Contact et frottement en mise en forme

A. Introduction :

Dans de nombreux systèmes mécaniques, les liaisons

mécaniques, les transmissions des efforts, les procédés

de transformation des matériaux (emboutissage,

découpage, usinage, forgeage), sont assurés par des

conditions de contact.

Le contact peut avoir lieu entre des solides déformables

ou entre solides déformables et contacteurs rigides.

B. Exemples :

1 - Forgeage 3D d’un cardon

Higher punch

Wokpiece

Die

Lower punch

2 - Découpage des tôles

Poin

çon

3 - Emboutissage des tôles

Tôle déformableMatrice rigide

Poinçon rigide

Serre-flanc rigide

4 - Matriçage d ’une bielle Lopin déformable

Outil rigide

( , , )Rigide

Déformable

1t

cn

C

M

h

2

1

2t

C. Cinématique du mouvement

Repère local au point de contact

cn

1t

2t

2u1u

Déplacement du solide 1

Déplacement de l’outil 2

Déplacement des obstacles

Gestion de contact

h1 h2h3

Points tangents

Points intérieurs Points tangents

Projection orthogonale sur la surface

Obstacle

Obstacle

CiblePoint tangent

tc

n un.uu

cn n.uu

c21 n.uuh

cnt n.uuu

Vecteur déplacement Déplacement normal Déplacement tangentiel

tc

n Rn.RR

cn n.RR

c

nt n.RRR

Vecteur réaction Réaction normale Réaction tangentielle

Distance entre pièce 1 et pièce 2

cn.R

Contrainte normale de la pièce déformable

D. Contact unilatéral et bilatéral

Contact peut avoir lieu :1. Entre solide déformable et contacteur rigide2. Entre deux solides déformables3. Entre deux parties du même solide

Contact peut être :1. Purement glissant (sans frottement)2. Avec frottement

Contact est :1. Bilatéral (zone de contact reste fixe au cours de la déformation)2. Unilatéral (zone de contact varie au cours de la déformation)

)rifiantlubouglissant(0(sec)1

1. Contact bilatéral :

Le contact est bilatéral si la condition de contact suivante est maintenue :

0n.uuh c12

2. Contact unilatéral (ou de SIGNIORI) :Les deux solides sont libres de se décoller si les réactions extérieuresvont dans ce sens (perte de contact) :

0hR0R0n.uuh nnc

21

1. Impénétrabilité : condition de contact cinématique

2. Non adhésion : condition de contact statique, le point M ne doit pascoller au solide (réaction toujours positive)

3. Non contact : condition de décollement cinématique, le point M setrouve à l’extérieur du solide décollement

0h

0R0h n

0R0h n

E. Lois de frottement

1. Loi de Coulomb

: coefficient de frottement de Coulomb entre la cible et le contacteur

nt RR

t

tnt u

uRR

Remarque : Il existe un seuil de déclenchement d’un phénomène irréversible

0u t

si glissement

0u t

si adhérence

nt RR

1,0 22t2

1tt RRR

tR

tu

nRglissement

adhérence

nR glissement

tR

tu

y : Contrainte d’écoulement et coefficient de Tresca

2. Loi de Tresca

3. Loi de Coulomb-Orowan

t

t

Py

t

tnt u

u3

m,uuRMinR

t

tt u

u3

mR

: Contrainte équivalent de von - Mises

4. Loi de Critescu

t

tP

yt u

u3

mR

1,0m

ntt R)u(fR

Remarque :1. Fonction de régularisation f(u) (discontinuité du déplacement au voisinage de 0)

1uf tulimt

avec

5. Loi de Norton-Hoff ptt uR

1p0 et est le coefficient de frottement de Norton-Hoff (en Pa)

0

tt u

uarctan2)u(f

Exemple de fonction de régularisation :

2. Loi de Norton-Hoff est très pratique pour les calculs enviscoplasticité

3. Loi de Coulomb-Orowan est difficile d’emploi, elle dépend de Rnet de la déformation plastique cumulée (inconnues du problème)

4. Loi de Tresca se prête bien aux calculs simples de plasticité

5. Loi de Critescu se prête bien aux matériaux écrouissables

6. Loi de Coulomb se prête bien aux calculs simples d’élasticitéisotrope

F. Équilibre des solides

Corps rigide (contacteur)

Corps déformable

cn t

u

sf

u

Surface de contactc

M

1

2

cc

s

c

u

v

surRn.surfn.sur0hsuruusur0fdiv

a. Équations d’équilibre (contact solide déformable – outil rigide):

b. Action de contact sans frottement :

V

sV

vsolide dSu.fdVu.fdV:21W

Action des efforts de outil 2 sur le solide 1

cc

dSnRdSn.n.Rf cn

cccont

Equilibre du solide 1 sans contact :

Travail des actions de contact sur le solide 1

c

dSu.fW ncontcont

cc12n n.n.uuu

c. Action de contact avec frottement

Action des efforts du contacteur 2 sur le solide 1

c

dSRnRf tc

ncont

Travail des actions de contact sur le solide 1

c

dSu.Ru.nRW ttnc

ncont

cn12t n.uuuu

contV

sV

vsolide WdSu.fdVu.fdV:21W

Equilibre du solide 1 avec contact + frottement

G. Discrétisation par éléments finis de l’équilibre

:C Loi de comportement

uB

u N u k

interpolation des déformations

interpolation des déplacements

FuuKu

21W TT

solide

sous forme matricielle

K B C BdVT

V

dSfNdVfNF sT

Vv

T Matrice de rigidité

Vecteur efforts extérieures

contV

sV

vsolide WdSu.fdVu.fdV:21W

contact0uGn.n.uuhéquilibre0Wdiv

nTcc

12

solide

L’équilibre du système avec contact revient à minimiser l’équation de l ’énergie sous la contrainte suivante:

1. Méthode de pénalisation

2. Méthode de multiplicateur de Lagrange

3. Méthode du lagrangien augmenté

4. Méthode du lagrangien perturbé

Méthodes de résolution du contact :

H. Gestion numérique du contact

1. Un tri des noeuds esclaves (appartenant au solide déformable)susceptibles d’être en contact

2. Chaque nœud esclave sélectionné est projeté orthogonalement sur lesfacettes de la surface maîtresse (obstacle)

3. Les fonctions de forme et les normales extérieuresdes obstacles sont utilisées pour déterminer la position du point P

4. La position relative h du nœud esclave et sa projection orthogonalesont données par :

Node

1k

kkc

Node

1k

kCP nhX,NhnXX

PX

,Nk cn

h

cX

5. Le point est jugé concerné par la facette de l ’obstacle si la distance hpar rapport aux autres facettes est minimale :

11 1 D : +1-1

)hmin(h i

6. La position du point concerné sur la facette est calculé par ses coordonnées dans le repère de référence :

11et11

2 D :Quadrangle

+1

+1

-1

-1

,

7. Le point est concerné par la facette si :

8. La position par rapport à cette facette est déterminée par le signe de h

1. h = 0 point tangent2. h > 0 pénétration 3. h <0 pas contact

9. Pour chaque point on connaît :a. distance au contacteur : hb. position de son projeté sur la surface du contacteur

c. normale de son projeté

d. déplacement à imposer :

110et10et10

Triangle

+1

+1

Node

1k

kk n,N

,

Node

1k

ckk n,Nhu

1. Méthode de pénalisation :Il faut traduire la condition de non-pénétration h = 0 pour calculer lesdéplacements de contact. La méthode est de remplacer le problème aveccontrainte par la résolution d’une suite de problème sans fonctioncontrainte en introduisant la notion de multiplicateurs de pénalité. Cetteméthode consiste à ajouter un terme très grand à l’expression del’énergie du système

uFuGGu2

uKu21uW TTT

solide

FuGGKu

W0W Tsolide

FuGGK T

J. Méthodes de résolution du contact

contact0uGn.n.uuhéquilibre0Wdiv

nTcc

12

solide

2. méthode des multiplicateurs de Lagrange :

L’inconvénient de la méthode de pénalisation est que la solution dépenddu choix du coefficient de pénalisation . La méthode desmultiplicateurs de Lagrange peut palier à ce problème en introduisantune inconnue l avec un sens physique. Contrairement à la méthodedes pénalisation, la taille du problème est augmentée dans cetteméthode.

uFuGuKu21,uW TTT

solide ll

l

l

l0uG

FGuK

0W

0u

W

0),u(W Tsolide

l

0Fu

0GGK

T

3. méthode du lagrangien perturbé :Pour éviter les problèmes de zéro sur la diagonale de la matrice deraideur, on a remplacé la contrainte de la méthode des multiplicateurs de

Lagrange par

uF21uGuKu

21,uW TTTT

solide ll

ll

021uG T l

0uG T

l

l

l

l 01uG

FGuK

0W

0u

W

0,uW Tsolide

l

0

Fu1GGK

T

ll

l

l

l kTk1k

kkT

solide uGFGuGGK

0W

0uW

0),u(W

4. méthode du lagrangien augmenté :1 - La solution (ou précision) dépend directement du coefficient dansla méthode du Lagrangien perturbé et de pénalisation.2 - La méthode des multiplicateurs de Lagrange fournit une solutionexacte mais la taille du système du problème augmente.3 - La présence de zéros sur la diagonale des matrices nécessite desprécautions numériques.4 - La méthode lagrangien augmenté peut être comme une techniquerestant simple et permettant de minimiser les inconvénients précédents.

uFuGGu2

uGuKu21,uW TTTTT

solide

ll