Cromodinámica Cuántica

• Evidencia de quarks y color

• QCD

• Libertad asintótica y confinamiento

• Interacción quark-quark

• “Diferentes tipos de quarks””

EVIDENCIAS DE QUARKS Y COLOR

Hemos visto que las primeras ideas acerca de que los hadrones no son elementales sino que están compuestos por partículas de espin ½ llamadas “quarks” fueron introducidas por Gell-Mann y Ne’eman a principios de ’60s. Dichas ideas dieron lugar al llamado “modelo de quarks” que permitió una exitosa clasificación de los hadrones en términos de conjuntos de tres quarks (bariones) o de un par quark-antiquark (mesones).

Dentro de dicho esquema que los hadrones más livianos (p.ej. pueden N, Λ, π, K, etc) se construyen a partir de tres sabores de quarks (u, d, s). También hemos mencionado que a partir de 1974 fueron descubiertos hadrones mas pesados que están compuestos por tres sabores adicionales de quarks (c, b, t).

Al construir la funciones de onda de ciertos bariones, como por ejemplo la Δ++,hemos notado que si sólo tenemos en cuenta los números cuánticos de espín y sabor no es posible lograr una función de onda completamente antisimétrica. En efecto, la función de onda de espín y sabor es

| Δ++> = (uuu) (↑ ↑ ↑)

Es decir, es simétrica ante intercambio de dos quarks. Algo similar ocurre con lapartícula Ω.

Para solucionar este problema fue sugerida la existencia de un numero cuántico adicional para los quarks. Dicho numero cuántico recibió el nombre de color. La idea es que cada sabor de quark puede “venir” en tres colores diferentes (red, green, blue) de manera que al formar un barión la función de onda de color sea totalmente antisimétrica.

Estas ideas acerca de la composición de los hadrones en términos de quarks no fueron inicialmente del todo aceptadas. Esto se debió a la falta inicial de evidencia directa de la existencia de los quarks, y mas aun de que estos pudieran tener tres colores diferentes (Nc=3). Esta evidencia recién empezó a surgir hacia fin de los ’60s a través de los experimentos de dispersión profundamente inelástica de electrones llevados a cabo en SLAC. Los correspondientes resultados fueron confirmados en los ’70s por experimentos con muones llevados a cabo en el CERN

Estructura interna de los hadrones. Dispersión de electrones(para detalles ver Halzen-Martin Cap. 9)

Consideremos la dispersión de electrones por un blanco P de masa en reposo M

En el sistema del laboratorio

( ,0) ( , ) ' ( , ')p M k E k k E kμ μ μ= = =

Podemos pensar que el e- provee un fotón virtual, y que es este el que estudia la estructura de la partícula P. Tenemos entonces

( )22 2 2 22

2 2 2

' ' 2 . ' 2 2( ' . ' )

Si , ' se obtiene 2 '(1 cos )

Por lo que 4 'sin / 2

e

e

q k k k k k k m E E k k

E E m q E E

Q q E E

θ

θ

= − = + − = − −

>> = − −

= − = −

Llamaremos W2=p’2 a la masa de la particula saliente P*. Entonces, usando pμ’=pμ+qμ , resulta

22 2 2 22 . 2p q p q M Q MW ν+ + = − +=

Donde hemos definido el invariante ν = p.q /M. Notar que en LAB frame ν = E - E’,es decir que es la energía del fotón virtual. Notemos que

22 2 2

22 2 2

2 2

Para la dispersion elastica 2 12

Para la dispersion inelastica 2 0 12

Ademas dado que 0, 0 0. Por lo que 0 1

QW M Q M xM

QW M Q M xM

Q x x

νν

νν

ν

= ⇒ = ⇒ ≡ =

> ⇒ − + > ⇒ ≡ <

> > ⇒ > ≤ ≤

Las variables del experimento son (E, E’ y θ) . Si hacemos experimentos a Efijo entonces las variables relevantes son E’ y θ que definen al electrón saliente o alternativamente Q2 y ν que definen al fotón virtual.

Para dispersión elástica hay un solo grado de libertad ya que x=1 (dado θ la energía E’ esta determinada). Para dispersión inelástica hay dos grados de libertad, siendo muy común elegir el par (Q2 , x).

•La interpretación de x es que me da una idea de cuan inelástico es el proceso

•La interpretación de Q2 se obtiene a partir de su relación con la longitud de onda λ del fotón virtual.

22 2 2 2 2 2 2 2

2 2

12 2 222

2 2

Usando 14

1 2de donde para1

4

QQ q q q Q QM x

M xq Q MQQQ

M x

ν ν

λ−

⎛ ⎞− = = − ⇒ = + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ≈ >>

+

∼

Es decir que x fijo al aumentar Q2 aumenta el poder de resolución.

Veamos ahora que pasa al variar la cinemática del proceso. Si el blanco es puntual, indestructible e inexcitable debemos esperar que σ sea una δ en x=1 para todo Q2

Si el blanco es 12C a energías bajas lo “vemos” puntual. A medida que Q2aumenta “vemos” estados excitados. Si Q2 sigue aumentando empezamos a ver picos correspondientes a los N=12 componentes “puntuales”. El momento de Fermi hace que el pico elástico correspondiente se ensanche.

Para Q2 aun mayores se empiezan a aparecer los picos correspondientes a los estados excitados de los nucleones. Finalmente a Q2 de algunos GeV2 comienzan a verse picos asociados a 3 partículas puntuales por cada uno de los N nucleones. A estas componentes de los nucleones se los llamo partones, luego fueron identificados con los quarks.

Al hecho que en este regimen σ es independiente de Q2 se lo denomina “scaling” (verificado exp. en SLAC en ’70s)

Aniquilación e+-e- y el número de colores (Griffiths Sec.8.2)

Consideremos el proceso e+-e- → hadrones. Según lo que acabamos de ver a altos momentos Q2 la sección eficaz esta dominada por

Por supuesto luego tanto el quark como el antiquark interactúan a través de las interacciones fuertes produciendo hadrones que son las partículas que se observan experimentalmente (se dice que hadronizan)

El calculo de la seccion eficaz asociada a este diagrama es similar al que se debehacer para e+-e- → μ+-μ-. En ese caso obtiene σ(e+- e - → μ+ - μ -) = cte Qμ2 / E2 dondeE ( >> mμ) es la energia en CM y Qμ es la carga del muon. Por lo tanto,

2( )( ) c ii activos

e e hadronesR Ne e

σσ μ μ

+ −

+ − + −=

→= =

→ ∑ Q“activos” significa aquique E > mi

2 2 2

2

2

2 1 13 2 para , ,3 3 3

2 102 3 para , , , con 33 3

10 1 113 para , , , ,3 3 3

c

R u d s

u d s c N

u d s c d

⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦

⎪⎪⎛ ⎞= + = =⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎪⎛ ⎞= + = ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎭

La acción de QCD tiene una simetría de gauge SU(3) de color y resulta

donde c=r,g,b; a=1,..,8; f=u,d,s,..t; μ,ν = 0,..3 y el tensor de campo es

λa son las matrices de Gell-mann y fabc las constantes de estructura de SU(3). Las masas (corrientes) de los quarks son

u d s c b t~3 MeV ~6 MeV ~170 MeV ~1.3 GeV ~4.3 GeV ~175 GeV

( )

1 11 2

4 14

c c

acf f cf a

a as c f c f

S d x q i m q G G

g q q G

μ μνμ μν

μμν

γ

γ λ

⎡= ∂ − −⎢⎣⎤+ ⎦

∫

a a a b cs abcG G G ig f G Gμν μ ν ν μ μ ν= ∂ − ∂ +

QCD

Esquemáticamente las interacciones son

La gran diferencia con QED proviene de la existencia de las interacciones de 3-gluones and 4-gluones. Esto es debido a la naturaleza no-abeliana del grupo de gauge. Veamos como afecta el comportamiento de la constante de acoplamiento.

Interacción quark-gluon

1 11 2c c

a as c f c fg q q G

μμνγ λ

Interacción de3-gluones y 4-gluones

Términos de 3er y 4to orden en 14

aaG Gμν

μν

LIBERTAD ASINTOTICA Y CONFINAMIENTO

Para comprender como aparece este tipo de fenomenos es necesarioprimeramente analizar que es lo que ocurre con un teoria de cuantica de camposcuando uno considera diagramas en los que aparecen loops.

Comenzaremos por analizar el caso sencillo de QED (Ver: Sec’s. 6.6 y 7.9 de Griffiths y Sec’s 7.6 a 7.8 de Halzen-Martin). Para ilustrar el problema consideremos el caso particular de la dispersión

e- μ- → e- μ-

Loops, divergencias y renormalizacion

( ) ( )3 1 4 22-

- ( ) ( ) ( ) ( )e eig

i u p iQ u p u p iQ u pq

μνμ νγ γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦Μ

( ) ( )3 1 4 22 2- -

- ( ) ( ) ( ) ( )e eig ig

i u p iQ u p I u p iQ u pq q

μα βνμ αβ νγ γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦Μ

( )( )

4

2(

2 ed k i kI Tr iQαβ αγπ

= − − ( )2 2()

( ) ei qm iQ

k mβγ+ −

−k−

( )( )2 2)m

q k m

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

∫

Al orden mas bajo (Qe2) no hay loops (“tree level”). Se obtiene

Entre las contribuciones de orden siguiente (Qe4) aparece el diagrama de un loop

Usando las reglas de Feynman vistas la contribución a M es

donde

e-

μ-

e-

μ-

( )

42

2

(2e

kd kI Q Tr μμνγ

π= −

) (m qνγ+ k−

( )( )22 2 2)

( )

m

k m q k m

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

∫

2 2 4

g g i Iq q q

μν μνμν→ −

23 2

4 divergente cuandok

d k k d k k k kk

= = → ∞∫ ∫

En realidad al tomar las trazas resulta que la divergencia es menos severa, es decir diverge como ln |k|. De todas maneras es divergente !

Vemos que incluir este diagrama de un loop equivale a hacer el reemplazo

Donde Iμν puede escribirse de la forma

Veamos como se comporta la integral para |k| grandes

Iμν tiene dos índices y solo depende de qμ por lo tanto su forma más general es

2 2 2( ) ( )I i g q I q q q J qμν μν μ ν= − +

El segundo termino no contribuye a M. Para entender esto veamos, por ejemplo, que sucede al multiplicar el factor qμ que contiene dicho termino con lo que proviene de las patas externas del diagrama. Vemos que qμ aparece contraido con

. Resulta entonces3 1( ) ( )u p u pμγ

3( )u p q 1 3( ) ( )u p u p p= 1 p− [ ]1 3 13 ( ) ( ) ( ) 0u p u p m m u p⎡ ⎤ = − =⎣ ⎦

p 1 1 31 ( ) ( ) ; ( )u p m u p u p p= 33 ( )m u p=

Donde hemos utilizado que u(p1) y u(p3) satisfacen las ecuaciones

Por lo tanto solo nos tenemos que preocupar de I(q2). Veremos en lo que sigue como hacerlo

Manipulando el integrando adecuadamente se obtiene

2

12 22

2 20

( ) 6 (1 ) ln 1 (1 )12

Divergente Convergente

e

m

Q dx qI q dz z z z zx mπ

∞⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= − − − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

↑ ↑

∫ ∫

Para poder tratar la parte divergente introducimos por el momento un “cut-off” Λ. (regularización). En ese caso

2

2 2

2

2lnm m

dx dxx x m

∞ Λ Λ→ =∫ ∫

Para la parte convergente

[ ]1

0

/ 5 para 1( ) 6 (1 ) ln 1 (1 )

ln para >> 1x x

f x dz z z x z zx x

Por lo tanto,2 2 2

22 2 2( ) ln12

eQ qI q fm mπ

⎧ ⎫⎛ ⎞Λ= − −⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭

Notar que q2 < 0. Para ver esto notemos que en el sistema Centro de Masa tenemos

2 2 21 1

21 3 3 3( ) 2 ·pp pq p pp + −= − =

Usando2 2 2( , ) con donde 1,3ii i i iE p E m pp i

μ = + ==

Se obtiene

2 2 2 21 1 1 33 313; ; · ·p m p m p p E E p p−= = =

23

2

2 21

21

2 23

·

cos .

p p

p pp

p

p qm θ

=

= +

≡

−

y porNotando que se trata de una dispersion elastica t lo tantoReemplazando en se obtiene final

enemosmente

22 24 sin 02

q p θ= −

2 2 22

3 1 4 22 2 2 2( ) ( ) 1 ln ( ) ( )12e

e

g Q qQ u p u p f u p u pq m m

μνμ νγ γπ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞Λ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Μ

Volviendo a la amplitud invariante M al incluir la contribución de “polarización del vacío” se obtiene entonces

Ahora viene el punto crucial:

podemos “absorber el infinito” si definimos la carga renormalizada QR según

22

22

2 21 ln12ee

RQQ

mQ

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝

Λ≡

⎠−

2 22

3 1 4 22 2 2( ) ( ) 1 ( ) ( )12R

R

g Q qQ u p u p f u p u pq m

μνμ νγ γπ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎝ ⎠⎩ ⎭Μ

Reemplazando en la expresión de la amplitud invariante resulta

Notar que al orden Qe4 es lo mismo poner aqui Qe4 o QR4

• Los infinitos desaparecieron. Todo queda escrito en terminos de QR que es lo que realmente uno mide. No es importante que Qe (llamada carga “desnuda”) sea divergente ya que NO es observable ! La idea es entonces que uno puede utilizar QR en el lagrangiano de QED y olvidarse de las divergencias

• Del diagrama considerado queda aun una contribución finita que depende de q2Podemos absorber también esta contribución en la definición de la constante de acoplamiento (carga del electrón), pero entonces la constante ya no es mas constante ! Se la llama “running coupling constant”. En términos de la constante de estructura fina α = QR2/4π

22

2

(0)( ) (0) 13

qq fm

αα απ

⎧ ⎫⎛ ⎞= + −⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭

Aprox. x>>1

Aprox. x >

= −

Vemos que para recordar que lo es Por lo tanto usando

2( ) (0)qα α>resulta

Es decir que la constante de acoplamiento crece a medida que lo hace el momento transferido (distancias mas cortas). O, dicho de otra manera, decrece a medida que la distancia crece. Lo que uno mide es la carga a grandes distancias. Dicha carga esta “apantallada” por pares e+-e- del vacío.

Porque Rutherford, Millikan, etc no vieron estos efectos en sus experimentos ? No es dificil ver que aun a velocidades incidentes del orden de c/10, la corrección es del orden de una parte en 10-5. Aun así existen efectos detectables como por ejemplo en el corrimiento de Lamb.

Los diagramas considerados no son los únicos que dan contribuciones divergentes a orden Qe4. Los siguientes también lo hacen

Renormalización de la masaRenormalización

del vértice

Se pueden tratar de manera similar. Es posible mostrar que todos los infinitos pueden ser tenidos en cuenta por la renormalización de la carga y de la masa

En principio el diagrama de un loop considerado se puede sumar a todo orden

→

Mas en general el valor de αa la escala |q2| esta relacionado con el valor a la escala μ2 (>> m2) por

A medida que |q2| crece la “running coupling constant” crece y viceversa. Es decir, • Apantallamiento grandes distancias (q2 pequeños), • Acoplamiento fuerte a cortas distancias (q2 grandes)

donde β1 =2/3

22

2 2

1 2

( )( )( )1 ln2

qq

α μαα μβ

π μ

=⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

Analíticamente resulta que la “runningcoupling constant” para |q2| >> m2 es

22

2

(0)( )(0) | |1 ln

3

qqm

ααα

π

=⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

donde hemos usado f(x) → ln xpara x >> 1

Para el caso de QCD, existe además la interacción entre gluones

Se obtiene una expresión similar salvo que ahora

Libertad asintótica (1973)Gross, Wilczek,PolitzerPremio Nobel 2004

( )1 2 11 / 6f cN Nβ = −

Para Nc = 3 y Nf =6 (< 16) se obtiene esto implica

( )2 2lim 0sq qα→∞ =

22

2 2

2

( )( )( )1 (3 2 ) ln

12

ss

c f

qqN N

α μαα μ

π μ

=⎛ ⎞

+ − ⎜ ⎟⎝ ⎠

Es decir

Libertad asintotica

En la figura se muestra el comportamiento de αs en función de Q=|q|obtenido por cálculos más precisos y comparado con datos experimentales

•Para Q ~ 1 GeV la constante αs es del orden de la unidad. A esa escala (o menores) debemos recurrir a métodos y modelos no perturbativos

•Para Q ~ 50 GeV o mayores se pueden utilizar métodos perturbativos

1mesones: ( )3

+ +ggr bbr

3 3 12 11bariones: 1 2 2

3 3 1

(6

)2 11 2

3

2 3

− +

− + −

r r rb b bg g g

g r rb brg gbanti-simétrico respecto de intercambio de color

Otra observación importante (que aun no ha sido demostrar estrictamente a partir de QCD) es que los quarks están confinados. Es decir, que no se los puede observar como objetos aislados.

La idea es que solo las configuraciones de quarks que forman singletes de color están permitidas por QCD.

Confinamiento

El resultado es similar al de QED salvo que, por supuesto, aparece la “carga fuerte”gs en lugar de la carga electrica y que tenemos un factor de color

( ) ( )8

† †3 1 2 4

1

14

a a

a

f c c c cλ λ=

= ∑Notar que si f > 0 la interacción es repulsiva (en QED f =1 y el diagrama corresponde a dos cargas iguales que sabemos es repulsiva)

Para motivar el hecho de que QCD puede llegar a dar lugar a confinamiento consideremos la interacción quark-quark debida al intercambio de un gluon (ver Griffiths Sec.9.2)

El factor f se puede calcular explicitamente para las distintas configuracionesposibles (ver Griffiths Sec.9.2). Resulta

singlete 4 / 3 Interaccion atractiva octete 1 / 6 Interaccion repulsiva

qq fqq f

= − ⇒= ⇒

Para interacción quark-quark el calculo es similar. Resulta

antitriple 2 / 3 Interaccion atractiva sextete 1 / 3 Interaccion repulsiva

qq fqq f

= − ⇒= ⇒

De esto se deduce que para qqq la configuración singlete es la más atractiva

ProtonModeloQuarksConstituyentes

Proton QCD

•Constituent Quarks

Mu=Md= 340 MeVMs=500 MeV

•La masa del proton vienemayoritariamente de la masa de losquark

•La separacion entre masas de hadrones proviene de interaccion de a pares fenomenologica

•QCD quarks

mu=3 MeV , md= 6 MeVms=170 MeV

•La mayor parte de la masa de loshadrones y separaciones entre ellasproviene de las interacciones en forma no perturbativa.•Las masas de los quarks a solo el 1% de la masa de proton

“DIFERENTES TIPOS DE QUARKS”