correcion algebra 2do iv
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IEP Los Peregrinos ALGEBRA 2 Ao
donde:m;n
N
De aqu se deduce el siguienteartificio:
m n a
=n m a
donde se pueden permutar elorden de los ndices y la igualdadno se alteran.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
1)n ma
=kn kma
.
Si en un radical multiplicamos el ndice yel exponente del radicando por un mismonumero natural diferente de cero, elnuevo radical es equivalente al primero.
Ejemplo:
a)
3 4x
=2.3 24x
=6 8x
b)
m
=
5.2 51m
=n ma
=
kn kma
2)kn kmn m aa =
No cambia de valor el radical al dividir elexponente o exponentes del subradical yel ndice del radical por una mismacantidad.
Ejemplo:
a)nx4
=26 24 x
=3 2x
b)
18 96yx
=
318 3936 yx
=
6 32yx
3) Cuando el exponente del subradical y elndice del radical son nmeros primos entre
si se dice que el radical ha quedadoreducido a su mnima expresin (Losexponentes de los subradicales deben sermenores que los ndices.
Ejemplo:
7 3x
;
5 2)(xy
,
3 25 yx
10.2 CLASIFICACION DE LOSRADICALES
a) Radicales Equivalentes: Son aquellasradicales diferentes que representan a unmismo numero real.Ejemplo:
3
27
y
9
son radicales equivalentes
porque representan al numero 3.
b) Radicales Homogneas.Son aquellos radicales que tienen el mismondice.Ejemplo:
a)3 5
;3 2
;3 3
b)3
x5
; 7
z8
c) Radicales Semejantes.-Aquellos que adems de tener el mismondice, poseen la misma cantidadsubradical, solo se diferencian por loscoeficientes.
Ejemplos:
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a)33 4
;-23 7
; 0,73 2
b)x2
24b
; 2x24b
; -
2
2
42
1
b
Nota: Hay radicales que aparentementeno son semejantes, pero si hacemos unasencilla transformacin veremos que si loson:Ejemplo:
50
=
225
= 2
5
72
=
236
= 6
2
luego
5
y
72
son
semejantes.
10.3 TRANSFORMACIN DE LOSRADICALES
a) Extraer factores fuera del SignoRadical.-Cada exponente se descompone ( si es
posible ) en el producto de otras dos unade las cuales tiene por exponente elmayor mltiplo del ndice contenido en elexponente inicial y se extrae el factor delradical con exponente igual al cociente dedividir dicho exponente entre el ndice.
Ejemplo:a)
4 38 zyx
=x2
4 3zy
b)8
3 416 yx
=
3 2633 22 yyxx
=2xy2
3 22xy
c)
3
2
33243 ba
=
3
2
baba 2233
=
abab 333
2 2
=6ab
ab3
d)3 33 5427 caba
=
( )3 3 227 cba
=3a3 2cb
NOTA:Si hay nmeros dentro la raz se
descomponen en sus factores primos, y se
extrae el factor que tiene como exponentea un mltiplo del ndice de la raz.
b) Introduccin de Factores dentro delSigno Radical.-
Se eleva el factor a introducir a unapotencia igual al ndice.Ejemplos:a)2
3 5
=3 325
=3 40
b)
3 22 23
2xyyx
=
( )3 23
2 23
2xyyx
=
3
57
27
16 yx
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c)2
( )( )
( )
( )
( )( ) 214
1
2
1
21
=
aa
a
a
aa
=
( ) ( )124 aa
c) Transformacin de Radicales a unndice Comn (Homogenizacin deRadicales)
Procedemos:Hallar el mcm de los ndices de losradicales dados(ser el ndice comn)
Aplicamos una de las propiedades de los
radicales.
( ( kn kmn m aa =
de tal manera que todos los radicalestengan el ndice comn.
Ejemplo:
1)Homogenizar los siguientes radicales.
5 33 23 ;; zyx
Solucin:m.c.m de 2,3,5=30Luego 30se divide entre el ndice propiode cada radical, este resultado semultiplica por el ndice y por elexponente del subradical.
30 45152 1533 XXX ==
30 20103 1023 2 YYY ==
5 3Z
=30 1865 63 ZZ =
luego:
30 1830 2030 45 ;; zyx
son respectivamente equivalentes a:
5 33 23 ;; zyx
10.4 OPERACIONES CON RADICALES
ADICION Y SUSTRACCIN.-Si los radicales no son semejantes laoperacin se deja indicada ; si lofueran, se separa al radical comofactor comn de todos los trminos yse opera con los coeficientes.Ejemplos:
1)Efectuar:83 a
+43 a
-2
a
+5
a
Resolucin12
+3 a
3
a
2)Efectuar:3
+5 x
y
5 x
275 x
Resolucin
( )zyx 235 +
MULTIPLICACIN Y DIVISINSi se trata de radicales homogneos;se toma la raz del mismo ndice alproducto o divisin de radicandos. Sitienen diferente ndice se procedepreviamente a la homogenizacin.Ejemplos:
1)Efectuar:
33 2 25 xyyx
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Solucin
( )( )3 2 25 xyyx
=
3 2310 yx
2)Efectuar:
mmm yxyx 3 223 53 2
Solucin
mm yxyxyx 3 743 2252 =
3) Efectuar:
63 323
Solucin:
Homogenizando ndices se tendr:
= 623 2132 31
32366 26 3 323
=6 23
323
=6 324
4)Efectuar:
5 35 13 xx =
25 1053
13
xxx
x===
POTENCIA DE UN RADICAL
Basta con elevar la cantidad subradical oradicando al exponente al cual estaelevado el radical.
( ) n mmn aa =
Ejemplos:1)
( ) ( )6 356
75
7
6 5 aaa ==2)
( ) 7 151057 32 yxyx =
RAIZ DE UN RADICALEn estos casos, se escribe la mismacantidad subradical afectada de un solo
radical, cuyo ndice ser igual al productode los ndices de los radicales.
m n mn aa =
Ejemplos:1)hallar la raz sptima de:
3 2x
Se pide:21 237 27 3 2 xxx ==
2)Efectu:
15 453 43 5 4 xxx ==
3)Efectuar:
60 5265 55 6 2 222 babaab ==
PROBLEMAS
NIVEL I
A) Reducir los siguientes radicales:1)
8
2)
45
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11)
( ) ( )4 baba
12)
( )( )
31
baba
++
13) x2y
57
2
x
y
14)
( )
( )
( )
( )3
216
24
2
12
++
++
x
x
x
x
15)
( )221 yxyx
16)
( ) ( )3 221 yxyxyx
17)
( )4
8
24
2
2 yx
yx
+
+
18)2a3 3ab
19)
( ) abx 4+
20)
2
3
2ab
3 2x
NIVEL II
A) Efectuar:1)
333 5,035 mmm +
2)
yyyy + 1085
3)5 35 35 3
3,17,0 xxx ++
4)333 842 mmm +
5)
ppp 2/13/14/1 +
6)
nnn 24,05,2 +
7)8 44 252 xxx +
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8)12 66 3 865 xxx +
9)9 1515 253 5
4,18.05,0 xxx +
10)42 1821 97 3 5,03/14/1 xxx +
11)12 5498 36 2,18,03,8 mmm ++
12)
5 2355 223310 46 84,04,3 yxyxyx +
13)
5176 xx
xxx +
14)
753 235 xx
xxx +
15)252 432 yxxyxyx +
16)
5
2
332
312
148 x
xx
xx +
17)yxxyyyxx 533 223 ++
18)
yxx
yxy
xyx 7335
3252 +
19)33 278259 xxxx +
20)3 423 42 81542429 xxxx ++
B) Efectuar:
1)12 612 312 3 xxx
2)
15 41015 6315 52 yxyxyx
3)16 216 816 6 562 mmm
4)
5 25 335 2 442 yzxzxyyzx
5)9 5123 2 xxx
6)3 456 7 mmm
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7)
124 54 3 mmmm
8)
363 x
9)33 24 x
10)
33 2 104 yxy
11)4 34 6 86 aa
12)3 293 aa
13)
( xxyx 3+
14)
( yxxy 31421
15)
( xxyx 15105
16)
22 ++ xx
17)
xxyx +
3 23 2 xx
18)4 24 3 273 aa
19)5 45 284aa
20)4 342 aa
C) Efectuar:
1)
yxx 223
2)3285 yxx
3)
3 753 57 464 baba
4)
4
2714
2
34
32 aa
aa
5)
3 223 2 210 xyyyxx
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6)
6 25 8 yxx
7)4 327 5 baba
8)6 53 2 62 mm
9)6 434 2 42 yxyx
10)
3
2242
3
2
5
3
5
38
x
y
y
x
y
xx
11)
3 573 810 525 yxyx
12)
( ) 7 327 437 66 332 bababa
13)9 29 539 34 21,02,0 qpqpqp
14)7 287 915 981 baba
15)
3 225 64 pqpq
16)3 54 48 mm
17)
( 124 33 5 mmm
18)
3 25 532 333756 yxyyyx
19)
xx51
85
32
21 8
20)
aaxaa2
12
8
2 22
D) Efectuar
1)
( )315 65mp
2)
( )23 86mq
3)
( )63 63nm
4)
( 23
x
106
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5)
( )472xm
6)
( )2
25nm
7)
( )34 322 zxy
8)
( )463yx
9)
( )35ab
10)
( )5
3 962 yx
11)
( )33 275 nmp
12)
( )55 434 cab
13)
( )23 753 zyx
14)
3 2 975 zyx
15)
( )33 1045 sr
16)
( )2
3 27/8
17)
( )35 32/1
18)
( )3632 74 xba
19)2
2
3
2
4
3
xyba
20)( )223 zx
E) Efectuar:
1)5 31732 nm
2)
3 2228 zyx
3)4 44681 nba
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4)
6 861464 ynm
5)
3 1236216 srq
6)
3 12183512 zyx
7)
3 2x
8)
3 3 526 ba
9)
7535 nmp
10)
5 327 ba
11)
5 3 843 yx
12)
5 4 43bca
13)
mpm37
14)
3 2 975 zyx
15)
4 5 24 tsr
16)
3 12664 yx
17)
3 3661264/1 zyx
18)
5 3 251545 cba
19)
748256 pnm
20)
5 3 25154 yx
10.5. RADICALES DOBLES
CONCEPTO:
Son aquellos que en su interioraparecen otros radicales ligado entre sipor las operaciones de suma o resta.Ejemplos:
dcbaba +++++ ;;53 3
105
-
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CONVERSIN DE RADICALESDOBLES A SIMPLES:No todo radical doble, podrtransformarse en radicales simplespodr hacerse ello solo con aquellosque cumplen ciertas condiciones o
requisitos.
ESTUDIO DE LA FORMA:
BA
(donde A y B deben ser racionales)Si:
yxBA =
Se cumplir solo si existe unnumero o expresin:
C=
= BA2raz exacta
Entonces:
22
CACABA
+=
Ejemplo:Transformar
206 +
Resolucin:A=6; B=20
C=
4162062 ==
152
46
2
46206 +=
+
+=+
Ejemplo:
Transformar
12528 +
Resolucin:Aqu, previamente se introduce el 5 en elinterior del segundo radical:
,30028125282 +=+
entonces: A=28 ; B=300Luego:
22484
300784300282
==
==C
Entonces:
35325
2
2228
2
222812528
+=+=
+
+=+
Forma Prctica:Consiste en buscar(o lograr) un trinomiocuadrado perfecto en el radicando. As:
( )
BA
BAABBA
=
=+2
2
* Transformar.-
206 +
Resolucin.
15526
546206
+=+=
+=+
5+1 5.1
103
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* Transformar
12528
+
Resolucin:
Aqu hay que hacer una dobletransformacin, es decir introduciremos el5 pero del 12 extraemos el factor 4.
35325
752282528
+=+=
+=+
10.6 RACIONALIZACIN
CONCEPTO:
Es el proceso que consiste entransformar un de nominadorirracional en otro racional.
FACTOR RACIONALIZANTE (FR).-Es la expresin por la que semultiplica el numerador y eldenominador, permitiendo que esteultimo se transforme en unaexpresin racional.
3
32
3
3
3
2
3
2==
factor racionalizante
CASOS QUE SE PRESENTAN:
A) Cuando el Denominador tiene unSolo Trmino:
n ka
A
En estos casos el factor racionalizanteestar expresado por otro radical que tengael mismo ndice , cuyos exponentes delradicando estarn expresados por ladiferencia existente entre el ndice originalde la raz y los exponentes que afectan asus letras.
FR=
n kna
Ejemplo:Racionalizar:
7 4
1
a
Solucin:El F.R. ser:
7 3a
a
a
a
a
a
a
aa
7 3
7 7
7 3
7 3
7 3
7 47 4
11===
B) Denominadores de La Forma:
nn
ba
A22
En estos casos se multiplica numerador ydenominador por la conjugada de esteultimo que se empleara tantas veces hastaque el denominador quede transformado enuna expresin racional.
Racionalizar:
35
2
+
Solucin:
103
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Multiplicando numerador y denominadorpor la conjugada de este ltimo es decir:
35 +
( )( ) ( )
( )
( )35
2
352
35
352
35
352
35
35
35
2
35
2
22
=
=
=
=
+
=+
EJERCICIOS
NIVEL I
A) Descomponer en radicalessimples:
(1)
608+
(2)
14035
(3)
22016 +
(4)
137 +
(5)
1910
(6)728 +
(7)
42213
(8)
324
(9)
1429 +
(10)
30217
(11)
xx 21++
(12)
xyyx 525 +
(13)
xyxy 1213 ++
(14)
nmnm 33 4++
(15)
abccab 2++
(16)
abcbca 2+
(17)
bacabc ++2
(18)
1222 ++ xx
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(19)
13222222 ++ xxx
(20)
16815282
aaa
B) Racionalizar:
(1)
57
3
(2)
232
(3)
52
4
(4)
52
2
(5)
5 316
5
x
(6)
21
22
+
(7)
3 29
6
x
(8)
yx +1
(9)
yx +7
(10)
1
24 +x
a
(11)
xy
yx
+
(12)
xyx
222
(13)
1
3
xx
(14)3
134 +x
x
(15)
1
1
m
m
(16)
31
2
m
m
+
(17)
12
123 +
x
x
(18)
3
3
1
1
x
x
+
104
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(19)
15
153
x
x
(20)
36
633
x
x
NIVEL II
A) Efectuar y marcar la respuestacorrecta.
1.-Racionalizar:
4 54
3
a)
2
545
b)
6
545
c)
2
5434
d)5 723
e)N.A.
2)Racionalizar:
3 28
7
a)
2
2843
b)
2
983
c)
2
5435
d)5 723
e)N.A.
3.-Racionalizar:
4 675
30
a)4 752
b)4 67530
c)
15
754
d)
15
6754
e)N.A.
4.-Simplificar:
33 3
6
9
15+
a)33 36915 +
b)33 9235 +
c)3 321
d)3 93
e)N.A.
5.-Racionalizar.-
3 18
4
a)
3
1223
b)
2
1833
c)3 123
d)3 184
e)N.A.
6.-Racionalizar:
4 200
100
105
-
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a)4 2510
b)
3
100104
c)4 5010
d)4 255
e)N.A.
7.-Simplificar:
3223
23
a)
6
b)
6
3
c)
3
2
d)
6
6
e)
3
8.-Racionalizar:
5 7273
ba
a)
ba
ab2
5 493
b)
ab
ba5 4393
c)
abba
39
5 43
d)
baba2
5 43
9
e)N.A.
9.-Racionalizar:
xx
xx
+++
1
a)1 b)
2
2
1 xx
xx
+++
c)
2
2
1 xx
xx
++
d)
xx
xx
+++
2
21
e)
( ) 22
1++
x
xx
10. Racionalizar:
11
11
+++
xx
xx
a)
xx 12b)
21 xx +
c)
12
xx
d)
12 xxx
e) x-1
11. Racionalizar:
25
3
a)
25
+
b)
453
+c)
( 253 b) 3
( 25 +e) 1
12. Racionalizar:
26
2
104
-
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a)
2
b)
2
2
c)
4
2
d)1
13.-Racionalizar:
32
4
28
2+
a)
2
b)
22
c) 2
2
d)
4
2
e) 1
14.-Racionalizar:
2333
1
3223
4
3223
2
+
++
a)
243
b)
3
3229
c)1 d)0
e)
33
210
15.-Simplificar:
baba 62
1
62
1
++
a) 2a b)
ba
a
3
2
c)
ba
b
3
6
d)
ba
a
3
2
+
e)
ba
b
3
6
+
16.-Racionalizar:
33
1
yx
yx
yxa
+ 33 2
)
yx
yxb
+ 33
)
yx
yxyxc
++ 3 233 2
)
yx
yxyxd
+++3 22
)
yx
yxyxe
++ 3 233 2
)
17.-Racionalizar:
104
52
a) 1/2 b) 29/7 c) 2
2
d)
6
27
e)
7
26
104
-
8/6/2019 Correcion Algebra 2do IV
20/24
IEP Los Peregrinos ALGEBRA 2 Ao
18.-Simplificar:
yxyx ++
11
a)
yx
x
b)
yx
x
2
c)
yx
y
d)
yx
y
2
e)1
19.-Cul es el radical doble que ha dadoorigen a los radicales simples
11 ++a
a)
221 +++ aa
b)
aa 221++
c)
442 +++ aa
d)
aa 22 ++
e) N.A.
20.-Expresar como un solo radical doble.
32154 +
a)
56
b)
523
c)
526
d)
53
e)N.A.
NIVEL III
1.-Hallar el equivalente de la expresin:
xxxx 21++++
a)
11 ++x
b)
1+x
c)
xx ++1
d)
xx +1
e)N.A.
RESOLVER Y MARCAR LA RESPUESTACORRECTA:
2)Simplificar:
33 16
24
2
18+
a)3 415
b)30 c)3 215
d)3 218
e)N.A.
3.-Reducir:
5 42
5 627
8
3
yzx
zyx
a)
3
853xyz
b)
8
352zxyx
c)
2
125 24yzx
d)
4
35 xyyz
e)N.A.
104
-
8/6/2019 Correcion Algebra 2do IV
21/24
IEP Los Peregrinos ALGEBRA 2 Ao
4.-Reducir:
5 2
5 567
24
3
bca
cba
a)
5 242
cab
b)
5 4
8
1
2c
ab
c)
5 422
cab
d)
5 442
cab
e)
5 42178 cba
5.-Racionalizar:
25
102
a)
3
4102 +
b)
524 +
c)
102
d)
3
102
e)
3
4102
6.-Simplificar:
125
200
25
3+
+
a)
( )259 +b)
258 +
c)2355 +
d)529 +
e)
259 +
7.-Simplificar:
2332
32
a)
6
b)
2
3
c)
3
2
d)
66
e)N.A.
8.-El valor de : y=
32
32
32
32
+
++
a)6 b)-5 c)-6
d)-1 e)4
9.-Racionalizar:
yxyx
yx
+
a)
2
22 yxx +
b)
y
yxyx
2
22 +
c)
x
yx
2
22
d)
y
yx
2
22
e)N.A.
10.-Racionalizar:
325
12
+
104
-
8/6/2019 Correcion Algebra 2do IV
22/24
IEP Los Peregrinos ALGEBRA 2 Ao
a)
322330 +
b)
332230 +
c)
( 5323 +
d)
( )5326 +
e)N.A.
11.-Racionalizar:
x22
a)
( )
x
xx
+
2
222
b)
( )
x
xx
+
4
222
c)
x
x
2
22
d)
x
x
+
4
22
e)N.A.
12.-Simplificar:
( ) ( ) 21
21
21
21
aba
b
bba
a
++
++
a)
ba +
b)
ab
c)
ba
d)
ab2
e)N.A.
13.-Sea:
( ) xx
xxf ++=
3
.Hallar.
( )3f
a)
33+
b)
33
c)
2
33+
d)
2
33
e) N.A.
14.-Al hacer racional el denominador de lafraccin:
4
1
nm
Cul de las siguientes expresiones es eldenominador?
a)2nm
b)
mn 2c)
nm 2
d)2mn
e)N.A.
15.-Reducir:
103
-
8/6/2019 Correcion Algebra 2do IV
23/24
IEP Los Peregrinos ALGEBRA 2 Ao
711211 +
a)1 b)
7
c)
5
d)2 e)
2
16.-El factor racionalizante de:
11 3
17
m
es equivalente a13 4x ym
Segn esto calcular x/y
a)4 b)8 c)1
d)1/2 e)2
17.-Al racionalizar el denominador de lasiguiente fraccin:
83
5
yx
,el numerador que
se obtiene es:
a)
8 55yx
b)
8 5xy
c)8 xy
d)
8 3xy
e)
xy
18.-Al racionalizar el denominador de lafraccin:
yx
x
7
, el denominador
racionalizando aumentado en y2
ser:a)
2yx b)x-y c)y2
d)x e)x2-y2
19.-El resultado de simplificar:
( ) axax
ax
ax
ax
ax
ax
+
+
+
2
33
es:
a)
ax
a
+2
b)
ax
a
2
c)
ax
a
+
d)
axa
e)1
20.-Reducir:
262123 2 +++ xxxxx
a)1 b)
1x
c)x
d)2x-1 e)0
21.-Al racionalizar el denominador de lasiguiente fraccin:
122
1
2 + xx
,
el nuevo denominador es:
a)1 b)2 c)x
d)2x e)2x2
103
-
8/6/2019 Correcion Algebra 2do IV
24/24
IEP Los Peregrinos ALGEBRA 2 Ao