curs 6_metode analitice

8/15/2019 Curs 6_Metode Analitice

1/19

Metode analitice pentru

rezolvarea problemelor deoptimizarea


2/19


3/19

Reprezentarea geometrica a functieiobiectiv f(x)- multimodala


4/19

Punct stationar, in care se anuleazaderivata 1, dar nu corespunde unui

extrem


5/19

Metode analitice pentru

functii cu o singuravariabilaPuncte stationare:

- de extrem: minim, maxim,

- de inexiune

Reprezinta solutia ecuatiei:

f!(x) " #


6/19

Metode analitice pentru functii

cu o singura variabila$atura punctului stationar se determina din

studiul derivatelor de ordin superior

Prima derivata nenula este de ordin par f n(x) % # "% minim

f n(x) & # "% maxim

Prima derivata nenula este de ordinimpar

f n(x) &% # "% punct de inexiune


7/19

'xemplu eterminati punctele de extrem ale functiei:

f ’(x) = 0 => x = 0, x = 1, x = 2


8/19

x " 1 "% f(x) " -*# "% x " 1 este maxim, f(1) " 1+

x " + "% f(x) " +# "% x " + este minim, f(+) "-11

x " # "% f(x) " # "% se studiaza derivatele de

ordin superior

x " # este punct de inexiune

'xemplu


9/19

$atura punctului stationar

XstatX

24

2

34

2

24

2

14

243

2

23

2

23

2

13

242

2

32

2

22

2

12

241

2

31

2

21

2

21

2

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

H

=∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

tudiul matricei .essiene:


10/19

Puncte stationare: - de extrem: minim, maxim,

- de inexiune

Reprezinta solutia sistemului de ecuatii:

f!i(/) " # i " 1, 0, n

Metode analitice pentru functii

cu mai multe variabile


11/19

$atura punctului stationar i % # i " 1,22, n "% / este minim

i & # i este impar, i " 1,22, n

i % # i este par, i " 1,22, n

"% / este maxim

aca nu se indeplinesc regulile anterioare

"% / este punct de sa


12/19

$atura punctului stationar


13/19


14/19

Probleme cu restrictii

1, 2

1, 2

1, 2

( ,... )

( ..., ) 0

1...

( ,..., ) 0

1,...

n

j n

j n

opt f x x x

h x x x

j m

g x x x

j m l

∂

=

=

≤

= +

2 2

1 2 1 2 1 2

2

1 2

min ( , ) 5 44 0

f x x x x x x x x

= + + − −

+ − =

1 2( , )h x x

n % m

Metodele analitice se aplica pentru restrictiiegalitate


15/19


16/19

Metoda substitutieiFunctia obiectiv devine:

Prin derivare rezulta sistemul de ecuatii:

$umarul de variabile se reduce cu numarul de variabile substituit


17/19

Metoda substitutiei

olutia sistemului este:

in restrictie rezulta x6:


18/19

Metoda multiplicatorilor 7agrange

Metoda multiplicatorilor 7agrange

e construieste functia 7agrange:

)1xxx(xxx8),x,x,x(L 2322

21321321 −++λ+=λ


19/19

0L

0xL

0x

L

0x

L

3

2

1

=λ∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

Rezulta un sistem cu (n 8 m) ecuatii:

curs 6_metode analitice

Documents