POR: MARA A. PEZ P. C.I:13.987.614 IBRAHIM D. LPEZ G. C.I: 16.400.189 INDICE GENERAL Pg. DEDICATORIA .................................................................................................................. ii DEDICATORIA .................................................................... Error! Marcador no definido. AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iv INDICE DE TABLAS ........................................................................................................... x INDICE DE FIGURAS.xi RESUMEN ...................................................................................................................... xviii 1.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA...................................................................... 1 1.1Formulacin del problema ................................................................................ 2 1.2Objetivos..3 1.2.1Objetivo general ..................................................................................... 3 1.2.2Objetivos especficos .............................................................................. 3 1.3Justificacin ...................................................................................................... 4 1.4Alcance ............................................................................................................. 4 2.MARCO TERICO .................................................................................................... 5 2.1Antecedentes ..................................................................................................... 6 2.2Conceptos Bsicos de control ............................................................................ 8 2.2.1Realimentacin lineal de estados ............................................................ 8 2.2.2Regulador lineal cuadrtico ................................................................. 10 2.2.3Teora de Observadores........................................................................ 11 2.2.3.1 Observador de Luenberger..11

2.2.3.2 Teorema de Separacin de Kalman.......14 2.2.3.3 Observador de Orden Reducido. 15

2.3Sensor de posicin ........................................................................................... 19 2.3.1Especificaciones y caractersticas del sensor ........................................ 22 2.4Modulacin de ancho de pulso..25 2.5Data Adquisition Toolbox.........27 2.5.1Manejo de datos del Data Adquisition Toolbox....28 2.5.2Eventos y Acciones.29 2.5.3Conversin de Unidades...29 2.5.4Objeto DeEntrada Analgica (ANALOG INPUT).29 2.5.5Objeto de Salida Analgica (ANALOG OUTPUT).....31 2.5.6Bloque de entrada/salida (DIGITAL INPUT/OUTPUT).32 3.MARCO METODOLGICO ............................................................................ .37 3.1Diseo y tipo de Investigacin..38 3.1.1Proyecto Factible..............38 3.1.2Investigacin de Campo....38 3.1.3Investigacin Documental.39 3.2Tcnicas de Recopilacin de datos...39 3.3Metodologa..39 3.4Diagrama de flujo....41 4.MODELACIN Y SIMULACIN DE LA GRA DE TECHO.......45 4.1Obtencin del modelo Fsico.. ............ 46 4.2Proceso de linealizacin ............. .55 4.3Implementacin de Realimentacin Lineal de los Estados .......... .63 4.3.1Modelo Simulink de la gra de techo en cadena cerrada ......... ....63 4.3.2Determinacin de las ganancias por RLE..66 4.4Diseo del observador de orden reducido.. ........... ..79

4.5Diseo del sensor virtual e implementacin del controlador en cascada.93 4.6Diseo e implementacin de control en cascada.... ............ 94 4.7Implementacin de Observador de orden reducido con sensor virtual...101 5.CONFIGURACIN DEL LAZO DE CONTROL..105 5.1Materiales a utilizar en la construccin...................................................106 5.2Esquema de Montaje del modelo a escala de la Gra de techo....107 5.3Construccin de la pista de la gra de techo............................................108 5.4Instalacin y Configuracin de la tarjeta de adquisicin de datos......... 110 5.5Configuracin del sensor de posicin en Simulink..113 5.6Diseo y construccin del circuito de potencia para el motor DC............. ... ...121 5.7Diseo del conversor analgico digital........................................................ ... .122 5.8Obtencin de las constantes del motor DC.... ..... ...126 5.9Modelo SIMULINK de la grade techo real con control por RLE....132 5.10 Modelo SIMULINK de la grade techo real con controlador en cascada..137 6. ANLISIS DE LOS RESULTADOS....142 6.1 Resultados de la implementacin de control proporcional clsico..........................143 6.2 Resultados de la implementacin por RLE.......................................................149 6.3 Anlisis y comparacin de los resultados obtenidos................................................167 CONCLUSIONES..170 RECOMENDACIONES....171 BIBLIOGRAFIA .......... ..172 APNDICE A......... ..173

APNDICE B......... ..185 APNDICE C .......... ......188 INDICE DE TABLAS Pg. Tabla 2-1:Caractersticas de trabajo recomendadas para el sensor. ....... 23 Tabla 2-2: Caractersticas elctrico-pticas del sensor ..24 Tabla 2-2: Caractersticas elctrico-pticas del sensor .24 Tabla 2-2: Caractersticas elctrico-pticas del sensor......24 Tabla 5-1: Tabla de conversin analgica a digital.......124 Tabla 6-1: Tablade resultados entre el control clsico y el control por RLE.. 168 Tabla A-1: Tabla de las seales de la tarjeta de adquisicin de datos177 viINDICE DE FIGURAS Pg. Figura 2.1:Esquema de control por realimentacin lineal de estados ................................... 9 Figura 2.2: Controlador dinmico por realimentacin de salida .......................................... 9 Figura 2.3: Observador de Luenberger .............................................................................. 11 Figura 2.4: Filtro de Kalman ............................................................................................. 14 Figura 2.5: Diagrama del observador de orden reducido..17 Figura 2.6: Estructura definitiva del observador de orden reducido...18 Figura 2.7: Sensor GP2D12 ............................................................................................... 19 Figura 2.8: Conector del sensor GP2D12 .......................................................................... 19 Figura 2.9: Detalles del Sensor GP2D12 ........................................................................... 20 Figura 2.10: Concepto grfico de triangulacin......21 Figura 2.11: Funcionamiento del sensor....22 Figura 2.12:Encapsulado y Dimensiones del sensor....23 Figura 2.13: Voltaje vs. Distancia...25 Figura 2.14: Seal de onda Cuadrada de Amplitud acotada..26 Figura 2.15: Men DATA ACQUISITION TOOLBOX en SIMULINK . .......... 28 Figura 2.16: Bloque de Analog Input en SIMULINK.. ......................... .30 Figura 2.17: Bloque de Analog Output en SIMULINK.. .................................... .32 viiFigura 2.18: Bloque de Digital Input en SIMULINK.. ....................... 34 Figura 2.19: Bloque de Digital Output en SIMULINK. .............. 35 Figura 4.1: Esquema del prototipo de gra de techo.. ........... ...................44 Figura 4.2: Esquema de las variables que actan en el sistema... ............ 45 Figura 4.3: Modelo SIMULINK de la grua de techo en cadena abierta. ............ 49 Figura 4.4: Posicin horizontal y vertical de la carga en cadena abierta...50 Figura 4.5: Comportamiento del ngulo en la carga en cadena abierta.....51 Figura 4.6:Grfico posicin de la carga creada por rutina migrafico ..52 Figura 4.7: Modelo SIMULINK con control proporcional56 Figura 4.8: Entrada al motor DC ............................................................... 57 Figura 4.9: Posicin horizontal y vertical de la carga .. ............................. 58 Figura 4.10: Angulo alpha en el tiempo.. .................................................... 59 Figura 4.11: LGR del sistema en cadena cerrada con control clsico ................................. 60 Figura 4.12: Modelo SIMULINK de la gra de techo en cadena cerrada.. ............ 62 Figura 4.13: Controlador de realimentacin lineal de los estados.. ............ 63 Figura 4.14: Mascara del controlador por realimentacin lineal de estados.....64 Figura 4.15: Angulo Alpha en el primer experimento de LQR.. ................... 68 Figura 4.16 Entrada al motor en el primer experimento LQR.. ................... 69 Figura 4.17: Angulo alpha en el segundo experimento LQR.....71 Figura 4.18: Entrada al motor en el segundo experimento LQR. ................ 72 viiiFigura 4.19: Angulo alpha en el tercer experimento LQR .............................. 74 Figura 4.20: Entrada al motor en el tercer experimento LQR .. .................. 75 Figura 4.21: Posicin horizontal de la carga en el tercer experimento LQR .................... 76 Figura 4.22: Sistema a lazo cerrado con observador.. ................................ 86 Figura 4.23: Bloque SIMULINK para los parmetros del observador . ............. 87 Figura 4.24: ngulo Alpha Vs. Tiempo.. ................................................... 88 Figura 4.25: Entrada del sistema con observador..89 Figura 4.26: Posicin horizontal y vertical de la carga con observador .. ............. 90 Figura 4.27: Subsistema del sensor virtual... .............................................. 92 Figura 4.28: Control en cascada del sistema .. ........................................... 93 Figura 4.29: Modelo en cadena cerrada usando sensor virtual y control en cascada..94 Figura 4.30: Mscara del controlador en cascada.. .................................... 95 Figura 4.31: Figura 4.31 constitucin interna del controlador en cascada.. ................ 96 Figura 4.32: Posicin de la carga horizontal y Posicin de la carga vertical97 Figura 4.33: ngulo de inclinacin de la carga ..98 Figura 4.34: Modelo SIMULINK usando observadores y sensor virtual.99 Figura 4.35: Comportamiento de yusando observadores con sensor virtual100 Figura 4.36: Comportamiento del ngulo de inclinacin de la carga.101 ixFigura 5.1: Diagrama de montaje del modelo de la gra de techo. 106 Figura 5.2: Aspecto final del armazn de la pista ..108 Figura 5.3: Mecanismo de transporte de la gra ...108 Figura 5.4: Men del Data Adquisition Toolbox ....109 Figura 5.5: Men de configuracin del bloque ANALOG INPUT..110 Figura 5.6: Bloque ANALOG INPUT en un modelo SIMULINK ...111 Figura 5.7: Configuracin del bloque DIGITAL OUTPUT112 Figura 5.8: Curva de Distancia Reflejada Vs Voltaje de salida del sensor de posici.113 Figura 5.9: Bloque Lookup Table.114 Figura 5.10: Tabla SIMULINK de Distancia Reflejada vs. Voltaje de salida .114 Figura 5.11: Modelo SIMULINK de prueba para el sensor de posicin ..115 Figura5.12:Sealcaptadaporelsensordeunobjetodecolorblancocolocadoa33 centmetros.116 Figura 5.13: Modelo SIMULINK del filtro digital....118 Figura 5.14: Modelo de prueba para el sensor de posicin con filtro digital...118 Figura 5.15: Constitucin interna del subsistema Filtro Digital....119 xFigura 5.16: Seal captada por el sensor luego de pasar por el filtro digital .119 Figura 5.17: Esquema de conexiones del circuito de potencia para el motorDC.120 Figura 5.18: Subsistema de conversin analgico digital (CAD)..122 Figura 5.19: Modelo de un motor DC en diagrama de bloques .125 Figura 5.20: Modelo SIMULINK para la obtencin de las constantes del motor.126 Figura 5.21: Curva de posicin del vehculo de transporte..127 Figura 5.22: Entorno grfico del submen FITTING de la herramienta CFTOOL ..128 Figura 5.23: Pestaa de edicin y trascripcin de ecuacin del "FIFTTING".129 Figura 5.24: Comparacin entre la curva del sensor de posicin y la curva de ajuste .130 Figura 5.25: Modelo SIMULINK de la grua real con controlador por RLE.131 Figura 5.26: Posicin horizontal y vertical de la carga con controlador porRLE..132Figura 5.27: Comportamiento del ngulo alpha con controlador por RLE....133 Figura 5.28: Entrada al motor DC con control por RLE134 Figura 5.29: Modelo de la grade techo real con controlador en cascada.135 Figura 5.30: Mascara del controlador en cascada de la gra real.....136 Figura 5.31: Entrada al motor DC con controlador en cascada..137 xiFigura 5.32: Comportamiento del ngulo en la carga...137 Figura 5.33: Posicin horizontal y vertical con control en cascada....138 Figura 6.1: Controlador proporcional clsico para la gra de techo real.....140 Figura 6.2 Bloque del Filtro digital para control proporcional en el modelo real141 Figura 6.3: Bloque del sensor virtual ...142 Figura 6.4: Seal de voltaje Bias...142 Figura 6.5: Seal de entrada al motor DC con control proporcional......143 Figura 6.6: Posicin del vehculo de transporte con control proporcional....143 Figura 6.7: Posicin angular de la carga y variacin de posicin angular...144 Figura6.8:Controladorporrealimentacinlinealdeestadosparalagradetecho real....146 Figura 6.9: Mascara del bloque controlador...147 Figura 6.10: Constitucin interna del bloque Controlador..148 Figura 6.11: Constitucin interna del bloque Estimador.....149 Figura 6.12: Seal de voltaje Bias....150 Figura 6.13: Constitucin interna del bloque Xl y Yl......151 xiiFigura 6.14: Seal proveniente del sensor (Xt) antes y despus del filtro digital.151 Figura 6.15: Seal de entrada al motor DC con control por RLE152 Figura 6.16: Comportamiento de la posicin angular con control por RLE.............153 Figura 6.17: Rapidez del vehculo de transporte...154 Figura 6.18: Posicin horizontal y vertical de la carga. .....155 Figura 6.19: Seal del sensor de posicin para posicin deseada de 18 centmetros..156 Figura 6.20: Seal de entrada al motor DC para posicin deseada de 18 cm..156 Figura 6.21: Posicin angular de la carga para posicin deseada de 18 cm...157 Figura 6.22: Rapidez del vehculo de transporte para posicin deseada de 18cm..157 Figura 6.23: Posicin horizontal y vertical de la carga para 18cm158

Figura 6.24: Seal del sensor de posicin para posicin deseada de 14 cm.....159 Figura 6.25: Seal de entrada al motor DC para posicin deseada de 14 cm...159 Figura 6.26: Posicin angular de la carga para posicin deseada de 14 cm....160 Figura 6.27: Variacin de ngulo y rapidez del vehculo para 14cm..160 Figura 6.28: Posicin horizontal y vertical de la carga para de 14cm.160

Figura 6.24: Seal del sensor de posicin para posicin deseada de 14 cm.....159 xiii Figura A.1: NI USB 6008.....173 Figura A.2: Diagrama de bloques de la NI USB 6008....174 Figura A.3: Terminales analgicos de la NI USB 6008175 Figura A.4: Terminales digitales de la NI USB 6008....175 Figura A.5: Pinado del PIC 16F876.179 Figura A.6: Encapsulado L293B181 Figura A.7: Configuracin Interna del L293B.182 Figura A.8: Pinado del L293B.182 Figura C.1: Ubicacin de las fuentes de alimentacin de la pita..190 Figura C.2: Tablero de fuentes de tensin.191 Figura A.8: Diagrama de conexiones internas.191 xiv RESUMEN Elcontroldelprocesodeposicionamientodecargasmedianteunagradetechoha resultado ser un problema de control interesante, puesto que se ha intentado por distintos medios de control clsico suprimir o por lo menos reducir de manera notable las oscilaciones de la carga que la gra transporta tanto en su recorrido como en el momento del posicionamiento. Desdeelmismoinstanteenqueseponeenmarchaelmotorseoriginanoscilaciones debidas a las aceleraciones y desaceleraciones inherentes del proceso, este fenmeno afecta en gran medidalamanipulacinyposicionamiento de la cargaa lo largodetoda latrayectoria,siendola posicindeseadaelpuntoquesufrelamayorconsecuencia,yaque,comoresultadodelas oscilaciones antes mencionadas, es necesario esperar que la carga est completamente inmvil para concluir el proceso de posicionamiento, esto genera una serie de dificultades de ndole prctico que ponen en riesgo la eficiencia y seguridad del proceso sobre todo si se trata del transporte de cargas frgiles Mediante la construccin de un demo ilustrativo de una gra de techo a escala se demostr que es posible controlar las oscilaciones de la carga a travs de la implementacin del concepto de la realimentacin lineal de los estados. Para ello fue indispensable obtener el modelo de estados del sistema y su punto de operacin basndose en las caractersticas del motor DC empleado, as como de las variables fsicas involucradas en el proceso. En la realimentacin lineal de los estados (State Feedback), es necesario utilizar un sensor porcadaestadoquesetieneenelsistema,pararealizarsumedicin.Enestecasosehace referenciaacuatroestados(posicindelvehculodetransporte,velocidaddelvehculode transporte,posicinangularyvariacindeposicinngular),loqueconllevaalautilizacinde cuatro sensores. Enelproyectofinaldelcursodesimulacin,delsemestre2/2007serealizla implementacinderealimentacinlinealdelosestadosparacontrolarlaoscilacindelacarga transportadaporunagradetecho,parasimplificarlacantidaddesensoresseobtuvoun observador de orden reducido, con el cual slo dos estados eran sensados: xvPosicin del vehculo de transportePosicin angular de la carga Bajo elconcepto de observador de orden reducido, es tarea complicada concretarla idea derealizarundemoilustrativo, debidoalas innumerablesdificultadesparaadquiriry/oconstruir unsensordeposicinangular.Parasolventaresteproblemasediseunestimadorquepermite determinar los estados no medidos del sistema.

Cabedestacarqueelcontroladoryelestimadorfueronimplementadosmedianteun procesodesimulacinentiemporealutilizandoelDATAACQUISITIONTOOLBOXdela herramienta SIMULINK de MATLAB. Elsensordeposicindelvehculodetransporte(nicosensorfsicoutilizadoenel modelo)tienelatareadecapturarlainformacindelprimerestadodelsistema,luegodequeel controladorproceselosdatosdelosdemsestadosseenvalasealdeentradaauncircuitode potenciaqueseencargardeadecuarlassealesdecontrolalassealesdepotenciarequeridas para el accionamiento del motor DC. Captulo 1 Planteamiento del problema 1.1FORMULACIN DEL PROBLEMA 2 Lasgrasdetechosonmaquinariasqueseutilizaneninstalacionesindustriales,para transportartodotipodecarga,generalmentepesada,deunsitioaotro.Lasaceleracionesy desaceleraciones del motor transportador de la carga transmiten a esta un movimiento pendular que se mantiene a lo largo de toda la trayectoria. Una vez que la carga ha llegado a su destino, el motor se detiene, pero la carga contina en movimiento, es decir, las oscilaciones se mantienen a pesar de queelmotorseencuentradetenido,estoimpidequedichacargasepuedacolocarenlaposicin deseadadeforma inmediata,dadoqueesnecesarioesperarqueestcompletamenteinmvilpara concluirelprocesodeposicionamiento.Estefenmenocausaprdidadetiempoenmuchos procesos y construcciones, adems de generar problemas de control en la manipulacin de la carga, inclusodesdeelmismomomentoenqueempiezaelmovimiento.Tambinenmuchoscasosla carga suele ser frgil y puede sufrir las consecuencias de las oscilaciones. Para resolver el problema que representan las oscilaciones en la carga transportada por una gradetechoseproponeelcontrolporrealimentacinlinealdelosestadosdelsistema,conla finalidad de suprimir al mximo las oscilaciones y mejorar as el proceso de traslado de la carga, y se pretende comprobar su efectividad mediante la construccin de un modelo fsico a escala de la gra de techo. 3 1.2OBJETIVOS 1.2.1OBJETIVO GENERAL Construir un demo ilustrativo de la efectividad del control por realimentacin lineal de los estados de una gra de techo. 1.2.2OBJETIVOS ESPECFICOS Obtener las ecuaciones y modelo de estado, del proceso de transporte de la carga de la gra de techo para realizar el proceso de linealizacin del modelo ImplementarelmodelodelprocesoutilizandoSIMULINKdeMATLABafinde corroborar mediante la tcnica de simulacin la efectividad de la estrategia de control por realimentacin lineal de los estados. Disearunobservadordeordenreducidoquepermitasimplificarelprocesodesensado utilizando los sensores de posicin del vehculo de transporte y el ngulo de inclinacin de la carga. Analizarysimularunasolucinpropuestabasadaenunestimadorqueconlleveala eliminacin del sensor de ngulo de inclinacin de la carga. ImplementarelcontroladorobtenidoconelDATAACQUISITIONTOOLBOXpara comprobar la efectividad del control en tiempo real por realimentacin lineal de los estados del sistema. 41.3JUSTIFICACIN Coneldiseoyconstruccindeundemoilustrativosepuedeverificarlaefectividaddel control por realimentacin lineal de los estados de una gra de techo, ya que es factible minimizar engranmedidaalefectodelasoscilacionesoriginadoenlacargatransportadaporunagrade techo,sinreducirconsiderablementelavelocidad,porlotantosepuedelograrqueelprocesode transporte de carga, a la posicin deseada, se haga de manera rpida y eficiente. 1.4ALCANCE En este trabajo especial de grado se procedi a construir un demo a escala de una gra de techo,parademostrarlaefectividaddelcontrolporrealimentacinlinealdelosestadossobreel proceso de transporte de una carga a su posicin deseada. Cabe acotar que el control del ngulo de inclinacin de la carga se limita al eje coincidente con la trayectoria del vehculo de transporte. Captulo 2 Marco Terico Estecaptulotienecomofinalidadelexplicartantolasbasestericasyconceptosenlos queestfundamentadoestetrabajoespecialdegrado,ascomolamencinbrevedelas investigaciones previas que fueron tomadas como antecedentes para este trabajo. 2.1 ANTECEDENTES. 6 Lasgrasseutilizanampliamenteendiversasaplicaciones,talescomoeltransportede cargaspesadasymanipulacindematerialesfrgilesenastilleros,fbricaseinclusoen instalacionesnucleares,ascomoenlaramadelaconstruccin.Lasgrasdetechosonuntipo comndetransporteutilizadoparalatransferenciadecargaaunaposicindeseada,sta incorpora un vehculo que se mueve a lo largo de una pista horizontal. En el sistema de la gra de techo, la carga se encuentra suspendida por medio de una cuerda adosada al vehculo, es de hacer notarquelacargaestasujetaaoscilacionesdebidoalfenmenodelmovimientopendular producido por las aceleraciones y desaceleraciones del vehculo de transporte, este efecto puede ser perjudicial tanto para la carga como para el personal humano que est encargado del control de la gra, este fenmeno ha sido ampliamente estudiado para disminuir sus efectos. Sehanpropuestovariassolucionesparaelcontroldelaoscilacinenlacargaparalas grasdetechoentreellastenemosaSinghose,W.E.,Porter,L.J.&Seering,W.P(1)yB.J., Hong,K.S.&Huh,C.D.(2).Enambosartculossepropusolaconfiguracintcnicadela entradaalsistemaenlazo abiertorealizandouncontroldevelocidadenelvehculo, sinembargo los resultados experimentales de estas propuestas no pudieron solucionar del todo el problema de la oscilacin de la carga. Gupta, S. y Bhowal, P (3) tambin presentaron en su artculo una tcnicaen lazo abierto para el control de la oscilacin en la carga. Existen otras investigaciones notables como la realizada porManson,G.A(4)ytambinporAuernig,J.W.&Troger,H(5),ambasinvestigaciones plantean el control de una gra de techo en lazo abierto con diferentes variantes, sin embargo estos controles siguen siendo en lazo abierto lo que hace a esta tcnica muy sensible a los parmetros del sistema. Varios trabajos de investigacin a nivel universitario han intentado resolver el problema del movimiento pendular en la carga con tcnicas de control en lazo cerrado que van desde tcnicas de control convencionales PID hasta enfoques mas vanguardistas, entre ellos es importante citara el trabajodeOmar,H.M(6)Proponeensutesisdedoctoradounsistemadecontroltantoparala posicindelvehculocomopara elngulode inclinacindelacargamediantedossensores,uno paracadavariablecitada.Nalley,M.J.&Trabia,M.B.(7).Proponenunmtododecontrol 7basado en lgica difusa para el control de la oscilacin en la carga con resultados satisfactorios. Es importantedestacarlainvestigacinrealizadaporMahmudIwanSolihinyelgrupoWahyudi(8), Enestetrabajode investigacinsepropusoeldiseodeuncontrol automticoparagrasde techoutilizandounsensorvirtual(SOFTSENSOR)suplantandoalsensordengulofsico,se prob su efectividad en un modelo de gra de techo a escala arrojando resultados satisfactorios. Algunasinvestigacionestambinsehancentradoenesquemasdecontrolconsistemade visin que es ms factible debido a que el sensor de visin no se encuentra en el lado de la carga. Lee,H.H.&Cho,S.K(9)Tuvieronresultadossatisfactoriosenelcontroldelaoscilacindela carga utilizando una cmara CCD suplantando al sensor angular. Finalmente, como antecedente tambin a este trabajo especial de grado debemos referirnos a nuestroproyectofinalenelcursoelectivodeSimulacin(2-2007),dictadoporelprofesor AsdrbalRomero,enelcual,utilizandolaherramientaSIMULINK,ensayamosunesquemade controlporrealimentacinlinealdelosestadosconlafinalidaddeeliminarelmovimiento pendularenlacarga,obteniendoresultadossatisfactorios.Comopartedelproyecto,seincorpor unobservadordeordenreducidoparadisminuirelnmerodesensoresrequeridosados,locual tambin funcion acorde con las expectativas tericas. De hecho, es de esta experiencia de la que surge la ideade realizar este trabajo especial de grado. 82.2 CONCEPTOS BSICOS DE CONTROL 2.2.1 REALIMENTACIN LINEAL DE LOS ESTADOS La teora de control lineal involucra la modificacin del comportamiento de un sistema de m entradas, p salidas y n estados: ) ( ) () ( ) ( ) (.t Cx t yt Bu t Ax t x=+ = (e.2.1) El modelo de estados descrito por esta ecuacin anterior la llamaremos planta o proceso en cadena abierta. En el caso del problema que analizamos en este trabajo especial de grado, tal como se demostrar en el captulo 4, el modelo de estados de la planta ser un modelo variacional donde cadaestadorepresentaladesviacindelacorrespondientevariableconrespectoaunvalor nominal. Por ejemplo, el estado posicin reflejar la posicin real del vehculode transporte y la posicindeseada,ascomotambinelestadocorrespondientealngulodelacuerdareflejarla variacin con respecto a la verticalidad perfecta ( = 0 grados). De tal manera, que en nuestro caso la ley de control a introducir persigue un objetivo de regulacin. A continuacin se muestra la ley de control mencionada: ) ( ) ( t Kx t u =(e.2.2) Donde la matriz K es la ganancia de realimentacin de estados. Sustituyendolaecuacin2.1enlaecuacine.2.2obtenemoselmodelodeestadodel proceso en lazo cerrado el cual se presenta a continuacin: ) ( ) () ( ) ( ) (.t Cx t yt x BK A t x= = (e.2.3) 9EnlaFigura2.1semuestraelesquemadecontrolporrealimentacindeestadosparaun sistema SISO con control esttico. Figura 2.1 Esquema de control por realimentacin lineal de los estados En la Figura 2.2 semuestra el esquema de un controladordinmico por realimentacin de salida, recurriendoaun observador para poder estimar los estadosdel sistema a partir delas medicionesde) (t yy) (t u . Figura 2.2 Controlador dinmico por realimentacin de salida. 10 Larealimentacindeestadospermiteubicarlosautovaloresdelsistemarealimentadoen cualquier posicin y la ganancia de realimentacin K puede calcularse por substitucin directa. Existen dos mtodos para determinar la matriz de ganancia de realimentacin K, el primero de ellos est basado en la aplicacin del teorema de polo-asignabilidad, ampliamente estudiado en las asignaturas de control moderno. El segundo mtodo de obtencindela matriz de ganancia de realimentacin se basa en la teora del regulador lineal ptimo cuadrtico (LQR) que se presentar en la prxima seccin. 2.2.2REGULADOR LINEAL CUADRTICO (LQR) El LQR (Linear Quadratic Regulator) es una herramienta de control moderno que permite obtenerlosparmetrosdeuncontroladorporrealimentacindevariablesdeestadomedianteun algoritmo matemtico basado en factores de penalizacin sobre las variables de estado del sistema, estos factores de penalizacin deben ser suministrados por el usuario.A continuacin se presenta el problema de regulacin de un sistema linealcon un medidor de desempeo ptimo cuadrtico + + =0) 2 ( ) ( dt Nu x Ru u Qx x u JT T T Bu Ax t x + = ) (. Esteesunproblematpicodecontrolptimo,enelcualsebuscadeterminarlaleyde control) (t uque regule el sistema lo ms efectivamente posible (llevar los estados a cero) con una energadecontrolrazonable.Enelfuncionaldenaturalezacuadrtica,lamatrizQeslaque penaliza la desviacin de los estados con respecto a cero y la matrizR es la que penaliza la energa de control utilizada (Si R=0, la ley de control sera infinita). Como se puede ver, esteproblema se 11adaptaperfectamentealasituacindecontrolquedebemosafrontarenelmanejodelagrade techo, queremosque ella se desplace hacia la posicin deseada con el menor gradode desviacin angularposible.Porestaraznseeligiestaalternativaparaobtenerlamatrizdegananciasde realimentacin K. Utilizando los mtodos de control ptimo, se puede demostrar que la ley de control ptima es por realimentacin de los estados. Esta ley de control se muestra a continuacin: Fx u = ; Donde F viene dada por:P B R FT 1 = Cabe acotar que la matriz P se obtiene resolviendo la ecuacin algebraica de Riccati que se muestra a continuacin: 01= + +Q P B PBR PA P AT T 2.2.3 TEORIA DE OBSERVADORES 2.2.3.1 OBSERVADOR DE LUENBERGER Enesteapartadoseexplicardeformasencillalateoradeobservadores,quesonlos estimadores de estado determinsticos que introdujo Luenberger en 1964. Supongamos que las ecuaciones que describen el sistema lineal original con estado ) (t x , entrada) (t uy salida ) (t yson las siguientes: ) ( ) ( ) ( t Bu t Ax t xdtd+ = (Ecuacin de transicin de estado, sistema original) 12) ( ) ( t Cx t y =(Ecuacin de observacin, sistema original) Luenberger propuso el siguiente esquema: Figura 2.3 Observador de Luenberger Las ecuaciones de estado del observador con estado) (t x, entrada) (t u y salida) (t y son las siguientes: )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( t y t y l t u B t x A t xdtd + + =) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t y l t u B t x lc A t xdtdT + + =Donde l es un vector columna de nx1 (para una sola salida) De esta expresin cabe destacar lo siguiente El vector) (t x es el vector de estimados de los estados del sistema original. 13Elobservadoresunsistemaquesealimentadetodaslasentradasydelassalidasdel sistema. Ladinmicadelerrordeestimacindependedelamatrizdelobservador.Sista tienetodossusautovaloresenelsemiplanoizquierdo,elerrordeestimacintender asintticamente a ser cero y los estimados del observador se harn iguales a los estados del sistema. A continuacin se muestra la dinmica del error de estimacin definiendo alvector de error de estimacin de la siguiente manera: ) ( ) ( ) ( t x t x t e =dtx ddtt x dt edtd =) () ()) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( t ly t u B t x lc A t u B t x A t edtdT+ + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t x c l A t x c l A t edtdT =) ( ) ( ) ( t e c l A t edtdT =Ahorabien,esimportanteenfatizarelprocesodedeterminacindelvectorcolumnal, basndonos en el siguiente teorema: Si el par [ , ] es observable, entonces es posibledeterminar un vectortal que det- se hagaigual a cualquier ecuacin caracterstica deseada.TTA cl A lc 14 2.2.3.2 TEOREMA DE SEPARACIN DE KALMAN Esteteoremaserefierealesquemadecontrolmostradoenlafigura2.4,enelcualla implementacin de la Realimentacin Lineal de los Estados (RLE) se hace por la va de realimentar los estimados del observador. Esta teora fue brevemente introducida en el apartado 2.2.1 referente a la realimentacin lineal de los estados. Figura 2.4 Filtro de Kalman A continuacin procedemos a determinar la ecuacin caracterstica del sistema interconectado mostrado en la figura 2.4. Modelo del sistema: Nota: Se utiliza la notacinpara enfatizar que se trata de un vector fila por cuanto estamos hablando de una sola salida.Tc 15) (''t vbbxxk b c l A c lbk AxxT T TT(((

+(((

(((

=(((

La ecuacin caracterstica del sistema en cadena cerrada es: T Tc l A bk A = det * det ) ( La primera parte de la ecuacin es exactamente igual a la ecuacin caracterstica deseada en el diseo del controlador. Y la segunda parte es la ecuacin caracterstica deseada en el diseo del observador. La consecuencia prctica es que el diseo del sistema mostrado en la figura puede ser llevado a cabo resolviendo separadamente los dos problemas.El teorema de separacin de Kalman se cumple tambin en el caso de mltiples entradas y mltiples salidas, o en el caso de que se recurra a la utilizacin de observadores de orden reducido ylarealimentacinseaunacombinacinlinealdeestadosyestimados.Cabeacotarquetodala teora presentada vale igual en el caso de los sistemas discretos. Lo que cambia de uno a otro son loscriteriosdeseleccindelospoloscuandoseestnresolviendoseparadamentelosdos problemas: el realimentador lineal de los estados y el observador. En cada uno de estos problemas podrn utilizarse modelos aumentados diferentes dependiendo de lo que se desee en cada caso. 2.2.3.3 OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO Enlaprcticanotodaslasvariablesnecesitanserobservadas,habralgunasquesepodrn medirdirectamenteyconbuenaprecisin,portantonosernecesariounobservadorqueestime todos los estados, sino ms bien solo algunos de ellos. 16 Dado un sistema LTI: ) ( ) () ( ) ( ) ( 't x C t yt u B t x A t x =+ = Es necesario introducir un cambio de coordenadas tal que en el espacio de estados, losqprimerosestadosseanprecisamentelasqsalidas,estoseobtienedemanera rpida y sencilla con una matriz de transformacin M tal que: [ ] 0__)* (*M Kqn q nn qI CDCM = ((((

= Es pertinente comentar que esta ultima expresin es valida si y solo si existe Paraefectosdeexplicacinsesupondrunsistemaconn=4yq=2,definiendola matriz de salida de la siguiente manera: ((

=0 1 3 21 0 1 1C M se elegira de la siguiente forma: 17((

= = (((((

=0 0 1 00 0 0 10 0 1 00 0 0 10 1 3 21 0 1 11__CM C M El nuevo vector de estados ser: (((

=wyx__ El modelo de estado quedar expresado de la siguiente manera: ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ') 1 ( ) ( ) ( ) ( '2 22 211 12 11 + + = + + = t u B t w A t y A wt u B t w A t y A y Como y(t) se tiene disponible el objetivo es estimar a w(t), para esta tarea se construye un observador identidad para el sistema cuya ecuacin de estado es (2) y tomando como ecuacin de salida (1) se puede reescribir, la ecuacin que se muestra a continuacin de este procedimiento: ) ' 1 ( ) ( ) ( ) ( '12 1 11 = t w A t u B t y A y La ecuacin del observador de orden reducido ser entonces: ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ')) ( ) ( ) ( ) ( ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( '11 21 1 2 12 2212 1 11 2 22 21t y L t y LA A t u LB B t w AL A t wt w A t u B t y A t y L t u B t w A t y A t w + + + = + + + = 18En la figura 2.5 se muestra la muestra el diagrama del observador de orden reducido. Figura 2.5 Diagrama del observador de orden reducido Conunasimplemanipulacindeldiagramaanterioresposiblesuprimirlaoperacin indeseable de derivacin en el observador, lo que conduce a la versin definitiva del observador de orden reducido que se muestra en la figura 2.6. Figura 2.6 Estructura definitiva del observador de orden reducido Recapitulando todo lo explicado en este apartado se muestra a continuacin las ecuaciones del observador de orden reducido a utilizar en este trabajo especial de grado: 19) ( ) ( ).... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (12 22 11 21 1 2 12 22t y L LA A t y LA A t u LB B t z LA A t zdtd + + + =Definiendo a) (t zcomo: [ ](((

=(((

= = ) () () () () ( ) ( ) () ( ) (t wt yTt wt yI L t y L t w t zq n x q n As: [ ] [ ]) (0) () (0t xCTMx MITt wt yITyzq q((

=((

=(((

((

=(((

((((

((

=) () () (1t yt zCTMt xDonde:[ ]) ( ) ( q n x q nI L T =y ((

=DCM 2.3 SENSOR DE POSICIN El sensor de posicin elegido para el desarrollo de este proyecto es el Sharp GP2D12. ElSharpGP2D12esunsensormedidordedistanciasporinfrarrojosqueindicamedianteuna salidaanalgicaladistanciamedida.Latensindesalidavaradeformanolinealcuandose detecta un objeto en una distancia entre 10 y 80 cm. La salida est disponible de forma continua y suvaloresactualizadocada32ms.Normalmenteseconectaestasalidaalaentradadeun convertidor analgico digital elcual convierte la distancia en unnmero que puede ser usado por un microprocesador. La salida tambin puede usada directamente en un circuito analgico. 20 Enlasfiguras2.7y2.8podemosverelpropioGP2D12yelconectordetrespines respectivamente. Figura 2.7 Sensor GP2D12 Figura 2.8 Conector del sensor GP2D12 En la figura 2.9 mostramos en detalles el conector del sensor. 21 Figura 2.9 Detalles del Sensor GP2D12 EstedispositivoempleaelmtododetriangulacinutilizandounpequeoSensorDetectorde Posicin (PSD) lineal para determinar la distancia o la presencia de los objetos dentro de su campo de visin. Sumododefuncionamientoconsisteenlaemisindeunpulsodeluzinfrarroja,quese transmiteatravsdesucampodevisinquesereflejacontraunobjeto.Sinoencuentraningn obstculo, el haz de luz no refleja y en la lectura que se hace indica que no hay ningn obstculo. En el caso de encontrar un obstculo el haz de luz infrarroja se reflecta y crea un tringulo formado por el emisor, el punto de reflexin (el obstculo) y el detector. Lainformacindeladistanciaseextraemidiendoelngulorecibido.Sielnguloesgrande, entonceselobjetoestcerca(eltringuloesancho).Sielnguloespequeosignificaqueest lejos (el tringulo es largo y, por tanto, delgado).

Observemosenlafigura2.10esteprecisamenteloqueesgrficamenteelconceptode triangulacin. 22 Figura 2.10 Concepto grfico de triangulacin Esteprocesosellevaacabodentrodelsensordelasiguientemanera:ElLEDinfrarrojo emite el haz de luz a travs de una pequea lente convergente que hace que el haz emisor llegue de formaparalelaalobjeto.Cuandolaluzchocaconunobstculo,unaciertacantidaddeluzse refleja,sielobstculofueraunespejoperfecto,todoslosrayosdelhazdeluzpasaranysera imposiblemedirladistancia.Sinembargo,casitodaslassustanciastienenungradobastante grande de rugosidad de la superficie que produce una dispersin hemisfrica de la luz (reflexin no terica). Alguno de estos haces de sta luz rebota hacia el sensor que es recibida por la lente. La lente receptora tambin es una lente convexa, pero ahora sirve para un propsito diferente, actaparaconvertirelngulodeposicin.Siunobjetoseponeenelplanofocaldeunalente convexaylos otros rayosde luz paralelosenotro lado, elrayo que pasa por el centro de la lente atraviesa inalterado o marca el lugar focal. Los rayos restantes tambin enfocan a este punto. 23 EnelplanofocalhayunSensorDetectodePosicin(PSD).stedispositivosemiconductor entrega una salida cuya intensidad es proporcional a la posicin respecto al centro (eficaz) de la luz que incide en l. El rendimiento del PSD en la salida es proporcional a la posicin del punto focal. Esta seal analgica tratada es la que se obtiene a la salida del sensor. Figura 2.11 Funcionamiento del sensor En la figura 2.11 se muestra en detalles el proceso descrito anteriormente. 2.3.1 ESPECIFICACIONES DEL SENSOR DE POSICIN. Las caractersticas ms importantes de este sensor son las siguientes: - Menor influencia del color de los objetos reflexivos. - Lnea indicadora de distancia output/distance. -Tipode salidaindicadoradeladistancia analgica (tensinanalgica).Distanciadeldetectorde 10 a 80 cm. 24 - Bajo costo. Figura 2.12 Encapsulado y dimensiones del sensor. En la figura 2.12 observamos el encapsulado y las dimensiones del sensor. Enlastablas2.1y2.2observaremoslascaractersticasdetrabajorecomendadasylas caractersticas electro-pticas del sensor respectivamente. Tabla 2.1 Caractersticas de trabajo recomendadas para el sensor. 25 Tabla 2.2 Caractersticas elctrico-pticas del sensor *1.Objetoreflexivousando:Papelblanco(ParaelcolorgrisseusalatarjetaR-27delaCa.de Kodak S.A. la cara blanca, la proporcin reflexiva; 90%).*2.Utilizamoseldispositivodespusdelajustesiguiente:salidaalcambiarladistanciaL 24cm3cm debe medirse por el sensor.*3. Rango de distancia que mide el sistema del sensor ptico.*4. La salida de cambio tiene una anchura de la histresis. La distancia especificada por Vo desde que la salida a nivel bajo (L) hasta que cambia a nivel alto (H). Enlafigura2.13sedetallalacurvadevoltajeanalgicorespectoadistanciamedida,ahse puede notar que esta relacin no es lineal pero est bien definida. 26 Figura 2.13 Voltaje vs. Distancia. 2.3.4 MODULACIN DE ANCHO DE PULSO La modulacin por ancho de pulsos (o PWM, de pulse-width modulation en ingls) es una tcnica en la que se modifica el ciclo de trabajode una seal peridica (porejemplo sinusoidal o cuadrada). Elciclodetrabajodeunasealperidicaeselanchorelativodesupartepositivaenrelacinal perodo. Matemticamente: 27 D: es el ciclo de trabajo:es el tiempo en que la funcin es positiva (ancho del pulso)T : es el perodo de la funcinLaconstruccintpicadeuncircuitoPWMsellevaacabomedianteuncomparadorcon dosentradasyunasalida.Unadelasentradasseconectaaunosciladordeondatriangular, mientrasquelaotraquedadisponibleparalasealmoduladora.Enlasalida,lafrecuenciaes generalmente igual a la de la seal triangular y el ciclo de trabajo esta en funcin de la portadora. LaprincipaldesventajaquepresentanloscircuitosPWMeslaposibilidaddequehaya interferenciasgeneradasporradiofrecuencia.Estaspuedenminimizarseubicandoelcontrolador cerca de la carga y realizando un filtrado de la fuente de alimentacin. Figura 2.14 Seal de onda Cuadrada de Amplitud acotada. Enlafigura2.14sepuedenobservarunasealdeondacuadradadeamplitudacotada (ymin,ymax) mostrando el ciclo de trabajo D. LaModulacinporanchodepulsos(MAPencastellano,PWMoPulseWidth Modulationeningls)tambinesutilizadapararegularlavelocidaddegirodelosmotores elctricosdeinduccinoasncronos.Mantieneelparmotorconstanteynosuponeun desaprovechamiento de la energa elctrica. Se utiliza tanto en corriente continua como en alterna, 28como su nombre lo indica, al controlar: un momento alto (encendido o alimentado) y un momento bajo(apagadoodesconectado),controladonormalmenteporrelevadores(bajafrecuencia)o MOSFET o tiristores (alta frecuencia). Otrossistemaspararegularlavelocidadmodificanlatensinelctrica,conloque disminuyeelparmotor;ointerponenunaresistenciaelctrica,conloquesepierdeenergaen forma de calor en esta resistencia. Otra forma de regular el giro del motor es variando el tiempo entre pulsos modulacin por frecuencia de pulsos de duracin constante. En los motores de corriente alterna tambin se puede utilizar la variacin de frecuencia. La modulacin por ancho de pulsos tambin se usa para controlar servo motores, los cuales modifican su posicin de acuerdo alancho del pulso enviadocada un cierto perodo que depende decada servomotor. Esta informacinpuedeserenviadautilizandounmicroprocesadorcomoel Z80, o un microcontrolador (por ejemplo, un PIC 16F877A de la empresa Microchip. 2.3.5 DATA ACQUISITION TOOLBOX El Data AcquisitionToolboxes una coleccin de funciones M-Filey Libreriasdinmicas MEX-fileconstruidasenelentornocomputacionaldeMATLAB,estaherramientaproveelas siguientes prestaciones:Una plataforma de trabajo que permite ingresar datos medidos a MATLAB Soporte para entradas y salidas analgicas, as como para subsistemas de entradas y salidas digitales. Adquisiciones de datos de un solo canal o multicanal. Interfacedecomandosconsistenteyflexiblequeexponelasprestacionesdelhardware soportado. 29 BasadoenlatecnologadeobjetosdeMATLAB,estetoolboxproveefuncionescreando objetosasociadosdirectamenteconelhardware.Estosobjetoshabilitanunpuenteconla funcionalidadenteradeldispositivoypermitencontrolarelcomportamientodelaadquisicinde losdatos.ElDataAcquisitionToolboxestadisponibleenSIMULINK,dondepuedenagregarse objetosdeentradaysalidaanalgicauobjetosdeentradaosalidadigital,enlafigura2.15Se muestra el men del Data Acquisition Toolbox en SIMULINK. Figura 2.15 Men DATA ACQUISITION TOOLBOX en SIMULINK 30Manejo de datos del DATA ACQUISITION TOOLBOX Lasfuncionessonhechasparacaptaroextraerlosdatosparaunanlisisposterior.El toolbox procesa datos en MATLAB con un formato de doble precisin de punto flotante o formato de hardware nativo. Esto permite la habilidad de trabajar con la informacin captada por la tarjeta como cualquier otro dato o matriz creada desde MATLAB

Eventos y acciones Porlogeneral,latareadeadquisicindedatosseiniciaenbaseaeventos.Unevento ocurreenuntiempoespecificoluegoquelacondicinseactiva.Algunosdeestoseventosson soportadoseneldataacquisitiontoolboxincluyendo:eventosdeinicioyparada(StartyStop), triggers, numero de muestras adquiridas, numero de muestra a la salida o simplemente errores. Conversin de unidades Eltoolboxautomticamenteconviertelainformacinadquiridaavaloresquerepresentan unidadesusadascomnmente,(Voltios,Newtons,etc.).Elusodeescalaslinealesyoffsetses soportadodirectamenteporeltoolbox.Adems,cualquiercalibracinnolinealparaunacurva puede ser aplicada usando MATLAB. Objeto de entrada analogica(Analog Input) Paracrearunobjetodeentradaanalgica(AnalogInput)sedebeusarlafuncinde MATLABanaloginput.Estafuncintienepredeterminadoelnombredeladaptadorinstaladoy previamente reconocido por el entorno MATLAB,as como los argumentos de sus entradas. Cabe acotarquesepuedeusarlafuncindaqhwinfoparadeterminacualessonloscomponentes National Instruments instalados en el sistema y que ID de dispositivo tienen. 31Cada objeto de analog input es asociado a un dispositivo y a un solo subsistema de entrada analgica. Por ejemplo, para crear un objeto de entrada analgica asociada a National Instruments board en el ID 1: ai = analoginput('nidaq','Dev1'); Elobjetodeentradaanalgicoai ahora existeenelentorno de trabajo deMATLAB. Se puede mostrara en pantalla el tipo de variables captadas en ai con el comando whos:whos ai NameSize BytesClass ai1x1 1332analoginput object Una vez que el objeto de entrada analgica es creado, las propiedades predeterminadas del hardwaresonasignadas.Luegodehabercreadoelobjetodeentradaanalgicasemuestraa continuacin la sintaxis para agregar canales al objeto Analog Input: chans = addchannel(ai,0:1); Elargumentodesalidachansesunchannelobjectqueposeeelarreglodecanales configurado en el objeto de entrada analgica ai. Para iniciar el objeto desde MATLAB se usa la siguiente sintaxis: Start(ai). Paraadquirirlosdatosdelbloqueaisedebeusarelcomandopeekdataespecificandoel numero de muestras por segundo (sample rate) que se tomaran. La sintaxis es la que se muestra a continuacin: data = peekdata(ai,500).. AdicionalmenteesdeimportanciaacotarqueelentornoSIMULINKposeeunbloquede AnalogInput,enelcualtodaslasconfiguracionessepuedenrealizarenentornogrfico,enla figura2.16semuestralaconfiguracinpredeterminadadelbloqueanaloginputtomandocomo dispositivo de adquisicin la tarjeta de sonido del PC. 32 Figura 2.16 Bloque de Analog Input en SIMULINK. Objeto de salida analgica (Analog Output)

Para crear un objetode salida analgica (Analog Output) es necesario llamar a la funcin analogoutput.Estafuncinaligualqueanaloginputtienepredeterminadoelnombredel adaptador instalado y previamente reconocido por el entorno MATLAB, as como los argumentos de sus entradas. Cadaobjetodeanalogoutputestaasociadoaundispositivoyaunsolosubsistemade entradaanalgica.Porejemplo,paracrearunobjetodeentradaanalgicaasociadaaNational Instruments board en el ID 1: ao = analoginput('nidaq','Dev1'); 33

El objeto de entrada analgico ao ahora existe en el entorno de trabajo de MATLAB. Se puede mostrara en pantalla el tipo de variables captadas en ao con el comando whos: whos ao NameSize BytesClass ao1x1 1334analogoutput object Unavezqueelobjetodesalidaanalgicaescreado,laspropiedadespredeterminadasdel hardwaresonasignadas.Luegodehabercreadoelobjetodesalidaanalgicasemuestraa continuacin la sintaxis para agregar canales al objeto Analog Output: chans = addchannel(ao,0:1); Elargumentodesalidachansesunchannelobjectqueposeeelarreglodecanales configurado en el objeto de entrada analgica ao. Para iniciar el objeto en cuestin se realiza la siguiente sintaxis: Start(ao). ParaenviardatosmedianteelobjetoaoesnecesarioutilizarlafuncindeMATLAB Putdata,porejemploparaenviarundatoscontenidoenloscanales1y2delbloqueanalog output ao se debe hacer lo siguiente: ao = analogoutput('winsound'); addchannel(ao,1:2); data = sin(linspace(0,2*pi,8000))'; putdata(ao,[data data]) En la figura 2.17 se muestra el bloque Analog Output en el entorno de SIMULINK. 34 Figura 2.17 Bloque de Analog Output en SIMULINK Bloque de entrada/salida digital (Digital Input/Output) Paracrearunobjetodeentrada/salidadigital(DIO)esnecesarioutilizarlafuncin digitalio.Estafuncinaligualquelasfuncionesdeentradaysalidaanalgicastiene predeterminadoelnombredeladaptadorinstaladoypreviamentereconocidoporelentorno MATLAB, as como los argumentos de sus entradas. Cadaobjeto(DIO)esasociadoconunsolosubsistema,porejemplo,paracrearunobjeto DIO asociado a National Instruments board se debe ejecutar la siguiente sintaxis: dio = digitalio('nidaq','Dev1'); El objeto de entrada/salida digital (DIO) ahora existe en el entorno de trabajo de MATLAB. De igual forma se puede mostrar por pantalla con el comando whos. 35 whos dio NameSize BytesClass dio 1x1 1308digitalio object Paraescribirunvalorenlaslneasdigitalesseutilizalafuncinputvalue.Estafuncin requiere el objeto DIO creado y los valores que han de ser escritos como argumentos de entrada. Se pueden especificar estos valores escribindolos en el sistema decimal o como un vector binario, por ejemplo,supngasequesecreounobjetoDIOdesalidayseleagregaronocholneasdesalida empezando por el puerto 0: dio = digitalio('nidaq','Dev1'); addline(dio,0:7,'out'); Para escribir el valor 24 en las ocho lneas contenidas en el objeto DIO, se pueden escribir directamente en el objeto del dispositivo de la siguiente forma: data = 24; putvalue(dio,data) Paraleerunvalordesdeunaomslneasdigitalesseutilizalafuncingetvalue.Esta funcinrequiereelobjetoDIOcreadocomoargumentodeentrada.Opcionalmentesepuede especificar los argumentos de salida que representan los valores recibidos en un vector binario, por ejemplo,supngasequesecreunobjetoDIOdeentradayseleagregaron8lneasdigitales, comenzando desde el puerto 0: dio = digitalio('nidaq','Dev1'); 36addline(dio,0:7,'in'); Para leer los valores que hay en esos puertos para el momento de la adquisicin se ejecuta la siguiente sintaxis: portval = getvalue(dio) portval = 1 1 1 0 1 0 0 0 En las figuras 2.18 y 2.19 se muestran los bloquesSIMULINK de entraday salida digitalrespectivamente: Figura 2.18 Bloque de Digital Input en SIMULINK 37 Figura 2.19 Bloque de Digital Output en SIMULINK Captulo 3 Marco Metodolgico 3.1. DISEO Y TIPO DE INVESTIGACIN. 3.1.1. PROYECTO FACTIBLE: Unproyectofactibleesaquelquepermitelaelaboracindeunmodelooperativoviable,ouna solucinposible,supropsitoessatisfacerunanecesidad,solucionarunproblemaodemostraruna teora. Este proyecto se puede entonces considerar como un proyecto factible. Las etapas de este proyecto:

Planeamiento y fundamentacin terica de la propuesta. Procedimiento metodolgico. Bsqueda de los recursos necesarios para su ejecucin. Anlisis y conclusiones sobre la viabilidad y realizacin del proyecto. Desarrollo y ejecucin de la propuesta. Anlisis y evaluacin de los resultados. 3.1.2. INVESTIGACIN DE CAMPO

El planteamiento del problema basndose en la realidad, en este caso con el propsito de entender sunaturalezaylosfactoresquelocomponen,explicarporquseoriginaelproblema,cualesson sus efectos, haciendo uso de mtodos caractersticos, enfoques de investigacin conocidos o propuestos. Enestecasolafuenteprincipaldedatossonlosdocumentosqueplanteanelproblemaylas investigaciones previas a este proyecto, los datos de inters son almacenados para luego ser utilizados, se trata entonces de una investigacin a partir de datos primarios. 3.1.2. INVESTIGACIN DOCUMENTAL

Esteproyectoestbasadoeninvestigacindocumentalyaquesetratadeestudiarun problemaconelpropsitodeampliaryprofundizarsuconocimientoapoyndoseentrabajos previos.Ademsseapoyaenfuentesbibliogrficas,lascualessustentanmediantelas informaciones recopiladas el objetivo que se han planteado en el proyecto. 3.2TCNICAS DE RECOPILACIN DE DATOS La recopilacin de datos se realiz a travs de Internet (PAPERS y proyectos previos), de libros, textos y especialmente documentacin obtenida en el curso de Simulacin del semestre 2/2007, donde se realizunasolucintericaalplanteamientodeesteproyecto,conresultadosaltamentesatisfactorios. Todaestadocumentacinfuereforzadaatravsdereunionesconespecialistasenelreadecontrol destacando al Profesor Asdrbal Romero, profesor tutor de este trabajo especial de grado. 3.3 METODOLOGIA Objetivoespecifico1:Obtenerlasecuacionesymodelodeestado,delprocesode transportedelacargadelagradetechopararealizarelprocesodelinealizacin.Pararealizareste primerobjetivoseobtuvieronlosdatosendetalledelprocesodetransportedecargadeunagrade techo, a travs de proyectos previos donde se planteaba el problema, se recopil informacin de libros y trabajos ya realizados, una vez conocido de forma detallada el proceso se definieron las ecuaciones que lo describan y con esto se obtuvo el modelo de estado. Una vez obtenido el modelo de estado se procedi a linealizar las ecuaciones que describen el proceso, ya que resultaron no lineales. Objetivoespecifico2:Disearelmodelodelprocesoatravsdelaherramienta SIMULINKdeMATLAB,paraimplementarelcontrolporrealimentacinlinealdelosestados.Este objetivosebasenlamodelacindelsistema,utilizandoSIMULINKconlosdatosquesemanejaron duranteeldesarrollodelproyectopreviorealizadoenlactedradeSimulacin.Lasgananciasde realimentacinseobtuvieronutilizandoelcomandoLQRdeMATLAB,deigualformaseobtuvo informacin acerca de cmo se maneja dicho comando, este objetivo sirvi para demostrar la efectividad de la realimentacin lineal de los estados. Objetivo3:Disearunobservadordeordenreducidoquepermitasimplificarelproceso de medicin utilizando los sensores de posicin del vehculo de transporte y el ngulo de inclinacin de lacarga.Previadocumentacindetodoloreferenteaobservadoresyespecialmenteaobservadoresde orden reducido, se procedi hallar lasecuaciones de estados del observador. Se busc la posibilidad de dejar solo dos estados. A los efectos de tomar la desicin de que entradas se medirian, se us el concepto de observabilidad, obteniendose como resultado solola posicin del vehculo de transporte y el ngulo de inclinacin de la carga. Se hallaron posteriormente las caractersticas del observador, y a travs de un programa realizado en MATLAB se hall la matriz L del observador. Finalmente con estos resultados, se procediadisear,apoyadosenlaherramientaSIMULINKdeMATLAB,elobservador,usandoun bloque denominado State-Space en donde se representa un sistema Lineal con sus matrices de estado. Objetivo4:Analizarysimularunasolucinpropuestabasadaenunestimadorque conllevealaeliminacindelsensordengulodeinclinacindelacarga.Dadoqueelprocesode medicindelngulodeinclinacindelacargademostrsercomplicadosedecididisearunsensor virtualbasndoseenlafuncindetransferenciadelnguloconrespectoalaposicindelvehculode transporte, este sensor virtual o estimador se encapsul en un subsistema en SIMULINK Objetivo5:ImplementarelcontroladorobtenidoconelDATAACQUISTION TOOLBOXdeMATLABparacomprobarlaefectividaddelcontrolporrealimentacinlinealdelos estados del sistema. Este objetivo result ser el ms complejo porque const de varias etapas, en primer lugar se model y construy una pista para la gra utilizando un motor DC adecuado.Posteriormente fue necesariobuscardocumentacinacercadelatarjetadeadquisicindedatos,sensoresdeposicin, simulacin en tiempo real y el DATA ACQUISITION TOOLBOX, en esta etapa se configurla tarjeta deadquisicindedatosNIUSB6008.Contodalainformacinrecabadaseconfigurelsensorde posicinenSIMULINK.Enlasegundaetapafuenecesarioconstruiruncircuitodepotenciaque permitiera enviar las seales de control desde la PC hasta el motor DC. Con todos los elementos del lazo de control debidamente configurados seprocedi a calcular las constantes del motor, con estas se dise elcontroladorparaelmodelorealenSIMULINKyateniendolosparmetrosrealesdelmotorDC, tomando en cuenta tambin la longitud real de la cuerda cuidando siempre que todos los procedimientos hechos fueran en tiempo real. En la tercera y ltima etapa se procedi a experimentar con el modelo de gra de techo a escala realizo y se estudi la efectividad del controlador diseado. Captulo 4 Obtencin de la ley de control En este captulo se explicar de forma sistemtica cada uno de los pasos necesarios para la obtencin del controlador por realimentacin lineal de estados para la gra de techo.Bsicamente, el contenido de este captulo corresponde a lo que se hizo en el proyecto final de la asignatura de 43 simulacin del semestre 2-2007, del cual parti la idea de implementar en este trabajo especial de grado el esquema de control obtenido. 4.1 OBTENCIN DEL MODELO FSICO En la figura 4.1, se muestra el esquema del prototipo de transporte de cargas mediante una gra de techo,se asumir un pasillode40 metros,ylaposicindeseada para la carga serde 20 metros. Cabe acotar que estos valores mencionados fueron tomados para el proceso de modelado y simulacin. Figura 4.1 Esquema del prototipo de gra de techo Enlafigura4.2semuestraeldiagramadecuerpolibresobrelacargaevidenciandolas diferentes variables que actan en el proceso. 44 Figura 4.2 Esquema de las variables que actan en el sistema Como paso preliminar antes de determinar las ecuaciones del sistema, definimos las variables a continuacin: :tXPosicin del vehculo de transporte. :'tX Velocidad del vehculo de transporte. : Posicin angular de la carga. ' : Velocidad angular de la carga. Las ecuaciones de movimiento de la carga son las siguientes: ) ( lsen X Xt l+ =(e.4.1) ) cos( l Yl =(e.4.2) Aplicando la segunda ley de newton en la carga: ) ( 1.. Fsen x m = (e.4.3) 45 mg F y m = ) cos(1.. (e.4.4) De donde la m es la masa de la carga, F es la tensin de la cuerda, y g es la constante de la gravedad. Eliminando F de la ecuacin e.4.3 y e.4.4 queda: ) ( ) ( ) cos(.. .. gsen sen Y X l l = +(e.4.5) Alderivardosveceslasecuacionese.4.1ye.4.2suponiendoalconstantequedalo siguiente: ) ( ) cos() cos( ) (..2. ..1...2..1.. sen l l yl sen l x x t+ =+ =(e.4.6) Sustituyendo las expresiones de (e.4.6) en (e.4.5) queda: ) ( ) cos(.. .. gsen l xt = +(e.4.7) lx gsen t ) cos( ) (.... + =(e.4.8) Dado que el vehculo de transporte va a ser movido por un motor DC, se debe conocer cual eslafuncindetransferenciatpicateniendocomoentrada(U)unasealdevoltajeyteniendo como salida la velocidad ( 'tX ) la cual se muestra a continuacin: ) 1 ('+=SKUXt(e.4.9) Donde las constantes de tiempo elctricas han sido despreciadas. Considerando por otra parte, que la posicin es la integral de la velocidad, la funcin de transferencia de la posicin con respecto a la entrada del motor es:) 1 ( +=S SKUXt(e.4.10) Luego de obtener las ecuaciones del sistema, se procedi a disear el modelo de estados no lineal del proceso. Definiendo los estados del sistema: tX X =1 46 '2 tX X = =3X '4 = XSe obtienen las siguientes ecuaciones de estado: 1. 2'1X X =2. KU XX+ =2 '2 De la siguiente ecuacin:lx gsen t ) cos( ) (.... + = Obtenemos los otros 2 estados: 3. 4 3' X X =4. lXKUXX gsenX) cos( )) ( ( ) (323'4 + + =Como variable de salida (Y) del modelo de estados tomaremos la posicin horizontal de la carga, quedando como ecuacin de salida: 1 3( ) Y X lsen X = +EnbasealmodelodeestadosylafuncindetransferenciadelmotorDCseprocedia implementar el diagrama de simulacin del funcionamiento del proceso en cadena abierta mediante laherramientaSIMULINKdeMATLABquesemuestraenlafigura4.3.Seutilizaronlos siguientes valores en lo que se refiere a las constantes del motor y la longitud de la cuerda. K=0.19 = 0.065 l=0.63 47 Figura 4.3 Modelo SIMULINK de la grua de techo en cadena abierta La entrada que se aplic al motor DC en el modelo SIMULINK ilustrado en la figura 4.3 fue una entrada de tipo escaln, con un valor de 8 Voltios, para llegar a una posicin deseada de 20 metros. Dado que el sistema se encuentra en cadena abierta el proceso de parada se debio realizar a traves de otra entrada escaln con el mismo valor de voltaje (8 Voltios) pero con signo contrario, ahorabien,paraelcalculodeltiempoenquesedebioaplicaresteescalnsetomoencuentalo siguiente: La expresin que define la velocidad de un motor DC en rgimen permanente es:KU V = ,tomandoelvalordeK=0.19correspondienteconlasconstantesdelmotor,yU=8 Voltios correspondientes a la entrada al motor. De all obtenemos que la velocidad es: V=1.52 m/s. En primera aproximacin, a los efectos de calcular el tiempo, se aplica la ecuacin de movimiento uniforme como si la velocidad calculada fuera constante: t V Xf* = , representandofXa la posicin deseada, 20 metros, y se despeja el tiempo: 48 ss mmVXtf15 . 13/ 52 . 120= = =Enlasfiguras4.4y4.5semuestraelcomportamientodelasvariablesdeposicin horizontalyverticaldelacargaascomosuposicinangular,seevidenciaelcomportamiento pendularqueesobjetodeestudioenestetrabajoespecialdegradoalosfinesdeobtenersu supresin. Figura 4.4 Posicin horizontal y vertical de la carga en cadena abierta 49 Figura 4.5 Comportamiento del ngulo en la carga en cadena abierta Adicionalmente, se program una rutina en MATLAB llamada migrafico.m para visualizar de forma animada el comportamiento de las variables de posicin horizontal y vertical de la carga,a continuacin se muestra el cdigo de la rutina mencionada En la figura 4.6 se muestra la grfica creada por la rutina migrafico.m correspondiente a un instante dado de la simulacin. function nill=migrafico(u); plot([u(1) u(2)],[2.5 2.5+u(3)],'-sk');axis([0 40 0 2.5]) nill=0; De donde: u(1)=posicin horizontal del vehiculo de transporte u(2)=posicin horizontal de la carga u(3)= posicin vertical de la carga relativa al techo 50 Figura 4.6 Grafica de posicin horizontal y vertical de la carga creada por la rutina migrafico.m 4.2 PROCESO DE LINEALIZACIN A continuacin se muestra el modelo de estados variacional del sistema Ul KKXXXXlglXXXX(((((

+(((((

((((((

=00*0 1 01 0 0 00 0100 0 1 04321'4'3'2'1 PD X X = 1 1; siendoPD la posicion deseada y es la entrada del controlador 51 02 2 = X X ; velocidad nominal0'= Xt03 3 = X X ; nominal es =0 04 4 = X X ; ' nominal es =0 014=Xf l lXXf 1 ) cos(324= = ; Ya que1 ) 0 cos( =[ ])) ( * *() cos( 32334lX sen UKXlX gXf ++= 044=Xf ) ( 1 sen X Xlt + = + = = ) cos( 11Xt Y X; Con1 ) cos( = , la ecuacin linealizada de la salida resulta: 1 3Y X l X = +Partiendo del modelo de estados variacional: UlKXlgXlX ||

\|+ ||

\| ||

\| = 3 2 41'Tambin se puede deducir que : UK XX + = 22'Dividiendo esta ultima expresin entre l tenemos que : UlKlXlX + = 2 2' , sustituimos esta ecuacin en la expresin de'4X : 324'' XlglXX ||

\| ||

\| = Tomando en cuenta que..4' = X , ..2'tX X = y = 3Xy despejando) (s Xt la expresin anterior queda expresada de la siguiente manera: 52 ) ( ) ( ) (2 2s g lS s X St + = (e.4.11) De la ecuacine.4.2 obtenemos lX como: ) ( ) ( ) ( s l s X s Xt l + = Despejando de e.4.11 y colocndola en la ecuacin anterior tenemos: ) () 1 )( (* ) ( ) (22s US g lS SK Sl s X s Xt l+ ++ = (e.4.12) Sustituyendo la ecuacin e.4.10, en la ecuacin e.4.11tenemos como resultado: 22( )( ) ( )( 1) ( )( 1)lK U s lS KX s U sS S S lS g S = + + + + Finalmente sacando factor comn obtenemos: ) () () 1 () 1 () (22s Ug lSlSS SKs Xl+++= Acontinuacinsemuestralafuncindetransferencia) () (s Us Xlensumodelo linealizado: ) )( 1 () 2 () () (22lgS S SlgS Ks Us Xl+ ++=(e.4.13) La ecuacin e.4.13 muestra la funcin de transferencia ) () (s Us Xldel sistema. Siendo U(s) la seal de entrada, y) (s Xl la posicin horizontal de la carga. A continuacin se procedi a analizar el comportamiento del sistema en cadena cerrada con el uso de un control proporcional clsico, implementando un modelo SIMULINK, en la figura 4.7 se muestra el esquema de la Gra de techo en cadena cerrada usando control proporcional, con una posicin deseada de 20 metros al igual que el modelo en cadena abierta. 53 Figura 4.7Modelo SIMULINK con control proporcional En las figuras 4.8 y, 4.9 y 4.10 se muestran el comportamiento de las variables del sistema. 54 Figura 4.8 Entrada al motor DC 55 Figura 4.9 Posicin horizontal y vertical de la carga. 56 Figura 4.10 Angulo alpha en el tiempo Lasfiguras4.8,4.9y4.10evidencianqueelcontrolproporcionalnopuedeevitarel movimiento oscilatorio de la carga.Usando la funcin de transferencia ) () (s Us Xl linealizada, se procedi a construir el LGR del sistemaencadenacerradaconcontrolproporcionalclsicomedianteelcomandoSISOTOOLde Matlab, el resultado del lugar geomtrico de las races se muestra en la figura 4.11 57 Figura 4.11 Lugar geomtrico de las races del sistema en cadena cerrada con control clsico En la figura 4.11, se observa como quedan ubicados los polos y ceros de la cadena abierta en el LGR, destacndose el par de polos imaginarios puros ubicados en/ j g l y el par de ceros imaginarios puros ubicados en/ 2 j g l tal como lo refleja la funcin de transferencia mostrada en la ecuacin e. 4.13 , estas ubicaciones generan dos ramas conjugadas que van desde los ceros a los polos referidos sobre las que se van a desplazar, necesariamente, polos complejos de la cadena cerradaconmuybajofactordeamortiguacin,loscualessonlosresponsablesdelfenmenode oscilacin que se observa al aplicar control proporcional.Es importante resaltar que la inclusin de accin derivativa en el controlador, que implica la adicin de ceros reales en la cadena abierta, no va a lograr la reubicacin de los polos indeseables, por lo que mediante la aplicacin de cualquier esquema de control convencional no se va a lograr la supresin del movimiento pendular, y es esto lo que nos lleva a considerar otro tipo de esquema controlador. 4.3 IMPLEMENTACIN DE REALIMENTACIN LINEAL DE LOS ESTADOS Enelapartadoanteriorsepudoconstatarqueelcontrolconvencionalfueincapazde suprimirelmovimientopendulardelacarga,dadoquefueimposiblereubicarlospolosindeseables, situacin evidenciada en la figura 4.11. 58 Basadosenelconceptoderealimentacinlinealdelosestadosexplicadoenelapartado 2.2.1delmarcoterico,podemosafirmarquelarealimentacindeestadospermiteubicarlos autovalores del sistema realimentado en cualquier posicin, y que la ganancia de realimentacin K puedecalcularseporsubstitucindirecta.Estonosllevaevaluarlaposibilidaddeutilizareste esquemadecontrolparareubicarlospolosindeseablesdelsistemaencuestinenestetrabajo especialdegrado.AhorabienelmtodoclsicoparalaimplementacindeuncontroladorRLE consisteencalcularlasgananciasderealimentacinteniendocomodatolospolosdeseadosen cadenacerradaycomoesbiensabido,hastaestepunto,ennuestrosistemanosetieneunaidea clara de donde han de estar ubicados estos polos, por esta razn, es necesario apelar a otra tcnica para conseguir las ganancias de realimentacin del controlador. El mtodo alternativo que planteamos para obtener las ganancias de realimentacin para el controlador RLE se explica en detalle en el apartado 2.2.2 del marco terico, referido al regulador linealcuadrtico(LQR),estaherramientadecontrolmodernohaceposiblelaobtencindelos parmetrosdeuncontroladorporrealimentacindevariablesdeestadomedianteunalgoritmo matemtico basado en factores de penalizacin sobre las variables de estado y entrada del sistema.

4.3.1 MODELO SIMULINK DE LA GRUA DE TECHO EN CADENA CERRADA Siguiendolateoraderealimentacinlinealdeestadosexplicadaenelapartado2.2.1 podemosafirmarquelasealdeentradaalsistemaencuestinserunacombinacinlinealde todas las variables de estado del proceso. 1 1 2 2 3 3 4 4U K X K X K X K X = De donde: 4 3 2 1, , , K K K K son las ganancias de realimentacin del controlador RLE 4 3 2 1, , , X X X X son las variables de estado linealizadas. Recordando que: PD X X = 1 1; siendoPD la posicion deseada y es la entrada del controlador 02 2 = X X ; velocidad nominal0'= Xt03 3 = X X ; nominal es =0 04 4 = X X ; ' nominal es =0 59 Podemos expresar a la seal de entrada del sistema de la siguiente manera: '4 3'2 1) ( K K X K PD X K Ut t ='4 3'2 1 1 K K X K X K PD K Ut t =En base a esta informacin se obtuvo el modelo en cadena cerrada de la gra de techo. Figura 4.12 Modelo SIMULINK de la gra de techo en cadena cerrada Enlafigura4.12,semuestraelsistemaenlazocerrado.Dentrodelsubsistema (controlador)seencuentraelcontroladorRLE,selediseunamascaraaestesubsistemapara manipular con mayor facilidad las ganancias de realimentacin del controlador. 60 Figura 4.13 Controlador de realimentacin lineal de los estados Enlafigura4.13,seobservaelsubsistemademanerainterna,sedemuestraqueesta conformadoporlaentradadetodoslosestadosmultiplicadosporsusrespectivasgananciasyla salida (out1) va directamente a la entrada del sistema como se ve en la figura anterior. 61 Figura 4.14 Mascara del controlador por realimentacin lineal de estados Enlafigura4.14semuestralamascaradelcontroladorporrealimentacinlinealde estados, con sus respectivas ganancias. 4.3.2DETERMINACIN DE LAS GANANCIAS DE LA REALIMENTACIN LINEAL DE LOS ESTADOS ( ) , , , (4 3 2 1K K K K Se realizar el clculo de) , , , (4 3 2 1K K K K , utilizando el comando LQR (Regulador Lineal Optimo) de la herramienta MATLAB. LamatrizQ,eslamatrizdelosfactoresdepenalizacinennuestrocasoserq1,quese refiere a la posicin y q3 que se refiere al ngulo , directamente proporcional a la oscilacin de la carga, cabeacotar quede igual modo sepenalizarel factor R para limitar la entrada,tambin se verificarnalgunosfactoresdepenalizacinsecundariosquesonq2yq4quecorrespondenala velocidad del vehculo de transporte y la velocidad del ngulo Las matrices A, B, Cy D se obtendrn mediante la rutina de MATLAB que se muestra a continuacin: 62 Deesarutinaseobtienenlosvaloresexactosdecadaunadelasmatricesquesenecesitanpara ejecutar el comando LQR: ElcomandoLQRdeMATLABalrecibirlasmatricesAyBdelsistemaascomolos factoresdepenalizacinparacadaunodelosestadosenlamatrizQsepuedenobtener directamentelasgananciasdelarealimentacinlinealdelosestados,cabeacotarquetambin existe en esta funcin LQR un parmetro R que es una matriz que penaliza la seal de entrada. 63 Paraobtenerlasgananciasderealimentacindeestadossehizounprogramaquecalcula directamente las ganancias de realimentacin teniendo como parmetros de entrada los factores de penalizacin para cada unodelos estados (q1,q2,q3,q4) as como el factor R que penalizaraa la entrada, el cdigo del programa es el siguiente: Serealizaronvariaspruebascondiferentesfactoresdepenalizacin,dichaspruebasse muestran a continuacin observando sus respuestas en la entrada y en la salida del sistema. EXPERIMENTO 1 >> parametrosk(1.4,0,20,0,1,0) K = 1.18320.17484.39570.2087 S = 6.43430.93550.2469 -0.3344 0.93552.47381.4692 -1.5208 0.24691.4692 16.52100.0218 -0.3344 -1.52080.02181.0031 E = -15.3305 -0.2249 -0.6543 + 3.8959i -0.6543 - 3.8959i function f=parametrosk(q1,q2,q3,q4,R,N) tau=0.065; k=0.19; l=0.63; g=9.8; A=[0 1 0 0;0 -1/tau 0 0;0 0 0 1;0 -1/(l*tau) -g/l 0]; B=[0;k/tau;0;k/(l*tau)]; C=[1 0 l 0]; D=[0]; Q=[q1 0 0 0;0 q2 0 0;0 0 q3 0;0 0 0 q4];[K,S,E]=LQR(A,B,Q,R,N) set_param ('sysmodificado/Controlador','k1', num2str(K(1))); set_param ('sysmodificado/Controlador','k2', num2str(K(2))); set_param ('sysmodificado/Controlador','k3', num2str(K(3))); set_param ('sysmodificado/Controlador','k4',num2str(K(4))); set_param ('sysmodificado/Controlador','k1',num2str (K(1))); 64 Figura 4.15 Angulo Alpha en el primer experimento de LQR En la figura 4.15, se muestra el comportamiento del ngulo Alpha en el tiempo, se observa queelmismoseestabilizaenuntiempoaproximadode12segundos,locualnoesunamala respuesta, sin embargo al inicio se observan picos que llegandesde -40 hasta +40, lo cual es un rango inadmisible, razn por la cual hay que hacer mas experimentos para mejorar esta respuesta. 65 Figura 4.16 Entrada al motor en el primer experimento LQR En la figura 4.16, se muestra la seal de entrada al sistema antes y despus de pasar por el limitador, se observa que de la salida del controlador llegan niveles de tensin superiores a los 25 V, lo cual no es admisible ya que el motor DC que se usa en la simulacin tiene un rango mximo de operacin de 10 V, la ley de control se pierde en gran parte, situacin que se pone de manifiesto en la entrada al sistema luego de pasar por el limitador. EXPERIMENTO 2 parametrosk(1.8,2,110,80,7.5,0) K = 0.48990.1638 11.49891.7633 66 Figura 4.17 67 Angulo alpha en el segundo experimento LQR En la figura 4.17, se muestra el comportamiento del Angulo Alpha en el tiempo, se observa queelmismoseestabilizaenuntiempoaproximadode3segundos,estorepresentaunamejora sustancialconrespecto al experimentoanterior, con respecto alas oscilacionesincialessepuede observar que pudieron minimizar a la mitad aproximadamente, el Angulo oscila inicialmente entre aproximadamente -22 y 8 lo cual es un nivel manejable. Figura 4.18 Entrada al motor en el segundo experimento LQR En la figura 4.18, se muestra la seal de entrada al sistema antes y despus de pasar por el limitador,seobservaquedelasalidadelcontroladorllegannivelesdetensinprricamente superiores a los 10 V, a pesar de ser un pico conun corto tiempo de duracin sepierdela ley de controlya que el motor DC que se usa en la simulacin tiene un rango mximo de operacin de 10 V, se har un nuevo experimento aumentando un poco ms el factor de penalizacin R. 68 EXPERIMENTO 3 Experimento 3 parametrosk(1.8,2,120,80,9,0) K = 0.44720.1407 10.65601.5641 S = 21.75015.75346.2954 -2.7572 5.7534 52.6733 78.8268-32.9113 6.2954 78.8268519.7287-28.9911 -2.7572-32.9113-28.9911 23.7681 E = -20.3898 -1.2893 + 3.1814i -1.2893 - 3.1814i -0.0846 69 Figura 4.19 Angulo alpha en el tercer experimento LQR En la figura 4.19 semuestra el comportamiento del Angulo Alpha en el tiempo, se observa que el mismo se estabiliza en un tiempo aproximado de 3 segundos, lo cual es una respuesta similar alexperimentoanterior, conrespectoalasoscilacionesincialessepuedeobservarquehubouna mejora dado que ahora las mismas van desde -22 hasta aproximadamente 6. 70 Figura 4.20 Entrada al motor en el tercer experimento LQR En la figura 4.20, se muestra la seal de entrada al sistema antes y despus de pasar por el limitador, se observa que de la salida del controlador esta llegando a un nivel que no supera los 10 V, lo cual es un comportamiento deseado esto gracias al factor de penalizacin R que se coloc en el programa, se observa quela ley de controlsemantiene intacta tanto a la salida del controlador como a la entrada del sistema. 71 Figura 4.21 Posicin horizontal y vertical de la carga en el tercer experimento LQR Enlafigura4.21,semuestraparaelexperimentodefinitivolaposicindelacargatanto horizontal como vertical con respecto al tiempo, se observa que la carga llega a su posicin deseada quees20m(Lamitaddelpasilloentero),encuantoalaposicinverticalobservamosque rpidamente se estabiliza en 0.63 m lo cual es lgico ya que esta es la longitud de la cuerda, cabe acotar que el tiempo en que llega la carga a su posicin deseada es mayor al tiempo que tardaba en llegar lacargacuandoelsistemaestabaencadenaabierta,por lo tantoseconcluyequetuvoque sacrificarse un poco la velocidad para poder lograr la ley de control deseada. 4.4 DISEO DEL OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDOParapoderimplementarenlaprcticaesteproyectosegnelmontajeanteriorsedeben tenercuatro(4)sensores,paramedircadaunodelosestados,estoesimprcticoysumamente costoso, por esa razn se plantela idea de disear un observador que se encargara de estimar tres 72 deloscuatroestados,apartirdeunodeellos.Dadoquelaposicindelcarro,eselestadoque puedesermedidomsfcilmente,setomeste,comopuntodepartidaparaestimarlosestados restantes, esta hiptesis no se pudo implementar, debido a la imposibilidad de obtener a partir de la posicin,losotrostresestados.Ensegundotrminoseevalulaposibilidaddedejarlosdos primeros estados: la posicin del carro (tx )y lavelocidad ( 'tx ),como variables medidas por los sensoresylasotrasdos,quesonelngulodelacarga( )yvariacindelngulo( ' ),como estadosestimados para obtener as un observador de orden reducido. Apelando al apartado 2.2.3.3 del marco terico podemos citar la ecuacin de un observador de orden reducido: Partimos del modelo de estados linealizado previamente en el apartado 4.2: UXXXXtttt(((((

+(((((

(((((

=(((((

*6298 . 409281 . 20''*0 55 . 15 42 . 24 01 0 0 00 0 38 . 15 00 0 1 0' ''' '' La matriz A del sistema fue previamente calculada y es la siguiente: A = 01 0 0 0-15.38 0 0 00 0 1 0-24.42 -15.50 73 De donde: Como se puede observar la matriz A12 es una matriz nula, esto la hace no observable. En otrostrminosesteresultadoexpresaquelosestados y' nopuedenserestimadosporlas variablesmedidasde tx y tx `.Porlasrazonesexpuestas,laideadeimplementarcomoestados medidos la posicin y la velocidad del vehculo no es realizable. Cmo accin siguiente se tomancomo estados medidos a tx(Posicin del trolley) y al ngulo, dejando que los otros dos estados sean estimados porel observador A11 = 0 1 0-15.38 A12= 0 0 00 A21= 0 0 0 -24.42 A22 = 01 -15.50 74 ((

=((

=txYYY21 Son entradas del observador (Variables medidas) ((

=''txW Son salidas del observador (Variables estimadas) El observador tiene las siguientes caractersticas: 2 estados 3 entradas 2 salidas [ ] [ ](((((

+((

=((

txUBw ByZZLA AZZ LM * *''2112 2221 Salidas del observador: ((

((

+((

((

=((

XtL LL LZZWW* *1 00 122 2112 112121 Del modelo de estados se obtiene: A = 01 0 0 0-15.38 0 0 00 0 1 0-24.42 -15.50 B = 0 2.9231 0 4.6398 75 Deallsededucecadaunadelasmatricesparaestenuevoordenamientoenlosestados, paralograrlaimplementacindediseodeobservadoresdeordenreducidocomoloexpresala ecuacin e2.7 del marco terico. ParaobtenerlamatrizLdelobservador,esnecesarioobtenerA22T(A22transpuesta)y A12T(A12transpuesta).ConestasmatricesylamatrizP(quecontendrunpardepolosmuy cercanosaldobledelpolomsalejadodelorigenarrojadoporelcomandoLQR)seformarla entrada del comando PLACE, que arrojar como resultado la matriz K. Al obtener la transpuesta de la matriz K, se obtendr finalmente la matriz L deseada, se procede en MATLAB a calcular A12T y A22T: A11 = 0 0 0 0

A12 = 1 0 0 1 A21 = 0 0 0 -15.5 A22 = -15.380 -24.420 B1 = 0 0 B2= 2.9231 4.6398 >> A22T=A22' A22T = -15.38-24.42 0 0 >> A12T=A12' A12T = 1 0 0 1 76 Dado que el polo mas alejado del origen que fue indicado por el LQR fue en -20.3898, se decidi colocar dos polos, uno en el doble de ese ltimo numero, que seria -40.7796 y otro -42. Es necesario recalcar que el comando PLACE, no acepta multiplicidad de polos, por esta razn no se colocaron polos iguales, pero si muy cercanos; ya con estos datos se procedi a correr el comando PLACE. Obtenida la matriz L, se procede a buscar cada una de las matrices del observador: En primer lugar se obtienela matriz A del observador: LuegoseprocedeacalcularlamatrizBdelobservador,lacualestacompuestaporlas3 entradas del sistema.La primera columna de esta matriz B, viene a ser el trmino1 2LB B ,que corresponde a la entra U del sistema, el cual fue calculado aparte: >> P=[-40.7796;-42] P = -40.7796 -42.0000 >> K=PLACE(A22T,A12T,P) K = 25.3996-24.4200 0 42.0000 >> L=K' L = 25.3996 0 -24.4200 42.0000 >> AOBS=A22-(L*A12) AOBS = -40.7796 0 0-42.0000 77 Lasotrasdoscolumnasrepresentanlasdosentradasdelosestadosmedidosqueson entradas al observador se calcularon de la siguiente manera: Finalmente se arma la matriz B del observador con los datos anteriores: LasmatricesCyDdelobservadorseobtienenfcilmentedelaecuacin: LY Z W + =que en forma matricial vendra a ser: >> BU=B2-L*B1 BU = 2.9231 4.6398 BY=(A21-(L*A11))+((A22-(L*A12))*L) BY = 1.0e+003 * -1.0358 0 1.0256 -1.7796 >> BOBS=[2.9231 -1.0358e+003 0;4.6398 1.0256e+003 -1.7796e+003] BOBS = 1.0e+003 * 0.0029 -1.0358 0 0.00461.0256 -1.7796 78 Conestascuatromatrices,seobtienentodoslosparmetrosquesebuscabandel observador. Finalmenteconestosresultados,seprocedeaconstruir,apoyadosenlaherramienta SIMULINK de MATLAB,el observador, usando un bloque denominado State-Space en donde se representa un sistema Lineal con sus matrices de estado. Figura 4.22 Sistema a lazo cerrado con observador C0BS = 1 0 01 DOBS = 0 25.3996 0 0-24.4200 42 79 Enlafigura4.22semuestraalsistemaenlazocerradojuntoconelobservadorya implementado, las entradas del mismo son: la entrada U del sistema,PD Xt y el nguloque son los estados medidos, la salida del observador es un vector que contiene los estados estimados 'Xty la variacin del ngulo ' . Figura 4.23 Bloque SIMULINK para los parmetros del observador. Enlafigura4.23semuestracomoluegodesercalculadaslasmatricesA,B,CyDdel observador, fueron sustituidos esos valores resultantes en el bloque de SIMULINK. Para comprobar que el observador est bien diseado, se procede a realizar el experimento conelcontroladorporrealimentacinlinealdelosestadosperoadicionandolapresenciadel 80 observador de orden reducido que se dise en los apartados anteriores, bajo condiciones similares, dgase con los mismos valores de K en el controlador. Figura 4.24 ngulo Alpha Vs. Tiempo Enlafigura4.24semuestraelcomportamientodelnguloAlphaeneltiempo,esta respuestaesprcticamenteidnticaconrespectoalexperimentorealizadoencadenacerrada midiendo los 4 estados (sin observador).

81 Figura 4.25 Entrada del sistema con observador En la figura 4.25 se puede observar que el comportamiento de la entrada tanto antes como despusdepasarporellimitadoresmuysimilaraldelexperimentorealizadoencadenacerrada midiendolos4estados(sinobservador).Salvounpicomnimoqueocurrealiniciodela simulacinqueapenassuperalos10Voltios,perodadoqueestepicoespequeoyseprolonga muy poco tiempo se puede considerar despreciable, por ende, no afecta significativamente la ley de control. 82 Figura 4.26 Posicin horizontal y vertical de la carga con observador. Enlafigura4.26seobservalaposicindelacargatantoverticalcomohorizontalenel tiempodesimulacin,elcomportamientodelagrficaessimilartambinaldelexperimento realizadoenlazocerradoconelcontroladorporrealimentacinlinealdelosestadossin observador. 4.5DISEODESENSORVIRTUALEIMPLEMENTACINDECONTROLEN CASCADA.

Elmedirelngulodeinclinacindelacargaessindudaunprocesocomplicadoyhasta este punto, todos los esquemas de control por realimentacin lineal de estados diseados necesitan 83 elsensordeposicinangular.Basadosenlosantecedentesdeestetrabajoespecialdegrado(ver apartado 2.1) se tom especial atencin en la investigacin realizada por Mahmud Iwan Solihin y elgrupoWahyudi,dondeseproponeeldiseodeuncontrolautomticoparagrasdetecho utilizandounsensorvirtual(SOFTSENSOR)suplantandoalsensordengulofsico,tomando como precedente esta idea, se observo que la ecuacin 4.11 presenta una relacin entre la posicin del vehculo de transporte) (s Xt y la posicin angular de la carga

) (s A continuacin citamos la ecuacin mencionada: ) ( ) ( ) (2 2s g lS s X St + =e.(4.11) Podemos despejar a (s): ) ( ) ( ' s S s = De esta manera se puede obtener una expresin estimada del ngulo de inclinacin y su variacin . Solamente midiendo la posicin del vehculo de carga Xt, lo que reducira la cantidad de sensores a solo uno. En la figura 4.27 se muestra el subsistema SIMULINK del sensor virtual. Figura 4.27 Subsistema del sensor virtual. En la figura 4.27 se observa el subsistema del sensor virtual. ) ( .) () (22s Xg lSSst((

+= 84 4.6 DISEO E IMPLEMENTACIN DEL CONTROLADOR EN CASCADA En este apartado se plantea una solucin prctica basada en un control en cascada, donde se puede prescindir del sensor de inclinacin y slo se necesita un sensor, que seria el de posicin del vehculodetransporte,haciendousodeunsensorvirtual,quepuedaestimarelngulode inclinacindelacargaylavariacindelngulodeinclinacinde lacarga. Cabedestacarqueel uso de este control sigue estando relacionado con la realimentacin lineal de los estados, dado que seutilizarnlascuatroganancias(K1,K2,K3,K4)calculadaspreviamentevaLQRparapoder obtener los parmetros del controlador en cascada.En la figura 4.22 se muestra un diagrama explicativo del control en cascada para el modelo. Figura 4.28Control en cascada del sistema. El esquema del control en cascada se representa en la figura 4.28. De donde: ' ' ) ( ) (2 2 1 2 1 2 1 P P P X P TdKcP X PD P KcP t Ut t =Recordando la ley de control obtenida por realimentacin lineal de los estados: ' ' ) (4 3 2 1 1 K K X K X K PD K t Ut t = Igualandolasexpresionesanteriorespodemosencontrarlosparmetrosdelcontroladoren cascada de la siguiente manera: ) (2 12P KcPKTd =) (2 11P PKKc = 85 231PKP=4 2K P= Enbasealoexpuestoseprocedeaconstruirdelmodelodelagradetechoencadena cerrada mediante un control en cascada con las mismas constantes utilizadas en los apartados 4.3 y 4.4 Figura 4.29 Modelo en cadena cerrada usando sensor virtual y control en cascada Enlafigura4.29semuestralamscaradelsubsistemadondeseimplementel controlador. 86 Figura 4.30 Mscara del controlador en cascada Lamscaradelcontroladorsemuestraenlafigura4.30.Laconstitucininternadeeste bloque controlador se muestra en la figura 4.31 87 Figura 4.31 constitucin interna del controlador en cascada Luegodetenercalculadoslosparmetrosdelcontroladorencascadaseprocedea visualizarporelScopeelcomportamientodelsistemaconrespectoasusvariablesms importantes. 88 Figura 4.32 Posicin de la carga horizontalXly Posicin de la carga verticalYl En la figura 4.32 se puede observar que la carga llega a la posicin horizontal deseada de 20metros.Encuantoalaposicinverticaldelacargasepuedeconcluirqueexisteunaligera oscilacin que llega cercano a los 0.59 metros para rpidamente estabilizarse en 0.63 metros que es la longitud de la cuerda. 89 Figura 4.33ngulo de inclinacin de la carga Enlafigura4.33sepuedeobservarelcomportamientodelngulodeinclinacindela carga.Comoeradeesperarseexisteunaoscilacinenelarranquedelagraquellegaaunpico inferiorde-20gradosyunpicosuperiordeaproximadamente7grados,paraluegoestabilizarse alrededordecerogrados,sepuedenotarqueelcontroldelngulodeinclinacinnoesperfecto, massinembargoestasoscilacionessonmenoresde1grado,portantosepuedenconsiderar aceptables. 4.7IMPLEMENTACINDEOBSERVADORDEORDENREDUCIDOCONSENSOR VIRTUAL Enelapartado4.4seplanteeldiseodeunobservadordeordenreducidoparaestimar dos de los cuatro estados y por ende usar solo dos sensores, que serian el de posicin del vehculo 90 detransporteyelsensordeinclinacin.Enesteapartadoseplanteaimplementarelmismo observador de orden reducido agregndole un sensor virtual similar al diseado en el apartado 4.5, paradeestamaneraprescindirdelsensordeinclinacinangular,enlafigura4.34semuestrael modelo SIMULINK de la gra de techo en cadena cerrada usando un observador de orden reducido y un sensor virtual de inclinacin de la carga. Figura 4.34 Modelo SIMULINK usando observadores y sensor virtual A continuacin se muestra el comportamiento de los estados del sistema. 91 Figura 4.35 Comportamiento deXlyYl usando observadores con sensor virtual Enlafigura4.35semuestraelcomportamientodelaposicinhorizontalyverticaldela carga,observandoqueelresultadoessatisfactoriodadoquesellegaalaposicinhorizontal deseada que es 20 m, en la posicin vertical de la carga se observa una oscilacin inicial que llega a 0.58 metros, para luego estabilizarse en 0.63 metros rpidamente y durante todo el trayecto. 92 Figura 4.36 Comportamiento del ngulo de inclinacin de la carga usando observador y sensor virtual En la figura 4.36 se observa una oscilacin en la carga de -22 grados aproximadamente al arranquedelagra,paraluegotenerunpicosuperiordeaproximadamente7gradosparaluego mantenerse aproximadamente 1 grado. Enestecaptulo,partiendodelmodelofsicodelagradetechoseplantearondiferentes esquemas de control basados en la teora de realimentacin lineal de los estados. Comenzando por uncontroladorRLE,concuatrosvariablesmedidas,posteriormente,sediseelmismo controladorconlapresenciadeunobservadordeordenreducido,reduciendodeestamanerala cantidad de variables medidas a dos, sin embargo,de los esquemas de control diseados, los mas 93 ajustados a la aplicacin practicason el controlador en cascada con sensor virtual y el observador deordenreducidoconsensorvirtual,lapresenciadelsensorvirtualenambosesquemaspermite obtener lamedicindelngulodeformamssencilla, prescindiendodeunsensorrealdengulo queenmuchos casosresulta costoso,difcil de conseguiryadems impreciso. Cabedestacarque los esquemas de control mostrados en este captulo son la base terica fundamental para el diseo delcontroladordelagradetechoaescalaqueesobjetodeestudioenestetrabajoespecialde grado. 94 Captulo 5 Configuracin del lazo de control En este captulo se explicar en detalle todo lo concerniente a la configuracin del lazo de control para la gra de techo real, contemplando todo lo referente a la construccin de la pista, la configuracin del sensor de posicin y la instalacin de la tarjeta de adquisicin de datos, as como eldiseodelosdiferentesprocedimientosybloquesenMATLABparahacerposiblela implementacin real de la ley de control obtenida en el capitulo 4. 95 5.1MATERIALES Y EQUIPOS A UTILIZAR EN LA CONSTRUCCIN Pista de la gra de techo. Motor DC 12 V para el vehculo de transporte, corriente a plena carga de 700 mA. SensordeproximidadMarca:SHARP.ModeloGP2D2conalcancemximode80 centmetros. TarjetadeadquisicindedatosmodeloMarca:NATIONALINSTRUMENTS.Modelo NIUSB6008 MicrocontroladorMarca: MICROCHIP. Modelo: PIC16F876 Circuito Puente H controlador para motor DC Modelo: L293B PC de escritorio o LAPTOP Pentium IV.