Conductance d’un circuit quantique

Conduction quantique et Physique mésoscopique, cours 3 PHY 560B Gilles Montambaux users.lps.u-psud.fr/montambaux 18/12/2015

122 1

1( ) 2 2

dd F

bal F dxk WeW

hAe vG ρ ε

π+−

−

− = =

11 22 ( ) 2

2e

ddF

ddiff Fk WW e lD

LAe

h LG ρ ε

π

−− = =

2

1

1

Int2 2

dF

q dk We

hAG

π

−

−

=

F eD v ld

=

Loi d’Ohm

Coefficient de diffusion

Conductance de Sharvin (balistique)

Conductance balistique quantifiée

à vérifier plus tard

L

L

W

W

3

Qu’est ce que la conductance ?

Landauer-Büttiker : conductance = transmission

anneau métallique contact atomique nanotube

Gaz 2D graphène réseau de fils

4

On mesure une conductance et pas une conductivité La conductance dépend de la façon dont on la mesure

B

Formule de Landauer

Conductance = Transmission

2

2 eG Th

=

Formalisme de Landauer-Büttiker

R. Landauer (1927-1999)

M. Büttiker (1950-2013)

ici, d=2

1V 2V

1V 2V2

2 2

eFk W lGh Le

ππ

=

2

2 Fk WeGh π

=

G = ∞

Loi d’Ohm

conductanceI G V=

Un conducteur parfait a une résistance finie !!!??? et pourtant, pas de chute de potentiel dans l’échantillon !

I

I

7

Le fil 1D

Réservoir Contact Terminal

1V 2V

Le transport électronique entre les deux réservoirs est équivalent à la transmission d’une onde à travers une barrière de potentiel

Fil d’amenée (lead)

diffuseur

Exemple : nanotube de carbone

1 1eVµ µ= −2 2eVµ µ= −

8

Le fil 1D

Réservoir Contact Terminal

1V 2V

Hypothèses : •Un réservoir absorbe les électrons et les renvoie à un potentiel chimique et une température donnés. • Pas de relation de phase entre les électrons qui entrent et sortent dans chaque réservoir. •Le diffuseur est élastique. • La résistance des réservoirs est négligeable devant celle du fil.

Fil d’amenée (lead)

diffuseur

Problème de mécanique quantique 1D

1 1eVµ µ= −2 2eVµ µ= −

Le fil 1D

1V 2Vdiffuseur

Problème de mécanique quantique 1D Courant porté par un électron dans un état k : kevj T

L= −

1 1eVµ µ= −2 2eVµ µ= −

1 20

2 ( )[ ( ) ( )]eI T f eV f eV dh

ε ε ε ε∞

= − + − +∫

En sommant sur tous les états :

( Résultat remarquable, la vitesse a disparu ) cf. tableau

T (ε ) : coefficient de transmission

Le fil 1D

1V 2Vdiffuseur

Régime linéaire :

1 1eVµ µ= −2 2eVµ µ= −

2

0

2 ( )e fG T dh

ε εε

∞ ∂= −

∂∫Basse température :

22 ( )FeG Th

ε=2

1/(25812,807 )eh

= Ω

cf. tableau

Quantum de conductance

11

Le fil 1D

1V 2Vdiffuseur

22 ( )FeG Th

ε=Formule de Landauer

Pas de diffuseur (conductivité infinie ?)

22eGh

=

Conductance finie et quantifiée !!!

12

1V 2V

Où est la chute de potentiel ? Où la puissance est-elle dissipée ? Comment mesurer la conductance du diffuseur lui-même ?

22eGh

=

Le conducteur parfait a une conductance finie et quantifiée !!!

I

Profil de potentiel chimique

Pas de résistance dans l’échantillon Résistance « de contact » Puissance dissipée dans les contacts

124

mV V hI e−

= =cR

22

1 22 ( )eP V Vh

= −

cf. tableau

14

Fils d’amenée et réservoirs

Institut Néel

Université de Bâle

15

résistance « 2 terminaux » et résistance « 4 terminaux »

16

4 vs. 2 terminaux

1V 2V

2

1 22 ( )eI V Vh

= − ( ) ( )A BI V V −∞=

AV BV

Si échantillon parfait, VA=VB

2

2 2 eGh

= 4G = ∞

I

17

4 vs. 2 terminaux

1V 2V

22 1( )I G V V= − 4 ( )A BI G V V= −

AV BV

Si diffuseur, VA=VB

2

2 2 eG Th

= 4 ???G =

diffuseur

1µ

2µ

T = 1

T < 1

AµBµ

1µ

2µ

Profil de potentiel chimique

cf. tableau

4 vs. 2 terminaux

1V 2V

2

1 22 ( )eI T V Vh

= −2

2 ( )A Be TI V Vh R

= −

AV BV

2

2 2 eG Th

=2

4 2 e TGh R

=

conductance « 2 terminaux » conductance « 4 terminaux »

cf. tableau

1 2( )A B Rµ µ µ µ− = −

1 2A A B BV V V V V VI I I− − −

= + +2R

= + +2 c 4 cR R R R

La résistance « 2fils » est l’addition en série de la résistance « 4fils » et des deux résistances de contact

T < 1

AµBµ

1µ

2µ

cf. tableau

2

2 2 eG Th

=

2

4 2 e TGh R

=

S. Tarucha et al., Sharvin resistance and its breakdown observed in long ballistic channels Phys. Rev. B 47, 4064 (1993)

L < le L > le

22

Four terminal resistance of a ballistic quantum wire (2001)

R. De Picciotto et al., Four terminal resistance of a ballistic quantum wire, Nature 411, 51 (2001)

« cleaved-edge overgrowth »

23

1V 2V

Source Drain

1V 2V

Source Drain

4G = ∞

2

BVAV

2

2

2 2 eGh

=

3 1

La résistance « 2 fils » est quantifiée la résistance « 4 fils » est nulle

25

Transmission et matrice de « scattering »

i

11 12

21 22

s sS

s s

=

o i’

o’

'' ' ' '

o i r t iS

o i t r i

= =

2T t= 2R r=

Propriétés de la matrice de scattering

† 1S S =

( )ij jis B s B( ) = −( )tS B S B( ) = −

Conservation du courant ( unitarité )

Invariance par renversement du sens du temps

1T R+ =

i

o i’

o’

calcul tableau