1  

NCP  501,  502,  503    -­‐LESSONS/NOTES         Period____________   Name_________________________________________      

Level  1  1. List  all  of  the  factors  of  each  number:  

  a.    24                   b.  62           c.    56                                    

CRS  SKILL   LEVEL   DESCRIPTION              

Numbers:  Concepts  &  Properties  

 NCP  501  NCP  502  NCP  503  

Level  1  –  ALL  students  must  attain  mastery  at  this  level  

NCP  301    Recognize  one-­‐digit  factors  of  a  number      NCP  302    Identify  a  digit’s  place  value      NCP  401  Exhibit  knowledge  of  elementary  number  concepts  including  rounding  and  pattern  identification.  

Level  2  –  MOST  students  will  attain  mastery  of  the  focus  skill  in  isolation.  

NCP  501    Find  and  use  least  common  multiple  NCP  502    Order  fractions  NCP  503    Work  with  numerical  factors        Level  3  –  SOME  students  will  

attain  mastery  of  focus  skill  with  other  skills  Level  4  –  SOME  students  will  attain  mastery  of  focus  topics  covered  in  a  more  abstract  way  Level  5  –  FEW  students  will  attain  mastery  of  the  extension  skill.  

NCP  601    Apply  number  properties  involving  prime  factorization  

VOCABULARY  Factor,  Multiple,  Prime  number,  Composite  number,  Place  Value,  Least  Common  Multiple,  Greatest  Common  Factor,  Prime  Factorization  REQUIRED  SKILLS  TO  MASTER  Round  Numbers,  Order  Fractions,  Divisibility  intuition,  Factor  pairs,  Identifying  factors  and  multiples  

Additional  KHAN  Skills  Divisibility  Tests,  Prime  Factorization,  Divisibility,  Fundamental  Theorem  of  Arithmetic,  Least  Common  Multiple,    Greatest  Common  Factor  

 2      

 3  

2. Mr.  Buteyn  has  28  doughnuts.    He  wants  to  hand  them  out  to  some  track  stars.    List  the  different  ways  he  could  give  them  out  evenly.    For  example  he  could  give  14track  stars  two  doughnuts  each.      

             

3. We  know  that   7 × 8 = 56 .    So,  which  of  the  following  statements  are  also  true?     (Select  all  that  apply)  

a. 8  is  a  factor  of  56  

b. 7  is  a  multiple  of  56  

c. 7  is  a  factor  of  56  

d. 56  is  a  factor  of  8  

4. List  the  first  5  multiples  of  each  number  below.  a. 7    b. 11    c. 13    

   

 4  

Use  this  100  chart  to  find  the  prime  numbers  less  than  100.                                                                                                  

 5  

Divisible    by:  

If:   Example:  

2    

   

3    

   

5    

   

10    

   

   5. For  each  number  below  write  yes  or  no  for  each  indicated  factor.  

  2  is  a  factor  

3  is  a  factor  

5  is  a  factor  

10  is  a  factor  

73150          1365          5967          475000          22100                    

 6  

6. Write  a  number  with  the  stated  number  of  digits  that  is  divisible  by  each  of  the  given  factors.  

  Divisible  by  2  

Divisible  by  3  

Divisible  by  5  

Divisible  by  10  

3  digits      

       4  digits      

       5  digits      

       6  digits      

       7  digits      

           

7. Which  of  the  following  is  true  of  the  number  51?    

a. 51  is  prime  because  it  has  no  factors  other  than  1  and  51.  b. 51  is  prime  because  it  is  an  odd  number.  c. 51  is  composite  because  it  has  3  as  a  factor.  d. 51  is  composite  because  it  has  13  as  a  factor.  e. It  is  not  possible  to  tell  whether  51  is  prime  or  composite.  

 8. Identify  each  of  the  following  numbers  as  composite  or  prime.    If  it  is  composite  list  all  of  its  

factors.    Number   Is  it  Composite  or  Prime   If  Composite  list  all  of  the  factors  

65      79      43      39      

 7  

                                               

9. Identify  the  place  value  for  each  underlined  number.    

                       

 10. What  is  the  place  value  of  the  6  in  9,872,461?       _____________________________________  

   

11. The  value  of  the  7  in  the  number  157,983  is  _____________  times  the  value  of  the  7  in  57,962.      

12. The  value  of  the  6  in  the  number  64.251  is  ____________times  the  value  of  the  6  in  8.675.      

13. The  value  of  the  1  in  the  number  73,410  is  ___________  (fraction)  of  the  value  of  the  1  in  19,865.  

number  

ten  millions  

millions  

hundred  

thousands  

ten  thousands  

thousands  

hundreds  

tens  

ones  

.   tenths  

hundredths  

thousandths  

ten  thousandths  

a.    26,345,289.11234                            b.    76,485,718.1459                            c.      27,285.963                            d.      4,527.658                            

 8  

14. When  rounded  off,  the  amount  of  money  that  Jessie  owes  John  is  $6.00.    Which  of  the  following  could  be  the  amount  that  Jessie  actually  owes  John?    

a. $4.68  b. $5.27  c. $5.49  d. $5.51  e. $6.51  

 The  bar  graph  shows  one  year’s  worth  of  expenses  for  a  small  business.    Use  the  graph  to  answer  the  next  four  problems    

         

15. To  the  nearest  hundred  dollars,  how  much  was  spent  on  postage  and  supplies?    

   

16. Find  the  total  amount  spent,  to  the  nearest  hundred  dollars,  on  rent  and  utilities  and  car  expenses.          

17. To  the  nearest  thousand  dollars,  how  much  was  spent  on  items  other  than  salaries  and  rent  and  utilities?      

     

18. To  the  nearest  thousand  dollars,  how  much  was  spent  on  items  other  than  postage,  supplies,  and  car  expenses?  

   

Series1,  Salaries,  $20,761    

Series1,  Supplies,  $11,456    

Series1,  Postage,  $3,792    

Series1,  Telephone,  $3,652    

Series1,  Rent  and  Utilities,  $7,499    

Series1,  Car  Expenses,  $3,205    

Series1,  All  Other  

Expenses,  $8,496    

Expenses  

 9  

19. The  speed  of  light  is  186,282.3976  miles  per  second.    Round  this  number  to  the  nearest  hundredth.    

     

 20. Which  of  the  following  statements  are  true?  

I.  The  difference  between  the  numbers  is  2  hundreds,  9  tens,  and  7  ones.  II. 534,916  <  534,  619  III. Both  534,916  and  534,619  rounded  to  the  thousands  place  are  535,000  IV. The  value  of  the  4  in  both  534,996  and  534,969  is  4,000  

 a. I  only  b. I  and  II  c. II  only  d. II  and  III  e. I  ,III,  and  IV  

 21. Order  the  following  numbers  from  least  to  greatest:  -­‐0.03,  0.3,  -­‐  0.3,  1.3,  -­‐3.0  

             

22. Place  the  appropriate  symbol  (<,  >,  =)  between  each  two  numbers.      

a. 345.982  ______  345.992  

b. 356.792  ______  356.782  

c.    272.81  ______    272.18  

d.    3.9082  ______    3.9182  

e.    576.91  ______    567.91  

 

   

 10  

LEVEL  2                                                      

23. Find  the  prime  factorization  of  each  number  below.  a. 936         b.      2550         c.    1740  

                                       

 

 11  

                                             

24. Find  the  GCF  of  each  of  the  following:      

24. Find  the  Greatest  Common  Factor  for  each  set  of  numbers  below.    

Numbers   Work   GCF  

39  and  6      54  and  45      196  and  462      4641,  30225,  and  3705        

   

 

 12  

                                           

25. Find  the  LCM  of  each  of  the    following            

25. Find  the  Least  Common  Multiple  for  each  set  of  numbers  below.    

Numbers   Work   LCM  

22  and  16      39  and  15      196  and  462      5,  24,  and  36        

   a.  

 

 13  

 26. Order  the  fractions  from  least  to  greatest  

a.                            

b.                              

c.                                    

 14  

LEVEL  3  LCM  Problems  may  be  asking  you:  

• about  an  event  that  is  or  will  be  repeating  over  and  over.  • to  purchase  or  get  multiple  items  in  order  to  have  enough.  • to  figure  out  when  something  will  happen  again  at  the  same  time.  

GCF  Problemsmay  be  asking  you:  

•  to  split  things  into  smaller  sections?  • to  equally  distribute  2  or  more  sets  of  items  into  their  largest  grouping?  

   

27. Ben  exercises  every  12  days  and  Isabel  every  8  days.  Ben  and  Isabel  both  exercised  today.  How  many  days  will  it  be  until  they  exercise  together  again?  

       

28. Samantha  has  two  pieces  of  cloth.  One  piece  is  72  inches  wide  and  the  other  piece  is  90  inches  wide.  She  wants  to  cut  both  pieces  into  strips  of  equal  width  that  are  as  wide  as  possible.  How  wide  should  she  cut  the  strips?  

 

 

29. Joanne  is  campaigning  for  class  president  and  plans  to  distribute  some  campaign  materials:  20  flyers  and  16  buttons.  She  wants  each  classroom  to  receive  an  identical  set  of  campaign  materials,  without  having  any  materials  left  over.  What  is  the  greatest  number  of  classrooms  Joanne  can  distribute  materials  to?    

 

 

30. Serena  wants  to  create  snack  bags  for  a  trip  she  is  going  on.  She  has  6  granola  bars  and  10  pieces  of  dried  fruit.  If  the  snack  bags  should  be  identical  without  any  food  left  over,  what  is  the  greatest  number  of  snack  bags  Serena  can  make?    

 

 

31. Matthew  goes  hiking  every  12  days  and  swimming  every  6  days.  He  did  both  kinds  of  exercise  today.  How  many  days  from  now  will  he  go  both  hiking  and  swimming  again?  

 

 

 15  

 32. At  a  display  booth  at  an  amusement  park,  every  visitor  gets  a  gift  bag.    Some  of  the  bags  have  items  

in  them  as  shown  in  the  table  below.  How  often  will  a  bag  contain  all  three  items?    

              Items  in  the  Gift  Bags              

33. Bridget  has  swimming  lessons  every  fifth  day  and  diving  lessons  every  third  day.    If  she  had  a  swimming  lesson  and  a  diving  lesson  on  May  5,  when  will  be  the  next  date  on  which  she  has  both  swimming  and  diving  lessons?  

       

34. Mrs.  Brenneman  uses  the  Math  Mobil  Computer  Cart    every    3  days  during  period  1.    Ms.  Plflug  uses  the  same  cart  1st  period  every  5  days.  Since  a  school  year  is  180  day  long,  how  many  times  will  they  have  a  conflict?  

       LEVEL  4      

26. Find  the  Greatest  Common  Factor  for  each  set  of  expressions  below.    

Numbers   Work   GCF  

14x2  and  21x      

 

20b  and  45ab2        

 

Items   Bags  Hat     Every  2nd  visitor  T-­‐shirt   Every  7th  visitor  Backpack   Every  10th  visitor  

 16  

Numbers   Work   GCF  5x(x-­‐3)  and    75(x-­‐3)    

   

13x3(x+3),  39x2(x+3),  and  65x(x+3)    

   

     

27. Find  the  Least  Common  Multiple  for  each  set  of  expressions  below.    

Numbers   Work   LCM  

6ab  and  10b      

 

14x2  and  16x3y      

 

3(x-­‐2)  and  5x(x-­‐2)        

 

 17  

Numbers   Work   GCF  5,  2(y+5),  and  15y      

   

 

6x3yz,  18xyz,  and  24x3y2z2    

   

   

35. What  pair  of  numbers  shares  a  greatest  common  factor  of  3  and  a  least  common  multiple  of  108?                  LEVEL  5    

36. What  is  the  smallest  integer  value  of  x  such  that  50x  is  a  perfect  square?        

37. What  is  the  smallest  integer  value  of  x  such  that  550x  is  a  perfect  cube?        

38. Find  the  first  two  integer  values  of  y  such  that   35y  is  a  rational  number.      

 18  

   

39. Calculate  mentally  using  primes:  

75  ×  12,  714  ÷  21,  17  ×  55,  1325  ÷  25,  1072  ÷  16.  

 

PRIMES  AND  MENTAL  ARITHMETIC  

Awareness  of  prime  divisors  can  greatly  simplify  mental  arithmetic  problems.  Combining  factors  of  2  and  5  together  is  always  useful:  

15  ×  14  =  (3  x  5)  x    (7  x  2)  =  (3  x  7)  x  (2  x  5)  =  21  x  10  =  210  

825  ÷  25  =  (825  x  2)  ÷  (2  x  25)=  1650÷50=    (2  x  1650)/(2  x  50)  =3300  ÷  100  =  33.  

In  other  situations,  dealing  separately  with  different  prime  divisors  can  be  helpful:  

17  ×  33  =  (17  x  3  )  x  11=51  ×  11  =  561  a  

616  ÷  28  =  (616÷2)  ÷14=  (308  )÷  14  =  (308÷2)÷7=  154  ÷  7  =  22.  

Powers  of  2  and  powers  of  5  are  particularly  easy  to  work  with:  

 8  ×  17  =  4  ×  34  =  2  ×  68  =  136    (when  multiplying  by  8  double  ,  double,  and  double  again)  

 496  ÷  8  =  248  ÷  4  =  124  ÷  2  =  62  (When  dividing  by  8,  divide  by  two  three  times.)      112  ×  125  =  (2  x2  x  2  x  14)  x  125=  56  ×  250  =  28  ×  500  =  14  ×  1000  =  14000      

 19  

 

40. List  all  the  factors  of  256  and  210.  

 

 

 

 

 

 

41.    Find  a  site  to  play  Kenken  online.    This  puzzle  requires  on  to  think  about  all  the  ways  to  factor  a  given  number.  

 

 

 

 

LISTING  FACTORS  OF  A  NUMBER  

Once  the  prime  factorization  of  a  number  has  been  obtained,  all  its  factors  can  quickly  be  written  down.  For  example,  

60  =  22  ×  3  ×  5;  

so  the  complete  list  of  factors  of  60  is  

 22  ×  3  ×  5  =  60    21  ×  3  ×  5  =  30    1  ×  3  ×  5  =  15     22  ×  1  ×  5  =  20     21  ×  1  ×  5  =  10       1  ×  1  ×  5  =  5     22  ×  3  ×  1  =  12     21  ×  3  ×  1  =  6     1  ×  3  ×  1  =  3     22  ×  1  ×  1  =  4     21  ×  1  ×  1  =  2     1  ×  1  ×  1  =  1  and  the  total  number  of  factors  is  

(2  +  1)  ×  (1  +  1)  ×  (1  +  1)  =  12,  

because  the  power  of  2  in  the  factor  can  be  20,  21  or  22  (3  choices),  the  power  of  3  can  be  30  or  31  (2  choices),  and  the  power  of  5  can  be  50  or  51  (2  choices).  

 20  

 

THREE  GENERAL  RESULTS  ABOUT  THE  GCF  AND  LCM  OF  TWO  WHOLE  NUMBERS  

a  Find  the  prime  factorisations  of  540  and  792  

 

 

 

 

 

b  Hence  find  the  LCM  and  GCF  of  540  and  792.  

 

 

 

 

 

 

PRIME  FACTORISATION  AND  THE  GCF  AND  LCM  

The  GCF  and  LCM  of  two  whole  numbers  can  be  found  from  their  prime  factorisations.  For  example,  

784  =  24  ×  30  ×  50  ×  72   and   210  =  21  ×  31  ×  51  ×  71.  

The  GCF  is  found  by  taking  the  smaller  index  of  each  prime,  and  the  LCM  by  taking  the  larger  index  of  each  prime,  so  

GCF(784,  210)  =  21  ×  30  ×  50  ×  71  =  14  

LCM(784,  210)  =  24  ×  31  ×  51  ×  72  =  11  760.  

 ‘When  a  prime  is  missing  from  one  prime  factorization,  exclude  the  prime  power  from  the  GCF,  but  include  the  prime  power  in  the  LCM.’  

 21  

 

42. Using  the  method  above  find  the  GCF  and  LCM  of  7920  and  2376.    Also  show  the  prime  factorization  of  each  number.    

A  CONCISE  LAYOUT  FOR  FINDING  THE  GCF  AND  LCM  AND  BOTH  PRIME  FACTORISATIONS  

 The  working  on  the  right  below  shows  a  concise  way  to  lay  out  the  working  for  find  the  GCF  and  LCM  of  two  numbers,  using  the  same  numbers  336  and  840  as  in  the  example  above:  

• At  each  step  divide  by  a  common  prime  factor,  placed  on  the  left.  • Stop  when  the  two  quotients  are  relatively  prime  (have  no  factors  in  common),  • The  product  23  ×  3  ×  7  =  168  of  the  primes  on  the  left  is  the  GCF.  • The  product  168  ×  2  ×  5  =  1680  of  the  GCF  and  the  numbers  along  the  bottom  is  the  LCM.  We  have  also  incidentally  found  the  prime  factorisations  of  336  and  840,  

336  =  24  ×  3  ×  7  and  840  =  23  ×  3  ×  5  ×  7.