contact hertz
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Mécanique du contact - frottement - usure
I - Introduction
II - Contact ponctuel
III - Eléments de la théorie de Hertz -1881: Contact ponctuel et linéique
II.1 Cinématique du contact ponctuelII.2 Efforts transmis au contact - loi de CoulombII.3 Conclusion : critères de dimensionnement
III.1 Hypothèses
IV - Contact surfacique : Surface de contact? Modélisation de la répartition de pression ?
V – Frottement, usure, lubrification : Notions de tribologie, Mécanismes et conséquences
III.1 HypothèsesIII.2 Modélisation des déformations, zone de contactIII.3 Répartition de pressionIII.4 Contact sphérique : géométrie du contact, pression, critère de dimensionnement
III.5 Contact linéique : géométrie du contact, pression, critère de dimensionnement
III.6 Tableau récapitulatifIII.7 Quelques applications
I - Introduction
Exemple 1: liaison pivot (articulation) Exemple 2 : frein à disque
Pb: Quelles dimensions donner à l'articulation?Quels matériaux choisir?...
Pb: Quelles dimensions donner aux surfaces de freinage?Quels matériaux choisir?Quelle est la force nécessaireau freinage?...
Exemple 3: liaison pivot par éléments roulants
Pb: Quelle est la rigidité de la liaison ainsi réalisée?Est-ce une liaison pivot ou une pivot glissant? Quelles sont les conséquences sur la durée de vie de la liaison?...
II - Contact ponctuel
II.1 Cinématique du contact ponctuel
Mouvement relatif de S1 par rapport à S2
et rΩ 1 2/
r
VM 1 2/
M : point de contact entre S1 et S2
π : plan tangent au contact : normale au contact
rn
S1rΩ 1 2/
rn
M
π
S2
r
VM 1 2/
V
V
VM
x
y
z
x
y
M
xyz
xyz
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
0/
/
/
/
/
/:
ΩΩΩ
Condition nécessaire au maintien du contact
ry
rz
rx
r
VM 1 2/ : Vitesse de glissement en M de S1 / S2Contenue dans le plan tangent
: Taux de rotation de S1 / S2rΩ 1 2/
r r rΩ Ω Ω1 2 1 2 1 2/ / /= +P R
Mπ
S1rΩ 1 2/
rn
rΩ 1 2/P
rx
1 2 1 2 1 2/ / /
Projection suivant Taux de rotationde pivotement
(Spin)
rn Projection sur
Taux de rotationde roulement
π
M
S2
r
VM 1 2/rΩ 1 2/R
ry
rz
x
Mπ
S1
r
V
rΩ 1 2/
rn
rΩ 1 2/P
r r r r r rΩ Ω1 2 1 2 1 2/ / /
,P RM
o o et V o≠ ≠ ≠
Conclusion:
Si
S1pivote, roule et glissepar rapport à S2
r r r r r rΩ Ω1 2 1 2 1 2/ / /
,P RM
o o et V o≠ ≠ = Si
S1pivote et roule sans glisser
rx
S2
r
VM 1 2/rΩ 1 2/R
S1pivote et roule sans glisser par rapport à S2
r r r r r rΩ Ω1 2 1 2 1 2/ / /
,P RM
o o et V o= ≠ = Si
S1roule sans glisser et sans pivoterpar rapport à S2
etc...
ry
rz
II.2 Efforts transmis au contact de S2 sur S1
Hypothèses: Pas de frottement Solides indéformables
F
NMxyz
Mxyz
2 1
2 1
0
0
0
0
0
→
:
/M
S1
rn
rx Mxyz
2 1 /
Mais en réalité
• Les solides sont déformableszone de contact...
• Il y a du frottement
π
S2N 2 1/r
y
rz
x
Cas réel : frottement et solides déformables
Zone de contact S
F2→1 Mxyz:
Tx2/ 1
Ty2 /1
N2 /1
Mx2/ 1
M y2/ 1
M z2/ 1
M xyz
avecT t dSx x
S2 1/ = ∫
T t dSy y2 1/ = ∫
rn p
S2
S1
S2
dS
tx
ty
N p dS
S2 1/ = ∫
M y p dSxS
2 1/ = ∫
Mz2 /1 = (ytx + xt y )dS
S∫
T t dSy yS
2 1/ = ∫
M x p dSyS
2 1/ = ∫
p, tx, ty (en N/mm2 )
ry
rz
rx
r
VM 1 2/
S2
rn
rx
rT2 1/
r rV oM 1 2/
≠ rr
rTV
Vf NM
M2 1
1 2
1 22 1/
/
//= −
rT2 1/
r
N 2 1/Tan f( )ϕ =
Loi de Coulomb:
si glissement
S2ry
rz
r rV oM 1 2/
= rT f N2 1 2 1/ /≤
avec f coefficient de frottement entre S1 et S2f ne dépend que des matériaux en contact
T2 1/
si non glissement
II.2 Conclusion:
Deux solides S1 et S2 : géométrie, matériaux ( f , E, ν), ...
Des efforts à transmettre
...
Objectifs de la mécanique du contact
Données :
Résultats :
Quelle est la zone de contact ?
Quelle est la répartition de pression? pmax ?
Quel est lerapprochement global des deux solides?
Quelle est la puissance dissipée au contact ?
...
du contact Résultats :
III - Eléments de la théorie de Hertz -1881
III.1 Hypothèses
Solides massifs
déformations négligeables en dehors de la zone de contact
Déformations élastiques
réversiblesréversibles
Pas de frottement
pas d’effort tangentiel
Pas de mouvement relatif des deux solides r r r rV etM1 2 1 20 0/ /= =Ω
rx
π
S1
rn rnrn
S1
rn
N 1 2/
A'
B'
S1
rn rn
M
rn
π
S1
rn
Avantchargement
A
III.2 Modélisation des déformations, zone de contact
M
Après chargement
rx
rx1
ry r
z
S2
rz
Avant chargement
S2
rz
S2
rz
B'ry
rz
S2
rz
Avant chargement
S2
rz
S2
rz
B
rx
ry
M
ry1
-a
a-b
b
Rapprochement des deux solides: δδδδ
Zone de contact, elliptique,dans π : a , b , φφφφ
A A'B B' δ = −AB A B' '
φ
III.3 Répartition de pression
rx1
rz rz
Avant chargement
rz
rxM
ry
-a
a-b
b
φ
Zone de contact Répartition de pression suivant un ellipsoïde
-a a
-b
pmax
rx1
Mry1r
y
ry1
b
pN
abpi moyenmax
/= =3
2
3
2
1 2
π
III.4 Contact sphérique (φ =0) : géométrie du contact, pression, dimensionnement
Géométrie du contact
( )aR
EN=
3
4
1 3
1 21 3
*
/
//
Rapprochement des deux solides
( )δ =
9
16
11 3
1 22 3
REN
*2
/
//
R1
rx
M
N 1 2/S1 matériauE N mm1
21( / ),υ
S2 matériau
Pression maximale
pN
amax
/=
3
21 22π
R2
rxM
a
ry
-a
a
-a
avecR R R= + −( / / )1 11 2
1
E* =
1− υ1
2
E1
+1− υ2
2
E2
−1
S2 matériau
E N mm22
2( / ),υrz
Critère de dimensionnement
p padmmax <
padm = Pression admissible
par le matériau
acier 200000 0,3 600 à 700
padmN/mm2
EN/mm2
υ
alu 80000 0,35 350
fonte 100000 0,3 500
bronze 130000 0,35 100
téflon 130000 0,35 10
(statique)
121)/1/1( −−= RRR
R2
R1
Remarques:
Concavité inverse
Attention au signe!
III.5 Contact linéique: géométrie du contact, pression, dimensionnement
R1
rx
Mrx
N 1 2/ S1 matériau E N mm1
21( / ),υ Géométrie du contact
a =4R
π E*
1/ 2N1/ 2
l
1 / 2
Rapprochement des deux solides
??? à déterminer expérimentalement
rx
M
a
ry
-a
a-a
R2
rz S2 matériau
ry
rz
R2
l
l
E N mm22
2( / ),υ
Pression maximale
pN
almax
/=
2 1 2
π
Critère de dimensionnement
p padmmax <
Remarque sur le rapprochement des deux solides
Cas d'un roulement à rouleaux : un rouleau chargé
bague intérieure S1
ContactsN 1 2/
rapprochement des solides S1 et S2
( )δ = K N1 20 9
/,
bagueextérieure S2rouleau S3
Contactslinéiques
K coefficient qui dépend de la géométrie et des matériaux
III.6 Tableau récapitulatif des résultats de la théorie de Hertz(extrait de Systèmes mécaniques, Dunod) ki
Eii=
−1 2υπ
III.7 Quelques applications
Problème 1:
On souhaite comparer 4 contacts ponctuels différentsa) contact entre deux sphères de rayon Rb) contact entre une sphère de rayon R et un planc) contact entre une sphère de rayon R et une surface sphérique
concave de rayon 4Rd) contact entre une sphère de rayon R et une surface sphérique
concave de rayon 4/3 Rconcave de rayon 4/3 R
Les deux solides sont en acier, l'effort presseur est de 1000 N et le rayon R a pour valeur 25 mm.Quel rapport existe-t-il entre les valeurs des différentes pressionsmaximum au niveau du contact?
Problème 2:
On considère une pompe hydrauliquea) Effectuer le schéma cinématique minimal de l'appareilb) Déterminer en fonction de la pression de refoulement P et de
l'angle d'inclinaison γ du plateau, l'expression de l'effort au contact du piston et du plateauc) Calculer la pression maximale au contact. Est-elle admissible ?
Données: P=100 bar, rayon du piston r = 5 mm, rayon de la partie sphérique au contact R=17,5 mm, les matériaux en contact sont en acier (E=200000 MPa et ν=0,3), inclinaison du plateau γ = 18°
IV - Contact surfacique : Modélisation de la répartition de pression?
Surface de contact?
Aspérités
Quelle est la surface réelle de contact ? La surface réelle est différente de la surface théorique
Quelle répartition de pression ?
exemple : Articulation, clavette, frein...
QUEL MODELE CHOISIR ?
a. Pression uniforme b. Pression fonction de la déformation
p M p( ) = =0 constante p M K M( ) ( )= δ α
Critère à respecter Pression conventionnelle de matagep pmatagemax ≤
Pressions conventionnelles de matage utilisées couramment en bureau d’études: