CONTROL INTELIGENTEConjuntos fuzzy

1

CONJUNTOS DIFUSOS

2

Los Conjuntos y la Logica difusa

1965: Propuestos por Lotfi A. Zadeh, University of California, Berkeley

70’s primeras aplicaciones (Mamdani) 80’s aplicaciones industriales. Operación de

un tren en Senday, Japon. 1986: Chip VLSI 90’s productos de consumo. Camaras,

lavadoras 1994: Toolbox de MatLab

3

Conjuntos Clasicos

Alguna propiedad de x determina su pertenencia al conjunto A

4

Conjuntos Clasicos

Tradicionalmente un conjunto (S) se caracteriza como:

El conjunto de numeros naturales menores que cinco

5

: 0,1A X

Conjuntos Difusos (1)

6

Conjuntos Difusos (2)

Perfil subjetivo

7

Conjuntos Difusos (3)

Un conjunto difuso (A) se caracteriza:

donde X es el universo de discurso, y µA la función de pertenencia.

Para cada elemento x, µA(x) es el grado de pertenencia al conjunto difuso A.

9

: 0,1A X

Conjuntos Difusos (4)

Habitualmente se utilizan funciones de pertenencia estándar cuya representación nos da una determinada forma.

Nos permite representar las funciones de forma compacta, a la vez que se simplifican los cálculos.

X

µA

Conjunto Triangular

X

µA

Conjunto Trapezoidal

10

Representacion de conjuntos fuzzy

Como una lista de pares pertenencia/elemento

Formula analitica para la funcion (grado) de pertenencia

1 1 , ,A A n nA x x x x

2

1

1A x x

x R

11

Definiciones basicas y terminologia

12

Confuntos fuzzy

Definicion formal :Un conjunto fuzzy A en X se expresa como un

conjunto de pares ordenados:

A x x x XA {( , ( ))| }

Universo oUniverso del discurso

Conjunto fuzzyFuncion depertenencia

(MF)

Un conjunto fuzzy esta completamentecaracterizado por una funcion de pertenencia

13

Conjuntos fuzzy con Universo Continuo

B = “cerca de 50 años de edad”X = Conjunto de numeros reales positivos (continuo)B = {(x, mB(x)) | x in X}

B xx

( )

1

150

10

2

15

Particion Fuzzy

Particion fuzzy formada por los valores linguisticos “young”, “middle aged”, y “old”:

lingmf.m

17

Propiedades Support Core Crossover

points a-cut

MF

X

.5

1

0Core

Crossover points

Support

a - cut

a

22

conjunto singleton

El conjunto singleton A

1 si ( )

0 en otro caso

s

A

x xx

0-1-2-3 1 2 3

28

El conjunto singleton es muy util en la construccion de sistemas

fuzzy

Operaciones con Conjuntos Fuzzy

30

Subconjunto de conjuntos fuzzy

Subconjunto:

A BA B

subset.m

Operaciones sobre conjuntos fuzzy

Complemento:

1 AAA X A x x

Operaciones sobre conjuntos fuzzy

Union:

C A B C (x) max A (x),B (x)

33

Operaciones sobre conjuntos fuzzy

Interseccion:

C A B C (x) min A(x),B(x)

34

Funciones de pertenencia tipicas

35

Funciones de pertenencia

MF Triangular:

trimf x a b cx ab a

c xc b

( ; , , ) max min , ,

0

36

Funciones de pertenencia

MF Trapezoidal:

trapmf x a b c dx ab a

d xd c

( ; , , , ) max min , , ,

1 0

37

Funciones de pertenencia

gaussmf x a b c ex c

( ; , , )

12

2

38

MF Gausiana:

Funciones de pertenencia

gbellmf x a b cx cb

b( ; , , )

1

12

39

MF Campana generalizada :

Conjuntos fuzzy multidimencionales

40

Conjuntos fuzzy multidimencionales

41

Extension cilindrica

42

Proyeccion 2D en X1

44

Proyeccion 2D en X2

45

Interseccion en el espacio producto carteciano

Una operación entre conjuntos fuzzy en dominios diferentesresulta en un conjunto fuzzy multidimensional

47

Operadores generalizados

49

Operadores generalizados

Complemento: NOT

Interseccion: AND

Union: OR

50

Complemento Fuzzy

requiremientos Generales:

Frontera: N(0) = 1 and N(1) = 0

Monotonicidad: N(a) > N(b) if a < b

Involucion: N(N(a)) = a

51

Aa

Complemento Fuzzy

negation.m

N aa

sas( )

1

1N a aw

w w( ) ( ) / 1 1

Complemento de Sugeno: Complemento de Yager:

53

Operadores generalizados

Las norma y conorma triangulares generalizan operaciones con conjuntos

Norma-T:

generaliza el concepto de intersección

Conorma-T:

generaliza el concepto de unión54

Norma-T: Interseccion Fuzzy

Cuatro ejemplos:

Minimo: Tm(a, b) = min(a,b)

Producto algebraico: Ta(a, b) = a*b

Producto acotado: Tb(a, b)

Producto drastico: Td(a, b)

56

Aa

Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy

Cuatro ejemplos:

Maximo: Sm(a, b) = max(a,b)

Suma algebraica: Sa(a, b) = a+b-a*b

Suma acotada: Sb(a, b)

Suma drastica: Sd(a, b)

59

Aa

Ley de DeMorgan Generalizada

Las normas-T y conormas-T son duales si soportan la generalizacion de la ley de DeMorgan:

T(a, b) = N(S(N(a), N(b)))

S(a, b) = N(T(N(a), N(b)))

Tm(a, b)Ta(a, b)Tb(a, b)Td(a, b)

Sm(a, b)Sa(a, b)Sb(a, b)Sd(a, b)

A B A B

A B A B

61

min-maxalgebraica

acotadadrastica

Algunos operadores generalizados

Norma-tConorma-t rango autor

Schweizer &Sklar [69]1 max 0, (1 a) p (1 b) p 1

1

p max 0, a p b p 1 1

p p ( ,)

a b (2 )ab

a (1 )abab

(1 )(a b ab) (0,) Hamacher [70]

min 1,(aw bw )1

w

1 min 1,((1 a)w (1 b)w )1

w

w (0,) Yager [72]

1

11

a 1

1

b 1

1

1

11

a 1

1

b 1

1

(0,) Dombi [74]

63

Fuentes

J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.

Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000

Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)

Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

64

Fuentes

R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999

René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.

Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000

L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994

65