conjunto s

Anotacoes sobre conjuntosRodrigo Carlos Silva de Lima

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1

Sumario1 Conjuntos

4

1.1

Denicoes basicas e operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Axiomas ZF C para teoria dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Axioma da existencia do conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Axioma da extensao e igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Axioma da compreensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.4

Intersecao de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.5

Axioma do par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.6

Axioma da uniao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.7

Denicao da uniao de dois conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.8

Relacao de inclusao-Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.9

O vazio e subconjunto de todo conjunto . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.10 Subconjunto proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.11 Nenhum conjunto e elemento de si mesmo. . . . . . . . . . . . . . . 111.2.12 Conjunto universo U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.13 Axioma da potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.14 Propriedades da uniao de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.15 Conjunto das partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.16 Subconjuntos , igualdade e logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.17 Intersecao de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.18 Conjuntos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.19 Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.20 E \ F = E F c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.21 Diferenca simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

SUMARIO

1.3

3

Propriedades das operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1

Leis de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4

Particoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5

Conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26(B Iy ) = B (Iy ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1yY

1.5.2

yY

B \ (B A) = B (R \ A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6

Conjuntos crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7

Conjuntos e funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Captulo 1Conjuntos1.1

Definicoes basicas e operacoes

O objetivo aqui e dar nocoes intuitivas sobre teoria dos conjuntos e nao apresentaruma formulacao rigorosa. Entao o nosso objetivo e a teoria ingenua dos conjuntos.

m Definicao

1. Usaremos como uma primeira aproximacao de um conjunto a ideia de

colecao de objetos que sao chamados seus elementos, um conjunto sendo visto como umaentidade unica . Denotamos, geralmente, conjuntos por letras maiusculas A, B, C e elementos por

letras minusculas. Para dizer que a e um elemento de A escrevemos a A, nesse caso dizemos que a

pertence à A , para dizer que a nao e elemento de A escrevemos a / A, nesse casodizemos que a nao pertence à A. Iremos considerar a existencia e unicidade de um conjunto que nao possui elementos,

denotaremos tal conjunto como ou {} e diremos que e o conjunto vazio . Podemos denotar um conjunto escrevendo seus elementos entre chaves {, }, ou dando

a propriedade que seus elementos satisfazem. A notacao entre chaves sera chamadade notacao de lista.4

CAPITULO 1. CONJUNTOS

5

Um conjunto A ca denido, determinado ou caracterizado quando se da uma regra

que permita decidir se um objeto arbitrario x e ou nao elemento de A. Podemosdenir alguns conjuntos assumindo uma propriedade P e tomar{x | x possui propriedade P }. Algumas vezes um conjunto A pode ser denido com elementos de outro conjunto

E que satisfazem certa propriedade P , podemos denotar A da seguinte maneiraA = {x E | x possui propriedade P }. No item acima, se nenhum elemento de E possui a propriedade P , entao A e o

conjunto vazio . Diferenciamos um elemento x do conjunto {x} cujo unico elemento e x, sendo entes

de natureza distintas. Entao temos por exemplo com x = que e diferente de{}.Apresentamos uma lista de axiomas para teoria dos conjuntos chamada de ZF C . EmZF C, as duas primeiras letras se referem aos nomes dos matematicos Ernst Zermelo eAbraham Fraenkel, sendo C para denotar o axioma da escolha, choice em ingles. Talsistema e um dos modos propostos para formular a teoria dos conjuntos sem paradoxosque poderiam ser obtidos na teoria ingenua dos conjuntos. Tal sistema e consideradocomo fundamentacao mais comum da matematica.

1.21.2.1

Axiomas ZF C para teoria dos conjuntosAxioma da existencia do conjunto vazio

Axioma 1 (Axioma da existencia). Existe um conjunto que nao possui elementos .

1.2.2

Axioma da extensao e igualdade de conjuntos

Axioma 2 (Axioma da extensao). Dois conjuntos sao iguais possuem os mesmoselementos . Um conjunto e determinado pelos seus membros. Se cada elemento de um


6

conjunto X e elemento de um conjunto Y e cada elemento de Y e um elemento do conjuntoX entao, X e Y sao o mesmo conjunto, o que denotamos por X = Y .Tal axioma tambem chamado de axioma da extensionalidade ou determinacao . Emsmbolosxy(z(z x z y) x = y).Se dois conjuntos X e Y sao iguais denotamos tal fato por X = Y . Caso A = B, A e Bconjuntos, entao A e B sao simbolos para representar o mesmo conjunto.

Z Exemplo 1. Conjuntos da forma A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 1}, sao iguais poiscontem os mesmos elementos, nao importa entao a ordem em que se escreve na notacaoem lista.Os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 1, 2, 3} tambem sao iguais, pois ambos possuemapenas os elementos 1, 2 e 3, nao importa se repetimos um elemento.Usando o axioma da extensao podemos provar que existe apenas um conjunto semelementos.

b Propriedade 1. Existe apenas um conjunto sem elementos. Demonstracao. Suponha que A e B sao conjuntos sem elementos, vamos mostrarque A = B . Vale quex A x B,pois se nao fosse assim, haveria x A tal que x / B, porem A nao possui elementos,entao ca provado por absurdo . De outro modo: uma proposicao de implicacao comantecedente falso ( x A) e uma proposicao verdadeira.

m Definicao

2 (Conjunto vazio ). Existe portanto um unico conjunto que nao possui

elementos, o chamamos de conjunto vazio e denotamos por .

1.2.3

Axioma da compreensao

Axioma 3 (Axioma da compreensao ). Seja P (x) uma propriedade de x . Para cadaconjunto A existe um conjunto B tal que x B x A e vale P (x) . Para cada


7

propriedade P temos um axioma que garante a existencia de um conjunto B tal que oselementos de B sao determinados como elementos de A que satisfazem a propriedade P .

b Propriedade 2 (Unicidade de conjunto denido pelo axioma da compreensao). Paracada conjunto A existe apenas um conjunto B tal quex B x A e vale P (x). Demonstracao. Se B e outro conjunto tal que x B x A e vale P (x),entao x B x B , logo B = B pelo axioma da extensao .Agora podemos introduzir um nome para o unico conjunto B denido com elementosde A que satisfazem P (x).

m Definicao

3. Denotamos por {x A | P (x)} o unico conjunto de todos x A tais

que P (x) vale .

b Propriedade 3. {x |P (x)} = . Demonstracao. {x |P (x)} = e o conjunto de todos x tais que vale P (x)porem nao possui elementos e da {x |P (x)} e vazio .

1.2.4

Intersecao de conjuntos

b Propriedade 4. Se A e B sao conjuntos, entao existe um conjunto simbolizado porA B, tal que x A B x A e x B . Tal conjunto e chamado de intersecao de AeB. Demonstracao.Considere a propriedade P (x), x B. Pelo axioma da compreensao existe um conjuntoA B tal que x A B x A e vale P (x), isto e, x B.

1.2.5

Axioma do par

Axioma 4 (Axioma do par). Para cada A e B conjuntos existe um conjunto C tal quex C x = A ou x = B, isto e , A C e B C e nenhum outro elemento .


8

b Propriedade 5. O conjunto C denido na propriedade anterior e unico . Demonstracao. Suponha outro conjunto C = {A, B} entao C e C possuem osmesmos elementos , logo sao o mesmo conjunto.

m Definicao

4 (Par nao ordenado). Denimos o par nao ordenado de A e B como o

conjunto contendo exatamente A e B como elementos e o denotamos por {A, B} . SeA = B o denotamos por {A}.

Z Exemplo 2. Se A = = B entao{} = {, },sendo um conjunto tal que {}, x {} x = .{} possui um unico elemento , que e o conjunto vazio . Observamos tambem que{} = ,pois {} e / , pois nao possui elementos.

Z Exemplo 3. Se A = e B = {} entao {, {}} e {} {, {}} . Temos que e {} sao os unicos elementos de {, {}} . Tem-se que = {, {}} e {} = {, {}} .

1.2.6

Axioma da uniao

Axioma 5 (Axioma da uniao). Para cada conjunto S, existe um conjunto U tal quex U x A para algum A S

b Propriedade 6. Um conjunto denido pelo axioma da uniao e unico . Demonstracao. Seja U outro conjunto tal que x U x A para algumA S, da cada elemento de U e elemento de U , pois a denicao de um elementopertencer a U e a mesma que para U , da mesma forma todo elemento de U e elementode U pela denicao, portanto U e U possuem os mesmos elementos logo sao conjuntosiguais.


m

9

Definicao 5. O conjunto U denido pelo axioma da uniao e denotado por

S.

Dizemos que S e um sistema de conjuntos ou uma colecao de conjuntos.

Z Exemplo 4. Seja S = {, {}}, seus elementos sao A

1

= , A2 = {} o unico

desses que possui elemento e A2 entao formamos U com esse elementoU = {}.

b Propriedade 7.

= .

Demonstracao. Vamos provar que

e vazio . Suponha que nao, entao existe

A tal que x A, o que e absurdo pois nao possui elemento.

1.2.7

Definicao da uniao de dois conjuntos

6 (Uniao de dois conjuntos). Se M e N sao conjuntos x {M, N } x M ou x N, o conjunto {M, N } e chamado de uniao de M e N e denotado por

m DefinicaoM N.

1.2.8

Relacao de inclusao-Subconjuntos

m Definicao

7 (Relacao de inclusao-Subconjuntos). Dizemos que A e subconjunto de

B, e denotamos tal fato como A B quando a A tem -se a B. A negacao de A Be: existe a A tal que a / B, nesse caso escrevemos A B, em palavras, existe umelemento a A que nao e elemento de B, entao para mostrar que nao vale a inclusaobasta mostrar tal elemento .Se A B entao podemos ler tambem como: A e parte de B. A esta includo em B . A esta contido em B .

Um subconjunto de A tambem pode ser chamado de parte de A.


10

$ Corolario 1. x A {x} A.$ Corolario 2 (Reexividade). A A.1.2.9

O vazio e subconjunto de todo conjunto

$ Corolario 3. B conjunto B. O conjunto vazio e subconjunto de qualquerconjunto B, pois se nao fosse existiria algum elemento a no vazio tal que a / B, o que eabsurdo pois o conjunto vazio nao possui elementos.

b Propriedade 8 (Transitividade da relacao de inclusao).

Se A B e B C entao

A C. Demonstracao. Dado qualquer a A tem-se a B e da por B C tem-sea C, como a e arbitrario tem-se A C.

Z Exemplo 5.

1. {} {, {}} e tambem {{}} {, {}}

2. {x A | P (x)} A, pois todo elemento de {x A | P (x)} pertence a A pordenicao .3. Se A S entao A

S.

Seja x A vamos mostrar que x

S, pelo axioma da uniao x

SxA

para algum A S, entao a propriedade vale.

b Propriedade 9 (Propriedade anti-simetrica). A B e B A A = B .A condicao de se A B e B A entao A = B e dita propriedade anti-simetrica . Demonstracao. ). Se temos A B e B A entao todo elemento de A eelemento de B e todo elemento de B e elemento de A.) . Se A = B entao todo elemento de A e elemento de B, logo A B , tambem,todo elemento de B e elemento de A logo B A.


1.2.10

11

Subconjunto proprio

m Definicao

8 (Subconjunto proprio). Quando A B e tem-se B A dizemos que A

e subconjunto proprio Axioma 6 (Axioma da regularidade). Todo conjunto X nao vazio, possui um elementoY , tais que X e Y sao conjuntos disjuntos .

x[y(y x) y(y x z(z x z y)].

Z Exemplo 6. Seja X = {, {}}. Os elementos de X sao Y

1

= e Y2 = {}. X e

Y2 = {} possuem um elemento em comum , porem X e Y1 = nao possuem elementoem comum, logo sao disjuntos.

1.2.11

Nenhum conjunto e elemento de si mesmo.

b Propriedade 10. Nenhum conjunto e elemento de si mesmo. Demonstracao. Seja A um conjunto. Pelo axioma do Par, existe o conjunto{A}. Pelo axioma da regularidade, existe elemento de {A} disjunto dele. Como o unicoelemento de {A} e A, entao A {A} = , porem temos que A {A} e da nao podemoster A A, pois se assim fosse, tanto {A} teria o elemento A, tanto quanto A (de A A)e da nao valeria A {A} = , pois conjuntos disjuntos nao possuem elemento em comum.

$ Corolario 4. Nao podemos ter X = {X}, pois da X seria elemento de si mesmo.

b Propriedade 11. Dados conjuntos X e Y , nao podemos ter X Y

e tambem Y X

. Demonstracao. Pelo axioma do Par, existe o conjunto {X, Y }. Pelo axioma daregularidade, existe elemento de {X, Y } disjunto dele. Como od unico elemento de {C, Y }sao X e Y , suponha sem perda de generalidade que seja X, entao X {X, Y } = , poremtemos que Y {Y, X} e da nao podemos ter Y X, pois se assim fosse, tanto {Y, X}teria o elemento Y , tanto quanto X e da nao valeria X {X, Y } = , pois conjuntosdisjuntos nao possuem elemento em comum.


1.2.12

12

Conjunto universo U

m Definicao

9 (Conjunto universo U ). Em algumas aplicacoes de teoria dos conjuntos,

xamos um conjunto U e nos focamos apenas em seus subconjuntos. O conjunto U variapor tema de estudo sendo chamado de conjunto universal o conjunto{x | x U, x satisfaz P },onde P e uma propriedade, pode ser denotado por{x | x satisfaz P },quando o conjunto universo U e conhecido pelo contexto .

Z Exemplo 7 (Variel muda). Na notacao de conjunto a variavel e muda, independese usamos x, y, z ou outra variavel para denotar o conjunto{x | x U, x satisfaz P } = {z | z U, z satisfaz P }.

1.2.13

Axioma da potencia

Axioma 7 (Axioma da potencia). Para cada conjunto S, existe um conjunto P tal quex P x S. Tal conjunto P e chamado de conjunto das partes de S, denotado porP (S) .

b Propriedade 12. O conjunto das partes e unico . Demonstracao.

1.2.14

m

Propriedades da uniao de conjuntos

Definicao 10 (Uniao). Ja denimos uniao de conjuntos ao apresentar axioma da

uniao, aqui relembramos a denicao da uniao de dois conjuntos e demonstramos propriedades sobre uniao. Dados dois conjuntos A e B, denimos a uniao A B como oconjuntoA B = {x A ou x B}


13

e o conjunto formado por elementos dos dois conjuntos A e B. Lembrando que o ouusadoem matematica, nao e exclusivo, isto e se x A e x B entao x A ou x B, oouusado em matematica nao exclui a possibilidade das duas proposicoes ligadas peloconectivo logicou ou, serem verdadeiras.

$ Corolario 5. Vale que A A B pois x A tem-se x A B.$ Corolario 6. Vale que A = A pois A A e A A.$ Corolario 7 (Idempotencia da uniao). A A = A.$ Corolario 8. A B = B A.

b Propriedade 13. Dados A e B, seja X com as propriedades A X, B X. Se A Y e B Y entao X Y .

Nessas condicoes X = A B, a uniao A B e o menor conjunto com subconjuntos Ae B. Demonstracao.A primeira condicao implica que A B X. A segunda condicao com Y = A Bimplica X A B. Das duas segue que A B = X.

b Propriedade 14 (Associatividade da uniao de conjuntos). Sendo A, B e C conjuntosquaisquer, vale que(A B) C = A (B C). Demonstracao. Vamos mostrar que (A B) C A (B C) inicialmente,depois a outra inclusao .Seja x (A B) C. Se x C entao x B C e da x A (B C). Se x /Centao x A B, nessa condicao se x / B entao x A e da x A (B C), se x Bentao x A (B C), entao a inclusao vale em qualquer dos casos.


1.2.15

14

Conjunto das partes

m Definicao

11 (Conjunto das partes). Dado um conjunto A, denotamos por P (A) o

conjunto (que iremos supor que existe), cujos elementos sao os subconjuntos de A.

$ Corolario 9. Dado um conjunto A, entao P (A) nunca e vazio pois e subconjuntode A e P (A), alem disso P (A) possui pelo menos dois elementos pois A A entaoA P (A).

Z Exemplo 8.

Se A = entao P (A) = {}, pois o unico subconjunto do vazio

e ele mesmo, se houvesse outro subconjunto ele teria um elemento, mas o vazio naopossui elementos. Se A = {1} entao P (A) = {, 1}.

m Definicao

12 (Numero de elementos de um conjunto). Para simbolizar o numero de

elementos de um conjunto A usamos |A|. O intuito aqui nao e dar uma denicao rigorosado numero de elementos de um conjunto, tal tentativa e feita no texto sobre conjuntosenumeraveis .

b Propriedade 15. Seja |A| = n entao |P (A)| = 2n. Demonstracao. Por inducao sobre n, se n = 1, entao A = {a1 } possui doissubconjuntos que sao e {1 }. Suponha que um conjunto qualquer B com n elementostenha |P (B)| = 2n , vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica|P (C)| = 2n+1 . Tomamos um elemento a C, C \ {a} possui 2n subconjuntos (porhipotese da inducao), sk de k = 1 ate k = 2n , que tambem sao subconjuntos de C, porempodemos formar mais 2n subconjuntos de C com a uniao do elemento {a}, logo no totaltemos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois nao temosnenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

1.2.16

b

Subconjuntos , igualdade e logica

Propriedade 16. Sejam X e Y subconjuntos de um conjunto universo U , P e Q

propriedades que denem X e Y em U respectivamente, entao


15

1. x satisfaz P x satisfaz Q X Y.2. x satisfaz P x satisfaz Q X = Y. Demonstracao.1. Seja a X entao a satisfaz a propriedade P e da a satisfaz Q, sendo elemento deU entao a Y , como a foi tomado arbitrario em X temos X Y .2. Usamos duas vezes a implicacao anterior, o que nos garante X Y e Y X daiX = Y.

1.2.17

m

Intersecao de conjuntos

Definicao 13 (Interseccao). Dados dois conjuntos A e B, denimos a Interseccao

A B como o conjuntoA B = {x A e x B}e o conjunto formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos A e B.

$ Corolario 10. A B = B A.

b Propriedade 17. A B A, pois a A B a A e a B.$ Corolario 11. A = pois A .

b Propriedade 18. A B e o menor subconjunto de A e B.Seja X com XAeXB Se Y A e Y B entao Y X.

Nessas condicoes X = A B. Demonstracao. Da primeira condicao temos que X A B. Da segundatomando Y = A B, que satisfaz Y A e Y B, entaoAB Xlogo pelas duas inclusoes A B = X.


1.2.18

16

Conjuntos disjuntos

m Definicao

14 (Conjuntos disjuntos). A e B sao conjuntos disjuntos se A B = .

Neste caso nao existe elemento que pertenca aos dois conjuntos, isto e, nao existe x talque x A e x B, pois caso contrario ele nao seria vazio .

b Propriedade 19. Sejam A, B E. entaoA B = A Bc. Demonstracao. Temos que E = B B c onde B B c = .).Suponha por absurdo que A B = e nao vale A B c , entao existe a A tal quea/ B c e por isso a B, mas da A B = absurdo.).Suponha a A B entao a A B c e a B o que e absurdo pois B e B c saodisjuntos.

$ Corolario 12. Vale que A B = E Ac B.PoisA B = E Ac B c = pelo resultado anteriorB c (Ac )c Ac B.| {z }A

$ Corolario 13. Sejam A, B E. A B A B c = .Sabemos que A W = A W c por resultado que ja mostramos, tomandoW = B c temos o resultado que desejamos.

Z Exemplo 9. De exemplo de conjuntos A, B, C tais que(A B) C = A (B C).Sejam A = B = e C tal que C A = . Entao(A B) C = A C = = A (B C) = A = A.


17

b Propriedade 20. Se A, X E tais que A X = e A X = E entao X = Ac. Demonstracao. Pelo que ja mostramos A X = entao X Ac . De A X = Etemos Ac X, como temos Ac X e X Ac entao tem-se a igualdade X = Ac .

b Propriedade 21. Se A B entao B (A C) = (B C) A C.Se existe C tal que B (A C) = (B C) A entao A B. Demonstracao. Vamos mostrar a primeira armacao. Seja x B (A C),entao x B e x A C. Se x A entao x (B C) A e terminamos, se x / A entaox B e x C e terminamos novamente pois e elemento de B C.Agora a outra inclusao. Se x (B C) A entao x A ou x B C. Se x Aterminamos. Se x / A entao x B C e da pertence à B (A C) como queramosdemonstrar.Agora a segunda propriedade. Suponha por absurdo que A B entao existe x Atal que x / B, tal x pertence à (B C) A porem nao pertence à B (A C) portantonao temos a igualdade, absurdo!.

b Propriedade 22. Vale que A = B (A B c) (Ac B) = . Demonstracao.). Se (A B c ) (Ac B) = entao A B c = e Ac B = , logo por resultadosque ja provamos A B da primeira relacao e B A da segunda, portanto A = B.). Se A = B entao A B c = Ac B = .

b Propriedade 23. Vale que (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B). Demonstracao. Vamos provar as duas inclusoes.Seja x (A \ B) (B \ A). Tal uniao e disjunta, pois se houvesse um em ambosconjuntos, entao pelo primeiro x A, x / B pelo segundo x B, x / A absurdo.Se x A\B logo x A, x / B portanto x AB e x / AB logo x (AB)\(AB),o caso de x (B \ A) tambem implica inclusao por simetria (trocar A por B nao altera).Se x AB\AB entao x A ou x B e x / AB logo x / A e B simultaneamente,isso signica que x A ou x B exclusivamente logo x (A \ B) (B \ A).

b Propriedade 24. Se(A B) \ (A B) = (A C) \ (A C)


18

entao B = C, isto e, vale a lei do corte para AB = AC. Demonstracao. Suponha que B = C, suponha sem perda de generalidade quex B, x / C. Vamos analisar casos.Se x / A entao x / (A C) \ (A C) porem x (A B) \ (A B).Se x A entao x / A B \ (A B) e x (A C) \ (A C), portanto nao vale aigualdade dos conjuntos.Logo devemos ter B = C.

m Definicao

15 (Conjuntos disjuntos). Dois conjuntos A e B sao ditos disjuntos quando

A B = .

m Definicao

16 (Diferenca de conjuntos). Dados dois conjuntos A e B, denimos A\B

como o conjuntoA \ B = {x A , x / B}

m Definicao

17 (Complementar). Sendo A subconjunto de B denimos o complementar

de A em relacao a B como o conjuntoAc : B \ A.Normalmente xamos o conjunto B.

b Propriedade 25 (Idempotencia do complementar). Vale que (Ac)c = A. Demonstracao. x A x / Ac x (Ac )c .

b Propriedade 26. Vale queB = A Ac . Demonstracao. Ja sabemos que A Ac B, mostramos a outra inclusao, sex B e x A terminamos, se nao x Ac da vale a outra inclusao .

1.2.19

Produto cartesiano

m Definicao

18 (Produto cartesiano). Dados A e B o produto cartesiano A B e o

conjunto formado pelos pares ordenados (a, b), tais que a A e b B.


19

b Propriedade 27. Valem as seguintes propriedades do produto cartesiano .1. (A B) C = (A C) (B C).2. (A \ B) C = (A C) \ (B C).3. Se A A e B B entao A B A B . Demonstracao.1. Tomamos (x, y) (A B) C, entao x A e x B, y C, logo (x, y) A C e(B C) provando a primeira inclusao, agora a segunda.(x, y) (A C) (B C) entao x A e B, y C logo (x, y) (A B) C.2. Sendo (x, y) (A \ B) C entao x A, x / B e y C logo (x, y) (A C)e nao pertence à B C pois para isso seria necessario x B o que nao acontece.Agora a outra inclusao, se (x, y) (A C) \ (B C) entao x A e y / C poremx nao pode pertencer à B pois estao sendo retirados elementos de B C entao valea outra inclusao.3. Seja (x, y) A B entao pelas inclusoes A A e B B temos x A e y B portanto (x, y) A B .

b Propriedade 28.

1. (A B) C = (A C) (B C).

2. C (A B) = (C A) (C B). Demonstracao.1. Seja (x, y) (A B) C, temos que y C se x A entao (x, y) (A C), sex B entao (x, y) (B C) entao vale (A B) C (A C) (B C). Agoraa outra inclusao.Temos que (A C) (A B) C pois um elemento do primeiro e da forma (x, y)com x A e y C que pertence ao segundo conjunto, o mesmo para (B C).2. Seja (x, y) em C (A B), entao x C e y A ou B, se y A entao (x, y) C Ae da pertence a (C A) (C B), se y B camos no mesmo caso (x, y) C Be da pertence a (C A) (C B).


20

Agora a outra inclusao . Se (x, y) (C A) (C B) entao x C e y A ouy B , logo (x, y) C (A B).

b Propriedade 29. Vale que1.(

n

Ak ) C =

k=1

n

(Ak C), n N.

k=1

2.C (

n

Ak ) =

k=1

n

(C Ak ), n N.

k=1

Demonstracao. Provamos por inducao sobre n, para n = 1 a propriedade valetrivialmente para ambos casos. Supondo a validade para n, vamos provar para n + 1,1.

n+1

(

n

Ak ) C = (

Ak An+1 ) C =| {z }B| {z }k=1

k=1

A

= (A B) C = (A C) (B C) = ((

n

Ak ) C) (An+1 C) =

k=1

=

n

(Ak C) (An+1 C) =

n+1

(Ak C).

k=1

k=1

Como queramos provar.2.

n+1

C (

k=1

Ak ) = C (An+1 | {z }A

n

Ak ) =

| {z }k=1

B

= (C A) (C B) = (C An+1 ) (C

n

Ak ) = (C An+1 ) (

k=1

=

n

(C Ak ),

k=1

como queramos provar .

n

[C Ak ]) =

k=1


21

b Propriedade 30. Vale que(

n

Ak ) (

m

n m

Bj ) =

j=1

k=1

(Ak Bj ).

k=1 j=1

Demonstracao. Usamos os resultados anteriores(

n

k=1

Ak ) (

m

Bj ) =

j=1

| {z }

n

(Ak C) =

k=1

n

(Ak [

m

j=1

k=1

n mBj ]) =[ (Ak Bj )].k=1 j=1

C

b Propriedade 31. Vale que (S1 T1) (S2 T2) = (S1 S2) (T1 T2). Demonstracao. Vamos provar as duas inclusoes de conjunto. Seja z (S1 T1 ) (S2 T2 ) entao z = (x, y) onde (x, y) (S1 T1 ) e (x, y) (S2 T2 ) logo x S1 eS2 e y T1 e T2 logo (x, y) (S1 S2 ) (T1 T2 ).Seja agora z (S1 S2 ) (T1 T2 ) logo z = (x, y) com x S1 e S2 , y T1 e T2 ,(x, y) S1 T1 e S2 T2 entao segue a outra inclusao .

b Propriedade 32. Vale que(A B)c Ac B c . Demonstracao.Seja z Ac B c entao z = (x, y), x Ac e y B c , por isso x / Aey/ B o quegarante (x, y) / A B e da (x, y) (A B)c .

b Propriedade 33. Vale que(A B)c = (Ac B c ) (Ac B) (A B c ). Demonstracao.

1.2.20

E \ F = E F c.

Z Exemplo 10. Vale que E \ F = E F , pois x E \ F x E, x / F , logoc

x F c. x E F c x E e x / F.


1.2.21

m

22

Diferenca simetrica

Definicao

19 (Diferenca simetrica). Dados dois conjuntos A e B, a diferenca

simetrica entre eles e o conjunto denotado por AB, dado porAB = (A B) \ (A B).

$ Corolario 14. AA = , pois AA = (A A) \ (A A) = A \ A = .A = A, pois A = (A ) \ (A ) = A \ = A.

b Propriedade 34. AB = {a} A e B diferem pelo elemento a. Demonstracao.).Se AB = {a} entao a A B e a / A B, podemos supor que a B e a / A. Sehouvesse outro elemento b = a, b B e b / A entao b A B e b / A B, portantob AB, o que nao ocorre, da mesma maneira se fosse b A e b / B. Com issoconclumos que B = A {a}, A B.).Sendo B = A {a} com a / A, temos A B = B = A {a} e A B = A portantosegue AB = {a}.

1.3

Propriedades das operacoes

b Propriedade 35 (Distributividade). Valem as propriedades distributivas1.A (B C) = (A B) (A C)2.A (B C) = (A B) (A C).Para memorizar essas operacoes, podemos usar a distributividade da multiplicacao emrelacao a adicaoA(B + C) = AB + AC


23

e substituir em cada caso = , + = ou = , + = . Demonstracao.1. Vamos mostrar inicialmente que A (B C) (A B) (A C). Vale que x A ex B C, supomos sem perda de generalidade que x / B, x C entao x A C eterminamos. Agora vamos mostrar que (A B) (A C) A (B C). Vale quex A B ou x A C. Suponha sem perda de generalidade que x A B, entaox A e x B o que prova. Como valem as duas inclusoes entao vale a igualdadeentre os conjuntos.2. Vale A (B C) (A B) (A C). Seja a A (B C) entao a A oua B C. Se a A entao a A B e a A C logo pertence a intersecao , sea B C entao a B e a C da mesma forma o resultado segue.Vamos mostrar que (A B) (A C) A (B C). Vale a A B e a A C.Se a A a propriedade segue. Se a B e a / A entao a C, pois se nao a / ACcontrariando a hipotese, logo a B C e segue a inclusao que queramos mostrar.

1.3.1

Leis de De Morgan

b Propriedade 36.

Seja {Ak }kB uma colecao qualquer de subconjuntos de um con-

junto X, entao

(

Ak )c =

kB

(Ak )c .

kB

Demonstracao.x(Ak )c x / Ak k (caso fosse elemento de um dos conjunto seria elementokB

da uniao) x Ack k x

(Ak )c .

kB

$ Corolario 15. Seja {Ak }kB uma colecao qualquer de subconjuntos de um conjuntoX, entao

(

kB

Ak )c =

kB

(Ak )c ,


sabemos que(

24

Ack )c =

kB

(Ack )c =

kB

Ak

kB

agora aplicamos o complementar, de onde segue(

Ak )c =

kB

1.4b

(Ak )c .

kB

Particoes

Propriedade 37. Seja o conjunto de naturais em [0, np] com p > 0 natural, entao

podemos escrever a particao[0, np] = (

n1

[sp, sp + p 1]) {np}.

s=0

Demonstracao. Vamos mostrar que o segundo conjunto e uniao disjunta. SejaAs = [sp, sp + p 1] vamos mostrar que se As At = se s = t. Se s = t entao um delese maior, digamos t > s, temos dois conjuntos As = [sp, sp + p 1] e At = [tp, tp + p 1]como t > s temos que t s + 1 multiplicando por p, tp sp + p somando 1 ao ladoesquerdo tp + 1 > sp + p da tp > sp + p 1 logo tais conjuntos sao disjuntos. Da mesmamaneira np nao pertence a nenhum outro conjunto da uniao, pois caso contrario haverias tal que sp + p 1 np , (s + 1 n)p 1 mas o valor maximo de s + 1 = n que can n = 0 e a igualdade nao vale.Vamos mostrar agora que todo elemento do primeiro conjunto pertence ao segundo,seja entao v um numero natural em [0, np], se for v = np sabemos que pertence, sejaentao v = np, fazemos a divisao euclidiana de v por p, da v se escreve como v = qp + ronde 0 r < p e 0 q < n entao v pertence ao conjunto Aq = [qp, qp + p 1] que e umconjunto da uniao.Agora mostraremos que todo elemento do conjunto da direita (com uniao) pertenceao primeiro conjunto. Podemos ver claramente que np pertence ao primeiro conjunto,seja entao u um elemento da reuniao, como ela e disjunta sabemos que existe s tal queu [sp, sp + p 1], como u e inteiro, ele e da forma sp + r com 0 s < n e 0 r < pesse elemento seria no maximo np 1 < np e como e positivo ele pertence ao intervalo[0, np], entao termina a demonstracao.


25

$ Corolario 16. Podemos escrever uma particao desse modo para o conjunto [p, np],basta retirar de [0, np] o conjunto [0, p 1][0, np] = [0, p 1] (

n1

[sp, sp + p 1]) {np}

s=1

da[p, np] = (

n1

[sp, sp + p 1]) {np}.

s=1

b Propriedade 38. Se A =

Bk entao Bk A.

kC

Z Exemplo 11. De um exemplo de uma sequencia de conjuntos A

k

tal que Ak+1 Ak

para todo k natural, cada conjunto seja innito e

Ak = .

k=1

1 1111 1Seja Ak = ( , ), entao temos que Ak+1 Ak , (,) ( , ) poisk kk+1 k+1k k

1111 , se y > 0nn1existe n tal que < y, da conseguimos um intervalo An onde y nao esta contido.n

b Propriedade 39.

Seja A um conjunto com n elementos, entao P (A) possui 2n ele-

mentos. Demonstracao. Digamos que o numero de elementos de P (A) para A com nelementos seja g(n). P (A) esta em bijecao com o conjunto F (A, {0, 1}), logo contaremoso numero de elementos do conjunto F (A, {0, 1}) que e o conjunto de funcoes de A em{0, 1}. Se A possui 1 elemento {a1 }, entao existem as funcoes f1 (a1 ) = 0 e f2 (a1 ) = 1, logog(1) = 2, suponha entao que P (A) com n elementos tenha g(n) elementos, logo haverag(n) funcoes em F (A, {0, 1}), se adicionarmos 1 elemento {b} ao conjunto A, podemoster fk (b) = 0 ou fk (b) = 1, deixamos entao os outros pontos xos pela funcao f e teremosg(n)+g(n) = 2g(n), logo g(n+1) = 2g(n), com condicao inicial g(1) = 2 tem-se g(n) = 2n .


26

Z Exemplo 12. Existe uma sequencia de conjuntos Ainnito e

k

com Ak+1 Ak com cada Ak

Ak = .

k=1

Seja Ak = {x N | x k}. Temos que cada conjunto desses e innito e tambemAk+1 Ak , agora supondo por absurdo que exista um elemento y na intersecao, ele deveser um numero natural, pois a intersecao e de conjuntos de numeros naturais, se y pertencea intersecao entao y pertence a cada conjunto Ak , o que e absurdo pois y / Ay+1 = {x N | x y + 1}. Logo a intersecao e vazia

1.5

Conjuntos ordenados

m Definicao

20 (Ordem). Sejam A um conjunto e x, y, z A arbitrarios. Uma ordem

em A e uma relacao < que satisfaz as seguintes propriedades.TricotomiaVale apenas uma das relacoes x < y,

x = y,

y < x.

TransitividadeSe x < y e y < z entao x < z.x < y tambem pode ser escrito como y > x, sendo lido como x e menor que y ou y emaior que x.Dizemos que x y quando x < y ou x = y.

m Definicao

21 (Conjunto ordenado). Um conjunto A munido de uma ordem < e dito

um conjunto ordenado.Vamos considerar agora sempre conjuntos ordenados.Para as denicoes a seguir, considere B A.

m Definicao

22 (Conjunto limitado superiormente). Se existe c A tal que x c x

B, entao B e dito limitado superiormente.


m

Definicao

27

23 (Cota inferior). Qualquer c que satisfaca a propriedade anterior e

chamado de cota superior de B.

m Definicao

24 (Conjunto limitado inferiormente). Se existe v A tal que v x x

B, entao B e dito limitado inferiormente.

m

Definicao 25 (Conjunto limitado). Um conjunto A e dito limitado, quando ele e

limitado superiormente e inferiormente.

m

Definicao

26 (Cota inferior). Qualquer v que satisfaca a propriedade anterior e

chamado de cota inferior de B.

m Definicao

27 (Maximo). A possui maximo se existe y A tal que vale x y x A.

m Definicao

28 (Mnimo). A possui mnimo se existe z A tal que vale z x x A.

m Definicao

29 (Supremo). Seja A um conjunto limitado superiormente, tomamos o

conjunto B das cotas superiores de A. Se B possui mnimo x, chamamos tal elemento desupremo de A, ou menor cota superior e denotamos por x = sup A.

m

Definicao

30 (Inmo). Seja A um conjunto limitado inferiormente, tomamos o

conjunto B das cotas inferiores de A. Se B possui maximo x, chamamos tal elemento denmo de A, ou maior cota superior e denotamos por x = inf A.

m

Definicao

31 (Propriedade do supremo). Um conjunto ordenado A e dito ter a

propriedade do supremo, quando qualquer A B limitado superiormente possui supremo.

m Definicao

32 (Propriedade do nmo). Um conjunto ordenado A e dito ter a pro-

priedade do nmo, quando qualquer A B limitado inferiormente possui nmo.

b

Propriedade 40. Sejam A um conjunto ordenado com a propriedade do supremo

, B A nao vazio e B limitado inferiormente. Seja C o conjunto de todas as cotasinferiores de B, entao existe a = sup C em A e vale a = inf B.


28

Demonstracao. Como B e limitado inferiormente entao existe x A tal quex y y B. Entao x e cota inferior de B, implicando x C, logo C nao e vazio. C elimitado superiormente por qualquer elemento de B, logo C possui supremo , sup c = a.Vale tambem que a y y B, pois a e a menor das cotas superiores, entao a e cotainferior de B, sendo que vale tambem x a x C entao a e a menor das cotas inferiores,logo e o nmo de B.

1.5.1

(B Iy ) = B (

yY

(B Iy ) = B (

yY

Iy )

yY

Iy )

yY

B \ (B A) = B (R \ A)

1.5.2

1.6

Conjuntos crescentes e decrescentes

m Definicao

33 (Sequencia crescente de conjuntos). Uma sequencia (Ak ) de conjuntos

e dita crescente se Ak Ak+1 . Denotaremos sequencias desse tipo por An , escrevemosAn Ase An eA=

Ak .

k=1

Denimos nesses casos que A0 = .

m

Definicao 34 (Sequencia decrescente de conjuntos). Uma sequencia (Ak ) de con-

juntos e dita crescente se Ak Ak+1 . Denotaremos sequencias desse tipo por An ,escrevemosAn Ase An eA=

k=1

Ak .


1.7

29

Conjuntos e funcoes

b Propriedade 41. Se L e funcao denida em cada Ak ,kB

Ak ).

kB

Demonstracao. Seja L(x) L(j B, portanto L(x) L(Aj ), entaoL(

L(Ak ) = L(

k B, entao vale que

kB

Ak ), entao x

kB

Ak )

Ak , da x Aj para algum

kB

L(Ak ).

kB

Com isso ca provada a primeira inclusao. Agora a outra inclusao. Seja Y

L(Ak ),

kB

entao y L(Aj ) para algum j, da y = L(x), com x Aj , logo y = L(x) L(

kB

temos a segunda inclusao

kB

L(Ak ) L(

kB

Ak ).

Ak ) e

conjunto s

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elemento x do conjunto

conjunto vazio

igualdade de conjuntos

conjunto a ideia

sumario1 conjuntos

conjuntos crescentes

conjuntos disjuntos

teoria dos conjuntos