control estocastic discretoo francisco xavier …
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"CONTROL ESTOCASTICO DISCRETO"
FRANCISCO XAVIER BARBERIS ABAD
' TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO
DE INGENIERO ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACION
ELECTRÓNICA Y CONTROi
MARZO DE 1.984
CERTIFICO QUE EL PRESENTE TRABAJO HA
SIDO REALIZADO EN SU TOTALIDAD POR
EL SR. FRANCISCO XAVIER BARBERIS ABAD.
DIRECTOR DE TESIS
Mi sincero agradecimiento al Ing. Marco
Barragán por sus valiosos consejos y
tiempo dedicado a la dirección de esta
Tesis. Mi eterna gratitud por la coj]
fianza y amistad brindada.
A MIS PADRES..
Í N D I C E
\.
Capítulo I : INTRODUCCIÓN . 1
Capítulo II : CONCEPTOS SOBRE PROCESOS ESTOCASTICOS 4
2.1." Procesos estocásticos •— 4
2.2. Estadísticas de los procesos estocásticos 8
2.2.1. Estadística de primer orden 8
2.2.2. Estadísticas de segundo y n-simo orden 9
2.2.3. Valor esperado., correlación, covariancia y momentos — 11
2.3. Clasificación de los procesos estocásticos — 14
2.3.1. Clasificación general 14
2.3.2. Procesos estocásticos especiales • 15
2.4. Densidad espectral 22
2.4.1. Ruido blanco : 25
2.5. Análisis de procesos estocásticos 26
2.5.1. Convergencia' 26
2.5.2. Continuidad 28
2.5.3. .Diferenciabilidad — 30
2.5.4. Integrabilidad 31
2.5.5. Periodicidad 33
Capítulo III: DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE SISTEMAS ESTOCÁSTICOS
DISCRETOS . 34
3.1. Modelos estocásticos de estado discretos y su solución 34
Pag.
3.1.1. Modelos estocásticos de estado discretos 34
3.1.2. Solución de las ecuaciones estocásticas de diferencias 36
3.2. Análisis de sistemas dinámicos cuyas entradas son prp_
cesos estocásticos 41
3.2.1. Factorización espectral 50
Capítulo IV : CONTROL ESTOCASTICO DISCRETO 58
4.1. Evaluación de la función objetivo o pérdida 59
4.1.1. Enunciado del problema 59
4.1.2. Notación y preliminares 60
4.1.3. Solución del problema 71
4.1.4. Aspectos de computación y diagrama de flujo del progra.
ma> ; : 77
4.2. Optimización paramétrica 82
4.2.1. Introducción — 82
4.2.2. . Problema de la optimización paramétrica 84
4.2.3. Enunciado del problema ' 87
4.2.4. Solución del problema 87
4.2.5. Aspectos de computación y diagrama de flujo del progra_
ma — 94
Capítulo V : RESULTADOS, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 103
5.1. " Resultados, comentarios y conclusiones ' 103
5.2. Recomendaciones
Apéndice A : Manual de uso de los programas
Apéndice B : Listado de los programas.
Referencias.
Bibliografía.
C A P I T U L O I
INTRODUCCIÓN
En la práctica la mayoría de sistemas actiran bajo la influencia de ruj_
do o perturbaciones; por otro lado, cuando se construyen modelos matenré
ticos de sistemas, debe indicarse que normalmente el modelo es aproxima_
do y en consecuencia se cometen errores. Tanto el ruido como los erro_
res de modelamiento pueden ser caracterizados como procesos estocásti-
cos;
En muchos casos, el modelo matemático puede despreciar estas acciones
sin que se observen mayores efectos en los resultados; no obstante .en
otros sistemas, tanto el ruido como el error no pueden ser despreciados
y deben ser arrastrados. El objetivo de esta Tesis es estudiar ' estos
sistemas, los que serán denominados sistemas estocásticos.
Para la generación del ruido o de las perturbaciones, que como ya .se ij
dico pueden ser caracterizados como procesos estocásticos, será utiliza_
da la Tesis anteriormente desarrollada bajo el titulo: "Simulación Esta_
dística".
Debe tenerse en cuenta que de todas formas, este es el primer trabajo
en control estocástico, por ío'que no se pretende hacer un estudio
exhaustivo de la materia, sino una presentación general de la teoría y
la solución de dos problemas relativos a ella; cabe indicar también que
este trabajo podría constituir una introducción a los cursos de control
estocástico que puedan ser establecidos en la Escuela en el futuro.
Debe añadirse, que los sistemas a los que se refiere la Tesis son Li-
neales y discretos en el tiempo.
A continuación se delineará el contenido de la tesis: el segundo capítu_
lo se dedica al estudio de los procesos estocásticos, su definición, sus
estadísticas, su clasificación; se introduce el concepto de densidad e¿
pectral y se dan las herramientas básicas para el análisis de los proce_
sos. Se sobreentiende que el usuario de esta Tesis ha aprobado los cur_
sos de Probabilidad y Estadística lo que le faculta comprender de mejor
manera este capítulo, porque de todas formas es una breve síntesis de
los procesos; si se desea profundizar el tema, lo cual no es el objeti-
vo de la Tesis, se puede revisar la bibliografía referente a Probabil_i_
dad y Estadística, presentada al final.
El tercer capítulo contiene el estudio de los sistemas estocásticos di_s_
cretos que como se dijo antes son los sistemas que actúan bajo la ' i_n_
fluencia de ruido o perturbaciones; se describen estos sistemas por me_
dio de modelos de estado y se encuentra su solución; se analizan estos
sistemas, y a partir de este análisis surge la teoría de la factoriza-?
ción espectral que será la base para estudiar el primer problema de co_n_
trol estocástico objetivo de esta tesis: evaluación de la función pérdjT
da.
Los capítulos II y III pueden ser considerados como introductorios; mien_
tras en el IV se desarrolla propiamente el objetivo de la Tesis, se dje
sarrolla la teoría y la solución de dos problemas de control estocásti-
co, cuales son: evaluación de funciones objetivo o pérdida y optimiz^
ción paramétrica para sistemas discretos. Para el problema de la optimi
zación paramétrica se implementa una simulación total del problema con
fines de comprobación de resultados. Este mismo capitulo contiene tarn
bien los diagramas de flujo de los programas implementados en el compu_
tador TEKTRONIK 4051 aspirando que ellos pasen a enriquecer la biblio-
teca de programas que posee el área de Sistemas de Control.
En el capitulo V se presentan varios ejemplos de aplicación de los pro_
gramas y se dan los comentarios y conclusiones que se han obtenido con
el desarrollo de este trabajo.
Por último, en los apéndices, se presentan el manual de uso de los prp_
gramas con una descripción de los mismos y su listado.
C A P I T U L O I I
CONCEPTOS SOBRE PROCESOS ESTOCASTICOS
2.1. PROCESOS ESTQCASTICQS
Primeramente se revisarán ciertos conceptos básicos de probabilidad y
estadística que ayudarán a comprender mejor el estudio de los procesos
estocásticos.
Así, un experimento puede tener cierto número de resultados. Cada uno
de estos resultados puede ser considerado como un elemento de un conjun_
to. El conjunto de todos los posibles- resultados distintos del experj_
mentó es llamado espacio muestra! S; los elementos individuales de este
espacio son llamados puntos de muestreo £5 y a todos los posibles sub^
conjuntos del espacio muestral S, a los cuales se puede asignar una prp_
babilidad se los llama eventos.
Sea el experimento F, especificado por su espacio muestral Ss por los
subconjuntos de S llamados eventos, y por una probabilidad P asignada a
cada evento. Si a cada resultado ? de este experimento se asigna un nj¿
mero X( ), se define entonces una función cuyo dominio en el conjunto S,
y su rango el conjunto de números asignados. Esta función es llamada
variable aleatoria, si es que satisface las siguientes condiciones gene_:
rales:,
- El conjunto {X <_ x} es un evento para cualquier número real x.
- La probabilidad de los eventos {X = -«>} y {X = + °°} es igual a cero.
P {X = -«} = P ÍX = + *>} = O (II-l)
También puede definirse variables aleatorias complejas; una variable
aleatoria compleja Z consiste en asignar a cada resultado ? un número
complejo
donde X y Y son variables aleatorias.
Es conveniente en este punto señalar la notación que generalmente se usa
en los textos y que se utilizará en este trabajo.
Cualquier letra mayúscula (A... X, Y) representará a la variable aleato-
ria en general. La correspondiente letra minúscula (a, ... x, y) repre_
sentará a un valor-determinado de la vari.able aleatoria.
La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria se
define como:
F(x) = P {X £ x} " (H-3)
donde P {X < x} representa la probabilidad de que la variable aleatoria
X sea menor. o igual a un valor determinado x'.
La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria está ' d a
da por:.
f(x) - "d¿(x) (H-4)•->
La función de distribución conjunta de dos variables aleatorias está dada
por:
F(x,y) = P {X <_ x, Y £y) (II-5)
y su función de densidad por:
Para terminar este brevisimo estudio de las variables aleatorias, se de_
be señalar que estas pueden ser clasificadas en dos grupos: las varij^
bles aleatorias discretas y las continuas..
Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor dein
tro de un intervalo determinado; por ejemplo: La temperatura en el espa_
ció. Una variable aleatoria es discreta si solo puede asumir determina_
dos valores dentro de un intervalo preestablecido.
En base a todo lo anterior se puede definir y proseguir en .el estudio
de los procesos estocásticos, cuyo concepto puede ser considerado como
una extensión del de variable aleatoria. *
Así, sea el experimento F especificado por su espacio muestral S, por
ciertos subconjuntos de S llamados eventos, y por las probabilidades -
asignadas a estos eventos. Para cada elemento de S, es decir para cada
resultado ? del experimento, ahora se asigna de acuerdo a cierta regla
una función del tiempo X(t,^), real o compleja. De esta forma se ha
creado una familia de funciones, la que es llamada proceso estocástico.
Cada elemento de esta familia (para cada^), es llamada función de mue_s_
treo.
7
De la anterior definición de proceso estocástico se puede concluir que
este puede ser interpretado como una función de dos variables: t y ?. El
dominio de "£ es el conjunto S y el dominio de t es el conjunto de los
números reales, pudiéndose asumir que este conjunto constituye todo el
eje del tiempo (T).
Cuando T = { , -1, O, 1,...} o T = {0,1,...} el -proceso es llamado
de parámetros discretos. Cuando T = {t o < t < «>} o T {t|-°°< t < *>}
el proceso es llamado de parámetros continuos.
Para representar un proceso estocástico, se usará la notación X(t), omi_
tiendo su dependencia de^.
También pueden definirse procesos estocásticos conplejos; un proceso es_
tocástico complejo Z es una familia de funciones complejas.
Z(t) = X(t) + j Y(t) (II-7)
donde X y Y son procesos estocásticos.
También pueden definirse procesos estocásticos vectoriales como un vec_
tor columna cuyos elementos son procesos estocásticos. Por ejemplo: sea
el proceso estocástico vectorial
v(t) =
Vi(t)
Vn(t)
(H-8)
Vis Va,..., Vn deben ser procesos estocastlcos, los cuales posiblemente
sean mutuamente dependientes.
El estudio de los procesos estocastlcos empieza cuando se Inicia el e¿
tudio de sus estadísticas, que son las que definen sus características.
2.2. ESTADÍSTICAS DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS
Estadística es cualquier función de los elementos de la muestra. Var1_a
ble aleatoria obtenida de los elementos de la muestra. En el desarrollo
de esta sección se espera que este concepto, que es muy general, sea corn
prendido. Para lo que concierne a este trabajo las estadísticas han si_
do definidas de diferentes ordenes, de acuerdo al número de Instantes
de tiempo en que se 'realizan observaciones o mediciones del proceso es_
tocástlco.
2.2.1. Estadística de'primer'orden
Considérese el proceso estocástico de parámetros continuos cuya familia
de curvas se ilustra en la figura 1-1. Por conveniencia todavía se ma_n_
tendrá la notación
t
FIGURA II-l
En cualquier instante t = t± las amplitudes de las funciones de muestreo
pueden ser representadas por un conjunto de números X(tx , ), donde T
es cualquier punto de muestreo. Obviamente X(ti>?) es una variable
aleatoria; esta variable tiene cierta distribución de probabilidad; es
decir, la amplitud de las funciones de muestreo en el instante t = ti
tiene cierta distribución de probabilidad.
La distribución de esta variable aleatoria dependerá en general del tiern
po t, y denotándola por F(x;t) se tendrá, de acuerdo a la ec. (II-3) ;
F(x;t) = P ,{X(t) £ x} (II-9)
lo que significa que dados dos números, reales x y t, la función F(x ; t)
es igual a la probabilidad del evento (X(t) _^ x}, consistente de todos
los resultados Y tales que, al instante especificado t, las funciones
de muestreo X(t/$) no excedan el valor x.
La función F(x;t) es llamada, distribución de probabilidad de primer or
den del proceso X(t), y su correspondiente densidad se obtiene de acuer
do a la ec. (II-4):
f(x;t) =
2.2.2. Estadísticas de segundo y n-simo orden
Se sabe que la estadística de primer orden no provee toda la información
estadística sobre un proceso estocástico; entonces adicionalmente se djs
be obtener la estadística de unión de dos variables X(ti^) y X(t¿, ), ca
10
da una de las cuales es una variable aleatoria según la explicación pa-
ra la estadística de primer orden.
La función de distribución conjunta de estas variables, dependerá, en
general de ti y t2> y denotándola por F(xl9- x2; tls t2) , se tendrá de
acuerdo a la ec. (II-5):
F(xls X2; tls t2) = P {X(tx) X19 X(t2) xj (11-11)
F(XI, x2; t t2) es llamada función de distribución de probabilidad de
segundo orden del proceso X(t), y su correspondiente densidad está dada
por:
Con la-s mismas consideraciones se puede generalizar para n instantes de
tiempo y llegar a la estadística de n-simo orden, en donde la función
de distribución de probabilidad es:
,... xn; tl5.., tn) = P {X(tx) £Xl5...9 X(tn) £ xn} (11-13)
y la función de densidad de probabilidad de n-simo orden:
se obtiene diferenciando la función de distribución de probabilidad con
respecto a todas las variables x-¡ .
Las estadísticas de un proceso estocástico constituyen la base para la
11
definición de parámetros de mucha importancia en el estudio de estos prp_
cesos, cuyas definiciones se darán a continuación.
2.Z.3. Valor esperado, correlación, covariancia y momentos
Así como para el caso de las variables aleatorias, para el caso de pro_
cesos estocásticos existen definiciones muy importantes para su estudio,
y son las siguientes:
- VALOR ESPERADO: de un proceso real o complejo
oo
nx(t) = E ÍX(t)} ="í x f(x;t) dx (II-H)
Si (t) es un proceso estocástico vectorial, se debe obtener el valor
esperado de cada uno de sus elementos.
- AUTOCORRELÁCION.- Rx(tls t2)
SiX(t) es un proceso real:
Rxft i , t2) = E {X(tJ . X(t2)}
oo
= 1 xx xz f (x l s x2; ti, t2)dXi dx2 (11-15)'—oo
Si X ( t ) es complejo: '
Rx( t x , tz) = E {X(tJ . X*(t2)} (11-16)
donde X*(t2) es el complejo conjugado de X(t2).
12
Si X(t) es un proceso estocástico vectorial:
a, t2) = E {X ) . X.T(t2)} (H-17)
donde X_ (t2) es el vector transpuesto de X.(
- CORRELACIÓN CRUZADA.- RXy(tl9 t2)
Si X(t) y Y(t) son procesos estocásticos reales:
RXy(ti, ti) - E (X(t!) . Y(t2)}
CO
= j *i y2 f(xls y2; tls t2)dXi dy2 (11-18)—00
Si X(t) y Y(t) son complejos:
RXy(ti, tz).= E {X(ti) . Y*(t2)} ' (H
donde Y*(t2) es el complejo :conjugado de Y(tz).
Si X_(t) y Y_(t) son procesos estocásticos vectoriales:
R*y(ti, t2) = E'{X ) : Y1 )} ., (11-20)
donde Y_ (t2) es el vector transpuesto de Y_(t2) y R.xyí'ti» z) es
matriz.
- AUTOCOVARIANCIA.- Cx(ti, t2)
Si X(t) es un proceso real:
- 13
cx(t l f t2) = E {[xUJ. - nx(ti)] [X(t2) - nx(t2)]}
= Rx( t i , t2) - n x ( t x ) nx(t2) (H-21)
Si X ( t ) es un proceso complejo:
C x ( t l f t2) = E {[XUJ - TixCtJ] [X*(t2) - TIX* ( t z ) ] >
= R x ( t i , t2) - nx(ti) nx*Uz) (11-22)
Si X (t) es un proceso estocástico vectorial:
t z ) = E {[X(t!) - njcí t i ) ] CX( t 2 ) - iix(t2)]T}
= Rx(ti , tz) - nx(ti) jTxT{t2) . (11-23)
- COVARIANCIA CRUZADA.- Cxyítj,, t2)
Para dos procesos X(t) y Y(t), reales o complejos. •
CxyCti.'tj) = E{[X(t!) - nx(t1)][Y*(t2) - TiY*(tO]} '
= RXy(ti, t2) - nx(ti) ny*(t2) (11-24)
Si X(t) y Y(t) son procesos estocásticos vectoriales:
Cxy(ti , tz) = E {U(tJ -
= ^ x ( t 1 ) t2) -T^(ti) , T V T ( t 2 ) (11-25)
MOMENTOS: un momento de orden n viene definido por:
E {X(tJ X( t n )} (11-26)
14.
Fácilmente se concluye que la autocorrelación es un momento de segundo
orden.
2.3. CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS
Según las características o valores que tengan todos estos parámetros ej_
tudiados anteriormente, los procesos estocásticos pueden ser clasifica_
dos en grupos generales y especiales, los que serán estudiados a continua
ción:
2.3.1. Clasificación general
PROCESOS NO-CORRELACIONADOS, ORTOGONALES E INDEPENDIENTES.
Sean los procesos estocásticos X(t) y Y(t), escalares o vectoriales, rea-
les o complejos.
Estos procesos son no^correlacionados si para cualquier-ti y t2:
Rxy(tls- t2) = E «(tx) (Y*)T(t2)}
(H-27)
es decir si :
i, tz) = _0 (11-28)
Son ortogonales si :
xy(ti, t2) = £ (11-29)
Los procesos X(t) y Y(t) son independientes si:
X(tJ, X(t2) ...... X(tn)
es Independiente de:
Y(V)S Y(t2') ...... Y(tnl)
para cyalesquier tx ...... tn, tx' ...... tn! .
SI dos procesos son independientes, entonces también son no-correlaciona_
dos; esta afirmación no siempre se cumple en sentido inverso»
2.3.2. Procesos estocásticos especiales
En esta sección se definirán algunos procesos que tienen particular inte
res para la teoría de control.
- PROCESOS ESTACIONARIOS.-
Se dice que un proceso -estocástico es estrictamente estacionario si su
estadística no es afectada por un desplazamiento del origen del tiempo ;
esto significa que los procesos:
X(t) y X(t + e)
tienen la misma estadística para cualquier e; es decir, la función de
densidad de probabilidad de orden n debe ser tal que:
(11-30)
para cualquier e.
- '. . ' . 16 .
En particular, para la estadística de primer orden:
f(x; t) = f(x; t+e) (11-31)
y puesto que esto es verdad para cualquier e, se puede concluir que
f(x;t) es independiente de t.
f(x;t) = f(x) (11-32)
La densidad de orden' dos debe ser tal que:
f(xls x2; tls t2) = f(xls x2; ti+e, t2+e) (11-33)
esto es posible sólo si:
f(xls X2; tls t2) = f(xls X2; T) (11-34)
donde T = tx - t2 (11-35)
Entonces f(xls x2; T) es la función de densidad conjunta de dos varia-
bles aleatorias:
X(t + T) y X(t) *
La autocorrelación de un proceso estrictamente estacionario depende sólo
de T.
R(T) = E ÍX(t+r) . X(t)} = R(-T). (11-36)
Se dice que un proceso X(t) es estrictamente estacionario de orden k si
la ec. (11-30) se cumple para cualquier n <_ k. Si la ec. (11-30) se cun^
pie para n=k, entonces también se cumple para n < k, porque la densidad
de probabilidad de orden k determina todas las densidades de probabili-
dad de orden mas bajo.
17
Un-proceso estocástico es débilmente estacionario si su valor esperado
es una constante, si su autocorrelación R(t,t) es finita para todo t, y
si su autocovariancia C(ti, t2) depende sólo de T.
- PROCESOS ERGODICOS
El proceso estocástico X(t) es ergódico si toda su estadística puede ser
determinada a partir de una sola función de muestreo X(t ,^i)del procesa
Como sólo se dispone de una función de muestreo, sus parámetros estadís_
ticos son expresados como-promediosen el tiempo. Por lo tanto, una fojr
ma de definir un proceso ergódico es: X(t) es ergódico si sus promedios
en el tiempo son iguales a sus promedios estadísticos.
Se puede definir la ergodicidad con respecto a ciertos parámetros de i_n_
teres; así, un proceso puede ser ergódico para ciertos parámetros, pero
no para otros.
Si toda la información-estadística es obtenida de una sola función de
muestreo, es obvio entonces que el proceso debe ser estacionario.
- PROCESOS NORMALES O GAUSSIANOS
Un proceso estocástico X(t) es un proceso gaussiano si las variables
aleatorias X(tl5^), X(t2 ,T)-••-X(tn,X) tienen una función de densidad de
probabilidad conjunta gaussiana para todo n y para todo conjunto
{ ti, ta s •••• tn } .
/Por conveniencia las variables aleatorias X(ti ,X)...X(tn,X) serán repr¿
<-<"
18
sentadas por Xa. Xn respectivamente. La función de densidad de pro-
babilidad conjunta de estas variables está dada por:
xn) exp (-1
nE
n£0=1
Alj (Xi - rixl)(Xj - nxj)) (H-37)
donde C es el determinante de la matriz de autocovarianclas C dada por:
C =
Cni
(11-38)
y A-JJ es el cofactor de C-jj, y esta es la autocovar.1 ancla de X-j y X j.
Cid = E {(Xi - Hxj)> (11-39)
De la expresión de la función de densidad de-probabl l ldad se concluye
que el proceso es completamente especificado por los valores esperados
de las var iab les Xi ____ Xn y por las autocovananclas C- j j .
Puesto que X-¡ = X ( t i ^ ) y Xj = X ( t j ^ ) y de acuerdo a la ec. (11-21)
C x ( t i , tj) = R x ( t i , tj) - (11-40)
donde Rx(ti , tj) es la autocorrelaclón, entonces el proceso puede ser
especificado completamente por los valores .esperados y por las autocp_
rrel aciones'.
19
Toda esta teoría de procesos gaussianos es aplicable tanto para proce-
sos gausslanos estacionarlos como para los no-estacionarios.
- PROCESOS DE MARKOFF
Se dice que un proceso estocastico X(t) es un proceso de Markoff, si pa.
ra todo n y para
ti < t2 < tn
se cumple que:
PíX(tn) 1 xn |X(tn_i) ... X(tJ} = P ÍX(tn) £ xn |X(tn-l)} (11-41)t
o lo que es lo mismo:
P{X(tn) £Xn'|X(t) para todo t £ tn_!> = P (X(tn) <.-xn (t Xl!- )
Un proceso de Markoff es de Markoff también en sentido Inverso:
ti < i:2
P{X(ti) £ Xi|X(t) para todo t >_ t2} = P{X(tJ <_ xx :X(t2)} (11-43)
Si con tx < t2:
X(t2) - X(ti) es independiente .de X(t) para todo t <_ tlf entonces el pr£
ceso X(t) es de Markoff. - .
De la ec. (11-41) se concluye que:
E ÍX(tn) |X(tn_i), ..., X(tx)} - E {X(tn) |X(tn-l)} (11-44)
- PROCESOS CON INCREMENTOS INDEPENDIENTES
Considérese el proceso estocástico X(t) con
ti
El proceso es de Incrementos Independientes si las variables aleatorias
X(t|0 - X(tk_i), X(tk_i) - X(tk-2),.--, X(t2) - X(tx), X(ti)
son mutuamente Independientes.
SI las variables son sólo no-correlacionadas, el proceso es llamado de
Incrementos no-correlacionados.
Un proceso con Incrementos Independientes es especificado por la función
de distribución de probabilidad del Incremento X(t-j) - X(tj) para cual-
quier. t-j y t -j , y por la función de distribución de probabilidad de X(ti).
SI la función de distribución de X(t-j) - X(tj) depende sólo de t-j - tj
se dice que el proceso- tiene Incrementos estacionarlos Independientes.
SI X(t-j). - X(tj) tiene una función de 'distribución de probabilidad
gausslana, se dice que el proceso tiene Incrementos normales independien
tes.
Un proceso con incrementos independientes es un proceso de Markoff.
- PROCESOS DE WIENER - LEVY O DE WIENER
Generalmente a este proceso se le denota con la letra W y tiene las si
21
gulentes propiedades:
- W(0) = O
- E ÍW(t)} = O para todo t > O
ctti ti £ t2 (11-45)
- W(t) es normal.
- W(t) tiene Incrementos estacionarlos Independientes
donde a es la densidad espectral del ruido blando n(t) que define el pro
ceso W(t), de la siguiente manera: - .
tW(t) = I n(r) dT • (11-46)
o
Sn(w) = a - (11-47)
Puesto que:
E { W(t) }' = O y ' " Cw(t,t) = a t (11-48)
la función de densidad de probabilidad de primer orden de W(t) puede de_
duclrse fácilmente.
w
f(w;t)« - .
V 2 77 Ot t
22
PROCESOS DE SEGUNDO ORDEN
Un proceso X(t) es de segundo orden si:
(11-50)
Para estos procesos, sus valores esperados:
E ÍX(tj)} = Tix(ti) (11-51)
y sus autocovariancias:
Cx(ti, tj) = E í[X(ti) - nx(ti)][X(tj) - nx(tj)]} (H-52)
existen, y la función de distribución de probabilidad de segundo orden
puede ser expresada en base a estos dos términos.
2A. DENSIDAD ESPECTRAL
Anteriormente se mencionó por primera vez el concepto de densidad espec_
tral; a continuación se desarrollará su estudio.
Si se considera un proceso estocástico débilmente estacionario X(t), es-
te puede ser caracterizado por su valor esperado, por su autocorrelación
y por su autocovariancia.. Ahora se introducirá un nuevo concepto, una
nueva caracterización del proceso, llamada densidad espectral o espectro
de potencia.
Se define la densidad espectral S(ÍD) de un proceso estocástico estaciona_
rio como la transformada de Fourier de su autocovariancia.
23
Algunos textos definen la densidad espectral como la transformada de
Fourier de su autocorrelación; en este trabajo se adopta la primera de_
finición.
Así, para procesos de parámetros continuos se tiene:
SU) =^ J e-JUU C (T) dx (11-53)—CO
co
C(T) = J eJtüT S(u) d to (11-54)—oo
Para procesos de parámetros discretos:
C(n) (11-55)
77
J-TT
C(n) = j ejntü S(üi) düj " (11-56)
Estas transformadas son válidas tanto para procesos estrictamente esta_
clonarlos como para débilmente estacionarlos.
C(T) es una función par como se estableció al estudiar los procesos es_
tacionarios. SI el proceso X(t) es 'real, entonces C(T) también es real,
y en consecuencia S(w) también es par, y en este caso las relaciones ba_
sicas se convierten en:
co
SU) =-¿ J C(T) eos u T d T (H-57)-CO
co
C(T) = J S(üi) eos oí T d üj (11-58)
S(w) = i E C(n ) eos n ai (11-59)
24
iiC(n) = J S(üi) eos n oí d tu (11-60)
-TT
La densidad espectral cruzada SXy(cu) de dos procesos estacionarlos X(t)
y Y(t) es la transformada de Fourler de su covariancia cruzada.
oo
e~JWT CXy (T) d T (11-61)_oo
SI los procesos X(t) y Y(t) son no-correlacionados, entonces:
Sxy (üi) = O
A partir del concepto de densidad espectral surge el concepto de fun-
ción de distribución espectral F(oi), el cual está dado, por la expresión:
F(tü) = j S(cü') d wl (11-63)ÜJl
de donde:
S(w) do) = d F(u) " (11-64)
Nótese de las ec. (11-54) y (11-56) que:
C(0) = f S(üj) d u (11-65)j
Reemplazando la ec. (11-64) en la ec. (11-65):
C(0) = J d F(u) (11-66)
donde la Integral es evaluada sobre el Intervalo [-TT, TT] para procesos
25
de parámetros discretos y sobre [-°°, °°] para procesos de parámetros con_
tinuos, y C(0) es la variancia del proceso, es decir la autocovariancia
cuando ti = t2 = t y T = O para procesos estacionarios.
Nótese que la última ecuación establece que la variación total de la
función de distribución espectral es igual a la variancia del proceso.
Un proceso estocástico muy importante, que es definido gracias a la pa_r
ticularidad que presenta su densidad espectral es el ruido blanco.
2.4.1. Ruido Blanco
Un proceso estocástico estacionario toma el nombre de ruido blanco si su
densidad espectral es constante
S(w) = Q (11-67)
A continuación se analizará el ruido blanco de parámetros discretos, que
es el de interés para este trabajo.
Se puede calcular fácilmente su autocovariancia a partir de su densidad
espectral.
77 jnoir-i \ Jnü) •C(n) = ej c* .2 c Sen n ir
-7T
C ( n ) = | 2 TT c
'o
n = O
n = + 1, + 2,
Esto implica que los valores del proceso a diferentes
(11-68)
(11-69)
26
correlacionados.
2.5. ANÁLISIS DE PROCESOS ESTOCASTICQS
Con el objeto de 'analizar sistemas cuyas señales de entrada son procesos
estocásticos , es necesario primero desarrollar el análisis de estos prp_
cesos.
A continuación se darán los fundamentos del análisis de procesos estoca^
ticos.
2.5.1. Convergencia
Existen varios criterios de convergencia; "para presentarlos considérese
la secuencia.de variables aleatorias Xn.
- CONVERGENCIA CASI EN TODAS PARTES O CON PROBABILIDAD I (a. e.)
Se dice que la secuencia Xn converge en X con probabilidad igual a- uno
si el conjunto de resultados <T del experimento, para el cual se cumple
que:
lim Xn (Tf) = X O?) (11-70)
tiene probabilidad 'igual a uno. Es decir:
P {Xn -+• X} = 1 cuando n + « (H-71)
27
- CONVERGENCIA EN SENTIDO CUADRATICO MEDIO, (m.s):
La secuencia Xn tiende a X en el sentido cuadrático medio si:
E { Xn - X 2} -í- O cuando n -*-
- CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD (p):
(H-72)
Sea la probabilidad P { Xn - X > e} de que Xn - X sea mayor que un
numero dado e positivo. Esta es una secuencia de números dependientes
de e. Si esta secuencia converge a cero para todo valor de e.
P { Xn - X > e}-> O cuando n -*• (H-73)
entonces la secuencia Xn tiende a X en probabilidad.
- CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN, (d)
Sean Fn(x) y F(x) las funciones de distribución de probabilidad de las
variables aleatorias Xn y X respectivamente, si:
cuando n ->•
para todo punto x en el cual F(x) es continua, entonces Xn tiende a X
en distribución.
La forma más simple de convergencia es en (m.s.)s este criterio hace re_
ferencia a una sola secuencia de números. En el criterio (a.e.) se ti¿
ne una familia de secuencias, una para cada T . En el criterio (p) tam
bien se tiene una familia de secuencias, una para cada e, y finalmente
28
en el criterio (d) se tiene una secuencia de funciones Fn(x), una para
cada x.
La relación entre los diferentes criterios de convergencia se Ilustra en
la figura II-2. •
FIGURA II-2 -
2.5.2. Continuidad
Un proceso estocástlco.X(t) es una familia de funciones. SI cada mlen^
bro de esta familia es continuo en t, se puede decir que el proceso es
continuo en t para todo resultado experimental *? . Sin embargo, esta de_
flnición es demasiado restrictiva.
SI - llm X(t+e) = X(t)e-K)
(11-75)
para casi todo e, el proceso X(t) es continuo con probabilidad Igual a
uno.
De una forma similar se puede definir la continuidad en probabilidad o
29
en sentido cuadrático medio, de las cuales se prestará mayor atención a
esta última.
Un proceso estocástico es continuo en sentido cuadrático medio en el pun_
to t si:
E{[X(t+T) - X(t)]2} -*• O cuando T + O (11-76)
Si Rx(ti, t2) es la autocorrelación de X(t) y como:
E í[X(t+x) - X(t)]2} = Rx(t+x, t+x) - Rx(t, t+x) - Rx(t+x, t) +
+ Rx(t.t) (H-77)
entonces el proceso es continuo en t si la función Rx(ti, t2) es conti-
nua en el punto tx = t2 = t; sólo de esta forma el lado derecho de la
igualdad (11-77) tiende a cero cuando T tiende a cero y se cumple la ec
(11-76). Por lo tanto, si la autocorrelación de un proceso es continua
en t el proceso es continuo en sentido cuadrático medio.
De este criterio de continuidad, se puede demostrar que el va-lor espera_
do del proceso X(t) debe ser continuo:
'E { X(t+r) } + E ÍX(t)} cuando x + o (11-78)
esto puede ser escrito como:
lim E ÍX(t+r)} = E {lim X(t+r)} ' (H-79)
Un proceso estocástico estacionario es continuo si y sólo si su autoco-
30
rrelación R(T) es continua para T = 0.
2.5.3. Diferenciaba 11 dad
La derivada de un proceso estocástico X(t) puede ser definida como el
mi te:
X'(t) - = 1 i m - . (11-80)U L- /-, C-e-H)
Si este límite existe de acuerdo al criterio cuadrático medio, el proce^
so X(t) es diferenciable en ese sentido:
lim {[' X(t+e) -'X(t) _ x,(t)]2} o (11-81)-•
Un proceso estocástico estacionario es diferenciable de acuerdo al crj_
terio cuadrático medio si su autocorrelación R(T) tiene derivadas hasta
de orden Z. * Lo anterior implica que R1 (0) existe. y puesto que R(T) es
par se tendrá que:
R'(0) = O "
lim R(£) --R(Q) , R"(0)e+0 e* 2
Este teorema también se cumple a la inversa, es decir: si X'(t) existe
de acuerdo al criterio cuadrático medio, entonces R"(0) debe existir.
Un proceso no estacionario X(t) es diferenciable de acuerdo al criterio
cuadrático medio si:
31
existe para ti - t2.
Por e j e m p l o , el proceso de Wiéner-Levy no es d i f e r enc i ab l e en n i n g ú n pu_n_
to t.
Aplicando la ec. (11-79), se puede llegar a establecer que:
E Í X ' ( t ) } =-- E {X( t )> ' (11-83)
y se puede demostrar que la autocorrelación de X1(t) está dada por:
p v l / t f } - _? Rx(tT , t2) (KX'(tla t2j 3ti 3tz
donde 'Rx(tls t2) es la autocorrelación del proceso X(t).
Si el proceso es estacionario:
Las relaciones anteriores pueden ser generalizadas para la n-sima deriva_
da.
2.5.4. Integrabilidad
Sea el 'proceso estocástico X(t), si la integral:
32
S = [' X(t) dt (11-86)J
• a
existe según el criterio de Riemann para cada función X(t,"O del proceso
X(t)s ésta define un número S(T). S es una variable aleatoria puesto -
que depende de Y y tiene el significado -físico del área bajo la curva
X(t,T).
En muchos casos, la integral de X(t,T) no existe para todos los T ; sin
embargo, se puede definir S en alguna otra forma; así por ejemplo:
AtÍQ E {CS - * X(tl) Atl]2} = ° (II~87)i ~~J.
entonces S es especificado como el límite en sentido cuadrático medio de
una suma.
Si el proceso tiene la función de valor esperado n(t) y de autocorrela-
ción R(tls t2), el proceso es integrable según el criterio de Riemann s
si las integrales:
b b
\) dt ' y f R(t!, t2) dtx dtzO ua a
existen. En este caso se tiene:
b. b
E { f X(t) dt } = f nx(t) dt (11-88)J (Ja a
b b
E í f X(ti) X(t2) dtx dtj = f Rx(ti, t2) dt! dt2. (11-89)ü J
33
2.5.5. Periodicidad
Un proceso estocástico estacionario X(t) es periódico en sentido cuadrá_
tico medio si su autocorrelación es periódica.
R(T + T) = R(T) - (11-90)/•-
para todo T. T es el periodo del proceso.
34
C A P I T U L O III
DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE SISTEMAS ESTOCASTICOS DISCRETOS
3.1. MODELOS ESTOCASTICOS DE ESTADO DISCRETOS Y SU SOLUCIÓN.
3.1.1. Modelos estocásticos de estado discretos
Antes de empezar a estudiar propiamente los modelos estocásticos de es
tado, debe señalarse que un sistema determlnístlco discreto en el tiem
po puede ser descrito por la ecuación de diferencias:
x.(k+D =l (x(k), k) (III-l)
donde x_ es un vector de estados n-dlmenslonal y k = {O, ls 2, ...} . Un
estado futuro del sistema es entonces determinado únicamente por el va_
lor de x. al Instante k, y no depende de la forma en que _x fue obtenido.
A continuación se discutirá la forma en que el modelo determlnístlco an_
tenor puede ser convertido en un modelo estocástico de estado. Una fqr
ma de lograr esto es asumiendo que x.(k+l) no es determinado únicamente
por x_(k)s sino qué x.(k+l) es una variable aleatoria que depende de _x(k)
y de k; entonces se puede escribir:
donde _£ es el valor esperado condicional de x.(k+l) dado x.CO> Que re
presenta la mejor estimación del estado, y v es una variable aleatoria
35
con valor esperado igual a cero, y representa la variación aleatoria del
estado.
De aquí en adelante las variables y procesos estocásticos serán repre-
sentados con letras minúsculas, para conservar la notación que por con_
vención se usa cuando se trabaja en el dominio del tiempo.
Si el modelo (III-2) debe ser un modelo estocástico de estado, se debe
exigir que la función de distribución de probabilidad condicional . de
_x(k+l) dado _x.(k) no dependa de los valores pasados de _x (extensión de
la definición de estado). Esto implica que la función de distribución
de probabilidad condicional de _y_(k) dado _x(k) no depende de x_(ki) para
kx < k. El modelo (III-2) con estas propiedades es llamado ecuación es_
tocástica de diferencias, la que cumple con las características de un
proceso de Markoff.
Si se asume que la función de distribución de probabilidad, condicional
de v_(k) dado x_(k) es normal, qué £ es lineal y qué v^ no depende de x_ ,
entonces se obtiene la ecuación estocástica de diferencias lineal:
' x,(k + 1) = Ao(k + 1; k) x.(k) + v_(k) (HI-3)
donde v_(k) es una secuencia de vectores independientes normales con va.
Tor esperado igual a cero y matriz de covariancias _CV, que será en a de
lante llamada Ci.
Si la ec. (III-3) debe ser un modelo lineal de estados, se debe exigir
qué v_(k) sea independiente del estado incial.
36
3.1.2. Solución de las ecuaciones estocástlcas de diferencias
Una ecuación de diferencias ordinaria se considera que está resuelta si
se conocen los valores de x. para todo k. Como la ecuación de diferen-
cias ordinaria define cada x_(k) a partir de sus valores previos, entojn
ees esta misma puede ser considerada como un algoritmo para producir la
solución. En cambio, se considera que una ecuación estocástica de d1fe_
rendas está resuelta si se conocen las funciones de distribución cor^
junta de probabilidad de los valores de las variables de estado para
Instantes arbitrarlos de tiempo.
A continuación la resolución se centrará en ecuaciones estocástlcas de
diferencias lineales y normales:
x{k + 1) = AQÍK + l; k) _x(k) +\v(k) (III-4)
porque son estas las que se utilizarán al llegar al tema de la optimi-
zad ón paramétrica.
En el modelo (III-4); x_ es un vector de estado n-dimensional s v_(k) es
una secuencia de vectores aleatorios n-dimensionales independientes y
normales, AQ es una matriz nxn con elementos variables en el tiempo. Asi;
los vectores v_^i) V v_(k2) son independientes si kx f k2. El vector . -
v_(k)- también es independiente dé _x(k). La función de densidad de prob£
bilidad normal dé v^(k) es especificada por su valor esperado y su auto_
covariancia.
37
C.x (k) = E
E ív(k)}
O
O
vT (k) } =
C
para todo k
11 12
nn
,111-5)
El estado Inicial x_(ko) se asume que también es normal con valor espera_
do r[xo y matriz de covariancias
El proceso estocástico x.(k) resulta ser un proceso normal puesto que
sus valores en tiempos específicos son combinaciones lineales de var1a_
bles normales. El proceso estocástico por lo tanto puede ser completa-
mente caracterizado por su función de valor esperado y su función de co_
varlanclas, como se estableció al estudiar los procesos normales en el
capítulo II. Estas dos funciones son determinadas a continuación:
- FUNCIÓN DE VALOR ESPERADO
Para determinar la función de valor esperado se tomará el valor espera_
do de ambos lados -del modelo (III-4):
E {x.(k + 1)} = E {Ao(k + 1; k) x.(k) + v.(k)}
(k + 1) + i; k) E
HX (III-6)
33
y la condición inicial:
Hx(k0) = E íx.(ko)} ^nxo (IH-7)
- FUNCIÓN DE COVARIANCIA
Para evaluar esta función se asumirá que r¡_Xo es igual a cero. Con esto
no se pierde generalidad porque siempre se puede introducir una varia_
ble_z(k) = _x(k) - nx(k), y se simplifican los cálculos. Si r\^Q es igual
a cero, el valor esperado r\^ para cualquier instante es igual a cero de
acuerdo a la ec. (III-6). Se asume también que ki > k; entonces,, la so_
lución de la ecuación de diferencias (III-4) es. '
ki-1x(kj = $(k, , k) x(k) + - E $ (k, , j + 1) v ( j ) (III-8)"
donde <£ es la matr iz de t ransición de estados y tiene las s iguientes pr£
piedades:
Í (k-j, ki) = _ ! .
(HI-9)
' i (ki+1, k j ) = A o C k i + l , k - j )
l_ es la matriz unitaria,
Desarrollando la ec. (III-8) y reemplazando en ella la ec. (III-9) se
obtiene:
+Í i »
!, Kx-1) v.íki-2) + v.(k!- 1) (111-10)
39
Por. lo tanto:
E {x.(kj /(k)} = E {[ * (ki, k) 2i(k) + * (ki, k+i) y.(k') +
... * (k!, kx-i) v(k!-2) + v(k!-l)] xT(k)} ( l l l - l i)
Como v_(k) tiene valor esperado igual a cero para todo k, y es Indepen-
diente de x _ ( k ) s todos los términos , excepto el pr imero , del lado dere-
cho de esta última ecuación se anulan. Por lo tanto:
íx(kls k) = E {£ (kls k) x.(k) x.TU)}
Cx(ki , k) -i (k l s k) fx (k) (111-12)
donde ' fx(k) es la var lanc la de x_:
fx(k) = E íj<(k) . /(k)} = Cxtk , k) (111-13)
cambio hecho para facilitar la notación; y para evaluarla se forma
_xT(k+l) = [Aník+l; k) _x(k)
; k) x.(k)
; k) x.(k) x.T(k) ADT(k+l; k) + A k + i ; k) x_(k) /(k)
v.(k) xT(k) - AoT(k+1; k) + v.(k) . xT(k) (111-14)
40
de donde .se toma el valor esperado de ambos lados de la ecuación y te_
niendo en cuenta que _x(k) y v_(k) son independientes y que v_(k) tiene Vji
lor esperado igual a cero, se encuentra la siguiente ecuación de dife-
rencias para
Py(k + 1) = An(k + 1; k) Px(k) AnT(k + i; k) + Ci(k)~X ^ - (111-15)
y la condición inicial:
= E { x.(k0) xT(k0) } = (111-16)
En resumen; la solución de una ecuación estocástica de diferencias li-
neal y normal :
2c(k + 1) = (k + 1; k) x.(k) + v_(k) (III-4)
es un proceso estocástico normal caracterizado por su función de valor
esperado rix(k) dada por la ecuación de diferencias:
rix(k + 1) = Ao(k + l; k) Ti^k) (III-6)
con la condición inicial:
y por su función de covariancias:
i> k) = £ (kl9 k) PX (k) ki>k (111-12)
donde Pv(k) es la función de variancias dada por:—A
£x(k + 1) = Ao(k + 1; k) P^k) / "(k + 1; k) + C (k) (111-15)
con la condición inicial:
Px(k0) = CXo (111-16)
3.2. ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS CUYAS'ENTRADAS SON PROCESOS ESTQCAS-
TICOS
Hasta este punto, los procesos estocásticos y los modelos estocásticos
han ocupado la atención de este trabajo. A continuación se darán, los
fundamentos de los sistemas de control estocástico, 2n los cuales el
problema básico es analizar sistemas dinámicos cuyas entradas son pro_
cesos estocásticos. El análisis que se hará a continuación es restrin_
gido para sistemas lineales, cuyas señales de entrada son procesos es_
tocásticos de segundo orden de parámetros discretos.
Así, considérese un sistema dinámico discreto en el tiempo con una en_
trada u y una salida y. Por simplicidad, se asume que el sistema es i_n_
variante en el tiempo. La restricción de una sola entrada y una sola
salida puede ser fácilmente eliminada. La entrada u se asume que es
un proceso estocástico de segundo orden con una función de valor esp£
rado riu(k) y una función de autocovariancias Cu(ki, k2). El problema
es encontrar las propiedades estocásticas de la salida, lo cual se ha_
rá a continuación:
42
Si el sistema es caracterizado por su función de ponderación h(k), en-
tonces la relación entre la entrada y la salida está dada por:
y(k) = I h(kx) u(k - kx) (111-17)
ki; k = { O, 1, -2,
puesto que el sistema es lineal y discreto.
Primeramente se debe asegurar que el sumatorio anterior tenga un signi-
ficado físico. Si la serie fuera finita, no habría ningún problema, po£
que en este caso la salida y es simplemente una suma ponderada de varia_
bles aleatorias. Si la serie fuera infinita, primero se debe asegurar
que converja. Como se mencionó en el capítulo II existen varios crite-
rios de convergencia; a continuación se utilizará el criterio cuadráti_
co medio por ser el más simple de aplicar, y porque además en muchos ca_
sos puede tener una interpretación física.
Para determinar si la serie (111-17) converge, se puede formar la si-
guiente serie: •
bI h(kj u (k - ka.) (111-18)
con la cual se obtiene:
b b bE { z h(ki) u(k-k!)}2 = E {• i • 2 h(ki) h(k!') u(k-kz)
ki=a • • ki=a ki l=a • •
b b= 2 E híkiMki1) E{- u(k-ki)
ki=a ki'=a
43
b b• = s l h ( k i ) h ( k ! ' ) C u ( k - k i , k - k ^ )
ki=a k i ' = a (111-19)
donde la segunda igualdad se obtiene de la ec. (11-79), y la tercera de
la d e f i n i c i ó n de autocovariancia asumiendo que el valor esperado es igua l
a cero, s i m p l i f i c a c i ó n ya usada anteriormente,
Como u ( k ) es un proceso estocástico de segundo orden, se cumple que:
E { u 2 (k ) } < co para todo k ( 11-50)
o lo que es lo mismo:
E { u(k-¡) . u(k-¡) } = Cu(k-¡, k- j ) < «o para todo k-¡ (111-20)
manteniendo la supos ic ión de que el valor esperado de u es igua l a cero..
Ut i l i zando la propiedad de la autocovariancia:
C (k^ kj) £ / C ( k i , k - i ) . C (kj , kj) (111-21)
y la desigualdad (111-20), en donde se hacen las siguientes substitucio-
nes: • .
K-; = K
kj = k(111-22)
se puede concluir que:
Cu(k - ki, k - ki') < (111-23)
44
Si el sistema dinámico es asintóticamente estable se tendrá que:
b£
kj=a< 00
b cuando a = O y b = ~ (11 24)
Z
con lo cual se ha demostrado que los tres factores del sumatorio (III-19)
existen. La serie infinita ¿111-18) existe entonces según el criterio
cuadrático medio de convergencia. También se ha demostrado que la salj_
da y(k) es un proceso estocastico je segundo orden porque el sumatorio
(111-19) existe, cuando a = O y b = «>, representando entonces a la auto_
covariancia de la salida. A continuación se determinarán las propied_a_
des de este proceso:
Para determinar la función de valor esperado:
co
nv(k) = E {y(k)} = E{ 2 h(ka) uík-kj}J .k!=0
00
= £ h(kj Eíu(k-ki) }ki=o
co
= 2 h(kj nu(k - kj (111-25)ki=0
donde la segunda igualdad se obtiene sustituyendo la ec. (III-17),la te£_
cera de acuerdo a^la ec. (11-79), y la cuarta de la definición de valor
esperado. Asi, se ha encontrado que el valor esperado de la salida se
puede obtener simplemente por la propagación a través del sistema dinámj_
co del valor esperado de la señal de entrada.
co co
o=,T>l
co co
CO CO
co co
co co
oo co
co co
2 2co co
2 200 CO
0=,T>12
51?
46
co oo
s s h ( k j ' ) h ( k 2 ' ) [ R u U i - k i 1 , k 2 - k 2 ' )k i ' = 0 k 2 ' = 0
i - k i 1 ) T ] U (k 2 -k2 ' ) ]
00
£ h ( k i ' ) h ( k 2 ' ) Cu ( k i - k x 1 , k 2 - k 2 ' ) (111-26)00 00
k i ' = 0
donde la segunda I g u a l d a d se obtiene reemplazando y ( k ) y r iy(k) por las
ec. (111-17) y (111-25) respectivamente, la cuarta de acuerdo a la ec.
(11-79), la qu in ta y la sépt lma.de las def in ic iones de valor esperado,
autocorrel ación y autocovar lancla . -
Para determinar la func ión de covar iancia cruzada:
CUy(ki , k2) = E '{£u(k i ) - Tiu(ki)] [y(k2) - ny(k2)]}
co
= E í [ u ( k i ) - mi(k i ) ] [ 2 h ( k 2 l ) u ( k 2 - k 2 ' )k 2 '=ü
oo
- E h ( k 2 ' ) nu(k 2 -k 2 ' ) ]}
E{ £ h ( k 2 ' ) u ( k j u ( k 2 - k 2 ' ) - i h ( k 2 ' ) n u ( k i ) u ( k a - k 2 ' )k '=0 k '=0¿ ¿.
00
2 h ( k 2 ' ) n u ( k 2 - k 2 ' ) u ( k jk 2 ' = 0
co
+ 2 h ( k z ' ) n u ( k i ) n u ( k 2 - k 2 ' ) }
Z h ( k 2 ' ) E í u l k j ) . u ( k 2 - k 2 ' ) }k 2 ' = 0
s h ( k 2 ' ) n u ( k i ) E í u ( k 2 - k 2 ' ) }k 2 '=0
£ h ( k 2 ' ) n u ( k 2 - k 2 ' ) E { u ( k i ) }k 2 ' = 0
h ( k 2 ' )i _r»
2k 2 '=0
2 h ( k 2 ' ) [ R u ( k i , k 2 - k 2 ' ) - n u ( k i ) n u ( k 2 - k 2 ' )k2 '=0
- nu (k 2 -k 2 ' ) n u ( k i ) + n u ( k i )
co
E h ( k 2 ' ) [ R u ( k i , k 2 -k 2 ' ) - n u ( k i ) n u ( k 2 - k 2 ' ) ]k 2 '=0
co
= Z^ h ( k 2 l ) C u ( k l 5 k 2 ~ k 2 l )
donde.se siguió el mismo procedimiento usado en la determinación de la
función de autocovar iancia .
Ahora, si se considera que la señal de entrada u s es un proceso estocás_
tico estacionario, el cual es caracterizado por:
nú (k) = nú = constante (111-28)
Cu (k l 3 kz) = CU(T) T = kx-k2 (111-29)
entonces, las ec. (111-25), (111-26), (111-27) se reducen a:
co
ny = nu ' s h ( k i ) (111-30)
co co
, k z ) = 2 2 h ( k : ' ) h ( k 2 ' ) C u ( k i -k 2 +k 2 ' -ki ' )k i ' = 0 k 2 '=0 (111-31)
C u y ( k l 5 k 2 ) = E h ( k 2 ' ) C u U i - k a + k a 1 ) (111-32)- k 2 ' = 0
de donde se concluye que el va lo r esperado de la s a l i da es una constan-
te, yque si la señal de entrada es (débi lmente) estacionarla y el s1s_
tema estable, la señal de sa l ida también será (débi lmente) estacionarla.
Las ec. (111-30), (111-31) y (111-32) pueden ser s impl i f icadas aún más
si se hace uso de los conceptos: densidad espectral y transferencia pul_
sada, siendo esta última definida como la transformada Z de la función
de ponderación h.
00
H ( z ) = E z"K h ( k ) (111-33)
Entonces, la ec. (111-30) queda reducida a:
riy = nú - H(l). (111-34)
puesto que:
H ( l ) = Z l"k h C k )k=0
rk = i . k = o, i......
H ( l ) = £ h ( k )k=0
También se sabe que la dens idad espectral de la s a l ida está re lac ionada
con la autocovarlancia de la sa l ida por:
49
• i
Sy(w) =Y~ ^ *k=-°°
donde Cy(k ) = Cy(k i + k ,
Así; con la ec. (111-31) se tendrá que:
co co
Sy(w) = -1— Z e~jküi E Z h ( k ! ' ) h ( k 2 ' ) Cu(k+ k z '¿TÍ k=— k i ' = 0 k 2 ' = 0
oo co co I
"jk l w h ( k / ) e j k 2 w h ( k 2 ' ) .k j ' = 0 k 2 ' = 0
00 - i . i °° ' U '
E e"Jkl u h ( k ! ' ) 2 e3*2 w h ( k 2 ' ) -'=0 k 2 ' = 0
= H(e j ü ) ) H(e"ja)) Su(ü i ) (111-35)
donde la última Igualdad se obtiene reemplazando la transformada I -
(111-33) y la definición de densidad espectral (11-55).
Para determinar la densidad espectral cruzada de la entrada y la salida,
se puede seguir un procedimiento similar al anterior, recordando la d_e_
finición de la densidad espectral cruzada (11-61) para procesos de par£
metros discretos:
50
Suy(w) =Y~ Z e~jkül Cuy(k) (111-36)11 k=-°°
donde C u y ( k ) = Cuy(k a + k, k : )
Así, con la ec. ( I I I -3Z) se tendrá que:
00 00
Z e"jkü) E h ( k 2 ' ) C u ( k + k 2 ' )=-~ k 2 l = 0
C u ( k + k 2 ' )
= £ eJK2 w h ( k 2 ' ) T^ E e"JK'lük 2 ' = 0 ¿7Í k!=-«
= H(e"da)) Su (w) (111-37)
A partir de la ec. (111-35) surge la teoría de la factorización espec_ .
tral, que se estudiará a continuación y que será de utilidad al evaluar
la función pérdida.
3.2.1. Factorización espectral
Para desarrollar este tema se considera el mismo sistema usado en el
subcapitulo 3.2., es decir: un sistema invariante en el tiempo, asintcS
ticamente estable, con una función de transferencia pulsada H(z). Se
asume que la señal de entrada a este sistema es ruido blanco con densj_
dad espectral igual a uno. Esto no implica una pérdida de generalidad
porque en el sistema se puede incluir un parámetro para ajustar la ma_g_
51
nitud de la densidad espectral del ruido blanco.
De acuerdo a la ec. (111-35) la señal de salida es un proceso débilmen_
te estacionarlo con densidad espectral Igual a:
SyU) = H(e"jü)) H(ejü))
= |H(ejw) * (111-38)
Al observar esta ecuación surge una pregunta: ¿Es posible que todas las
funciones densidad espectral S(to) puedan ser expresadas como el produc-
to H(ejül) H(e~JÜJ)?s y de serlo, surge el problema de cómo encontrar e _
ta función H.
Todo esto es conocido como el problema de la faetónzación espectral. SI
la factorlzaclon espectral es posible siempre, entonces todos los proce_
sos estacionarlos podrían pensarse como salidas de sistemas dinámicos
cuyas entradas son ruido blanco con densidad espectral Igual a uno, en
cuyo caso la teoría de sistemas dinámicos sujetos a perturbaciones esto_
cástlcas podría simplificarse considerablemente debido a que seria sj¿
flclente analizar sistemas con ruido blanco con densidad espectral Igual
a uno en su entrada. Las simulaciones también podrían ser simplifica -
das considerablemente dado que seria suficiente tener sólo generadores
de ruido blanco.
El problema de la factorlzaclon espectral no es fácil de resolver en ge_
neral; si se Umita la clase de funciones de densidad espectral., el pro_
blema puede ser solucionado más fácilmente.
52
Si el sistema dinámico es de orden finito, la función de transferencia
pulsada H(z.) es una función racional en z.. La densidad espectral es
entonces una función racional en e o eos u. El proceso estocástico
es entonces llamado un proceso con espectro racional o con dens idad e¿
pectral racional .
El problema de la factorización espectral se resuelve en base al si-
guiente teorema:
- TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN ESPECTRAL
Considérese un proceso estocástico estacionario con una densidad espe^_
tral S, entonces existe una func ión racional H s con polos dentro del
circulo uni tar io y ceros dentro o sobre el c i rcu lo un i ta r io , tal que:
S(u) = H ( e ü J )
(111-38)
- P R U E B A : esta prueba se basa en las propiedades básicas de las func io_
nes racionales; la dif icul tad radica en demostrar que el sistema es es_
table.
Como S(w) es racional en e w , entonces puede ser expresada como:nU (e - ai, ')
S(íd) = 'C1 ejwX -^ (111-39)n i „ J w ,, i \e - 3 u )k=l
53
donde n ingún polo 3fc' puede tener módulo igual a uno puesto que S es i_n_
tegrable. Si a l g ú n 3^ ' fuera Igua l a uno el denominador será i g u a l
a cero, dado que el módulo de e^ es también igual a uno.
Como S(w) es real 3 se cumple que:
S(tü) = S*(td) (111-40)
donde * representa el complejo con jugado .
Del algebra vectorial se sabe que:
(e3" - ak , )* = <e-jtü - ak'*)
= e-jü) . ak'* (-^—- ejw) (111-41)«k'*
Reemplazando esta ultima igualdad en la igualdad (111-40) se obtiene:n -n m '* ,
• , Vi '* '
S(U) = S*(W) -c1* eawm-n;~x - - k- - (HI-42)
H 3k'* (-¿^~ e^}k=l ^
de donde se observa que para cada cero c 1 del numerador le corresponde
otro cero 1/a 1*. Si a^1 tiene su módulo mayor que 1, entonces l/a^1*
tiene su módulo menor que 1. Lo anterior también se cumple para el de_
dominador.
Además del algebra vectorial se tiene que:
54
,-JUs/
z e"
(111-43)
A partir de estas consideraciones se puede demostrar que la densidad e _
pectral (111-39) puede ser escrita de la siguiente forma:
donde
S(tu) = c
n/2TIk=l
*•(eJUJ - Pk)
O <
O <
c > O
< 1
(111-44)
En suma:
B(ejcü) 2
A(ejüJ) •
n/2E
k=0m/2
k=0
, - / n \,\ CO "Q" " N 1
ak e
ñ (7 - k)u, ^JW ¿-bk e
(111-45)
que es la representación en forma canónica de la ec. (111-44) y donde
55
el polinomio A(z) tiene todos sus ceros dentro del círculo unitario y
B(z) tiene todos sus ceros dentro o sobre el círculo unitario.
Como la función S(w) es real, se encuentra que para cada cero ak existe
otro cero ctj<*. Los coeficientes de los polinomios A y B son por esto
reales. De esta manera hemos encontrado una función racional:
H(z) =-Hf]~ (HI-46)
con todos sus polos dentro del círculo unitario y todos sus ceros den-
tro o sobre el círculo unitario.
Como una coasecuencla directa del teorema de la factorlzaclón espectral
surge el teorema de la representación.
- TEOREMA DE'LA REPRESENTACIÓN.-
Dada una función de densidad espectral racional S(w), entonces existe -
un sistema dinámico lineal aslntótlcamente estable, tal que la salida
del sistema es un proceso estacionarlo con densidad espectral S(o)), si
la entrada es ruido blanco con densidad espectral Igual a uno.
- PRUEBA: de acuerdo al teorema de la factorlzaclón espectral, existe
una función racional H, con polos dentro del círculo unita-
rio, que cumple con la ec. (111-38). Considérese un sistema dinámico
con una función de transferencia pulsada Igual a H, y sea la señal de
entrada a este sistema ruido blanco con densidad espectral Igual a .una
Como el sistema es estable, del análisis de sistemas dinámicos cuyas en
56
tradas son procesos estocásticos, cuando se conocen las funciones de
densidad espectral y de transferencia pulsada, se concluye que la salj_
da es un proceso estocástico estacionario con densidad espectral S.
Este teorema es muy importante porque, como ya se anotó, significa que
si el análisis es restringido a procesos estacionarios con densidades
espectrales racionales, estos procesos pueden ser generados al hacer
propagar ruido blanco con densidad espectral igual a uno a través de
sistemas dinámicos estables.
- EJEMPLO
Factorizar la s iguiente densidad espectral
c, x 1.04 + 0.4 cosüjS(u) =1.25 + coso)
Reemplazando , eos w =
( x = 1.04 + O.Z e ü ) + 0.2
1.25 •
1.04 i
1.25 i
0 .2(e :
i. n r ~3W i n c ~~J W+ u . b e T - u . b e
sjü) + 0.2(e2 j w + 1)> + 0.5(e2ju + 1)
' ü . ¿ e + 1 )
0.5(e2jco + 2.5
0.2(eja i + 0 .2 ) (e3'" + 5)0.5(ejw + 0.5) (ejw + 2)
- 0.2(ejüJ H
0.5(e3üJ -,
h 0.2) (e3^
H 0.5) (eju
+ 5)
+ 2)
Como S(ü>) es real y. mayor que cero.
57
Ü.2 0.2
0.5 0.5
ut i l i zando la ec. (111-43) para los factores:
+ 5 y ejüi + 2 se obtiene que
0.2
0.5
ejw + 0.2
ejw + 0.5
5
2
— J^J i T / r 1e i i/ bJÜ3 . n /oe + 1/2
ejü) -
ejü) H
h 0.2
f- 0.5
2
2
0.2
0.5
H(o») = e3ai + 0.2
e^ + 0.5
H(z) = z + 0.2
z + 0.5
58
C A P I T U L O I V
CONTROL ESTOCASTICQ DISCRETO
La teoría desarrollada hasta este punto sirve como herramienta para ana_
lizar sistemas dinámicos lineales discretos cuyas señales de entrada son
procesos estocásticos. Este capitulo mostrará como estas herramientas
pueden ser explotadas para analizar y diseñar sistemas de control. Por
las razones Indicadas en la introducción, en particular se desarrollará
la teoría de dos problemas: el primero consiste en determinar la forma
o en que grado influyen las perturbaciones estocásticas sobre el siste
ma, lo que se puede lograr evaluando la variancia de la señal de salida,
que en sistemas de control es generalmente llamada función pérdida u ob_
jetivo.
El segundo problema consiste en encontrar un modelo matemático para re_
construir las variables de estado de un sistema real cuyos parámetros
pueden haber sido solo aproximados, la estructura de este modelo es co_
nocida excepto cierto número de parámetros, los cuales pueden ser esco_
gidos arbitrariamente, se analizará como escoger estos parámetros con
el objeto de minimizar el error de reconstrucción de los estados.
En este capítulo además, se implementarán los programas para resolver
dichos problemas en el computador digital TEKTRONIX 4051.
59
4.1. EVALUACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO O PERDIDA
4.1.1. Enunciado del problema
En el capítulo III se desarrollaron las herramientas necesarias para ana
Tizar sistemas lineales sujetos a perturbaciones, las cuales podían ser
descritas como procesos estocásticos. Para sistemas lineales invarian-
tes en el tiempo, cuyas perturbaciones son procesos estocásticos estaci£
narios, con densidades espectrales racionales, se encontró que la densj_
dad espectral para cualquier sistema puede ser expresada como:
S(u) = H(ejw) H(e"jüi) (111-38)
o también
S(z) = H(z) HU"1)
donde z = e w y H es una función racional en z.
La var iancia del sistema está dada por:
irr
C(o) = \) dü) (11-65)O-ir
Haciendo las substituciones correspondientes s la ec. (11-65) se transfor^
ma en:
C ( o ) = - H ( e ü ) ) H ( e ~ t i ) ) ( á e u ) ( I V -1)•J o
-7T
60
C ( 0 ) = - - < > H(z) HU"1) (IV-2)j j ¿
donde <J representa la Integral a lo largo del círculo unitario en el
plano complejo Z.
Por lo tanto, para calcular la variancia de la señal se debe afrontar
el problema de evaluar la Integral:
ri \ T - A rh B(z ) BU"1) dzV A o ) ~ i ^ • Ml
ZTTJ A(z) A(z" ) z
donde A y B son polinomios con coeficientes reales
A(z) = a0 zn + a! z11"1 + .... + an (IV-4)
B(z) = b0 zn + bi zn l
= H(z) (111-46)
ny cp representa la Integral a lo largo del círculo unitario en sentido -
positivo. £1 factor 1/Z-rr es Introducido solo por conveniencia. Se as_u_
me además., que a0 es positivo.
Antes de evaluar esta Integral es necesario desarrollar cierta teoría
preliminar, lo que se hará a continuación.
4.1.2. Notación y preliminares
Se debe observar que la Integral (IV-3) siempre existirá si el polinomio
61
A(z) es estable; es decir, si todos sus ceros están dentro del círculo
unitario. En tal caso, siempre se podrá encontrar un sistema dinámico
estable con una función de transferencia pulsada igual a B(z)/A(z), y
la integral es simplemente la variancia de la salida cuando la entrada
es ruido blanco.
Si A(z) tiene ceros sobre el círculo unitario,, la integral divergirá .
Si A(z) tiene ceros dentro y fuera del círculo unitario, pero no sobre
el, la integral existirá, pero en este caso siempre se puede encontrar
un polinomio A'(z) con todos sus ceros dentro del círculo unitario tal
que:
A(z) A(z-1) = A'(z)
y la integral representará la variancia de la salida de un sistema din£
mico estable con una función de transferencia pulsada igual aB(z)/A'(z).
Sin embargo en muchos casos prácticos, se obtiene la integral como re-
sultado del análisis de un sistema dinámico cuya función de transfereji_
cia pulsada es B(z)/A(z). En tal caso, es naturalmente de gran impor-
tancia chequear que el denominador A(z) tenga todos sus ceros dentro del
círculo unitario, porque en caso contrario, el sistema dinámico será
inestable aunque la integral exista.
Con el objeto de presentar los resultados en una forma simple, se intro_
ducirá a continuación cierta notación que será usada al desarrollar y
resolver el problema.
62
Sean A y B polinomios recíprocos de A y B respectivamente, definidos
por:
A+(z) = zn AU*-1) = a0 + ai z + + an zn (IV-7) /
B+(z) = zn BU"1) = b0 + h»! z + + bn zn (IV-8)
Adicional mente se introducen los polinomios
Ak(z) = aok z + alk z " + -i
Bk(z) = bok z + blk z " + + bkk
definidos recursivamente por:
= z"1 {Ak(z) - ak
Bk_x(z) = z"1 {Bk(z) - 3k Ak+(z)}
donde:
y An(z) = A(z)
Bn(z) = B(z)
(IV-14)
63
Las expresiones recursivas para determinar los coeficientes de los po-
linomios Ak y B^ se obtienen a partir de todas las definiciones anteri£
res, y de la siguiente forma:
Desarrollando las ec. (IV-7), (IV-9) y (IV-13) para k = 0,1,2,---
A0(z) = a00
AI(Z) = a01 z -f a11
A2(z) = a02 z2 + a12 z
A 3 ( z ) = a 0 3 z3 + a13 z2+ a2 3 z + a 33
l o o
Ai (z) = cloi
A2 (z) = a 0 2 + aia z -f a22 z
a13 z + a23 z + a 3 3 z _
101
1 0 3
De donde la ec. (IV-11) para k = 1 es:
A 0 ( z ) = z 1{A1i \ ( z ) >
3o o = z"1 {a0i z + ail - - [afll + an z]}
-i= z Ía01 z +
-,d01
y la ec. (IV-11) para k = 2:
:(A2(z) - a2
> 2}
a0i z + an = z-i a22 - -~2-[ao2 + ai2 z +
ao2
822 (322)
^22
y la ec. (IV-11) para k = 3:
A2(z) = z"1 ÍA3(z) - a3 A3 (z)}
(IV-15)
z2]}
(IV-16)
(IV-17)
a12 z2 + a23 z + a33
303[a03 + a13 z + a23
a02 a22 = a03 z2 + a13 z
(a33)2 2
a33^23 - a!3 - ' ~ a23
dO 3
65
a o 3
= a13 - a23&03
a22 = a23 - a13 a33 '• (IV-20)
Generalizando las ec. (IV-15), (IV-16), (IV-17), (IV-18), (IV-19) y -
(IV-20)s se obtiene:
que es la expresión recursiva para determinar los coeficientes del polj_
nomio A. Siguiendo un procedimiento similar se puede determinar que la
expresión recursiva para los coeficientes del polinomio B es:
bi(k-l) = b1k - gk a(k_-|)k i = 0,1,...(k-1) (IV-22)
Las condiciones in ic ia les de estas dos ul t imas ecuaciones, se las obti£
ne de las ec. ( IV-4) y (IV-5) y son:
a1n = ai (IV-23)
b1n = bi (IV-24)
Si las ecuaciones dadas anteriormente debieran tener algún significado,
naturalmente se debería exigir que todos los aok sean diferentes de ce_
ro. El coeficiente aon puede ser siempre escogido diferente de cero. El
siguiente teorema da las condiciones necesarias y suficientes para cum
66
p l i r lo planteado.
- TEOREMA 1.-
Sea aok > O, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
1) El polinomio A^(z) es estable.
2) El polinomio A^U) es estable y a0(k-l) > 0.
Aplicando sucesivamente este teorema, se puede demostrar que el polin£
mió An(z) es estable, entonces todos los coeficientes ao^ son positivos.
Para probar este teorema se necesita del siguiente teorema auxiliar:
- TEOREMA AUXILIAR
Sea el po l inomio f ( z ) con coeficientes reales y con todas sus raices
tro del c i rculo un i ta r io , entonces:
|f(z)
|f(z)
f (z) para z < 1
(z) para
|f(z) > f (z)| para
i
z- > 1
- PRUEBA: ' sea
f(z) -nU (z < 1
(IV-25)
( IV-26)
(IV-27)
(IV-28)
entonces f+(z) = 3 n (i - ai z) ( IV-29)
67
W ( z ) =-tf
n (íZ-"aaÍ (IV-30)-¡=1 ^ °h z'
donde ct-¡* representa el complejo conjugado de ai, y la última igualdad
resulta del hecho de que f tiene coeficientes reales. SI a-j es un cero
de f, entonces a-j* es también un cero.
Si se considera:
W - j ( z ) = z " a1 - (IV-31)1 - a-* z
Se puede demostrar que ésta es una transformación del circulo unitario
en si mismo. El círculo unitario es invariante para la transformación.
La transformación:
w(z) = n w-j(z) = n z " ai — -4 - (iv-30)1=1 1=1 1 - a-i* z f (z)
tiene las mismas propiedades y de esta manera ha sido demostrado este
teorema auxiliar.
- PRUEBA DEL TEOREMA 1.- primeramente se va a demostrar que si se cum-
ple 1) entonces se cumple Z).
Si 1) se cumpl 63 entonces del teorema auxiliar se tiene que:
|Ak(o)| < |Ak+(o)| (IV-32)
pero de las ec. (IV-7) y (IV-9) se tiene que:
68
Ak(°) = akk (IV-33)
Ak (o) = aok
con esto la ec. (IV-3Z) se transforma en,
Kl = akk / aok (IV-34)
en donde se hace uso de la ec. (IV-13)
De la ec. (IV-Z1) se obtiene:
(IV-35)
Nótese que aok fue asumido mayor que cero. Como Ak(z) es estable, del
teorema auxiliar también se cumple:
para z > 1 (IV-36)
combinando las ec. (IV-34) y (IV-36):
| A k ( z ) > |cxk | A k + (z) para z >_ 1 ( IV-37)
De la ecuación (IV-11) se encuentra que:
69
|Ak-lU) Ak A
para zl > 1 (IV-38)
donde la ultima desigualdad se obtiene de la ec. (IV-37). Esta ultima
ecuación implica que Ak_i(z) no tiene raices fuera del círculo unitario,
y de esta forma se ha demostrado la primera parte del teorema.
A continuación se demostrará que si se cumple 2) entonces se cumple 1).
De la ec. (IV-21):
= [(aok)2 - (IV-39)
donde la desigualdad es la condición 2) del teorema.
Como se asume que a0k es positivo, entonces para que se cumpla la ecua-
ción anterior se debe cumplir que:
(IV-40)
De acuerdo a la ec. (IV-11)
Ak(z) - ak Ak (z) = z IV-41)
de aqu! :k + " 3z A z'1) - ak z Ak+(z"3) = 1) (IV-42)
70
o Ak+(z) - <% Ak(z) - Ak_i (z) (IV-43)
eliminando Ak+(z) de las ec. (IV-41) y (IV-43) se tendrá
Ak(z) * Ak-l(z) + Ak-1 U) (IV-44)
como < 1, entonces la eliminación es siempre posible, porque no se
elimina el denominador.
Para z > 1, del teorema a u x i l i a r se t iene;
(z) (IV-45)
y como ctk < 1, entonces para z .> 1 se t iene:
|Ak-l U) > O (IV-46)
esta ul t ima ecuación I m p l i c a que A k ( z ) no tiene ceros fuera del círculo
uni ta r io y el teorema ha sido demostrado.
Previamente fue establecido que aok debe ser mayor que cero para todo k
como una condición necesaria para que A(z) sea estable. Ahora se demos_
trara' que el reciproco también es verdad. El polinomio trivial A0 es
estable si a00 > 0. El teorema 1 Implica que AI es estable. Por repe_
ti clones sucesivas de este teorema se encuentra que el polinomio Ak es
estable. En consecuencia, si el polinomio A(z) tiene todos sus ceros -
dentro del circulo unitario, entonces todos los coeficientes a0k son p£
sitivos. Si algún coeficiente a0k no es positivo, el sistema con la
función de transferencia pulsada B(z)/A(z) es inestable. De aquí se
71
puede establecer el siguiente teorema:
- TEOREMA 2.-
Si los aon son mayores que cero, entonces las siguientes condiciones -
son equivalentes:
1) An(z) es estable.
Z) aok > O Para k ~ 0,1,... n-1
Con toda esta teoría preliminar se puede afrontar el problema de evaluar
la integral (IV-3).
4.1.3. Solución del problema
A continuación se demostrará que la integral (IV-3) puede ser evaluada
recursivamente, para este propósito se define la integral 1^:
donde Itf = I.
-TEOREMA 3.
Sea el po l inomio A ( z ) con todos sus ceros dentro del círculo un i ta r io
La integral 1^ definida por la ec. (IV-47) satisface las siguientes
ciones recursivas:
72
(IV-48)
(IV-49)
- PRUEBA: como A ( z ) tiene todos sus ceros dentro del circulo unitario,
del teorema 2 se concluye que todos los a 0 k son diferentes de cero. Los
polinomios Ak y Bk pueden ser definidos de las ec. (IV-11) y (IV-12 ) .
Aun más3 según el teorema 2, todos los polinomios Ak tienen sus ceros
dentro del circulo unitario, entonces todas las integrales Ik existen.
Para probar este teorema., -se hará uso de la teoría de funciones analiti_
cas. Primeramente se asume que el polinomio A(z ) tiene raices distin-
tas y diferentes de cero. Entonces la integral (IV-47) es igual a la
suma de los residuos en los polos de la función B k (z ) Bk(z~ )/z A|<(z) ~
dentro del círculo unitario. Como la integral es invariable a los carn
bios de variable z -*• 1/z, entonces también es igual a la suma de los re_
siduos en los polos fuera del .circulo unitario.
Ahora, considérese:
Bk-lU) Bk-lU"1) dz ,
donde los polos del integrando son: z = O y los ceros zn- del polinomio
A|<_i(z). Puesto que Aj^Cz-j) = O, de las ec. (IV-7) y (IV-11) se ob_
tiene que:
= ak
73
combinando esta última ecuación con las ec. (IV-7) y (IV-11):
- i " ) - ak Zi~ A|c(zi)]
= [1 - ak2] ZT Ak (zf1) (IV-52)
además de las ec. (IV-7) y (IV-11) se tiene que:
y de aquí:
= Ak+(z) - ak A k (z ) (IV-53)
- ao k - ak akk
Las funciones:
Bk-l(z) Bk-Kz"1) . 1 Bk-i(z) Bk_i+ (z-i) ..— — —Ak-l(z) Ak_i(z ') z Ak-i(z) Ak_i (z"1) z
y
Bk-l(z) Bk-l(z~a) . 1 _ Bk-i(z) B
( IV-54)
- ak2) ARÍz-1)] z A k _ i (z ) [(1 - ctk2) Ak+(z)] 2(IV-56)
74
tienen los mismos polos dentro del c i rculo un i ta r io y los mismos res i -
dúos en esos polos.
Por lo tanto:
1 I B.k-l(z) Bk-Kz"1) dz
1 - <*k 27r3 J Ak- i (z )
B k - l ( z ) Bk-l(z"1) . dz ( IV-57 )Ak (z) A k _x (z ')
donde la segunda i gua ldad se obtiene al hacer la substitución de varia-
bles z •* z~ . El integrando tiene polos en los ceros de A k ( z ) . De la
ec. (IV-11) se obtiene sin embargo que :
= z ÍAkíz" 1 ) - ak z~ A k ( z ) > (IV-58)
de aquí, para los z-j s tal que AkU-¡) = O se tendrá:
Ak-lUi"1) = 2i Ak (zi-1) ( IV-59)
Las funciones :
( IV-60 )Ak (z) Ak-l(z
yBk-l(z) Bk-ilz"1) _ i = Bk-l(z) Bk-l+(z) ( I V_6 1 )
Ak (z) Ak (z"1) ' z Ak (z) Ak+ (z)
75
tienen los mismos polos dentro del circulo unitario y los mismos resi-
duos en esos polos. La integral de estas funciones a lo largo del cí_r
culo unitario es entonces la misma. La ec. (IV-57) entonces es igual a:
ik , = —- . - . . ( I V_6 2 )
1 - ak2 2TTJ J Ak(z) Ak(zJ) z
Si se reemplaza en ésta última ecuación la ec. (IV-12)
+ -1(1 - ak)2 Ik i = -±- £ Pk(z) - Bk A k ( z ) ] [Bk(Z-1) - ^ A^z"1)] _ dz
2TTJ J Aic(z) Akíz"1) ' z
Bk(z) Bkd"1) dz
Ak(z) Ak(z-1) z
Jk ¿ Bk(z) Ak+(z-1) . dz
ZTTJ J A k (z ) Ak (z"1) z
ek C A k ( z ) Bkíz"1) . dz
ZTTJ J Ak (z) Ak(z"1) z
_ — — . (IV-63)2Trj Ak (z) Ak (z"1) z
donde la primera integral es igual a Ik. La segunda integral puede ser
reducida de la siguiente forma:
Bk( z ) Ak+(z-1) dz _ Bk p Bk(z ) Ak(2 )"1
2-rrj J A k (z ) Ak ( z " ) z 2irj J Ak (z) A k ( z ) z
Bk(z) dz
Ak+(z) z
Ak+(o)
76
= Sk2 (IV-64)
donde la primera i g u a l d a d se obtiene a part ir de la ec. ( I V - 9 ) , la tej^
cera del teorema del residuo, y la quinta de la ec. ( IV-14) .
Con un procedimiento s i m i l a r se puede ha l l a r que la tercera integral -
del lado derecho de la ec. ( IV-63) es igua l a 3^.2.
La cuarta integral puede ser reducida de la s iguien te forma:
2-irj A k ( z ) A f c U " ) z 2-irj
en donde se hizo uso de la ec. ( IV-7) .
Por lo tanto, la expresión (IV-63) queda reducida a
cuando k = O, la ec. ( IV-47) queda como:
2-ira J A 0 ( z ) AoU"1) z
/ b 0 0 \ dz
2-írj J a 0 0 z
( IV-49)
77
con lo que se ha demostrado las ec. (IV-48) y (IV-49) cuando A(z) tie_
ne sus raices distintas. Si A tiene raices múltiples o raices iguales
a cero, se deberán perturbar sus coeficientes con el objeto de obtener
raices distintas y diferentes de cero, y las ec. (IV-48) y (IV-49) to_
davía se cumplirán. Como los números a y $k son funciones continuas
de los parámetros, estas ecuaciones se cumplen aún cuando A tenga raj_
ees múltiples.
De la ec. (IV-Z1) se obtiene que:
ao(k-l) = aok ~ «k akk (IV-66)
La ec. (IV-48) puede ser escrita entonces como:
aok
a°k
(IV-67)
que si se la desarrolla sucesivamente para k = 1,2,... se encuentra que
la integral Ik está dada por:
4.1.4. Aspectos de computación y diagrama de flujo del programa
Habiendo obtenido las fórmulas recursivas dadas por el Teorema 3, se de
78
be fijar la atención en los aspectos prácticos de computación. Para ob
tener la Integral primero se deben calcular los coeficientes de los po
llnomios A|<(z) y B^z), lo cual se logra fácilmente mediante las si-
guientes tablas:
ao(n-l) ai(n-l) a(n~l)(n-l) TABLA A
3o o
bo(n-l) bi(n-l) b(n-l)(n-l) TABLA
00
donde las primeras filas son los coeficientes de los polinomios A y B .
Los coeficientes de las restantes filas son obtenidos a partir de las
filas anteriores usando las ecuaciones:
= akk/aok
a1k - «k
= b1k - Sk a(k-1)k
1 = 0,1,...k-1
1 = o,l,...k-l
(IV-13)
(IV-14)
(IV-21)
(IV-Z2)
79
Usando el criterio de estabilidad del teorema 2, se puede determinar si
el polinomio A(z) tiene todos sus ceros dentro del círculo unitario si
es que todos los coeficientes a^ son positivos, estos elementos están
subrayados en la tabla anterior. Habiendo obtenido los coeficientes 04,
y g[< se puede obtener fácilmente el valor de la Integral (IV-68).
Estas tablas son validas para Investigar la estabilidad, porque es sijn
plemente una variación de la tabla del criterio de estabilidad de Jury.
Nótese que con el objeto de Investigar la estabilidad del polinomioA(z)
se debe formar solamente la tabla A, mientras que el trabajo requerido
para calcular la Integral es prácticamente el doble, puesto que se deben
formar las dos tablas.
En la figura IV-1 se muestra el diagrama de flujo del programa creado
para evaluar la función pérdida, ('o) BARBERIS/TESIS/PERDIDA).
INICIO )
Ingreso de datosEn pantalla:Grado de A y B? (N)Coeficientes del polinomio A?Coeficientes del polinomio B?
80
En pantalla :Desea corrección de datos?
I
A
\
Se calculan los<*k Y $k
\
Se calculan loscoeficientes deAk(z) y Bk(z)
SI
Se avalúa la i¿tegral .
\
L_ „ _ _ _ . .
\
En p a n t a l 1 a :El po l inomio A(z ) tie_ne a l g u n a raíz sobreel circulo un i ta r io ofuera de §1.
V
81
V
En pantalla:El polinomio A(z) tienetodas sus raíces dentrodel círculo unitario.El resultado de la Integral es:
En pantallaImpresión
\En panta l la :Aliste el Impresor.Presione RETURN p_a_ra con t inuar .
v
Impresión de títu-los, datos y resul-tados.
FIGURA IV-1
82
4.2. OPTIMIZACION PARAMETRICA
4.2.1. Introducción
Existen enla práctica muchas situaciones en donde solo pocas variables -
de estado de un sistema dinámico pueden ser medidas directamente. Consi_
dérese por ejemplo el siguiente sistema dinámico discreto:
x.(k*l) = AQ. x.(k) + BD uU) (IV-69)
-CDX.ÍIO (iv-70)
donde _x es un vector de estado n-dimensional , j¿ es un vector r-dimensio_
nal de entradas, ^ un vector p-dimensional de señales de s a l i da . La ma_
triz A Q e s n x n , B £ e s n x r y C £ e s p x n . Los elementos de estas ma_
trices pueden depender del t iempo.
Si el sistema descrito por las ec. ( IV-69) y ( IV-70) es completamente
observable, entonces el vector de estado puede ser reconstruido a par-(2)tir de al menos n rediciones de la señal de s a l i d a . Las va r i ab le s
de estado, sin embargo, pueden ser también reconstruidas a partir de un
modelo matemático del sistema. Considérese por ejemplo el siguiente mp_
délo:
£ (k+1) = Aoík) X(k) + Bj) u.(k) (IV-71)
el cual tiene la misma señal de entrada que el sistema o r i g i na l . Si e¿
te modelo es un modelo perfecto; es decir, si los parámetros de7 modelo
83
son idénticos a los parámetros del sistema y si las condiciones inici_a
les de las ec. (IV-69) y (IV-71) son idénticas, entonces el estado x_ del
modelo será idéntico a la verdadera variable de estado _x. Si las cond1_
ciones iniciales de las ec. (IV-69) y (IV-71) son diferentes, la recon¿
trucción convergirá a la verdadera variable de estado _x.j sólo si el
sistema descrito por la ec. (IV-69) es asintóticamente estable. Nótese
sin embargo, que la reconstrucción (IV-71) no hace uso de las medicino/s
nes (salidas) de las variables de estado. Comparando y_ con CQ x_ es po_
sible obtener una indicación de que también trabaja la reconstrucción -
(IV-71). La diferencia - C$ x_ puede ser fácilmente interpretada como
la diferencia entre las actuales mediciones y las predicciones de las
mediciones basadas en el modelo. Utilizando la diferencia y_ - _CQ x_, se
pueden ajustar los estimados x_ dados por la ec. (IV-71), por ejemplo, usa_n_
do la reconstrucción:
x.(k) + BQ _u(k) + k. [ - x] (IV-72)
donde _k es una matriz convenientemente escogida. Si el vector de esta_
do reconstruido x_ es idéntico al vector de estado verdadero, las recons_
trucciones (IV-71) y (IV-72) son idénticas y las dos dan el resultado
correcto. En un caso práctico se debe esperar que la reconstrucción
(IV-72) de mejores resultados que (IV-71) , porque en (IV-72) se usan
tanto las mediciones como las señales de entrada para la reconstrucción.
Para obtener algún conocimiento sobre la forma adecuada de escoger K.,se
considera el error de reconstrucción x_:
x_ = x - X (IV-73)
Restando la ec. (IV-72) de (IV-69) y reemplazando (IV-70):
i(k) (iv-74)
SI K. es escogida de tal forma que el sistema descrito por la ecuación
(IV-74) sea asintóticamente estable, el error de reconstrucción x_ con_
vergirá siempre a cero. Por lo tanto introduciendo una realimentación
en el modelo, es posible reconstruir variables de estado también en el
caso de que el sistema sea inestable. Con un escogí tamiento adecuado
de K., el error de reconstrucción siempre convergirá a cero para esta-
dos arbitrarios de la reconstrucción (IV-72).
A continuación se conocerá el problema de la optimización paramétrica y
su solución, es decir como escoger en una forma óptima a la matriz _K.
4.2.2. Problema de la optimización paramétrica
Se ha establecido que las variables de estado de. un sistema dinámico -
pueden ser reconstruidas usando un modelo matemático. La reconstrucción
contiene una matriz K3 la cual puede ser escogida arbitrariamente, suj
ta al requerimiento de que la matriz AQ - K_ C tenga todos sus valores
propios dentro del círculo unitario. El problema es entonces encon-
trar un escogitamiento óptimo de _K. Para resolverlo se deben introdu-
cir más argumentos; con este objeto, se asume que el sistema es goberna^
do por la ecuación estocástica de diferencias:
85
x.(k) u.(k) + v.(k) (IV-75)
donde v_(k) es una secuencia de vectores aleatorios Independientes n-dl-
menslonales, este vector tiene un valor esperado Igual a cero y cova-
riancia Ci. También se asume que el valor Inicial x jko) es normal, con
valor esperado n_y covariancia £o, y que existen errores de medición.
y(k) = C x.(k) + e.(k) ( IV-76)
donde e(k) es una secuencia de vectores aleatorios Independientes p-dj_
menslonales, este vector tiene valor esperado Igual a cero y covariancia
_C2- Los errores de medición _e(k) se asumen que son Independientes de
v_(k). Los parámetros A^, Bj), C^, C_i, £2, pueden depender del tiempo. N£
tese que aunque las perturbaciones que actúan en el sistema no sean n_n_
do blanco, pueden ser descritas por un modelo del tipo (IV-75) amplian-
do el espacio de estado como se describió en el subcapítulo de la facto_
rización espectral.
El diagrama de bloques que representa el sistema descrito por las ec .
(IV-75) y (IV-76) se muestra en la figura (IV-Z)
FIGURA IV-2
86
Con el objeto de reconstruir las variables de estado, se usara, en v1_r
tud del razonamiento ya hecho, el modelo matemático:
= ADx.(k) u.(k) x(k)] (IV-72)
El diagrama de bloques que representa el sistema descrito por las ec.
(IV-75), (IV-76) y (IV-72) se muestra en la figura (IV-3).
U(k)
FIGURA I V - 3
87
Con todos estos datos, ahora se puede formular el problema de la optimj_
zación paramétrica.
4.2.3. Enunciado del problema
Dado un vector constante y arbitrarlo a . Hallar una secuencia de matrj_
ees _K tal que el error de reconstrucción del producto escalar ¿ x_ sea
lo más pequeño posible según el criterio cuadrático medio.
4.2 .4 . Solución del problema
La solución del problema es directa. Primero se evalúa el valor espera^
do y la variancia del error de reconstrucción, y luego se procederá a
la minimización.
Primeramente se obtendrá una ecuación para el error de reconstrucción 3
para lo cual restamos la ec. (IV-72) de la ec. (IV-75):
= AQ í(k) + v.(k) - jCCy(k) - CQ £(k)] (IV-77)
y reemplazando la ec. (IV-76):
- K, Cj 5(k) +X(k) - Jie.dc) (IV-78)
El error de reconstrucción es, entonces gobernado por una ecuación 11-
'neal estocástica de diferencias, el valor esperado de la cual está dado
por:
- K C E {£(k)} (IV-79)
de acuerdo a la ec. (III-6), por lo tanto si se escoge la condición ini_
cial de tal forma que:
*.(k0) = n (IV-80)
se encuentra que:
E { x_(k0) }= E {TI- S(k0)} = O (IV-81)
es decir que el error de reconstrucción tiene valor esperado igual a ce_
ros sin importar como fue escogida K..
La variancia del error de reconstrucción:
- E <x(k)}][{ x.(k) - E{ i(k)}]1} (IV-82)
de acuerdo a las ec. (111-15) y (111-16) esta dada por:
£(k+l) = [AQ - K. _P(k) [Ao - K. CQ] + C_i + j( £2 K_ (IV-83)
P(k0) = C0 (IV-84)
A partir de estas ecuaciones se puede determinar la matriz de ganancia
_K, de tal forma que la variancia del
pequeña posible. Entonces se tiene:
_K, de tal forma que la variancia del producto escalar ¿ x^ sea lo más
89
E {aT x}2 = E {aT x xT a}
= a E { x X }a
- J r ,— a Lv a
= a1 P.(k) a_ (IV-85)
donde £(k) es la varlancla de x_.
Usando la ec. (IV-83) se tendrá que:
a1* _P(k+l) a, = a1" [AD £(k) V* + & " K. CD f(k) - AO £(k) C J(T
K, [C2 + C £(k) ¿ ] j(] a_ (IV-86)
A continuación se determinara recursivamente la ganancia variante en
el tiempo. Comenzando con k = k0 se observa que el lado derecho de e_s_
ta última ecuación es una función cuadrática de J<. Con un escogltamleri^
t.o adecuado de _K se puede lograr que £(k0+l) sea lo más pequeña pos_1_
ble. Habiendo hecho esto, luego se puede reemplazar k=k0+l y se puede
determinar K_= JC(k0+l) en una forma tal que _P_(k0+2) sea la más pequeña
posible. Para visualizar los detalles se reescrlblrá la ec. (IV-86) -
completando los cuadrados:
p.(k) c [c2 + _ p ( k ) l"1 c$ £(k)
" + Cp P(k) C^}{ _K
(iv-87)
90
Ahora si se considera el producto escalar:
a7 Ta_ = _a { A £(k) AO + Ci - £(k) £[ [C2
1 Cn .£ (k)
CD P.(k) £o] ÍK - AD £(k) C [£, + CQ £(k) C o ^ a .
(IV-88)
donde el miembro de la derecha es una f u n c i ó n de dos términos: el prinie_
ro independien te de K. y el segundo posi t ivo porque la matriz
£.2. + Cn f.(k) _CQ es posi t iva. El va lo r más pequeño del miembro de la
izquierda se obtiene entonces escogiendo _K de tal forma que el segundo
término del lado derecho de la ec. ( IV-87) desaparezca.
- A0 £(k) £ü1 [C2 + £Q £(k) Cg1] l a . = O (IV-89)
J< = K(k) = An £(k) C^ [C2 + £(k) £DT]"1 (IV-90)
y la ec. (IV-87) queda como:
£(k+l) = AD £(k) Aj^7 + £1 - AQ £ (k ) C^ [£2 + CQ £(k) C^Y* Cn £(k) AQ
(IV-91)
91
Se debe hacer notar que los resultados no dependen de _a. Por lo tanto
si se escoge una matriz J< con el objeto de minimizar el error de recons_
trucción cuadrático medio de una combinación lineal de las variables de
estado, al mismo tiempo se minimizará el error de reconstrucción cuadrá_
tico medio de todas las combinaciones lineales.
El primer término del lado derecho de la ec. (IV-91) representa; como el
error de reconstrucción en el instante k se propaga al instante k+1 a
través del sistema dinámico. El término _C¿ representa el incremento de
variancia del error de reconstrucción debido a las perturbaciones v_ que
actúan sobre el sistema, y el tercer término muestra como el error de
reconstrucción disminuye debido a la información obtenida a partir de
las mediciones.
Operando con las ec. (IV-90) y (IV-91) se puede obtener que:
= AD_P.(k) ADT + Cj. - JC(k) CQ _P(k) AQ1
T + C_i (IV-92)
(IV-93)
pos tmul t ip l icando esta ú l t ima ecuación por JC (k) y restándola de la ec,
(IV-92):
_p(k) A 1 " + c^ - K(k) & £(k) - AD p_(k) c^ KT(k)
K(k) CD f(k) GJ/ KT(k)
92
£(k)
K(k) C2 KT(k) (IV-94)
El problema propuesto y su solución pueden ser sumarlzados en la s1gu1en_
te forma:
Considérese el sistema dinámico:
y(\(} 4- R~ \\(\f} 4- \f(\(} (TV-V^A ^ F» / ' DJI U ^ I \ y ~ V ^ N y ^ J, V / O y
con la señal de salida.
(IV-76)
Una reconstrucción de las variables de estado del sistema usando el mo-
delo matemático:
es óptima según el criterio cuadrática medio si el parámetro de ganan-
cia JC es escogido como:
J<(k) = AO £(k) CjJ [ _C2 + _CD £(k) C^ I"1 (IV-90)
donde £(k) es la varlancla de la reconstrucción óptima y está dada por:
£(k) Ao1 + ¿i - AO £(k) CDT [£2 + GO £(k) ¿j1"]"1 ) £(k) AD
(IV-91)
X
93
p(k+i) = [AQ - K(k) CD] £(k) AOT + G! (iv-92)
- l(k) £D] LM [AD - Jl(k) ¿Q] + £1 + K.(k) £2 i (k)(IV-94)
con la condición in ic ia l :
£(k0) =£0 (IV-84)
Del procedimiento seguido para obtener estas ecuaciones se concluye que
también son válidas cuando las matrices An,,_BDí_Cp3 C_i y_Ó2 son dependien-
tes del tiempo. Escribiendo explícitamente esta dependencia, el modelo
dado por las ec. (IV-75) y (IV-76) es:
xU+1) = AQ(k+l; k) x_(k) + B o f k ) u_(k) 4- v_(k) (IV-95)
= C p ( k ) ^(k) + e.(k) (IV-96)
donde las covariancias de _e(k) y _v(k) son £z(k) y_Ci(k.) respectivamente
El reconstructor óptimo está entonces dado por:
X(k+l) = AD(k+l;k) x(k) + Bo(k) u.(k)
(IV-97)
donde _K(k) esta dada por:
JC(k) = AQÍR+!; k) f(k) C£, (k) [C_2(k) + £o(k) _P(k) £Q (k)] x (IV-98)
y P(k) por:
94
Pjk+1) = [Ao(k+l; k) - K(k) C k)] £(k) '(k+1; k) + d(k) (IV-99)
\f"\ \f"\- l ^ 4- P (\f\ A (L-4-1 • \f\ C., Is. y r ^ N ) r\r\s « X , K y ~ U . ^ R y npi \\ J. , N y r ^ rs. / L/n
P(k) Cjík)]' Co(k) £(k) AD(k+l; k) (iv-100)
k) - K(k) Co(k)] £(k) [Au(k+l; k) - K(k)
KT(k)
4.2.5- Aspectos de computación y diagrama de flujo del programa
Las ec. (IV-91), (IV-92) y (IV-94) son tres formas de calcular la ma_
triz _P(k) recursivamente, de las cuales la mas conveniente para imple_
mentar en un computador es la (IV-91), a pesar de no ser la más corta, y
se debe a que uno de sus términos es la matriz _K (Ec. IV-90) que se la
puede calcular antes, y de esta forma se puede ahorrar memoria, que de_
be ser una Importante consideración cuando se trabaja en computadores
de memoria limitada.
La teoría desarrollada en este subcapítulo permite encontrar recurslva-
mente la matriz de ganancia _K óptima; sin embargo^ con el objeto de vi-
sualizar el problema de este escogitamlento óptimo es conveniente graf1_
zar los estados y las salidas del sistema real y del modelo matemático
con esta matriz óptima, con una matriz j( diferente y en el peor de los
casos sin la matriz ]<, también es conveniente observar como influye la
magnitud del ruido sobre estas señales.
La Fig. (IV-4) muestra el diagrama de flujo del programa; el cual cons-
95
ta de varios subprogramas: (^DBARBERIS/TESIS/INGRl,^)BARBER1S/TESIS/
INGR2,^BARBERIS/TESIS/GRAFICOS,QBARBERIS/TESIS/IMPRESION),
INICIO
Ingreso de datos.En pantalla:Dimensión de las matrices _Ag»
_BD y _CD?Instante i n i c i a l y f i n a l deltiempo e in te rva lo de discre_tización.
Ingreso de datos:En pantalla:Matriz /\D?Matriz £j?Matriz D?Matriz de entradas?
En pantalla:Desea corregir datos.9
SI
Elaboración o recuperad óadel programa que contie;ne las funciones deltiempo.Evaluación de las fun-ciones para los diferejn_tes instantes de tiempo.-;
y
96
n pantalla :
Desea corregir los datos?
Ingreso de datos:En pantalla:Matriz de valor esperado delestado inicial real?Matriz de covariancias del ej_tado inicial real?
En pantalla:Desea corregir datos?
Generación del es_tado inicial real
Calculo de .los estados y las,salidas sin las entradas de-ruido, para tener una i dea del:ruido que se debe ingresar...
T
97
v
Grafizaclónlos estadoslas salidas.
dey
n pantalla:Desea cambiar la
condición final del tiempoel Intervalo de dlscretj
zaclón.9
SI
En pantalla:Impresión de los promediosde los estados y las salj_das.
Ingreso de datos:En pantalla:Matriz de covariancias del rurdoe.U).Matriz de covariancias del ruvdo v(k)
En pantalla:Desea corregir datos? sr
Generación de Eosruidos v(k) y e(k)
En la pantalla:El estado Inicial del
modelo es Igual al valor esperado del estado inicial
real ?
Ingreso de datosiEn pantalla:Matriz de valor esperado delestado inicial del modelo.Matriz de covariancia del esta_do inicial del modelo.
.En pantalla:Desea corregir datos ?
Generación deü estadoInicial del
99
Calculo de los estados ysalidas del sistema realcon ruido y del modelo sinla matriz _k.Calculo de errores.
v
v
Calculo de los estados ysal idas , de la matr iz je óp_tima y de la matriz _P_ delmodelo.Ca lcu lo de errores.
En pantal la :Desea variar la matriz Je
óptima del modelo.9SI
NO;
Ingreso de dato.scEn pantalla:.Listado de la matriz Je ópti-ma para cada Instante de.tiempo, compare- e Ingrese.matriz je subóptlma para ca-da Instante de tiempo,
100.
14
En pantalla:Aliste el gra-fizadorRETURN
Gráficos de los estados y lassalidas del sistema real, delmodelo sin _k y del modelo 6ptimo (y del modelo subóptlmo)
Gráficos de los estados y las-salidas del sistema real, delmodelo sin J£, o del modelo ój>timo, (o del modelo subóptlmo)
\
11
13
Ingreso de datos-:.En pantalla;Listado de la matriz k_ 5j>t ima, compare e Ingrese rria>trlz. k subóptima constante^
101
obtuvieron
En pantalla:Impresión de datos
resultados?
pantallpantal
pantalPantal
En pantalla:.Aliste la irnpresión RETURN
Impresión de datos yresultados.
Si se obtuvieronlos datos y resultados
en la pantallaEn pantalla:
esea impresión epapel?
En pantalla:.Aliste la impresoraRETURN"
102
Ha obtenido grá_fleo o listado de re
sultados 7
En pantalla:Desea variar los datosdel ruido para comparar
os resultados
NO
NO
FIN
FIGURA
103
C A P I T U L O V
RESULTADOS, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este capítulo se presentan varios ejemplos de aplicación de los pro-
gramas, y se dan los comentarlos y conclusiones que se han obtenido con
el desarrollo de este trabajo.
5.1. RESULTADOS, COMENTARIOS Y CONCLUSIONES
Primeramente se presentan los ejemplos de la evaluación de la función
pérdida.
Se evalúa la función pérdida para cuatro sistemas; dos de los cual es son
estables y Vos otros dos inestables. Para visualizar la ubicación exa£
ta de los polos de la función de transferencia; se encuentran las raí_
ees del polinomio A(z) a pesar de no ser necesario para evaluar la iñte_
gral , puesto que de acuerdo a la ec. (IV-68), no participan en esta. eva_
luación. • '
'A continuación se presentan los datos y resultados de estos ejemplos:
104
EJEMPLO 1 :
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
i;; A f. U L T A D D E IN G E N1E R1A E L E C T R IC A
r;»:*:•:si CONTROL ESTOCABTICO DISCRETO
i^.'MLUACIÓN DE LA FUNCIÓN PERDIDA
MARZO 1984
ÜKADO DE LOS POLINOMIOS A Y B Í2
COEFICIENTES DEL POLINOMIO A (z) «A (1) te"N-f A (2) #z"XN-l )-f ,+A < H-M )A (i)« ;!.A C 2)~ 0*4A < 3) " O *:!.
COEFICIENTES DEL POLINOMIO B (2 ) =E C1 )'*s N+B ( 2 )#2T (N-l) + .+B (Mil)
B C 2) -" O * 9B < 3 ) -- O . B
LAS RAICES DEL POLINOMIO A SON t
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
-O i 20000-0,20000
Ot24495-0,24495
EL POLINOMIO A TIENE TODAS BUS RAICESDENTRO DEL CIRCULO UNITARIO
LA FUNCIÓN PERDIDA ES IGUAL A t 1*56507930508
105
EJEMPLO 2 :
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIEKIA ELÉCTRICA
7!£3I3í CONTROL ESTOCA8TICO DISCRETO
EVALUACIÓN DE LA FUNCIÓN PERDIDA
MARZO 1984
Í3RAUÜ DE LOS POLINOMIOS A Y B I A
COEFICIENTES DEL POLINOMIO A (z -A ( 1 ) te~M-f A (2) #2" ( N-l )-f ,-f A ÍN-KL )A ( ;L ) - lA ( 2 ) ~ O * 6A<3 > ™ 0.8¡&.Í4)!» 0*4A(S)« 0*9
COEFICIENTES DEL POLINOMIO B(2)=B( 1 )>Kz"N-fB (2)* ^ (N-l ) + * -f B (N-KL )BC1)« 1
B C 3 ) ™: - O * 2B(4)« -0*4B<5)= 0*8
LAS RAICEE DEL POLINOMIO A SON í
' PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
R (4)«
O *396310/39631
-0,69631-0.169631
0*84648••O; 846480*73850
-0,73850
EL POLINOMIO A TIENE ALGUNA RAÍZ SOBRE ELCIRCULO UNITARIO O FUERA DE EL
106
EJEMPLO 3 :
!::. vi CUELA POLITÉCNICA NACIONAL
i» OCULTAD O E INGENIERÍA ELÉCTRICA
TíSí3? CONTROL ESTÜCABTICO DISCRETO
::-v- ,.UACIÓN DE LA FUNCIÓN PERDIDA
MARZO ;i.9B4
•JiRAL'O DE LOS POLINOMIOS A Y B t2
COEFICIENTES DEL POLINOMIO A (z ) =A (1) *z"N+A<2)#s~(N~l) -i- *+ A CN-fl)A <:!.)= 1A < 2 > " -• 1 v 1A<3 )« -0*S
COEFICIENTES DEL POLINOMIO B (2) =B (1) #z~N+B (2) *z"% CN-1 )-f * +B CN+1)B(l)« 1BC2)= 0*SBí'3)= 0*1
LAB RAICES DEL POLINOMIO A SON t
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
1,60000-0*50000
0,00000O*00000
EL POLINOMIO A TIENE ALGUNA RAÍZ SOBRE ELCIRCULO UNITARIO Ü FUERA BE EL
107
EJEMPLO 4 :
L S C U E L A Í-;' Q LIT E C H1C A NA C 10 H AL
•" 'ACULVAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESIS I CONTROL ESTOCASTICü DISCRETO
AVALUACIÓN DE LA FUNCIÓN PERDIDA
MARZO 1984
GRADO DE LOS POLINOMIOS A Y B ?3
COEFICIENTES DEL POLINOMIO A (z) =A (1) *2~N+A í2>te"XN~l)-f * ~rA ( N-f 1)ACL?= 1A<2)« 0*7AC3)« 0*5AC4)=- «O»3
COEFICIENTES DEL POLINOMIO B (z)=B < 1 )Hís~N+B (2)#zrt (H~l) + * +B CN-i-1)BC3.)« 1B(25« 0*3BC3)^= 0,2B(4) 0*1
LAS RAICES DEL POLINOMIO A SQK i
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
R (1)«!"•: (2 ) --R (3)«
0*34732•0,52366•0,52366
0*000000.7673;!.-0*76781
EL POLINOMIO A TIENE TUDAS SUS RAICESDENTRO DEL CIRCULO UNITARIO
LA FUNCIÓN PERDIDA ES IGUAL A i 2*94380382775
108
Ahora se presentarán los ejemplos de la optimización paraniétrica.
EJEMPLO 5:
Sistema estable 2x1, invariante en el tiempo. Al poder variar la ma-
triz K_ del modelo, se la escoge de tal forma que sea constante e igual
al doble de la matriz J( óptima del instante final. A continuación se
presenta el listado de los datos, y de los resultados para el instante
inicial .y final solamente, puesto que sería excesivamente largo prese^
tar el listado de todos los resultados; esta forma de presentación se
mantendrá en todos los ejemplos que siguen:
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESISJ CONTROL ESTGCAST1CO DISCRETO MARZO 1984
QPTIMIZACION PARAMETR1CA
DATO.S
CONDICIÓN INICIAL DEL TIEMPO i 0,0000
CONDICIÓN FINAL DEL TIEMPO? 1,0000
INTERVALO DE DISCRETIZACIONt O,0230
MATRIZ A Í N ? N >
0*70 0,000*00 -0,30
MATRIZ B(N?R>
'2,003,00
MATRIZ C(PlíN)
4,00 2,00
109
MATRIZ DK ENTRADAS 5UCFO
2*00
¡MATRIZ DE VALOR ESPERADO BEL ESTADO INICIAL REAL 5 MCN)
10,00-10*00
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL E3TADO INICIAL REAL 5 COCNvN)
0.0100 0*00000.0000 0 0:1.00
DATOS HE LAB SEÑALES DE RUIDO
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE V(k) •> C1(N?N)
O*2000 0*00000,0000 0*0700
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE E(k) 5 C2(P:UP1>
1,0000
REBULTADOS
k« ' 0,0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K ERROR
Yl « 20*63 Yl = 20,00 0,63
XI w 10*16 XI » 10*00 0*16X2 » »9«99 X2 « -10+00 0*01
VARIANCLAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION P(N?N)
O,0100 0*00000,0000 0*0100
110
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Y;l « 20*00 0,03
XI « 10,00 0,16X2 « --10,00 0*01
MATRIZ DE GANANCIA K(N?P1> ÓPTIMA
0,0233•0,0050
VARIANGIAB DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN PCN?N)
0,0100 0,00000,0000 0*0100
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
;MATRIZ DE GANANCIA K(f-bRl) ESCOGIDA
.YARIANCIA8 DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(NvN)
0*0100 O»00000,0000 0*0100
111
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
MODELO SIN K ERROR
Y! » 62,56 3,13
XI = 13*33 0,56
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCC1QN P(N?N>
0,3922 0,00000*0000 0,0769
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl •= 61-07 4,63
12*94 ' . 0*954,64 0,50
MATRIZ DE GANANCIA K(N?P1> ÓPTIMA
O»1283-0*0104 '
UAR1ANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N?N)
0,2289 0,00560*0056 0,0763
MODELO CON K ESCOGIDA- ERROR
59*37 6*32
XI » 12,58 1,32X2 = 4,54 0,61
112
hAIRIZ DE GANANCIA KCNrPl) ESCOGIDA
0,25000*0200
MARIANO!AS DEL ERRÜR DE RECONSTRUCCIÓN
0*32190,0314
***********
113
Al ejecutar el programa se establece que el estado inicial del modelo
sea igual al valor esperado del estado inicial real; con esta aclara_
clon se pueden comprender los resultados de los estados y las salidas
en el instante inicial, esta condición se mantendrá en los siguientes
ejemplos, hasta que no se especifique lo contrario.
La matriz _K óptima así como las variancias llegan a estabilizarse des_
pues de cierto tiempo de transcurrido el instante inicial.
Si se comparan los elementos de las diagonales de las matrices de va_
riancias del error de reconstrucción, JP, de los tres sistemas ( modelo
sin la matriz J\ modelo con la matriz _K óptima y el modelo con una ma_
triz _K arbitraria), que son en realidad las variancias de los errores
de reconstrucción de cada estado como se demostrará a continuación, se
concluye que" estos son menores en el modelo con la matriz K. óptima.
xn(k)
= E'{x(k)
xi(k)
x2(k)
xn(k),
Cxi(k) x2(k) xn(k)]
114
= E x2(k) xi(k)
xn(k) xi(k)
x\(k) xn(k)
xn2(k)
E{x2(k)
Eíxn(k)
Eíxi(k) x2(k)}. Eíxi(k) xn(k)}
Eíxn2(k)}
Pi(k)
X!(k,k)
donde Px(k)5 P2(k), ...., Pn(k) son las varianclas del error de recóns_
trucción de las variables de estado xl3 x2a ... xn respectivamente, y
minimizarlas fue el objetivo del subcapftulo 4.2, lo que en realidad se
ha logrado como se comprobará con éste y los posteriores ejemplos, los
otros elementos de esta matriz son las covariancias cruzadas deloserro_
res de reconstrucción al mismo instante.
A continuación se incluyen los gráficos de los estados y las salidas del
115
sistema real, de] modelo sin la matriz _K, del modelo óptimo (modelo con
la matriz K, óptima), del modelo subóptimo (modelo con una matriz _K artn_
trarla), de los cuales se observa que las señales del modelo óptimo son
las más aproximadas a las del sistema real.
ESTADOS t FILA I ESTADOS i FILA I
M.H7
M.-*3
[3.09
13.S<
, |3 . ]9I• 12.00
; 12.2]
11.77
11.33
18.69
IO.-M
la •
-- •/É-
ESTADOS . FILA I ESTADOS i FILA I
H.87
1-Í.A3
13, OO
13.Sí
13.10
12.00
IK.ZI
11.77
11 .33
la.aa19.-M
-o 13. I B3
^12.00
liz.ai11.77
11 .33
13.88
1 B.-í-í
la
116
ESTADOS I riLA 2 ESTADOS i FILA 8
ESTADOS i FILA 2 ESTADOS i FILA
M*»J-U ¿ptl —
SALIDAS t FILA I SALIDAS i FU.» I
SALIDAS i F3t> I SALIDAS i FIUl t
117
EJEMPLO 6:
El mismo sistema que el ejemplo 5, se mantienen Iguales todos los da_
tos, aún las variancias de los ruidos, la diferencia está en que al e£
coger una matriz J< diferente para hacer los cálculos, se la escoge de
tal forma ..que sea constante e Igual a la mitad de la matriz _K óptima
del Instante final. Para este caso la diagonal de la matriz £ del m£
délo con la matriz JC óptima es menor a la de los otros modelos.
A continuación se presenta el listado de los datos y resultados para el
Instante Inicial y final, y los gráficos de los estados y las salidas,
donde también se puede apreciar que las señales del modelo' óptimo son
las más aproximadas a las del sistema real.
RESULTADOS
k= 0,0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K ERROR
Yl « 20*56 Yl = 20*00 0,56
XI = ,10,16 XI = 10,00 0,16X2 = -9,99 X2 = . -10,00 0,01
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION P<N*N>
0,0100 0,00000,0000 0,0100
' . 118.
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl = 20,00 O.Í36
XI s. 10,00 0*16X2 = -10*00 0*01
MATRIZ HE GANANCIA K(NpF'l) ÓPTIMA
0,0233-O» 0050
UARXANCIAS "DEL ERROR HE RECONSTRUCCIÓN P(N?N>
0,0100 0*00000,0000 0*0100
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl = 20*00 0*56
XI = 10*00 . 0,16X2 = -10*00 - 0*01
MATRIZ DE GANANCIA K<N>F'l) ESCOGIDA
0*0600-0*0050
UARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN PCN?N)
0*0100 0*00000,0000 0*0100
********
119-
1*0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K ERROR
60*95 Yl « 62*50 «1*61
XI « 12.57 XI = 13*33 • -0,76X2 = 4*71 X2 == 4» 02 0*09
•YARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION P(N?N>
0,3922 0,0000O * 0000 0*0769
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl = 59,34 1*61
XI = 12*51 " 0*05X2 = 4*64 0,07
MATRIZ DE GANANCIA KCNrRl). ÓPTIMA
0*1283-0*0104
UARIANCIAB DEL ERROR DE 'RECONSTRUCCIÓN P(NrN)
0*2289 0*00560*0056 0*0763
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl = 60*77 0*18
XI - 12*88 -0*31X2 = 4*63 0*08
120
MATRIZ DE GANANCIA K C N ? P 1 > ESCOGIDA
.VAFUANCXAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P C N y N )
0,25910*0042
0*00420,0765
*##*#####*###*#####*##*#^^
ESTADOS i FU-* 1 ESTADOS i FH-A 1
lE.ia
1-4,04
H . I 7
13.71
~g 13.26
^1Z.78
I IZ.32
11. 86
I 1.39
l«.BZ
!«.-*«
H.17
13,71
11.86.
I 1.39
I*. 92
B.E3S,-
ESTAIXJS i FILA I ESTADOS i FIL>
13.71
•1 13.26
11.06
t t .39
H.a-4
14.17
13.71
-5 13,ZE
I'2'"£12.32
I l.«6
11.39
E.o.U J, ti
8.26 8.S
E-«¡" 4- tt.
121
ESTADO* . FILA a
ESTADOS i FILA
la.flr l«.8p
SALIDAS i FILA 1 SALIDAS i FILA t
1S.IE,-
SALIDAS i FILA I SALIDAS i FILA I
E.o,l. d. U.-
122.
EJEMPLO 7:
El mismo sistema que en los ejemplos 5 y 6, se mantienen iguales todos
los datos» aún las variancias de los ruidos, y al escoger una matriz _K
diferente a la óptima, con el objeto de comparar los resultados, se la
escoge de tal forma que sea constante y muy aproximada a la matriz K.
óptima en estado estable. También en este caso la diagonal de la ma_
triz _R del modelo óptimo es menor a la de los otros modelos, mientras
que en los gráficos se aprecia que los resultados del modelo subóptimo
son casi los mismos que los del modelo óptimo, esto es debido a la sj_
militud de las matrices K.
RESULTADOS '
k= 0*0000 ."".. . :"~"
' MATRICES HE SALIDAS Y ESTADOS
REAL " MODELO SIN K . * ERROR
Yl = 19,99 Yl = 20*00 ' -0*01
XI ==' - 10*16 - XI '= 10*00 . 0*16X2 « -9*99. X2 = -10*00 ' 0*01
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECÜSTRUCCION P(N»N)
0*0100 0*00000*0000 0*0100
123-
MODBLO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl = 20*00 -0,01
-XI = 10,00 0*16X2 - -10+00 0*01
MATRIZ BE GANANCIA KÍN?P1) ÓPTIMA
0*0233-0*0050
UARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N?N>
0,0100 0,00000+0000 0+0100
MODELO CON K ESCOGIDA ~ ERROR
Yl = 20 + 00- -. ' -0*01
10 + 00 - 0 + 16..-10 + 00 -A 0*01
MATRIZ DE GANANCIA KCNrPl) ESCOGTDA
0*11000*0150
UARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN PCNrN)
0+0100 0+00000+0000 0+0100
124
i*0000
MATRICES BE SALIDAS Y ESTADOS
REAL. MODELO SIN K ERROR
* 61,75. Yl « 62.56 - -0*81
12,93 XI - 13*33 -0*404,79 X2 = 4,62 ' 0*18
MAR1AMCIAS DEL ERROR DE RECQSTRUCCION P(N>N>
0,3922 0*00000*0000 0*0769
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl = 61*59 .0*16
XI = 13*08 -0*15X2 = 4*64 0*16
MATRIZ DE GANANCIA K(N>P1> ÓPTIMA
0*1283-0*0104
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N>N)
0*2289 0*00560*0056 0*0763
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl = 61*64 0*11
XI = 13*12 -0*19X2 = 4*58 0*21
125-
MATRIZ- DE GANANCIA K(N?P1) ESCOGIDA
O,11000*0150
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN F'(N?N)
0.00360*0799
*##
ESTADOS i FILA I
n.eo
H.s»
I3 .B-*
13.XI
-, 12. M
712.EO
212.13
11.78
11.28
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I».-«2
14.0e
M.ZO
13.B-4
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ESTADOS i FILA I
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126 -
ESTADOS > FILA 2 ESTADOS i TILA 2
-.3.304
I1""*1-.4,-2.3«
ESTADOS i FILA 2
l».89r
SA10DAS . FILA I SALIDAS i FH-* I
SALIDA» i FILA 1
72.Z3
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24.731
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ie.nl
E.o.1. 4. ti.
127
Con los tres ejemplos anteriores se la tratado de demostrar que el es-
cogitamiento (IV-90) de leí matriz _K es en realidad óptimo, ya que se
ha probado con modelos en que la matriz _K es igual a cero, es mayor, me_
ñor y muy aproximada a la matriz K. obtenida a partir de la ec. (IV-90)
y siempre en el modelo en que se utiliza la matriz _K de la ec. (IV-90)
las variancias del error de reconstrucción de los estados es menor.
Con el ejemplo 7 se puede concluir además, que la sensibilidad de las
variancias del error de reconstrucción de los estados respecto a las
variaciones de'la.matriz K. no es muy alta, ya que para pequeñas varij^
ciones de _K se obtienen pequeñas variaciones de _P
EJEMPLO 8:
Sistema estable 2x1, invariante en el tiempo; al poder variar la ma-
triz _K para comparar los resultados, se la escoge de tal forma que sea
el doble de la matriz K. óptima en estado estable. Se presenta el 1 is_
tado de los datos y resultados, y se puede observar que también en e¿
te sistema la diagonal- de la matriz £ del modelo óptimo es menor que
la de las matrices £ de' los modelos sin la matriz J< y con la matriz' JC
escogida arbitrariamente. En los gráficos que también se presentan pa_
ra este ejemplo, no es tan claro que las señales del modelo óptimo -•
sean las más aproximadas a las del sistema real, pero en todo caso que
-da establecido que su variancia si es la mínima.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESIS í CONTROL EBTQCASTICO DISCRETO MARZO 198-4
Oi-'TIMIZACION PARAHETRICA
BATOS
CONDICIÓN INICIAL UEL TIEMPO i 0*0000 .
CONDICIÓN FINAL DEL TIEMPO i 20,0000
INTERVALO DE lUSCRETIZACIGN? 1,0000 .
MATRIZ A(N?N)
O»60 0,000*00 0,40
MATRIZ BCN?R)
2,00 . . .-- - ' -0*00
MATRIZ .CCPlíN) ' . - -••
3*00 5*00 ~
MATRIZ DE ENTRADAS ?U(R)
"0,00
MATRIZ DE VALOR. ESPERADO DEL ESTADO INICIAL REAL 5 MCN)
-7*000*00
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL REAL v CO(N?N)
0,0010 0.00000,0000 0*0010
BATOS DE LAS SEÑALES DE RUIDO
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE V(k) ? C1(N?N)
0*0800 0,00000,0000 0*0400
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE EUO ? C2(P1?P1)
0,0100
129
'RESULTADOS
0*0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K ERROR
Yl = 9,00 0*02
-7*00 -0,026,00 0*05
VARXANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION P<N>N)
0*0010 0,00000,0000 0,0010
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl = 9,00 0,02
XI = -7,00 -0*02X2 = 6,00 0,03
MATRIZ DE GANANCIA KCNrPl) ÓPTIMA
0,04090,0455
UARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N,N>
0,0010 0,00000,0000 '0,0010
130...
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl - 9,00
XI = -7.00 -0*02X2 ~ 6*00 O*OS
MATRIZ BE GANANCIA K(NpPl) ESCOGIDA
0*13000*0800
VARIANC1AS DEL. ERROR DE RECONSTRUCCIÓN
0*0010 0*00005*0000 0+0010
K- 20*0000 - •
" - . . . - • ••- ' MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL - MODELO SIN K , ERROR
Yl =' -1*39 Yl - 0*00 - 1*39
XI = 0*69 XI = 0*00 0*69X2 = -0*14 X2 = 0*00 • -0.14
UARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION PíN^N)
0*1250 0+00000*0000 0*0476
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl = 1*58 -0*19
XI = 0*32 0*37X2 = 0*12 -0*26
131.,.
MATRIZ-DE GANANCIA K(NíPl) ÓPTIMA
0*09000*0436
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N?N>
0*1028 -0*0090•Oí 0090 ' 0*0437
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl « 2*13 -0,73
XI = 0*45 0*23X2 = 0*15 -0.29
MATRIZ DE GANANCIA KCNiPl) ESCOGIDA
0,18000*0800
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN F'(N?N)
0*1190 -0.00200*0020 0*0409
*
132
ESTADO* i «XA
1.461»
e. eos
-a. BB
-•.86
B- l .02
-3.83
— 4.7B
-6.47
-8. 2*
-7.01
-7.7B
CSTADQS i FILA 1
I.4SO
a. oea
1-1.02--3.10
-3.B3
-*.7B
-E. .47
-e.z-
ESTADOS i PILA 2 ESTADOS t m_A_2
•4.7*1
» 4.1-«7
3 .EI3
z.r?»2.240
i.eiz
».87*
C.4I4
4.7«l
-4. 1-47
Z.24«
1 . O J2
• .«70
133
SALIDAS > rn,A i SALIDAS . rn.A i
7.B-IQ
0.002
I .BSt
0.773
-O.HB
-1 ,G8
-2.70
-3.03,
14.10
o.ojfl
7.«-*o
e. 002
-o e.-lo43• «.3005c^.iza
l.osi
0.773
-O.-48
-I.SS
-2.70
-3.03.
SALIDAS i FILA I SALIDAS i F1UA 1
0,002
-nS.-ífl-t3
^-í.300
!}¿3.129
1.9S1
Q.773
-o,-<a
-i .sa
-2.70
-3.B3.
Etcall d- lt"po
134
EJEMPLO 9:
El mismo sistema que en el ejemplo 8 5 pero con las vari anclas del rui-
do diferentes (mayores). Se mantiene la misma relación entre la matriz
_K escogida y la matriz K. óptima; es decir-, la primera es el doble que
esta última. Al comparar las diagonales de las tres matrices _P se esta
blece que la menor es la que corresponde al sistema con la matriz JK Ó£
tima.
HATOS DE LAS SEÑALES HE RUIDO
MATRIZ DE COVARIANCIAS HE VílO v C1(N?N)
0*2400 0.0000Oí 0000 O*1200
MATRIZ TI E 'COVARIANCIAS DE ECIO ? C2<p:i>pi)
O *'03 O O
RESULTADOS
: O í 0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K ERROR
Yl - 9*00 0,22
XI ^ -7*00 0*02X2 = ó*00 O»00
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCIGN P<N,N)
0+0010 O*00000+0000 0,0010
135
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
0*22
0,020,00
MATRIZ DE GANANCIA KCNrPl) ÓPTIMA
0*02810+0313
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
XI -7*00 0*02X2 ~ 6*00 • 0.00
MATRIZ DE GANANCIA KCNvPl) ESCOGIDA
0,18000,0800
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(HvN)
0,0010 0,00000*0000 0,0010
136
MATRICES BE SALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K
'U 4
VAR1ANC1AB DEL ERROR DE RECOSTRUCCIÜN P(N?N>
0,00000,1429
MODELO CON K ÓPTIMA ERRÜR
Yl = 1*6:1 -1*84
XI = 0*33X2 « 0*12
MATRIZ BE GANANCIA K(H?P1) ÓPTIMA
0,09000,0436
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN
0*3034 -0*0271•0*0271 0*1310
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl « 1*87 -2*10
XI = 0,41 -0*92X2 « 0*13 0*13
137
MATRIZ DE GANANCIA K(N?P:L) ESCOGIDA
O,18000,0000
UARXANCIAB DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(MxN)
0*1408
*******#*
ESTADOS i FILA I ESTADOS , FILA 1
2. ! SO
1.3SI •
o.sie •
-3.31
•o- l .1S •3
"~"l .08 '
I-a.az
-3.8S •
—(.¿o •
-G.3Z •
-o.la i
«. Sio
-a.31
-a-I . lS3
•£-1.08
1-2.82
-3.B5
~í.-*9
-6.32
-6,10
ESTAOOS i FILA | ESTADOS i FILA
2 .1B8T
I.3SI '
O , S I O •
-e.31 •
•n-I.IS •3
"~~\.tm •
1-2.82 '
-3.0B
2.180
I.3SI
Q.SIO
-Q.31
u-I .IG3
-1.93
e — 2. ez-3.66
—«.•ía
-S.32
-a. i o
138
ESTADOS i nLA
2.eos
1.027
1 .2-48
O.G09
-9.IQ
-a.7a
°Q
ESTADOS i FILA
6.321
-4.042
-03.003a^:3,2e-(¿2. eos
1.9Z7
1.2-ta
e. sos
-o. I a
-a. 78
-1.46.
z.eos
I .927
I.2H3
a.GQ9
-a. ID
-8,78
0.217
7.38S
K.ea2
-o 3.73-13
7 I.ooa
£«.973
-1.7H
-3.S7
SALZDAS i FIL.A I
SALIDAS , FILA SALIDAS I FH-A I
139
Con los dos ejemplos anteriores se ha tratado de demostrar que el escp_
g i tamien to IV-90 de la matriz K. es en efecto óptima y que no depende
de las magnitudes de ruido; es decir, de las variancias de los ruidos.
EJEMPLO 10:
Sistema inestable 2x1,'invariante en el tiempo; para comparar los resul_
tados se escoge una matriz J< arbitraria. A continuación se presenta el
listado, de datos y de los resultados para el instante inicial y final 5
en el cual se podrá observar que la diagonal de la matriz P_ del modelo
con la matriz _K óptima sigue siendo la menor en comparación con la del
modelo sin la matriz K. y con una matriz K. arbitraria.
En los gráficos, por causa de las escalas, no se puede apreciar la dife_
rencia entre el modelo óptimo y el subóptimo; sin embargo esta es muy
notoria para el modelo sin la matriz K., lo que está de acuerdo con el
valor de su variancia, pues es excesivamente alta.
Cabe indicar que para .la realización de la escala de magnitud de los
gráficos, se ha considerado como infinito a un valor mayor o igual a -
lO'OOO.OOO.
140ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESISi CONTROL EBTOCASTICO DISCRETO
O P TI MIZA CIO N F1 A R A H E T RIC A
DATOS
CONDICIÓN INICIAL DEL TIEMPOS 0,0000
CONDICIÓN FINAL DEL TIEMPO i 10,0000
INTERVALO DE DISCRETIZACIONi 0,2500
MATRIZ A C N v N )
1,80 0*00. 0,00 -0*80
MATRIZ B(N?R) - - '
2*002*00
MATRIZ C(P1?N)
2*00 ' 3*00
MATRIZ DE ENTRADAS HJ(R>
5,00
MATRIZ DE VALOR_ESPERADO DEL ESTADO INICIAL REAL ? HCN)
O .000,00
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL REAL ? CO(N?N)
0,0010 0*0000- 0*0000 ' O+001O
HATOS DE LAS SEÑALES DE RUIDO
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE V(K) •/ C1CN?N)
100>0000 0*00000*0000 0*6000
MATRIZ DE COVARIANCIAS HE EC1O ? C2CPlyPl)
100*0000
141
RESULTADOS
MATRICES DE SALIHAS Y EBTABOS
MÜBELQ SIN K ERROR
Yí « 0,27 Y;l « 0*00 " 0*27
XI - 0*00 -O,OSX2 « O * 00 -0,04
VARIANC1AS DEL ERROR HE RECOSTRUCDION P(N?N>
0*00000,0010'
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl ~ 0,00
0*00 -0*050*00 --0,04
MATRIZ DE GANANCIA KíNyPl) ÓPTIMA
0,00000*0000
VARIANCIAS DEL. ERROR BE RECONSTRUCCIÓN P(N?M)
0*0010 0*00000*0000 0.0010
142
MODELO CON K ESCOGIDA
0*00
XI - 0*00 -O ,05-0,04
MATRIZ DE GANANCIA K(M?P1) ESCOGIDA
VARIANC168 DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N*N)
0*0010 0*0000Oí 000 O O f 0010
#**##
10,0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
• REAL MODELO SIN K ERROR
Yl « 2*83E+011 ' Yl «-. 4t06E+011 -1 * 24E+011
XI « lt41E+Oir XI « 2*03E+011 -ó, 18E-f 0105,60 X2 « 5,55 0,05
VARIAHCIAB DEL ERROR DE RECOBTRUCCION PCN?N)
18E+022 ' 0*00000*0000 1*6667
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl = 2*83E+011 -3
XI « 1*41E+011 -1.86E-1-00;X2 « 4*93 0*67
143
MATRIZ DE GANANCIA KCNUPl ) ÓPTIMA
0*7649-0:0085
.VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(NíN)
1.4963
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl « 2*83E+011 ""6t80EM-
XI = l>41E-fQll -3,56X2 « 4,24 1,30
MATRIZ DE GANANCIA KCN?R1) ESCOGIDA
1,2000.-•0*0095
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N>N>
414.8662 --0,8221«O*8221 1,9341
************************************
ESTADOS i FILA I
H.al
. Sin K > l
dad.U .^bípM-
144
ESTADOS i FILA 2 ESTADOS i FILA
ESTADOS • FILA 2 ESTADOS i FILA 2
SALIDAS i FILA I
145
EJEMPLO 11:
Este ejemplo consiste de un sistema en el cual el modelo matemático tie_
ne diferentes condiciones Iniciales que el sistema real, y sin embargo
las varlancias del error de reconstrucción de los estados en el modelo
óptimo son menores a las varlancias del modelo sin la matriz j< y con
una matriz K. arbitrarla.
En los gráficos se aprecia que a pesar de tener las condiciones Inlclja
les diferentes los estados y las salidas tienden a estabilizarse en el
mismo punto, y además, el modelo óptimo es el que más se aproxima al
sistema real.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESIS* CONTROL ESTÜCASTICQ DISCRETO MARZO 1984
QPTIMIZACIQN PARAMETRICA
DATOS
CONDICIÓN INICIAL DEL TIEMPQÍ 0,0000
CONDICIÓN FINAL DEL TIEMPO! 2,0000
INTERVALO DE DISCRETIZACIONi 0,1000
MATRIZ A C N ? N )
O»00 0 *00Oí 00 -0*40
M A T R I Z B ( N ? R )
0*00\0
MATRIZ CÍP:UN>
4,00 3*00
147
MviRlAHCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION.P<N?N;
0*0000O »OQ:I.Q
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl « --75*07 112,70
-14,99-5* 04
23*007,00
MATRIZ DE GANANCIA K(NíPl) ÓPTIMA
O »0033•0*0017
UAR1AKC1AS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN PCNvN'.
O * 00000.0010
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl -75,07 112,70
XI « -14*99 23,007*00
MATRIZ DE GANANCIA KCNíF'l) ESCOGIDA
0,10000*0530
VARIANCIAS DEL ERROR DE RE-CONSTRUCCION F'C
0.00100*0000
0*0000O * 0010
«
146.
MíVÍRIZ DE ENTRADAS 5U(R)
riATRIZ DE VALOR ESPERADO BEL ESTADO INICIAL REAL í M(N)
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL REAL 5 OOCNv
0.0010 0.00000,0000 " 0*0010
MATRIZ DE VALOR ESPERADO DEL ESTADO INICIAL DEL MODELO
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL DEL MODELO
0,0010 0*00000*0000 0,0010
DATOS DE LAS SEÑALES BE RUIDO
MATRIZ .DE COVARIANCIAS DE VUO » C1(N?H)
0*0800 0.00000*0000 0*1000
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE EUO í C2íP:UPl>
0,7000
RESULTADOS
0,0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
MODELO SIN K ERROR
37*63 Yl « -75,07 - 112,70
XI - 8>01 XI - -14,99 23,00X2 « 1*96 X2 « ---5,04 7,00
148
K:»: 2 * 0000
MATRICES DE BALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K
2,30 Yl « - 4.28 -1*98
UARIANCIA8 DEL ERROR DE RECOBTRUCCION P(N?N)
O*1230 O t 00000*0000 O*1190
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl « 3,29 •-0,9-9
-0,35 -O'* 081*56 -0,47
MATRIZ DE GANANCIA KÍN?P1> ÓPTIMA
0*0718 '-0,0426
MARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P<N*N>
0,0971 0,0085O.OOBS 0*1116
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl = 3,03 -0,73
XI = -0,35 -0,08X2 « 1*48 -0,38
149
MATRIZ DE GANANCIA K(N?P1) ESCOGIDA
0,0330
VAK1ANCIA8 DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(hbN)
0*02640*1670
***********************************
ESTADOS . PILA I ESTADOS i FILA I
10.30
a.oaa
e.709
-10,3
-12.a
-H.a
-17.2,
13.30
a.aoa
X-3.H8
-S.78
-a.es
-ia.3
-IZ.B
-n.a
-17.2,
E.eD|«, d. tl.-p
ESTADOS i FILA 1 ESTADOS i FILA I
1Q.3Q
8.0OQ
E.70Q
3. -Í9Q
-o 1.1 10_P
7-1-'«
1-3. W
-G.78
-a, Oa
-10.3
-12.0
-M.a
-17.2,
ESTADOS 1 FILA "i
.1-50
ESTADOS i FILA 2
E.coU J- tt.-po
ESTADOS , FIUA ESTADO5 i FU-A 2
a. oso
7.103
o e.030
-1.99
-3. SI
SALIDAS i FILA I SALIDAS , FILA 1
61.24
30.7S
Z8.Z7
I H . 7 B
-o 5,3093
I"8-171-17.0
-28. 1
-48.8
-S2, I
-a 3.E
-7J.B
-8J.E.
SALIDAS i FILA I SALIDAS i FILA t
36.75 •
28.27 •
le.70 •
-o S.3OO •
1-17.8 '
-20. I
-H0.0 •
-ez. i
-03, G
-7S.Q •
-88,E, '
Hod.to ¿pt Ir-
Gl ,Z4
3Q.7E
29.27
10.7B
-a S.300
^.,71-17.8
-ZO.I
-4O,8
-GZ. I
-03. S
-7E.O
151
EJEMPLO 12:
Al Igual que en el ejemplo anterior, las condiciones Iniciales del mo
délo matemático y del sistema real son diferentes, pero en este caso
el sistema es inestable; pero a pesar de todo esto las variancias del
error de reconstrucción de los estados es menor en el modelo óptimo ,
aunque en los gráficos no se pueda apreciar que este sea el más aproxj_
mado al sistema real, pero queda establecido que sus variancias son las
mínimas.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESIS i CONTROL ESTOCASTICO DISCRETO MARZO 1984
OPTIHIZACION PARAMETRICA
DATOS
CONDICIÓN INICIAL DEL TIEMPO: 0*0000
CONDICIÓN FINAL. DEL TIEMPOí 2*0000
INTERVALO DE DISCRETIZACIONí 0*1000
MATRIZ A(N.N)
1.20 0,000*00 -1,20
MATRIZ BCNíR)
4,000,50
MATRIZ C(P1?N>
0,50 1,30
M A'T RIZ - D E E N T R A D A S 5 U < R). - —. „. _ .._ .,.. „. ^
5» 00
152
MATRIZ DE VALOR ESPERADO DEL ESTADO INICIAL REAL ? M(N)
8.002» 00
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL REAL 5 COCM^N)
0,0010 0,00000*0000 0,0010
MATRIZ DE VALOR ESPERADO DEL ESTADO INICIAL DEL MODELO
•-5,00-5,00
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL DEL MODELO
0,0010 ' 0*00000,0000 0,0010
DATOS DE LAS SEÑALES DE RUIDO
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE VC1O ? CKN^M)
100,0000 0*0000Ofr.OOOO 0,1000
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE E< IO 5 C^íPlvPl)
25)0000
RESULTADOS
0*0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K ERROR
Yl «= -0*79 Yl « -10*01 9*22
XI » 8,00 XI « -4.99 13*00X2 - 2,04 X2 ™ -5*01 7,05
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION P(N?H)
0,0010 0*00000,0000 0,0010
153
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl a- «10 i 01
13,007,015
MATRIZ DE GANANCIA K(N?P1> ÓPTIMA
Cu 0000-0*0001
yARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N?N)
Cuooio 0*00000,0000 0*0010
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl « -10*01 9,22
13,00
MATRIZ DE GANANCIA K(N>P1> ESCOGIDA
1*5100-0.1800
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N?N)
O» 0010 0,00000,0000 0 ,0010
**
154
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL • MODELO SIN K ERRÜf
YJ. :=; 2.14E+003 Yl - i*42E+OQ3
VARIANCIAS BEL ERROR HE REOOBTRUCCION PÍNvN)
0*0000
MODELO CON K ÓPTIMA' - ERROR
Yl - 2*12E-f003 :U88E-H)0:
X2 s 6,40
MATRIZ DE GANANCIA K(N?P1) ÓPTIMA
1*3373 •-0,1683
VAFÍIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P C N v N )
210*0111 9,90599,9059 6*7551
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl - 2 * 13E+003 1 * OSE-fOOl
XI » 4*23E+OQ3 2.26E+001X2 » 10*07 1*70
155
MATRIZ DE GANANCIA KíNyPÍ) ESCOGIDA
yARIANCXAB BEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(H.H)
214*752210*1981
« ^
ESTADOS . FU. A I
ESTADOS ! FILA I ESTADOS t TILA I
4Z.E7 •
3B.31 •
31.04 •
-aZa.78 •3"-zs.sz •£21.28 •
18.90 •
12.73 -
U.-OG •
•*.2U •
-O.B1
--«.31,
156
ESTADOS i FILA 2
111.0
a 87.00
-el.o •
-KH. •
-NO. -
-101. •
-23-». '
-277. L-
ESTADOS t FILA 2 ESTADOS i FILA 2
248. Sr
107.3
I K 4 . Z
I I I . O •
-o 07.00 •3
-2-i.ea
l-ia.4
-ot .o
-101.
-na.
-101.
ZMí.S
197.3
-01.0
-10-1.
-H8.
-1B1.
-Z3-*.
-277.
SALIDAS i FILA I SALIDAS i FILA 1
EOZ23. S8
21.43
1B.Z7
17.12
i
\I9c10.00
8.512
0.36a
2.0S3
-a. |o
-2.2S,
£02Z3.S8r
21. 43
10.27
17.12
o M.073
I2'aie ia.ee
O.S12
0.359
4.200
2.&S3
-o. IB
SALIDAS i FILA I
E9223.Sflp
10.27
17.1Z
T, M.07J
^ U.8I5¿la.flo
0.512
0.369
4,200
Z.BS3
E.enI a d. tl.-po
157
Con los dos ejemplos anteriores se ha demostrado que el escogitamiento
(IV-90) de la matriz _K es en realidad óptimo y que puede ser generalj_
zado para cuando las condiciones Iniciales del modelo y del sistema
real son diferentes.
EJEMPLO 13¿
Sistema variante 2x1. En el capitulo IV se desarrolla el problema de
la optimización paramétrica para sistemas Invariantes, para luego gene_
rallzar su solución también para los sistemas variantes. Con este ejeni
pío se trata de demostrar que la generalización en realidad si puede
realizarse y que el escogitamiento (IV-98) de la matriz _K es óptimo.
Al obtener el listado de datos y resultados de este ejemplo, se obt\
ne una lista de los valores adquiridos por las matrices AQ, J3j} y _CQ en
cada Instante de tiempo; presentar este .listado seria muy largo, por
esta razón es conveniente sólo presentar estas matrices como funciones
de tiempo: -• - • '
'-0.3t „ .
-0.8t
BD =
t + 0.2
1 - t
0.5t O
los demás datos, los resultados para el Instante Inicial y para un 1nj_
tante arbitrarlo se presentan a continuación, al Igual que los gráfi_
158
eos de los estados y las salidas. De los resultados se observa que las
varianclas en el modelo óptimo son menores o a lo más Iguales a las de
los otros modelos. Por coincidencia el segundo elemento de la matriz J(
óptima es Igual a cero, por esta razón la segunda fila de los estados
del modelo sin _K y del modelo óptimo son Iguales, y muy aproximados al
modelo subóptlmo, esta similitud se observa también en los gráficos, -
mientras que para la fila.leí modelo óptimo es el más aproximado al real.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESIS i CONTROL ESTOCABTICQ DISCRETO MARZO 1984
ÜPTIMIZAOION RARAMETRICA
HATOS
CONDICIÓN INICIAL DEL TIEMPOt 0,0000
C O N DIC10 N FIN A L U E L TIE M P O ? 3 * O O O O
INTERVALO .HE DISCRETIZACIONt 0,1000
MATRIZ DE ENTRADAS 5UCR)
2*00
MATRIZ DE VALOR ESPERADO DEL ESTADO INICIAL REAL 5 MÍN)
4*000*00
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL REAL í COCNvN)
O-,0010 O {. O000O>0000 0,0010
OAÍO-- DE LAS BU-MALES DE RUIDO
riAYRIZ DE COVARIANCIAS DE U(!O S C1(N?H)
MATRIZ
000
: COVARIANCIAS DE EUO 5 C2ÍPlvPl>
0,7000
REBULTADOS
O * 0000
159
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
REAL MODELO SIN K ERROR
YÍ = -0*54 Yl « 0;00 •0.54
4 -> 03 XI =X2 =
4*000*00
O * 03-0*01
UARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION P(H^N)
0,0010O* 0000
0*0000O * 00 10
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl = 0.00 •0,54
XI « 4*00X2 « 0*00
MATRIZ DE GANANCIA K(N?P1) ÓPTIMA
O»00000,0000
160
MARX ANOTAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N?N)
Ot00iO0*0000
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl •"• 0 ,00
0,03•0*01
MATRIZ DE GANANCIA KíN^Pl) ESCOGIDA
UARIANCIA8 DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN PÍN.N)
0,00000,0010 ' - - t
#*#*#K** ^
1*4000
MATRICES DE SALIDAS'Y ESTADOS
MODELO SIN K ERROR
Yl =• 7,09 Yl " 6,34 0*76
XI = 9*29 XI = 9*06 0,23X2 * -0*63 X2 - -0,74 0,11
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCC1ÜN P(N?N)
1*5784 0*00000,0000 0,0344
161
MODELO CON K ÜPTIMA
7*19 -0,09
•0,98O * 11
MATRIZ HE BANANCIA KCNvPl) ÓPTIMA
MARIANCIA8 DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN
1,1140 O i 00000,0000 0,0344
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
Yl ~ 6*52 0*57
XI « 9,32 -0,03X2 » -0*73 0+10
MATRIZ HE GANANCIA K(N?P1> ESCOGIDA
0-*1000 '0+0050
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N?N)
1,3473 -0,0033•Cu 0033 O ,0345
'-. * * #. * * * & * * >K * * * 5K * ****** * * * * * * ****** * * * * * * * * * * * * * * * *
162
ESTADOS i TILA I ESTADOS i FILA I
U.7o
1 1 . 0 0
I t . 1 7
10.37
•o e.E7o
^B.7flO3¿7.083
7.180
0.39Q
G.E03
ESTAOOS i FILA I ESTADOS . FILA 1
12.70
11,83
11 .17
10.37
T>3.S7«3
^a.7aa
£7,833
7.186
0.390
6.593
3.203, •
ESTADOS i FILA Z ESTADOS . FILA Z
O.I7Z
E. 228
•4.267
3.3-ÍS
-O. -(2
-1 .38
-Z.3Q
-3.2S
ESTADOS i FILA Z ESTADOS i FILA Z
0.172
K.23»
-1.287
3.3-«S
•o?. 4823
~ l.-íeo
KS.SIS
-a.-42
-1.30
-2,30
-3.2K
—(.10
-S.13
163
SALIDAS t t-'ILA 1
SALIDAS L gg^i
SALIDAS I FILA I
164
EJEMPLO U:
Todos los ejemplos presentados hasta ahora han sido de orden 2x1, sini
plemente por facilidad de manejo de los datos y resultados, así como -
de los gráficos. A continuación se presentará un ejemplo de un siste_
ma 3x2, en el cual también las variancias del modelo óptimo son men£
res a las del modelo sin la matriz _K y con una matriz _K arbitraria. La
fila 2 de los estados es exactamente igual en los tres modelos puesto
que coincide que la segunda fila de la matriz _K óptima es igual a cero
y a propósito se escogió que la segunda fila de la matriz K. arbitra,
ria sea también igual a cero, se puede observar que la variancia del
error de reconstrucción de la segunda fila de los esta.dos es igual en
los tres modelos.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESIS i CONTROL ESTGCAfoTICG DISCRETO. MARZO 1984
ÜPTIMIZACION PARAMETRICA
DATOS
CONDICIÓN INICIAL
CONDICIÓN FINAL DE
DEL TIEMPO?
L TIEMPO:
INTERVALO DE DISCRETIZACION:
MATRIZ ACN i - N )
0,400,000,00
0*000,000,00
0.0000
15,0000
:1. ,0000
0,000,00-0,60
165
MATRIZ B < N í R >
1*00 . 2,001*00 3.002»00 0*00
MATRIZ CíF'li-
5*00 4*003,00 • 1,00 * 6*00
MATRIZ DE ENTRADAS ? U < R >
10,00
MATRIZ DE VALOR ESPERADO DEL ESTADO INICIAL REAL 5 MÍN)
-115*003,00-4.00
MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL REAL 5 CO(N?N)
0*0010 0*0000 0,00000*0000 0,0010 0*00000*0000 0,0000 O ,.0010
DATOS DE LAS SEÑALES DE RUIDO
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE VUO í C1(N?N>
2 * 0000 O > 0000 O * 0000O * 0000 ' 2 * 0000 O * 00000,0000 0*0000 . 0*6000
MATRIZ DE COVARIANCIAS DE EílO ? C2<P1?P1>
10f0000 O»00000*0000 ' 5*0000
166
iSULTADüS
O-> 0000
MATRICES DE SALIDAS Y ESTADOS
MODELO- SIN K ERROR
0,0010 0,0000 0*0000C,0000 0*0010 0*0000
O * 0000 O sOOlO
-32 > 24 Yi = -3*1 . 00 -1'* 24-63»66 Y2 = -66*00 2,34
•14*97 XI « -15*00 0,033,03 X2 = 3,00 0*03-4,01 X3 ~ -4,00 -Cu 01
VACANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION P(N?H)
MODELO CON K ÓPTIMA ERROR
Yl 31*0066*00
15*003; 00
-4*00
~~19
00
-0
* 24*34
*03•>03+ 01
MATRIZ DE GANANCIA K(N?P1) ÓPTIMA
0*0001 0*00020*0000 0*0000-0*0002 ™0»0007
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN PCNvN:
0*0010 0*0000 0*00000*0000 0*0010 0*00000*0000 0*0000 0*0010
167
MÜBELO CON K ESCOGIDA ERROR
Y:l "= -31*00 -1 ,24Y2 -06*00 2>34
0,030*03-0,01
MATRIZ DE GANANCIA K<N?P1> ESCOGIDA
0,0070 0.07000*0000 0*00000,0070 0,0700
VARÍANCÍAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN PCN?N>
O * 0010 O*0000 O * 0000O * 0000 ' O * 0010 0,00000,0000 0*0000 0*0010
3¡c#)m£#i!í13-* 00 O O
• . MATRICES DE SALIBAS Y ESTADOS
MODELO SIN K ERROR
Yl - 154*08 Yl ™ "150*00 4*v8Y2 = 70*72 Y2 « 62,49 8*23
XI = 25*84 XI = 25,00 0,84X2 =. 24,98 X2 « 25*00 -0,02X3 « -5.38 X3 •-* -6,25 0,87
MARIANCIAS DEL ERROR DE RECOSTRUCCION P(N?N)
2*3810 O o 0000 0,00000*0000 2,0000 0*0000O * 0000 O,0000 O * 9375
168
MODELO CON K Ó P T I M A
Yl « 1152,00 2*08Y2 = 65,49 5,22
XI « 24*63 1*21X2 « 23.00 --0*02X3 = -5,56 0,19
MATRIZ BE GANANCIA K(NíPl) ÓPTIMA
0*0056 0*051550,0000 0,00000,0053 . -0*0533
VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN F'(N?N>
2>200Ó 0*0000 0*1171O + 0000 2 * 0000 O + 00000*1171 0,0000 0,7198
MODELO CON K ESCOGIDA ERROR
MATRIZ DE GANANCIA KCNíF'l) ESCOGIDA
0,0070 0*07000,0000 0,00000,0070 0,0700
20*0432*16
XI ~ 23*50 • 2,34X2 « 25,00 -0,02X3 K -9,49 4,11
VARIAHCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN FCNvN)
11,5808 O , 0000 27 * 39730,0000 2,0000 0,0000
27 * 3973 O > 0000 80 * 2536
#
169
ESTADOS I FILA ESTADOS i TILA i
í e e 7 a o u i i ¡ Í 2 ¡ 3 í*í
E.col o d. ll.-po
ESTADOS . FILA I ESTADOS i FILA 1
30.2S
20. U
zz.az17-fll
y 13.70
12 13 1-t IS
ESTADOS . FIO 2 ESTADOS i FILA T.
\0 7 8 O la I I 12 1 3 M t S
E.» I « d, ti«^o
za.sz
20.20
23.68
2i.se
12.2B
a. eco
7.e-ia
S.32B
12 13 H 16
ESTADQS i FILA 2 ESTADOS i FILA 2
2fl.S2
20.20
23.88
21.50
-o 10.24
^10.82a£ H.B0
12.20
O.BOO
7.018
6.320
Hod.l» ípi l-
0,070,-
170
ESTAPUS i FILA 3 ESTADOS i FILA a
- H . G 1
-E. 0O
-8.71
-7.20-7.tM-8.30-s.aa
-O.4G
-(o. o
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8 Q 19 11 12 13 R IE
d. VI.«y»
ESTADOS i FILA 3 ESTADOS i rH-A 3
-0.71
-7.2a
-7.81
-8.39
-8.93
-O .- 8
-la.a, 1 2 3 1 S O 7 d O 10 11 12 13 H 1S
SALIDAS . FH.A I SALIDAS i FILA
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Ml.S
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2S.70
0.387
-1Z.O
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SALIDAS i FILA I
-171
SALIDAS i FILA 2 SALIDAS i riLA
O3.3-*
7 8. B
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, 36,30
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10.88 •
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SALIDAS I FILA 2
93,34
7fl.es
B-t.37
Ho.ee
T, 35.39¿^28.01
I e.127
-8.06
-22.5
-37. B
-SI.S
-ea
la i t iz 13
172
Con los ejemplos presentados y con las conclusiones parciales obtenidas
a partir de ellos, así como con los problemas resueltos al Implementar
los programas, se pueden establecer los siguientes comentarlos y concl_u
siones generales:
- En cuanto a la simulación, se puede decir, que la respuesta de siste
mas discretos, más que depender del tiempo, depende del numero de 1n_
tervalos de discretización; esto se ha podido concluir gracias ~a la
posibilidad que presenta el programa de poder variar el Instante f1_
nal y el Intervalo de dlscretlzaclón.
- En cuanto al problema de la optlmización paramétrlca, se puede decir
que: en el capítulo IV se generaliza la solución cuando las matrices
de covariancia de los ruidos (£1 y C_z) dependen del tiempo, esta
alternativa no ha sido tomada en cuenta al Implementar el programa,
porque esto significa que los procesos no son ergódicos, y solucionar
esta clase de problemas no sería práctico.
- Se ha demostrado que.la solución del- problema de optimización param£
trica para sistemas discretos desarrollada en el capítulo IV, es cp_
rrecta, y que el escogítamiento de la matriz _K es en realidad óptimo,
porque se han comparado entre los resultados obtenidos en el modelo
- con esta matriz, con otra matriz _K escogida arbitrariamente, y aún
sin la matriz JC (JC = 0_), y siempre las variancias del error .de re-
construcción son las mínimas.
- El escogí tamiento de la matriz K. es en realidad óptimo, pues es inde_
pendiente de las magnitudes de los ruidos (covariancias).
173
- La sensibilidad de las variancias de los errores de reconstrucción res
pecto a la matriz K., no es muy alta, pues se ha demostrado mediante un
ejemplo que para pequeñas variaciones de la matriz j< con relación a la
matriz _K óptima, se obtienen también pequeñas variaciones de las va-
riancias.
- Al ejecutar el programa de la optimización paramétrica no se ha podido
fijar una restricción para el orden del sistema o para las condiciones
del tiempo. La restricción estaría dada por la memoria libre del cojn
putador, pero esta vana para cada ejemplo, dependiendo de los datos,
de las alternativas que se seleccionen durante la ejecución del progra_
ma, etc.
5.2. RECOMENDACIONES
Se recomienda hacer un estudio de la estabilidad e invariancia de las ma_
trices K. óptima y _P' para los diferentes modelos, pues este tema no ha sj_
do objeto de esta tesis^ y se conoce que existen teoremas que relacio-
nan los modelos óptimos con estos cri-terios1.
Al no dictarse todavía la materia de control estocástico en la Escuela, y
al ser ésta la primera tesis en esta área, por lo cual se ha. hecho una
presentación general de la teoría y la solución de dos problemas relati_
vos a ella, quedan por lo tanto muchos estudios por realizar, aspirando
a que se los realice ya sea como materia oficial o a nivel de tesis de
grado, y que esta sirva como base.
APÉNDICE A
MANUAL DE USO DE LOS PROGRAMAS
PAG. 1 -
APÉNDICE "A"
Es necesario realizar primero una descripción de los programas desarro_
liados, antes de dar el manual de uso, para que el lector visualice su
estructura.
DESCRIPCIÓN DE LOS PROGRAMAS
Los programas se encuentran.concatenados en la forma como se Indica en
la Flg. (A-l), en donde las letras y números entre comillas Indican el
nombre de cada programa, cuya función se detalla a continuación:
PROGRAMA "OGARBERIS/TESI5/PERDIDA" PROGRAMA "<S> BARBERIS/TESIS/JNGR1 "
PROGRAMA "S BARBERIS/TESIS/1IÍGR2"
PROGRAMA "'SBARSERIS/TESIS/GRAFICOS"
PROGRAMA "QBARBERIS/TES1S/UTRES1PS"
APÉNDICE "A" PAG. 2
PROGRAMA "FBA"
Es el programa piloto para comandar a los demás. Pide el número de la
unidad donde se coloco el disco (variable U9). Presenta un menú de los
problemas que se pueden resolver mediante los programas implementados y
carga uno de ellos a la memoria del computador, según la tecla defini-
ble que se presione. Presenta varias interrogaciones al usuario y s_e_
gün la respuesta carga o no a la memoria del computador los subprogra-
mas para resolver el problema de la optimización paramétrica.
Por su objetivo, permanece siempre en memoria:
Menú: Tecla 1.- índice de programas "
Tecla 2.- Evaluación de la función ptrdida
Tecla 3.- Optimización paramétrica
PROGRAMA "©BARBERIS/TESIS/PERDIDA"
Evalúa la.función pérdida de sistemas discretos en el tiempo. Pide el
ingreso de datos y presenta la opción 'de corregirlos. Presenta los re_
sultados en la pantalla y existe la opción de sacar un listado en papel
de los datos y resultados. Consta de una subrutina para calcular las
raices de un polinomio usando el método del descenso más pronunciado.
Significado de las variables principales:
N : grado de los polinomios A(z) y B(z).
A : vector de dimensión N+l que contiene los coeficientes del polinomio
A(z). Es alterado en los cálculos.
APÉNDICE "A" PAG. 3
B : vector de dimensión N+l que contiene los''coeficientes del polinomio
B(z). Es alterado en los cálculos.
Al: A original.
Bl: B original.
U : variable que determina el periférico de salida.
V : función pérdida.
A5: vector de dimensión N+l que contiene los coeficientes del polinomio
A(z) calculados recursivamente.
PROGRAMA "©BARBERIS/TESIS/INGR1"
Subprograma para resolver el problema de la optimización paramétrica. Pj_
de el ingreso de datos y presenta la opción de corregirlos. Si el siste_
ma es variante en el tiempo y/o si las entradas del sistema son variables
presenta las instrucciones necesarias para programar estas funciones y
guardarlas en un programa que escoja el usuario, si es que no han sido
programadas antes. Realiza los cálculos de los estados y las salidas
del sistema real pero sin ruido, y mediante una subrutina los grafiza ,
dependiendo de estos gráficos el usuario puede cambiar la condición fi-
nal del tiempo y el intervalo de discretización, y los cálculos se realj_
zan nuevamente y de igual manera los gráficos.
Con los valores calculados de los estados y las salidas se calculan sus
respectivos promedios.
La subrutina de grafización puede presentar los gráficos normalizados si
APÉNDICE "A" PAG. 4
es que las magnitudes de las salidas o estados son excesivamente grandes
Consta de una subrutlna para generar números aleatorios con distribución
normal, subrutlna Implementada en la tesis "Simulación Estadística".
Significado de las variables principales:
N : dimensión de la matriz cuadrada Ap. (N, N).
R : número de las columnas de la matriz _BQ. B[j(Ns R).
Pl : número de filas de la matriz CQ. _Co(Pl> N).
TO : condición Inicial del tiempo.
TI : condición final del tiempo.
T2 : Intervalo de dlscretlzaclón.
Ll : número de Iteraciones.
A : matriz AQ, dimensión N x N.
B : matriz Bgs dimensión N x R.
C : matriz C 5 dimensión Pl x N.
U$ : nombre del programa donde se guardan las funciones del tiempo si
el sistema es variante.
U : matriz de entradas JJS dimensión R.
S$ : nombre del programa donde se guardan las funciones del tiempo siTas entradas del sistema dependen del tiempo.
- APÉNDICE "A11 PAG. 5 -
M : matriz de valor esperado del estado Inicial real, dimensión N¿restricción: - 1000 < M < 10000.
CO : matriz de covariancias del estado inicial real, dimensión NxN;restricción: <1000
X : matriz de estado del sistema, dimensión N.
Y : matriz de salidas del sistema, dimensión Pl.
X3 : promedio de los estados.
Y3 : promedio de las salidas.
G5 : matriz que contiene las magnitudes de los estados y las salidas en
los diferentes instantes de tiempo, dimensión Ll.
PROGRAMA "fQ)BARBERIS/TESIS/rNGR2".
Subprograma para resolver el problema de la optimización paramétrica. PJ_
de el ingreso de datos del ruido y presenta la opción de corregirlos, con
estos datos se generan los ruidos. Interroga sobre las condiciones ini_
cíales del modelo y pide datos. Realiza todos los cálculos con las en-
tradas de ruido. Presenta la opción de variar la matriz K. óptima, y de
ser escogida, presenta un listado de esta matriz.
Para la generación del ruido y las condiciones iniciales consta de una
subrutina para generar números aleatorios con distribución normal, subru_
tina implementada en la tesis "Simulación Estadística11.
Significado de las variables principales:
Además de las variables usadas en el programa "^BARBERIS/TESIS/INGRl" ,
se usan las siguientes:
APÉNDICE "A" PAG. 6
E : matriz de ruidos, dimensión Pl.
V : matriz de ruidos, dimensión N.
CZ : matriz de covariancias del ruido E, dimensión Pl x Pl; restricción:
< 1000.Cl : matriz de covariancias del ruido V-, dimensión N x N; restricción:
< 1000.MZ : matriz del valor esperado del estado inicial del modelo, dimen -
sión N; restricción: - 1000 < MZ < 10000.
C3 : matriz de covariancias del estado inicial del modelo, dimensión -
N x.N; restricción: < 1000
Zl : matriz de estados del modelo sin la matriz K, dimensión N.
XI : matriz de estados del modelo con la matriz Ks dimensión N.
Yl : matriz de salidas del modelo sin la matriz K y con la matriz K, dj_
mensión Pl.
K : matriz'JC, dimensión N x Pl.
P : matriz P_, de dimensión N x N.
XZ : matriz igual a X-X1, dimensión N.
YZ : matriz igual a Y-Y1, dimensión Pl.
ZO, ZZ, Z35 Z4S Z5,Z6: matrices auxiliares para los cálculos.
PROGRAMA "fo>BARBERI$/TESIS/GRAFICOS"
Subprograma para resolver el problema de la optimización paramétrica. -
Permite al usuario seleccionar el periférico de salida, si se escoge la
- APÉNDICE "A" PAG. 7
pantalla, al finalizar la grafización pregunta si se desea grafizar en
papel. Presenta los gráficos de los estados y las salidas fila por fi_
la, y para cada fila presenta los gráficos en conjunto, es decir, en una
sola página de la pantalla, o en una hoja de papel si es en el grafiza_
dor, los gráficos correspondientes al sistema real, al modelo con la ma_
triz K_ óptima, al modelo sin la matriz K_, y al modelo con una matriz dj_
ferente a la óptima, si'es que se ha escogido esta opción en el progra_
ma '"o)BARBERIS/TESIS/INGR2 '", y luego pregunta si se desea los gráficos
individuales. Puede presentar los gráficos normalizados si las magnitu_
des de los estados o las salidas son excesivamente grandes.
Significado de las variables principales:
G6 : matriz que contiene las magnitudes de los estados y las salidas
del sistema real en los diferentes instantes de tiempo, dimensión
Ll.
G5 : matriz que contiene las magnitudes de los estados y las salidas -
del modelo con la matriz J< óptima, dimensión Ll.
G7 : matriz que contiene las magnitudes de los estados y las salidas
del modelo sin la matriz J(, dimensión Ll.
H6 : matriz que contiene la magnitud de los estados y las salidas del
modelo con una matriz K. diferente a la óptima, dimensión Ll.
W : variable que determina el periférico de salida.
APÉNDICE "A" _PAG. 8
PROGRAMA '"o)BARBERIS/TESIS/IMPRESION "
Subprograma para resolver el problema de la optimización paramétrica. -
Permite al usuario seleccionar el periférico de salida, si se escoge la
pantalla, al finalizar el listado pregunta si se desea la Impresión en
papel. Presenta el listado de todos los datos, y de los resultados, los
que consisten de los estados y salidas del sistema real y de los mode-
los: óptimo, sin la matriz K_3 y con una matriz K_ diferente a la óptima,
si es que se ha escogido esta opción en el programan/2)BARBERIS/TESIS /
INGR2", los errores entre los modelos y el sistema real, la matriz K. y
la matriz P_para cada Instante de tiempo.
MANUAL DE USO DE'LOS"PROGRAMAS .
1. Prenda el 'computador.
2. Coloque el disco en cualesquiera de las unidades libres.
3. Inicialice el sistema de reloj del computador desde el teclado, medían_
te la Instrucción:
CALL "SETTIM", "DD-MMM-AA" P HH;MM:SS" .
y luego presione la tecla RETURN.
Siendo: DD : día
MMM : mes (Iniciales en inglés)
AA : año
APÉNDICE "A" .PAG. 9
ja : espacio en blanco
HH : horas
MM : minutos
SS : segundos (opcional)
4. Monte el disco en el sistema, usando las instrucciones:
4.1. CALL "UNIT",#
4.2. CALL "MOUNT", #, A$
Siendo: # : número de la unidad de discos en que se coloco el di¿
co.
A$ o cualquier variable literal.
Si el disco fue colocado en la unidad 0 no es necesario ejecutar la
instrucción 4.1.
5. Carge a la memoria del computador el programa piloto, mediante la ins_
trucción:
OLD "FBA" presione RETURN
6. Ejecute el programa con la instrucción:
RUN presione RETURN
7. Siga las instrucciones que los programas le indican en la pantalla.
APÉNDICE "A" PAG. 10
8. Cuando desee Interrumpir la ejecución de algún programa, presione
dos veces la tecla BREAK, para continuar asegúrese de que los archivos
estén cerrados ejecutando la instrucción: CLOSE, luego presione la
tecla definible #1.
9. Si en la-pantalla se le indica que aliste el grafizador debe asegu-
rarse de:
9.1. Prender el grafizador.
9.2. Colocar el papel.
9.3. Fijar los límites del tamaño del gráfico.
9.4. Seguir las instrucciones de la pantalla.
APÉNDICE B
LISTADO DE LOS PROGRAMAS
1 REM #### PROGRAMA P I LO l'O-. l_K/:r — £
-/ — - /¡ _-. U :\¿ O
-'i -Jü 70 100-3 ;r- Ti-="l" THEN 700? TÍLLETE 701*15000.-O bu TO 84'.o } F ~\$~*2n THEN 700i i- s: L E r E 7 o i ? i s o o o./j üQ TU 87
8 vi ftPPENLi " OíBARBERIS/TESIS/PERDIDA " : 700B6 üO TO 70087 T9=HEMQRYü¿: «PPEND nt¿BARBER13/TESIS/INGRlllf70089 GÜ TO 700100 REH110 IF U9O--1 THEN 170120 PRINT -" "LUNIDAD EN QUE SE COLOCO EL DISCO ? * l! 5130 INPUT U9140 IF U9-0 OR U9-1 OR U9=2 THEN 160150 GO TO 120160 CALL "UNITBTU9170 PRINT "L ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL0
180 PRINT UJ FACULTAD HE INGENIERÍA ELÉCTRICA"190 PRINT "JJ CONTROL ESTOCASTICü DISCRETO8200 PRINT BJ TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO c
210 PRINT n DE INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y CONTROL0220 PRINT BJ FRANCISCO XAVIER BARBERIS ABAD"230 PRINT BJ MARZO DE 1984"240 PRINT UJJJ ÍNDICE DE PROGRAMAS0'~>cí*/\T *• — m. — «— ™ ™ ™ __ — •«.».»«».».„ _ ,t L „ __ fí
260 PRINT BJ TECLA 1- ÍNDICE DE PROGRAMAS"270 PRINT "J TECLA 2- EVALUACIÓN DE LA FUNCIÓN PERDIDA11280 PRINT 'J TECLA 3™ OPTIMIZACION PARuMETRICA"290 PRINT ÜJJJ PRESIONE TECLA DEL PROGRAMA DESEADO? n ?300 END310 PRINT "Li'ESEA GRAFIZAR LOS ESTADOS Y SALIDAS (SI O N O > Y Í G " 5?20 INPU1 XS330 IF X$="Nüb OR X^>=nNn THEN 390340 ¿H Tí*1-":?11 THEN 7003^0 Í'ELETE 701?ltiOOO360 "¡V = MErtOF:Y370 APPtN» "ííJfciARBERIS/TESIS/GRAFICOS" ?700^c^O f.?0 TU 700¿90 r'RINT "LLESEA IMPRESIÓN DE DATOS Y RESULTADOS (SI O NO ) ? t " ?400 INPUT X$410 IF X*«'NO" OR XíJ>="NB THEN 570420 IF T*=MB THEN 700430 DELETE 701*15000440 T9=MEMORY450 APPEND BeBARBERIS/TESIS/IMPRESIONar700460 GO TO 700470 PRINT "LI-ESEA REGRESAR AL PROGRAHH PILOTO (SI Q N0)?tn?
480 INPlTi x$-90 1F X^'^IG11 Oi:< X v ^ ' N " THEN 510£00 60 TO 1005 A O PRIrtT "JENUG"'J-2.0 i£Ni'iI5¿vj L:£UETE 701 r 15000•540 í 9=MEHÜF:Y:J1: lo O A P P £ í\ g tí i.' A R 3ERIS/TESIS/INGR2Br7 O O560 bu TO 700570 IF T$=MB OR T*«°3f THEN S90b80 GO TO 470S90 F'RINI "LI'ESEA CAMBIAR LOS DATOS DEL RUIDO CON EL ÜBJETOC
600 PR1NT "DE COMPARAR LOS RESULTADOS (SI O N0>? : ü í610 IHPUT X*020 IF X*=BNÜB OR X*="N" THEN 470630 R5=2640 GO TO 530700 REM
r
'¡£NDICE
700710720730740
REM
REr'o
F:£.n
REMREMREMFEM *>¡:REMDELETEDELETEDELETEREMREM
REMREMREM
D*=E$=
730790800810820830840850860870880890900910920930940950900970980990 REM1000 REM1010102010301040105010601070108010901100111011201130114011501160117011801190120012101220
A- J-- -Ai li."Vf- )f- *. >.
í#* EVALUACIÓN DE LAS FUNCIONES PERDIDA *****<**• DE SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEhPO ***#*:
PROGRAMA PARA EVALUAR LA INTEGRAL DE LA FUNCIÓNRACIONAL(l/(2HíF'i*I»*B(z)*B(l/z)/CA(z)*A(l/2)*2>
A LO LARGO DEL CIRCULO UNITARIO
INICIALIZAC1QH DE LAS VARIABLES A USARSE
Pl y PA í AO
? P3 » P4 ? P5 9 Pe ? P7 r P8 ? P9 ? PO ? Ql y Q2 ? Q3 y Q4Al j A5 B 9 Bl ? C
> ? K* » F$D 7 1 y 19 „ 10 , J9 t K ? L ? Ll ? M ? N
Q5R9
****
QÓ?Q7?Q8?Q9?íU»VíA*íB*>C*
T8
****lu
ETIQUETA DEL PROGRAMA #*##
ASIGNACIÓN DE VARIABLES PARA PONER TÍTULOS GENERALES
EVALUACIÓN DE LAS FUNCIONES PERDIDADE SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO ######fi
PROGRAMA PARA EVALUAR LA INTEGRAL DE LA FUNCIÓNRACIONAL(I/(2#pi*l))#B(s)#B(l/z)/<ACs)#A(l/z)#2>
A LO LARGO DEL CIRCULO UNITARIO##**'###*'
PRINT ©U: USING
*###REMPRINT
INGRESO Y CORRECION DE DATOS
INPUTPRINTINPUTIF X$=GO TO
BJJINGRESE GRADO DE LOS POLINOMIOS A Y B (N)N"JDESEA CORREGIR EL VALOR DE N (SI O NO)? S n
X*= U NO B OR X$=BNn THEN 10801020
DELETE ArB?A5i>ADIM ACIO)?B€IO)PRINT nJINGRESEPRINT "JPRINTFOR 1=1 TU 10PRINT a A ( K ? I y")~INPUT Atl)NEXT IPRINT BJINGRESEPRINT UJPRINTFOR 1=1 TO 10PRINT "B C " 5 I Í B > =
A5(IO) >A1CIO) jBKIO)VECTOR CON LOS COEFICIENTES DELA<l)*z'*N+A(2)*z^(N-l ) + * 4 + , * * *+A>
POLINOMIO
VECTOR CON LOSB(l)#z"N+B<2)#:
COEFICIENTES DEL POLINOMIO
1230 INPUT B(I)
APENl'ICb
12401250126012701280
- 1290130013101320133013401350136013701380139014001410142014301440145014601470148014901500151015201530154015501560157015801590160016101620163016401650166016701680169017001710172017301740175017601770
NEXT 1PRINT " JI'ESEA CORREGIR ALGÚN BATO (SI 0 NÜ>? 5 " »JNPUT X*IP x*="NÜ* OR X$s="N' THEN 1290GOSUB 3460A1=AB1=BGOSUB 2080U=32REMREM *#** CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LOS POLINOMIOSREM #*** AK(z) Y Bk(z) Y EVALUACIÓN DE LA INTEGRALREMAO=A(1)V=0FOR K=l TO NL=N+1-KLl-L+1C=ACL1)/A(1)D=B(L1)/A(1)VsV+D#B(Ll)FOR 1=1 TO LM-L+2-IA5(I)=A(I)-C*AÍM>B(I)=B(I)-D#A(M)NEXT IIF A5(1X=0 THEN 1600FOR 1=1 TO LA(I)=A5CI>NEXT INEXT KV~V+B( 1 )~2/A( 1 )V=V/AOREMREM ##** IMPRESIÓN BE BATOS Y RESULTADOS ##*###REMPRINT GUÍUJLAS RAICES DEL POLINOMIO A SON $ BPRINT eutPRINT eUÍ" PARTE REAL PARTE IMAGINARIA"PRINT @UÍFOR 1=1 TO NPRINT @U: USING 1660t »RC 5 I 5 n )= " , R9 C I ) , 19 C I )IMAGE05X r 2A y FB ? 6A r 4D * 5D y 14X , 4B * 5BNEXT IIF A5C1X=0 THEN 1760J$=BEL POLINOMIO A TIENE TOBAS SUS RAICES"K*=" DENTRO BEL CIRCULO UNITARIO"PRINT @UJ USING 1720 tJ* y K*IMAGE/r5X?37Ap/i' 14X?27APRINT BUÍ"JLA FUNCIÓN PERBIBA ES IGUAL A í " 5 MIF U=S1 THEN 1S40GO TO Í810H$=°EL POLINOMIO A TIENE ALGUNA RAÍZ SOBRE EL n
I*='CIRCULO UNITARIO 0 FUERA DE EL"
APENLtlCE "B"
17BC1790180013103.82018301 fc • 4 O185018601870188018901900Í9101920193019401950196019701980199020002010202020302040205020602070208020902100211021202130214021502160217021802190220022102 20223022402250226022702280229023002310
PFíINT ííU: USIMG 1790:H*»3:fcI n A G E / 7 r¿ X ? 41A r / r 14 X ? 3 O AIF U-51 THEN 1840PRINT "JDE3E6 IMPRESIÓN EN PAPEL (SI O NO)? : B 5INF'UT Xí>IF X^=BSI" OR X$="S" THEN 1850GO TO 470PRINT "JALISTE LA IMPRESORA (RETURN)"INPUT X$
PRINT (5UÍ "LESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL11PRINT BUfJFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA0
PRINT @U:nJTESISt CONTROL ESTOCASTICO DISCRETOPRINT ©U:UJEVALUAC10N DE LA FUNCIÓN PERDIDA"
PRINT @U:"JGRAHQ DE LOS POLINOMIOS A Y B i'ÍNF$=CCOEFICIENTES DEL POLINOMIO A(2)=AC1)#2"N+A<2)*2'*<N-1)PRINT @UÍ USING 1960íF*IMAGE/?63AFOR 1=1 TO 10PRINT ©U? UA( KÍIÍ n)= -JAI(I)NEXT IG*=="COEFICIENTES DEL POLINOMIO B(s)=B<1)#z"N+B<2)#s~(N~l>+++BCN*l>PRINT eUÍ USING 2020JG*
MARZO 1984e
FOR 1=1 TO 10PRINT GUÍ 'B< n ?If D)= CÍB1U)NEXT IGO TO 1600REMREM ###### SUBRUTINA PARA CALCULAR LAS RAICES DEL POLINOMIO A #***REMREM. RAIZPOLI2REMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREM
SUB* PARA SOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINOMIALESMÉTODOí DESCENSO MAS PRONUNCIADO CON ESCALAMIENTO DE RAICES31 DE MAYO DE 1980ING. EFRAIN DEL PINO V »
NA
R919
GRADO DEL POLINOMIOVECTOR CON COEFICIENTES EN ORDEN DESCENDENTEHE POTENCIAS
VECTOR CON PARTES REALES DE LAS RAICESVECTOR CON PARTES IMAGINARIAS DE LAS RAICES
N, A NO SON ALTERADOS POR LA SUBRUTINA
VARIABLES INTERNAS? J9? POyPl, + * *,P9>
DELETE P7 7 PO »R9 r19»U T V,Qó,Q7DIM P7(QO)»PO<QO)fR9<QO)íI9(QO)
APÉNDICE
A — "1
233023402350236023702380239024002410242024302440245024602470248024902500'2510252025302540255025602570258025902600261026202630264026502660267026802690270027102720273027402750276027702780279028002810.2820283028402850
P5=P6"2R9=019=0FOR Pl=l TO 00P7<P1)=A(P1+1)/A(1)NEXT PlIF Q0>0 THEN 2410RETURNIF P7 (00)00 THEN 2450J9«J9+1
QO=QO-1GÜ TO 2390IF QOO1 THEN 2490J9=J9+1R9<J9)=-P7(00)RETURNIF QOO2 THEN 2810Q3=-P7(l)/2J9=J9+105=Q3*Q3-P7(2)IF Q5<0 THEN 2580Q5=SQR<05)R9(J9)=Q3+Q5R9CJ9+1) =03-05RETURNR9CJ9)=03R9(J9+1)=R9(J9)I9(J9)=SQR(-Q5)I9(J9+1)=-I9CJ9)RETURNREM SUB* EVALUACIÓN HE F(Z)=Q808=1Q9=0FOR Pl«l TO 00Q5=Q8*Q3-Q9*Q4+PO(P1)09=09*03+08*04Q8=Q5NEXT PlRETURNREM SUB* EVAL. F/C2)=Q6 + JQ7Q6-QO07=0FOR Pl=l TO QO-105=Q6*Q3-Q7*Q4+<QO-P1)*PO(P1>07=07*03+06*04Q6=Q5NEXT PlRETURNREM BESCENSO MAS PRONUNCIABOQ5=ABS(P7(00> )IHM P7COO) TPO(QO)IF 05=1 THEN 2920P2=Q5"(1/QO)
JQ9
APÉNDICE "t i"
28 02370288028902900291029202930294029502960297029802990300030103020303030403050306030703080309031003110312031303140315031003170318031903200321032203230324032503260327032803290330033103320333033403350.3360337033803390
•
05 = 1PQF-; Pl = l TO QOG5=Q5*P2PO(P1)=P7(P1)/G5NEXT PlGO TO 2940PO=P7P2~lG3=0*7Q4=0.óGOBUB 2630P3=Q8*G8+Q9*Q9IF P3<P5 THEN 3180GOBUB 272005=06*06+07*070 1 =- < Q8*G6+09*Q7 ) /Q5G2= C Q8*Q7-G9*Q6 ) /Q5G3=Q3+Q1Q4-G4+G2GOSUB 2630P4=OB*Q8+Q9*Q9IF P4<P5 THEN 3160IF P4<P3 THEN 3140n-r — nTr~niLA w Uí W Uí X
Q4=Q4-Q2
01=0.8*0102=0 « 8*02GQ TO 3030P"a¡=PAi i-i r iGO Tu 2990IF ABSCQ1XP6 AND ABS(G2XP6 THEN 3180GO TO 314003=Q3*P2Q4=G4*P2IF ABSCQ4)>P6 THEN 322004=0
1 C5 — • I f^i _L •!%J 7 "~ i-í 7 ~T J.
R9(J9)~G3I9CJ9)=Q4IF G4-=0 THEN 3390J9=J9+1R9CJ9)=Q3I9CJ9)=-04P8=-2*Q3P9=Q3*Q3+Q4*04P7C1)=P7C1)-P8P7 ( 2 ) =P7 < 2 ) -P8*P7 ( 1 ) ~P9IF Q0<5 THEN 3370FOR Pl=3 TO QO-2P7CPl)=P7<Pl)-P8*P7(Pl-l)-P9*P7CPl-2)NEXT PlP.O = QO-2GO TO 245005=1
APÉNDICE Ü B 1 F'Ab, B
4
342034303440345034603470348034903500351035203530354035503560357035803590300036103620363036403650
POR Pl = l TU 0.0-1Q5 = Q5*Q3-rP7(F'l)P7CP1)=Q5NEXT PlQG=QO-1GO TO 2450REMREM #*##REMPRINT °JPR1NT "1-POLINOMIO A
SUBRUTINA DE CORRECCIÓN DE DATOS
QUE DATO DESEA CORREGIR ?u
2-POLINOMIO BESCOJA NUMERO í
3-FIN DE CORRECCIONES1PRINT "INPUT T8GO TO T8 OF 3550?3600?3650GO TO 3490PRINT BJFILA DEL ELEMENTO QUE DESEA CORREGIR 5 " SINPUT IPRINT D INGRESE VALOR CORRECTO DEL. ELEMENTO ÁCÍIÍ")INPUT A(I)GO TO 3490PRINT 'JFILA DEL ELEMENTO QUE DESEA CORREGIR í ü íINPUT IPRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO Bí"?I i B )INPUT B(I)GO TO 3490RETURN
Ai- E NI' ICE " b *
720 F:EM730 REH #**#*#* OPTIMIZACION PARAHETRICA #***7-0 REM #**;/..-m: INGRESO Y CORRECION DE DATOS» CÁLCULOS #>**.*7 0 REM *¥* #*#>}• Y GRÁFICOS PRELIMINARES )
7/0 RE> #*« IHICIALIZACION DE LAS VARIABLES A USARSE7 8 O R E ri7 --'O CÉLETE A r P ? C :• CO ? Cl ?C2 r C3 » D5 • E y E5? I e J y K y L v Ll ?M?NyP»F*l?R.800 DEL v 7 X r XI r X2 7 X3 ? X5 > Y - Y 1 - Y2 ? Y3 ? 20 í Z ¿ ? Z2 ? Z3 r 24 y 25 ?7.6 •:8:9;B30 R5=0B 4 O H -" n f
810 DELE í ir. Q^rH^rI^?L^ríNí$rO^:7X^?ri2?A5rY9!!T2yp$rS^?R^B20 CÉLETE HO ? PO?X9 ? Y9?K$ ?Q$-y M$Í W* » R5 ? J4 ? A9 ? U*»P3
ETIQUETA DEL PROGRAMA *##*
BORRADO DE LOS ARCHIVOS A USARSE *#**
##**
860 REH¿70 REhB80 T^^890 REH900 REM910 REM920 KILL "ÍSBARBERIS/TESIS/REAL11930 KILL BeBARBERIS/TESIS/MOnB940 KILL "OBARBERIS/TESIS/ABC"950 KILL "6BARBERIS/TESIS/RUIDOS'960 KILL -GBARBERIS/TESIS/SINK11970 KILL "(sBARBERIS/TESIS/K*980 KILL "@BARBERIS/TESIS/MOti!\ln990 KILL "8BARBERIS/TES1S/ENTRADAS"100.0 IF R5=l THEN 12401010 REM1020 REh **** INGRESO Y CORRECCIÓN HE DATOS1030 REM1040 PRINT "L *### OPTIMIZACION PARAMETRICA #***•1050 PRINT "JDIMENSION DE LA MATRIZ A : (N»N> í INGRESE N : a?1060 INPUT N1070 PRINT ü JDIMENSION DE LA MATRIZ B í (N y R) ? INGRESE R i " 51080 INPUT R1090 PRINT • JDIMENSION DE LA MATRIZ C I (Pl ?N> 5 INGRESE Pl í u í1100 INPUT Pl1110 PRINT "JINGRESE CONDICIÓN INICIAL DEL TIEMPO (kO)í"51120 INPUT TO1130 PRINT "JINGRESE CONDICIÓN FINAL DEL TIEMPO (kl)i«$1140 INPUT TI1150 PRINT B JINGRESE INTERVALO DE DISCRETIZACION ( k 2 ) Í B ?1160 INPUT T21170 PRINT "JDESEA CORREGIR DATOS ANTERIORES (SI O NO)? t K ?1180 INPUT X*1190. IF X*="NO" OR X*=»N" THEN 12401200 GOSUB 39701210 REM1220 REM #### CALCULO DEL NUMERO DE ITERACIONES #*##1230 REM
APELHitlCE " íí1' r Ad- < • v
¿2/0 Ll~¿m < C ( ( Tl-TO>/T2Tl > » ÍO+5>/10> '12bO Ir H5 = J ANLi (H^-SI' Or! r!í~l'bu> THEh! 170012éO Ir RLJ=Í ANli <H*-uNü" OK h^'N") THEN..2200'' I-"1" O r'EH12&0 REN #*#* DIMENSIONí^ilEMTG DE ¿AS MATRICES *** *11 0 RE* *##* BEL SISTEHA DE ECUACIONES RECURSIVAS ^^Y^-I^00 REh¿ 3 i O LI*i A(MyN)íB(WíR)íC<PlíN)»X<N)»Y<Pl>jUCR)>V(N)?E<Pl) pCO-,N."N>¿320 1*-H C2(P1 »P1) PCNjN) p'MCN) »K<'N?P1> ?XÍ(N) rX2CN) ?YKP1> FY2ír'I> íY'ÍCF'j.)li-30 IHM X3(W) rCÍCN?N)fP3<NrN)
' 1340 PRINT "LÚAS MATRICES A?B?C DEPENDEN DEL TIEMPO <SI O N0>? í L ?1350 1NPUT H^1360 IF H*="NOB OR H$=°NU THEN 19201370 L=l1380 Y9=01390 PRINT "JYA HA PROGRAMADO ANTERIORMENTE LAS FUNCIONES (SI O Hü) ? ? L r1400 INPUT X$1410 IF X*=nSI" OR X**'SB THEN 16301420 GOSUB 70201430 REM1440 REM **** SE GUARDA EL PROGRAMA QUE CONTIENE LAS *##*14SO REM *#** FUNCIONES DE LAS MATRICES A?B Y C **##1460 REM1470 PRINT "JNOMBRE DEL PROGRAMA EN QUE DESEA GUARDAR LAS FUNCIONES ? t " y1480 INPUT U*1490 U$=seTES!S/BARBERIS/E&U$1500 CALL "FILE"?U9yU$íX$ - .1510 IF X^"" THEN 15601520 PRINT *JEL PROGRAMA YA EXISTE* DESEA DESTRUIRLO (SI O NO)? } " y1530 INPUT X$1540 IF X*="NO" OR X^^"! 11 THEN 147Ü1550 KILL U$1560 SAUE U$?7290y79001570 GO TO 17601580 REM1590 REM *#** RECUPERACIÓN DEL PROGRAMA QUE CONTIENE LAS #***1600 REM **** FUNCIONES DE LAS MATRICES A>B Y C SI ES QUE ****1610 REM ###)K HAN SIDO PROGRAMADAS ANTERIORMENTE ##**1620 REM1030 PRINT "JNOMBRE CON QUE GRABO EL PROGRAMA ? J ü í1640 INPUT U$1650 UÍÜ=1660 CALL1670 IF X*OH" THEN 17001¿80 PRINT -JNO EXISTE ESE PROGRAMA"1690 00 TO 13901700 DELETE 7300*7900•¿710 T9=MEMORY1720 APPEND U&Í72901730 REM1740 REM #### EVALUACIÓN DE LAS FUNCIONES ####**#1750 REM1760 CRÉATE B 0BARBERIS/TESIS/ABC n 5 L1#N# CN+R+P1) *9-f i t O1770 OPEN B@BARBERIS/TESIS/ABCBílr'F*vC$
17BO1790:iBOO13101B20"1330.184013501360:;.S7013601690190019101920193019401950196019701980199020002010202020302040205020602070208020902100211021202130214021502160217021802190220022102220223022402250226022702280229023002310
L=TOrÜR 1=1 TO LlY9 = lGOSUB 7300WRITE #ISA?BíCL=L+T2NEXT 1CLO£:E 1REMREM #*** SEREH #*#*REMPELETE 7300*7900GO TO 2200
"JINGRESE LA
BORRAN LAB LINEAS OCUPADAS POR ELHE LAS FUNCIONES DE A?B Y C
MATRIZ A(N?N)
PROGRAMA#.**.*
1 TO Nl TO R"BCÍIÍBCI,J)
JINGRESE LA MATRIZ C<P1,«N>
PRINTPRINTFOR 1 = 1 TO. N 'FOR J=l TO NPRINT 1 1 A C B ílí n r " ?J5 B)= n ? .INPUT AClíJ)NEXT JNEXT IPRINT "JINGRESE LA MATRIZ B(N?R)PRINTFOR 1FOR JPRINTINPUTNEXT JNEXT IPRINTPRINTFOR 1=1 TO PlFOR J=l TO NPRINT u C C a ílí " 9 ° ÍJ? ")'= u íINPUT C(IfJ)NEXT JNEXT IPRINT "JDESEA CORREGIR LAS MATRICES Ar B r C (SI O NO)? í » íINPUT X*-IF X^^NQ" OR X^^-N11 THEN 2220GOSUB 4250Ir R5=l AND CP^^^SI" OR P*=BS") THEN-2580IF R5=l AND <P$=BNO" OR P*=»N"> THEN 3120PRI «LLA MATRIZ BE ENTRABAS UCR) DEPENDE BEL TIEMPO (SI O NCOINPUT P*IF Pi^"NQn OR P$="N" THEN 2810
PRINT "JYA HA PROGRAMABO ANTERIORMENTE LAS FUNCIONES (SI O N0>? t B ¡INPUT X$IF X$=BSID OR X*="S" THEN 2510GOSUB 8010REM
APÉNDICE "B11
23801390240024102:420245-024402450246024702480249025002510252025302540255025002570258025902000261026202630264020502660267026802690270027102720273027402/502760277027802790280028102820283028402850
REM *'### SE GUARDA EL PROGRAMA QUE CONTIENE LAS *"*:*•*REH #>::*# FUNCIONES DE LA MATRIZ U «*xREHPRINT "LNÜMBRE DEL PROGRAMA EN QUE DESEA GUARDAR LAS FUNCIONES "r ; fc í>INPUT S$
CALL "FILE11 ?U9,S**X$jF X$=s"" THEN 2440PRINT *JEL PROGRAMA YA EXISTErDESEA DESTRUIRLO (SI O N0>? : B íINPUT X$IF X*='NO° OR X*="N" THEN 2350KILL S$SAVE S$r8490?8800GO TO 2640 ' -REMREM #*## RECUPERACIÓN DEL PROGRAMA QUE CONTIENE LAS ####REM **## FUNCIONES DE LA MATRIZ U SI ES QUE HAN SIDO #*#*REM *'*## PROGRAMADAS ANTERIORMENTEREMPRINT 'JNOMBRE CON QUE GRABO EL PROGRAMA ? i « íINPUT S$S*="GTESIS/BARBERIS/"SS*CALL "FILE"?U9íS*íX$IF X*<>"H THEN 2580PRINT "JNO EXISTE ESE PROGRAMA"GO TO 2270DELETE 8500*8800T9=MEMORYAPPEND S$?8490REMREM **** EVALUACIÓN DE LAS FUNCIONESREMCRÉATE "GBARBERIS/TESIS/ENTRADAS"?L1*R#9+Í50OPEN "GBARBERIS/TESIS/ENTRADAS"S9>nF"yJ$
FOR TO Ll
SE BORRAN LAS LINEAS OCUPADAS POR EL PROGRAMADE LAS FUNCIONES DE U
G'OSUB 8500URITE *9íU
NEXT ICLOSE 9REMREMREMREMDELETE 8500.8800IF R5=l THEN 3120GO TO 2870PRINT BJINGRESE LA MATRIZ DE ENTRADAS U(R>PRINTFOR 1=1 TO RPRINT 0U(uÍI?n)= " yINPUT U(I)
2*60 .NEXT I . '2870 f'KINT B JIHGKE3E LA MATRIZ DE VALüR Ecir'ERAI'O DEL "28BO PRINT "ESTADO INICIAL -REAL J ECXCKO)) ? M •, N > B
2B90 PRINT2900 FOR 1=1 TC N2910 PR I NT c *i ( '' í I * c ) - " ?2920 1N.PUT M(I)2930 NEXT I2940 PRINT 'JINGRESE LA MATRIZ BE COVARIANCIAS DEL ESTADO112950 PRINT 'INICIAL REAL X<kO) í CQ(NíN) CdiBáoriai) B
2900 PRIN.T2970 C0=029SO FOR 1=1 TO N2990 PRINT MCO< n 51? ° ? B 5 1 í B )« B 5 . -3000 INPUT COdrl)3010 NEXT I3020 IF P$="NO' OR P* 11!^' THEN 30503030 PRINT 'JDESEA CORREGIR- LAS MATRICES M>CO (SI O NO)? S ü3040 GO TO 30603050 PRINT u JDESEA CORREGIR LAS MATRICES UrMrCO (SI O NO > ?3060 INPUT X$3070 IF X$="NO" OR X*«'N" THEN 31203080 GOSUB 45603090 REM3100 REM #### GENERACIÓN BEL ESTABO INICIAL REAL X(kO)3110 REM3120 FOR 1=1 TO N3130 D5=SQR(CO<IíI) )3140 E5=MU>3150 GOSUB 37803160 X(I)=X53170 NEXT I3180 CRÉATE "SBARBERIS/TESIS/REAL" í ( (N-fPl ) *L1+N>#9 + 1 1 O3190 QPEN "0BARBERIS/TESIS/REAL" 54? "F'íF*3200 URITE *4ÍX3210 REM3220 REM #### CÁLCULOS SIN LAS ENTRABAS DE RUIBO3230 REM ##« PARA TENER UNA IBEA BEL RUIBO QUE3240 REM **W SE BEBE INGRESAR3250 REM3260 IF PíÜ^-NÜ" OR P^^N" THEN 32803270 QPEN '0BARBERIS/TESIS/ENTRADAS" ?9» "R" yJ$3280 IF H*=ENOU OR H*«"Ntt THEN 33003290 QPEN "GBARBERI3/TESIS/ABCI1ílj«R'yC*3300 Y3~03310 X3-X3320 FOR L=l TO Ll3330 IF P$=MNOU OR P$s=»N" THEN 33503340 READ *9tU3350. IF H$=BNO" OR H*«'N" THEN 34003360 REAEi *lÍArB»C3370 REM3380 REM ##** CALCULO BE Y<P1> ? Y(k)3390 REM
#*#*
APÉNDICE
3400
'34203430'34403450346034703480349035003510352035303540355035603570358035903000361036203630364036503660367036803690370037103720373037403750376037703780379038003810382038303840385038603870388038903900391039203930
Y=C MPY X -FOR 1*1 Tu Pl "Y3(I>aY3íIM-Y(I>NEXT IREM **## CALCULO DE LA MATRIZ X(N) ? X(M-l) *#**REMDELETE ZO?Z6DIM ZO(H> yZ6(N>Z6-A MPY XZO=B MPY UX=Z6+ZOIF L«L1 THEN 3550FOR 1=1 TO NX3(I)=X3(I)-fX(I)NEXT IURITE *A:Y*XNEXT LCLOSEPAGEGOSUB 4860PRINT "JDESEA CAMBIAR LA CONDICIÓN FINAL DEL TIEMPO (SI O Wü)? i " ?INPUT X*IF X*="NO" OR X*«"N" THEN 3750PRINT "JINGRESE CONDICIÓN FINAL DEL TIEMPO Ckl) i » 5INPUT TIPRINT "JDESEA CAMBIAR EL INTERVALO DE DISCRETIZACION (SI O NO)? í ' ?INPUT X$IF X*=*NDB OR X$=BNB THEN 3700PRINT "JINGRESE INTERVALO DE DISCRETIZACION (k,2) í n «INPUT T2R5=lGO TQ 920REMREM ***# CALCULO DE LOS PROMEDIOS #*##REMY3=Y3/L1X3=X3/L1GO TO 530REMREM *#** SUBRUTINA DE GENERACIÓN DEL ESTADO INICIAL Y LOS RUIDOS #>REM
TESISt SIMULACIÓN ESTADÍSTICA 1983AUTORt LUIS ALBERTO D* RODRÍGUEZ ARROBA
REMREMREMREMREMREMREMREMREMREM
SUBRUTINA P4DISTRIBUCIÓN NORMAL- MÉTODO DEL LIMITE CENTRAL
DS« DESVIACIÓN STANDAR!E5= VALOR ESPERADOXS= VARIABLE ALEATORIA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
FOR J=l TO 12A5-A5+RND<-1>
APÉNDICE n B ü F-fcfc. 2 i -
39^0 NEXT J39SO X5=D5*(A5-6)+E529óO RETURN3970 REM3980 REM #### SUBRUTINA DE CORRECION DE N»R ? Pl y TO 9 TI ? T2 .. ****-3990 REM4000 PRINT BJ QUE DATO DESEA CORREGIR ?ü
4010 PRINT "1~N 2-R 3-P1 4-kO 5-kl 6-R2 7-F,IN DE CORRECiüi-EB:'4020 PRINT B ESCOJA EL NUMERO :"«4030 INPUT T84040 GO TO T3 OF 4060?4090?4120?4150?4180*42iOy 42404050 GO TO 40004000 PRINT "JINGRESE VALOR CORRECTO DE N í B í4070 INPUT N4080 GO TO 40004090 PRINT "JINGRE3E VALOR CORRECTO DE R I 'í4100 INPUT R4110 GO TO 40004120 PRINT 'JINGRESE VALOR CORRECTO DE Pi 1 a ?4130 INPUT Pl4140 GO TO 40004150 PRINT BJINGRESE VALOR CORRECTO DE kO t " í4100 INPUT TO4170 GO TO 40004180 PRINT "JINGRESE VALOR CORRECTO DE kl ?'í-4190 INPUT TI4200 GO TO 40004210 PRINT "JINGRESE VALOR CORRECTO DE k2 í ü 54220 INPUT T24230 GO TO 40004240 RETURN4250 REH4260 REM X*** SUBRUTINA DE CORRECION DE LAS MATRICES A?B*C #***4270 REM4280 PRINT aJ QUE MATRIZ DESEA CORREGIR ?n
4290 PRINT B 1-A 2~B 3-C 4-FIN DE CORRECIONESn4300 PRINT " ESCOJA EL NUMERO t n ?4310 INPUT T84320 GO TO T8 OF 4340*4430*4490*45404330 GO TO 42804340 U5=l4350 PRINT "JFILA DEL ELEMENTO QUE QUIERE CORREGIR Í B ?4360 INPUT I4370 PRINT "COLUMNA DEL ELEMENTO QUE QUIERE CORREGIR t ü í4380 INPUT J4390 IF U5=2 OR U5-3 THEN 44504400 PRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO A C c í l ? u ? ' í J í u ) I L 54410 INPUT ACIjJ)4420 GO TO 42804430 U5=24440 60 TO 43504450 IF U5=3 THEN 45104460 PRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO B C B 5 1 í H y " J J? B ) í a í4470 INPUT B(IiJ)
4*,SO GQ TQ 42804490 L|T5~34'jOO GO TQ ¿ 'j'J4510 PRINT "IHGF.ESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO CC " r I ? p r * i J 5 ü / ; " >4L:20 IHFUT CClfJ)4530 GO TU 42BO4540 RETURN4'55O REh4560 REM #£** SUBRUTINA DE CÜfcF.ECION DE LAS MATRICES UrMrCO4570 REh4580 PRIHT ÜJ QUE MATRIZ DESEA CORK'EuIR ?c4590 IF pii^'SI* OR PíH=üSt THEN 48104600 PRINT n 1~U 2-rí 3-CO 4-FIN DE CORRECIONES"4610 PRINT " ESCOJA EL NÜMERDt « 5 ' •4620 INPUT T84030 GC) TO T8 OF 4050 ?4700 , 4750y 48004640 GO TO 45804650 PRINT "JFILA DEL ELEMENTO QUE QUIERE CORREGIR S 0 ?4660 INPUT I4-A70 PRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO U í " B S I Í B > t'í4680 INPUT UCI)4690 GO TO 45804700 PRINT "JFILA DEL ELEMENTO QUE QUIERE CORREGIR 2 E ?4710 INPUT I4720 PRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO MCÍIÍ8) i n í4730 INPUT MCI)4740 GQ TO 45804750 PRINT "JFILA Y COLUMNA DEL ELEMENTO QUE QUIERE CORREGIR i a 54760 INPUT I4770 PRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO C0<Di I ? ' 7 • í I J * ) J n ?4780 INPUT CO<I i-1)4790 GO TO 45804800 RETURN4810 PRINT H 1-M 2-CO 3-FIN DE CORRECIONES"4820 PRINT B ESCOJA EL NUMEROf?4830 INPUT T84840 GO TO T8 OF 4700?4750?48004850 GO Tu 45804860 REM4870 REM #*** SUBRUTINA PARA REALIZAR LOS GRÁFICOS PRELIMINARES4880 REM4890 REM ***# RECUPERACIÓN DE LOS ESTADOS #*#*4900 REM4910 W*="-'4920 DELETE G54930 DIM G5<L1)4940 FOR J=l TO N4950 OPEN "0BARBERIS/TESIS/REAL8$4*"R"íF*4960 FOR 1=1 TO Ll4970 READ *4íXrY4980 G5.CI>=X(J)4990 NEXT I5000 REM5010 REM ##*# SE CALCULAN LOS PARÁMETROS DEL WINDOW #***
l! U '
i A 2 O^0305040!5 O 5 O£06050700800902100511051205130514051505160517051805190520052105220
REMC t--i L L. B h A X i: rCALL "MI ¡v° r
• f
M7=M7-M6NÓ=ABS(M5) MAX ABSCM7) ' .IF N6=>1000 AND N6<10000 THEN 5190
N6»>10000 ANIi N6<100000 THEN 5250N6=>100000 AND Nó<1000000 THEN 5310N6=>1000000 ANH W6<10000000 THEN 5370N6=>10000000 THEN 5430
IFIFIFIF
GO TOREMREMREM
>440
NORMALIZACIÓN DE LA ESCALA VERTICAL DE SER NECESARIO *#*
G5=G5/100
524.05250l"i *3 A 0527052805290530053105320533053405350536053705380539054005410542054305440545054605470
GO TO 5440M7=M7/1000MÓ^MÓ/1000M5=M5/100065=65/1000A9=3GO TO 5440M7=M7/10000M6=Mó/10000M5-M5/10000G5=G5/10000A9=4GO TO 5440M7=M7/100000M6=M6/100000M5=M5/100000G5«G5/100000A9~5GO TO 5440A9=6GOSUB 0960REMREM ####REM
GRÁFICO
5480 HOME @32Í TO+(Ll-l)*T2/8.-M5-0*5490 5CALE 1?15500 PRINT "Modelo Resl sin Ruido"5510 GOSUB 69605520 MOVE G32ÍTOíG5(l)5530 FOR 1=1 TO Ll-15540 bRAW a32ÍTO+I#T2íG5(I-fl)5550 NEXT I
6960:t)00
56205630564056505660'5-6705680'069057005710572057305740575057605770578057905800583.058205830584058505860587058805890590059105920593059405950596059705980599060006010--020603060406050606060706080
ESCALA DELR E HREHHOVE 032*TOpH?IF Ll<=20 THEN 5700IF L10200 THEN 5680F8=ÍOOGO TO 5710F8=10GO TO .5710
n
FOR J4=l TO INT<CL1•1)#T2?M7
SCALE IrlRHRAW
RMOVE 032 I -LEN ( K* ) /2*X9PRINT S32ÍK$5GOSUB 6960MOUE G32ÍTO+F8*CJ4-l)*T2íM7IF F8=l THEN 5900FOR 1=1 TO F8-1 STEP FB/10IF TO-fF8*(J4«l)*T2+I#T2>TO+(Ll-l>*T2 THEN 5900DRAW @32íTO-fF8*(J4-l)#T2-fI*T2jM7SCALE 1>1RDRAW ©32ÍO?1GOSUB 6960MOVE e32íTO+F8#( J4-l)*T2-H#T2íM7NEXT INEXT J4GOSUB 6960REHREH ###*REHMOVE @32íTOíM7A6«(M5-M7)/M6+ÍFOR 1=1 TO A6DRAW e32:TQpM7+IF A9=6 THEN 6120SCALE IrlRURAW Ir OIF .APS*H7+<l-l)*Mó)->l«OE-3 THEN 6050Kí^STR(O)GO TO 6060
ESCALA HE LOS ESTADOS Y LAS SALIDAS
RHOMEFRIN1
2 : -1 » 3*LEM ( K$ :• #X9 ? Y9/2
APÉNDICE P ¿r.:
ó i 00611 06120613061406150ÓÍ60017061806190620002106220623002406250626062706280629063006310632063306340635003606370•63SO639064006410642064306440645064606470648064906500651065206530
65606b70658065906600661066206630
GÜSUB ó?60hOVE @32:TQyM7-KI-l )*fi6NEXT IIF A9=2 OR A9«3 OR n9=4 OR A9=5 THEN 6260IF A90Ó THEN 6360IF ABS(M5)=>ABS(M7> THEN 6210MQVE e32ÍTO,M7SCALE 1»!RMOVE @32:-LEN< "-INFINITO0 )/2#X9y-2#Y9PRINT B32Í "-INFINITO"Gü TO 6320MOVi£ @32:TO»M7-fINT(Aó-l)*MÓSCALE 1,1RMOVE @32 i -LEN(" INFINITO ")/2#X9 i 1*Y9PRINT @32t "INFINITO"GO TO 6320GOSUB 6960MOVE @32ÍTO»M7+INTÍA6-1)*MÓ
SCALE 1 ? 1RHÜVE @32 í - ( LEN ( M* ) -í-1 ) /PRINT @32:M*ÍA9GOSUB 6960REMREM >KX<^^ TÍTULOS Y LEYENDASREMIF W*<>"#" THEN 6390M*=" SALIDAS t FILA u
GO TO 6400M$=HESTADQS t FILA n
A9=LEN(H*>MOVE Q32ÍTp-fT2#(Ll-I)/2>M5SCALE 1,1RMOME @32i-A9/2#X9?3*Y9PRINT H$5JGOSUB 6960MQME G32ÍTO-fT2*(Ll-l>/2fM5SCALE lílRMOVE •A9/2#X9?2*1#Y9POR 11=1 TQ A9+1
NEXT IIGOSUB 6960MOVE 032 í TO+T2* C Ll-1 ) /2 , M7SCALE I»!M^=uEsc3ls de tiempo"RMOVE ©32 í -LEN ( M* ) /2*X9 » -3 , 5*Y9PRINT M*GOSUB 0960MOVE B32ÍTO»M7+CM5-M7)*5/9SCALE 1,1
RMOVE 032 ; -5#Y9 ? ~LEN ( M* ) /2#X9PRINT M$
APENL'ICÍ
6640065066606670068066906700071007200730674007500760677007806790680068106320683068406850686,06870688068906900691069206930694069506960697069806990700070107020703070407050706070707080709071007110712071307140715071607170
'GOSUB 6960REMREM #*** INSTRUCCIONES EN LA PANTALLA #**.#REMMOVE G32JTOíM5IF USO"*" OR JOP1 THEN 6730PRINT " GRÁFICOS COMPLETOS» PARA CONTINUAR PRESIONE RETINPÜT Y$GO TO 6920PRINT tt PARA GRAFIZAR OTRA FILA PRESIONE RETURNGG'ÍINPUT Y*PAGEIF U***'*" THEN 6930GLOSE 4NEXT JREMREM #### RECUPERACIÓN DE LAS SALIDASREM
BELETE G5BIM G5CL1)FOR J=l TO PlOPEN "@BARBERIS/TESIS/REAL"54*FOR 1=1 TO LlREAB *4ÍX>YG5CI)sY(J)NEXT IGO TO 5030PAGEGLOSE 4NEXT JRETURNREMREM #***REMWINDOU TO rTQ+(Ll-1)*T2,M7 ? M5VIEWPORT 2'RETURN
Ti" ?F*
SUBRUTINA DE WINDOtí Y VIEWPORT
REMREMREMREMPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINT
SUBRUTINA DE INSTRUCCIONES PARA LA PROGRAMACIÓN #***BE LAS FUNCIONES BE LAS MATRICES A?B Y C
'LPROGRAME LAS FUNCIONES BEL TIEMPO PARA TOBOS LOS"'ELEMENTOS BE LAS MATRICES A » B > C 9 CAMBIANDO LA VARIABLE"'!', POR Lu
'JPRQGRAME DESDE LA LINEA 7300°'JCUANIíÜ TERMINE LA PROGRAMACIÓN TECLEE í RUN 8000 (RETURN)LJSI SON NECESARIAS CORRECIONES UTILICE LAS TECLAS"'DEL EDITOR"'JEJEMPLO t "'J 7300 A(líl>= 2-fL"3 (RETURN) n
7310 A<1>2)= LM2 CRETURN)"
71 tíO~? _~ '~>J ' )7 2 0 0721072207230724072907990799080008010802080308040805080608070808080908100811081208130814081508160817081808490898089909000
PRINT * 7360 B
PK'TKiT " •. + + .»*
PRINT " 7390 CPRINT " RUN800PRINT "JINICIE SU PFPRINT 'LLEGAR HASTAREMIF Y9OO THEN 8000STOPRETURNREMREH #### SUBRUREM ##*# LAS FREMPRINT "LPROGRAME LAPRINT "DE LA MATRIZPRINT "JPRQGRAME BEPRINT "JCUANDO TERMPRI "JS1 SON NECE3AFPRINT "JEJEMPLO t"PRINT aJ . 8500PRINT a 8510PRINT B 4 * * * *PRINT a
PRINT' H 8550PRINT n RUN 90PRINT "JINICIE SU PPRINT "LLEGAR HASTAREMIF Y900 THEN 9000STOPRETURN
APÉNDICE "BB t-fiü* 21
2? 2)= 5-3*Lr2- ( RETURN > "B
n
Ií2)= 3 (RETURN)U(RETURN)"
OGRAMACION » DESDE LA LINEA 7300 Y PUEDE MÁXIMO"LA LINEA 7900"
INA DE INSTRUCCIONES PARA PROGRAMAR ' #***1NCIONE3 DE LA MATRIZ U ' • #***
: FUNCIONES DEL TIEMPO PARA LOS ELEMENTOS"U ? CAMBIANDO LA VARIABLE k POR L n
¡DE LA LINEA 8500 «ME LA PROGRAMACIÓN TECLEES RUN 9000 (RETURN) *:IAS CORRECIONES UTILICE LAS TECLAS DEL EDITOR'
UU)=L"2 (RETURN)11IC2)=L-1 (RETURN)U
n
11+ t + -*
K5)=L/2 (RETURN)"¡0 (RETURN)"¡OGRAMACION , DESDE LA LINEA 8500 Y PUEDE MÁXIMO"LA LINEA 8800"
-
APÉNDICE PAG, "J.2
700710720730740750760770780790800810820830840850860870880B90900910920930940950960970980990100010101020103010401050106010701080109011001110112011301140Í1501160
^ 1170^ USO
1200
X 1220^ 1230
REMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREM ####
eBARBERIS/TESIS/INGR2
QPTIMIZACION PARAMETR1CAINGRESO Y CORRECION DE DATOS,GENERACIÓN'DEL RUIDO?CÁLCULOSMODIFICACIÓN DE LA MATRIZ K?
MODIFICACIÓN DE LOS DATOS DELRUIDO
ETIQUETA DEL PROGRAMA
REMIF R5PAGEGO TOREMREMREMREMPRI B
=•2 THEN 900
1190
IMPRESIÓN DE LOS PROMEDIOSLOS ESTADOS Y LAS SALIDAS
DE
USING 920;"MATRIZ DEIMAGE/? 38A 7/> 38(•-")>/FOR 1=1 TQ PlIF ABS(Y3(!»=>1000 THEN 980PRINT USING 960ÍlíY3(I)IMAGE"Y"?FDGO TO 1000PRINT USINGIMAGE ü Y " rFD:NEXT IPRIPRINT USING 920t"MATRIZ DE
###LOS PROMEDIOS DE LAS SALIDAS8
" PROMEDIO ='
990tI?Y3CI)11 PROMEDIO ='
##H¡###LOS PROMEDIOS DE LOS ESTADOS"
FOR 1=1 TO NIF ABS<X3(I»=:>1000 THENPRINT USING 1070íIrX3CI)ÍMAGEnXn?FD?B PROMEDIO ='GO TO 1110PRINT USING 1100:iyX3(I)IMAGEUXB 7FII? B PROMEDIO ='NEXT IPRIREMREMREMREMPRINTPRINTPRINTPRINTPRINT
1090
»3X?4B*2D
*****
INGRESO DE LAS MATRICES DE COVARIANCIASDE LOS RUIDOS Y GENERACIÓN DE ESTOS
JINGRESE LOS DATOSCOMPARANDO CON LOSJINGRESE LA MATRIZDE EC1O í C2CP1?P1)
DE RUIDOS APROPIADOS1
PROMEDIOS11DE COVARIANCIAS11
FOR 1=1 TO Pl
APÉNDICE "£•
^ 1240V/ 12501260\1270Vi 280V 1290V1300V 1310VI 320V 1330V1340— 1350^1360- 1370^ 13801390
- 1400;--., 1410"-1420.1430-1440-1450-1460_1470-1480- 1490-1500-1510-1520^1530-1540-1550- 1560-1570.1580-1590,1600-1610- 1620-163016401650
x 16601670
V1680-1690-1700"- 1710V1720"" 1730- 1740, 1750v 1760\ 1770
PRINT • C 2 ( 1 » I Í " » " 5 1 í l i > = '5INPUT C2(IiI>NEXT IPRINT " JINGRESE LA MATRIZ DE COVARIANCIAS'PRINT "DE V(k) 5 CKNíN) (dissonsl) H
PRINTCl-0FQR 1=1 TO NPRINT "CIC'ÍIÍ'í'ÍIí ">= °*INPUT ClCIrl)NEXT IPRINT "JDESEA CORREGIR LAS MATRICES Cl Y C2 (SI 0 NO)? í a
INPUT X$IF X*=BNO" OR X$=nNL THEN. 1420GOSUB 4890REMREM *#*# . GENERACIÓN DEL RUIDO VÍIO y E CIÓ **#*REMIF R5O2 THEN 1440KILL ueBARBERIS/TESIS/RUIDOSnCRÉATE "G?BARBERIS/TESIS/RUIDOSU? (N+ Pl )#L1*9+ 1 * 0OPEN "GBARBERIS/TESIS/RUIDOS' ?3? "Fn ?E$E5~0FQR L=l TO Ll (/fA^t.*^,)FOR 1=1 TO ND5=SQRCC1(I» 1»GOSUB 4700V(I)=X5NEXT IWRITE *3;VFOR 1=1 TO PlD5«SQR(C2CI?D)GOSUB 4700ECI)=X5NEXT IWRITE #3¡ENEXT LGLOSE 3REMREM *#** DATOS DE LAS CONDICIONES INICIALES *REM #*## DEL MODELO #REMIF .R5O2 THEN 1680GO TO 2040PRINT "LEL ESTADO INICIAL DEL MODELO ES IGUAL AL VALORGG6
PRINT "ESPERADO DEL ESTADO INICIAL REAL (SI 0 NO)? i " íINPUT Q$IF Q$="NOn OR Q$=UNC THEN 1740Xl-MGO TO 2040DELETE M2yC3DIM M2(N) ?C3(N3N)PRINT ' JINGRESE LA MATRIZ DE VALOR ESPERADO DEL"PRINT "ESTADO INICIAL DEL MODELOÍ E(XlCkO)) 5 M2<N)n
####
APÉNDICE "B1 PAG
1780y.17901800
v 1810V1820^ 1830M840- 1850-1860- 1870-^1880N1890-1900^ 19101920
' 19301940
\0-1960X 1970V 1980
2000\2010V 2020A/2030"204020502060207020802090
. 210021102120
- 2130214021502160217021802190220022102220223022402250226022702280229023002310
PRINTFOR 1=1 TO N .PRINT B M 2< "ÍI5 ' )= n í -INPUT M2<I>NEXT IPRINT "JINGRESE LA MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO11PRINT "IhíICIAL Xl(kO) DEL MODELO? C3(N,N> (diagonal)"PRINTC3=0FOR 1=1 TO NPRINT °C3< " Í I Í " » "51? •) = "5INPUT CSC I, I)NEXT IPRINT "JDESEA CORREGIR LAS MATRICES M2 Y C3 (SI O NO)? t « 5-INPUT X$IF X*="NOB OR X$=eN" THEN 1950GOSUB 5090REMREM #*** GENERACIÓN DEL ESTADO INICIAL DEL MODELO MATEMÁTICO #**REMFOR 1=1 TO ND5=SQR(C3CI;I) )E5=M2CI>GOSUB 4700X1(I)=X5NEXT IOPEN "GBARBERIS/TESIS/REAL" i 4* " F n ? F$READ *4ÍXIF RSO2 THEN 2100OPEN neBARBER!S/TESIS/MQÜn Í5? uFtl , G^READ *5ÍX1GO TO 2130CRÉATE "GBARBERIS/TESIS/MOD11 ? í <N+2)#<N+P1 >#L1+N)*9+1 * OOPEN DeBARBERIS/TESIS/MODD Í5» "F" vB*URITE *5ÍX1IF H*="NO' OR H*=-"N" THEN 2200OPEN n{3BARBERIS/TESIS/ABCn 51? U R L , C*READ *1ÍA,B»CREMREM ****REM ##»REMDELETE 21DIM ZKN)
CALCULO DE LAS CONDICIONES INICIALES DELMODELO SIN LA MATRIZ K
****
Y1=C MPY ZlIF R502 THEN 2260K i L L L í3BARBERIS/TESIS /SINK n
CRÉATE -SBARBERIS/TESIS/SINK' 5 ( N* C N-f 1) + Pl ) # C L1 + 1 )OPEN U@BARBERIS/TESI3/SINKU ? 6 y " F ü 9 I*P3=COURITE í--6tZl?Yl,-P30*«'NO"N*="NO."
APENIUCE "Bu PAG, 25
232023302340235023602370238023902400241024202430244024502460247024802490250025102520253025402550
CALCULO CON LAS ENTRADAS HE RUIDO
256025702580259026002610262026302640265026602670268026902700271027202730274027502760277027802790280028102820283028402850
REMREM *#**REMP=COjp p$:=Kf40* OR p$="HB THEN 2380OPEN "BBARBERIS/TESIS/ENTRABAS'í 9 » " R " > J*IF Q$=BNQB OR Qís'N1 THEN 2400OPEN "@BARBERIS/TESIS/Km 57?"R"*D*OPEN n@BARBERIS/TESIS/RUIDOSB 53.BR°,E*POR L=l TO LlDELETE ZO?Z2?Z3íZ4?Z5?ZÓDIM ZO(NfPl)»Z6(NíN)iZ2CP1?N>rZ3CP1yPl)ÍZ4<N?P1)REMREM **#* CALCULO DE LA MATRIZ KCN?P1) í KC1OREMZO=TRN(C)Z6-A MPY PZ2=C MPY PIF N$=*SI" OR N*=BS"' THEN 2710Z3=Z2 MPY ZO
Z4=Z6 MPY ZOK-Z4 MPY Z3REMREM ##*#REMDELETE ZO»Z3yZ4yZ5DIM ZOCN?N)?Z3CH?NZO-TRN(A)Z3=Z6 MPY ZOZ3=Z3+C1Z4=K MPY Z2Z5-Z4 MPY ZO
CALCULO DE LA MATRIZ P(N?N) í P(K-fl)
GO TO 3000REMREMREMDELETE Z5xZ7DIM Z5(P1?P1)?Z7(NPZ3=Z2 MPY ZOZ3=Z3-fC2Z7«ZÓ MPY ZOZ5=INVCZ3)Z4=Z7 MPY Z5DELETE Z5yZ7DIM Z5(N?H) ?Z7CN.-N)Z7=TRN(A)Z5=Z6 MPY Z7
CALCULO DE LA MATRIZ P PARA EL MODELO BUBOF'TIMO
DELETE ZOyZ6rZ7DIM ZOCN?N)?ZÓ(FZO=TRN(A)
APÉNDICE "B"
2860• 28702830289029002910292029302940295029602970298029903000301030203030304030503060307030803090310031103120
- 31303140
: 31503160
. 31703180319032003210| 3220•1 32301 3240I 3250f 3260Í 3270| 3280
>
|: 3290Í 3300I 3310f 3320.1: 3330
¡1 334°¡I' 3350|. 3360¡1 3370,1 3380|: 3390
*'1
Z6=Z2 MPY ZO •DELETE Z2DIM Z2(N?N>Z2=Z4 MPY ZóZ2=Z5»Z2DELETE ZO?Z5?Z6BIM ZO(PlíN) >Z5(N»Pl)fZ6(N>Pl)IF 0*«"NO* OR 0*-"N* THEN 2950READ *7ÍKZ6=K-Z4Z5=Z6 MPY 23ZO=TRN(Z6)P=Z5 MPY ZOP=P+Z2TI r— i r"T*r~ ~r/v'~y~*i T T "7 f\T *T / T~¡J_'t.Lt.ÍLi ¿.U7¿.*¿.y¿-oy ¿*r ? ¿~\j y jLcí y L. /REMREM ##*# CALCULO BE LA MATRIZ YCPi) Í Y(k) ##*#REMREAB t3íV?EY=C MPY XY=Y+EREMREM #### CALCULO DE LA MATRIZ XCN) Í XCk-fl) ##**REMIF p$=nNOB OR P*="N" THEN 3120REAB #91 UBIM ZOÍN) vZ6CN)ZO=B MPY UZ6=A MPY XX=ZÓ+ZOX-X-fVDELETE ZO?Z6REMREM #**# CALCULO DE LA MATRIZ XI (N) r X(k-fl) *WíREMBIM Z6CN) »Z3(N) ?ZO(N)Z6=A MPY XIZ'0==B MPY UZ6=Z6-fZOY1=C MPY XIY2=:Y-Y1Z3=K MPY Y2X1=Z6+Z3DELETE ZO?Z3?ZÓREMREM *##*: CALCULO DE LA MATRIZ X2<N) 5 XCk-fl) #***REMX2=X-X1REMREM ##*# SE GUARDAN LOS RESULTADOS EN LOS ARCHIVOS CQRRESPQNDIEN»**REMIF NS^NG11 OR N$=DNn THEN 3400URITE :S:8ÍYl?Y2rK?Xlí X2 F PGO TO 3420
APÉNDICE "B PAÚ
3420343034403450346034703480349035003510352035303540355035603570358035903600361036203630364036503660367036803690370037103720373037403750376037703780379038003810382038303840385038603870388038903900391039203930
URITE *4tY.»X -
IF N$="SIn OR N$=BS" THEN 3680REMREM *### CALCULO DE LA MATRIZ P PARA EL MODELO SIN K *#*#REM iDIM Z4(NrN>>Z2CN?N>Z4=TRN(A)Z2=A MPY P3P3=Z2 MPY Z4P3=P3+C1REMREM **** CALCULO DE LA MATRIZ XI(N) SIN.K í ZlCN)REM ' -DIM ZGÍN)?Z6(N)ZO=A MPY ZlZ6=B MPY UZl-ZÓ+ZOREMREM ##**. CALCULO DE LA MATRIZ YKP1) SIN K ? Yl(k)REMIF H*="NO" OR H$="N* THEN 3640IF L=L1 THEN 3640READ *I:A?B>CYÍ=C MPY ZlI I l"f T *T I~" Jl. / + *T H \-f H r*i ~TWIAJ le. TróíJÍ_l*'Tlyr"o
DELETE ZO?Z6?Z2?Z4GO TO 3710IF H$=nN08 OR H$=nNB THEN 3710IF L=L1 THEN 3710READ *1ÍA»B>CNEXT LCLOSEREMREM ** <REM *#**REMÍF 0$=nNOQ OR 0$=RHa THEN 3790KILL "0BARBERIS/TESIS/K-IF N*="SI" OR N$='Sn THEN 4680PRINT "LDESEA VARIAR LA MATRIZ K ÓPTIMA PARA"PRINT "COMPARAR LOS RESULTADOS CSI O NQ5? ÍGGa?INPUT N$IF N*«"NO" OR N*="NV THEN 4680
PRINT "JLA NUEVA MATRIZ K DEPENDE DEL TIEMPO (SI O NO)?INPUT 0$IF 0*="NO" OR N*="N" THEN 3960IF R502 THEN 3900KILL B£BARBERIS/TESIS/KUCRÉATE »@BARBERIS/TESIS/K"ÍN*P1#L1*9+1?OOPEN "@BARBERIS/TESI3/Kn?7?"Fn;D$REMREM **** LISTADO DE LA MATRIZ K ÓPTIMA
OPCIÓN PARA HACER LOS CÁLCULOS CON OTRAMATRIZ K DIFERENTE A LA ÓPTIMA
APÉNDICE "E*1 t-'AG. 2B
3940395039603970398039904000401040204030404040504060407040804090410041104120413041404150416041704180419042004210422042304240425042604270428042904300431043204330434043504360437043SO4390.44004410442044304440445044604470
REM #*** E INGRE-SO DE K SUBOPREMOPEN "eBARBERIS/TESIS/MOIiuí5»»RB yREAD *5:Xl?Ylí.Y2>KIF 0*«BNO" OR Q$=BNB THEN 4230PRINT BL K ÓPTIMAPRINTPRINT USING 4020JTOIMAGE/í Qk= B r4D*4D?/íl2C "-")»/FOR 1=1 TO NFOR J=l TO PlPRINT USING 4060Í "Kí " ?I? B * " SJí n)=:IMAGE2A?FD? 1A? FB* 3Ar 4D » 4D> 15X? SINPUT KCIyJ)NEXT JNEXT IUIRITE *7ÍKIF L*«B#" THEN 4190 , - •- : -K2=TG+T2FOR L=2 TO LlREAD *5ÍX1 ?X2?P? Y1?Y2?KL$~ B * n
PRINT USING 4020 5K2K2=K2+T2GO TO 4030NEXT LGLOSE 7GLOSE 5GO TO 4500PRINT "LK ÓPTIMA0PRINT USING 4020ÍTOFQR 1=1 TQ NFOR J=l TO PlPRINT USING 42SOtKCI?J)IMAGE4D * 4D y 5X y SNEXT JPRINTNEXT IIF L$=n#n THEN 4400K2=T<HT2FOR L=2 TO LlL^=B*ttPRINT USING 4Q2QÍK2K2-K2ÍT2READ *5* XI y X2 ? P ? Yl ;• Y2? KGQ TO 4250NEXT LGLOSE 5PRINT "JINGRESE MATRIZ' K DESEADA"PRINTFQR 1=1 TO NFOR J-l TO PlPi I"i T 1 IT* B L ' " / H * ' r - t B 11 * I J n * n »K I Ni I x C r l ? ? , - J ? ; = : ?
INPUT KCI7Ü)
G$
K DESEADA"
B ? K Í I > J >
APÉNDICE PAG, r^V
44804490450045104520453045404550456045704580459046004010462046304640465046604670468046904700471047204730474047504760477047804790480048104820483048404850436048704880489049004910492049304940495049604970.4980499050005010
NEXT J -NEXT IIF R5O2 THEN 4520KILL "GBARBERIS/TESIS/MQIiKl*CRÉATE BG?BARBERIS/TESIS/MQEiKÍB 5 ( CN+2) #<N+Pl )*L1 + N) #9+1 ? OOPEN '@BARBERIS/TESIS/MODKl"58í"F"?B$OPEN "0BARBERIS/TESIS/MOD1í5i"R"»B*READ *5ÍX1CLOSE 5WRITE *8tXlOPEN "SBARBERIS/TESIS/REAL"?4>"R"?F$READ *4íXGLOSE 4IF H$=nNOu OR H*="N" THEN 4640 • ' 'OPEN nGBARBERIS/TESIS/ABCD 517"R"*C*READ íliAíBfCGQ TO 2330REMREM ##» BORRADO HE VARIABLES UTILIZABAS ####REMBELETE X3>Y3?L*íU5>T8»K2GO TO 310REMREM #### SUBRUTINA BE GENERACIÓN DEL ESTADO INICIAL Y LOS RUIDOS #*REM fc
TESISÍ SIMULACIÓN ESTADÍSTICA 1983. AUTOR: LUIS ALBERTO RODRÍGUEZ ARROBA
REMREMREMREMREMREMREMREMREMREM
SUBRUTINA P4DISTRIBUCIÓN NORMAL- 'MÉTODO DEL LIMITE CENTRAL
D5= DESVIACIÓN STANDAR!E5= VALOR ESPERADOX5= VARIABLE ALEATORIA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
SUBRUTINA DE CORRECCIÓN DE LAS MATRICES C1?C2
FOR J=l TU 12A5=A5-fRNDC-l)NEXT JX5^Ü5#CA5~6H-E5RETURNREMREM ##&#REMPRINT nJPRINT •PRINT B
INPUT T8GO TO T8 OF 498G55030?5080GQ TO 4920PRINT "JFILA Y COLUMNA DEL ELEMENTO QUE QUIERE CORREGIR i"INPUT IPRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO ClC"p17°, n 51 ; B )INPUT C1CI?I>
##**
1-C1QUE MATRIZ DESEA CORREGIR ?ü
2-C2 3-FIN DE CORRECCIONES"ESCOJA NUMERO i " í
APÉNDICE "B" PAG* 30
QUE MATRIZ DESEA CORREGIR ? a
2-C3 3-FIN DE CORRECIONES"ESCOJA NUMERO : H Í
5020 GO TO 4920'5030 PRINT "JFILA Y COLUMNA DEL ELEMENTO QUE QUIERE CORREGIR S D ?5040 INPUT 15050 PRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO C2 ( • i 1 5 • » • i 1 í • ) J • í5060 INPUT C2(I?I)5070 GO TO 49205080 RETURN5090 REM5100 REM #### SUBRUTINA DE CORRECION DE LAS MATRICES M2 Y C35110 REM5120 PRINT BJ5130 PRINT " - 1-M25140 PRINT " '5150 INPUT T8 ' -5160 GO TO TS OF 5180* 5230 , 52805170 GO TO 51205180 PRINT "JFILA DEL ELEMENTO QUE DESEA CORREGIR ;"í5190 INPUT I5200 PRINT 'INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO M2CaÍI?!!) t a 55210 INPUT MCI)5220 GO TO 51205230 PRINT "JFILA Y COLUMNA DEL ELEMENTO QUE DESEA CORREGIR Í D ?5240 INPUT I5250 PRINT "INGRESE VALOR CORRECTO DEL ELEMENTO C3( B í I í n , n í I í n )5260 INPUT C3<I?I)5270 GO TO 51205280 RETURN
**
APÉNDICE "B1 F-AÜ4
7007107207307407507óO7707807908008108203308408508608708808909009109209309409509609709SO990100010101020103010401050106010701080109011001110112011301140115011601170118011901200121012201230
REMREM #*#>REMREM *******REM *******
REM *******REMREM
SBARBERIS/TESIS/GRAFICOS
OPTIMIZACIQN PARAMETRICAGRAFIZACION DE LOS ESTADOS Y LASSALIDAS?GRÁFICOS COLECTIVOS E
INDIVIDUALES
*****
*******
*******
ETIQUETA DEL PROGRAMA *******
REMREMREMPRINTPRINTPRINTINPUTKILLKILLPAGEIF X$
3U
**** IHRECCIONAMIENTQ DEL PERIFÉRICO DE SALIDA **#*
l-PANTALLA*¿-PAPEL"ESCOJA NUMERO
"JJJ"J"JJX*"GBARBERIS/TESIS/GRAFX111 GBARBERIS/TESIS/GRAFYB
= Q 1 B THEN 960IF X*<>"2" THEN 310
EL GRAFIZADOR CRETURN)
INICIALI2ACION DE VARIABLES A USARSE
****
PRINT BJJJALISTEINPUT Y$GO TO 1000W=32REMREM *#**REMDELETE POvJ4?T8?F8?A9?Nó*ASREMREM **** RECUPERACIÓN DE LOS ESTADOSREMCRÉATE "eBARBERIS/TESIS/GRAFX" ?4*N*L1*94-1 ? OCRÉATE B@BARBERIS/TESIS/GRAFY"?4#Pl*Ll*9+lyOOPEN • GBARBERIS/TESIS/GRAFX-" 51 r " F " ? C$O'PEN " GBARBERIS/TESIS/GRAFY'? 2» "F" ?E$OPEN n
READ *WRITEWRITEFOR 1 =READ *WRITEWRITENEXT IGLOSEOPEN B(3BARBERIS/TESIS/REALB;4? "R"FOR IREADWRITEWRITENEXT
****
*i;xi*2?Y12 TO Ll5{XlíX2*1ÍX1*2tYl
(3BARBERIS/TESIS/REAL1 TO Ll4tX?Y*ltX*2tY ' *
A P É N D I C E " B 1
12401250126012701280129013001310132013301340135013601370138013901400141014201430144014501460147014801490150015101520153015401550150015701580159016001610162016301640165016601670168016901700•1710172017301740175017601770
GLOSE 4UPEN Be3ARBERIS/TESI5/SINK" r 6 y " R " »I«S-FOR 1=1 TO LlREAD *6tZl7Yl*P3WR1TE *i:ZlWRITE *2;Y1NEXT 1GLOSE 6IF Ní>="NOn OR N*=BN" THEN 1430OREN u 6BARBERIS/TESIS/MQDK1 " í 8 » " R " » B*READ *B:XlyYl»Y2>KWRITE tlí XIWRITE £2ÍY1FOR 1=2 TO LlREAD *8ÍXl»X2íP»Yl*Y2íl<WRITE *ltXlWRITE *2tYlNEXT 1GLOSE 8GLOSE iGLOSE 2W$=B-D
IiELETE G5?GÓ?G7PH6DIM G5(L1)?G6CL1) ?G7 (Ll) ?H6(L1 )FOR J=l TO NOREN "@BARBERIS/TESIS/GRAFXC 51» "R» »C*FOR 1=1 TO LlREAD 41=1 í XIB5CI)«X1(J)NEXT IFOR 1=1 TO LlREAD *1ÍXG6(I)=X(J)NEXT IFOR 1=1 TO LlREAD #1521G7U-)=Z1(J)NEXT IIF N$="NOn OR N^s-N" THEN 1700FOR 1=1 TQ LlREAD #1ÍX1H6CI)=X1CJ)NEXT IREMREM ##** SE CALCULAN LOS PARÁMETROSREMT8 = 0A9=0CALL nMAX n ?es?M5?POCALL "MAX" íG6yM4rPOCALL "MAX0 ?G7?M3?POIF N$=CNQ" OR N*="N" THEN 1770CALL 'MAXB 7H6»N5?POH5=M5 MAX M4
BEL W I N D O W***#
APÉNDICE * B a PAG
17801790180018101820183018401B501860187018801890190019101920193019401950
. .1960197019801990200.0201020202030204020502060
. 2070208020902100211021202130214021502160217021802190220022102220223022402250226022702280229023002310
M5=M5 MAX M3IF N*=BHÜn GR N*="N» THEN 1810M5=M5 MAX N5CALL "MIN" ,G5rM7?POCALL "MIN" rG6»M8»POCALL "MIN" ,G7»M9>PQIF N*="NO' OR N$=aN" THEN 1860CALL "MIN" ?H6íN9?POM7=M7 MIN H8M7=M7 MIN M9XF N$='NOB OR Nt^'N" THEN 1900M7-M7 MIN N9M6=ABSC(M5-M7)/10)M5=M5-fMó .M7=M7"MóN6=ABS(M7> MAX ABSCM5)IF N6=>1000 ANB Nó<10000 THEN 2030IF N6=>10000 AND Nó<100000 THEN 2130IF N6=.--100000 AND N6<1000000 THEN 2230IF N6=>1000000 AND N6<10000000 THEN 2330IF N6=>10000000 THEN 2430GO TO 2440REMREM ##*# NORMALIZACIÓN DE LA ESCALA VERTICALREMH7=M7/100M6=M6/100M5=M5/100G5=G5/100G6=GÓ/100G7=G7/100A9=2IF N*="NO" OR N*="N" THEN 2120H6=H'Ó/100GO TO 2440M7=M7/1000 .M6-M6/1000M5=M5/1000G5=G5/1000GÓ=G6/1000G7=G7/1000A9=3IF N*=BNO" OR N*«BN" THEN 2220H6=H6/1000GO TQ 2440M7=M7/10000M6=M6/10000M5=M5/10000G5=G5/10000 'GÓ=GÓ/10000G7=G7/10000A9=4IF N$=nNOB OR N*='N' THEN 2320H6=H6/10000
DE 8ER NECESARIO
Ar'ENI'IÜE B B PA&* 34
232023302340235023602370238023902400'2410242024302440245024602470248024902500251025203025
252550256025702580259026002610262026302640265026602670-26802690270027102720273¿>2740275027602770278027902800.2810.2820283028402850
GÜ TU 2440M7=M7/100000M6=M6/100000M5=M5/100QOGG5=G5/1GOOOQGÓ=G6/100000G7=G7/100000
IF N$='NO" OR N$=DNn THEN 2440H6=HÓ/100000GO TO 2440A9=6GOSUB 5330REMREM ****' GRÁFICO BEL SISTEMA REALREMIF X$="1H THEN 2510PRINT "JCOLQQUE PUNTA ROJA CRETURN)*INPUT Y*MOVE GWÍTO-f <Ll-l)#T2/8rM5-0« 15#ABS(M5-M7>SCALE lílPRINT @UÍ "Real"
****
40 GOSUB 530•jucniíp" ra i i t ~r /% r* i t -í \. I s w J l U y b o í l )
FOR 1=1 TO Ll-1DRAW @W*TO+I*T2?G6NEXT IIF T8-0 THEN 2610GO TO 2930GOSUB 5330REMREM *##* GRÁFICOS BEL MODELO 8IN LA MATRIZ KREM-IF X$=K1Q THEN 2680PRINT "COLOQUE PUNTA VERDE CRETURN)°INPUT Y$MQVE-eUíTO+£Ll-l>*T2/8íM5-0*2*ABB(M5-M7)S'CALE lílPRINT GWÍ"Sin K'GOSUB 0MOVE @WíTOyG7(l)FOR 1=1 TO Ll-1DRAW eWJTO+I*T27G7CI+l)NEXT IIF T8=0 THEN 2780GO TO 2930GOSUB 5330REMREM ###* GRÁFICOS DEL MODELO CON LA MATRIZ K ÓPTIMAREMIF X*="1B THEN 2850PRINT "COLOQUE PUNTA AZUL (RETURN)"INPUT Y*MOVE GUí TO+C Ll-1)*T2/8? M5-G « 25*ABS(M5-M7)
****
APÉNDICE "B PAG*
28602870288028902900291029202930294029502960297029802990300030103020303030403050306030703080309031003110312031303140315031603170318031903200
322032303240325032603270328032903300331033203330334033503360337033803390
SCALE 1,1PRINT ewt"Modelo óptimo"GOSUB 5330MOVE eWíTO?G5(l)FOR 1=1 TO Ll-1
NEXT IGOSUB 5330REMREM *### GRÁFICOS DEL MODELO CON UNA MATRIZ K SUBOPTIMA #**#REMIF X*=nl" THEN 3000PRINT "COLOQUE PUNTA NEGRA ÍRETURN)"INPUT Y$ ' •IF T8=0 OR T8=4 THEN 3020GO TO 3110IF N$="NOB OR N*="N" THEN 3110MOVE eUÍTO+<LÍ-l)*T2/8>M5-0«3*ABS<M5-M7>SCALE IrlPRINT ewt "Modelo subdptinio"GOSUB 5330MOVE tÜWÍ TO?Hó(1)FOR 1=1 TO Ll-1
NEXT IGOSUB 5330REMREM **** TAMAÑO DE LAS LETRAS Y NÚMEROS SEGÚN EL PERIFÉRICO *#**REMIF X$="l" THEN 3190X9-0,8*1,792
ESCALA DEL TIEMPO
GO TO 3210X9=sO «8*2.328Y9=0*8*3*072GOSUB 5330REMREM **##REMMOVE £5UíTO?M7IF L1O20 THEN 3320IF L1O200 THEN 3300F8=100GO TQ 3330F8«10GÜ TO 3330F8=lFOR J4=l TQ INT<(L1-1)/F84-1)IiRAW GWÍTO+F8*CJ4-1)*T27H7SCALE 1,1RDRAW @U$OylK$=STR(TO+F8*(J4-1)*T2)
LEN C K$ > /2*X9 , -1 * 5*Y9
****
RMOVE
APÉNDICE BB" PAG* 36
340034103420343034403450346034703480349035003510352035303540355035603570358035903600361036203630364036503660V567036803690370037103720373037403750376037703780'379038003810382038303840385038607387038803890 .39003910-39203930
PRINT ew:K$?GQSUB 5330MQVE @WÍTO+F8*<J4-i>*T2»M7IF F8=l THEN 3520FOR 1=1 TO FB-1 STEP F8/10IF TO+FB*CJ4-1)*T2+I#T2>TO+<L1BRAU eWSCALE IT 1RBRAW eut0GQSUB 5330
•1)*T2 THEN 3520
MOVE BW:TO+F8#(J4-NEXT INEXT J4GOSUB 5330REMREM ##*#REMMOME GUÍTOTM7
l)#T2+I*T2íM7
ESCALAS BE LOS ESTABOS Y LAS SALIDAS
FOR 1=1 TO A6BRAW SWiTOyM7+(I-l)*M6IF A9-6 THEN 3740SCALE 1*1 •RBRAW @Wíl?0IF ABSCM7-KI-l>#Mó)=>l*OE-3 THEN 3670
1)#MÓ5GO TO 3680K*=STRCM7+C1
<K*)*X9>Y9/2RMOVE ewí~xRMOVE ewt~iPRINT @WÍK$GOSUB 5330MOVE GWÍTOíM7+CI-l)*M6NEXT I • 'IF A9=2 OR A9«3 OR A9=4IF A9O6 THEN 3980IF ABS(M5)=>ABSCM7) THEN
OR THEN 3880
3830
)/2*X9?-2#Y9SCALE 1>1RMOME SWt-LEN("-INFINITO1
PRINT @UÍ"-INFINITO"GO TO 3940MQVE QWíTOíM7+INT(A6-l)#M6SCALE IvlRMOME SU i-LEN("INFINITO")/2*X9»l*Y9PRINT SWíCINFINIT08
GO TO 3940GOSUB 5330
SCALE 1,1RMOVE GWt-CLENCM*)+l)/2*X9íl#Y9PRINT GWSM*ÍA9
APÉNDICE "B1 PAG. 37
39403950396039703980399040004010402040304040405040604070408040904100411041204130414041504160417041804190420042104220423042404250426042704280429043004310432043304340435043604370438043904400441044204430.4440445044604470
TÍTULOS Y LEYENDAS
THEN 4010FILA *
FILA n
-1)#T2/2*M5
l)*T2/2,M5
rM7
GOSUB 5330REMREM ##*#REMIF USO11*11M*="SALIDASGO TO 4020M$="ESTADOSA8=LEN(M$)MOVE 0WÍTO-HL1-SCALE 1?1RMOVE eu:-A3/2#X9?3*Y9PRINT @W:M$»JGOSUB 5330MOVE 0WÍTO-KL1-SCALE 1?1RMOVE SWtFOR 11 = 1 TO AS-flPRINT @UJÍ " = " 5NEXT IIGQSUB 5330MQVE @W:TO-f<LÍ-1)#T2/;SCALE 1?1M$=pEscala de tiempo"RMOVE @ Ut-LEN(M$)/2*X9,-3 * 5*Y9PRINT @WJM$GOSUB 5330MOVE GWíTO,H7+<M5-M7)#5/9SCALE 1,1
RMOVEIF W=PRINTGO TOPRINTPRINTPRINTREMREMREMIF X*IF T8PRINTGO TOPRINTINPUTIF Y*PRINTPRINTPRINTPRINTIF N*PRINTPRINT
##**##*
@W i-5#Y9,-LENC M$)/2*X91 THEN 4280
4340m?25!90
INSTRUCCIONES EN LA PANTALLA ####
= B l n THEN 4680=0 THEN 4380
DESEA OTRO GRÁFICO INDIVIDUAL <SI O NO)? ÍGG"?4390
DESEA GRÁFICOS INDIVIDUALES (SI O NO)? tGG n ?Y*
= BNO n OR Y$=aNn THEN 4620GRÁFICOS INDIVIDUALES"1- SISTEMA' REAL8
2- MODELO SIN K"3- MODELO ÓPTIMO"
OR N*=nN" THEN 44704- MODELO SUBOPTIMQ"5- FIN HE GRÁFICOS INDIVIDUALES11
CL°JJ." J' J
= HNO" JSJ
APÉNDICE: •B*
44BO PRINT "JJ ESCOJA, NUMERO ; • 54490 INPUT T84500 IF X$='1D THEN 47104510 IF N$0"NOB AND N*ORN" THEN 45404520 IF T8O1 AND T8O2 AND TBO3 THEN 46004530 GO TO 45504540 IF T801 AND T8O2 AND T8O3 AND T8O4 THEN4550 PRINT "LCAMBIE HOJA DEL GRAFIZADQR (RETURN)4560 INPUT Y$4570 IF N*«"NO" OR N$="NB THEN 46004580 GO TO T8 OF 2440 r2610 y 2780?2930f 46204590 GO TO 44104600 GO TO T8 OF 2440*2610 2780, 4410? 46204610 GO TO 44ÍO4620 IF X*="l" THEN 47704630 IF W*^*" AND J=Pi THEN 5120
4580GGn
4640 PRINT -LCAMBIE HOJA DEL GRAFIZADOR ( RETURN) GG"4650 INPUT Y*4660 IF W*=ft*" THEN 51304670 GO Tu 48404680 GOSUB 53304690 MQUE @32ÍTOrM54700 GO TO 43504710 PAGE-•4720 IF N*="NQ" OR N$~BNn THEN 47504730 GO TO' T8 OF 2440*2610 ? 2780 ?2930 , 4770 .4740 GO TO 44104750 GO TQ T8 OF 2440 , 2610 ?27BQ y 4410 , 47704760 GO TO 44104770 PAGE4780 IF W$<>"*" OR JOPi THEN 4B204790 PRINT "GRÁFICOS COMPLETOS , PARA CONTINUAR PRESIONE4800 INPUT Y$4810 60 TO 51204820 PAGE4830 IF W*=*"*a THEN 51304840 CL08E 14850 HHXT J4860 REM4870 REM #*## RECUPERACIÓN DE LAS SALIDAS4880 REM4890 W*=B*B
4900 DELETE G5?G6?G7?H64910 DIM G5(L1)?G6(LI) ?G7(L1) ?H6CL1)4920 FQR J=i TO Pl4930 OPEN "@BARBERIS/TESIS/GRAFYB}2» °Rn?Eíl>4940 FOR 1=1 TO Ll4950 READ *2tYl4960 G5(I)=Y1-CJ)4970 NEXT I4980 FOR 1=1 TO Ll /
4990 READ *2SY .5000 G6(I)=Y(J)5010 NEXT I
###*
RETURNGG"
APÉNDICE " B B PAG, 39
50205030504050505060507050805090510051105120513051405150516051705180.51905200521052205230524-0
527052805290530053105320533053405350536053705380539054005410
FOR 1=1 Tu LiREAD *2:Y1G7<I)=YKJ>NEXT IIF Nfc^ 'NO" OR N*= 'N B THEN 5110FOR 1 = 1 TQ LlREAD *2ÍY1HÓCI )=Y1CJ>NEXT IGO TO 1700PAGEGLOSE 2NEXT JIF X*=*2" THEN 53<
GRAFIZACION EN PAPEL ###*
300REMREM ####REMPRINT "JDESEA GRAFIZAR EN PAPEL (SI O NO)?INPUT Y$IF Y*=BNQn OR Y*="NB THEN 5300
PRINT "JALISTE EL GRAFIZADOR (RETURN;nINPUT Y*X&— U2 n
GO TO 1450REMREM #*## BORRADO DE VARIABLESREMDELETE G5 ? G6 r 67 ? H6 r MO , M3 r M4 ,- M5 y Mó y M7 y T8 » N6 9 A9 > F8DELETE M8 > M9 7 N9 ? PO r W$ ; M* > K* t X9 r Y9 » A6 » N5 y ASGO TO 390REMREM #*#'# SUBRUTINA DE W1NDOU Y VIEWPORTREMUINDOW TO»TO+(Ll-l)*T2fM7»M5IF W=l THEN 5400VIEWPORT 20» 120 y 20 y 90RÉTURNVIEWPORT 15yl40?15?90RÉTURN
APÉNDICE "B" PAG* 40
700710720730740750760770780790800810820830840850860870880890900910920930940950960970980990100010101020103010401050106010701080109011001110112011301140115011601170118011901200121012201230
*****
REMREMREMREMREM *******REMREM ****T$=B4"REMREM ****REMF'RINT "JJJPRINT "JPRINT "JINPUT X*
e&ARBERIS/TESIS/IMPRESIQN *****
OPTIMIZACION PARAMETRICA *******IMPRESIÓN DE DATOS Y RESULTADOS *******
ETIQUETA DEL PROGRAMA **#*
DIRECCIONAMIENTQ DEL PERIFÉRICO DE SALIDA
1 - PANTALLA a
2 - PAPELESCOJA NUMERO;H $
****
IF X$=B1° THEN 1000 . .IF x*<xa"2' THE'N 390 . , . - . . . - . . . . .U=51 .PRINT "JALISTE LA IMPRESORA (RETURN) í " 5INPUT X*REMREM **** TÍTULOS ****REMPRINT GWr'LESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL"PRINT *@WÍ"JFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA"PRINT @WínJTESISÍ CONTROL ESTOCASTICO DISCRETOPRINT GWí "JOPTIMIZACION PARAMETRICA11
GO TO 1050
MARZO 1984'
IMPRESIÓN DE LOS DATOSREMREM ##*#REMPRINT @W5"L"PRINT mi USING 10ÓQ}"BATOS"
****
PRINT @Wt USING 10801"CONDICIÓN INICIAL DEL TIEMPO; U?TOIMAGE/?30A?4ru4DPRINT OWS USING 11001nCONDICIÓN FINAL DEL TIEMPO? n ?TlIMAGE/v 28A,2X,4D «4DPRINT @WÍ USING 1120í"INTERVALO DE DISCRETIZACIONI nyT2IMAGE/í29A y IX?4D*4HIF H*«"NO" OR H$=QNU -THEN 1210OPEN "SBARBERIS/TESIS/ABC11 í 1? "R" ?C$K2=TOFQR Kl=l TQ LlREAD *1JA?B»CPRINT SWÍ USING 1190ÍK2
K2=K2+T2PRINT 0UÍ USING .Í220Í"MATRIZ A(N?N>"IMAGE/yl3A»/?13C "-" )'FOR 1=1 TO N
APÉNDICE "B" PAG,
1240 FOR J=l TO N1250 IF ABSCA(I»J»=>1000 THEN 12901260 PRINT eW3 USING 1270ÍACIPJ)1270 IMAGE3Xí4D,2D*5X»S1280 GO TO 1310 .1290 PRINT GWÍ USING 1300íA(I?J)1300 IMAGE2E?3XyS1310 NEXT J1320 PRINT (?Wí1330 NEXT I1340 PRINT @Uj; USING 1220í"MATRIZ BCN»R)"1350 FOR 1=1 TO N1360 FOR J=l TO R1370 IF ABS(B(IjJ>)=>1000 THEN 14001380 PRINT GWÍ USING 1270íBCI?J)1390 GO TO 14101400 PRINT (»Uí USING 13QQ1B(I»J)1410 NEXT J1420 PRINT GWÍ1430 NEXT I1440 PRINT GWÍ USING 1450t"MATRIZ CCPlíN)"1450 IMAGE/rl4A»/rl4(" -B >1460 FQR 1=1 TO Pl1470 FOR J=l TO N:U4BO IF ABSCC(I»J))=>1000 THEN 15101490 PRINT eWI USING Í27C;C(I?J)1500 GO TO 15201510 PRINT @U: USING 1300!CCI?J)1520 NEXT J1530 PRINT ew:1540 NEXT I1550 IF H*="NO" OR H$=BNn THEN 15801560 NEXT Kl1570 GLOSE 11530 PRINT @UÍ USING 1590Í"MATRIZ HE ENTRADAS rU(R)1590 IMAGE/^SAí/^S.t1-").1600 .IF'P*=»MO" OR P*«"N" THEN 16701610 OPEN B@BARBERIS/TESIS/ENTRADASaí9!'nRD5 J$1620 K2=TO1630 FOR Kl=l TO Ll1640 REAH *9JU1650 PRINT @WÍ USING 1190 í i<21660 K2=K2+T21670 FOR 1=1 TO R16BO IF ABS<UCI))=>1000 THEN 17201690 PRINT GWÍ USING 1700ÍUCI)1700 IMAGE3Xí4D*2H1710 GO TO 1740.1720 PRINT SUt USING 1730tU(I)1730.IMAGE2E1740 NEXT I1750 .IF P*=«NOm OR P*«"N* THEN 17801760 NEXT Kl1770 CLOSE 9
APÉNDICE "B PAG. 4:
178017901800181018201830184018501800187018801890190019101920193019401950196019701980199020002010202020302040205020602070'208020902100211021202130214021502160217021802190220022102220223022402250226022702280229023002310
L ' MATRIZ DE VALOR ESPERADO DEL ESTADO INICIAL REAL í M Í N > "PRINT ew: USING ISOOÍLfc
FOR 1=1 TO NPRINT @Ut USING 1700IMCI)NEXT IL*=»MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL REAL J COCNyN)"PRINT §WÍ USING 1860iL$-
FOR 1=1 TO NFOR J=l TO NPRINT @U: USING 1900:CO(l7J)IMAGE3X?3ru4D»5XySNEXT JPRINT @WÍNEXT IIF Q$-nSIn OR Q$=BSB THEN 2100L*="MATRIZ DE VALOR ESPERADO DEL ESTADO INICIAL DEL MODELO0
PRINT GWÍ USING 1970ÍL*
FOR 1=1 TO NPRINT @Wí USING 1700ÍM2CI)NEXT IL*="MATRIZ DE COVARIANCIAS DEL ESTADO INICIAL DEL MODELO"PRINT @Uí US-ING 2030 iL*IMAGEyJ52A7/T52<n-11)FOR 1=1 TO NFOR J=l TO NPRINT @W5 USING 1900ÍC3(I?J)NEXT JPRINT @UíNEXT IPRINT GUÍ USING 2110Í"DATOS DE LAS SEÑALES DE RUIDO»IMAGE/929A ?/,29 C n-B)?/PRINT @Ut USING 2130Í"MATRIZ DE COVARIANCIAS DE VC1O Í.ClCNjN)"IMAGE/?40Ay/?40(n-'),/FOR 1=1 TO NF'OR J=i TO NPRINT 0WJ USING 1900tCl(I?J)NEXT JPRINT OUÍNEXT IPRINT Í?WÍ USING 2210: "MATRIZ ..DE .COVARIANCIAS DE E(1O y. C2CP1»P1)IMAGE/y42Aí/T42(B~B)FOR 1=1 TO PlFOR J=l TO PlPRINT @Ut USING 1900;C2(I*J)NEXT JPRINT SUÍ . . •NEXT IMO=N MIN PlM1=N MAX PlREMREM ** * - IMPRESIÓN DEL RUIDO GENERADO
APÉNDICE "B! PAG* 43
232023302340235023602370238023902400241024202430244024502460247024802490250025102520253025402550•256025702580259026002610262026302640265026602670268026902700271027202730274027502760277027SO27902800281028202S302S402850
REMPRINT USINB 23405"SEÑALES DE RUIDO1
PRINT @WÍ USING 2360Í"RUIDO V"y«RUIDO EIMAGE/?7A>20X?7A?/,7< B~n ) t 20X,-7 C B- " )QPEN "8BARBERIS/TESIS/RUIBÜS" í 3 ?"R" »E*K2=TOFOR L=l TO LlREAD «ÍV*EPRINT @WÍ USING 1190ÍK2K2=K2+T2FOR 1=1 TQ MOPRINT @UÍ USING 2450ÍIjVCI)?I?E(I)IMAGE'V ?FDr " = ">3B*4Drl4Xí"E"yFB»NEXT IIF N=P1 THEN 2580IF.N>P1 THEN 2540FOR I=MO+1 TO MIPRINT @WÍ USING 2510tI?ECI)IMAGE27X*BEB?FD?• = ",3B*4BNEXT IGO TO 2580FOR I=MO+1 TO MIPRINT 8W: USING 2560:i?M(I)IMAGEN" íFDí u = B?3D,4DNEXT INEXT LGLOSE 3REMREM &£$$REMPRINT 0UJÍ USING 2640 í "RESULTADOS"
j3B*4D
IMPRESIÓN DE LOS RESULTADOS
OPEN K@BARBERIS/TESIS/MODB?5?"R•,G*OPEN "SBARBERIS/TESIS/REAL"J47"R"*F*QPEN "SBARBERIS/TESIS/SINK11 ?6? "R" yl$IF N*=BNO* OR Ní^'N" THEN 2700OPEN "eBARBERIS/TESIS/MQBKi'ÍB?"R"?B$READ *4ÍX?YREAD *6tZlvYlyP3
Y2=Y-Y1IF U$=B*n THEN 4110PRINT BW: USING Ü90STOPRINT eWÍ USING 2770Í"MATRICES DE SALIDAS Y- ESTADOS"IMAGE23X? 29A ?/? 23X ?29C n- B)y/PRINT eUi USING 2790Í"REAL"T"MODELO SIN K"T"ERROR"IMAGE2X?4A720X?12A?12X75A?/?2X?4B"U ?20X?12C~B ylSXyS0-"»/FOR 1=1 TO Pl.IF ABS(Y(I))=>1000 OR ABSCY1(I))=>ÍOOO OR ABS<Y2<I))«>1000 THE 2850PRINT BW* USING 2830ÍI>YCI) rlíYKI) y'Y2(I)IMAGE8YaíFD*n = "»4B+2D:12X*"Y"?FD*"•« "»4D«2DGO TO 2S70PRINT eUí USING 2860íI?YCI)?I?Y1(I)>Y2(I)
APÉNDICE nB! f-'AG, 44
2860 IMAGE"YarFB»n = "r2E,9X?"YniFB>", = n32E?9Xí2E2870 NEXT I .2880 PRINT ew:BJn2890 FOR 1=1 TO N2900 IF ABS(X(I»:=>1000 OR ABSCZ1 (I ))=>1000 OR ABS(X2 (I) ) =>1000 THE 29402910 PRINT GWÍ USING 2920:IvXCI)y I?Z1CI)9X2<I)2920 IMAeEBX"7FB>" = n ? 4B 4 2H , 12X> "X" ? FBy " = • , 4H * 2B ? 12X j 4B *2D2930 GO TO 29602940 PRINT eWJ USING 2950tI»XCI)tI>Z1CI),X2(I)2950 IMAGE"X"íFB»" = a ? 2E ? 9 X> B X n9FB>" = a?2E?9X?2E2960 NEXT I2970 PRINT @Wt"J";^980:PRINT @WI-USING 34701"yARIANCIAS BEL ERROR HE.RECOSTRUCCION- PCN?NO°:2990 FOR 1=1 TO N ' •3000 FOR J=l TO N3010 IF ABSCP3(IyJn=>1000 THEN 30403020 PRINT @WÍ USING 3530ÍP3CIiJ) ..3030 GO TO 30503-040 PRINT @Wí USING 35ÓO;P3CI?J)3050 NEXT J3060 PRINT BW:,3070 NEXT I•3080 PRINT ew:n J B3090 IF V$="#" THEN 4140-3100- REAB *5:Xl»Yl>Y2íK :3110 X2«X-X13120 PRINT @W5 USING 3130t"MODELO CON K ÓPTIMA"*"ERROR"3130 IMAGE23Xrl9Av8Xi'5Ay/?23X?Í9ll-B78X?5B-m »/3140 FOR 1=1 TO Pl3150 IF ABS(Y1CI)>=>1000 OR ABSCY2CI))=>1000 THEN 31903160'PRINT BWÍ USING '3170í19Yl(I)?Y2(I) • •- - . .3170 IMAGE24X»"Y"rFH?" = *T4B*2D>12X»4B*2B3180 GO TO 32103190 PRINT @Wí USING 3200 i I?YlCI)9Y2(I)3200 IMAGE24X»"Y"?FU?a = U?2ES9X?2E3210 NEXT I3220 PRINT QW:nJn
3230 FOR 1=1 TO N3240 IF ABSCX1CI))=>1000 OR ABSCX2CI))=>1000 THEN 32803250 PRINT eWí USING 3260ÍIyXl(I):X2(I)3260 IMAGE24Xr*XE?FB?n = n94B,2D?12X?4Bt2B3270 GO TO 33003280 PRINT BUÍ USING 3290í17XI (!)rX2(I)3290 IMAGE24X?"X"vFD?" = ">2Eí9Xj2E3300 NEXT I3310 PRINT SWinJn
3320 PRINT GW: USING'3330t"MATRIZ DE GANANCIA K(NrPl) ÓPTIMA"3330 IMAGE10X*33Af/?10X/33C"-" )?/3340 FOR 1=1 TO N -3350 FOR J=l TO Pl3360 IF ABSCKCI»J»=>1000 THEN 34003370 PRINT EWÍ USING 3380ÍK(I?J)3380 IMAGE5Xí4B,4B»S3390 GO TO 3420
APÉNDICE "B" PAG,
340034103420343034403450346034703480349035003510352'0.353035403550356035703580359036003610362036303640.36503660367036803690370037103720373037403750376037703780379038003810'382038303S4038503860387038SO3890.3900391039203930
PRINT @UÍ USING 3410ÍK(I*J)IMAGE 4X*2E*SNEXT JPRINT eWÍNEXT IPRINT eWÍ a J n
PRI eUI USI 3470 í » MARI ANCLAS BEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P
FOR 1=1 TO NFOR J=l TO NIF V$=n#ü THEN 4160IF ABSCCOUrJ) )=>10GO THEN 3550PRINT Q W í USING 3530-í CO C I ,ü>IHAGE 5X>4D*4U»S ' -GO TO 3570PRINT GW? USING 3560¡COU?J)IMAGE4X,2E?SNEXT JPRINT 0WÍNEX"Í IIF NíM^NO" OR N*="N" THEN 4050IF V*="#B THEN 4210READ #8 i XI ? Yl , Y2?KX2=X-X1PRINT e.w: • JB .....PRINf ©Wi USING 3660 i "MODELO CON K ESCOGIDA '?" ERROR"IHAGE23X?21A;6X?5A?/y23X1.21(n™11) ? 6Xr 5 C D - B ) ? /FOR I«l TO PlIF ABS(Y1(I))«>1000 OR ABS ( Y2( I) ) =>1000 THEN 3710PRINT @WÍ USING "3170 Ú , Yl C I) ? Y2C I )GO TO 3720PRINT @WÍ USING 3200 í I , Yl C I) 9 Y2Í I )NEXT IPRINT QWi " J n
FOR 1=1 TO NIF ABSCX1(I))=>1000 OR ABS (X2C I ) )=>1000 THEN 3730PRINT- eUli USING 32ÓOM * XI ( I ) > X2C I )GO TO 3790PRINT OWÍ USING 3290 1 1 , XI C I ) ?X2C I)NEXT IPRINT QU; n J n .PRINT @Wi USING 3820t "MATRIZ HE GANANCIA KCN.-P1) ESCOGIDA"
FOR 1=1 TO NFOR J=l TO PlIF ABS(KCIjJ))=>1000 THEN 3880PRINT @W; USING 3380ÍK(I?J>GO TO 3B90PRINT @WÍ USING 3410tK(I?J)NEXT JPRINT @UÍNEXT IPRINT EW: D JB
PRI @U¡ USI 3940Í "VARIANCIAS DEL ERROR DE RECONSTRUCCIÓN P(N>N>
APÉNDICE "B
3940395039603970398039904000401040204030404040504060407040804090410041104120413041404150416041704180419042004210422042304240425042604270428042904300431043204330434043504360437043804390
IhAGEFQR 1=1 Tu NPOR J=l TU NIF V$=»#» THEN 4230
10QQ THEN 40103530íco<i,j>
IF ABS(CO<IrJ»PRINT ew: USINGGO TO 4020PRINT GUÍ USING 3560ÍCO(I?J)NEXT JPRINT eunNEXT IPRI GWÍIF MÜi-"*11 THEN 4280
*******
FOR L=2 TO LlGO TO 2700PRINT GWÍ USING 1190ÍK2K2=K2-fT2GO TO 2760READ *5tXl?X2?P?Yl?Y2rKGO TO 3120IF ABSCP(I?J))=>1000 THEN 4190PRINT GWÍ USING 3530IPCIyJ)GO TO 4200PRINT SUÍ USING 3560ÍP(I?J)GO TO 3570
GO TO 3040IF ABSCPCIrJ))=>1000 THEN 4260PRINT GW: USING 353QÍPC I>J)GO TO 4270PRINT 0U: USING 3560ÍP<!,-J>GO TO 4020NEXT LCLOSEIF W=51 THEN 4390REMREM í)K** IMPRESIÓN EN PAPELREMPRINT "JBESEA IMPRESIÓN EN PAPEL (SI O NO)? í a
INPUT X$"IF X*="NQ' OR X*="NB THEN 4390\ jj- _^ a **} u
GO TO 850GO TO 570
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