curs 5 mdf 2015new

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new

http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 1/109

CURS_5_MDF_2015/2016 1

Capitolul 3

Clasificarea ecuaţiilorcu derivate parţiale

S.l.dr.ing.mat. Alina Bogoi

Metode cu Diferenţe Finite

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 2

Clasificarea EDP cu doua variabile

Concluzie -Forma generală( 2 variabile)

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 3

Problemă numeric bine pusă(stabilă)

(Numerically Well-Posed )

Soluţia numerică să existe (existenţa)

Soluţia numerică să fie unică (unicitea)

Soluţia numerică să depindă continuu dedatele iniţiale şi la limită

Algoritmul trebuie să fie stabil

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 4

EDP cu caracter mixt :

EDP reprezentative

2 22

2 2

1:(1 ) 0

1:

subsonic

supersonic

M M

M x y

Curgerea staţionară, compresibilă

subsonică/supersonică

① : regiune subsonică

② : linie sonică (M=1)

③ : regiune supersonică

①①③

②

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 5

Reprezentarea soluţiei EDP(2D-exemplu)

Există 3 căi de reprezentare a soluţiei.

Familii de curbe ce

depind de 2 variabileindependente (unaconstantă şi unavariabilă).

x1

t1

),( 11 t xT

Reprezentarea 3D a

funcţiei T(x,t)

Valoarea funcţiei estevizualizată în punctele

gridului.

T=3.5

T=5.2t=ct

x

T

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 6

Definiţii

1. Consistenţă : O schemă cu diferenţe finite a EDP

este consistentă dacă aceasta aproximează EDP atât

timp cât ∆x

0. 2. Stabilitatea : O schemă numerică este stabilă dacă

orice eroare introdusă in ecuaţia cu diferenţe finite nu

amplifică soluţia.

3. Convergenţă : O schemă cu diferenţe finite esteconvergentă dacă soluţia schemei numerice se a propie

de soluţia EDP când ∆x 0.

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 7

Discretizarea ecuaţiei ---------> ecuaţia continuă

Discretizarea soluţiei ---------> soluţia continuă

discretizare din ce în ce mai fină

Convergenţa

Consistenţa

Stabilitatea

Teorema Lax-Richtmeyer

Teorema Lax-Richtmeyer

Soluţia discretizată să fie mărginită.

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o schemă numerică

să fie convergentă, este ca aceasta să fie stabilă şi consistentă.

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 8

Teorema de echivalenţa Lax-Richtmeyer:

Fie o schema cu diferenţe finite care aproximează

o problemă cu valori iniţiale bine-pusă.Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o

schemă să fie convergentă, este ca aceasta să

fie stabilă şi consistentă.

Definiţii

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 9

Consistenţa Diferenţelor Finite1 j-1 j j+12 N N+1

<------------------------------- L ---------------------------------->

Dezvoltarea în serie Taylor :

2 3

1

2 31

1 1' '' ( ) ''' ( ) ....

2! 3!

1 1' '' ( ) ''' ( ) ....2! 3!

j j j j j

j j j j j

x x x

x x x

1,........, 1 j j x x j N

x

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 10

Consistente dacă … sunt mărginite

1

1 1

1 1 2'' ''' ( ) ..

2! 3!' .

j j

j j j E x x E unde x

Diferenţe finite înainte Consistente dacă … sunt mărginite

1

2 2

1 1 2'' ''' ( ) ..

2! 3!' .

j j

j j j E x x E unde x

Diferenţe finite înapoi

1 1 1 2''' ( ) ..

3!' .

2

j j

j j E x E unde x

Diferenţe finite centrate

" "', , j j

"', j

Consistenţa Diferenţelor Finite

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 11

Analiza de stabilitate von Neumann

Analiza stabilităţii von Neumann verifică cum progresează

modurile Fourier de la un pas de timp la altul.

Se consider ă o Soluţie Posibilă (i.e. un mod Fourier ,k , alesarbitrar dintre toate modurie posibile care intervin într-o soluţie)

calculată într -un anumit punct x.

u( x,t ) U (t )eikx

i 1

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 12


Avansând cu soluţia în timp cu un pas

( , ) ( ) jikxn n ikjh

j j n nu u x t U t e U e

x j jh

u jn1 u( x j,t n1) U n1eikjh

gU neikjh

unde g = U n+1 /U n este definit ca factor de ampli f icare

u( x,t ) U (t )eikx

i 1

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 13

Dacă |g| > 1 soluţia creşte în amplitudine şi devine instabilă.

Dacă |g| < 1 soluţia este amortizată.


u j

n1 u( x j,t n1) U n1eikjh

gU neikjh

unde g = U n+1 /U n este definit ca factor de ampli f icare

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 14

Strategia analizei von Neumann este:

I) Se introduce soluţia posibilă în schema numerică

II) Se determină factorul de amplificare, g , în funcţie de

pasul grilei, ∆x , şi de pasul de timp, ∆t.


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 15

Capitolul 5

Ecuaţia hiperbolică

S.l.dr.ing.mat. Alina Bogoi

Metode cu Diferenţe Finite

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 16

Ecuaţia hiperbolică

Fie

Doua caracteristici reale

Curbe (Liniile) caracteristice

0 c 4 AC 4 B c C 0 B 1 A

0 c 2 2 2

xx

2

tt

,,

c A2

AC 4 B B

dt

dx 2

Viteza de

propagare dx /dt

const ct x

const ct x

0 cdt dx

0 cdt dx

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 17

Metod a Caracteristic ilor

Caracteristicile( = x ct,

= x + ct )

0 0 c xx

2

tt

=c c

, , d g( ) , f ( ) g( )

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 18

Interpreta rea Fizică

0 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

tt xx f g

f g f x ct g x ct

x

t

= x ct = x + ct

Domeniul de

Dependenta

Domeniul de

Influenta

P(x,t)

Initial conditions

Condiţii la

limită

Condiţii la

limită

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 19

Problemă de propagare în timp pe directiicaracterisitice

x

t

= x ct = x + ct

Domeniul de

Dependenţă

Domeniul de

Influenţă

P(x,t)

Conditii Initiale

Condiţii la

limită

Condiţii la

limită

= x ct, = x + ct

)()(

g f 0 xx tt

Interpreta rea Fizică

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 20

Ecuaţia Hiperbolică ( Domeniul Infinit )

02 xxtt

ucu

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t

Condiţii Initiale

),0(),(),( t x

2

0 u

( ) ( ) ( )

t x t x

tt x t t x x x xx

u cu cu

u cu c u c cu c u

OBS:

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 21

Domeniul de Dependenţă

P 1 : t = t 1

P 2 : t = t 2

P 3 : t = t 3

Initial conditions

Condiţii

la limită

E

F

C

D

A B

Ecuaţiile Hiperbolice

Condiţii la

limită

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 22

Ecuaţia Hiperbolică ( Domeniul Infinit )

02 xxtt ucu

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t

Condiţii Initiale

),0(),(),( t x

ct x

ct x

dy y g c

ct x f ct x f t xu )(2

1)]()([

2

1),(

Soluţia D’Alembert

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 23

x-ct=constantx+ct=constant

x

t

(x,t)

Ecuaţia Hiperbolică -curbe

caracteristice

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 24


x

t

(x,t) Punctul (x,t) este influenţat

doar de condiţiile iniţiale

mărginite doar de curbele

caracteristice.

ct x

ct xdy y g cct x f ct x f t xu )(2

1

)]()([2

1

),(


caracteristice

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 25


x

t

(x,t) Regiunea mărginită de

caracterisitici este denumită

domeniul de dependenţă al

EDP.


caracteristice

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 26

Examplu: Ecuaţia Hiperbolică

(Domeniul Infinit)

0 xxtt uu

0)0,(

)exp()0,( 2

xu

x xu

t

C.I.

),0(),(),( t x

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 27

t=.01 t=.1

t=1 t=10

Examplu: Ecuaţia Hiperbolică

(Domeniul Infinit)

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 28

02 xxtt ucu

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t

C. I.

),0(),(),( T bat x

Ecuaţia Hiperbolică (Domeniul finit)

)(),(

)(),(

t t bu

t t au

C. L.

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 29


x

t

(x,t)

x=bx=a


caracteristice- domeniul finit

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 30


x

t

(x,t)

x=bx=a

Valorile sunt influenţate de

valorile la limită. Reprezintă

informaţii care intră în domeniu.


caracteristice- domeniul finit

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 31

Metoda diferenţelor finite aplicată

ecuaţiei undelor 2 0

( ,0) ( )

( ,0) ( )

tt xx

t

u c u

u x f x

u x g x

h- pas în spa ţiu şi k pas în timp

h

k

tx

)(),(

)(),(

t t bu

t t au

),0(),(),( T bat x

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 32

Eroarea de Trunchiere Similar

Eroarea de Trunchiere O(h2 + k2)

1 1 1 12 2

4 4 6 62 2 4 4

4 4 6 6

1 1( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

1 12 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ...4! 6!

i n i n i n i n i n i n

i n i n i n i n

u x t u x t u x t u x t u x t u x t k h

u u u uk x t h x t k x t h x t t x t x

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 33

02 xxtt ucu

21 1

1 12 2

12 2 0( ) ( )n n n n n n

i i i i i i

cu u u u u u

k h

Explicităm

2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u u

h


ecuaţiei undelor

( , )

n

i n iu x t u

1n

iu

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 34

Schema presupune

valorile lui u la 3

nivele diferite de timp.

h

k

tx

2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i ic k u u u u u u

h


ecuaţiei undelor ( , ) n

i n iu x t u

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 35

Schema nu poate fi folosită pentru j=0,1.

h

k

tx

2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u u

h

U la momentul iniţial.

ui,0 = f(xi)


ecuaţiei undelor

2 0

( ,0) ( )

( ,0) ( )

tt xx

t

u c u

u x f x

u x g x

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 36

Aproximăm condiţia iniţială .

h

k

tx

iii

iii

f kg u

x g uuk

1,

0,1, )(1

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t


ecuaţiei undelor(metoda I)


ui,0 = f(xi)

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 37

Aproximăm condiţia iniţială .

h

k

t

x

21 2

2

2

2 3 21 1 1

, ,0( ,0) ( ,0)

2

, 1 ( )2

i i

i i

i i i i i

u x t u x u k u x x O k

k t t

u x t f x kg x f x f x O k kh

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t


ecuaţiei undelor-metoda II


ui,0 = f(xi)

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 38

Ce valori discrete influenţează ui,j+1 ?

h

k

tx


ecuaţiei undelor2 2

1 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u u

h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 39

h

k

tx


ecuaţiei undelor


2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u u

h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 40

h

k

tx


ecuaţiei undelor


2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u u

h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 41

h

k

tx


ecuaţiei undelor


2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u u

h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 42

Domeniul de dependenţă numerică

h

k

tx


2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u u

h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 43

CFL (Courant, Friedrichs, Lewy)

Condition

Instabilă: parte a domeniul fizic este înafara domeniului

discret de dependenţă.

h

k

tx


C di i CFL (C F i d i h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 44

Posibil stabil: domeniul fizic este în interiorul

domeniului discret de dependenţă.

h

k

tx


Condiţia CFL (Courant, Friedrichs,

Lewy)

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 45


Lewy)

Limita de instabilitate: domeniul de dependenta fizic este

al PDE este egal cu domeniul discret de dependenţă al

PDE.

h

k

tx


C di i CFL (C F i d i h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 46

O condiţia necesară pentru ca schema să fie stabilă

este ca pentru fiecare punct din mesh, domeniul de

dependenţă al ecuaţiei să fie în interiorul domeniul

discret de dependenţă.

c xt

chk

/

/


Lewy)

C di i C (C i d i h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 47


Lewy)

Constanta c este viteza sunetului.

Condiţia CFL afirmă că unda nu poate să străbată mai

mult de o celulă într -un singur interval de timp.

1

/t x c

c t x

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 48

Exerciţiu seminar Implementaţi un program numeric pentruecuaţia hiperbolică dx=0.25 , T=1 :

Soluţia Exactă

( , 0) sin( ),

( , 0) 0,

(0, ) 0,

(1, ) 0.

t

u x x

u x

u t

u t

0,( , ) (0,1) (0,1)tt xxu u x t

( , ) cos( )sin( )u x t t x

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 49


Analiza stabilităţii von Neumann verifică cum progresează

modurile Fourier de la un pas de timp la altul.

Se consider ă o Soluţie Posibilă (i.e. un mod Fourier ,k , ales

arbitrar dintre toate modurie posibile care intervin într-o soluţie)

calculată într -un anumit punct x.

( , ) ( ) ikx

k

k

u x t U t e

i 1

u( x,t ) U (t )eikxi 1

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 50


Avansând cu soluţia în timp cu un pas

( , ) ( ) jikxn

j j n nu u x t U t e

x j jh

1 1

1( , ) jikxn n

j j nu u x t U e

gU n

eikjh

unde g = U n+1 /U n este definit ca factor de amplificare

u( x,t ) U (t )eikx

i 1

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 51

Dacă |g| > 1 soluţia creşte în amplitudine şi devine instabilă.

Dacă |g| < 1 soluţia este amortizată.


u j

n1 u( x j,t n1) U n1eikjh

gU neikjh

unde g = U n+1

/U n

este definit ca factor de amplificare

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 52

Strategia analizei von Neumann este:

I) Se introduce soluţia posibilă în schema numerică

II) Se determină factorul de amplificare, g, în funcţie de

pasul grilei, h, şi de pasul de timp, .


Eroarea de tip Disipaţia şi Dispersia

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 53


Exact Disipativ sau Difuziv Dispersiv

Natura schemei numerice depinde de natura ordinului de eroare cel maimic trunchiat.

•Eroarea este Disipativă dacă derivata principală de trunchiere din

dezvoltarea Taylor este pară : (da /dx)2p

•Eroarea este Disipersivă dacă derivata principală detrunchiere din dezvoltarea Taylor este impară: (da/dx)2p+1


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 54


Exact Disipativ sau Difuziv Dispersiv

Difuzie sau Disipaţie

xxa

Dispersie

xxxa

Netezire discontinuităţilor Oscilaţii fără semnificafizică

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 55

Scheme Monotone

(Scheme non-oscilatorii)

Schemele monotone pentru

ecuaţia liniar ă de advecţie

cu viteză constantă de propagare sunt acelea pentru

care coeficienţii sunt non-

negativi.

1 ( ,.... ,...., )n n n ni i s i i r a H a a a

O schemă monotonă satisface:

0 ,n

k

H k

a

1 1

1 1 n n n n

i i i ia a i a a i

Depistează schemele numerice carenu produc oscilaţii care nu ausemnificaţie fizică.

C i l l 4

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 56

Capitolul 4

Ecuaţia liniară de

advecţie

S.l.dr.ing.mat. Alina BogoiMetode cu Diferenţe Finite

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 57

Scopurile prezentării

EDP de ordinul al I (ecuaţia deadvecţie)

Metoda FTCS

Metoda Lax

Metoda upwind Godunov de ord. I Metoda Leapfrog (Metoda CTCS)

Metoda Lax-Wendroff

Metoda FTCS implicită

Metode Multi-Pas Metoda Richtmyer

Metoda Lax-Wendroff

Metoda MacCormack

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 58

EPD de ordinul I in (x,t)

Linia Caracteristică:

= Ax Bt = const

Din relatia: d = 0

0

( ,0) ( )

t x Au Bu

u x f x

( , ) ( ) ( )u x t f f Ax Bt

A

B

dt

dx

Ecuaţia liniară de advecţie

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 59

u = f( )=ct de-a lungul direcţiei caracteristice

= constant

dt A panta

dx B

t = t 0

t = t 1

t = t 2

t = t 3

Linia

Caracteristică = 1 = 2 = 3

d = 0

x

t


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 60

0

0

. . ( ,0) ( )

a ac

t xC I a x a x

Una din cele mai simple EDP hiperbolice este

ecuaţia liniară de advecţie

O soluţie analitică a ecuaţiei de advecţie a fost

determinată prin metoda caracteristicilor .


0t x

Ea Fa G

E=1, F=c,

G=0

dx

dt c

0

0

( , ) ( )( , ) ( )

( ,0) ( ) ( )

a x t f x ct a x t a x ct

a x a x f x

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 61

Exemplu: Modularea unui puls Gaussian

2

002

( )( , 0) exp cos ( )

2

x xa x t k x x

unde x 0 şi

dau poziţia înălţimea perturbaţiei

impuls.

x 0 = 0 şi = 0.1


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 62

2

002

( )( , 0) exp cos ( )

2

x xa x t k x x


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 64

Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)

0a a

ct x

ai

n1

ai

n

k c ai1

n

ai1n

2h

ai

n1 ai

n kc

2h

ai1n ai1

n

Este simplu de programat, dar complet nefolositoare

pentru că este instabilă!!!

Diferenţa înainte Diferenţa centrate

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 65

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 66

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02


M t d F d Ti C t d S (FTCS)

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 67

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02


M t d F d Ti C t d S (FTCS)

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 68

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 69

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 70

ai

n1 ai

n kc

2hai1

n ai1n

Metoda FTCS este instabilă



7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 71

ţ ţ

Studiul stabilităţii metodei FTCS folosind analiza de

stabilitate von Neumann.

Se consideră o soluţie de forma:

um

n

U n

eikmh

Inserând în schema FTCS 1

1 12

n n n n

m m m m

dt ca a a a

h

U n1eikmh U neikmh dt c2h

U neik (m1)h U neik (m1)h

g

U n1

U n 1

dt c

2h e

ikh

e

ikh


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 72


g U n1

U n 1

dt c2h

eikh eikh

1 i

dt ch sin(kh)

2

2

1 sin ( ) 1

dt c

g khh

Necondiţionat instabilă

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 73

Metoda Lax-Friedrichs

Metoda Lax este o variantă modificată a metodei FTCS.

ai

n1 ai

n kc

2h

ai1n ai1

n Metoda FTCS

Media dintre vecini

ai

n1 12

ai1n ai1

n kc2h

ai1n ai1

n

The Lax Method

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 74

1

2 2

ikh ikhnikh ikh

n

e eU dt c g e e

U h

cos( ) sin( )

dt c

kh i khh

2

21 sin ( ) 1 dt c

g khh

Condiţionat stabilă


1c dt

h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 75


Metoda Lax este stabilă dacă

1c dt

h

Pasul de timp maxim posibil este astfel

max

hdt k

c

Condiţia Courant-

Friedrichs-Lewy!

Condiţia CFL apare în special în scheme de tip

hiperbolic!

Condiţia CFL!

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 76

c = 1, k= 0.02, h=0.02 -> ck/h = 1

ai

n1 12

ai1n ai1

n

kc2h

ai1n ai1

n

Metoda Lax -Friedrichs

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 77

1

1 1

1 1(1 ) (1 )

2 2

n n n

i i i

kc kca a a

h h

c = 1, k= 0.02, h=0.02 -> ck/h = 1


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 78

c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9


1

1 11 1(1 ) (1 )2 2

n n n

i i ikc kca a ah h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 79

Dacă pasul de timp este mai mic decât cel maxim posibil ,observăm că pulsul se atenuează pe măsură ce se

avansează în timp.

ai

n1 1

2

ai1n ai1

n

kc

2h

ai1n ai1

n

1

1 1 1 1

12

2 2 -n n n n n n n

i i i i i i i

kca a a a a a a

h

ai

n1

- ai

n

k h

2

2kh2 ai1

n ai1n 2ai

n

c2h

ai1n ai1

n

2 2

2 2

a a a

t x x

hc

k

Difuzie Numerică


Schema u

pwind

de ordinul I de tip

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 80

Schema u pwind de ordinul I de tipGodunov

Schemele de tip upwind folosesc conceptul de caracteristică.

tn+1

tn

x j

Caracteristica prin punctul (x j, tn+1)

c >0

Schema u

pwind

de ordinul I de tip

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 81

tn+1

tn

x j

1

1 0( , )n n n n

i i i i

ck a a a a k h

h


Diferenţa înainte Diferenţa înapoi

k

h h

Sc e a upw d de o d u de t pGodunov

Schema u

pwind

de ordinul I de tip

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 82

Condiţionat stabilă 0 1ck

h

n+1

Domeniul real

de dependenţă

Domeniul numeric de dependenţă

nx

x

t

xc

t

p xi x1i x

/ 0dx dt c

t xdt dx //

o o

o

1

1 , 0n n n n

i i i i

ck a a a a

hc

p pGodunov

Schema u

pwind

de ordinul I de tip

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 83

1

1 , 0n n n n

i i i ick a a a ah

c

tn+1

tn

x j

k

h h


Schema u pwind de ordinul I de tipGodunov

Schema u

pwind

de ordinul I de tip

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 84

• Pentru ambele cazuri şi

1max( ,0) ( ) 0

2

1min( ,0) (2

,

) 0

c c c c

c c c

tc tc

x x

c

0c 0c

• Schema devine:

1

1 1( ) ( )n n n n n n

i i i i i ia a a a a a

definim:

p pGodunov - forma generală

Schema u

pwind

de ordinul I

I

de tip

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 85


1max( ,0) ( ) 0

2

1min( ,0) (2

,

) 0

c c c c

c c c

tc tc

x x

c

0c 0c

• Schema devine:

1

1 2 2 1(3 4 ) ( 4 3 )2 2

n n n n n n n n

i i i i i i i i

c ca a a a a a a a

x x

definim:


Schema u

pwind

de ordinul I

II

de tip

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 86


1max( ,0) ( ) 0

21

min( ,0) ( ) 02

c c c c

c c c c

0c 0c

• Schema devine:

1

1 1 2

2 1 1

(2 3 6 )6

( 6 3 2 )

6

n n n n n n

i i i i i i

n n n n

i i i i

ca a a a a a x

ca a a a

x

definim:


Schema u

pwind

de ordinul I de tip

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 87

11 , 0n n n n

i i i ick a a a ah

c

c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9

p pGodunov

Scheme Monotone

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 88

Scheme Monotone

Schemele monotone pentru ecuaţia liniar ă de advecţie cu viteză constantă de

propagare sunt acelea pentru care coeficienţii sunt non-negativi.

1

( ,.... ,...., )n n n n

i i s i i r a H a a a

O schemă monotonă satisface:

0 ,n

k

H k

a

Example: Schema Godunov -upwind .

1

1

1

( )

(1 ) , 0 1

n n n n

i i i i

n n

i i

dt a a c a adx

dt dt dt H c a c a c

dx dx dx

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 89

Dacă disipaţia numerică (difuzia)

este pozitivă schema este stabilă

2

1 2

1 1 2 3 12 6

n n n n

i i i i xx xxx

ck ch cha a a a a a

h

Dezvoltând:

De asemenea condiţia CFL

1

h

t U

asigură un coeficient de difuzie pozitiv

Disipaţie xx

f

Dispersie xxx

f

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 90

1 11 1

1 1 2 2

1 1

2 2

0( , )

n n n ni i i i

n n n n

i i i i

a a a ac

t x

ck a a a a k h

h

Metoda Leapfrog (Metoda CTCS)


Diferenţa centrată în timp Diferenţa centrată în spaţiu

Necesită stocare mai

mare datorită timpuluide la pasul n-1 !!!

Condiţionat stabilă 1ck

h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 91

Schema Lax- Wendroff ❖Din dezvoltarea în serie Taylor

❖obţinem:

❖Plecând de la ecuaţia de advecţie :

2 23

2

( )( , ) ( , ) 0( )

2!

a a t a x t t a x t t t

t t

2 21 3

2

( )0( )

2!

n n

i i

a a t a a t t

t t

aa

xt c

2

2

22

2

a a ac c c

t x

a

x xt t

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 92

Schema Lax- Wendroff

❖

❖Aplicăm diferenţe centrate

Metoda Lax-Wendroff

2

2

2

22

a a ac c c

t x

a

x xt t

2 21 2

2

( )

2

n n

i i

a t aa a c t c

x x

2)(0 x

1 2 21 1 1 12

21 ( )2 2 ( )

n n n n n

n n i i i i ii i

a a a a aa a c t c t

x x

))(,)((0 22 xt

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 93

ai

n1 ai

n ck 2h

ai1n ai1

n c2k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n

c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 94

ai

n1 ai

n ck 2h

ai1n ai1

n

c2

k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n

c = 1, k= 0.01, h=0.02 -> ck/h = 0.5


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 95

ain1 ai

n ck 2h

ai1n ai1

n

c2

k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n

c = 1, k= 0.02/3, h=0.02/3 -> ck/h = 0.5


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 96

ai

n1 ai

n ck

2hai1

n ai1n

c2k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n


Condiţionat stabilă 1ck

h


7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 97

Formularea Implicită

❖Se obţine un set de ecuaţii algebrice.

❖Matrice tridiagonală se rezolvă cu metoda THOMAS

11 1

1 12

n nn ni ii i

a a ca a

t x

))(),((0 2 xt

Metoda Forward Time Central Space (FTCS implicită)

1 1 11 11 1

2 2n n n ni i i ia a a a

ţ ţ

Necondiţionat stabilă ck

h

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 98

❖o metodă implicită.

❖ sistem tridiagonal de ecuaţii.

1 1 1

1 1 1 112 2

n n n n n n

i i i i i ia a a a a ac

t x x

2 2

(( ) ,( ) )O t x Metoda combinată:


Metoda Crank-Nicolson: θ =0.5

Metoda FTCS implicită: θ =1

Metoda Crank

-

Nicolson

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 99

Metoda Crank Nicolson

Metodă

Implicită Sistem

Tridiagonal

MetodaTho

mas

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

02 2 2

4 4 4 4

n n n n n n

j j j j j j

n n n n n n

j j j j j j

a a a a a ac

t x x

c c c ca a a a a a

n

n+1

j 1 j j+1

c/4

c/4

c/4

c/41

1

Exemplu

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 100

sin(10 ), 0 0.1( ,0)

0, 0.1 1

x xTa x

x

t = 0 t = 8.0

0.8

c t

CFL x

Schem

a

Upwind : c = 0.8

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 101

p

Schem

a

Lax

-

Wendroff : c = 0.8

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 102

Schem

a

Crank

-

Nicolson : c = 0.8

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 103

Oscilatorie

1 kc

Stabilitate

Euler-Explicit --

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 104

1

1 1 2

n n n n

i i i i

kca a a a

h

11 1 1 11

2 2n n n n ni i i i ikca a a a a

h

1

1

11

0,

, 0

n n n n

i i i i

n n n ni i i i

ck a a a a

h

ck a a a ah

c

c

ai

n1 ai

n ck

2hai1

n ai1n

c2k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n

1ck

h

Lax-Friedrichs – C.S.

1

1 1

1 12

n nn ni ii i

a a c a at x

Euler-Explicit --N.I

1 1 1

1 1 1 112 2

n n n n n n

i i i i i ia a a a a ac

t x x

Godunov-upwind

– C.S.

Lax-Wendroff – C.S.

Euler-Implicit – N.S.

Crank-Nicolson:

θ =0.5 – N.S.

StabilitateMetode Multi-Pas

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 105

1

21 1 1 1

1 11 2 2

1 1

1( ) ( )

2 4

( ) , 22

nn n n n

i i i i i

n nn n

i i i i

a t u u u u u

x

a t a t u u u u

x x

1

2

1 1 12

1 11 2 2

1 1

2 2

1( ) ( )

2 2

( ), 1

nn n n n

i i i ii

n nn n

i ii i

a t u u u u u

x

a t a t u u u u

x x

*

1

1 * * *

1

( )

1( ) ( ) , 1

2

n n n

i i i i

n n

i i i i i

a t u u u u

x

a t a t u u u u u

x x

Richtmyer -- C.S.

Lax-Wendroff – C.S.

Mac ormack

– C.S.

0Uff

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 106

FTCS

Necondiţionat

instabilă

UpwindStabilă pentru

Implicit

Necondiţionatstabilă

Lax-FriedrichsCondiţionat

stabilă pentru

0 xt

Uf f

02

11

1

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

n

j xxx xx

f Uh

f U

t 2

22

2162

01

1

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

n

j xxx

xx

f Uh

f Uh

1326

12

22

1

xxx xx

f Uh

f Uh 2

2

13

1

2

0

2

1

1

1

1

1

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

n

j xxx xx

f t U Uh f t U

232

2

3

1

6

1

2

0

2

2/

11

11

1

h

f f U

t

f f f

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

1

0t

Uff

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 107

Leap FrogStabilă pentru

Lax-Wendroff IStabilă pentru

Lax-WendroffII

La fel ca LW-I Stabilă pentru

MacCormack

La fel ca LW-IStabilă pentru

0 xt

Uf f

022

11

11

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

n

j xxx

f Uh

16

2

2

xxxx

xxx

f Uh

f Uh

23

22

18

16

1

1

1

0

2

2

2

2

1122

11

1

h

f f f t U

h

f f U t

f f

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

02/

2/)(11

2/1

2/1

h

f f U

t

f f f n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

0

2/1

2/1

2/1

2/1

1

h

f f

U t

f f n

j

n

j

n

j

n

j

1

01

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

t

j

0

2/1

1

h

f f U

t

f f f t

j

t

j

t

j

n

j

n

j

TemaImplementarea aproximării:

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


CURS_5_MDF_2015/2016 108

Implementarea aproximării:

Prin:

2

3 0

( , 0) x

t x

x t e

hvggddf

Geometrie :

11 1 1

4, 4, i N i N

x x x x h

Schemă :n

in

in

i 11 )()1(

dx

dt 3

Condiţia Iniţială :

0 , 0i i x t

Condiţia de Frontieră :

1

0 0n 1

0 0 11n n n

N

N=10,40,160,320

t=10

M d M l i P

7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new


Metode Multi-Pas

Pas Predictor:

Pas Corector step:

*

1( )

n n n

i i i i

a t u u u u

x

1 * * *

1

1

( ) ( )2

n n

i i i i i

a t

u u u u u x

Metoda Mac ormack

))(,)((0 22 xt

ck

curs 5 mdf 2015new

Documents