos para la resolucin de problemasActividad 4 Igualdad y Equivalencia

Actividad 5 Ecuaciones y Estrategias

Actividad 6 Ir y Regresar

Actividad 7 Ir y Regresar en la resolucin de ecuacionesLeccin 3: El lgebra como el estudio de estructurasActividad 8 Estructuras Algebraicas, parte IActividad 9 Estructuras Algebraicas, parte IILectura: Usiskin, Z. (1988), Concepciones del lgebra escolar, 1988 NCTM Yearbook. Versin en ingls disponible en http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/algebra/

PresentacinEstas actividades tienen como propsito promover la reflexin sobre las distintas concepciones del lgebra escolar, como aritmtica generalizada, como lenguaje, como el estudio de mtodos para la resolucin de problemas, como el estudio de relaciones entre cantidades y como el estudio de estructuras, asociando estas concepciones a los distintos usos de la variable. Se pretende concretar mediante retos, juegos, problemas y situaciones similares sobre bsquedas de patrones, interpretaciones grficas, modelos simblicos, esquemas analgicos, etc., aquellos elementos que en la actualidad se consideran como manifestaciones del pensamiento algebraico, aqul que incorpora como hbitos analticos de la mente, entre otros, habilidades para resolver problemas, habilidades para abstraer, representar, procesar, comunicar y habilidades para razonar. En Los Programas de Estudio de la Educacin Secundaria (p.27) se plantea que: La idea central de este eje en el nivel secundario es que los alumnos desarrollen una forma de pensamiento que les permita construir modelos matemticos para resolver situaciones problemticas en diversos contextos, operar con dichos modelos e interpretar los resultados obtenidos para contestar las preguntas que se hayan planteado inicialmente. ( el nfasis en negrita es nuestro).

Por tanto, hemos considerado la necesidad de promover experiencias entre los profesores a manera de un primer acercamiento- con aquello que podra perfilar al lgebra en este nivel. Es decir, estas actividades, buscan la promocin del pensamiento algebraico mediante estrategias especficas, que permitan a su vez, una produccin y comunicacin libre entre los participantes a fin de reflexionar -entre ellos y con el asesor- sobre las posibilidades de implementar estrategias anlogas en su saln de clase, y sobre todo, valorar las actuales visiones didcticas de las matemticas que buscan, como lo hemos citado en el prrafo anterior, habilitar a los estudiantes con herramientas de pensamiento e ideas propias tiles a largo plazo y en diversos contextos, ms que con definiciones y algoritmos cuya utilidad y duracin se restringe al saln de clase y hasta que pasan los exmenes.

ObjetivosObjetivo general de los materialesPromover la reflexin sobre las distintas concepciones del lgebra: como aritmtica generalizada, como lenguaje, como el estudio de mtodos para la resolucin de problemas, como el estudio de relaciones entre cantidades y como el estudio de estructuras, asociando estas concepciones a los distintos usos de la variable y a los elementos que en la actualidad se consideran manifestaciones del pensamiento algebraico: habilidades para resolver problemas, habilidades para abstraer, representar, procesar, comunicar y habilidades para razonar.Objetivos especficos

1. Desarrollar estrategias que permitan descubrir patrones y formas de expresarlos.

2. Expresar argumentos que justifiquen el mbito y la validez de las expresiones construidas3. Promover la reflexin sobre las habilidades puestas en juego en el desarrollo de las actividades, que son propias del pensamiento algebraico.4. Explorar y reflexionar acerca del uso de la hoja electrnica como apoyo para el desarrollo de habilidades propias del pensamiento algebraico.Metodologa Se ha pensado en una organizacin del grupo en equipos de tres o cuatro personas en donde la funcin del asesor se enfoque a guiar las actividades de estudio que los participantes debern realizar, as como intervenir eventualmente para darle forma a la socializacin de los resultados que tal estudio por equipos logre producir. En este sentido es importante sealar el nfasis que deber ponerse a la reflexin sobre el papel primordial que en esas producciones tuvieron las formas de pensar (cmo interpretaron, de qu se valieron, qu papel jugaron las representaciones que utilizaron, cmo validaron...)

La sesin est estructurada en nueve actividades y una lectura. Con las actividades se espera que los profesores recorran el camino donde los distintos componentes del pensamiento algebraico cobren sentido. Las actividades se abordan a travs de observaciones, diagramas, utilizacin de objetos manipulables, uso de software y calculadora. Se sugiere adems en cada sesin hacer la referencia apropiada en los libros y materiales utilizados por los profesores en la escuela secundaria.

Las primeras tres actividades tienen como propsito concebir el lgebra como el estudio de relaciones entre cantidades, a la vez que se reflexiona sobre el lgebra vista como aritmtica generalizada y como lenguaje, utilizando para ello el reconocimiento de patrones y distintas representaciones (tabulares, grficas y simblicas). Las siguientes cuatro actividades, se ocupan de la resolucin de ecuaciones como un mtodo para resolver problemas, en las que la variable se concibe como una incgnita. Las actividades 9 y 10 estn orientadas al estudio del lgebra como estructura, donde las propiedades aritmticas conocidas, vistas como transparentes, cobran una nueva dimensin al ser cuestionadas en un sistema algebraico diferente.

La lectura sirve para reforzar la reflexin y anlisis de las concepciones del lgebra escolar y el uso de variables puestos en juego a lo largo del desarrollo de las actividades. Se recomienda que la lectura se haga en casa como tarea, para llevar a cabo la discusin y reflexin conjunta durante el desarrollo de la sesin.

Leccin 1: lgebra como el estudio de relaciones entre cantidadesActividad 1La Torre de Nmeros

1. Hay siete filas en la torre representada arriba. Cuntos bloques hay en la sptima fila?

2. Suponga que desea construir una torre con 25 filas usando el mismo diseo. Describa cmo podra calcular cuntos bloques se necesitaran para la vigsima quinta fila (ms larga). Puede auxiliarse con la siguiente tabla.

Nmero de filasNmero de bloques en la fila ms larga (Contando)Nmero de bloques en la fila ms larga (Haciendo operaciones)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

25

3. Una torre muy grande fue construida usando el mismo diseo. La fila ms larga tena 299 ladrillos en ella. Cuntas filas de ladrillos tiene la torre?

4. Si alguien le dijo cuntas filas de ladrillos estaban en una torre, cmo podra con su figura obtener el nmero de ladrillos en la fila ms larga? 5. Si alguien le dijo cuntos ladrillos estaban en la fila ms larga de una torre, cmo podra obtener cuntas filas habran? Leccin 1: lgebra como el estudio de relaciones entre cantidadesActividad 2Camino a la escuela

1. Esther, Daniel, Mara, Pablo, y Pedro recorren el mismo camino a la escuela cada maana. Pedro va en el carro con su pap, Esther va en bicicleta, y Mara camina. Daniel y Pablo, a veces van el carro, otros das van en bicicleta, y a veces, caminan. El siguiente mapa muestra dnde vive cada persona.

2. La grfica siguiente describe el viaje a la escuela del lunes pasado, de cada uno de ellos.

a. Etiquete cada punto en la grfica con el nombre de la persona que representa. b. Cmo viajaron Pablo y Daniel a la escuela el lunes? c. Describa cmo obtuvo su respuesta para (b). d. En la grfica, los puntos que corresponden a Esther, Pablo, y Daniel estn casi sobre una lnea recta. Qu le sugiere esto sobre su modo de transporte?3. El pap de Pedro puede conducir a 30 kph en la seccin recta del camino, pero tiene que disminuir su velocidad en las esquinas. Bosqueje una grfica en la figura de abajo que muestre cmo vara la velocidad del carro a lo largo de la ruta.

Leccin 1: lgebra como el estudio de relaciones entre cantidadesActividad 3Llenando botellas1. Ha observado alguna vez que cuando se estn llenando botellas, al llegar casi al tope, sbitamente el agua se empieza a derramar? Por qu sucede esto?

2. Imagine que cada una de las seis botellas que se muestran abajo, se llena manteniendo un flujo constante. Para cada botella, elija la grfica adecuada que relacione la altura del agua con el volumen del agua que se ha vertido.

3. Para las tres grficas que quedan sin seleccionar, muestre como sera la botella que se llena.

4. Bosqueje la grfica para siguiente secuencia de botellas

5. Usando estos bosquejos, explique por qu el llenado de una botella con lados rectos e inclinados no da una recta como grfica.

6. Es posible que dos botellas distintas produzcan la misma grfica de la relacin altura-volumen? En caso afirmativo bosqujelas.

Leccin 2: El lgebra como el estudio de mtodos para la resolucin de problemas

Actividad 4Igualdad y Equivalencia1. Observe las siguientes expresiones. Cada una de ellas tiene un enunciado que involucra cantidades. En cada caso, diga si el enunciado es siempre verdadero; es verdadero slo en algunos casos, o nunca verdadero? Justifique su respuestaa. 5+3=8b. 2+14=12c. 3+y =5

d. x+3=ye. 3x=2x+xf. 3x=3x+12. Cules de las expresiones del punto anterior son ecuaciones?

3. Encuentre la solucin de las ecuaciones del punto anterior.

4. Una balanza es un buen modelo visual para representar la equivalencia de cantidades. La siguiente figura muestra una balanza de dos bandejas con dos pesas a la izquierda y una a la derecha, as si los pesos de la izquierda son 10 y 21 y el de la derecha es 31, la balanza estar equilibrada.

5. Tomando como base las dos primeras balanzas de la figura siguiente, dibuje la figura que equilibrar la tercera balanza, partiendo de que en las tres balanzas, figuras iguales tienen el mismo peso.

6. Cul ser figura para la balanza D, si se supone que formas iguales tienen igual peso?

7. Cul podra ser una solucin para la balanza D, suponiendo que formas iguales tienen igual peso? Nota: Las formas en este problema no necesariamente tienen el mismo peso que las formas del problema anterior.

8. Para cada expresin del problema uno, dibuje una balanza que la represente. Cmo podra usar la balanza para decidir cuando una expresin es verdadera o falsa?a. 5+3=8b. 2+14=12c. 3+y =5

d. x+3=ye. 3x=2x+xf. 3x=3x+1Leccin 2: El lgebra como el estudio de mtodos para la resolucin de problemas

Actividad 5Ecuaciones y estrategias de resolucin

1. Resuelva los siguientes problemas, utilizando ms de una estrategia:a. Un nmero y su cuarta parte suman 15, cul es el nmero?

b. Un nmero y su sptima parte suman 32, cul es el nmero? c.

d.

e.

Leccin 2: El lgebra como el estudio de mtodos para la resolucin de problemas

Actividad 6Ir y Regresar1. Realicen por parejas el siguiente algoritmo:

Elijan un nmero (Entrada)DuplquenloSumen dos al resultado

Dividan el resultado por dos

Resten 7 del resultado obtenido

Multipliquen el resultado por 4 (Salida)

2. En relacin con el algoritmo anterior responda a los siguientes cuestionamientos:

a. Si la entrada es 9, Cul es la salida?

b. Si la entrada es 10, Cul es la salida?

c. Si la entrada es n, Cul es la salida?

d. Si la salida es 28, Cul fue la entrada?

e. Si la salida es 32, Cul fue la entrada?

f. Qu entrada produce una salida de 36?

3. Qu estrategias usaron para resolver las preguntas planteadas del inciso d al f?

4. Describa cmo funciona el algoritmo inverso al algoritmo anterior, es decir, el algoritmo que a partir de un resultado, regresa al dato inicial.

5. Mediante la aplicacin sucesiva del primer algoritmo y su inverso se llega hacia algo y luego se regresa. Esto es, si se aplica a un nmero el algoritmo original y luego al resultado se le aplica el algoritmo inverso, se regresa al nmero original? Verifquelo

Leccin 2: El lgebra como el estudio de mtodos para la resolucin de problemas

Actividad 7Ir y regresar en la resolucin de ecuaciones

1. Complete el camino de ida de la ecuacin , en el siguiente diagrama:

2. Cmo ser el camino de regreso? Complete el diagrama y resuelva la ecuacin:

3. Resuelva los siguientes problemas usando de regreso.

a.

b.

c. Despus de restar tres a un nmero, multiplicarlo por 8 y dividirlo entre tres se obtiene como resultado 16. Cul es el nmero?

4. Puede dar una ecuacin que no pueda ser resuelta con esta estrategia?

5. Observe el patrn que se muestra enseguida. Uno de los pasos en ese patrn requiere 112 palillos. De cul etapa se trata?

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3

Leccin 3: El lgebra como el estudio de estructurasActividad 8

Estructuras Algebraicas, parte IEstudiemos ahora una aritmtica donde los objetos son los dgitos de 0 a 9 y las operaciones se realizan bajo la siguiente regla: Se suma tomando como resultado el dgito de las unidades y se multiplica tomando como resultado el dgito de las unidades.

El sistema se puede sintetizar en las dos tablas siguientes, donde se han ocultado algunos de los resultados con la finalidad de que los agregue.

1. Qu puede decir al observar la "forma" de las tablas?2. El sistema es conmutativo? Por qu?

3. Existe neutro aditivo? Cul es?

4. Para cada elemento del sistema, existen opuestos? En caso afirmativo, encuentre una regla para encontrarlos

5. Es verdad que al multiplicar por 1, no cambia el resultado?

6. Qu nmeros tienen recprocos en este sistema?

7. En la aritmtica ordinaria, si el producto de dos nmeros es cero, entonces al menos uno de los nmeros es cero. Se cumple esto aqu? Qu se cumple en la aritmtica ordinaria, que no se cumple en este nuevo sistema?8. Encuentre, describa y explique al menos dos propiedades en cada tabla que no haya utilizado an.

Leccin 3: El lgebra como el estudio de estructuras Actividad 9

Estructuras Algebraicas, parte II

1. Imagine un sistema donde las tablas de sumar y de multiplicar se realizan de acuerdo a las siguientes reglas:

2. Cmo se resuelven las ecuaciones en este nuevo sistema? Por ejemplo, como resolvera:

a.

b.

3. Resuelva las siguientes ecuaciones en este sistema y argumente su respuesta:

a.

b.

c.

d.

4. D ejemplos de ecuaciones del tipo de modo que:

a. No tengan solucin.

b. Tengan solucin nica.

c. Tengan ms de una solucin.

5. Describa las condiciones para que la ecuacin no tenga solucin, tenga solucin nica, tenga ms de una solucin. Qu tan diferente es esta tarea comparada con resolver ecuaciones en el sistema de nmeros reales?

Lectura

Concepciones del lgebra escolar y uso de variables

Qu es el lgebra escolar?

El lgebra no se define fcilmente. El lgebra que se ensea en la escuela tiene una casta bastante diferente del lgebra que se ensea a los matemticos. Dos matemticos cuyos escritos han influenciado grandemente la enseanza del lgebra a nivel universitario, Saunders Mac Lane y Garrett Birkhoff(1967), empiezan su lgebra con un intento de establecer un puente entre el lgebra escolar y el lgebra universitaria:

El lgebra empieza como el arte de manipular sumas, productos, y potencias de nmeros. Las reglas para estas manipulaciones son vlidas para todos los nmeros, as que las manipulaciones pueden llevarse a cabo con letras que representan a los nmeros. Entonces aparece que las mismas reglas son vlidas para diferentes tipos de nmerosy que las reglas aplican a cosas.que no son nmeros en absoluto. Un sistema algebraico, tal como lo estudiaremos, es entonces un conjunto de elementos de alguna clase en el cual las funciones como adicin y multiplicacin operan, dado que esas operaciones satisfacen ciertas reglas bsicas. (P.1)

Si la primera oracin de la cita anterior es pensada como aritmtica, entonces la segunda oracin es lgebra escolar. Para los propsitos de este artculo, entonces, el lgebra escolar tiene que ver con el entendimiento de letras (las cuales hoy usualmente llamamos variables) y sus operaciones, y consideramos que los estudiantes estudian lgebra cuando ellos encuentran primero variables.

Sin embargo, puesto que el concepto de variable es en si mismo multifactico, reducir el lgebra al estudio de variables no responde la pregunta Qu es el lgebra escolar?. Considere estas ecuaciones, las cuales tienen la misma forma, el producto de dos nmeros es igual a un tercero:

1.

2.

3.

4.

5.

Cada uno de ellas da una sensacin diferente. Usualmente llamamos a (1) una frmula, (2) una ecuacin (u oracin abierta) a resolver, (3) una identidad, (4) una propiedad y (5) una ecuacin de una funcin de variacin directa (no para resolverse). Estos nombres diferentes reflejan diferentes usos para los cuales se aplica la idea de variable. En (1), A, L, y W representan las cantidades rea, longitud y ancho, y dan la sensacin de ser conocidas. En (2) tendemos a pensar en x como incgnita. En (3) x es el argumento de una funcin. La ecuacin (4), a diferencia de las otras, generaliza un patrn aritmtico, y n se identifica con un ejemplo del patrn. En (5), x es de nuevo el argumento de una funcin, y es el valor, y k es una constante (o parmetro, depende cmo se use). Slo en (5) hay una sensacin de variabilidad para la cual emerge el trmino variable. An as, esa sensacin no se presenta si pensamos que la ecuacin representa la recta de pendiente k que pasa por el origen.

Las concepciones de variable cambian con el tiempo. En un texto de los 1950s (Hart, 1951a), la palabra variable no se menciona sino hasta la discusin de sistemas (p. 168), y entonces se describe como un nmero cambiante. La introduccin de lo que hoy llamamos variables viene mucho antes (p. 11), a travs de frmulas, con estas crpticas oraciones: En cada frmula, las letras representan nmeros. El uso de letras para representar nmeros es una caracterstica principal del lgebra (las cursivas son de Hart). En el segundo libro de la serie (Hart 1951b), hay una definicin ms formal de variable (p. 91): Una variable es un nmero literal que puede tener dos o ms valores durante una discusin particular.

Textos modernos en la ltima parte de esa dcada tenan una concepcin diferente, representada por esta cita de May y Van Ungen (1959) como parte de un cuidadoso anlisis de este trmino:

Burdamente hablando, una variable es un smbolo para el cual uno sustituye nombres para algunos objetos, usualmente un nmero en lgebra. Una variable est siempre asociada con un conjunto de objetos cuyos nombres pueden ser sustituidos por ella. Estos objetos son llamados valores de la variable. (P. 70)

Hoy la tendencia es evitar la distincin nombre-objeto y pensar la variable simplemente como un smbolo por el cual algunas cosas (ms precisamente, cosas de un conjunto particular de reemplazo) pueden ser sustituidas.

La concepcin de variable como smbolo para un elemento de un conjunto de reemplazo parece tan natural hoy que rara vez es cuestionado. Sin embargo, no es la nica visin posible de las variables. En los inicios de este siglo, la escuela formalista de matemticas consider las variables y todos los otros smbolos matemticos como meras marcas en papel relacionadas unas con otras por propiedades asumidas o derivadas que tambin son marcas sobre papel (Kramer 1981).

Aunque podemos considerar tal visin apropiada para filsofos pero imprctica para los usuarios de las matemticas, las lgebras computarizadas de hoy en da tales como MACSYMA y muMath (ver Pavelle, Rothstein y Fitch [1981]) trabajan con letras sin necesidad de referirse a valores numricos. Es decir, las computadoras de hoy en da pueden operar como los usuarios de lgebra experimentados o no experimentados, manipulando variables ciegamente sin ninguna preocupacin o conocimiento de lo que ellas representan.

Muchos estudiantes piensan que todas las variables son letras que representan nmeros. An cuando los valores que una variable toma no son siempre nmeros, an en las matemticas del bachillerato. En geometra, las variables a menudo representan puntos, como se ve en el uso de las variables A, B y C, cuando escribimos Si AB=BC, entonces el es issceles. En lgica, las variables p y q a menudo representan proposiciones; en anlisis, la variable f a menudo representa una funcin; en lgebra lineal, la variable A puede representar una matriz, o la variable v un vector, y en lgebra superior, la variable * puede representar una operacin. El ltimo de los ejemplos muestra que las variables no necesitan ser representadas por letras.

Los estudiantes tambin tienden a creer que una variable es siempre una letra. Esta visin es apoyada por muchos educadores, pues

y

son usualmente consideradas como lgebra, mientras que

y

no lo son, an cuando el blanco y el smbolo de interrogacin estn, en este contexto, pidiendo una solucin de una ecuacin, lgicamente equivalente a la x y a .

Resumiendo, las variables tienen muchas posibles definiciones, referentes y smbolos. Tratar de ajustar la idea de variable en una concepcin singular sobresimplifica la idea y a la vez distorsiona los propsitos del lgebra.

Dos asuntos fundamentales en la enseanza del lgebra

Tal vez el principal asunto alrededor de la enseanza del lgebra en las escuelas hoy en da tiene que ver con el grado de habilidad que debe requerirse a los estudiantes para llevar a cabo manipulaciones a mano. (Todos parecen reconocer la importancia de que los estudiantes tengan algunas de estas habilidades). Un reporte de 1977 de la NCTM-MAA, detallando lo que los estudiantes necesitan aprender en las matemticas del bachillerato, enfatiza la importancia de aprender y practicar estas habilidades. An cuando reportes ms recientes conllevan un tono diferente:

El impulso bsico en lgebra I y II ha sido dar a los estudiantes una facilidad tcnica moderada. En el futuro, los estudiantes (y adultos) pueden no tener que hacer muchas manipulaciones algebraicas Algunos bloques de mecanizaciones tradicionales pueden ser acortados. (CBMS 1983, p. 4)

Un segundo asunto relacionado con el currculo del lgebra es la pregunta sobre el papel de las funciones y el tiempo de su introduccin. Actualmente, las funciones son tratadas en la mayora de los libros de lgebra de primer ao como un tpico relativamente significativo y por primera vez llega a ser un tpico principal en un curso avanzado de lgebra de segundo ao. An ms, en algunos currculos del nivel bsico (e.g., CSMP 1975) las ideas sobre funciones han sido presentadas en primer grado, y otros han discutido que las funciones deberan ser usadas como el vehculo principal a travs del cual se introducen las variables y el lgebra.

Es claro que estos dos asuntos se relacionan con los meros propsitos de la enseanza y aprendizaje del lgebra, a los objetivos de la instruccin del lgebra, a las concepciones que tenemos de este cuerpo de conocimientos. Lo que no es obvio es que ellos se relacionan con las maneras en que las variables son usadas. En este artculo, trato de presentar un marco para considerar estos y otros asuntos relacionados con la enseanza del lgebra. Mi tesis es que los propsitos que tenemos para la enseanza del lgebra, las concepciones que tenemos de la materia, y los usos de las variables estn inextricablemente relacionados. Los propsitos para el lgebra estn determinados por, o estn relacionados con, las diferentes concepciones del lgebra, lo cual se correlaciona con las diferentes importancias relativas dadas a los varios usos de las variables.

Concepcin 1: lgebra como aritmtica generalizada

En esta concepcin es natural pensar en las variables como generalizadoras de patrones. Por ejemplo, se generaliza como . El patrn

se extiende para dar multiplicaciones por nmeros negativos (que, en esta concepcin, es a menudo considerado lgebra, no aritmtica):

Esta idea es generalizada para dar propiedades como

A un nivel ms avanzado, la nocin de variable como generalizadoras de patrones es fundamental en la modelacin matemtica. Seguido encontramos relaciones entre nmeros que deseamos describir matemticamente, y las variables son herramientas excesivamente tiles en esa descripcin. Por ejemplo, el record mundial T (en segundos) para la carrera de una milla en el ao Y desde 1900 es cercanamente descrito por la ecuacin

La ecuacin simplemente generaliza los valores aritmticos encontrados en muchos calendarios. En 1974, cuando el rcord fue 3 minutos 51.1 segundos y no haba cambiado en siete aos. Yo us esta ecuacin para predecir que en 1985 el rcord sera 3 minutos 46 segundos (Para graficas, ver Usiskin [1976] o Bushaw et al [1980]). El rcord real fue 3 minutos 46.31 segundos.

Las instrucciones clave en esta concepcin del lgebra son traducir y generalizar. Estas son habilidades importantes no solo para el lgebra sino tambin para la aritmtica. En un compendio de aplicaciones de la aritmtica (Usiskin y Bell 1984), Max Bell y yo concluye que es imposible estudiar la aritmtica adecuadamente sin tratar implcita o explcitamente con variables. Lo que es ms fcil el producto de cualquier nmero y cero es cero o para toda n, . La superioridad de las descripciones de relaciones entre nmeros en el lenguaje algebraico sobre el lenguaje natural se debe a la similitud de las dos sintaxis, las descripciones algebraicas, se parecen a las descripciones numricas, las del lenguaje natural no. Un lector que tenga duda del papel de las variables podra intentar describir la regla para multiplicar fracciones primero en lenguaje natural y despus en lgebra.

Histricamente, la invencin de la notacin algebraica en 1564 por Francois Vite (1969) tuvo efectos inmediatos. Dentro de los siguientes 50 aos la geometra analitica fue inventado y llevada a una forma avanzada. Dentro de los siguientes cien aos despus lo fue el Clculo. Esto es lo poderoso del lgebra como aritmtica generalizada. Concepcin 2. lgebra como el estudio de medios para resolver cierta clase de problemas

Considere el siguiente problema:

Cuando se suma tres a cinco veces cierto nmero el resultado es 40. Cul es el nmero?.

Este problema es fcilmente traducido en el lenguaje del lgebra como:

5x+3=40Bajo la concepcin del lgebra como generalizador de patrones, no hay incgnitas. Generalizamos relaciones conocidas entre nmeros y no tenemos, incluso, la sensacin de desconocerlos. Bajo esta concepcin, el problema anterior, est concluido, hemos encontrado el patrn general. Sin embargo, bajo la concepcin del lgebra como el estudio de los medios para resolver problemas, apenas slo hemos empezado.

Resolvemos con algn procedimiento, quiz sumar -3 a cada lado de la igualdad,

5x+3+ -3=40+-3

Despus simplificamos, (el nmero de pasos que se requieren depende del nivel del estudiante y de la preferencia del profesor):

5x=37

Ahora resolvemos esta ecuacin en alguna forma, llegando a que x=7.4. El cierto nmero en el problema es 7.4, y el resultado puede verificarse fcilmente.

Al resolver esa clase de problemas, muchos estudiantes tienen dificultad para pasar de la aritmtica al lgebra. Mientras que la solucin aritmtica (en tu mente) implica substraer 3 y dividir por 5, la forma algebraica 5x+3=40, implica multiplicacin por 5 y adicin de 3. Esto es, al plantear la ecuacin, se debe pensar precisamente lo contrario a la forma en que se resolvera usando aritmtica.

En esta concepcin del lgebra, las variables son incgnitas o constantes. Mientras que las instrucciones clave en el uso de una variable como generalizador de patrones son traducir y generalizar, las instrucciones clave en este uso son simplificar y resolver. De hecho, simplificar y resolver son algunas veces dos nombres diferentes para la misma idea: Por ejemplo, les pedimos a nuestros estudiantes resolver para obtener la respuesta x=7 o x=-3. No obstante, podramos preguntar a los estudiantes, Reescriba sin el valor absoluto. Podramos entonces obtener la respuesta , que es un enunciado equivalente.

Polya (1957) escribi, si usted no puede resolver el problema propuesto intente resolver primero algn problema relacionado (p. 31). Seguimos esta estrategia literalmente al resolver muchos problemas, encontrando problemas equivalentes con la misma solucin. Tambin simplificamos expresiones para que se puedan ser entendidas y utilizadas ms fcilmente. Insistiendo: simplificar y resolver son ms parecidos de lo que generalmente se hacen ver.

Concepcin 3: lgebra como el estudio de relaciones entre cantidades

Cuando escribimos A=LW, la frmula del rea de un rectngulo, estamos describiendo una relacin entre tres cantidades. Aqu no hay la sensacin de algo desconocido, ya que no se est resolviendo nada. La sensacin de una frmula como A=LW es diferente de la sensacin de generalizaciones como , an cuando podemos pensar en la frmula como un tipo especial de generalizacin.

Mientras que la concepcin del lgebra como el estudio de las relaciones puede iniciar con frmulas, la distincin crucial entre esta y la concepcin previa, es que, aqu, las variables varan. Hay aqu una diferencia fundamental entre las concepciones que se evidencia por la respuesta usual de los estudiantes a la siguiente pregunta:

Qu le sucede al valor cuando x se hace cada vez ms grande?

Esta cuestin parece simple, pero es suficiente para retar a la mayora de los estudiantes. No nos hemos preguntado por algn valor de x, as que x no es una incgnita. Tampoco les hemos pedido a los estudiantes traducir. Hay patrn para generalizar, pero no es un patrn como en aritmtica. (Esto es, no es apropiado preguntar que sucede al valor cuando el 2 se hace cada vez ms grande!). Es fundamentalmente un patrn algebraico. Quiz debido a su naturaleza algebraica intrnseca, algunos Educadores Matemticos, creen que el lgebra debera ser inicialmente introducida a travs del uso de la variable.

Por ejemplo: Fey and Good (1985) observaron lo siguiente como preguntas clave sobre las cuales basar el estudio del lgebra:

Para una funcin dada f(x), encuentre

1. f(x) para x=a;

2. x tal que f(x)=a;

3. el valor de x donde ocurren los valores mximos o mnimos de f(x);

4. la razn de cambio en f cerca de x=a;

5. el valor promedio de f en el intervalo (a,b). (p.48)

Bajo esta concepcin, una variable es un argumento (es decir, un valor del dominio de una funcin) o un parmetro (es decir, representa un valor del cual dependen otros valores). Solo en esta concepcin toman sentido las nociones de variable independiente y variable dependiente. Las funciones inmediatamente empiezan a emerger por la necesidad de nombrar a los valores que dependen del argumento o del parmetro x. La notacin de funcin ( como en f(x)=3x+5 ), es una idea nueva cuando los estudiantes la ven por primera vez: f(x)=3x+5 y lo perciben distinto a y=3x+5.

A este respecto, una razn por la que y=f(x) puede confundir a los estudiantes es porque la funcin f en lugar del argumento x viene a ser el parmetro, efectivamente el uso de f(x) para denotar a una funcin como lo hacen Fey y Good en la cita anterior es visto por algunos educadores como una contribucin a esta confusin.

El que las variables como argumento difieran de las variables como incgnitas se puede evidenciar por el siguiente problema:

Encuentra una ecuacin para la recta que pasa por (6,2) y tiene pendiente 11.

La solucin usual combina todos los usos de las variables discutidas hasta ahora, quiz explicando porque algunos estudiantes tienen dificultades con ella. Vamos a analizar la solucin usual. Iniciamos destacando que los puntos de una recta estn relacionados por una ecuacin de la forma y=mx+b.

Esta es tanto un patrn entre variables como una frmula. En nuestra mente esta es una funcin con x como variable de dominio y y como variable del rango, pero los estudiantes no tienen claro cual es el argumento m, x , o b. Como patrn es fcil entenderlo, pero en el contexto de este problema algunas cosas son desconocidas. Todas las literales parecen ser incgnitas (particularmente x y y, literales tradicionalmente utilizadas para esos propsitos).

Veamos ahora la solucin. Ya que conocemos m, la sustituimos:

Y=11x+bAs m es aqu una constante, no un parmetro. Ahora necesitamos encontrar b. Entonces b ha pasado de ser parmetro a ser incgnita. Pero cmo encontrar b? Usamos una pareja de valores de las muchas parejas de valores en la relacin entre x y y. Esto es, escogemos un valor para el argumento x, para el cual conocemos y. La sustitucin de x y y puede hacerse debido a que y=mx+b describe un patrn general entre nmeros.

Sustituyendo:

As que b=-64. Sin embargo, no hemos encontrado x y y, aunque tengamos valores para ellos, debido a que no son incgnitas. Slo hemos encontrado la incgnita b y la sustituimos en la ecuacin apropiada para obtener la respuesta

Otra forma de hacer la distincin entre los diferentes usos de las variables en este problema es usar cuantificadores. Pensamos: para toda x y y, existen m y b con y=mx+b , se nos da el valor que existe para m y luego encontramos el valor que exista para b, utilizando una de las tantas parejas del para toda x y y y as sucesivamente. O usamos el lenguaje conjuntista equivalente: Sabemos que la recta es {(x,y): y=mx+b} y conocemos m, y tratamos de encontrar b. En el lenguaje de conjuntos o cuantificadores, x y y son conocidas como variables mudas debido a que cualquier smbolo podra ser utilizado en su lugar. Es muy difcil convencer a los estudiantes y an a profesores que {x:3x=6}={y:3y=6}, aunque cada conjunto sea {2}.

Muchas personas piensan que la funcin f con f(x)=x+1 no es la misma que la funcin g con el mismo dominio que f y con g(y)=y+1. Slo cuando las variables son utilizadas como argumentos pueden ser consideradas como variables mudas; este uso especial tiende a no ser bien entendido por los estudiantes.

Concepcin 4: El lgebra como el estudio de las estructuras

El estudio del lgebra en el nivel superior incluye estructuras como grupos, anillos, dominio entero, campos y espacios vectoriales. Parece tener poca semejanza al estudio del lgebra en el bachillerato, aunque el campo de los nmeros reales y de los nmeros complejos y los distintos anillos de los polinomios subyace la teora del lgebra, y las propiedades de dominios enteros y grupos explican por qu ciertas ecuaciones pueden resolverse y otras no. Reconocemos el estudio del lgebra como el estudio de las estructuras por las propiedades atribuidas a las operaciones sobre los nmeros reales y polinomios. Considere el siguiente problema:

Factorizar

La concepcin de variable representada aqu no es la misma que en cualquiera de las concepciones previamente discutidas. No hay funcin o relacin; la variable no es un argumento. Aqu no hay una ecuacin que resolver, as que la variable no est actuando como una incgnita. Tampoco hay un patrn aritmtico a generalizar.

La respuesta al problema de factorizar es . La respuesta podra verificarse sustituyendo valores para x y a en el polinomio dado y en el factorizado, pero esto casi nunca se hace. Si la factorizacin fuera verificada en esa forma, podramos argumentar que estamos generalizando aritmtica.

Pero de hecho, al estudiante generalmente se le pide que lo verifique multiplicando los binomios, es decir, usando exactamente el mismo procedimiento extenso que se emple inicialmente para obtener la respuesta. Es absurdo verificarlo de esta manera en cada ocasin, pero en este tipo de problema, los estudiantes tienden a tratar las variables como smbolos sin algn nmero como referente. En la concepcin del lgebra como el estudio de las estructuras, la variable es algo ms que un smbolo arbitrario.

Aqu hay un dilema sutil. Queremos que los estudiantes tengan en mente los referentes (generalmente nmeros reales) de las variables mientras las usan. Pero tambin queremos que los estudiantes sean capaces de operar sobre las variables sin tener siempre que acudir al nivel del referente. Por ejemplo, cuando les pedimos a los estudiantes demuestren una identidad trigonomtrica como , no queremos que el estudiante piense en el seno o coseno de un nmero especfico, tampoco que las piense como funciones, ni tampoco nos interesan como razones en tringulos. Queremos simplemente manipular y en una forma diferente utilizando propiedades que son tan abstractas como la identidad que deseamos demostrar.

En este tipo de problemas, la fe se deposita en las propiedades de las variables, en las relaciones entre xs y ys y ns segn sean sumandos, factores, bases o exponentes. La variable se ha vuelto un objeto arbitrario en una estructura y se relaciona con la certeza que le brindan las propiedades de esa estructura. Es la visin de variable que se encuentra en el lgebra abstracta.

Se ha levantado mucha crtica en contra de la prctica en la que el smbolo impulsor domina las primeras experiencias algebraicas. Le llamamos manipulacin ciega cuando la criticamos; habilidades automticas cuando la ensalzamos. Finalmente todos deseamos que los estudiantes tengan suficiente facilidad para manejar los smbolos algebraicos de manera abstracta mediante las habilidades apropiadas. La pregunta clave es, qu constituye suficiente facilidad?

Es irnico que las dos manifestaciones de este uso de variable teora y manipulacin, frecuentemente ven como campos opuestos al establecer las polticas para el currculo de lgebra, aquellos que estn a favor de la manipulacin por un lado, y los que estn a favor de la teora por el otro. Ambos emergen de la misma visin de variable.

Variables en ciencias computacionales

En ciencias computacionales, el lgebra toma una apariencia ligeramente distinta de la que tiene en matemticas. Hay a menudo una sintaxis diferente. Mientras que en el lgebra ordinaria, sugiere una ecuacin sin solucin, en BASIC la misma expresin comunica el reemplazo de un lugar particular de almacenamiento en una computadora, aumentado mediante el nmero 2.Este uso de la variable, ha sido identificada por Davis, Jockuch y McKnight (1978, p.33):

Las computadoras nos dan otra visin del concepto matemtico bsico de variable, Desde el punto de vista de la computadora, el nombre de variable puede pensarse como la direccin de algn registro de memoria especfico, y el valor de la variable puede considerarse como los contenidos de este registro de memoria.

En ciencia computacional las variables a menudo se identifican como cadenas de letras y nmeros. Esto transmite una sensacin diferente y es el resultado natural de un escenario diferente para la variable. Las aplicaciones computacionales tienden a involucran grandes nmeros de variables que pueden representar muchas clases diferentes de objetos. Tambin las computadoras estn programadas para manipular las variables, as que no tenemos que abreviarlas con el fin de facilitar la tarea de una manipulacin ciega.

En ciencia computacional los usos de variables cubren todos los usos que hemos descrito para ellas. Queda todava la generalizacin de la aritmtica. El estudio de los algoritmos es un estudio de procedimientos. De hecho, existen cuestiones tpicas en lgebra que se prestan, por s mismas, a un pensamiento algortmico:

Empiece con un nmero. Adale 3. Multiplquelo por 2. Reste 11 del resultado...

En programacin uno aprende a considerar la variable como un argumento mucho ms rpido que como se acostumbra en lgebra. Por ejemplo, con el fin de establecer arreglos, se requiere algn tipo de notacin funcional. Y finalmente, dado que las computadoras han sido programadas para ejecutar manipulaciones con smbolos sin ningn referente para ellas, la ciencia computacional se ha vuelto un vehculo a travs del cual los estudiantes aprenden sobre las variables (Papert 1980). Con el tiempo, a raiz de esta influencia, es probable que los estudiantes aprendern muchos usos de variables mucho ms pronto que como lo hacen en la actualidad.

Resumen

Las diferentes concepciones del lgebra estn relacionadas con los diferentes usos de las variables. He aqu un resumen sobre-simplificado de tales relaciones:

Concepciones de lgebraUso de Variables

Aritmtica generalizada Generalizadoras de patrones (traduce, generaliza)

Medio para resolver ciertos problemas Incgnitas, constantes (resuelve, simplifica)

Estudio de relaciones Argumentos, parmetros (relaciona, grafica)

Estructura Caracteres arbitrarios escritos (manipula, justifica)

Al principio de este artculo se mencionaron dos asuntos concernientes a la instruccin algebraica. Dada la discusin anterior, ahora es posible interpretar estos asuntos como una cuestin de relativa importancia para ser tratada a varios niveles de estudio para diversas concepciones.

Por ejemplo, considere el asunto de las habilidades manipulativas con lpiz y papel. En el pasado, se deban tener esas habilidades a fin de resolver problemas y para estudiar funciones y otras relaciones. Hoy en da, con computadoras capaces de simplificar expresiones, resolver enunciados y graficar funciones, lo que hay que hacer con las habilidades manipulativas se torna importante para el lgebra cuando sta se ve como estructura, o como el estudio de caracteres arbitrarios en papel, o como el estudio de relaciones arbitrarias entre smbolos. Hoy en da la visin que prevalece parece ser que ste no debiera ser el criterio principal (y ciertamente no el nico) por el cual se determina el contenido del lgebra.

Considere el asunto del papel de las ideas de funcin en el estudio del lgebra. Es otra vez un asunto de relativa importancia en la visin del lgebra como el estudio de las relaciones entre cantidades, en la cual la manifestacin predominante de la variable es como argumento, comparada con otros papeles del lgebra; como aritmtica generalizada o como una proveedora de recursos para resolver problemas.

Por lo tanto, algunos de los asuntos importantes en la enseanza y el aprendizaje del lgebra pueden cristalizarse colocndolos en el marco de concepciones y uso de variables, concepciones que han cambiado a raz de la explosin en los usos de las matemticas y la omnipresencia de computadoras.

Ya no vale la pena categorizar el lgebra solamente como aritmtica generalizada, porque es mucho ms que eso. El lgebra permanece como un vehculo para resolver ciertos problemas pero ciertamente es ms que eso. Provee los mecanismos por medio de los cuales se pueden describir y analizar relaciones. Y es la clave para la caracterizacin y entendimiento de las estructuras matemticas. Dados estos recursos y el incremento en la matematizacin de la sociedad, no hay sorpresa en que el lgebra es hoy el rea principal de estudio en las matemticas de la escuela secundaria y esta preminencia es probable que se quede por mucho tiempo.

Referencias:

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Secuencia de Actividades

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Traducido y editado por: Martha Cristina Villalba, Ana Guadalupe Del Castillo y Maricela Armenta Castro.

Usiskin, Zalman, en 1988 NCTM Yearbook. Visitado en 2006 en

http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/algebra/

Elaboracin de los Materiales:

Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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