Convergence testsFrom Wikipedia, the free encyclopediaContents1 Abels test 11.1 Abels test in real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Abels test in complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Abels uniform convergence test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Absolute convergence 42.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Relation to convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1 Proof that any absolutely convergent series of complex numbers is convergent . . . . . . . . 52.2.2 Proof that any absolutely convergent series in a Banach space is convergent . . . . . . . . . 52.3 Rearrangements and unconditional convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.1 Proof of the theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Products of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Absolute convergence of integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Addition chain 93.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Methods for computing addition chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Chain length. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Brauer chain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Scholz conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Addition-chain exponentiation 124.1 Addition-subtractionchain exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12iii CONTENTS4.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Addition-subtraction chain 145.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Almost convergent sequence 166.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Alternating series test 177.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2.1 Proof of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2.2 Proof of partial sum error bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Arithmetic progression 208.1 Sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.1.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.2 Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.3 Standard deviation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.4 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.5 Formulas at a Glance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Betti number 249.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.2 Example 1: Betti numbers of a simplicial complex K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.3 Example 2: the rst Betti number in graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.6 Relationship with dimensions of spaces of dierential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810Cauchy condensation test 2910.1Estimate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.2Integral comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.4Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30CONTENTS iii10.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111Cauchy product 3211.1Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.1.1 Cauchy product of two nite sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.1.2 Cauchy product of two innite sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.1.3 Cauchy product of two nite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.1.4 Cauchy product of two innite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.1.5 Cauchy product of two power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.2Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.3Convergence and Mertens theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.3.2 Proof of Mertens theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.4Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.4.1 Finite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.4.2 Innite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.5Cesros theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.5.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.6Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.6.1 Products of nitely many innite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.7Relation to convolution of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3712Cauchy sequence 3912.1In real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.2In a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.3Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.3.2 Counter-example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.3.3 Counter-example: open interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.3.4 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.4Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.4.1 In topological vector spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.4.2 In topological groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.4.3 In groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.4.4 In constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.4.5 In a hyperreal continuum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.7Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43iv CONTENTS12.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4313Cauchys convergence test 4413.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4413.2Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4413.3Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4513.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4514Chebyshevs sum inequality 4714.1Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.2Continuous version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4815Compact convergence 4915.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4915.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4915.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4915.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016Complementary sequences 5116.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5116.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5116.3Properties of complementary pairs of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5216.4Golay pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5316.5Applications of complementary sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5316.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5316.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5417Conditional convergence 5517.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5517.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5517.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5518Convergence in measure 5618.1Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618.3Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5718.4Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5718.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819Convergence of random variables 5919.1Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5919.2Convergence in distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60CONTENTS v19.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6019.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6119.3Convergence in probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6119.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219.3.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219.4Almost sure convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219.4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219.4.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6319.5Sure convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6319.6Convergence in mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.7Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6619.9Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6619.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6720Convergence problem 6820.1Elementary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6820.1.1 Periodic continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6820.1.2 The special case when period k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6920.1.3 Worpitzkys theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7020.2leszyskiPringsheim criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7120.3Van Vlecks theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7120.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7120.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7221Convergence tests 7321.1List of tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.1.1 Limit of the summand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.1.2 Ratio test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.1.3 Root test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.1.4 Integral test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.1.5 Direct comparison test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.1.6 Limit comparison test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.1.7 Cauchy condensation test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.1.8 Abels test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.1.9 Alternating series test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.1.10 Dirichlets test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.1.11 Raabe-Duhamels test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.1.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.2Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.4Convergence of products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75vi CONTENTS21.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7621.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7622Convergent series 7722.1Examples of convergent and divergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7722.2Convergence tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7822.3Conditional and absolute convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7922.4Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.5Cauchy convergence criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8222.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8223Cumulant-generating function 8323.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.1.1 Alternative denition of the cumulant generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.2Uses in statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423.3Cumulants of some discrete probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423.4Cumulants of some continuous probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8523.5Some properties of the cumulant generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8523.6Some properties of cumulants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8623.6.1 Invariance and equivariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8623.6.2 Homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8623.6.3 Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8623.6.4 A negative result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8623.6.5 Cumulants and moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8723.6.6 Relation to moment-generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8923.6.7 Cumulants and set-partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8923.6.8 Cumulants and combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9023.7Joint cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9023.7.1 Conditional cumulants and the law of total cumulance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9123.8Relation to statistical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9123.9History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9223.10Cumulants in generalized settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9223.10.1 Formal cumulants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9223.10.2 Bell numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9323.10.3 Cumulants of a polynomial sequence of binomial type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9323.10.4 Free cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9323.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9323.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9423.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94CONTENTS vii24Cutting sequence 9524.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9525Cyclic sieving 9625.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9625.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9625.3Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9726DavenportSchinzel sequence 9826.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9826.2Length bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9826.3Application to lower envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9926.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9926.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10026.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10026.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10127Dini test 10227.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10227.2Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10227.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10327.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328Direct comparison test 10428.1For series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10428.1.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10428.2For integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.3Ratio comparison test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10629Dirichlets test 10729.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10729.2Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10729.3Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10829.4Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10829.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10829.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10829.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10830Disjunctive sequence 10930.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10930.2Rich numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110viii CONTENTS30.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11030.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11131Divisibility sequence 11231.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11232Ducci sequence 11432.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11432.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11432.3Modulo two form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11532.4Cellular automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11532.5Other related topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11532.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11632.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11633Examples of generating functions 11733.1Worked example A: basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11733.1.1 Bivariate generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11733.2Worked example B: Fibonacci numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11733.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11834Factorial moment generating function 11934.1Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11934.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12035Farey sequence 12135.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12135.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12135.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12235.3.1 Sequence length and index of a fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12235.3.2 Farey neighbours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12535.3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635.3.4 Ford circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635.3.5 Riemann hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635.4Next term. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12635.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.7Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12936Flat convergence 13036.1Integral currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.2Flat norm and at distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130CONTENTS ix36.3Compactness theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037Generating function 13237.1Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13237.1.1 Ordinary generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13237.1.2 Exponential generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.1.3 Poisson generating function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.1.4 Lambert series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.1.5 Bell series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.1.6 Dirichlet series generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13437.1.7 Polynomial sequence generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13437.2Ordinary generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13437.2.1 Rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13537.2.2 Multiplication yields convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13637.2.3 Relation to discrete-time Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13637.2.4 Asymptotic growth of a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13637.2.5 Bivariate and multivariate generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13737.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13737.3.1 Ordinary generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13837.3.2 Exponential generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13837.3.3 Bell series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13837.3.4 Dirichlet series generating function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13837.3.5 Multivariate generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13837.4Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13837.4.1 Techniques of evaluating sums with generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13937.4.2 Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13937.4.3 Other Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14037.5Other generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14037.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14137.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14137.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14137.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14238Geometric progression 14338.1Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14438.2Geometric series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14538.2.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14538.2.2 Related formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14538.2.3 Innite geometric series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14638.2.4 Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14838.3Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148x CONTENTS38.4Relationship to geometry and Euclids work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14938.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14938.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15038.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15039GromovHausdor convergence 15139.1GromovHausdor distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15139.2Some properties of GromovHausdor space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15139.3Pointed GromovHausdor convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15139.4Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15139.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15240Halton sequence 15340.1Example of Halton sequence used to generate points in (0, 1) (0, 1) in R2. . . . . . . . . . . . . 15340.2Implementation in Pseudo Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15540.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15540.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15540.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15541Harmonic progression (mathematics) 15641.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15641.2Use in geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15641.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15641.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15742Innite product 15842.1Convergence criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15842.2Product representations of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15942.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15942.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16042.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16043Integral test for convergence 16143.1Statement of the test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16143.1.1 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16243.2Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16243.3Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16343.4Borderline between divergence and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16343.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16444Interleave sequence 16544.1Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16544.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165CONTENTS xi45Intrinsic at distance 16645.1Intrinsic at distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16645.2Riemannian setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16645.3Integral current spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16745.4Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16745.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16745.6Citations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16746Iterated function 16946.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16946.2Abelian property and Iteration sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16946.3Fixed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17046.4Limiting behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17046.5Fractional iterates and ows, and negative iterates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17046.6Some formulas for fractional iteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17146.6.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17146.6.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17146.6.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17246.7Conjugacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17246.8Markov chains. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17246.9Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17346.10Means of study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17346.11In computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17346.12Denitions in terms of iterated functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17346.13Lies data transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17346.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17446.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17447Katydid sequence 17547.1Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17547.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17547.3External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17548Limit comparison test 17648.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17648.2Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17648.3Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17648.4One-sided version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17648.5Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17748.6Converse of the one-sided comparison test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17748.7Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17748.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177xii CONTENTS48.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17749Limit of a sequence 17849.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17849.2Real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17949.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17949.2.2 Formal Denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18049.2.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18049.2.4 Innite limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18049.3Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18149.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18149.3.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18149.4Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18149.4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18149.4.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18149.5Cauchy sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18149.6Denition in hyperreal numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18149.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18249.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18249.8.1 Proofs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18249.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18349.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18350List of sums of reciprocals 18450.1Finitely many terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18450.2Innitely many terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18550.2.1 Convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18550.2.2 Divergent series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18650.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18650.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18651Logarithmically concave sequence 18751.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18751.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18752Low-discrepancy sequence 18852.1Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18852.1.1 Low-discrepancy sequences in numerical integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18852.2Denition of discrepancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18952.3The KoksmaHlawka inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19052.4The formula of Hlawka-Zaremba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19052.5The L2version of the KoksmaHlawka inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19052.6The ErdsTurnKoksma inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191CONTENTS xiii52.7The main conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19152.8Lower bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19252.9Construction of low-discrepancy sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19252.9.1 Random numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19252.9.2 Additive recurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19352.9.3 Sobol sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19352.9.4 van der Corput sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19452.9.5 Halton sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19452.9.6 Hammersley set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19452.9.7 Poisson disk sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19552.10Graphical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19552.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19552.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19553Mathematics of oscillation 20353.1Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20353.1.1 Oscillation of a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20353.1.2 Oscillation of a function on an open set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20453.1.3 Oscillation of a function at a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20453.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20453.3Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20453.4Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20653.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20653.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20654Matsushimas formula 20754.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20755Modes of convergence 20855.1Elements of a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20855.2Series of elements in a topological abelian group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20855.3Convergence of sequence of functions on a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20855.4Series of functions on a topological abelian group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20955.5Functions dened on a measure space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20955.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20956Modes of convergence (annotated index) 21056.1A sequence of elements {an} in a topological space (Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21056.1.1 ...in a uniform space (U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21056.2A series of elements bk in a TAG (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21056.2.1 ...in a normed space (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21156.3A sequence of functions {fn} from a set (S) to a topological space (Y) . . . . . . . . . . . . . . . . 21156.3.1 ...from a set (S) to a uniform space (U). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211xiv CONTENTS56.4A series of functions gk from a set (S) to a TAG (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21256.4.1 ...from a set (S) to a normed space (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21256.4.2 ...from a topological space (X) to a TAG (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21256.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21357Moment-generating function 21457.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21457.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21557.3Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21557.3.1 Sum of independent random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21557.3.2 Vector-valued random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21557.4Important properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21657.4.1 Calculations of moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21657.5Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21657.6Relation to other functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21657.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21757.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21758Monotone convergence theorem 21858.1Convergence of a monotone sequence of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21858.1.1 Lemma 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21858.1.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21858.1.3 Lemma 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21858.1.4 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21858.1.5 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21858.1.6 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21858.2Convergence of a monotone series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21958.2.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21958.3Lebesgues monotone convergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21958.3.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21958.3.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22058.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22258.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22259Normal convergence 22359.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22359.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22359.3Distinctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22359.4Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22459.4.1 Local normal convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22459.4.2 Compact normal convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22459.5Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224CONTENTS xv59.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22459.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22460Periodic sequence 22560.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22560.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22560.3Periodic 0, 1 sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22660.4Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22661Pointwise convergence 22761.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22761.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22761.3Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22861.4Almost everywhere convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22861.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22861.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22862Polynomial sequence 22962.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22962.2Classes of polynomial sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23062.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23062.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23063Polyphase sequence 23163.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23163.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23164Probability-generating function 23264.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23264.1.1 Univariate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23264.1.2 Multivariate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23264.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23264.2.1 Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23264.2.2 Probabilities and expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23364.2.3 Functions of independent random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23364.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23464.4Related concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23564.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23564.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23565Radius of convergence 23665.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23665.2Finding the radius of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23665.2.1 Theoretical radius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237xvi CONTENTS65.2.2 Practical estimation of radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23765.3Radius of convergence in complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23865.3.1 A simple example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23965.3.2 A more complicated example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23965.4Convergence on the boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24065.5Comments on rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24165.6A graphical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24165.7Abscissa of convergence of a Dirichlet series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24165.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24165.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24265.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24266Random sequence 24366.1Early history. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24466.2Modern approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24466.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24466.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24566.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24566.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24567Ratio test 24667.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24667.2The test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24767.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24867.3.1 Convergent because L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24867.3.3 Inconclusive because L=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24867.4Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24967.5Extensions for L = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24967.5.1 Raabes test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25067.5.2 Higher order tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25067.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25167.7Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25167.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25268Retkes convergence criterion 25368.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25369Rook polynomial 25469.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25469.1.1 Complete boards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25569.2Matching polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25569.3Connection to matrix permanents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255CONTENTS xvii69.4Complete rectangular boards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25569.4.1 Rooks problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25569.4.2 The rook polynomial as a generalization of the rooks problem. . . . . . . . . . . . . . . . 25669.4.3 Symmetric arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25769.4.4 Arrangements counted by symmetry classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25869.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25870Root test 26070.1Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26070.2Application to power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26170.3Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26170.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26170.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26271Scarborough criterion 26371.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26371.2Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26371.3GaussSeidel method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26371.4Diagonal dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26371.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26471.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26471.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26472Scholz conjecture 26572.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26572.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26573Sequence 26673.1Examples and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26773.1.1 Important examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26773.1.2 Indexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26873.1.3 Specifying a sequence by recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26973.2Formal denition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26973.2.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26973.2.2 Finite and innite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27073.2.3 Increasing and decreasing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27073.2.4 Bounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27073.2.5 Other types of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27073.3Limits and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27173.3.1 Denition of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27273.3.2 Applications and important results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27273.3.3 Cauchy sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27373.4Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273xviii CONTENTS73.5Use in other elds of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27473.5.1 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27473.5.2 Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27473.5.3 Linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27573.5.4 Abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27573.5.5 Set theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27673.5.6 Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27673.5.7 Streams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27673.6Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27673.7Related concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27773.8Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27773.9See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27773.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27773.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27874Sequence space 27974.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27974.1.1 pspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27974.1.2 c and c0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28074.1.3 Other sequence spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28074.2Properties of pspaces and the space c0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28174.2.1 pspaces are increasing in p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28274.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28274.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28275Shift rule 28375.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28376Sobol sequence 28476.1Good distributions in the s-dimensional unit hypercube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28476.2A fast algorithm for the construction of Sobol sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28576.3Additional uniformity properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28576.4The initialization of Sobol numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28676.5Implementation and availability of Sobol sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28676.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28676.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28776.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28776.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28777Stationary sequence 28877.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28877.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288CONTENTS xix78StolzCesro theorem 28978.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28978.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29079Sturmian word 29179.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29179.1.1 Combinatoric denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29179.1.2 Geometric denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29279.2Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29279.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29279.2.2 Balanced aperiodic sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29379.2.3 Slope and intercept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29379.2.4 Frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29479.3Non-binary words . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29479.4Associated real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29479.5History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29479.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29479.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29579.8Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29580Subadditivity 29680.1Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29680.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29680.3Economics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29780.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29780.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29780.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29780.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29881Subsequence 29981.1Common subsequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29981.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29981.3Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30081.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30081.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30082Subsequential limit 30183Superadditivity 30283.1Examples of superadditive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30283.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30283.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30384Term test 304xx CONTENTS84.1Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30484.2Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30484.2.1 Limit manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30584.2.2 Cauchys criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30584.3Scope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30584.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30584.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30585Tuple 30785.1Etymology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30785.1.1 Names for tuples of specic lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30785.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30785.3Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30885.3.1 Tuples as functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30885.3.2 Tuples as nested ordered pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30885.3.3 Tuples as nested sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30985.4 n-tuples of m-sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30985.5Type theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30985.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31085.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31085.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31186Unconditional convergence 31286.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31286.2Alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31286.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31286.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31287Uniform absolute-convergence 31487.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31487.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31487.3Distinctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31487.4Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31587.5Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31587.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31587.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31588Uniform convergence 31688.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31688.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31688.2.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31788.2.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31788.2.3 Denition in a hyperreal setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317CONTENTS xxi88.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31788.3.1 Exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31888.4Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31888.5Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31988.5.1 To continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31988.5.2 To dierentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32088.5.3 To integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32088.5.4 To analyticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32188.5.5 To series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32188.6Almost uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32188.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32188.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32188.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32188.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32289Uniformly Cauchy sequence 32389.1Convergence criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32389.2Generalization to uniform spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32389.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32390Van der Corput sequence 32490.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32590.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32590.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32590.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32591Vectorial addition chain 32691.1Addition sequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32691.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32791.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32792Vites formula 32892.1Signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32992.2Interpretation and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32992.3Related formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33092.4Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33092.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33192.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33293Weierstrass M-test 33393.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33393.2Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33393.3Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334xxii CONTENTS93.3.1 Another Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33493.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33493.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33594Weisners method 33694.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33694.2Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33794.2.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33794.2.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34494.2.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Chapter 1Abels testIn mathematics, Abels test (also known as Abels criterion) is a method of testing for the convergence of an inniteseries. The test is named after mathematician Niels Henrik Abel. There are two slightly dierent versions of Abelstest one is used with series of real numbers, and the other is used with power series in complex analysis. Abelsuniformconvergence test is a criterion for the uniformconvergence of a series of functions dependent on parameters.1.1 Abels test in real analysisSuppose the following statements are true:1. an is a convergent series,2. {bn} is a monotone sequence, and3. {bn} is bounded.Thenanbn is also convergent.It is important to understand that this test is mainly pertinent and useful in the context of non absolutely convergentseriesan . For absolutely convergent series, this theorem, albeit true, is almost evident.1.2 Abels test in complex analysisA closely related convergence test, also known as Abels test, can often be used to establish the convergence of apower series on the boundary of its circle of convergence. Specically, Abels test states that iflimnan= 0and the seriesf(z) =n=0anznconverges when |z| < 1 and diverges when |z| > 1, and the coecients {an} are positive real numbers decreasingmonotonically toward the limit zero for n > m (for large enough n, in other words), then the power series for f(z)converges everywhere on the unit circle, except when z = 1. Abels test cannot be applied when z = 1, so convergenceat that single point must be investigated separately. Notice that Abels test can also be applied to a power series withradius of convergence R 1 by a simple change of variables = z/R.[1]Proof of Abels test: Suppose that z is a point on the unit circle, z 1. Then12 CHAPTER 1. ABELS TESTz= ei z12z12= 2i sin2 = 0so that, for any two positive integers p > q > m, we can write2i sin2 (Sp Sq) =pn=q+1an_zn+12zn12_=_pn=q+2(an1 an) zn12_aq+1zq+12+apzp+12where Sp and Sq are partial sums:Sp=pn=0anzn.But now, since |z| = 1 and the an are monotonically decreasing positive real numbers when n > m, we can also write2i sin2 (Sp Sq) =pn=q+1an_zn+12zn12__pn=q+2(an1 an) zn12_+aq+1zq+12 +apzp+12=_pn=q+2(an1 an)_+aq+1 +ap= aq+1 ap +aq+1 +ap= 2aq+1.Now we can apply Cauchys criterion to conclude that the power series for f(z) converges at the chosen point z 1,because sin() 0 is a xed quantity, and aq can be made smaller than any given > 0 by choosing a large enoughq.1.3 Abels uniform convergence testAbels uniform convergence test is a criterion for the uniform convergence of a series of functions or an improperintegration of functions dependent on parameters. It is related to Abels test for the convergence of an ordinary seriesof real numbers, and the proof relies on the same technique of summation by parts.The test is as follows. Let {gn} be a uniformly bounded sequence of real-valued continuous functions on a set E suchthat gn(x) gn(x) for all x E and positive integers n, and let {n} be a sequence of real-valued functions such thatthe series n(x) converges uniformly on E. Then n(x)gn(x) converges uniformly on E.1.4 Notes[1] (Moretti, 1964, p. 91)1.5 ReferencesGino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1Weisstein, Eric W., Abels uniform convergence test, MathWorld.1.6. EXTERNAL LINKS 31.6 External linksProof (for real series) at PlanetMath.orgChapter 2Absolute convergenceIn mathematics, an innite series of numbers is said to converge absolutely (or to be absolutely convergent) if thesum of the absolute value of the summand is nite. More precisely, a real or complex series n=0an is said toconverge absolutely if n=0|an| =L for some real numberL . Similarly, an improper integral of a function,0f(x) dx , is said to converge absolutely if the integral of the absolute value of the integrand is nitethat is, if0|f(x)| dx = L.Absolute convergence is important for the study of innite series because its denition is strong enough to haveproperties of nite sums that not all convergent series possess, yet is broad enough to occur commonly. (A convergentseries that is not absolutely convergent is called conditionally convergent.)2.1 BackgroundOne may study the convergence of seriesn=0an whose terms an are elements of an arbitrary abelian topologicalgroup. The notion of absolute convergence requires more structure, namely a norm, which is a real-valued function : G R on abelian group G (written additively, with identity element 0) such that:1. The norm of the identity element of G is zero: 0 = 0.2. For every x in G, x = 0 implies x = 0.3. For every x in G, x = x.4. For every x, y in G, x +y x +y.In this case, the function d(x, y) = x y induces on G the structure of a metric space (a type of topology). Wecan therefore consider G-valued series and dene such a series to be absolutely convergent ifn=0an < .In particular, these statements apply using the norm |x| (absolute value) in the space of real numbers or complexnumbers.2.2 Relation to convergenceIf G is complete with respect to the metric d, then every absolutely convergent series is convergent. The proof is thesame as for complex-valued series: use the completeness to derive the Cauchy criterion for convergencea series isconvergent if and only if its tails can be made arbitrarily small in normand apply the triangle inequality.In particular, for series with values in any Banach space, absolute convergence implies convergence. The converse isalso true: if absolute convergence implies convergence in a normed space, then the space is a Banach space.If a series is convergent but not absolutely convergent, it is called conditionally convergent. An example of a con-ditionally convergent series is the alternating harmonic series. Many standard tests for divergence and convergence,most notably including the ratio test and the root test, demonstrate absolute convergence. This is because a powerseries is absolutely convergent on the interior of its disk of convergence.42.3. REARRANGEMENTS AND UNCONDITIONAL CONVERGENCE 52.2.1 Proof that any absolutely convergent series of complex numbers is convergentSince a series of complex numbers converges if and only if both its real and imaginary parts converge, we may assumewith equal generality that the an are real numbers. Suppose that|an| is convergent. Then, 2|an| is convergent.Since 0 an +|an| 2|an| , we have0 mn=1(an +|an|) mn=12|an| n=12|an|Thus,mn=1(an +|an|) is a bounded monotonic sequence (in m), which must converge.an=(an +|an|) |an| is a dierence of convergent series; therefore, it is also convergent, as desired.2.2.2 Proof that any absolutely convergent series in a Banach space is convergentThe above result can be easily generalized to every Banach space (X, ). Let xn be an absolutely convergent seriesin X. Asnk=1 xk is a Cauchy sequence of real numbers, for any > 0 and large enough natural numbers m > n itholds:mk=1xk nk=1xk =mk=n+1xk < .By the triangle inequality for the norm , one immediately gets:_____mk=1xk nk=1xk_____ =_____mk=n+1xk_____ mk=n+1xk < ,which means thatnk=1 xk is a Cauchy sequence in X, hence the series is convergent in X.[1]2.3 Rearrangements and unconditional convergenceIn the general context of a G-valued series, a distinction is made between absolute and unconditional convergence, andthe assertion that a real or complex series which is not absolutely convergent is necessarily conditionally convergent(meaning not unconditionally convergent) is then a theorem, not a denition. This is discussed in more detail below.Given a series n=0an with values in a normed abelian group G and a permutation of the natural numbers, onebuilds a newseriesn=0a(n) , said to be a rearrangement of the original series. Aseries is said to be unconditionallyconvergent if all rearrangements of the series are convergent to the same value.When G is complete, absolute convergence implies unconditional convergence:Theorem. Leti=1ai= A G,i=1ai < and let : N N be a permutation. Then:i=1a(i)= A.The issue of the converse is interesting. For real series it follows from the Riemann rearrangement theorem thatunconditional convergence implies absolute convergence. Since a series with values in a nite-dimensional normed6 CHAPTER 2. ABSOLUTE CONVERGENCEspace is absolutely convergent if each of its one-dimensional projections is absolutely convergent, it follows thatabsolute and unconditional convergence coincide for Rn-valued series.But there are unconditionally and non-absolutely convergent series with values in Hilbert space 2, for example:an=1nen,where {en}n=1 is an orthonormal basis. A theorem of A. Dvoretzky and C. A. Rogers[2] asserts that every innite-dimensional Banach space admits an unconditionally convergent series that is not absolutely convergent.2.3.1 Proof of the theoremFor any > 0, we can choose some , N , such that:N> n=Nan _____Nn=1an A_____ M, letI,= {1, . . . , N} \ 1({1, . . . , N})S,= min {(k) : k I,}L,= max {(k) : k I,}Then_____Ni=1a(i) A_____ =______i1({1,...,N})a(i) A+iI,a(i)____________Nj=1aj A______+______iI,a(i)____________Nj=1aj A______+iI,__a(i)________Nj=1aj A______+L,j=S,aj______Nj=1aj A______+j=N+1aj S, N + 1< This shows that2.4. PRODUCTS