controlador de estados siso udec - diejoseespi/cmv/543760_cmv_cap_iv.pdfcontrolador de estados siso...

© UdeC - DIE

M

a1

a2

1

a2

1

0

1

0

0

:= T Co M⋅( )1−

:= kc1 submatrix aa a−( )T

0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=

Co

0

0

1

0

1

2

1

2

4

= M

0

2−

1

2−

1

0

1

0

0

= T

1

0

0

0

1

0

0

0

1

=

kc kc1:= kc1 34 45 16( )=

Verificación

A1 A b kc⋅−:= b1 b:= c1 c d kc⋅−:= d1 d:= ==> sistema resultante

eigenvals A1( )2− i+

2− i−

10−

= c s identity 3( )⋅ A−( )1−

⋅ b⋅ simplify3 4 s⋅+ s

2+

s3

2 s2

⋅− 16+

→ c1 s identity 3( )⋅ A1−( ) 1−⋅ b1⋅ simplify

3 4 s⋅+ s2

+

s3

14 s2

⋅+ 45 s⋅+ 50+

→

Controlador de Estados SISO

Problema Ilustrar en sistemas SISO el uso de controladores de estado.

Caso 1 Primero se estudia el diseño a partir de un sistema dado en su F. de T..

162

34

)(

)()(

23

2

LA+−

++==

ss

ss

su

sysh El polinomio característico: pa s( ) s

32 s

2⋅− 16+:= a pa s( ) coeffs s,

16

0

2−

1

→:=

Una realización es la FCC A

0

0

a0

−

1

0

a1

−

0

1

a2

−

:= b

0

0

1

:= c 3 4 1( ):= d 0:= eigenvals A( )

2−

2 2i+

2 2i−

=

El polinomio característico deseado es

pd s( ) s 2− j+( )−[ ] s 2− j−( )−[ ]⋅ s 10−( )−[ ]⋅:= aa pd s( ) coeffs s,

50

45

14

1

→:=

El controlador

Co augment b A b⋅, A2b⋅,( ):=

Capítulo IV - Controladores y Observadores 1 de 29 Control Multivariable - 543 760

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f 0:=A

0

0

k

n−km

La

⋅

0

0

k−

0

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

0

km

Jm n⋅

0

0

Ra−

La

:=

b

0

0

0

1

La

:= e

0

1−

Jl

0

0

:= c 0 1 0 0( ):= d 0:= eigenvals A( )

3.721− 103−

× 171.317i+

3.721− 103−

× 171.317i−

2.474−

21.519−

=

Co augment b A b⋅, A2b⋅, A

3b⋅,( ):=

pa s( ) s identity 4( )⋅ A−:= pd s( ) s 2+ j 2⋅+( ) s 2+ j 2⋅−( )⋅ s 25+( ) s 25+( )⋅:= a pa s( )float 10,

coeffs s,

1562500.000

704166.6667

29402.77778

24.0

1

→:=

aa pd s( ) coeffs s,

5000

2900

833

54

1

→:= M

a1

a2

a3

1

a2

a3

1

0

a3

1

0

0

1

0

0

0

:= T Co M⋅( )1−


0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=

kc kc1:= kc 274.27− 273.672 30.364− 1.5( )=

eigenvals A b kc⋅−( )

2− 2i+

2− 2i−

25− 0.011i+

25− 0.011i−

= Los valores propios de la representación resultante.

Caso 2 Ahora se considera tener la representación en

variables de estado del motor con eje flexible.

ω1 0:= ω2 0:= k 500:=

km 0.05:= tl 4:= n 12:=

Jl 0.02:= La 50 103−

⋅:= Ra 1.2:=

Jm 8 104−

⋅:= tdu 3:= tdl 8:= p t( ) tl 1 0.001Φ t tdl−( )−( )⋅:=

x0 ωr= x1 ωl= x2 tr= x3 ia=

Los valores propios de la representación original.


© UdeC - DIE

0 5 103.988

3.994

4

4.006

4.012p

0 5 10100

0

100

200ia

0 5 1010

0

10

20tr

0 5 100

2000

4000wl

0 5 100

2000

4000wr

0 5 10103.5

103

102.5uex

Za rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

CI

314.159

314.159

4

6.667

=CI A b kc⋅−( ) 1−b− uex 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=D t x,( ) A

x0

x1

x2

x3

⋅ b uex t( ) kc

x0

x1

x2

x3

⋅−

⋅+ e p t( )⋅+:=

uex t( ) uex0 1 .0031− Φ t tdu−( )−( )⋅:=

uex0 Ini4

:=m 0 nf..:=nf 500:=tf 12:=

Simulación.

Ini

314.159

314.159

4

6.667

102.854−

=Ini augment augment A b kc⋅− b,( )( )T augment c d kc⋅− d,( )( )T,

T

1−

augment e− p 0( )⋅( )T

30002 π⋅

60⋅,

T

⋅:=

Condiciones iniciales y entrada externa para tener 3000 rpm en la velocidad de carga como CI en la salida,

considerando la perturbación p = 4, para t = 0.


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rank Co1( ) 2=

Co2 augment B1⟨ ⟩

A B1⟨ ⟩⋅, A

2B

1⟨ ⟩⋅,( ):= rank Co2( ) 2=

Diseño del

ControladorQ augment B

0⟨ ⟩A B

0⟨ ⟩⋅, B1⟨ ⟩,( ):= rank Q( ) 3= Diseño del controlador.

Kc1

0

0

0

1−

0

0

Q

1−⋅:= Kc1

0

1−

0

0

0

0

=

Nuevas raíces debido a Kc1.

pa s( ) s identity 3( )⋅ A B Kc1⋅−( )−:= pa s( ) s3

4 s2

⋅+ 7 s⋅+ 4+→

+C∫∫∫∫+

A

B

D

xx& yu

+

Kc1

v

planta

-+

Mc

uex

-a pa s( ) coeffs s,

4

7

4

1

→:=

polyroots a( )

1.5− 1.323i−

1.5− 1.323i+

1−

= M

a1

a2

1

a2

1

0

1

0

0

:= M

7

4

1

4

1

0

1

0

0

=

Controlador de Estados MIMO

Problema Ilustrar en sistemas MIMO el uso de controladores de estado. Raíces deseadas.

Parámetros

A

1

2

4

1

0

2

2−

2−

5−

:= B

0

1

0

0

0

1

:= C1

1−

0

0

0

1

:= pd s( ) s 2+ 2 j⋅+( ) s 2+ 2 j⋅−( )⋅ s 10+( )⋅:= aa pd s( ) coeffs s,

80

48

14

1

→:=

pa s( ) s identity 3( )⋅ A−:= pa s( ) s3

4 s2

⋅+ 5 s⋅+ 2+→ a pa s( ) coeffs s,

2

5

4

1

→:= polyroots a( )

2−

1−

1−

=

Raíces del sistema.

Co augment B A B⋅, A2B⋅,( ):= rank Co( ) 3= Sistema Controlable pero por

ambas entradas.

Co1 augment B0⟨ ⟩

A B0⟨ ⟩⋅, A

2B

0⟨ ⟩⋅,( ):=


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+C∫∫∫∫+

A

B

D

xx& yu

+

Kc1

v

planta

-+

Mc

uex

-

Valores propios originales.eigenvals A( )

1−

2−

1−

=

eigenvals A B Kc⋅−( )2− 2i+

2− 2i−

10−

=Nuevos valores propios producto

del controlador resultante.

Kc

49−

1−

10

0

25

0

=Kc Mc Kc1+:=

Mc

49−

0

10

0

25

0

=Mc augment mc1T

0 0 0( )T,

T

:=

mc1 49− 10 25( )=mc1 submatrix aa a−( )T

0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=

aa0 v0

:=aa1 v1

:=aa2 v2

:=aa3 v3

:=

Polinomio deseado.v

80

48

14

1

:=s3

14 s2

⋅+ 48 s⋅+ 80+

T

2−

3

2−

0

0

1

1

1−

1−

=T Co M⋅( )1−

:=

Co

0

1

0

1

0

2

3−

2−

5−

=Co augment B0⟨ ⟩

A B Kc1⋅−( ) B 0⟨ ⟩⋅, A B Kc1⋅−( )2 B0⟨ ⟩⋅,

:=


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Simulación

sin y con

controlador

nf 500:= n 0 nf..:= tf 8:=uex t( )

0

1− Φ t 1−( )⋅

:=

D t x,( ) A

x0

x1

x2

⋅ B uex t( )⋅+:= CI A1−

B− uex 0( )⋅( )⋅:= Za rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

D t x,( ) A B Kc⋅−( )

x0

x1

x2

⋅ B uex t( )⋅+:= CI A B Kc⋅−( ) 1−B− uex 0( )⋅( )⋅:= Za2 rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

0 50

1

x1

0 50

1

x2

0 51

0

1

x3

0 52

0

uex1

0 52

0

uex2


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f 0:= d 0:= c 0 1 0 0( ):=A

0

0

k

n−km

La

⋅

0

0

k−

0

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

0

km

Jm n⋅

0

0

Ra−

La

:=

b

0

0

0

1

La

:= e

0

1−

Jl

0

0

:=

Los valores propios de la representación original.

eigenvals A( )T

3.721− 103−

× 171.317i+ 3.721− 103−

× 171.317i− 2.474− 21.519−( )=

Ap augment augment A submatrix 0 identity 4( )⋅ 0, 3, 0, 0,( ),( )T

augment c 0 identity 1( )⋅,( )T,( )T:=

bp augment bT

0 identity 1( )T⋅,( )T:= cp augment c 0 identity 1( )⋅,( ):= ep augment e

T0,( )T:= dp 0:= fp 0:=

Los valores propios de la representación con un integrador. eigenvals Ap( )T 0 3.721− 103−

× 171.317i+ 3.721− 103−

× 171.317i− 2.474− 21.519−( )=

Diseño del

Controlador

de Estados

Co augment bp Ap bp⋅, Ap2bp⋅, Ap

3bp⋅, Ap

4bp⋅,

:= Co 7.359 10

20×= rank Co( ) 5=

pa s( ) s identity 5( )⋅ Ap−:= pd s( ) s 2+ j 2⋅+( ) s 2+ j 2⋅−( )⋅ s 25+( )3

:=

Controlador de Estados con Integradores

Problema Ilustrar el uso de integradores en conjunto con

un controlador de estados como alternativa de

compensación de perturbaciones.

Parámetros Ahora se considera tener la representación en


ω1 0:= ω2 0:= k 500:= Jl 2 102−

⋅:= La 50 103−

⋅:= Ra 1.2:=

km 0.05:= tl 4:= n 12:= Jm 8 104−

⋅:= tdu 3:= tdl 8:= p t( ) tl 1 0.01Φ t tdl−( )−( )⋅:=



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0 5 102900

2950

3000

3050z1

0 5 10100

0

100

200ia

0 5 1010

0

10

20tr

0 5 103.95

3.97

3.98

4

4.01p

0 5 100

2000

4000wl

0 5 100

2000

4000wr

0 5 100

2000

4000yd

Za rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=D t x,( ) Ap bp kc⋅−( ) x0

x1

x2

x3

x4( )T⋅ 0 0 0 0 1( )

Tyd t( )⋅− ep p t( )⋅+:=

CI Ap bp kc⋅−( ) 1−0 0 0 0 1( )

Tyd 0( )⋅ ep p 0( )⋅−

⋅:=m 0 nf..:=nf 500:=tf 12:=Simulación

yd t( ) 30002 π⋅

60⋅ 1600

2 π⋅

60⋅ Φ t 3−( )⋅−:=

Referencia y condiciones iniciales para tener 3000 rpm en la velocidad de carga como

CI, considerando la perturbación p = 4, para t = 0.

Los valores propios de la representación resultante.eigenvals Ap bp kc⋅−( )T 25.175− 24.912− 0.154i+ 24.912− 0.154i− 2− 2i+ 2− 2i−( )=

kc 261.31− 260.74 44.048− 2.75 0.048( )=kc kc1:=

kc1 submatrix aa a−( )T

0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=T Co M⋅( )1−

:=

M

a1

a2

a3

a4

1

a2

a3

a4

1

0

a3

a4

1

0

0

a4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

:=aa pd s( ) coeffs s,

125000

77500

23725

2183

79

1

→:=a pa s( )float 10,

coeffs s,

0

1562500.000

704166.6667

29402.77778

24.0

1

→:=+C∫∫∫∫+

A

B

D

xx& yu

+

Kc

uex

planta

-

∫∫∫∫+

zz&yd

-

[x T z T]

T


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H s( )

1

s2

0

0

1

s

=

+ C ∫∫∫∫ +

A

B

D

x x& y u

+

F

uex

planta

- G

planta desacoplada

H s( ) C D F_⋅−( ) s identity 3( )⋅ A− B F_⋅+( )1−

⋅ B⋅ G_⋅= factor H s( )

1

s2

0

0

1

s

=→Verificación

F_1

3

1−

1

0

3−

=G_1

0

2

1

=C_5−

3

3−

1

6

3−

=B_1

0

2−

1

=

F_ B_1−C_⋅:=G_ B_

1−:=C_ augment C

T( ) 0⟨ ⟩T

Av1

⋅

T

CT( ) 1⟨ ⟩T

Av2

⋅

T

,

T

:=

B_ augment CT( ) 0⟨ ⟩T

Av1 1−

⋅ B⋅

T

CT( ) 1⟨ ⟩T

Av2 1−

⋅ B⋅

T

,

T

:=

v2 1:===>CT( ) 1⟨ ⟩T

A0

⋅ B⋅ 0 1( )=

v1 2:===>CT( ) 0⟨ ⟩T

A1

⋅ B⋅ 1 2−( )=CT( ) 0⟨ ⟩T

A0

⋅ B⋅ 0 0( )=Diseño del

Desacoplador

D0

0

0

0

:=C1

1−

0

0

0

1

:=B

0

1

0

0

0

1

:=A

1

2

4

1

0

2

2−

2−

5−

:=Parámetros

Ejemplo numérico.Sistema

Ilustrar la utilización del controlador de estados para el desacoplo de sistemas MIMO.Problema

Desacoplador de Estados


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x3 ωm1=

x4 ωm2= x5 tm1= x6 tm2=

e

0

0

1−

Jo

0

0

0

0

:=B

1

La1

0

0

0

0

0

0

0

1

La2

0

0

0

0

0

:=A

Ra1−

La1

0

0

km1

Jm1

0

0

0

0

Ra2−

La2

0

0

km2

Jm2

0

0

0

0

0

0

0

n− k1⋅

n− k2⋅

km1−

La1

0

0

0

0

k1

0

0

km2−

La2

0

0

0

0

k2

0

0

n

Jo

1−

Jm1

0

0

0

0

0

n

Jo

0

1−

Jm2

0

0

:=

C0

1

0

1−

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

:= D0

0

0

0

:=

Diseño del

DesacopladorCT( ) 0⟨ ⟩T

A0

⋅ B⋅ 0 0( )= CT( ) 0⟨ ⟩T

A1

⋅ B⋅ 0 0( )= CT( ) 0⟨ ⟩T

A2

⋅ B⋅ 0 0( )= CT( ) 0⟨ ⟩T

A3

⋅ B⋅ 1.286 104

× 1.286 104

×( )= ==> v1 4:=

CT( ) 1⟨ ⟩T

A0

⋅ B⋅ 20 20−( )= ==> v2 1:=

+ va1 -

ia1 ωm1, θ1, Jm1, tm1

ωo, θo, Jo, to

n : 1 1/k1

+ va2 -

ia2 ωm2, θ2, Jm2, tm2

n : 1

1/k2

Desacoplador de Estados

Problema Ilustrar la utilización del controlador de

estados para el desacoplo de sistemas

MIMO.

Sistema Doble Motor de c.c. con ejes flexibles.

Parámetros k1 75000:= k2 75000:= km1 6:=

La1 50 103−

⋅:= La2 50 103−

⋅:= Ra1 0.2:=

km2 6:= Jm1 1:= Jm2 1:=

Ra2 0.2:= Jo 10000:= n1

0.07:=

x0 ia1= x1 ia2= x2 ωo=


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h22 s( )1

s:=

h11 s( )1

s4

:=

H s( )

h11 s( )

0

0

h22 s( )

=Coeficientes

de H(s)

0.01 0.1 1 10600

400

200

0

200

Magnitud, h22

35.964−23.796

0.01 0.1 1 10600

400

200

0

200

Magnitud, h21

0.01 0.1 1 10600

400

200

0

200

Magnitud, h12

0.01 0.1 1 10600

400

200

0

200

Magnitud, h11 143.854−

95.826

h22_mod n( ) 20 log C D F_⋅−( ) w n( ) j⋅ identity 7( )⋅ A− B F_⋅+( )1−

⋅ B⋅ G_⋅ 1 1,

⋅:=


⋅ B⋅ G_⋅ 1 0,

⋅:=


⋅ B⋅ G_⋅ 0 1,

⋅:=


⋅ B⋅ G_⋅ 0 0,

⋅:=

Bode de los

Coeficientes

de H(s)

w m( ) 2 π⋅ frec m( )⋅:=frec m( ) fmin 10m ratio⋅

⋅:=ratio logfmax

fmin

1

mmax

⋅:=

fmax 101

:=fmin 102−

:=m 0 mmax..:=mmax 250:=H s( ) C D F_⋅−( ) s identity 7( )⋅ A− B F_⋅+( )1−

⋅ B⋅ G_⋅=Verificación

F_ B_1−C_⋅:=G_ B_

1−:=C_ augment C

T( ) 0⟨ ⟩T

Av1

⋅

T

CT( ) 1⟨ ⟩T

Av2

⋅

T

,

T

:=B_ augment CT( ) 0⟨ ⟩T

Av1 1−

⋅ B⋅

T

CT( ) 1⟨ ⟩T

Av2 1−

⋅ B⋅

T

,

T

:=


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Co augment b_ A_ b_⋅, A_2b_⋅,( ):= M

a1

a2

1

a2

1

0

1

0

0

:= T Co M⋅( )1−


0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:= kc kc1:= ko kcT:=

Co

1

0

0

1−

1−

2

9−

7

10−

= M

31

8

1

8

1

0

1

0

0

= T

0

0

1

0.5

1.5−

3.5

0.25

0.25−

1.75−

= kc1 1 8 1−( )= kc 1 8 1−( )= ko

1

8

1−

=

Verificación de los valores propios del observador. Simulación del sistema y observador de orden completo.

u t( ) 1 Φ t 3−( )+:= tf 6:= nf 200:= m 0 nf..:=

eigenvals A ko c⋅−( )2− 2i+

2− 2i−

5−

=

D t x,( ) augment A

x0

x1

x2

⋅ b u t( )⋅+

T

A

x3

x4

x5

⋅ ko c⋅

x0

x1

x2

x3

x4

x5

−

⋅+ b u t( )⋅+

T

,

T

:=

Observador de Estados SISO

Problema Ilustrar en sistemas SISO el uso de observadores de estado.

Caso 1 Primero se estudia el diseño a partir del modelo en variables de estado

A

1−

2

4−

1−

2−

2

2

2−

5−

:= b

1

2−

0

:= c 1 0 0( ):= d 0:= Se redefine el sistema a analizar como:

A_ AT:= b_ c

T:=

Se obtiene el polinomio actual:

pa s( ) s identity 3( )⋅ A_−:= a pa s( ) coeffs s,

40

31

8

1

→:= eigenvals A_( )

2.906− 3.137i+

2.906− 3.137i−

2.188−

= pa s( ) 8 s2

⋅ 31 s⋅+ s3

+ 40+→

El polinomio característico deseado es

pd s( ) s 2− 2j+( )−[ ] s 2− 2j−( )−[ ]⋅ s 5−( )−[ ]:= aa pd s( ) coeffs s,

40

28

9

1

→:=

El observador


© UdeC - DIEZa rkfixed 0.5− 0 0 0 0 0( )T

0, tf, nf, D,

:=

0 2 4 61

0

1x1

0 2 4 6

1

0

x2

0 2 4 61

0.5

0

0.5x3

0 2 4 61

0

1x1 aprox

0 2 4 6

1

0

x2 aprox

0 2 4 61

0.5

0

0.5x3 aprox

0 2 4 60.5

0

0.5x1 - x1 aprox

0

0 2 4 60.2

0

0.2

0.4

0.6x2 - x2 aprox

0

0 2 4 60

1

2

3u


© UdeC - DIE

b

0

0

0

1

La

:= e

0

1−

Jl

0

0

:= c 0 1 0 0( ):= d 0:=

Los valores propios

de la representación

original.A_ A

T:= b_ cT:= eigenvals A_( )

3.721− 103−

× 171.317i+

3.721− 103−

× 171.317i−

21.519−

2.474−

= Co augment b_ A_ b_⋅, A_2b_⋅, A_

3b_⋅,( ):=

pa s( ) s identity 4( )⋅ A_−:= pd s( ) s 100+ j 100⋅+( ) s 100+ j 100⋅−( )⋅ s 10+( )2

:=

a pa s( )float 10,

coeffs s,

1562500.000

704166.6667

29402.77778

24.0

1

→:= aa pd s( ) coeffs s,

2000000

420000

24100

220

1

→:= M

a1

a2

a3

1

a2

a3

1

0

a3

1

0

0

1

0

0

0

:=

Los valores propios del observador de

orden completo.

T Co M⋅( )1−


0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=

kc kc1:= kc 36.278− 196 200.136− 18.532( )= ko kcT:= ko

36.278−

196

200.136−

18.532

= eigenvals A ko c⋅−( )

100− 100i+

100− 100i−

10− 1.056i 103−

×+

10− 1.056i 103−

×−

=



ω1 0:= ω2 0:= k 500:= Jl 0.02:= La 50 103−

⋅:= Ra 1.2:=

km 0.05:= tl 4:= n 12:= Jm 8 104−

⋅:= tdu 2:= tdl 5:=


f 0:=p t( ) tl 1 1Φ t tdl−( )−( )⋅:=

A

0

0

k

n−km

La

⋅

0

0

k−

0

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

0

km

Jm n⋅

0

0

Ra−

La

:=


© UdeC - DIE

0 2 4 60

2000

4000wl aprox

0 2 4 60

2000

4000wr aprox

0 2 4 60

5

p

0 2 4 6100

50

0

50ia

0 2 4 65

0

5

10tr

0 2 4 60

2000

4000wl

0 2 4 60

2000

4000wr

0 2 4 60

200

u

Za rkfixed augment CIT

0 0 0 0( ), T

0, tf, nf, D,

:=D t x,( ) augment A

x0

x1

x2

x3

⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+

T

A

x4

x5

x6

x7

⋅ ko c⋅

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

−

⋅+ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+

T

,

T

:=

m 0 nf..:=nf 500:=tf 6:=

Simulación.

CI A1−

b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=u t( ) u0 11

2Φ t tdu−( )⋅−

⋅:=u0 30002 π⋅

60⋅ n⋅ km⋅:=




© UdeC - DIE

ko ko1 ko2( ):= Se escoge ko para tener el observador

con un polo en -2:

Auu ko Amu⋅− 2−= Verificación de los valores propios del

observador.u t( ) 1 Φ t 3−( )+:= Simulación.

tf 6:= mf 200:= m 0 mf..:= a1 Auu ko Amu⋅−:= a2 Auu ko⋅ Aum+ ko Amm⋅− ko Amu⋅ ko⋅−:=

D t x,( ) stack A

x0

x1

x2

⋅ b u t( )⋅+

a1 x3

⋅ a2

x0

x1

⋅+ bu ko bm⋅−( ) u t( )⋅+

,

:= Za rkfixed 0.5− 0 0 0( )T

0, tf, mf, D,

:= x3_aprox m( ) Za

m 4,ko

Zam 1,

Zam 2,

⋅+:=

0 2 4 61

0

1x1

0 2 4 61

0.5

0

0.5x2

0 2 4 61

0

1x3

0 2 4 60

0.2

0.4

0.6fi

0 2 4 61

0

1x3, x3 aprox

0 2 4 60

1

2

3u

Observador de Estados SISO de Orden Reducido

Problema Ilustrar en sistemas SISO el uso de observadores de estado. Se considera x1 y x2 disponibles; por lo tanto:

Caso 1 Primero se estudia el diseño a partir del modelo en variables de estado Auu 5−:= Amu

2

2−

:= Aum 4− 2( ):=

A

1−

2

4−

1−

2−

2

2

2−

5−

:= b

1

2−

0

:= c 1 0 0( ):= d 0:= Amm

1−

2

1−

2−

:= bm

1

2−

:= bu 0:=

ko ko1 ko2( ):= ko2 Auu ko Amu⋅− 5− 2 ko1⋅− 2 ko2⋅+→ El valor propio del observador.

ko2 0:= ko1 1.5−:=


© UdeC - DIE

Se considera x1, x2 y x4 disponibles; por lo tanto, se re-ordena la representación del sistema. Es decir,

se permuta x3 por x4.

f 0:=

b

0

0

1

La

0

:= e

0

1−

Jl

0

0

:= c 0 1 0 0( ):= d 0:= Auu 0:= Amu

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

:=

A

0

0

n−km

La

⋅

k

0

0

0

k−

km

Jm n⋅

0

Ra−

La

0

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

0

:=

Aum k k− 0( ):= Amm

0

0

n−km

La

⋅

0

0

0

km

Jm n⋅

0

Ra−

La

:=

ko ko1_ ko2_ ko3_( ):= ko3_Auu ko Amu⋅− float 5, 8.6806 ko1_⋅ 50.000 ko2_⋅−→ El valor propio

del observador.

ko1_ 0:= ko2_ 0.04:= ko3_ 0:= ko ko1_ ko2_ ko3_( ):= Se escoge ko para tener el

observador con un polo en -2: bm

0

0

1

La

:= bu 0:= em

0

1−

Jl

0

:= eu 0:=

Auu ko Amu⋅− 2−= Verificación del valor propio

del observador.



ω1 0:= ω2 0:= k 500:= Jl 0.02:= La 50 103−

⋅:= Ra 1.2:=

km 0.05:= tl 4:= n 12:= Jm 8 104−

⋅:= tdu 2:= tdl 5:=


p t( ) tl 1 1Φ t tdl−( )−( )⋅:=f 0:=

A

0

0

k

n−km

La

⋅

0

0

k−

0

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

0

km

Jm n⋅

0

0

Ra−

La

:=

b

0

0

0

1

La

:= e

0

1−

Jl

0

0

:= c 0 1 0 0( ):= d 0:=


© UdeC - DIE

0 2 4 6

0

10tr y tr aprox

0 2 4 620

10

0fi

0 2 4 60

5

p

0 2 4 6

0

10tr

0 2 4 6100

50

0

50ia

0 2 4 60

2000

4000wl

0 2 4 60

2000

4000wr

0 2 4 60

200

u

x4_aprox m( ) Zam 5,

ko Zam 1,

Zam 2,

Zam 3,

T⋅+:=Za rkfixed augment CI

T0,( )T 0, tf, mf, D,

:=

D t x,( ) stack A

x0

x1

x2

x3

⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+

a1 x4

⋅ a2

x0

x1

x2

⋅+ bu ko bm⋅−( ) u t( )⋅+ eu ko em⋅−( ) p t( )⋅+

,

:=

a2 500 500.08− 0( )=bu ko bm⋅− 0=

a2 Auu ko⋅ Aum+ ko Amm⋅− ko Amu⋅ ko⋅−:=a1 Auu ko Amu⋅−:=m 0 mf..:=mf 500:=tf 6:=

Simulación.

CI A1−

b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=u t( ) u0 11

2Φ t tdu−( )⋅−

⋅:=u0 30002 π⋅

60⋅ n⋅ km⋅:=



Simulación.


© UdeC - DIE

rank Co( ) 3= Sistema observable pero por

ambas salidas.

Co1 augment B_0⟨ ⟩

A_ B_0⟨ ⟩⋅, A_

2B_

0⟨ ⟩⋅,( ):= rank Co1( ) 2=

Co2 augment B_1⟨ ⟩

A_ B_1⟨ ⟩⋅, A_

2B_

1⟨ ⟩⋅,( ):= rank Co2( ) 2=

Diseño del

ControladorQ augment B_

0⟨ ⟩A_ B_

0⟨ ⟩⋅, B_1⟨ ⟩,( ):= rank Q( ) 3= Diseño del observador.

+C∫∫∫∫+

A

B

D

xx& yu

planta

+C∫∫∫∫+

A

B

Dx&

observador

x y

x

Ko+-

y

y

Kc1

0

0

0

1−

0

0

Q

1−⋅:= Kc1

0

1−

0

0

0

0

=

Nuevas raíces debido a Kc1.

pa s( ) s identity 3( )⋅ A_ B_ Kc1⋅−( )−:= pa s( ) s3

4 s2

⋅+ 7 s⋅+ 4+→

a pa s( ) coeffs s,

4

7

4

1


1.5− 1.323i−

1.5− 1.323i+

1−

=

Observador de Estados MIMO

Problema Ilustrar en sistemas MIMO el uso de observadores de orden completo.

Parámetros

s 2+ 2 j⋅+( ) s 2+ 2 j⋅−( )⋅ s 10+( )⋅ s3

14 s2

⋅+ 48 s⋅+ 80+ Raíces deseadas.A

1

1

2−

2

0

2−

4

2

5−

:= B

1

0

0

1−

0

1

:= C0

0

1

0

0

1

:=

A_ AT:= B_ C

T:= Sistema re-definido como problema

de diseño del controlador de estado

de orden completo.pa s( ) s identity 3( )⋅ A_−:=

a pa s( ) coeffs s,

2

5

4

1


2−

1−

1−

= Raíces del sistema.

Co augment B_ A_ B_⋅, A_2B_⋅,( ):=


© UdeC - DIE

0 5 102

0

u2

0 5 101

0.5

0

0.5x3 - x3 aprox.

0 5 100.5

0

0.5x2 - x2 aprox.

0 5 101

0

1

2x1 - x1 aprox.

Za rkfixed 1.5 0 0 0 0 0( )T

0, tf, nf, D,

:=

D t x,( ) augment A

x0

x1

x2

⋅ B u t( )⋅+

T

A

x3

x4

x5

⋅ Ko C⋅

x0

x1

x2

x3

x4

x5

−

⋅+ B u t( )⋅+

T

,

T

:=

u t( )0

1− Φ t 4−( )⋅

:=tf 10:=n 0 nf..:=nf 500:=Simulación

sin y con

controlador

Valores propios del observador.

eigenvals A Ko C⋅−( )2− 2i+

2− 2i−

10−

=Ko

49−

10

25

1−

0

0

=Mc

49−

0

10

0

25

0

=mc1 49− 10 25( )=

Ko KcT:=Kc Mc Kc1+:=Mc augment mc1

T0 0 0( )

T,

T

:=mc1 submatrix aa a−( )T

0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=

Polinomio deseado.aa pd s( ) coeffs s,

80

48

14

1

→:=pd s( ) s 2− 2 j⋅+( )−[ ] s 2− 2 j⋅−( )−[ ]⋅ s 10−( )−[ ]⋅:=

T

2−

3

2−

0

0

1

1

1−

1−

=Co

0

1

0

1

0

2

3−

2−

5−

=M

7

4

1

4

1

0

1

0

0

=T Co M⋅( )1−

:=Co augment B_0⟨ ⟩

A_ B_ Kc1⋅−( ) B_ 0⟨ ⟩⋅, A_ B_ Kc1⋅−( )2 B_0⟨ ⟩⋅,

:=M

a1

a2

1

a2

1

0

1

0

0

:=


© UdeC - DIE

ko ko1 ko2( ):= Auu ko Amu⋅− 1.5→

Se escoge ko para tener el observador con un polo en -2:

ko1 0:= ko2 1:= ko ko1 ko2( ):= u t( ) Φ t 3−( ) 0( )T:=

Simulación tf 6:= mf 200:= m 0 mf..:= a1 Auu ko Amu⋅−:= a2 Auu ko⋅ Aum+ ko Amm⋅− ko Amu⋅ ko⋅−:=

D t z,( ) stack A

z0

z1

z2

⋅ B u t( )⋅+

a1 z3

⋅ a2

z0

z1

⋅+ bu ko Bm⋅−( ) u t( )⋅+

,

:=Za rkfixed 0 0 5 0( )

T0, tf, mf, D,

:= z3_aprox m( ) Za

m 4,ko

Zam 1,

Zam 2,

⋅+:=

0 2 4 60

0.5

1

1.5x1

0 2 4 60

2

4

6x2

0 2 4 60

1

2

3x3

0 2 4 60

0.2

0.4

0.6fi

0 2 4 60

2

4

6x2, x2 aprox

0 2 4 60

1

2u

Observador de Estados MIMO de Orden Reducido

Problema Ilustrar en sistemas MIMO el uso de observadores de estado.Se considera y1 e y2 disponibles, entonces debe identificarse sólo x2;

por lo tanto, se re-define el sistema:Sistema Primero se estudia el diseño a partir del modelo en variables de estado

A

1

2

4

1

0

2

2−

2−

5−

:= B

0

1

0

0

0

1

:= C1

1−

0

0

0

1

:= D0

0

0

0

:= A

1

4

2

2−

5−

2−

1

2

0

:= B

0

0

1

0

1

0

:= C1

1−

0

1

0

0

:= D0

0

0

0

:=

Diseño

Auu 0:= Amu

1

2

:= Aum 2 2−( ):= Amm

1

4

2−

5−

:= Bm

0

0

0

1

:= bu 1 0( ):= El valor propio del observador.


© UdeC - DIE

0 2 4 65

0

5

10z3 ó x2

0 2 4 65

0

5z2 ó x3

0 2 4 65

0

5z1 ó x1

Za rkfixed 0 2− 0( )T

0, tf, mf, D,

:=D t z,( ) A

z0

z1

z2

⋅ B uex t( ) Kc

z0

z1

z2

⋅−

⋅+:=

m 0 mf..:=mf 200:=tf 6:=uex t( ) 80 Φ t 3−( )⋅ 0( )T:=Simulación

Kc

49−

1−

25

0

10

0

:=Kc

49−

1−

10

0

25

0

:=

El controlador original y el modificado de acuerdo a la nueva definición de varaibles de estado son:

D0

0

0

0

:=C1

1−

0

1

0

0

:=B

0

0

1

0

1

0

:=A

1

4

2

2−

5−

2−

1

2

0

:=

Dado que el observador necesita reordenar las variables de estado, se redefine el sistema:Caso 1

D0

0

0

0

:=C1

1−

0

0

0

1

:=B

0

1

0

0

0

1

:=A

1

2

4

1

0

2

2−

2−

5−

:=

Primero se estudia el diseño a partir del modelo en variables de estadoSistema

Ilustrar el uso de observadores de estado en la implementación de un controlador de estados.Problema

Controlador basado en un Observador de Estados


© UdeC - DIE


D t z,( ) augment A

z0

z1

z2

⋅ B uex t( ) Kc

z0

z1

z3

z1

+

⋅−

⋅+

T

a1 z3

⋅ a2

z0

z1

⋅+ a3 uex t( ) Kc

z0

z1

z3

z1

+

⋅−

⋅+

,

T

:=

bu ko Bm⋅− 1 1−( )=Zb rkfixed 0 2− 0 0( )

T0, tf, mf, D,

:= z3_aprox m( ) Zb

m 4,ko

Zbm 1,

Zbm 2,

⋅+:=

0 2 4 61

0

1

2z1 ó x1

0 2 4 65

0

5z2 ó x3

0 2 4 65

0

5

10z3 ó x2

0 2 4 61

0

1

2y1

0 2 4 61

0

1

2y1

0 2 4 62

0

2

4y2

0 2 4 60

50

100uex1

Caso 2 Se utiliza un observador para identificar z3 (ó x2) y utilizarlo en el controlador de estados.

Auu 0:= Amu

1

2

:= Aum 2 2−( ):= Amm

1

4

2−

5−

:= Bm

0

0

0

1

:= bu 1 0( ):=

ko1 0:= ko2 1:= ko ko1 ko2( ):= Se escoge ko para tener el observador

con un polo en -2:

Simulación uex t( ) 80 Φ t 3−( )⋅ 0( )T:= a3 bu ko Bm⋅−:=


© UdeC - DIE

0 2 4 62

0

2

4y2

0 2 4 60

50

100uex1

0 2 4 65

0

5

10fi

0 2 4 65

0

5

10z3, z3 aprox ó x2, x2 aprox

Comparación Las líneas rojas son el sistema con controlador de estado asumiendo todas las variables de estado

disponibles. Las líneas azules son el sistema con controlador de estados asumiendo sólo las salidas y1 e

y2 disponibles (z1 y z2 disponibles ó x1 y x3 disponibles).

0 2 4 61

0

1

2z1 ó x1

0 2 4 65

0

5z2 ó x3

0 2 4 65

0

5

10z3 ó x2

0 2 4 61

0

1

2y1

0 2 4 62

0

2

4y2

0 2 4 60

50

100uex1


© UdeC - DIE

f 0:=

c 0 1 0 0( ):= d 0:=

Caso 1 Se identificará la perturbación y todas las variables de estado.

Sistema extendido.

Ap augment augment A e,( )T

0 0 0 0 0( )T,( )T:= bp augment b

T0,( )T:= cp augment c 0,( ):= A_ Ap

T:= b_ cpT:=

Sistema re-definido para utilizar el

algoritmo de diseño de

controladores de estado.

Co augment b_ A_ b_⋅, A_2b_⋅, A_

3b_⋅, A_

4b_⋅,( ):=

pa s( ) s identity 5( )⋅ A_−:= pd s( ) s 100+ j 100⋅+( ) s 100+ j 100⋅−( )⋅ s 10+( )3

:=

a pa s( )coeffs s,

float 10,

0

1562500.000

704166.6667

29402.77778

24.0

1.

→:= aa pd s( ) coeffs s,

20000000

6200000

661000

26300

230

1

→:= M

a1

a2

a3

a4

1

a2

a3

a4

1

0

a3

a4

1

0

0

a4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

:=

T Co M⋅( )1−


0, 0, 0, length aa( ) 2−,( ) T⋅:=

kc kc1:= kc 30.281− 206 164.776− 7.812 3.84−( )= ko kcT:=

Observador de Perturbaciones

Problema Ahora se considera tener la representación en

variables de estado del motor con eje flexible y se

desea identificar el torque de carga p = tl.

ω1 0:= ω2 0:= k 500:= Jl 0.02:= La 50 103−

⋅:= Ra 1.2:=

km 0.05:= tl 4:= n 12:= Jm 8 104−

⋅:= tdu 2:= tdl 5:=


p t( ) tl 1t tdl−( ).5

Φ t tdl−( )−t 5.5−( )

.5Φ t 5.5−( )+

⋅:=

A

0

0

k

n−km

La

⋅

0

0

k−

0

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

0

km

Jm n⋅

0

0

Ra−

La

:=

b

0

0

0

1

La

:= e

0

1−

Jl

0

0

:=


© UdeC - DIE

0 55

0

5

p - p aprox.

0 5100

50

0

50ia - ia aprox.

0 55

0

5

10tr - tr aprox.

0 50

2000

4000wl - wl aprox.

0 50

2000

4000wr - wr aprox.

0 50

200

u

rad_rpm60

2 π⋅:=


0 0 0 0 0( ), T

0, tf, nf, D,

:=

D t x,( ) augment A

x0

x1

x2

x3

⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+

T

Ap

x4

x5

x6

x7

x8

⋅ ko c⋅

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

−

⋅+ bp u t( )⋅+

T

,

T

:=

Simulación.

t 0tf

nf

, tf..:=m 0 nf..:=nf 500:=tf 8:=CI A1−

b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=u t( ) u0 11

2Φ t tdu−( )⋅−

⋅:=u0 30002 π⋅

60⋅ n⋅ km⋅:=



Los valores propios del observador de

orden completo.eigenvals Ap ko cp⋅−( )T 100− 100i+ 100− 100i− 10.09− 9.955− 0.078i+ 9.955− 0.078i−( )=


© UdeC - DIE

CI A1−

b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=


ko 0 0.2− 0 0( )=

D t z,( ) stack A

z0

z1

z2

z3

⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+

a1 z4

⋅ a2

z0

z1

z2

z3

⋅+ bu ko bm⋅−( ) u t( )⋅+

,

:= a2 0 2 10 0( )=

a1 10−=


0,( )T 0, tf, mf, D,

:= z5_aprox m( ) Za

m 5,ko Za

m 1,Za

m 2,Za

m 3,Za

m 4,

T⋅+:=

0 50

200

u

0 50

2000

4000wr

0 50

2000

4000wl

0 55

0

5

10tr

0 5100

50

0

50ia

0 55

0

5

p, p aprox

Caso 2 Se identificará sólo la perturbación y se asume las variables de estado disponibles.

Auu 0:= Amu e:= Aum 0 0 0 0( ):= Amm A:= bm b:= bu 0:=u0 3000

2 π⋅

60⋅ n⋅ km⋅:=

ko ko1 ko2 ko3 ko4( ):= ko4 Auu ko Amu⋅− float 5, 50.000→ El valor propio del observador.

u t( ) u0 11

2Φ t tdu−( )⋅−

⋅:=ko1 0:= ko2 0.2−:= ko3 0:= ko4 0:= ko ko1 ko2 ko3 ko4( ):= Se escoge ko para tener el

observador con un polo en -10:


© UdeC - DIE

v

100

20

1

=polyroots v( )10−

10−

=v

434.0277778 ko11⋅ ko22⋅ 434.0277778 ko12⋅ ko21⋅−

50.00000000− ko22⋅ 8.680555556 ko11⋅− 50.00000000 ko12⋅+

1

:=

ko23 0:=ko13 0:=ko2150− 100⋅

434.027778 20⋅:=ko12

20

50:=ko11 0:=ko22 0:=

Los coficientes de Ko se ajustan manualmente hasta conseguir dos valores propios en -10. Para esto el

polinomio característico del observador debe tener coeficientes 1, 20 y 100.

s identity 2( )⋅ M−coeffs s,

float 10,

434.0277778 ko11⋅ ko22⋅ 434.0277778 ko12⋅ ko21⋅−

50.00000000− ko22⋅ 8.680555556 ko11⋅− 50.00000000 ko12⋅+

1.

→

Se define la matriz de ganancias del observador

y los valores propios de éste.M Auu Ko Amu⋅−:= KoKo

ko11

ko21

ko12

ko22

ko13

ko23

:=ko23

bu

0

0

:=

Caso 3 Se identificará el torque de carga y el torque interno. Se asume las velocidades y corriente disponibles.

f 0:=

b

0

0

1

La

0

:= e

0

1−

Jl

0

0

:= c 0 1 0 0( ):= d 0:=

A

0

0

n−km

La

⋅

k

0

0

0

k−

km

Jm n⋅

0

Ra−

La

0

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

0

:=

Se utiliza el modelo en que la última variable de estado es el torque

interno para poder utilizar el procedimiento de diseño del observador

de orden reducido.

Se extiende el modelo para

incluir la perturbación.Ap augment augment A e,( )

T0 0 0 0 0( )

T,( )T:= bp augment bT

0,( )T:=

Auu

0

0

0

0

:= Amu

1−

n2Jm⋅

1

Jl

0

0

1−

Jl

0

:= Aum

k

0

k−

0

0

0

:= Amm

0

0

n−km

La

⋅

0

0

0

km

Jm n⋅

0

Ra−

La

:= bm

0

0

1

La

:=


© UdeC - DIE

0 55

0

5

p, p aprox.

0 5100

50

0

50ia

0 55

0

5

10tr, tr aprox.

0 50

2000

4000wl

0 50

2000

4000wr

0 50

200

u

zobs m( )

Zam 5,

Zam 6,

Ko

Zam 1,

Zam 2,

Zam 3,

⋅+:=


0 0( ), T

0, tf, mf, D,

:=D t z,( ) augment A

z0

z1

z2

z3

⋅ b u t( )⋅+ e p t( )⋅+

T

a1

z4

z5

⋅ a2

z0

z1

z2

⋅+ bu Ko bm⋅−( ) u t( )⋅+

T

,

T

:=

a2 Auu Ko⋅ Aum+ Ko Amm⋅− Ko Amu⋅ Ko⋅−:=a1 Auu Ko Amu⋅−:=m 0 mf..:=mf 500:=tf 8:=

CI A1−

b− u 0( )⋅ e p 0( )⋅−( )⋅:=u t( ) u0 11

2Φ t tdu−( )⋅−

⋅:=u0 30002 π⋅

60⋅ n⋅ km⋅:=

Ko

0

0.576−

0.4

0

0

0

=Ko

ko11

ko21

ko12

ko22

ko13

ko23

:=Simulación.


controlador de estados siso udec - diejoseespi/cmv/543760_cmv_cap_iv.pdfcontrolador de estados siso...

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