contrastes-error tipo i y tipo ii-ppt

8/20/2019 Contrastes-error Tipo i y Tipo II-ppt

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Tema 2. Contraste de hipótesis en una población

Contenidos Introducción, las hipótesis nula y alternativa

El procedimiento de contraste de hipótesis

Errores de Tipo I y Tipo II, potencia del contraste

Estad́ısticos del contraste, nivel de significación y regiones deaceptación/rechazo en contrastes bilaterales y unilaterales

Contrastes de hipótesis: procedimiento

p-valor

Contrastes bilaterales e intervalos de confianza

Ejemplos para distintos parámetros

Potencia y tamaño muestral

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Objetivos de aprendizaje

Al final de este tema debieras ser capaz de:

Llevar a cabo un contraste de hipótesis sobre una población

Formular las hipótesis nula y alternativa de un contraste

Entender los errores de tipo I y tipo II, definir el nivel de

significación, definir la potencia del contraste Seleccionar un estad́ıstico del contraste adecuado e identificar las

regiones cŕıticas correspondientes a contrastes unilaterales ybilaterales

Utilizar el p-valor para llevar a cabo un contraste

Conocer la relación entre un contraste bilateral y un intervalo deconfianza asociado

Calcular la potencia de un contraste y encontrar el tamaño muestralnecesario para obtener una potencia dada

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Referencias

Newbold, P. “Estad́ıstica para administración y economı́a” Caṕıtulo 9 (9.1-9.5)

Ross, S. “Introducción a la Estad́ıstica” Caṕıtulo 9

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Contrastes de hipótesis: introducción

Un contraste de hipótesis es un procedimiento que:

se basa en datos muestrales para proporcionarnos información cara a tomar una decisión

sobre la validez de una conjetura o hipótesis sobre una población X ;t́ıpicamente, el valor de un parámetro de la población θ (θ puede seruno cualquiera de los parámetros que hemos considerado hastaahora: µ, p , σ2, etc)

Esta hipótesis a confrontar se conoce como la hipóthesis nula (H 0):

Podemos pensar en ella como la hipótesis considerada correcta(antes de llevar a cabo el test)

Será mantenida a menos que la muestra aporte suficiente evidenciacontraria

La información recogida en la muestra se emplea para confrontar (ocontrastar) esta hipótesis

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La hipótesis nula: ejemplos

1. Un fabricante de paquetes de cereales afirma que, en promedio, cadapaquete pesa al menos 400 g. Quieres contrastar esta información a

partir de los pesos de los paquetes en una muestra aleatoria.Población: X = ’peso de un paquete de cereales (en g)’

Hipótesis nula, H 0 : µ ≥µ0

400' MAS¿Proporciona la muestra suficiente evidencia para dudar de(rechazar) H 0?

2. Una compañ́ıa recibe env́ıos de componentes, que acepta si elporcentaje de componentes defectuosos es como máximo del 5%. Ladecisión se basa en una muestra aleatoria de estos componentes.Población: X = 1 si un componente es defectuoso y 0 en otro casoX ∼ Bernoulli (p ), p = proporción de componentes defectuosos entodo el env́ıo

Hipótesis nula, H 0 : p ≤p 0

0.05' MAS¿Proporciona la muestra evidencia suficiente para rechazar H 0?

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La hipótesis nula, H 0 Define la hipótesis a contrastar

Se asume inicialmente que la hipótesis nula es correcta (semejante a

suponer inocencia a menos que se pruebe la culpa) Habitualmente corresponde al estatus quo

Su definición matemática siempre contiene los śımbolos ’=’, ’≤’ o ’≥’(conjunto cerrado)

Puede ser rechazada como resultado del contraste, o no serlo

Hipótesis simples:

H 0 : µ =

µ0 z}|{ 5 , H 0 : p =

p 0 z}|{ 0.6 , H 0 : σ

2 =

σ20 z}|{ 9 En general: H 0 : θ = θ0

Espacio paramétrico asociado a esta hipótesis nula: Θ0 = {

θ0} Hipótesis compuestas (especificadas mediante un rango de valores):

H 0 : µ ≤µ0 z}|{ 5 , H 0 : p ≥

p 0 z}|{ 0.6 En general: H 0 : θ ≤ θ0 ó H 0 : θ ≥ θ0

Espacio paramétrico asociado a esta hipótesis nula: Θ0 = (

−∞, θ0] o

Θ0 = [θ0, ∞)

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Hipótesis alternativa, H 1Si la hipótesis nula no es válida, alguna alternativa debe ser correcta. Pararealizar el contraste, el investigador debe especificar una hipótesis alternativafrente a la que se contrasta la hipótesis nula.

La hipótesis alternativa H 1: Es la opuesta a la hipótesis nula

Habitualmente confronta el estatus quo

Su formulación matemática no contiene los śımbolos ’=’, ’≤’ o ’≥’ Puede ser soportada por los datos o no serlo Habitualmente es la hipótesis por la que se inclina el investigador

Hipótesis unilaterales:

(cola derecha) H 1 : µ > 5, (cola izquierda) H 0 : p θ0 ó H 1 : θ < θ0

Espacio paramétrico bajo esta alternativa: Θ1 = (θ0, ∞) ó Θ1 = (−∞, θ0) Hipótesis bilaterales:

H 1 : σ2 = 9 En general: H 1 : θ = θ0

Espacio paramétrico bajo esta alternativa: Θ1 = (−∞, θ0) ∪ (θ0, ∞)

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La hipótesis alternativa: ejemplos1. Un fabricante de paquetes de cereales afirma que, en promedio, cada

paquete pesa al menos 400 g. Quieres contrastar esta información a partirde los pesos de los paquetes en una muestra aleatoria.

Población: X = ’peso de un paquete de cereales (en g)’Hipótesis nula, H 0 : µ ≥ 400 frente a

Hipótesis alternativa, H 1 : µ


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Procedimiento de contraste de hipótesis

xyyxxxxyyPoblación:

X = ’altura de un estudiante de laUC3M (en m)’

Afirmación: En promedio, losestudiantes miden menos de 1.6 m ⇒Hipótesis:

H 0 : µ ≤ 1.6 frente a H 1 : µ > 1.6

¿Es extraño observar una

media muestral igual ax̄ = 1.65si la media de la poblaciónes µ ≤ 1.6?

'MASyyxx

Muestra: Supongamos que lamedia muestral es 1.65 m,x̄ = 1.65

Si no es razonable, rechazamos lahipótesis nula en favor de laalternativa.

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Procedimiento de contraste de hipótesis

Una vez especificadas las hipótesis nula y alternativa y recogida la

información muestral, se toma una decisión sobre la hipótesis nula(rechazar o no rechazar H 0).

La regla de decisión se basa en el valor de una “distancia” entre losdatos muestrales de que disponemos y aquellos valores que tienenalta probilidad si se cumple la hipótesis nula.

Esta distancia se calcula como el valor de un estad́ıstico delcontraste, relacionado con las cantidades pivotales mencionadas enel Tema 1. Más adelante se mencionarán casos espećıficos.

Para cualquier decisión que pueda tomarse, existe la posibilidad dellegar a una conclusión equivocada sobre el valor del parámetro de la

población, porque no disponemos más que de una muestra aleatoriay con ella no podemos tener la certeza de que la hipótesis nula seacorrecta o no.

Existen dos posibles estados en la naturaleza y por tanto se puedencometer dos errores: los errores de Tipo I y de Tipo II.

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Errores de Tipo I y de Tipo II, potencia

Error de Tipo I: rechazar una hipótesis nula correcta. El error de Tipo I seconsidera importante. La probabilidad de un error de Tipo I es igual a α yse denomina nivel de significación,

α = P (rechazar la nula|H 0 es correcta) Error de Tipo II: no rechazar una hipótesis nula incorrecta. La

probabilidad de un error de Tipo II es igual a β .

β = P (no rechazar la nula|H 1 es correcta) potencia: probabilidad de rechazar una hipótesis nula (cuando es

incorrecta).

potencia = 1 − β = P (rechazar la nula|H 1 es correcta)

Situación actualDecisión H 0 correcta H 0 incorrecta

No Sin error Error de Tipo IIRechazar H 0 (1 − α) (β )

Rechazar Error de Tipo I Sin error

H 0 (α) (1 − β = potencia)

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Errores de Tipo I y de Tipo II, potencia

Los errores de Tipo I y de Tipo II no se pueden cometer

simultáneamente El error de Tipo I solo puede darse si H 0 es correcta

El error de Tipo II solo puede darse si H 0 es incorrecta

Si la probabilidad del error de Tipo I, α ⇑, entonces la probabilidaddel error de Tipo II, β ⇓

Si todo lo demás no cambia: β ⇑ cuando la diferencia entre el valor supuesto para el parámetro y

su valor real ⇓ β ⇑ cuando α ⇓ β ⇑ cuando la variabilidad en la población (σ) ⇑ β

⇑ cuando el tamaño muestral (n)

⇓ Para θ ∈ Θ1potencia(θ) = 1 − β (θ)

Para θ ∈ Θ0potencia(θ) ≤ α

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Estad́ıstico del contraste, nivel de significación y región de

rechazo

Estad́ıstico del contraste, T Nos permite decidir si es “probable” o “improbable” que se observen

los datos muestrales, suponiendo que la hipótesis nula sea cierta.

Es la cantidad pivotal vista en el Tema 1, calculada bajo la hipótesisnula.

La decisión del contraste de hipótesis se basa en el valor observadodel estad́ıstico del contraste, t .

Si los datos muestrales proporcionan evidencia contraria a lahipótesis nula, el valor observado del estad́ıstico del contrastedebiera ser “extremo”, esto es, muy poco probable. En otro caso,

este valor debiera ser “usual”. Distinguimos entre valores “usuales” y “extremos” sobre la base de:

la distribución del estad́ıstico del contraste para la muestra, el nivel de significación α, que define la llamada región de rechazo o

cŕıtica y la región de aceptación.

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Estad́ıstico del contraste, significación y región de rechazoRegión de rechazo (RR) y de aceptación (RA) en contrastes de tamaño α:

Contraste unilateral derecho H 1 : θ > θ0

RRα = {t : t > T α} RAα = {t : t ≤ T α}

VALOR

CRITICO

RA RR

α

Contraste unilateral izquierdo H 1 : θ < θ0 RRα = {t : t


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Estad́ısticos del contraste

Sea X n una m.a.s. de una población X con media µ y varianza σ2, α un nivel de

significación, z α el cuantil α de N(0,1), µ0 la media de la población bajo H 0, etc.

Parámetro Hipótesis Estad́ıstico contraste RRα contraste bilateral

Datos normalesVarianza conocida

X̄ −µ0σ/√

n ∼ N (0, 1)

8>>>>><>>>>>:

z :

z z }| {x̄ − µ0σ/√

n< z 1−α/2 o

x̄ −µ0σ/√

n > z α/2

9>>>>>=>>>>>;

Media Datos no normalesMuestra grande

X̄ −µ0σ̂/√

n ∼ap . N (0, 1)

z :

x̄ −µ0σ̂/√

n < z 1−α/2 o

x̄ −µ0σ̂/√

n > z α/2

ff

Datos BernoulliMuestra grande

p̂ −p 0p p 0(1−p 0)/n

∼ap . N (0, 1)z : p̂

−p 0p p 0(1−p 0)/n

< z 1−α/2 o p̂ −p 0p p 0(1−p 0)/n

> z α/2ff

Datos normalesVarianza descono-cida

X̄ −µ0s /√

n ∼ t n−1

8>>>>><>>>>>:

t :

t z }| {x̄ − µ0s /√

n< t n−1;1−α/2 o

x̄ −µ0s /√

n > t n−1;α/2

9>>>>>=>>>>>;

Varianza Datos normales(n−1)s 2

σ20

∼ χ2n−1

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

χ2 :

χ2

z }| {(n − 1)s 2

σ20

< χ2n−1;1−α/2 o

(n−1)s 2

σ20

> χ2n−1;α/2

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;

Desv. Tı́p. Datos normales(n−1)s 2

σ20

∼ χ2n−1

(χ2 :

(n−1)s 2

σ20

< χ2n−1;1−α/2 o

(n−1)s 2

σ20

> χ2n−1;α/2

)

Pregunta: ¿Cómo definiŕıas RR

α para contrastes unilaterales?

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Contraste unilateral para la media de datos normales con

varianza conocida: ejemplo

Ejemplo: 9.1 (Newbold) Los pesos de los rodamientos fabricados en un proceso

siguen una distribución normal con media 250 g. y desviación t́ıpica 5 g. Trasreajustar el mismo, el encargado sospecha que el peso promedio ha aumentado,pero su desviación t́ıpica no ha cambiado. Se selecciona una muestra aleatoriasimple de dieciséis rodamientos, con un peso medio de 251.9 g. ¿Tiene razón elencargado? Lleva a cabo el contraste para un nivel de significación del 5%.

Población:X = ”peso de un rodamiento (en g)”X ∼ N (µ, σ2 = 52)

' MAS: n = 16Muestra: x̄ = 251.9

Objetivo: contrastar

H 0 : µ =

µ0 z}|{ 250 frente a H 1 : µ > 250

(contraste unilateral)

Estad́ıstico del contraste:Z =

X̄ −µ0σ/√

n ∼ N (0, 1)

Valor observado del estad́ıstico:

σ = 5 µ0 = 250

n = 16 x̄ = 251.9

z = x̄ − µ0

σ/√ n

= 251.9 − 250

5/√

16= 1.52

C

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Contraste unilateral para la media de datos normales con

varianza conocida: ejemplo

Ejemplo: 9.1 (cont.)Región de rechazo (o región cŕıtica):

RR 0.05 = {z : z > z 0.05}= {z : z > 1.645}

Como z = 1.52 /∈ RR 0.05 no rechazamosH 0 a un nivel de significación del 5%.

Densidad N(0,1)

z=

1.52

zα = 1.645

RA RR

Conclusión: Los datos muestrales no proporcionan suficiente evidenciapara rechazar la afirmación de que el peso promedio de los rodamientoses 250 g.

D fi i i´ d l

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Definición de p-valor

Es la probabilidad de que se obtenga un valor del estad́ıstico delcontraste que sea al menos tan extremo (≤ o ≥) como el observado,suponiendo que H 0 sea cierta.

Se conoce también como el nivel de significación observado

Es el menor valor de α para el que se puede rechazar H 0.

Se puede emplear en el paso 3) del procedimiento de contraste dehipótesis con la regla siguiente: Si el p-valor < α, rechazamos H 0 Si el p-valor ≥ α, no rechazamos H 0

Como resumen: p-valores “pequeños” proporcionan evidencia en contra de H 0 p-valores “grandes” proporcionan evidencia a favor de H 0

l

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p-valorCálculo del p-valor: t valor observado del estad́ıstico del contraste T :

Contraste unilateral derecho H 1 : θ > θ0

p-valor = P (T ≥ t )

estad. de

contr.

p−valor

=area

Contraste unilateral izquierdo H 1 : θ < θ0 p-valor = P (T ≤ t )

estad. de

contr.

p−valor

=area

Contraste bilateral H 1 : θ = θ0 p-valor = P (T

≤ −|t

|) + P (T

≥ |t

|)

|estad.|−|estad.|

p−valor

=areas

izq.+der.

l j l

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p-valor: ejemploEjemplo: 9.1 (cont.)

Población:X = ”peso de un rodamiento (en g)”

X ∼ N (µ, σ2

= 52

)

' MAS: n = 16Muestra: x̄ = 251.9


H 0 : µ =

µ0 z}|{ 250 frente a H 1 : µ > 250


Estad́ıstico del contraste:Z = X̄ −µ0σ/√ n ∼ N (0, 1)Valor observado del estad́ıstico: z = 1.52

densidad N(0,1)

p-valor = P (Z ≥

z ) = P (Z ≥

1.52)

= 0.0643 donde Z ∼ N (0, 1)

Como se cumple quep-valor = 0.0643 ≥ α = 0.05no rechazamos H 0 (pero

rechazaŕıamos para cualquier αmayor que 0.0643, por ejemplo,α = 0.1).

z=1.52

p−valor

=area

El l l b bilid d d l hi ´t i l 1

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El p -valor y la probabilidad de la hipotesis nula1

El p -valor: no es la probabilidad de H 0 ni la del error de Tipo I, α; se puede utilizar como un estad́ıstico del contraste comparando su

valor con el de α (i.e. rechazar H 0 si p -valor < α).

Queremos responder la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de lahipótesis nula dadas las observaciones? Recordemos que definimos el p -valor como la probabilidad de obtener

las observaciones (o valores mas extremos) dada la hipótesis nula. No podemos responder de manera exacta, Pero bajo condiciones generales y asumiendo que sin los datos

Pr(H 0) = Pr(H 1) = 1/2, entonces para p -valores, p , tales que

p


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El p -valor y la probabilidad de la hipotesis nula

La siguiente tabla permite calibrar el p -valor como una función de laprobabilidad de la hipótesis nula:

p -valor Pr(H 0|Observaciones) ≥0.1 0.39

0.05 0.290.01 0.11

0.001 0.020.00860 0.10.00341 0.050.00004 0.01

≤ 0.00001 0.001

Para un p -valor igual a 0.05 la hipótesis nula tiene una probabilidadde al menos el 29% de ser cierta.

Mientras que si queremos que la probabilidad de que sea cierta nosupere el 5%, el p -valor tiene que ser más pequeño que 0.0034.

Intervalos de confianza y contrastes bilaterales: dualidad

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Intervalos de confianza y contrastes bilaterales: dualidad

Un contraste bilateral a un nivel de significación α puede realizarse apartir de un intervalo (simétrico) con nivel de confianza 100(1 − α)% dela manera siguiente:

1. Especificar las hipótesis nula y alternativa:

H 0 : θ = θ0 frente a H 1 : θ = θ02. Calcular un intervalo de confianza al 100(1 − α)% para θ.3. Si θ0 no pertenece a este intervalo, rechazamos H 0.

Si θ0 pertenece al intervalo, no rechazamos H 0.

4. Escribir las implicaciones para nuestro caso en una frase.

Contraste bilateral para la media con varianza conocida:

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Contraste bilateral para la media con varianza conocida:

ejemplo

Ejemplo: 9.2 (Newbold) Un taladro produce agujeros cuyos diámetros

siguen una distribución normal con media 2 cm y desviación t́ıpica 0.06cm. Para verificar su correcto funcionamiento se miden aleatoriamentenueve taladros, con un diámetro medio de 1.95 cm. Realiza un contrastebilateral para un nivel de significación del 5% utilizando ICs.

Población:

X = ”diámetro de un agujero (en cm)”X ∼ N (µ, σ2 = 0.062)

' MAS: n = 9Muestra: x̄ = 1.95


H 0 : µ =

µ0 2 frente a H 1 : µ = 2

(contraste bilateral)

Intervalo de confianza al

100(1 − α)% = 95% para µ:IC0.95(µ) =

x̄ ∓ 1.96 σ√

n

= 1.95 ∓1.96

0.06

√ 9 = (1.9108, 1.9892)

Como µ0 = 2 /∈ CI 0.95(µ),rechazamos H 0 a un nivel designificación del 5%.

Contraste bilateral para la proporción: ejemplo

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Contraste bilateral para la proporcion: ejemplo

Ejemplo: 9.6 (Newbold) En una muestra aleatoria de 199 sociosauditores de empresas de auditoŕıa americanas, 104 socios se mostraronde acuerdo con la afirmación: “Los flujos de caja operativos son unamedida válida de rentabilidad”. Contrasta al 10% frente a unaalternativa bilateral la hipótesis nula de que la mitad de los miembros dela población estaŕıan de acuerdo con esta afirmación.

Población:X = 1 si un socio está de acuerdo con la

afirmación y 0 en otro casoX ∼ Bernoulli (p )

' MAS: n = 199 n grandeMuestra: p̂ =

104

199 = 0.523Objetivo: contrastar

H 0 : p =

p 0 0.5 frente a H 1 : p = 0.5

(contraste bilateral)

Estad́ıstico del contraste:Z = p̂ −p 0√

p 0(1−p 0)/n∼aprox . N (0, 1)


p 0 = 0.5

n = 199 p̂ = 0.523

z = p̂ − p 0 p 0(1 − p 0)/n

= 0.523 − 0.5

0.5(1 − 0.5)/199

= 0.65

Contraste bilateral para la proporción: ejemplo

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Contraste bilateral para la proporcion: ejemplo

Ejemplo: 9.6 (cont.)Región de rechazo o región cŕıtica:

RR0.10 = {z : z > z 0.05} ∪{z : z 1.645} ∪

{z : z <

−1.645

}Como z = 0.65 /∈ RR 0.10 norechazamos H 0 a un nivel designificación del 10%.

Densidad N(0,1)

z=

0.65

zα2

= 1.645−zα2

= −1.645RA RRRR

Conclusión: Los datos muestrales no dan evidencia suficiente para dudarque la mitad de los socios auditores piensen que el flujo de cajaoperacional es una medida válida de rentabilidad.

Contraste unilateral media con var desconocida: ejemplo

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Contraste unilateral, media con var. desconocida: ejemploEjemplo: 9.4 (Newbold, modificado) Una cadena de centros comerciales creeque el aumento de ventas entre Noviembre y Diciembre es del 20%. Unamuestra aleatoria de seis centros tuvo incrementos de ventas de 19.2, 18.4,

19.8, 20.2, 20.4, 19.0. Suponiendo la población normal, contrasta que elincremento promedio es al menos del 20% frente a una alternativa unilateral,para α = 10%. Emplea el p -valor.

Población:X = “incremento de ventas en un centroentre Nov. y Dic. (en %)”

X ∼ N (µ, σ2) σ2 desconocida

' MAS: n = 6 n pequeñoMuestra: x̄ = 117

6 = 19.5

s 2 = 2284.44−6(19.5)2

6−1 = 0.588


H 0 : µ ≥µ0

z}|{ 20 frente a H 1 : µ


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Contraste unilateral, media con var. desconocida: ejemplo

Ejemplo: 9.4 (cont.)

p-valor = P (T ≤ −1.597)∈ (0.05, 0.1) porque

−t 5;0.05 z }| { −2.015


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Contraste unilateral para la media con varianza

desconocida: ejemplo

Ejemplo: 9.4 (cont.) en Excel: Selecciona la opción de menú: Datos,

submenu: Análisis de datos, escoge la función: prueba t para dos muestrassuponiendo varianzas desiguales.Columna A (datos), Columna B (n repeticiones de µ0 = 20), en amarillo(estad́ıstico observado t , p-valor y t n−1;α).

Contraste unilateral para la varianza: ejemplo

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Contraste unilateral para la varianza: ejemploEjemplo: 9.5 (Newbold) Para cumplir con la normativa, la varianza del nivel deimpurezas en tanto por ciento en los env́ıos de un cierto producto qúımico nopuede superar el valor 4. Una muestra aleatoria de veinte env́ıos ha

proporcionado una cuasi-varianza muestral del nivel de impurezas de 5.62.a) Lleva a cabo un contraste de hipótesis adecuado (α = 0.1).

b) Calcula la potencia del contraste. ¿Cuál es la potencia para σ21 = 7?

c) ¿Qué tamaño muestral garantizaŕıa una potencia de 0.9 para σ21 = 7?

Población:X

= “nivel de impurezas del producto en unenv́ıo (en %)”X ∼ N (µ, σ2)

' MAS: n = 20Muestra: s 2 = 5.62


H 0 : σ2 ≤

σ20

z}|{ 4 frente a H 1 : σ

2 > 4


Estad́ıstico del contraste:

χ2 = (n−1)s 2

σ20∼ χ2n−1


σ20 = 4 n = 20

s 2 = 5.62

χ2 = (n − 1)s 2

σ20

= (20 − 1)5.62

4

= 26.695


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Ejemplo: 9.5 a) (cont.)

p-valor = P (χ2 ≥ 26.695)∈ (0.1, 0.25) porque

χ219;0.25

22.7


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p p

Ejemplo: 9.5 b) Recuerda que: potencia = P (rechazar H 0|H 1 es cierta)¿Cuándo rechazamos H 0?

RR0.1 = (n − 1)s 2

σ20> χ2n−1;0.1

ff

=

8>><

>>:(n − 1)s 2 >

27.2 · 4 = 108.8 z }| { χ2n−1;0.1 · σ20

9>>=

>>;La potencia viene dada por:

potencia(σ21) = P “

rechazar H 0|σ2 = σ21”

= P “

(n − 1)s 2 > 108.8|σ2 = σ21”

= P „ (n − 1)s 2σ21

> 108.8σ21

«= P

„χ2 >

108.8

σ21

«= 1 − F χ2

„108.8

σ21

«

potencia(σ2) función de σ2

0 2 4 6 8 10 0 .

0

0 .

2

0 .

4

0 .

6

0 .

8

1 .

0

potencia(σ2) =1 − β(σ2)

σ02 = 4

α

Θ0 Θ1 σ2

(F χ2 es la función de distribución de χ2n−1) Por tanto,

power(7) = P `χ

2

>

108.8

7 ´ = 0.6874.

Contraste unilateral para la varianza: cálculo de tamaño

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p

muestral

Ejemplo: 9.5 c)

De nuestros cálculos anteriores, sabemos que

potencia(σ21) = P “

(n−1)s 2

σ21> χ2n−1;0.1

σ20σ21

”, (n−1)s

2

σ21∼ χ2n−1

Nuestro objetivo es encontrar el menor n tal que:

potencia(7) = P 0BBB@ (n − 1)s

2

σ21> χ2n−1;0.1

0.571 z}|{ 47

1CCCA ≥ 0.9

La última ecuación implica que queremos trabajar con una distribución χ2n−1

cuyo cuantil 0.9 debe cumplir χ

2

n−1;0.9 ≥ 0.571χ2

n−1;0.1.

tabla chi-cuadrado χ243;0.9/χ

243;0.1 = 0.573 > 0.571 ⇒ n − 1 = 43

Por tanto, si disponemos de 44 observaciones podremos detectar el valor

alternativo σ21 = 7 correctamente con una probabilidad superior al 90%.

Otro ejemplo sobre potencia: contraste unilateral para la

http://find/


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j p p p

media, población normal y σ2 conocida H 0 : µ ≥ µ0 frente a H 1 : µ < µ0 para α = 0.05 Supongamos µ0 = 5, n = 16, σ = 0.1 Rechazamos H 0 si

x̄ −µ0σ/√ n


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j p p p

media, población normal y σ2 conocida

La función potencia = 1 − P (error Tipo II) tiene las siguientespropiedades (si todo lo demás se mantiene constante): Cuanto más alejada esté la media verdadera µ1 del valor supuesto

µ0, mayor es la potencia.

Cuanto menor sea α, menor es la potencia, esto es, si se reduce la

probabilidad de un error de Tipo I, se incrementa la probabilidad deun error de Tipo II.

Cuanto mayor es la varianza de la población, menor es la potencia(cuando tenemos más variabilidad, resulta más dif́ıcil detectarpequeñas desviaciones del valor real respecto del valor supuesto µ0).

Cuanto mayor sea el tamaño muestral, mayor es la potencia delcontraste (cuanto más información tengamos sobre la población,más sencillo resultará detectar pequeñas desviaciones del valor realrespecto de la hipótesis nula).
http://find/

contrastes-error tipo i y tipo ii-ppt

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