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8/8/2019 Cost Bell
1/26
G r o w t h o p t i m a l p o r t f o l i o s e l e c t i o n
s t r a t e g i e s w i t h t r a n s a c t i o n c o s t s
L s z l G y r I s t v n V a j d a
D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e a n d I n f o r m a t i o n T h e o r y
B u d a p e s t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y a n d E c o n o m i c s
1 5 2 1 S t o c z e k u . 2 , B u d a p e s t , H u n g a r y
{ g y o r f i , v a j d a } @ s z i t . b m e . h u
F e b r u a r y 1 6 , 2 0 0 8
A b s t r a c t
D i s c r e t e t i m e i n n i t e h o r i z o n g r o w t h o p t i m a l i n v e s t m e n t i n s t o c k
m a r k e t s w i t h t r a n s a c t i o n s c o s t s i s c o n s i d e r e d . T h e s t o c k p r o c e s s e s
a r e m o d e l l e d b y h o m o g e n e o u s M a r k o v p r o c e s s e s . A s s u m i n g t h a t t h e
d i s t r i b u t i o n o f t h e m a r k e t p r o c e s s i s k n o w n , w e s h o w t w o r e c u r s i v e
i n v e s t m e n t s t r a t e g i e s s u c h t h a t , i n t h e l o n g r u n , t h e g r o w t h r a t e o n
t r a j e c t o r i e s ( i n " l i m i n f " s e n s e ) i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o t h e g r o w t h
r a t e o f a n y o t h e r i n v e s t m e n t s t r a t e g y w i t h p r o b a b i l i t y 1 .
K e y w o r d s a n d p h r a s e s : p o r t f o l i o s e l e c t i o n , g r o w t h o p t i m a l i n v e s t m e n t ,
r e c u r s i v e a l g o r i t h m , p r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o n c o s t , d y n a m i c o p t i m i z a t i o n .
T h e r s t a u t h o r a c k n o w l e d g e s t h e s u p p o r t o f t h e C o m p u t e r a n d A u t o m a t i o n R e s e a r c h
I n s t i t u t e o f t h e H u n g a r i a n A c a d e m y o f S c i e n c e s .
1
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8/8/2019 Cost Bell
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1 I n t r o d u c t i o n
T h e p r o b l e m o f o p t i m a l i n v e s t m e n t w i t h p r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o n c o s t s h a s
b e e n e s s e n t i a l l y f o r m u l a t e d i n c o n t i n u o u s t i m e o n l y , i n t h e c l a s s i c a l a r t i c l e s
D a v i s a n d N o r m a n [ 8 ] , T a k s a r e t a l . [ 3 0 ] a n d S h r e v e a n d S o n e r [ 2 8 ] , e t c .
T a k s a r , K l a s s a n d A s s a f [ 3 0 ] i n v e s t i g a t e o p t i m a l i n v e s t m e n t i n a c o n t i n u o u s
t i m e m a r k e t w i t h t w o a s s e t s a n d w i t h p r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o n c o s t s d r i v e n
b y a W i e n e r p r o c e s s a n d u s i n g l o n g r u n e x p e c t e d r e w a r d c r i t e r i a . A k i e n ,
S u l e m a n d T a k s a r [ 1 ] e x t e n d t h e s e r e s u l t s t o t h e c a s e o f s e v e r a l r i s k y a s s e t s .
P a p e r s d e a l i n g w i t h g r o w t h o p t i m a l i n v e s t m e n t w i t h t r a n s a c t i o n c o s t s
i n d i s c r e t e t i m e s e t t i n g a r e s e l d o m . C o v e r a n d I y e n g a r [ 1 8 ] f o r m u l a t e d t h e
p r o b l e m o f h o r s e r a c e m a r k e t s , w h e r e i n e v e r y m a r k e t p e r i o d o n e o f t h e
a s s e t s h a s p o s i t i v e p a y o a n d a l l t h e o t h e r s p a y n o t h i n g . T h e i r m o d e l
i n c l u d e d p r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o n c o s t s a n d t h e y u s e d a l o n g r u n e x p e c t e d
a v e r a g e r e w a r d c r i t e r i o n . T h e r e a r e r e s u l t s f o r m o r e g e n e r a l m a r k e t s a s
w e l l . I y e n g a r [ 1 6 ] i n v e s t i g a t e d g r o w t h o p t i m a l i n v e s t m e n t w i t h s e v e r a l
a s s e t s a s s u m i n g i n d e p e n d e n t a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d ( i . i . d . ) s e q u e n c e
o f a s s e t r e t u r n s . B o b r y k a n d S t e t t n e r [ 6 ] c o n s i d e r e d t h e c a s e o f p o r t f o l i o
s e l e c t i o n w i t h c o n s u m p t i o n , w h e n t h e r e a r e t w o a s s e t s , a b a n k a c c o u n t a n d
a s t o c k . F u r t h e r m o r e , l o n g r u n e x p e c t e d d i s c o u n t e d r e w a r d a n d i . i . d a s s e t
r e t u r n s w e r e a s s u m e d . I n t h e c a s e o f d i s c r e t e t i m e , t h e m o s t f a r r e a c h i n g
s t u d y w a s S c h f e r [ 2 6 ] w h o c o n s i d e r e d t h e m a x i m i z a t i o n o f t h e l o n g r u n
e x p e c t e d g r o w t h r a t e w i t h s e v e r a l a s s e t s a n d p r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o n c o s t s ,
w h e n t h e a s s e t r e t u r n s f o l l o w a s t a t i o n a r y M a r k o v p r o c e s s .
O t h e r a u t h o r s c o n s i d e r e d t r a n s a c t i o n c o s t s w i t h a x e d a n d a p r o p o r -
t i o n a l p a r t : M o r t o n a n d P l i s k a [ 2 3 ] , E a s t h e m a n d H a s t i n g s [ 9 ] , ( c f . [ 5 ] , [ 2 4 ] ,
[ 2 5 ] , [ 2 1 ] a n d s e e a l s o t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n ) . T h e o p t i m a l i t y c r i t e r i a w a s
e i t h e r l o n g r u n e x p e c t e d a v e r a g e r e w a r d o r l o n g r u n e x p e c t e d d i s c o u n t e d
r e w a r d . T h e s e a r t i c l e s a s s u m e d c o n t i n u o u s t i m e p a r a m e t e r a n d g e o m e t r i c
W i e n e r p r i c e p r o c e s s o r m o r e g e n e r a l p a r a m e t r i z e d s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . A
r e n a i s s a n c e o f i m p u l s e c o n t r o l i n p o r t f o l i o o p t i m i z a t i o n w a s b r o u g h t a b o u t
b y [ 9 ] . A n i m p u l s i v e s t r a t e g y a @ @ N
0
; H A @ N
1
;
1
A ; @ N
2
;
2
A : : : A i s a s e -
q u e n c e o f p a i r s @ N
i
;
i
A , w h e r e
i
a r e n o n d e c r e a s i n g s t o p p i n g t i m e s , a n d N
i
a r e t h e p o r t f o l i o p o s i t i o n s . A t a r a n d o m t i m e
k
t h e p o r t f o l i o i s c h a n g e d
2
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f r o m N
k 1
t o N
k
.
M o s t o f t h e a b o v e m e n t i o n e d p a p e r s u s e s o m e k i n d o f m e t h o d f r o m
s t o c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l t h e o r y . W i t h o u t e x c e p t i o n a l l t h e p a p e r s c o n -
s i d e r o p t i m a l i t y i n e x p e c t e d r e w a r d . N o n e o f t h e s e p a p e r s g i v e r e s u l t o n
a l m o s t s u r e o p t i m a l i t y . I n t h i s p a p e r w e p r e s e n t t w o p o r t f o l i o s e l e c t i o n
s t r a t e g i e s , a n d f o r a M a r k o v i a n m a r k e t w e p r o v e t h e i r a l m o s t s u r e o p t i m a l -
i t y .
T h e r e s t o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n S e c t i o n P w e i n t r o d u c e
t h e m a r k e t m o d e l a n d d e s c r i b e t h e m o d e l l i n g o f t r a n s a c t i o n c o s t s . I n S e c -
t i o n Q w e f o r m u l a t e t h e u n d e r l y i n g M a r k o v c o n t r o l p r o b l e m , a n d S e c t i o n
R d e n e s o p t i m a l p o r t f o l i o s e l e c t i o n s t r a t e g i e s . T h e p r o o f s a r e g i v e n i n
S e c t i o n S .
2 M a t h e m a t i c a l s e t u p : i n v e s t m e n t w i t h t r a n s -
a c t i o n c o s t
C o n s i d e r a m a r k e t o f d a s s e t s . A m a r k e t v e c t o r x
a @ x
( 1 )
; : : : x
( d )
A
T
PR
d
+
i s
a v e c t o r o f d n o n n e g a t i v e n u m b e r s r e p r e s e n t i n g p r i c e r e l a t i v e s f o r a g i v e n
t r a d i n g p e r i o d . T h a t i s , t h e j - t h c o m p o n e n t x
( j )
! H o fx
e x p r e s s e s t h e
r a t i o o f t h e c l o s i n g a n d o p e n i n g p r i c e s o f a s s e t j . I n o t h e r w o r d s , x
( j )
i s t h e
f a c t o r b y w h i c h c a p i t a l i n v e s t e d i n t h e j - t h a s s e t g r o w s d u r i n g t h e t r a d i n g
p e r i o d .
T h e i n v e s t o r i s a l l o w e d t o d i v e r s i f y h i s c a p i t a l a t t h e b e g i n n i n g o f e a c h
t r a d i n g p e r i o d a c c o r d i n g t o a p o r t f o l i o v e c t o r b
a @ b
( 1 )
; : : : b
( d )
A
T
. T h e j - t h
c o m p o n e n t b
( j )
o fb
d e n o t e s t h e p r o p o r t i o n o f t h e i n v e s t o r ' s c a p i t a l i n v e s t e d
i n a s s e t j . T h r o u g h o u t t h e p a p e r w e a s s u m e t h a t t h e p o r t f o l i o v e c t o r b
h a s
n o n n e g a t i v e c o m p o n e n t s w i t h
P
d
j = 1
b
( j )
a I . T h e f a c t t h a t
P
d
j = 1
b
( j )
a I
m e a n s t h a t t h e i n v e s t m e n t s t r a t e g y i s s e l f n a n c i n g a n d c o n s u m p t i o n o f
c a p i t a l i s e x c l u d e d . T h e n o n - n e g a t i v i t y o f t h e c o m p o n e n t s o f
bm e a n s t h a t
s h o r t s e l l i n g a n d b u y i n g s t o c k s o n m a r g i n a r e n o t p e r m i t t e d . T o m a k e t h e
a n a l y s i s f e a s i b l e , s o m e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s a r e u s e d t h a t n e e d t o b e
t a k e n i n t o a c c o u n t . W e a s s u m e t h a t a s s e t s a r e a r b i t r a r i l y d i v i s i b l e a n d a l l
a s s e t s a r e a v a i l a b l e i n u n b o u n d e d q u a n t i t i e s a t t h e c u r r e n t p r i c e a t a n y
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g i v e n t r a d i n g p e r i o d . W e a l s o a s s u m e t h a t t h e b e h a v i o r o f t h e m a r k e t
i s n o t a e c t e d b y t h e a c t i o n s o f t h e i n v e s t o r u s i n g t h e s t r a t e g i e s u n d e r
i n v e s t i g a t i o n .
L e t S
0
d e n o t e t h e i n v e s t o r ' s i n i t i a l c a p i t a l . T h e n a t t h e e n d o f t h e
t r a d i n g p e r i o d t h e i n v e s t o r ' s w e a l t h b e c o m e s
S
1
a S
0
d
X
j = 1
b
( j )
x
( j )
a S
0
hb
;x
i ;
w h e r e h ; i d e n o t e s i n n e r p r o d u c t .
T h e e v o l u t i o n o f t h e m a r k e t i n t i m e i s r e p r e s e n t e d b y a s e q u e n c e o f
m a r k e t v e c t o r s
x1
;
x2
; : : : PR
d
+
, w h e r e t h e j - t h c o m p o n e n t x
( j )
i
o f
xi
d e n o t e s
t h e a m o u n t o b t a i n e d a f t e r i n v e s t i n g a u n i t c a p i t a l i n t h e j - t h a s s e t o n t h e
i - t h t r a d i n g p e r i o d . F o r j i w e a b b r e v i a t e b y x i
j
t h e a r r a y o f m a r k e t
v e c t o r s @x
j
; : : : ; x
i
A a n d d e n o t e b y
d
t h e s i m p l e x o f a l l v e c t o r s b
PR
d
+
w i t h n o n n e g a t i v e c o m p o n e n t s s u m m i n g u p t o o n e . A n i n v e s t m e n t s t r a t e g y
i s a s e q u e n c e B
o f f u n c t i o n s
bi
X
R
d
+
i 1
3
d
; i a I ; P ; : : :
s o t h a t b
i
@x
i 1
1
A d e n o t e s t h e p o r t f o l i o v e c t o r c h o s e n b y t h e i n v e s t o r o n t h e
i - t h t r a d i n g p e r i o d , u p o n o b s e r v i n g t h e p a s t b e h a v i o r o f t h e m a r k e t . W e
w r i t e b
@x
i 1
1
A ab
i
@x
i 1
1
A t o e a s e t h e n o t a t i o n .
I n t h i s s e c t i o n o u r p r e s e n t a t i o n o f t h e t r a n s a c t i o n c o s t p r o b l e m u t i l i z e d
t h e f o r m u l a t i o n i n [ 2 6 ] . L e t S
n
d e n o t e t h e w e a l t h a t t h e e n d o f m a r k e t
d a y n , n a H ; I ; P ; , w h e r e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y l e t t h e i n v e s t o r ' s
i n i t i a l c a p i t a l S
0
b e 1 d o l l a r . A t t h e b e g i n n i n g o f a n e w m a r k e t d a y n C I ,
t h e i n v e s t o r s e t s u p h i s n e w p o r t f o l i o , i . e . b u y s / s e l l s s t o c k s a c c o r d i n g t o
t h e a c t u a l p o r t f o l i o v e c t o r b
n + 1
. D u r i n g t h i s r e a r r a n g e m e n t , h e h a s t o p a y
t r a n s a c t i o n c o s t , t h e r e f o r e a t t h e b e g i n n i n g o f a n e w m a r k e t d a y n C I
t h e n e t w e a l t h N
n
i n t h e p o r t f o l i o b
n + 1
i s l e s s t h a n S
n
. U s i n g t h e a b o v e
n o t a t i o n s t h e ( g r o s s ) w e a l t h S
n
a t t h e e n d o f m a r k e t d a y n i s
S
n
a N
n 1
hb
n
;x
n
i :
T h e r a t e o f p r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o n c o s t s ( c o m m i s s i o n f a c t o r s ) l e v i e d o n
o n e a s s e t a r e d e n o t e d b y H < c
s
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w o r t h o f a s s e t i n e t s o n l y I c
s
d o l l a r s , a n d s i m i l a r l y w e t a k e i n t o a c c o u n t
t h e p u r c h a s e o f a n a s s e t s u c h t h a t t h e p u r c h a s e o f 1 d o l l a r ' s w o r t h o f a s s e t
i c o s t s a n e x t r a c
p
d o l l a r s . W e c o n s i d e r t h e s p e c i a l c a s e w h e n t h e r a t e o f
c o s t s a r e c o n s t a n t o v e r t h e a s s e t s .
L e t ' s c a l c u l a t e t h e t r a n s a c t i o n c o s t t o b e p a i d w h e n s e l e c t t h e p o r t f o l i o
bn + 1
. B e f o r e r e a r r a n g i n g t h e c a p i t a l s , a t t h e j - t h a s s e t t h e r e i s b
( j )
n
x
( j )
n
N
n 1
d o l l a r s , w h i l e a f t e r r e a r r a n g i n g w e n e e d b
( j )
n + 1
N
n
d o l l a r s . I f b
( j )
n
x
( j )
n
N
n 1
!
b
( j )
n + 1
N
n
t h e n w e h a v e t o s e l l a n d t h e t r a n s a c t i o n c o s t a t t h e j - t h a s s e t i s
c
s
b
( j )
n
x
( j )
n
N
n 1
b
( j )
n + 1
N
n
;
o t h e r w i s e w e h a v e t o b u y a n d t h e t r a n s a c t i o n c o s t a t t h e j - t h a s s e t i s
c
p
b
( j )
n + 1
N
n
b
( j )
n
x
( j )
n
N
n 1
:
L e t x
+
d e n o t e t h e p o s i t i v e p a r t o f x . T h u s , t h e g r o s s w e a l t h S
n
d e c o m -
p o s e s t o t h e s u m o f t h e n e t w e a l t h a n d c o s t t h e f o l l o w i n g - s e l f - n a n c i n g -
w a y
N
n
a S
n
d
X
j = 1
c
s
b
( j )
n
x
( j )
n
N
n 1
b
( j )
n + 1
N
n
+
d
X
j = 1
c
p
b
( j )
n + 1
N
n
b
( j )
n
x
( j )
n
N
n 1
+
;
o r e q u i v a l e n t l y
S
n
a N
n
C c
s
d
X
j = 1
b
( j )
n
x
( j )
n
N
n 1
b
( j )
n + 1
N
n
+
C c
p
d
X
j = 1
b
( j )
n + 1
N
n
b
( j )
n
x
( j )
n
N
n 1
+
:
D i v i d i n g b o t h s i d e s b y S
n
a n d i n t r o d u c i n g r a t i o
w
n
a
N
n
S
n
;
H < w
n
-
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R e m a r k 2 . 1 . E q u a t i o n ( 2 . 1 ) i s u s e d i n t h e s e q u e l . E x a m i n i n g t h i s c o s t
e q u a t i o n , i t t u r n s o u t , t h a t f o r a r b i t r a r y p o r t f o l i o v e c t o r s b n , bn + 1 , a n d
r e t u r n v e c t o r x
n
t h e r e e x i s t s a u n i q u e c o s t f a c t o r s w
n
P H ; I A , i . e . t h e
p o r t f o l i o i s s e l f n a n c i n g . T h e v a l u e o f c o s t f a c t o r w
n
a t d a y n i s d e t e r m i n e d
b y p o r t f o l i o v e c t o r s b
n
a n db
n + 1
a s w e l l a s b y r e t u r n v e c t o r x
n
, i . e .
w
n
a w @b
n
;b
n + 1
;x
n
A ;
f o r s o m e f u n c t i o n w . I f w e w a n t t o r e a r r a n g e o u r p o r t f o l i o s u b s t a n t i a l l y ,
t h e n o u r n e t w e a l t h d e c r e a s e s m o r e c o n s i d e r a b l y , h o w e v e r , i t r e m a i n s p o s -
i t i v e . N o t e a l s o , t h a t t h e c o s t d o e s n o t r e s t r i c t t h e s e t o f n e w p o r t f o l i o
v e c t o r s , i . e . , t h e o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m s e a r c h e s f o r o p t i m a l v e c t o r
bn + 1
w i t h i n t h e w h o l e s i m p l e x
d
. T h e v a l u e o f t h e c o s t f a c t o r r a n g e s b e t w e e n
I c
s
I C c
p
w
n
I :
S t a r t i n g w i t h a n i n i t i a l w e a l t h S
0
a I a n d w
0
a I , w e a l t h S
n
a t t h e
c l o s i n g t i m e o f t h e n - t h m a r k e t d a y b e c o m e s
S
n
a N
n 1
hb
n
;x
n
i a w
n 1
S
n 1
hb
n
;x
n
i a
n
Y
i = 1
w @b
i 1
;b
i
;x
i 1
A hb
i
;x
i
i :
I n t r o d u c e t h e n o t a t i o n
g @b
i 1
;b
i
;x
i 1
;x
i
A a l o g @ w @b
i 1
;b
i
;x
i 1
A hb
i
;x
i
i A ;
t h e n t h e a v e r a g e g r o w t h r a t e b e c o m e s
I
n
l o g S
n
a
I
n
n
X
i = 1
l o g @ w @b
i 1
;b
i
;x
i 1
A hb
i
;x
i
i A
a
I
n
n
X
i = 1
g @b
i 1
;b
i
;x
i 1
;x
i
A :( 2 . 2 )
O u r a i m i s t o m a x i m i z e t h i s a v e r a g e g r o w t h r a t e .
R e m a r k 2 . 2 . I n m o d e l l i n g t h e b e h a v i o r o f t h e e v o l u t i o n o f t h e m a r k e t , t w o
m a i n a p p r o a c h e s h a v e b e e n c o n s i d e r e d i n t h e t h e o r y o f s e q u e n t i a l i n v e s t -
m e n t . O n e o f t h e m a l l o w s t h e m a r k e t s e q u e n c e x
1
;x
2
; : : : t o t a k e c o m p l e t e l y
6
-
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7/26
a r b i t r a r y v a l u e s a n d n o s t o c h a s t i c m o d e l i s i m p o s e d o n t h e m e c h a n i s m g e n -
e r a t i n g t h e p r i c e r e l a t i v e s . I n t h i s a p p r o a c h t h e a c h i e v e d w e a l t h i s c o m p a r e d
w i t h t h a t o f t h e b e s t i n a c l a s s o f r e f e r e n c e s t r a t e g i e s . F o r e x a m p l e , C o v e r
[ 7 ] c o n s i d e r s t h e c l a s s o f a l l c o n s t a n t l y r e b a l a n c e d p o r t f o l i o s (c r p
) d e n e d
b y s t r a t e g i e s B
f o r w h i c h b
i
@x
i 1
1
A e q u a l s a x e d p o r t f o l i o v e c t o r i n d e p e n -
d e n t l y o f i a n d t h e p a s t x
i 1
1
. W i t h o u t t r a n s a c t i o n c o s t , C o v e r s h o w e d t h a t
t h e r e e x i s t i n v e s t m e n t s t r a t e g i e s B
( s o - c a l l e d u n i v e r s a l p o r t f o l i o s ) w h i c h
p e r f o r m a l m o s t a s w e l l a s t h e b e s t c o n s t a n t l y r e b a l a n c e d p o r t f o l i o . T h e
a d v a n t a g e o f t h i s w o r s t - c a s e a p p r o a c h i s t h a t i t a v o i d s i m p o s i n g s t a t i s -
t i c a l m o d e l s o n t h e s t o c k m a r k e t a n d t h e r e s u l t s h o l d f o r a l l p o s s i b l e s e -
q u e n c e s
x
n
1
. I n t h i s s e n s e t h i s a p p r o a c h i s e x t r e m e l y r o b u s t . T a k i n g i n t o
a c c o u n t t h e t r a n s a c t i o n c o s t I y e n g a r [ 1 7 ] , I y e n g a r a n d C o v e r [ 1 8 ] , K a l a i
a n d B l u m [ 2 0 ] , a n d M e r h a v e t a l [ 2 2 ] i n t r o d u c e d u n i v e r s a l p o r t f o l i o s e l e c -
t i o n s t r a t e g i e s . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t o a s s u m e t h a t t h e m a r k e t v e c t o r s
a r e r e a l i z a t i o n s o f a r a n d o m p r o c e s s , a n d d e s c r i b e a s t a t i s t i c a l m o d e l . T h e
a d v a n t a g e o f t h i s m o r e c l a s s i c a l v i e w i s t h a t , f o r e a c h p r o c e s s , a n o p t i m a l
s t r a t e g y m a y b e d e t e r m i n e d ( i n a s e n s e s p e c i e d b e l o w ) , w h i c h d e p e n d s
o n t h e u n k n o w n d i s t r i b u t i o n o f t h e p r o c e s s , a n d u s e s t h e p a s t m a r k e t d a t a
s e q u e n c e t o e s t i m a t e t h e s t a t i s t i c a l f e a t u r e s n e c e s s a r y t o a p p r o x i m a t e t h e
o p t i m a l s t r a t e g y .
I n t h e s e q u e l x
i
w i l l b e r a n d o m v a r i a b l e a n d i s d e n o t e d b y X
i
. L e t ' s
u s e t h e d e c o m p o s i t i o n
( 2 . 3 )
I
n
l o g S
n
a I
n
C J
n
;
w h e r e
I
n
a
I
n
n
X
i = 1
@ g @b
i 1
;b
i
;X
i 1
;X
i
A E
f g @b
i 1
;b
i
;X
i 1
;X
i
A jX
i 1
1
g A
a n d
J
n
a
I
n
n
X
i = 1
E
f g @ bi 1
; bi
; Xi 1
; Xi
A j Xi 1
1
g :
I
n
i s a n a v e r a g e o f m a r t i n g a l e d i e r e n c e s . U n d e r m i l d c o n d i t i o n s o n t h e
s u p p o r t o f t h e d i s t r i b u t i o n o f X
, g @b
i 1
;b
i
;X
i 1
;X
i
A i s b o u n d e d , t h e r e f o r e
7
-
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8/26
I
n
i s a n a v e r a g e o f b o u n d e d m a r t i n g a l e d i e r e n c e s , w h i c h c o n v e r g e s t o H
a l m o s t s u r e l y , s i n c e a c c o r d i n g t o t h e C h o w T h e o r e m ( c f . T h e o r e m 3 . 3 . 1 i n
S t o u t [ 2 9 ] )
I
X
i = 1
E
f @ g @b
i 1
;b
i
;X
i 1
;X
i
A E
f g @b
i 1
;b
i
;X
i 1
;X
i
A jX
i 1
1
g A
2
g
i
2
-
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9/26
Bw i t h c a p i t a l S
n
a S
n
@B
A a n d f o r a n y s t a t i o n a r y a n d e r g o d i c r e t u r n
p r o c e s s f Xn gI
I
,
l i m i n f
n 3 I
I
n
l o g
S
n
S
n
! H a l m o s t s u r e l y
a n d
l i m
n 3 I
I
n
l o g S
n
a W
a l m o s t s u r e l y ,
w h e r e
W
aE
(
m x
b( )
E
n
l o g
D
b@X
1
I
A ;X
0
E
X 1
I
o
)
i s t h e m a x i m a l p o s s i b l e g r o w t h r a t e o f a n y i n v e s t m e n t s t r a t e g y . M o r e o v e r ,
G y r a n d S c h f e r [ 1 2 ] a n d G y r , L u g o s i a n d U d i n a [ 1 1 ] c o n s t r u c t e d e m -
p i r i c a l ( d a t a d e p e n d e n t ) l o g - o p t i m u m s t r a t e g i e s i n c a s e o f u n k n o w n d i s t r i -
b u t i o n s . N o t e t h a t f o r r s t o r d e r M a r k o v i a n r e t u r n p r o c e s s
b
n
@X
n 1
1
A ab
n
@X
n 1
A a r g m x
b( )
E
f l o g hb
@X
n 1
A ;X
n
i jX
n 1
g :
R e m a r k 2 . 4 . F o r t h e p o r t f o l i o s e l e c t i o n p r o b l e m i n c a s e o f t r a n s a c t i o n
c o s t , o n e m i g h t a p p l y t h e l o g - o p t i m u m p o r t f o l i o b
n
@X
n 1
A . W e t e s t e d
i n v e s t m e n t s t r a t e g i e s o n a s t a n d a r d s e t o f N e w Y o r k S t o c k E x c h a n g e d a t a
u s e d b y C o v e r [ 7 ] , K a l a i a n d B l u m [ 2 0 ] , a n d o t h e r s . T h e n y s e
d a t a s e t
i n c l u d e s d a i l y p r i c e s o f 3 6 a s s e t s a l o n g a 2 2 - y e a r p e r i o d ( 5 6 5 1 t r a d i n g d a y s )
e n d i n g i n 1 9 8 5 . T h i s m e a n s t h a t d a Q T . H o w e v e r , f o r a u s u a l v a l u e o f
t r a n s a c t i o n c o e c i e n t c a c
b
a c
s
a H : H H I S t h e p o r t f o l i o b
n
@X
n 1
A h a s p o o r
p e r f o r m a n c e , i . e . , t h e r e s u l t i n g a v e r a g e g r o w t h r a t e i s t y p i c a l l y n e g a t i v e .
3 T h e r e l a t e d M a r k o v c o n t r o l p r o b l e m
D i s c r e t e t i m e p o r t f o l i o o p t i m i z a t i o n w i t h t r a n s a c t i o n c o s t i s a s p e c i a l c a s e
o f t h e g e n e r a l M a r k o v c o n t r o l p r o c e s s e s ( M C P ) . A d i s c r e t e t i m e M a r k o v
c o n t r o l p r o c e s s i s d e n e d b y a v e t u p l e @ S ; A ; U @ s A ; Q ; r A ( c f . [ 1 3 ] ) . S i s
a B o r e l s p a c e , c a l l e d t h e s t a t e s p a c e , t h e a c t i o n s p a c e A i s B o r e l , t o o , t h e
s p a c e o f a d m i s s i b l e a c t i o n s U @ s A i s a B o r e l s u b s e t o f A . L e t t h e s e t K b e
9
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10/26
f @ s ; a A X s P S ; a P U @ s A g . T h e t r a n s i t i o n l a w i s a s t o c h a s t i c k e r n e l Q @ : j s ; a A
o n S g i v e n K , a n d r @ s ; a A i s t h e r e w a r d f u n c t i o n .
T h e e v o l u t i o n o f t h e p r o c e s s i s t h e f o l l o w i n g . L e t S
t
d e n o t e t h e t h e s t a t e
a t t i m e t , a c t i o n A
t
i s c h o s e n a t t h a t t i m e . L e t S
t
a s a n d A
t
a a , t h e n
t h e r e w a r d i s r @ s ; a A , a n d t h e p r o c e s s m o v e s t o S
t + 1
a c c o r d i n g t o t h e k e r n e l
Q @ : j s ; a A . A c o n t r o l p o l i c y i s a s e q u e n c e a f
n
g o f s t o c h a s t i c k e r n e l s o n
A g i v e n t h e p a s t s t a t e s a n d a c t i o n s , i . e . ,
n
@ j s
0
; a
0
; : : : ; s
n 1
, a
n 1
; s
n
A i s a
r a n d o m i z e d p o l i c y , i t i s t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e t h e
r a n d o m i z a t i o n .
T w o r e w a r d c r i t e r i a i s c o n s i d e r e d . T h e e x p e c t e d l o n g r u n a v e r a g e r e -
w a r d f o r i s d e n e d b y
( 3 . 1 ) J @ A a l i m i n f
n 3 I
I
n
n 1
X
t = 0
E
r @ S
t
; A
t
A :
T h e s a m p l e - p a t h a v e r a g e r e w a r d i s d e n e d a s
( 3 . 2 ) J @ A X a l i m i n f
n 3 I
I
n
n 1
X
t = 0
r @ S
t
; A
t
A :
I n t h e t h e o r y o f M C P m o s t o f t h e r e s u l t s c o r r e s p o n d t o ( 3 . 1 ) , w h i l e j u s t
a f e w p r e s e n t r e s u l t f o r t h e s a m p l e - p a t h c r i t e r i o n ( 3 . 2 ) . S u c h s a m p l e - p a t h
r e s u l t s c a n b e f o u n d i n [ 3 ] f o r b o u n d e d r e w a r d s a n d i n [ 1 4 ] , [ 1 5 ] , [ 3 1 ] , [ 1 9 ]
f o r u n b o u n d e d r e w a r d s .
F o r M a r k o v c o n t r o l p r o c e s s e s , t h e m a i n a i m i s t o a p p r o a c h t h e m a x i m u m
a s y m p t o t i c r e w a r d :
J
a s u p
J @ A ;
w h i c h l e a d s t o a d y n a m i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m .
F o r p o r t f o l i o o p t i m i z a t i o n w i t h t r a n s a c t i o n c o s t , w e f o r m u l a t e t h e c o r -
r e s p o n d i n g M a r k o v c o n t r o l p r o b l e m . A s s u m e t h a t t h e r e e x i s t H < a
1
-
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P : T h e a c t i o n s p a c e i s
A X a
d
:
Q : I n t h i s m o d e l o f t r a n s a c t i o n c o s t , t h e s e t o f a d m i s s i b l e a c t i o n s i s
U @b
;x
A X a
d
:
T h i s s p e c i a l f o r m o f a d m i s s i b l e s e t o f a c t i o n s m a k e s t h e o p t i m i z a t i o n p r o b -
l e m m u c h e a s i e r .
R : T h e s t o c h a s t i c k e r n e l i s t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e
M a r k o v m a r k e t p r o c e s s , d e s c r i b i n g t h e a s s e t r e t u r n s :
Q @ d @b
H
;x
H
A j @b
;x
A ;b
H
A X a P @ dx
H
jx
A X aP
f dX
2
a dx
H
jX
1
ax
g :
N o t e , t h a t t h i s c o r r e s p o n d s t o t h e a s s u m p t i o n , t h a t t h e m a r k e t b e h a v i o u r i s
n o t a e c t e d b y t h e i n v e s t o r . I n g e n e r a l , t h e o p t i m a l s t r a t e g y i s r a n d o m i z e d .
H o w e v e r , i f t h e m a r k e t i s n o t i n u e n c e d b y t h e t r a d i n g t h e n t h e o p t i m a l
s t r a t e g y c a n b e n o n - r a n d o m i z e d , a s i t w i l l b e s h o w n i n t h e n e x t s e c t i o n .
S : T h e r e w a r d f u n c t i o n i s :
r @ @b
;x
A ;b
H
A a v @b
;b
H
;x
A :
T : T h e s a m p l e - p a t h a v e r a g e r e w a r d c r i t e r i o n i s t h e f o l l o w i n g :
l i m i n f
n 3 I
I
n
n
X
t = 1
r @ @b
t 1
;x
t 1
A ;b
t
A a l i m i n f
n 3 I
I
n
n
X
t = 1
v @b
t 1
;b
t
;x
t 1
A
a l i m i n f
n 3 I
J
n
:
R e m a r k 3 . 1 . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e m e t h o d s o f M C P l i t e r a t u r e , m o r e
p r e c i s e l y t h e t h e o r e m s i n [ 3 ] , [ 1 4 ] , [ 1 5 ] , [ 3 1 ] , [ 1 9 ] c a n ' t b e a p p l i e d i n o u r
c a s e . H o w e v e r , w e d o u s e t h e f o r m a l i s m , t h e r e s u l t s o n t h e e x i s t e n c e o f t h e
s o l u t i o n o f d i s c o u n t e d B e l l m a n e q u a t i o n s , a n d t h e b a s i c i d e a o f v a n i s h i n g
d i s c o u n t a p p r o a c h . T h e d i c u l t i e s a r i s e f r o m t h e f a c t , t h a t w e d o n o t a s -
s u m e w e a k l y c o n t i n u o u s t r a n s i t i o n k e r n e l . ( c f . [ 3 ] ) . B u t e v e n i f w e a s s u m e d
w e a k o r e v e n s t r o n g c o n t i n u i t y ( c o n t i n u i t y f o r b o u n d e d B o r e l m e a s u r a b l e
f u n c t i o n s ) o f Q @ d y j : ; : A , a n a d d i t i o n a l e r g o d i c i t y a s s u m p t i o n w o u l d b e n e c -
e s s a r y . T h e u s u a l u n i f o r m e r g o d i c i t y a s s u m p t i o n o n f @b
t
;x
t
A g i s e q u i v a l e n t
t o a p e r i o d i c i t y a n d D o e b l i n ' s c o n d i t i o n ( c f . [ 1 4 ] ) . H o w e v e r , t h e a p e r i o d i c -
i t y o f f @b
t
;x
t
A g i s n o t n e c e s s a r i l y t r u e , o n e c a n e a s i l y g i v e c o u n t e r e x a m p l e s
f o r i t .
1 1
-
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12/26
4 O p t i m a l p o r t f o l i o s e l e c t i o n a l g o r i t h m s
B e f o r e i n v e s t i g a t i n g t h e g e n e r a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w e m a y i n t r o d u c e a
s u b o p t i m a l s o l u t i o n , c a l l e d n a i v e p o r t f o l i o , b y a o n e - s t e p o p t i m i z a t i o n a s
f o l l o w s : p u t b
1
a f I = d ; : : : ; I = d g a n d f o r i ! I ,
( 4 . 1 ) b
i + 1
a r g m x
b0
v @b
i
;b
H
;X
i
A :
O b v i o u s l y , t h i s p o r t f o l i o h a s n o g l o b a l o p t i m a l i t y p r o p e r t y . H o w e v e r , i n
s o m e e x p e r i e n c e s o n N Y S E d a t a i t h a s s i g n i c a n t l y b e t t e r p e r f o r m a n c e
t h a n t h e l o g - o p t i m a l p o r t f o l i o .
R e m a r k 4 . 1 . O n e m a y c o n s i d e r l o n g r u n e x p e c t e d a v e r a g e r e w a r d c r i t e -
r i a ( 3 . 1 ) , t o m a x i m i z e t h e e x p e c t e d a v e r a g e g r o w t h r a t e o f w e a l t h o f t h e
i n v e s t o r :
l i m i n f
n 3 I
I
n
E
f l o g S
n
g :
T h i s t y p e o f o p t i m a l i t y c r i t e r i a i s u s e d b y I y e n g a r [ 1 6 ] , a n d b y S c h f e r
[ 2 6 ] . I y e n g a r [ 1 6 ] i n v e s t i g a t e s t h e p r o b l e m o f t r a n s a c t i o n c o s t i f t h e m a r k e t
p r o c e s s fX
i
g i s a s e q u e n c e o f i n d e p e n d e n t a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d
( i i d ) r a n d o m v a r i a b l e s , a n d t h e m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n i s k n o w n . U s i n g
a c l o s e l y r e l a t e d m a r k e t a n d t r a n s a c t i o n m o d e l t o o u r s , w i t h a d i e r e n t
c o n t r o l t h e o r e t i c r e p r e s e n t a t i o n i t i s s h o w n t h a t t h e o p t i m a l g r o w t h r a t e
c a n b e u n i q u e l y c h a r a c t e r i z e d a s g
, w h e r e @ V ; g
A a r e t h e s o l u t i o n s o f t h e
c o r r e s p o n d i n g a v e r a g e c o s t o p t i m a l i t y e q u a t i o n ( a s p e c i a l v e r s i o n o f t h e
B e l l m a n e q u a t i o n ) :
g
C V @b
;x
A a m x
b0f v
H
@b
;b
H
;x
A CE
f V @b
H
;X
1
A g g ;
w h e r e t h e f u n c t i o n v
H
i s s i m i l a r t o o u r v a b o v e . T h e o p t i m a l s t r a t e g y i s
n o t r a n d o m i z e d , i t i s d e n e d a s b
1
a f I = d ; : : : ; I = d g a n d f o r i ! I ,
bi + 1
a r g m x
b0
n
v
H
@b
i
;b
H
;X
i
A CE
f V @b
0
;X
1
A g g :
I y e n g a r [ 1 6 ] p r o v e s t h a t i f t h e s o l u t i o n @ V ; g
A e x i s t s t h e n t h i s p o r t f o l i o
s e l e c t i o n h a s o p t i m a l e x p e c t e d g r o w t h r a t e g
. I n o r d e r t o a v o i d i m p o s i n g
1 2
-
8/8/2019 Cost Bell
13/26
s o m e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s o n t h e o p t i m a l p o l i c y f o r t h e c o n v e r g e n c e o f
t h e v a l u e i t e r a t i o n a l g o r i t h m , i t i s s h o w n t h a t f o r a l l > H t h e r e e x i s t s
a c o n t i n u o u s p o r t f o l i o s e l e c t i o n f u n c t i o n w i t h e x p e c t e d g r o w t h r a t e n o t
s m a l l e r t h a n g
.
N e x t w e i n t r o d u c e t w o o p t i m a l p o r t f o l i o s e l e c t i o n r u l e s . L e t H <
-
8/8/2019 Cost Bell
14/26
R e m a r k 4 . 2 . A s t r a t e g y s i m i l a r t o ( 4 . 3 ) w a s d e n e d b y S c h f e r [ 2 6 ] .
H e i n t r o d u c e s a n a d d i t i o n a l a s s e t t o s e t t l e t h e t r a n s a c t i o n c o s t s w h e n t h e
p o r t f o l i o i s r e s t r u c t u r e d .
R e m a r k 4 . 3 . A p o r t f o l i o s e l e c t i o n fb
i
g i s c a l l e d r e c u r s i v e i f i t h a s t h e
f o r m
bi
ab
i
@x
i 1
1
A ab
i
@b
i 1
;x
i 1
A :
O b v i o u s l y , t h e p o r t f o l i o fb
i
g i s r e c u r s i v e . T h e r e c u r s i o n i n t h e d e n i t i o n o f
t h e p o r t f o l i o fb
i
g i s n o t t i m e i n v a r i a n t , i . e . , i t i s a n o n - s t a t i o n a r y p o r t f o l i o
s e l e c t i o n r u l e .
N o w , w e c l a i m o u r r e s u l t o n t h e o p t i m a l i t y o f S t r a t e g y 1 w i t h r e s p e c t
t o s a m p l e - p a t h a v e r a g e c r i t e r i o n :
T h e o r e m 4 . 1 A s s u m e
( i ) t h a t fX
i
g i s a h o m o g e n e o u s a n d r s t o r d e r M a r k o v p r o c e s s ,
( i i ) a n d t h e r e e x i s t H < a
1
-
8/8/2019 Cost Bell
15/26
R e m a r k 4 . 4 . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 4 . 2 . 1 i n S c h f e r [ 2 6 ] ,
l i m i n f
n 3 I
E
I
n
l o g S
n
I
n
l o g S
n
! H ;
i . e . , t h e p o r t f o l i o fb
i
g i s o p t i m a l i n e x p e c t a t i o n . T h e o r e m 4 . 1 s t a t e s t h a t
t h e p o r t f o l i o s t r a t e g y fb
i
g i s s a m p l e - p a t h o p t i m a l , t o o , i . e . , i t i s o p t i m a l
w i t h p r o b a b i l i t y o n e .
R e m a r k 4 . 5 . F o r t h e c h o i c e
i
a i
;
w i t h H ,
a n d i n t r o d u c e t h e c o m b i n e d p o r t f o l i o w i t h i t s c a p i t a l
~
S
n
a
I
X
k = 1
q
k
S
n
@B
( k )
A :
1 5
-
8/8/2019 Cost Bell
16/26
T h e o r e m 4 . 2 A s s u m e ( i ) a n d ( i i ) o f T h e o r e m 4 . 1 . C h o o s e t h e d i s -
c o u n t f a c t o r
i
5 H a s i 3 I . T h e n , f o r S t r a t e g y P ,
l i m
n 3 I
I
n
l o g S
n
I
n
l o g
~
S
n
a H
a . s .
T h e i m p o r t a n c e o f t h e T h e o r e m 4 . 2 i s t h a t w e c a n a p p r o a c h t h e o p t i m a l
a v e r a g e g r o w t h r a t e a s y m p t o t i c a l l y w i t h
~
S
n
. A n i m p o r t a n t d i r e c t i o n o f o u r
f u t u r e w o r k i s t o c o n s t r u c t a n e m p i r i c a l v e r s i o n o f t h i s s t a t i o n a r y r u l e , i . e . ,
t o g e t a d a t a d r i v e n p o r t f o l i o s e l e c t i o n w h e n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e m a r k e t
p r o c e s s i s u n k n o w n .
5 P r o o f s
P r o o f o f T h e o r e m 4 . 1 . I n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n :
F
i
@b
;x
A a F
i
@b
;x
A :
W e h a v e t o s h o w t h a t
l i m i n f
n 3 I
I
n
n
X
i = 1
g @b
i
;b
i + 1
;X
i
;X
i + 1
A
I
n
n
X
i = 1
g @b
i
;b
i + 1
;X
i
;X
i + 1
A
!
! H
a . s . B e c a u s e o f t h e m a r t i n g a l e d i e r e n c e a r g u m e n t i n S e c t i o n 2 , o n e h a s
l i m i n f
n 3 I
I
n
n
X
i = 1
g @b
i
;b
i + 1
;X
i
;X
i + 1
A
I
n
n
X
i = 1
g @b
i
;b
i + 1
;X
i
;X
i + 1
A
!
a l i m i n f
n 3 I
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
!
a . s . t h e r e f o r e w e h a v e t o p r o v e t h a t
( 5 . 1 ) l i m i n f
n 3 I
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
!
! H
a . s . ( 4 . 3 ) i m p l i e s t h a t
( 5 . 2 ) F
i
@b
i
;X
i
A a v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A C @ I
i
AE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jb
i + 1
;X
i
g ;
1 6
-
8/8/2019 Cost Bell
17/26
w h i l e f o r a n y p o r t f o l i o fb
i
g ,
( 5 . 3 ) F
i
@b
i
;X
i
A ! v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A C @ I
i
AE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jb
i + 1
;X
i
g :
B e c a u s e o f ( 5 . 2 ) a n d ( 5 . 3 ) , w e g e t t h a t
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
a
I
n
n
X
i = 1
F
i
@b
i
;X
i
A @ I
i
AE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jb
i + 1
;X
i
g
a
I
n
n
X
i = 1
F
i
@b
i
;X
i
A @ I
i
AE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
a n d
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
I
n
n
X
i = 1
@ F
i
@b
i
;X
i
A @ I
i
AE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jb
i + 1
;X
i
g A
a
I
n
n
X
i = 1
F
i
@b
i
;X
i
A @ I
i
AE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
;
t h e r e f o r e
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
!
I
n
n
X
i = 1
F
i
@b
i
;X
i
A @ I
i
AE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
I
n
n
X
i = 1
F
i
@b
i
;X
i
A @ I
i
AE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
:
A p p l y t h e f o l l o w i n g i d e n t i t y
@ I
i
AE
f F
i
@
bi + 1
;
Xi + 1
A j
X
i
1
g F
i
@
bi
;
Xi
A
aE
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A
C F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A F
i
@b
i
;X
i
A
i
E
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
a a
i
C b
i
C c
i
:
1 7
-
8/8/2019 Cost Bell
18/26
B e c a u s e o f
F
i
@b
;x
A a m x
b0f v @b
;b
H
;x
A C @ I
i
AE
@ F
i
@b
H
;X
i + 1
A jX
i
ax
A ; g
w e h a v e t h a t
k F
i
k
I
k v k
I
C @ I
i
A k F
i
k
I
;
t h e r e f o r e
k F
i
k
I
k v k
I
i
( c f . L e m m a 4 . 2 . 3 i n S c h f e r [ 2 6 ] ) . A s f a
i
g i s a s e q u e n c e o f m a r t i n g a l e
d i e r e n c e s s u c h t h a t
j a
i
j P k F
i
k
I
P
i
k v k
I
;
t h e r e f o r e , b e c a u s e o f
P
n
1
n
2
2
n
-
8/8/2019 Cost Bell
19/26
S o w e h a v e
k F
i
F
i + 1
k
I
i
i + 1
i
k F
i + 1
k
I
:
U s i n g t h a t k F
i + 1
k
I
k v k
1
i + 1
a n d a s s u m p t i o n o n
i
' s , w e g e t t h a t
k F
i
F
i + 1
k
I
k v k
I
i
i + 1
2
i
( c f . L e m m a 4 . 2 . 3 i n S c h f e r [ 2 6 ] ) . C o n c e r n i n g f b
i
g ,
I
n
n
X
i = 1
b
i
a
I
n
n
X
i = 1
@ F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A F
i
@b
i
;X
i
A A
I
n
n
X
i = 1
@ F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A F
i + 1
@b
i + 1
;X
i + 1
A A
C
I
n
n
X
i = 1
@ F
i + 1
@b
i + 1
;X
i + 1
A F
i
@b
i
;X
i
A A
I
n
n
X
i = 1
k F
i
F
i + 1
k
I
C
I
n
@ F
n + 1
@b
n + 1
;X
n + 1
A F
1
@b
1
;X
1
A A
I
n
n
X
i = 1
k F
i
F
i + 1
k
I
C
k F
n + 1
k
I
C k F
1
k
I
n
k v k
I
I
n
n
X
i = 1
j
i + 1
i
j
2
i + 1
C k v k
I
I =
n + 1
C I =
1
n
3 H( 5 . 5 )
b y c o n d i t i o n s . C o n c e r n i n g t h e p r o o f o f ( 5 . 1 ) w h a t i s l e f t t o s h o w t h a t
l i m s u p
n 3 I
I
n
n
X
i = 1
i
E
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
i
E
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
H
1 9
-
8/8/2019 Cost Bell
20/26
a . s . T h e d e n i t i o n o f F
i
i m p l i e s t h a t
F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A
a m x
b0
n
v @b
i + 1
;b
H
;X
i + 1
A C @ I
i
AE
f F
i
@b
0
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
o
m x
b0 0
n
v @b
i + 1
;b
H H
;X
i + 1
A C @ I
i
AE
f F
i
@b
H H
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
o
m x
b0
n
v @b
i + 1
;b
H
;X
i + 1
A C @ I
i
AE
f F
i
@b
0
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
v @b
i + 1
;b
H
;X
i + 1
A @ I
i
AE
f F
i
@b
H
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
o
m x
b0
n
v @b
i + 1
;b
H
;X
i + 1
A v @b
i + 1
;b
H
;X
i + 1
A
o
P k v k
I
;
t h e r e f o r e
( 5 . 6 )
I
n
n
X
i = 1
i
E
f F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A F
i
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
P k v k
I
n
n
X
i = 1
i
3 H :
( 5 . 4 ) , ( 5 . 5 ) a n d ( 5 . 6 ) i m p l y ( 5 . 1 ) .
P r o o f o f T h e o r e m 4 . 2 . T h e o r e m 4 . 1 i m p l i e s t h a t
l i m i n f
n 3 I
I
n
l o g S
n
I
n
l o g
~
S
n
! H
a . s . W e h a v e t o s h o w t h a t
( 5 . 7 ) l i m i n f
n 3 I
I
n
l o g
~
S
n
I
n
l o g S
n
! H
a . s . B e c a u s e o f t h e d e n i t i o n o f
~
S
n
,
I
n
l o g
~
S
n
a
I
n
l o g
I
X
k = 1
q
k
S
n
@B
( k )
A
!
I
n
l o g s u p
k
q
k
S
n
@B
( k )
A
a s u p
k
l o g q
k
n
C
I
n
l o g S
n
@B
( k )
A
!
;
t h e r e f o r e ( 5 . 7 ) f o l l o w s f r o m
l i m i n f
n 3 I
s u p
k
l o g q
k
n
C
I
n
n
X
i = 1
g @b
( k )
i
;b
( k )
i + 1
;X
i
;X
i + 1
A
!
I
n
n
X
i = 1
g @b
i
;b
i + 1
;X
i
;X
i + 1
A
!
! H
2 0
-
8/8/2019 Cost Bell
21/26
-
8/8/2019 Cost Bell
22/26
t h e r e f o r e
I
n
n
X
i = 1
v @b
( k )
i
;b
( k )
i + 1
;X
i
A
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
!
I
n
n
X
i = 1
F
k
@b
( k )
i
;X
i
A @ I
k
AE
f F
k
@b
( k )
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
I
n
n
X
i = 1
F
k
@b
i
;X
i
A @ I
k
AE
f F
k
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
:
A p p l y t h e f o l l o w i n g i d e n t i t y
@ I
k
AE
f F
k
@
b i + 1;
Xi + 1A j
Xi
1
g F
k
@
bi;
XiA
aE
f F
k
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g F
k
@b
i + 1
;X
i + 1
A
C F
k
@b
i + 1
;X
i + 1
A F
k
@b
i
;X
i
A
k
E
f F
k
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
a a
i
C b
i
C c
i
:
S i m i l a r l y t o t h e p r o o f o f T h e o r e m 4 . 1 , t h e a v e r a g e s o f a
i
' s a n d b
i
' s t e n d t o
z e r o a . s . , s o c o n c e r n i n g ( 5 . 8 ) w e h a v e t h a t , w i t h p r o b a b i l i t y o n e ,
l i m i n f
n 3 I
s u p
k
l o g q
k
n
C
I
n
n
X
i = 1
v @ b( k )
i
; b( k )
i + 1
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A
I
n
n
X
i = 1
v @ b
i
; b
i + 1
; Xi
A
!
! s u p
k
l i m i n f
n 3 I
l o g q
k
n
C
I
n
n
X
i = 1
v @b
( k )
i
;b
( k )
i + 1
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i
A
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
!
a s u p
k
l i m i n f
n 3 I
I
n
n
X
i = 1
v @b
( k )
i
;b
( k )
i + 1
;X
i
A
I
n
n
X
i = 1
v @b
i
;b
i + 1
;X
i
A
!
a s u p
k
l i m i n f
n 3 I
k
n
n
X
i = 1
E
f F
k
@b
( k )
i + 1
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i + 1
A jX
i
1
g
k
n
n
X
i = 1
E
f F
k
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
!
:
T h e p r o b l e m l e f t i s t o s h o w t h a t t h e l a s t t e r m i s n o n n e g a t i v e a . s . U s i n g
2 2
-
8/8/2019 Cost Bell
23/26
t h e d e n i t i o n o f F
k
F
k
@b
( k )
i + 1
;X
i + 1
A F
k
@b
i + 1
;X
i + 1
A
a m x
b0
n
v @b
( k )
i + 1
;b
H
;X
i + 1
A C @ I
k
AE
f F
k
@b
0
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
o
m x
b0 0
n
v @b
i + 1
;b
H H
;X
i + 1
A C @ I
k
AE
f F
k
@b
H H
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
o
a m x
b0m i n
b0 0
n n
v @b
( k )
i + 1
;b
H
;X
i + 1
A C @ I
k
AE
f F
k
@b
0
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
o
n
v @b
i + 1
;b
H H
;X
i + 1
A C @ I
k
AE
f F
k
@b
H H
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
o o
! m i n
b0 0
n n
v @b
( k )
i + 1
;b
H H
;X
i + 1
A C @ I
k
AE
f F
k
@b
H H
;X
i + 2
A jX
i + 1
g
o
n
v @ b
i + 1
; bH H
; Xi + 1 A C @ I k A E f F k @ bH H
; Xi + 2 A j Xi + 1 g
o o
a m i n
b0 0
n
v @b
( k )
i + 1
;b
H H
;X
i + 1
A v @b
i + 1
;b
H H
;X
i + 1
A
o
! P k v k
I
;
t h e r e f o r e
s u p
k
l i m i n f
n 3 I
I
n
n
X
i = 1
k
E
f F
k
@b
( k )
i + 1
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A F
k
@b
i + 1
;X
i + 1
A jX
i
1
g
! s u p
k
k
@ P k v k
I
A
a H
a . s . , a n d ( 5 . 8 ) i s p r o v e d .
R e f e r e n c e s
[ 1 ] A k i e n , M . , A . S u l e m , a n d M . I . T a k s a r ( 2 0 0 1 ) : D y n a m i c O p t i m i z a t i o n
o f L o n g - t e r m G r o w t h R a t e f o r a P o r t f o l i o w i t h T r a n s a c t i o n C o s t s a n d
L o g a r i t m i c U t i l i t y . " M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , 1 1 , 1 5 3 - 1 8 8 .
[ 2 ] A l g o e t , P . , T . C o v e r ( 1 9 8 8 ) : A s y m p t o t i c O p t i m a l i t y A s y m p t o t i c
E q u i p a r t i t i o n P r o p e r t i e s o f L o g - o p t i m u m I n v e s t m e n t s . " A n n a l s o f
P r o b a b i l i t y , 1 6 , 8 7 6 - 8 9 8 .
[ 3 ] A r a p o s t a t h i s , A . , V . S . B o r k a r , E . F e r n a n d e z - G a u c h e r a n d , M . K .
G h o s h a n d S . I . M a r c u s ( 1 9 9 3 ) : D i s c r e t e - t i m e C o n t r o l l e d M a r k o v
2 3
-
8/8/2019 Cost Bell
24/26
P r o c e s s e s w i t h A v e r a g e C o s t C r i t e r i o n : a S u r v e y . " S I A M J . C o n t r o l
O p t i m z a t i o n , 3 1 , 2 8 2 - 3 4 4 .
[ 4 ] B e r t s e k a s , D . P . , a n d S . E . S h r e v e ( 1 9 7 8 ) : S t o c h a s t i c O p t i m a l C o n -
t r o l : t h e D i s c r e t e T i m e C a s e . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s .
[ 5 ] B i e l e c k i , T . R . , a n d S . R . P l i s k a ( 2 0 0 0 ) : R i s k S e n s i t i v e A s s e t M a n a g -
m e n t w i t h T r a n s a c t i o n C o s t s . " F i n a n c e a n d S t o c h a s t i c s , 4 , 1 - 3 3 .
[ 6 ] B o b r y k , R . V . , a n d L . S t e t t n e r ( 1 9 9 9 ) : D i s c r e t e T i m e P o r t f o l i o S e -
l e c t i o n w i t h P r o p o r t i o n a l T r a n s a c t i o n C o s t s . " P r o b a b i l i t y a n d M a t h -
e m a t i c a l S t a t i s t i c s , 1 9 , 2 3 5 - 2 4 8 .
[ 7 ] C o v e r , T . ( 1 9 9 1 ) : U n i v e r s a l P o r t f o l i o s . " M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , 1 ,
1 - 2 9 .
[ 8 ] D a v i s , M . H . A . , a n d A . R . N o r m a n ( 1 9 9 0 ) : P o r t f o l i o S e l e c t i o n w i t h
T r a n s a c t i o n C o s t s . " M a t h e m a t i c s o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 1 5 , 6 7 6 -
7 1 3 .
[ 9 ] E a s t h a m , J . , a n d K . H a s t i n g s ( 1 9 8 8 ) : O p t i m a l I m p u l s e C o n t r o l o f
P o r t f o l i o s . " M a t h e m a t i c s o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 1 3 , 5 8 8 - 6 0 5 .
[ 1 0 ] G u o , X . , a n d X . C a o ( 2 0 0 5 ) : O p t i m a l C o n t r o l o f E r g o d i c C o n t i n u o u s
T i m e M a r k o v - c h a i n s w i t h A v e r a g e S a m p l e - p a t h R e w a r d s . " S I A M J .
C o n t r o l O p t i m i z a t i o n , 4 4 , 2 9 - 4 8 .
[ 1 1 ] G y r , L . , G . L u g o s i , a n d F . U d i n a ( 2 0 0 6 ) : N o n p a r a m e t r i c K e r n e l -
b a s e d S e q u e n t i a l I n v e s t m e n t S t r a t e g i e s . " M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , 1 6 ,
3 3 7 - 3 5 7 .
[ 1 2 ] G y r , L . , a n d D . S c h f e r ( 2 0 0 3 ) : " N o n p a r a m e t r i c P r e d i c t i o n , " i n
A d v a n c e s i n L e a r n i n g T h e o r y : M e t h o d s , M o d e l s a n d A p p l i c a t i o n s ,
e d s . J . A . K . S u y k e n s , G . H o r v t h , S . B a s u , C . M i c c h e l l i , a n d J . V a n -
d e v a l l e . I O S P r e s s , 3 3 9 - 3 5 4
[ 1 3 ] H e r n n d e z - L e r m a , L . , a n d J . B . L a s s e r r e ( 1 9 9 6 ) : D i s c r e t e - T i m e
M a r k o v C o n t r o l P r o c e s s e s : B a s i c O p t i m a l i t y C r i t e r i a . N e w Y o r k :
S p r i n g e r .
2 4
-
8/8/2019 Cost Bell
25/26
[ 1 4 ] H e r n n d e z - L e r m a , O . , O . V e g a - A m a y a ( 1 9 9 8 ) : I n n i t e - h o r i z o n
M a r k o v C o n t r o l P r o c e s s e s w i t h U n d i s c o u n t e d C o s t C r i t e r i a : f r o m A v -
e r a g e t o O v e r t a k i n g O p t i m a l i t y . " A p p l i c a t i o n e s M a t h e m a t i c a e , 2 5 ,
1 5 3 - 1 7 8 .
[ 1 5 ] H e r n n d e z - L e r m a , O . , O . V e g a - A m a y a a n d G . C a r r a c a s c o ( 1 9 9 9 ) :
S a m p l e - p a t h O p t i m a l i t y a n d V a r i a n c e - m i n i m i z a t i o n o f A v e r a g e C o s t
M a r k o v C o n t r o l P r o c e s s e s . " S I A M J . C o n t r o l O p t i m i z a t i o n , 3 8 , 7 9 -
9 3 .
[ 1 6 ] I y e n g a r , G . ( 2 0 0 2 ) : D i s c r e t e T i m e G r o w t h O p t i m a l I n v e s t m e n t w i t h
C o s t s . " W o r k i n g P a p e r ,
h t t p : / / w w w . c o l u m b i a . e d u / g i 1 0 / P a p e r s / s t o c h a s t i c . p d f
[ 1 7 ] I y e n g a r , G . ( 2 0 0 5 ) : U n i v e r s a l I n v e s t m e n t i n M a r k e t s w i t h T r a n s a c t i o n
C o s t s . " M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , 1 5 , 3 5 9 - 3 7 1 .
[ 1 8 ] I y e n g a r , G . , a n d T . C o v e r ( 2 0 0 0 ) : G r o w t h s O p t i m a l I n v e s t m e n t i n
H o r s e R a c e M a r k e t s w i t h C o s t s . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n I n f o r m a -
t i o n T h e o r y , 4 6 , 2 6 7 5 - 2 6 8 3 .
[ 1 9 ] L a s s e r r e , J . B . ( 1 9 9 9 ) : S a m p l e - p a t h A v e r a g e O p t i m a l i t y f o r M a r k o v
C o n t r o l P r o c e s s e s . " I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l , 4 4 ,
1 9 6 6 - 1 9 7 1 .
[ 2 0 ] K a l a i , A . , a n d A . B l u m ( 1 9 9 7 ) : U n i v e r s a l P o r t f o l i o s w i t h a n d w i t h o u t
T r a n s a c t i o n C o s t s . " P r o c e e d i n g s o f t h e 1 0 t h A n n u a l C o n f e r e n c e o n
L e a r n i n g T h e o r y . , 3 0 9 - 3 1 3 .
[ 2 1 ] K o r n , R . ( 1 9 9 8 ) : P o r t f o l i o O p t i m i z a t i o n w i t h S t r i c t l y P o s i t i v e T r a n s -
a c t i o n C o s t a n d I m p u l s e C o n t r o l . " F i n a n c e a n d S t o c h a s t i c s , 2 , 8 5 -
1 1 4 .
[ 2 2 ] M e r h a v , N . , E . O r d e n t l i c h , G . S e r o u s s i a n d M . J . W e i n b e r g e r ( 2 0 0 2 ) :
O n S e q u e n t i a l S t r a t e g i e s f o r L o s s F u n c t i o n s w i t h M e m o r y . " I E E E
T r a n s a c t i o n s o n I n f o r m a t i o n T h e o r y , 4 8 , 1 9 4 7 - 1 9 5 8 .
2 5
-
8/8/2019 Cost Bell
26/26
[ 2 3 ] M o r t o n , A . J . , a n d S . R . P l i s k a ( 1 9 9 5 ) : O p t i m a l P o r t f o l i o M a n a n g e -
m e n t w i t h T r a n s a c t i o n C o s t s . " M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , 5 , 3 3 7 - 3 5 6 .
[ 2 4 ] P a l c z e w s k i , J . , a n d L . S t e t t n e r , ( 2 0 0 6 ) : O p t i m i s a t i o n o f P o r t f o l i o
G r o w t h R a t e o n t h e M a r k e t w i t h F i x e d P l u s P r o p o r t i o n a l T r a n s a c -
t i o n C o s t . " C I S t o A p p e a r a S p e c i a l I s s u e D e d i c a t e d t o P r o f . T .
D u n c a n .
[ 2 5 ] P l i s k a , S . R . , a n d K . S u z u k i ( 2 0 0 4 ) : O p t i m a l T r a c k i n g f o r A s s e t A l l o -
c a t i o n w i t h F i x e d a n d P r o p o r t i o n a l T r a n s a c t i o n C o s t s . " Q u a n t i t a t i v e
F i n a n c e , 4 , 2 3 3 - 2 4 3 .
[ 2 6 ] S c h f e r , D . ( 2 0 0 2 ) : N o n p a r a m e t r i c E s t i m a t i o n f o r F i n a n t i a l I n v e s t -
m e n t u n d e r L o g - U t i l i t y . P h D D i s s e r t a t i o n , M a t h e m a t i c a l I n s t i t u t e ,
U n i v e r s i t y S t u t t g a r t , A a c h e n : S h a k e r V e r l a g .
[ 2 7 ] S h r e v e , S . E . , H . M . S o n e r a n d G . L . X u ( 1 9 9 1 ) : O p t i m a l I n v e s t m e n t
a n d C o n s u m p t i o n w i t h T w o B o n d s a n d T r a n s a c t i o n C o s t s . " M a t h e -
m a t i c a l F i n a n c e , 1 ( 3 ) , 5 3 - 8 4 .
[ 2 8 ] S h r e v e , S . E . , a n d H . M . S o n e r ( 1 9 9 4 ) : O p t i m a l I n v e s t m e n t a n d C o n -
s u m p t i o n w i t h T r a n s a c t i o n C o s t s . " A n n a l s o f A p p l i e d P r o b a b i l i t y ,
4 , 6 0 9 - 6 9 2 .
[ 2 9 ] S t o u t , W . F . ( 1 9 7 4 ) : A l m o s t S u r e C o n v e r g e n c e . N e w Y o r k : A c a d e m i c
P r e s s .
[ 3 0 ] T a k s a r , M . , M . K l a s s a n d , D . A s s a f ( 1 9 8 8 ) : A D i u s i o n M o d e l f o r
O p t i m a l P o r t f o l i o S e l e c t i o n i n t h e P r e s e n c e o f B r o k e r a g e F e e s . " M a t h -
e m a t i c s o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 1 3 , 2 7 7 - 2 9 4 .
[ 3 1 ] V e g a - A m a y a , O . ( 1 9 9 9 ) : S a m p l e - p a t h A v e r a g e O p t i m a l i t y o f M a r k o v
C o n t r o l P r o c e s s e s w i t h S t r i c t l y U n b o u n d e d C o s t s . " A p p l i c a t i o n e s
M a t h e m a t i c a e , 2 6 , 3 6 3 - 3 8 1 .
2 6