cuerpos geométricos - red educativa digital …proyectodescartes.org/.../3eso_quincena8.pdfs...
TRANSCRIPT
Obje En esta
c
Cd
s
Cv
T
C
Cted
8
tivos
quincena a
Distinguir lcuerpos ge
Construirlodesarrollo p
Determinarsimetría.
Calcular suvolúmenes
Localizar uTierra.
Calcular la
Cómo se hatipos de mae inconvende ellos.
aprenderás
as clases dométricos.
s a partir dplano.
r sus plano
s áreas y .
n punto sob
hora en ca
acen los disapas y las vientes de c
s a:
e
de su
s de
bre la
da país.
stintos ventajas cada uno
MA
Antes d
1.Polied Defin Desa Plano Polied 2.Otros Prism Pirám Plano Polied 3.Cuerp Cilind Cono Esfer Plano 4.La es Coord Huso 5.Mapa Proye Ejercici Para sa Resume Autoeva
Activida
C
ATEMÁTICAS Orie
de empeza
dros regulaiciones rrollos
os de simedros duale
s poliedrosmas mides os de simedros semir
pos de revdros s as
os de sime
fera terresdenadas gs horarios
s ……………ecciones
os para pr
ber más
en
aluación
ades para
Cuerp
entadas a las Ense
ar
ares ………
tría es
s ………………
tría rregulares
volución …
tría
stre …………eográficas
………………
racticar
enviar al t
pos ge
eñanzas Académ
………………
…………………
s
………………
……………… s
…………………
tutor
eomét
icas 3º ESO 1
… pág. 4
… pág. 7
pág. 14
pág. 17
… pág. 20
tricos
1
s
RUnpo
Calalopo
Enre
Elnúm
E
Recuerdan poliedroolígonos.
ada uno dedos de las
os extremosoliedro.
n todo polieelación de
l número dúmero de
más 2.
Eje de rotación
a o es un cu
e ellos recis caras sons de las a
edro simple Euler:
de caras dearistas (A)
C =
n
Antes
uerpo cerra
be el nomb las aristaristas son
e (sin huec
un poliedr) menos el
= A - V + 2
MA
s de em
ado limitad
bre de caras del polielos vértice
cos) se cum
ro (C) es igl de vértice
2
Un cufigura una fconten
ATEMÁTICAS Orie
mpeza
do por
a. Los edro y es del
mple la
gual al es (V)
uerpo de geométrica
figura plannido en el m
Cuerp
A
entadas a las Ense
r
revolucióa construidna alrededmismo plano
pos ge
C=6 VA-V+2=1
eñanzas Académ
ón es cualda al hacer dor de uno.
eomét
V=8 A=112–8+2=6
icas 3º ESO 3
lquier girar n eje
tricos
12 6=C
3
s
4 MATEMÁT
1. Polie
Ca
Cuerp
TICAS Orientadas
edros r
aracterísti
pos ge
s a las Enseñanza
regulare
ca…s
eomét
s Académicas 3º
es
Desa
tricos
ESO
arrollo
Defi
Diremregusigui
Sr
Em
Sólo reguSólid
T(
H(
O(
D(
I(
Des
Se geomcuanpartiformcuer
Tododesate mperm
niciones
mos que ular cuandientes cond
Sus carasegulares ig
En cada vémismo núm
hay lares (llados Platón
Tetraedro:triángulos
Hexaedro ocuadrados)
Octaedro: triángulos
Dodecaedrpentágono
Icosaedro:triángulos
arrollos
dice qumétrico endo puede ir de un
mada por topo.
os los poliearrollables ymostramos miten su con
un poliedo se cumdiciones:
s son pguales.
értice concmero de cara
cinco pamados nicos):
: 4 caras equiláteros
o cubo: 6 )
8 caras equiláteros
ro: 12 caras regulares
: 20 caras equiláteros
ue un es desarr ser constna figura odas las ca
dros regulay en este a las figurnstrucción.
edro es plen las
olígonos
urren el as.
poliedros también
s)
caras
s)
as s)
s)
cuerpo rollable truido a plana aras del
ares son apartado ras que
Tetraed 6 pl
aristla ar
Hexaed 3 pl
dos c 6 pla
por opue
Octaed 3 pl
por c 6 p
perpparepara
Dodeca 15 p
por para
Icosae 15 p
por para
dro lanos que pa y por el p
rista opuesta
dro o cuboanos paralecaras opuestaanos que p
dos aestas.
dro lanos que pcuatro vérticeplanos que endiculares s de alelas.
aedro planos que p
dos alelas.
edro planos que p
dos alelas.
pasan por upunto medio
o elos a as. pasan
aristas
pasan es. son
a aristas
pasan aristas
pasan aristas
P
Ude
Ls
una de
MA
Planos de
Un plano dedos partes exacta.
Los poliedroimetría:
ATEMÁTICAS Orie
simetría
e simetría eiguales qu
os regulares
Te
Cu
Oc
Do
Ico
Cuerp
entadas a las Ense
es aquel queue se corre
s tienen los
traedro 6bo 9
ctaedro 9odecaedro 1osaedro 1
pos ge
eñanzas Académ
e divide unesponden d
s siguientes
6 9 9 15 15
eomét
icas 3º ESO 5
n cuerpo ende manera
s planos de
tricos
5
n a
e
s
6 MATEMÁT
Poliedros
Se dice quvértices dedel segundel mismo n
Si dos polpartir del cada dos c
En las imáson dualeque el tetr
Tetraedro: n
Nº de caras
Nº de caras
Nº de aristas
Nº de caras
Nº de caras
Nº de aristas
Cuerp
TICAS Orientadas
s duales
ue dos polieel primero do y vicevenúmero de
liedros sonotro uniencaras contig
ágenes se ms, el dodecraedro es d
nº de vértices
del cubo = 6
del octaedro
s del cubo =
del dodecaed
del icosaedro
s del dodecae
pos ge
s a las Enseñanza
edros son d coincide coersa. Adem aristas.
n duales pudo con segguas del pr
muestra qucaedro y eual consigo
s = 4 = nº de c
= nº de vértic
= 8 = nº de v
12 = nº de ari
dro = 12 = nº
o = 20 = nº de
edro = 30 = n
eomét
s Académicas 3º
duales si eon el núme
más ambos
uede constrgmentos losrimero.
e el cubo yel icosaedroo mismo.
caras.
ces del octae
vértices del cu
istas del octa
de vértices d
e vértices del
nº de aristas d
tricos
ESO
el número dero de caradeben tene
ruirse uno s centros d
y el octaedo también
edro
ubo
aedro.
del icosaedro
l dodecaedro
del icosaedro
de as er
a de
ro y
o
o
o.
Prisma o
Prisma o
Paralelep
Prisma
Ortoe
oblicuo
oblicuo
pípedo
recto
edro
2P
Ufomb
MA
2. OtrosPrismas
Un prismaormadas p
mediante pabases y los
Si lorectooblic
Si lpararectá
Si laregu
ATEMÁTICAS Orie
s polied
es un poor polígonoaralelogram
s paralelogr
os lados so, en cacuo. as bases
alelepípedángulos es s bases delares decim
Prisma re
Prisma r
Cuerp
entadas a las Ense
dros
oliedro con os iguales mos. Las caramos son l
on rectángso contra
son paro y si las bun ortoedr
e un prismamos que es
egular pen
egular tri
pos ge
eñanzas Académ
dos carascuyos lado
aras paralelos lados.
gulos es uario es u
ralelogramobases y losro. a recto son un prisma
ntagonal
iangular
eomét
icas 3º ESO 7
s paralelasos se unenlas son las
un prisman prisma
os es uns lados son
n polígonosa regular.
tricos
7
s n s
a a
n n
s
s
8 MATEMÁT
Des Los prismdesarrollopolígonosvolúmene
1. Des
2. Volu
Cuerp
TICAS Orientadas
sarrollo
mas son cuo muy sencs regulareses.
sarrollo y á
umen de u
pos ge
s a las Enseñanza
os, área
uerpos desacillo, formas que form
área de un
n prisma pe
a = aH =
eomét
s Académicas 3º
s y volú
arrollables.ado por tanman las b
prisma reg
entagonal r
arista de las baltura del pris
tricos
ESO
úmenes
. En particntos rectánbases. Esto
gular pentag
regular:
bases = base sma = altura d
s de pri
ular, los pgulos igua
o facilita e
gonal:
de los rectángde los rectáng
smas r
rismas regles como lael cálculo
gulos lateralesgulos laterales
regulare
gulares tienados tengade sus á
s s
es
nen un a y dos reas y
Pir
Pirám
De Las pidesarry un cálculo
3.
rámide octo
mide penta
esarroll
rámides sorollo muy spolígonos o de sus ár
Desarrollo
ogonal recta
gonal oblic
os, áre
on cuerpos sencillo, forregular qureas y volúm
de una pirá
a
ua
P
UpleEs
Sde
Sreeigp
as y vo
desarrollabrmado por e forma lamenes.
ámide regu
MA
Pirámides
Una pirámipor un poevantan triEl polígono on los lado
Si el vérticede la base ees una pirá
Si la base egular dec
ese caso loguales. El pirámide.
olúmene
bles. En patantos trián
a base. Al
ular pentag
ATEMÁTICAS Orie
ide es un lígono cuaángulos qu es la baseos y el pun
e se proyeces una pirámide oblic
de una pcimos que os lados so tetraedro
Cuerp
es de p
rticular, lasngulos isósigual que
onal:
entadas a las Ense
poliedro coalquiera soue se unen e de la pirto común e
ta verticalmámide reccua.
pirámide rees una pi
on triángulo es un
pos ge
irámide
s pirámidessceles igualen los pris
eñanzas Académ
on una carobre cuyos en un punrámide, loses el vértic
mente sobrcta, en cas
ecta es unrámide relos isóscelecaso par
eomét
es regu
s regulareses como lasmas esto
icas 3º ESO 9
ra formadas lados sento común. triángulos
ce.
re el centroo contrario
n polígonoegular. Enes y todosrticular de
tricos
lares
tienen un ados tenga facilita el
9
a e
s
o o
o n s e
s
10 MATEMÁ
4. Áre
5. Vo
Cuerp
ÁTICAS Orientada
ea de una p
olumen de u
pos ge
as a las Enseñanz
pirámide re
una pirámid
eomét
zas Académicas 3
egular pent
de regular p
tricos
3º ESO
tagonal:
pentagonal
:
La masimetrcon la a las b
Por ediferende las
Análog
Plano
ayoría de lría. Solame de un eje bases.
ejemplo ennciadas en anteriores
gamente ac
os de sim
os prismaente, tendráde simetría
n el prism las que es mediante
contece en
metría ende
as inclinadán uno, aqua de sus ba
ma pentagstos prismagiros de am
las pirámi
Pre
Sre
MATE
n prismas base regdos de bauellos en loases. Este p
gonal podas tienen unmplitud 72º
ides inclin
Planos deegulares
Si N es el negular o de
El pres elpuntaquede la
La pcualesimepirám
0º
0º
EMÁTICAS Orient
s y pirámgular ase regulaos que su dplano pasa
emos distn plano de º = 360º/nº
nadas de b
e simetría
úmero de le la base de
risma tien plano parao medio de
ellos que coas bases.
pirámide tes son aqueetría de lamide.
Cuerp
tadas a las Enseñ
mides inc
ar no tieneirección depor ese eje
tinguir sól simetría (eº vértices)
ase regula
a en pris
lados de lae una pirám
e N+1 planalelo a las be la altura yontienen a
tiene N plaellos que coa base y
pos ge
ñanzas Académica
clinados
en ningún e inclinacióne y es perp
lo dos diel resto se
ar.
smas y p
s bases demide regula
nos de simbases que y los N res los ejes d
anos de simontienen a al vértice
eomét
36º
36º
as 3º ESO 11
plano de n coincida pendicular
recciones obtienen
pirámides
un prismar:
metría. Unopasa por elstantes sonde simetría
metría, loslos ejes de de dicha
tricos
1
s
a
o l
n a
s e a
s
12 MATEMÁ
Poliedros
Un poliedcaras son forma quepolígonos
Se puedesemirregumediante
Truncar uvértices m
Cuerp
ÁTICAS Orientada
s semirreg
dro semir polígonos e en cada(en númer
en obtenerlares a pala técnica d
un poliedromediante la
pos ge
as a las Enseñanz
gulares
rregular eregulares d
a vértice co y en tipo
r con cierartir de lodel truncam
o consiste eaplicación
eomét
zas Académicas 3
es un polde dos o mconcurren ).
rta facilidaos poliedromiento.
en suprimirde un corte
tricos
3º ESO
iedro cuyamás tipos, d
los mismo
ad poliedroos regulare
r uno de sue plano.
as de os
os es
us
6. Dis
7. Dv
8. Aa
Determinaricosaedro qsemirregula
Determinarvértice para
Analiza la arista.
r la longituque hay qar.
r la longituda obtener u
dualidad d
EJERCI
ud de la aue truncar
d de la arisun poliedro
de poliedros
MATE
ICIOS r
arista de ur a partir d
sta de un cu semirregu
s regulares
EMÁTICAS Orient
resuelto
un tetraedde un vért
ubo que halar.
s cuando s
Cuerp
tadas a las Enseñ
os
ro, de un tice para o
y que trunc
se truncan
pos ge
ñanzas Académica
octaedro obtener un
car a partir
por la mit
eomét
as 3º ESO 13
o de un poliedro
r de un
tad de la
tricos
3
s
14 MATEMÁ
3. Cue Cilindros
Un cilindr(generatral mismo (
Un cilindroparalelos curva (caren un rect
rodea la b
Conos
Un cono (generatrque se apun cuerpo
vértice al c
La cara latradio es lade la circu
Cuerp
ÁTICAS Orientada
erpos de
s
ro es un curiz) al gira(eje). El cil
o tiene 3 e iguales ra lateral)tángulo.
ase y cuya
es un cueriz) al giraoya uno de desarrollab
centro de la
teral desara generatri
unferencia d
pos ge
as a las Enseñanz
e revol
uerpo gener alrededorlindro es un
caras: dos(bases) y
) que desa
altura es l
erpo generr alrededore sus extreble.
Un círccurdestracirc
El genel radde con
a base.
rrollada es iz y cuya ade la base.
eomét
zas Académicas 3
ución
erado por ur de una ren cuerpo de
s de ellas y la otra earrollada se
El radio es el cualquierabases y lacilindro esde la gene
La cardesarrolladrectánguloes la loncircunfere
a generatri
rado por ur de una reemos (eje)
cono tieneculo (base)rva (cara lsarrollada nsforma ecular.
punto de aneratriz sobvértice d
dio del consu base y l
no es la d
un sector camplitud es
tricos
3º ESO
un segmentecta paraleesarrollable
son círculoes una cae transform
del cilindrradio d
a de sua altura ds la longitueratriz.
ra laterda es uo cuya basngitud de ncia quiz.
un segmentecta sobre ). El cono e
e 2 caras: u) y una carlateral) qu
sn un secto
apoyo de bre el eje edel cono. o es el radla altura ddistancia d
circular cuys la longitu
to ela e.
os ra
ma
ro de us el
ud
ral un se la
ue
to la es
un ra ue se or
la es El io el el
yo ud
.
E
Ug
Eccsee
LlaAú
EecCtaá
Aetad
E
PdCte
LeEcq
MATE
Esferas
Una esferagirar alrede
El radio decírculo que centro de lauperficie. E
esfera es eequidistan d
Las esferaa elaboraciAnalizaremoúltimo capít
Área de
Volume
El área de ues igual alcilindro que lComo el radambién es
área de la es
2A Además el áesférico o deambién es i
del cilindro qÁrea del caÁrea de la
El volumen d
Por tanto el vdel volumen Como el voluercera parte
La misma resférica: El volumen dcilindro que que queda en
EMÁTICAS Orient
a es un cuedor de cua
e una esferla engendra esfera a Esta propieel conjuntde un punto
s no son dón de mapos este protulo.
e la esfera
en de la es
EV
na esfera del área latea circunscribdio de ese r y su alturfera es:
4r2r área de un ce una zona igual al áreue la contienasquete=2a zona=2·
del cilindro ciVCI=
volumen de del cilindro c
umen de un e del volume
VE relación vale
de una zonla rodea men su interior
VZE=
Cuerp
tadas a las Enseñ
erpo generalquiera de s
ra es el mira y coincidcualquiera
edad caracto de punto fijo, llama
desarrollapas es un poblema co
sfera
E r34
e radio reral delbe. cilindrora 2r, el
2r casquete esféricaa lateralne. ··r·h1 ·r·h2
rcunscrito e·r2·2r = 2 la esfera eqcircunscrito. cono del min del cilindro + VCO = Ve para el v
a esférica eenos el volum. =·r2·h2 - V
pos ge
ñanzas Académica
rado por unsus diámet
smo que ede con la di de los puteriza a latos del esado centro.
ables. Por eproblema im
on más det
3r
es: 2··r3 quivale a los smo radio yo:
VCI
volumen de
es igual al vmen del tro
VTCO
eomét
as 3º ESO 15
n círculo alros.
el radio delstancia delntos de su esfera: laspacio que
ese motivomportante.talle en el
s dos tercios
y altura es la
e una zona
volumen denco de cono
tricos
5
l
l l
u a e
o l
s
a
a
l o
s
16 MATEMÁ
CírculoCuando interseccsiempre al centroCÍRCULO
Las circcírculos que sonpuntos cesfera.
Planos de
Todos los de simetríde revoluc
En es pun
En de esprevpor
Un cilindune loperpendes inclinla proye
Solo haperpendrecta qu
Cuerp
ÁTICAS Orientada
os en la eun plano
ción de aun círculo.
o de la esO MÁXIMO.
cunferenciamáximos caminos
cualesquiera
Plano
e simetría
cuerpos dea. Son todoción.
el cilindroel plano panto medio d
la esfera, infinitos p
pecial forvolución. Tor el centro d
dro es recs centrosicular a lasado. La dircción de es
ay un picular a lase pasa por
pos ge
as a las Enseñanz
esfera corta a u
ambas figu. Si ese círfera se dic
s que limtienen la más corto
a de la su
os de sim
a en cuerp
e revoluciónos los plano
o, además, aralelo a lasde la altura
adicionalmlanos de sma tieneodos los plade la esfera
cto cuando s de suss mismas. rección de sa recta sob
lano de s bases y sus centro
eomét
zas Académicas 3
una esfera uras produrculo contiece que es
mitan a propiedad os entre d
uperficie de
metría en
pos de rev
n tienen infos que con
hay un plas bases quea.
mente hay usimetría ya e infinitosanos de sima
la recta qs bases En otro cainclinación
bre una bas
simetría. contiene a
os.
tricos
3º ESO
la uce ene un
los de
dos e la
n cilindr
volución
finitos planotienen al ej
ano más que pasa por
una infinida que por s
s ejes dmetría pasa
que es
aso n es se.
Es a la
Un coel ceperpeinclinproye
Solo perpey por
os y con
os je
ue el
ad su de an
ono es recentro de lendicular aado. La di
ección de e
hay un endicular a r el vértice
os oblicu
to cuando a base co
a la base. rección de sa recta so
plano d la base, padel cono.
uos
la recta quon el vértEn otro c inclinación
obre la base
de simetríasa por su
ue une tice es aso es n es la e.
ía. Es centro
LOL
La parelatitud) coordenlugar. Estas de forsobre laun barcincluso
En la representque utilizGlobal (Gpersonas
Polo no
Polo s
ONGITUDLATITUD:
eja de núm forman lonadas geo
coordenadrma precisa Tierra deco, un avió un teléfono
imagen ptación del coza el Sistema GPS) para loc, objetos vehí
orte
sur
D: 30º O : 45º N
meros (longo que se lgráficas de
as determsa la pose un poblaón, un coco móvil.
puedes ver njunto de sa de Posicionamalizar con preículos.
4
C
Llíla
Lcll
EdeEm
gitud,llamae un
minansiciónación,che e
unaatélitesmientoecisión
MATE
4. La es
Coordenad
La Tierra tieínea llamada superficie
Los planos círculos máamadas m
El plano pede la Tierra es el EcuaEcuador cormáximos. S
Longitu
EMÁTICAS Orient
sfera te
das geogr
ene una forda eje. Los e de la Tierr
que contieáximos cuyeridianos.
rpendicular la corta en
ador. Los rtan a la T
Sus bordes s
ud y latit
Cuerp
tadas a las Enseñ
errestre
ráficas
ma casi esf puntos en ra son los p
nen al eje yos bordes.
r al eje qun un círculoplanos paierra en círson los par
ud
pos ge
ñanzas Académica
e
férica. Gira los que el polos geog
cortan a las son circu
ue pasa poo máximo caralelos al rculos que ralelos.
eomét
as 3º ESO 17
a sobre unaeje corta agráficos.
a Tierra enunferencias
r el centrocuyo bordeplano del
ya no son
tricos
7
a a
n s
o e l
n
s
18 MATEMÁ
9. Aundieztodde calc
10. SalreqemTeo
Cuerp
ÁTICAS Orientada
nque ahorazmillonésim
dos los círcmetros (encula la long
vo el Ecuaquiere el usbargo, en
orema de P
pos ge
as a las Enseñanz
EJ
a se usa unma parte deulos máximn particulargitud del ra
ador, los pso de unas algunos c
Pitágoras, p
eomét
zas Académicas 3
JERCIC
a definiciónel cuadrantmos sobre r, todos losdio de la Ti
paralelos n herramien
casos concrodemos ha
tricos
3º ESO
IOS res
n más precte de un mla Tierra m
s meridianoierra, su su
o son círcntas que noretos y coacerlo. Calc
sueltos
cisa, el metmeridiano cumiden, aproos y el Ecuauperficie y s
culos máximo verás ha
on ayuda dcula la longi
ro es, aproualquiera. Eoximadameador). A pasu volumen
mos y calcsta el cursde nuestro itud del par
oximadameEsto significente, 40.00artir de estn.
cular su loso que vien viejo amiralelo de 45
nte, la ca que 00.000 te dato
ongitud ne. Sin igo, el 5ºN.
11. Ts
12. Le
Un husosuperficicírculos mEn el caHORARIOpor dos m
Tenemos usobre esa e
La ciudad Aes en la ciu
o esférico ese de la esfermáximos. so de la TierrO a un husomeridianos.
una esfera esfera de 5
A tiene unaudad B cuan
s la región ra limitada po
ra llamamos o esférico lim
EJERCI
de 9 cm d9º de ampl
a longitud dndo en la c
H
Uschd
P2eulop1ta
de la or dos
HUSO mitado
MATE
ICIOS r
de radio. Clitud.
de 123ºO yiudad A so
Husos hor
Un día es eí misma.
cuando el Shace que indistintas.
Para evitar 24 zonas qestablecen aun huso esos puntos dpase por el 15º se formarda una h
EMÁTICAS Orient
resuelto
Calcula la s
la ciudad Bn las 10 ho
rarios
el tiempo quAsí, en c
Sol pasa pncluso loca
este probleue tienen así: Centrasférico de de este hu meridiano
man los otrora en cruz
Cuerp
tadas a las Enseñ
os
superficie d
B de 23ºE. oras.
ue tarda la cualquier por el merid
alidades ce
ema se ha la misma
ado en el m 15º (360ºso será me 0º. A partros 23 huszar cada hu
pos ge
ñanzas Académica
de un huso
Calcula la
Tierra en punto es diano del l
ercanas ten
dividido lahora. Esas
meridiano 0º:24h=15º)ediodía cuatir de él cosos horaruso.
eomét
as 3º ESO 19
o esférico
hora que
girar sobremediodía
lugar. Estongan horas
a Tierra ens zonas seº se forma). En todosando el Solon giros deios. El Sol
tricos
9
e a o s
n e a s l e l
s
20 MATEMÁ
5. Map
Cuerp
ÁTICAS Orientada
pas
pos ge
as a las Enseñanz
eomét
zas Académicas 3
tricos
3º ESO
1. Cs
2. C
sdd
3. C
e
a
4. Cf
5. ¿
asa
6.
qdaC
Calcula el áresabiendo que
Calcula el ársabiendo quediagonales Dde h=26cm.
Calcula el ápirámide cuadel lado de lalado de la barista lateral e
Calcula el árfigura izquierdbase es r=7cm
¿Cuántos litropintar la pareastronómico sabiendo quealtura del cilinlitro se puede
Una bola de quiere cubrir de forma queamplitud de 6Calcula la spintará.
ea total del te su arista mid
rea total de e sus bases =26cm y d=
rea lateral ddrangular rega base mayobase menor es a=13cm.
rea total del da sabiendo qm y la altura e
os de pintura ed exterior de
(figura a tiene un radndro es de 9m
en pintar 10 m
navidad de parcialmentee la franja cu60º desde el uperficie de
etraedro trunce 12 cm.
un prisma r son rombos14cm y su a
de un troncoular sabiendo r es B=26cmes b=14cm
recipiente dque el radio des h=13cm.
se necesitan e un observatarriba deredio de 5m, qum y que con c
metros cuadrad
3cm de radioe con pan deubierta tenga centro de la bla bola que
MATE
cado
recto s de ltura
o de que
m. El y la
de la de la
para torio
echa) ue la cada dos?
o se e oro una bola. e se
EMÁTICAS Orient
Pa
7. Calcula fig(El tr
8. El cuCalcuBCDGdel v
9. Calcuque trianplanopor AD=
10. Calcu
pirámaristaristaltur
11. Calcu
sabiecircudiám5 cm
Cuer
tadas a las Enseñ
ara pra
ula el volumegura sabiendoriángulo APB t
ubo de la figuula el volumeG y compruevolumen del cu
ula el volumequeda divi
gular de la figo perpendiculos puntos
20m y AC=15
ula el volummide cuadrana de la basea de la basera del tronco e
ula el volumeendo que unferencia exmetro de la cirm y la altura es
rpos g
ñanzas Académica
acticar
en del tetraedo que su ariste ayudará)
ura tiene 10 n del tetraedr
eba que es laubo.
en de los doidido el prigura al ser colar a las basmedios de
5m.
men de unngular sabiee mayor es e menor es Aes PQ=15cm.
en de la pieel diámet
xterior es drcunferencia s de 10 cm.
geomé
as 3º ESO 23
r
ro regular deta AB=10cm.
cm de arista.ro de vérticesa sexta parte
s prismas ensma regularortado por unses que pasa
las aristas.
n tronco deendo que laEF=20cm, laAB=8cm y la
eza de arribatro de lade 10cm, elinterior es de
étricos
3
e
. s e
n r n a .
e a a a
a a l e
s
24 MATEMÁ
12. Las 6cmcopade menmás
13. Un r
llenocuidy luvolualtusaca
14. Calc
Tiermerla d
Cuerp
ÁTICAS Orientada
figuras represm de diámetroa con forma ddiámetro ma
nor y 8 cm s capacidad?
recipiente cúbo de agua.
dado una bolauego se sacaumen del aguara a la que a la bola.
cula la distanrra, A y B,ridiano, si la lae B es de 7º 2
pos ge
as a las Enseñanz
sentan un vaso y 8 cm dede tronco de ayor, 5 cm de generatriz
bico de 10 cm Se introduc
de cristal de a con cuidada que se ha dqueda el ag
cia entre dos, situados eatitud de A es28’ N.
eomét
zas Académicas 3
so cilíndrico de altura y unacono con 7cmde diámetro
z. ¿Cuál tiene
de arista estáce en él con 5 cm de radiodo. Calcula ederramado y laua cuando se
s puntos de laen el mismos de 38º 5’ S y
tricos
3º ESO
e a
m o e
á n o el a e
a o y
15. El puntoy el punson las 2
16. Los punparalelodiferencdesde Asiguiendmeridian
o A se encuentnto B en el m23 horas, ¿qu
ntos A y B se 45ºN y ian en 180º.
A hasta B ¿qudo el paralno por el Polo
tra en el mermeridiano 94ºOué hora es en
e encuentransus longit
Un avión tieué ruta es mlelo o sigu Norte?
idiano 7ºE O. Si en A B?
n sobre el tudes se ene que ir más corta: uiendo el
Otros t
Como mapas esfera Aquí te
tipos de map
hemos visto basados en psobre difere
mostramos a
pa
hay diferenproyecciones dentes tipos dalgunos otros t
Geod Una camimáxitodonave72º.
ntes tipos dedistintas de lade superficie.tipos:
désicas y lo
geodésica no más coimos. Una los los merid
egación aére
MATE
e a .
oxodromas
es una líneaorto. Sobre oxodroma ianos con u
ea y marítim
EMÁTICAS Orient
.
a que une d la Tierra es una trayeun ángulo ca. En la ima
Para La medid El tamaño de nuestroconoce des En el sigEratósteneradio de launa precisi Sabía que Alejandría y que el ddel Sol lleSiena y, eobeliscos ángulo de 7
ambas ciud800 km. Si 7º de m800 km, medirá 800el radio de
R = ¡Una excelentmedio real es
Cuerp
tadas a las Enseñ
os puntos dlas geodés
ectoria sobreonstante. Sgen puedes
a sabe
da de la
aproximado planeta ssde antiguo
glo III a Cs calculó a Tierra coón muy bu
las ciudadeestaban enía del solst
egaba al foel mismo dproyectaba7º.
En eque somdiferentr Eratun midi
dades que
meridiano tieel meridia0/7·360 = la Tierra se
41143/(2
te aproximaci de unos 6400
pos ge
ñanzas Académica
e una supersicas son loe la Tierra q
Son muy usa ver una lox
er más
Tierra
do se o.
C. el
on uena.
es egipcias n el mismoticio de veondo de udía, en Alejan sombra
el dibujo p el ángu
mbra coincirencia dere las dos c
tóstenes chombre
iera la dista resultó se
enen una lano entero41143 kmería:
) = 6548
ión para la ép0 km.
eomét
as 3º ESO 25
rficie por el os círculos que corta a adas en la
xodroma de
de Siena y meridianorano la luzn pozo enjandría losa con un
puedes verulo de lade con lae latitudiudades.
contrató apara queancia entreer de unos
ongitud deo de 360º, de donde
km.
poca! El radio
tricos
5
y o z n s n
r a a d
a e e s
e º e
o
s
26 MATEMÁ
l Poliedros Regularesiguales y caras. Semirregde tipos den cada véPrismas: los lados sPirámidesson triángTodos son Cuerpos d
Cilindro: uno de susCono: gensobre uno El cilindro Esfera: gesobre uno La esfera n
Áreas y v
PrismPirámCilindConoEsfer
p = perímeB = área dh = alturar = radio dR = radio Poliedros El área delas áreas volumen sprismas y/
Cuerp
ÁTICAS Orientada
Recuelo más
s
s: sus cen cada v
ulares: laiferentes yértice. las bases son paralelos: la base eulos concu desarrolla
de revoluc
generado ps lados. nerado por de sus cat y el cono senerada po de sus diáno es desar
volúmenes
A. mas pmides (p·adros 2πs π
ras
etro de la bde la base, , a = apotde la base ((esfera), g
s:
e un poliedde los polse calcula /o pirámide
pos ge
as a las Enseñanz
rda s impo
caras sonvértice con
as caras soy con el mis
son polígonogramos. es un polígrrentes en bles.
ción
por un rectá
un triánguetos. son desarroor una circumetros. rrollable.
s
lat. A. ·h B+a)/2 B+(πrh 2πr2
gr πr2
4
base, tema (pirám(conos y cig = generat
ro es siemígonos que descompoes y suman
eomét
zas Académicas 3
rtante
polígonocurre el m
on polígonosmo nº y t
nos regular
ono regulaun vértice
ángulo al g
lo rectángu
ollables. unferencia a
total Vo+p·h (pa)/2 (+2πrh
2+πgr (
πR2 (4
mide), lindros), triz (cono)
pre igual ae forman soniendo el do sus volú
tricos
3º ESO
e
s regularemismo nº d
os regularetipo de cara
res iguales
ar y los ladocomún.
girar sobre
ulo al girar
al girar
olumen B·h
B·h)/3 πr2h πr2h)/3
4πR3)/3
a la suma dsus caras.
poliedro eúmenes.
es de
es as
y
os
de El en
La e Merque numOestGreelugaParaperpTierrNortEl palatitHusdividde 1de d
Map Un mde lplanformhabit
esfera terr
idianos: cípasan por eran de 0º te a partir denwich. El r es su lonalelos: círcendiculares
ra. Se numee y Sur a paralelo de utud. os horario
de en 24 hu5º de ampliferencia en
pas
mapa es ua esfera to, obtenida
ma de proytuales son
restre
írculos máxlos polos. S
º a 180º Estdel Meridia meridiano
ngitud. culos s al eje de eran de 0º
partir del Ecun lugar es
os: la Tierausos geográlitud con unntre ellos.
una represeterrestre soa medianteyección. Llas siguien
ximos Se te y ano de de un
la a 90º cuador. su
se áficos na hora
entación obre un e alguna Las más tes:
4
6
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
MATE
. Indica quéun dodecaaristas y v
. Los catetocm. Averigobtiene hacateto o e
. Calcula eimagen saen función
. Calcula el arista del
. La “zonaaproximad¿Qué porcen la zona
. Una pirámparalelo apirámide, tronco devolumen pirámide p
. Se corta ua la base Halla el vqueda div
. Una millasituados longitudesnáutica si
. Boston esmeridianohoras y taen Boston
. Asocia lcaracteríst
EMÁTICAS Orient
Auto
é poliedro saedro por la vértices que
os de un triágua qué conaciendo gira
el que se obt
l área totaabiendo que de a)
área del tricubo es a.
a tropical”damente, encentaje de laa tropical?
mide de basa la base obteniendoe pirámide ¿del tronco
pequeña?
una semiesfede la semies
volumen de idida. (Expre
a náutica esobre el
s de 1’ ¿A el radio de l
stá en el mo 9º E. Un arda 8 horas cuando lleg
os distintoticas.
Cuerp
tadas a las Enseñ
oevalu
se obtiene a mitad e ind tiene.
ngulo rectánno tiene mayar el triánguiene al girar
l del polied su arista es
ángulo de la(Expresa el re
de la ntre los para superficie d
e cuadrada por la mita una pirám¿Cuántas ve
con respec
era de radio sfera, a una la mayor de
esa el resultad
es la distanEcuador co cuántos kla Tierra es d
meridiano 71avión sale
s en llegar aga?
os tipos
pos ge
ñanzas Académica
uación
al truncar ladica el núme
ngulo midenyor área totaulo alrededorr sobre el seg
dro semirres a. (Expresa
a figura sabiesultado en fu
Tierra estralelos 30º de la Tierra
se corta coad de la aide más peeces es mácto al volu
R con un pla altura de 2/e las dos zodo en función
ncia entre on una difkm equivalede 6366 km
1º O y Frande Frankfu
a Boston. ¿Q
de mapa
eomét
as 3º ESO 27
s aristas deero de caras
12 cm y 16al: el que ser del primergundo.
gular de laa el resultado
iendo que launción de a)
tá situada,N y 30º S.está situada
on un planoaltura de laqueña y uns grande el
umen de la
ano paralelo/3 del radio.onas en quede R)
dos puntosferencia dee una milla?
nkfurt en elrt a las 23Qué hora es
con sus
tricos
7
e s
6 e r
a o
a
, . a
o a n l a
o . e
s e a
l 3 s
s
s
28 MATEMÁ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Sol1. E
a
2. Ef
3. 6
4.
5. 5
6. Ep
7.
8. 1
9. E
10. a
Cuerp
ÁTICAS Orientada
1. 1745,9 cm
2. 1899,54 c
3. 922,6 cm
4. 1050,4 cm
5. 43,98 litr
6. 56,54 cm
7. 117,85 cm
8. 500/3 cm
9. El pequeñ
0. 3120 cm3
1. 589,04 cm
2. La copa tprácticam
3. Se han de
4. 5061 km.
5. En B son
6. Por el me
So
uciones Es un icosidoaristas y 30
El que gira sfrente a 384
3a3a6 22
23a2
50%
El tronco es pequeña.
81R46 3
1,85 km
Es la 1 de la
a2, b4, c1, d
pos ge
as a las Enseñanz
m2
cm2
m2
m2
os
m2
m3
m3
ño 162,37 m3.
m3
iene un volumente la mism
erramado 52
.
las 17 horas
eridiano son
luciones
AUTOEVodecaedro covértices.
obre el prim cm2.
3
7 veces may
madrugada
d3
eomét
zas Académicas 3
m3 y el grand
umen de 226ma capacida
23, 59 cm3 d
s.
10.000 km y
s de los
VALUACon 32 caras,
mero: 576 c
yor que la pi
del día sigu
tricos
3º ESO
e 487,13 cm
6,49 cm3 y ead.
de agua. La a
y por el para
ejercicio
CIÓN
, 60
m2
irámide
uiente.
m3.
el vaso de 22
altura final d
alelo son 14.
os para
26,19 cm3. T
del agua es d
.172 km.
practica
Tienen
de 4,76 cm
ar