curso de robotica movil 11
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robotica movilTRANSCRIPT
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Robtica Mvil Maestra en Ingeniera Electrnica, Pontificia Universidad Javeriana Bogot, Colombia
Clase 6: Modelado Dinmico Dinmica de cuerpos rgidos, Operadores espaciales
Dinmica multi-cuerpo, Algoritmos: Dinmica inversa y Dinmica Directa. Modelo energtico
Prof. Julin Colorado, Ph.D email: [email protected] Parte del contenido e imgenes de esta presentacin son Andrs Jaramillo Botero, 2005Libro: Herramientas para Robtica de ManipuladoresS/W: Robomosp. IEEE Robotics and Automation Magazine, 2006 Peter-Corke Toolbox robtica Matlab
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Contenido de la clase: ( Breve ) Parmetros Denavit-Hartenberg (DH) ( Breve ) Modelado dinmico por Euler Lagrange
Operadores espaciales (Newton-Euler) Dinmica de un solo cuerpo rgido Dinmica de cuerpos rgidos articulados
Algoritmos Newton-Euler recursivo Dinmica inversa Dinmica directa Modelo energtico
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Estado del arte: modelado dinmico- fsica de cuerpos rgidos
Shigeo Hirose Toykio Tech Boston Dynamics
Bat-wing Molecular dynamics
Robtica mvil Clase 6: Modelado Dinmico ______________________________________
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Parmetros DH
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Transformaciones EspacialesTransformacines homogneasRepaso
Matriz de Transformacin Homognea para Articulaciones rotacionales
Matriz de Transformacin Homognea para Articulaciones primticas
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Parmetros DHDenavit y Hartenberg proponen un modelo matricial para establecer de forma sistemtica un sistema de coordenadas (ligado al cuerpo) para cada elemento de una cadena articulada.D-H resulta en una matriz de transformacin homognea de 4x4 que representa cada uno de los sistema de coordenadas de los elementos de la articulacin con respecto al sistema de coordenadas del elemento previo.
Robomosp demo3 PA10.rbt
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Parmetros DHLa matriz DH de un robot, se construye a partir de 4 parmetros geomtricos:
Robtica mvil Clase 6: Modelado Dinmico ______________________________________
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Parmetros DHLa matriz DH de un robot, se construye a partir de 4 parmetros geomtricos:
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Parmetros DHLa matriz DH de un robot, se construye a partir de 4 parmetros geomtricos:
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Parmetros DHLa matriz DH de un robot, se construye a partir de 4 parmetros geomtricos:
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Parmetros DHEjemplo: Parmetros DH manipulador stanford
Eje fijo de base
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d1
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Parmetros DHEjemplo: Parmetros DH manipulador rotacional
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En resumen1. Diseo geomtrico del robot: definir sistemas de coordenadas siguiendo el
planteamiento/algoritmo DH segn la morfologa requerida.2. En CAD, asociar cuerpos rgidos, articulaciones y motores al robot segn
los sistemas de coordenadas establecidos con DH3. Encontrar las matrices de Transformacin Homognea Tn,0 desde i=1 hasta
n; siendo n el nmero total de grados de libertad del robot.
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Cdigo cinemtica directa:
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Cdigo cinemtica inversa:
La relacin directa entre velocidades articulares y cartesianas est dada por:
qd es un vector de 1xn, siendo la inversa del jacobiano una matriz de nx6 y V es la velocidad espacial del efector final de 6x1.
Para que la solucin converga, se necesita un robot de al menos 6 grados del libertad.
Si n
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Euler-Lagrange
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Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
1. Identificar la matriz DH
La primer articulacin es rotacional ( ), mientras que la segunda (z) y tercera (r) son prismticas.
Ecuacin de Lagrange: : Lagrangiano dependiente de las posiciones y velocidades articulares. F: Fuerzas torques del sistema.
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2. Identificar la posicin de los centros de masa de los cuerpos rgidos que componen el robot, as como sus vectores del velocidad.
Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
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3. Hallar Ecuaciones de Energa Cintica y Potencial
Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
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4. Obtener el Lagrangiano:
Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
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5. Hallar Ecuacin de movimiento:
Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
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5. Hallar Ecuacin de movimiento:
Ecuacin generalizada:
Matriz de masa Coriolis, centrfugas,giroscpicas
Gravedad
Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
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Modelos en coordenadas cartesianas:
Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
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Modelos en coordenadas cartesianas:
Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
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Modelos en coordenadas cartesianas:
Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
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Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange
Tipos de Control: articular o cartesiano usando el Jacobiano.
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Operadores espaciales
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articulacin i
centro de masacm
si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1
......cuerpo n: efecto final
base
......articulacin
i+1
ri+1,i
Operadores Espaciales
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si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xi
yi
zi+1
xi+1
yi+1
r i+1,i Ecuaciones dinmicas de movimiento: (operadores espaciales)
Unidades ?
Operadores Espaciales
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si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1ri+1,i
Ecuaciones dinmicas de movimiento:
Para expresar ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido en 3D o 6D, es necesario conocer su modelo cinemtico, es decir, operadores de rotacin-traslacin y el operador de inercia espacial (tensor de inercia) de dicho cuerpo:
Operadores:traslacin: rotacin: Inercia espacial:
Operadores Espaciales
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si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1ri+1,i
Operador de traslacin:
Es un operador 6-dimensional, matriz de 6x6, compuesto por la matriz skew-simtrica (3x3) del vector de traslacin contenido en la matriz de transformacin homognea (3x1)
Pi,i+1 ! "6x6
pi,i+1 =
0 ! pz pypz 0 ! px
! py px 0
"
#
$$$$
%
&
( ) 3x3 matriz skew-simtrica de !pi,i+1 = px , py , pz!" #$
T
U 3x3 Matriz identidad de 3x3
Operadores Espaciales
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si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1ri+1,i
Operador de rotacin:
Es un operador 6-dimensional, matriz de 6x6, compuesto por la matriz de rotacin de 3x3.
Ri+1,i 6x6
ri+1,i 3x3 Matriz de rotacin de 3x3.
Operadores Espaciales
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En resumen
Para poder calcular los operadores espaciales (o 6-dimensionales) que definen la traslacin y orientacin de un cuerpo rgido, es necesario calcular la matriz de transformacin homognea para cada articulacin:
ri+1,i 3x3
!pi,i+1 = px , py , pz!" #$
T
articulacin Rotacional!
Operadores Espaciales
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si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1ri+1,i
Operador inercial
Matriz de inercial espacial (o 6-dimensional) calculado con respecto al centro de masa (cm) del cuerpo rgido Ii,cm
6x6
Ji,cm =
Ixx Ixy IxzIxy Iyy IyzIxz Iyz Izz
3x3Tensor de inercial con respecto el centro de masa. Est compuesto por los productos y momentos de inercia
miUMasa puntual del cuerpo rgido, U: matriz identidad de 3x3
Operadores Espaciales
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si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1ri+1,i
Tensor de inercia
Ji ,cm =
I xx ! I xy ! I xz! I xy I yy ! I yz! I xz ! I yz I zz
"
#
$$$$
%
&
( ) 3x3Ji ,cm
Operadores Espaciales
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Ejemplo: clculo del Tensor de inercia
S u p o n i e n d o u n c u e r p o r g i d o c o n morfologa rectangular, cuyo centro de masa se ubica en las coordenadas: [c/2, b/2, a/2]. Calcular su tensor de inercia (genrico)
Ji ,cm3
3
3
Operadores Espaciales
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3
3
ResumenOperadores Espaciales
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Dinmica de Cuerpos Rgidos
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Dinmica de Cuerpos RgidosCuerpo rgido sencillo
Velocidad angular:
Velocidad lineal:
Fuerzas:
Torques:
En 3D (operadores vectoriales):
En 6D (operadores espaciales):
Robtica mvil Clase 6: Modelado Dinmico ______________________________________
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Dinmica de Cuerpos RgidosCuerpo rgido sencillo
Velocidad lineal: Torques:
En 3D (operadores vectoriales):
En 6D (operadores espaciales):
La relacin entre la velocidad y fuerza espacial con respecto la sistema de coordenadas de la articulacin y el sistema de coordenadas del centro de masa del cuerpo rgido es:
Siendo,
Soi,cm = Si,cm =U si,cm0 U
si,cm
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Dinmica de Cuerpos RgidosCuerpo rgido sencillo
Velocidad espacial:
si,cm
Aceleracin espacial (derivada con respecto al tiempo de la velocidad)
Donde, el segundo trmino representa la aceleracin de Coriolis y la aceleracin centrifuga (ambos dependientes directamente de velocidad)
SOLO Efecto traslacional!
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Dinmica de Cuerpos RgidosCuerpo rgido sencillo
Derivada vectorial:
w r = w r
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Dinmica de Cuerpos RgidosCuerpo rgido sencillo
Fuerza espacial:
si ,cm
La Fuerza! Es la derivada del momentum en funcin del tiempo:
SOLO Efecto rotacional!
Fuerzas giroscpicas:
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Dinmica de Cuerpos RgidosCuerpo rgido sencillo
Fuerza espacial:
si,cm
Con respecto a la articulacin:
Reemplazando Fi,cm
, siendo:
Reemplazando d/dt(Vi,cm):
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Dinmica de Cuerpos RgidosCuerpo rgido sencillo
Fuerza espacial:
!si ,cm
Expandiendo,
Teorema de ejes paralelos para el clculo de inercias en cualquier punto del cuerpo rgido
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Dinmica de Cuerpos Rgidos Articulados
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Dinmica de Cuerpos Rgidos articulados
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Dinmica de Cuerpos Rgidos articuladosLas ecuaciones de movimiento son:
articulacin i
centro de masacm
si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1
......cuerpo n: efecto final
base
......articulacin
i+1
ri+1,i
Velocidad espacial de la cadena articulada:
Aceleracin espacial de la cadena articulada:
i = 1...n
i = 1...nFuerza espacial de la cadena articulada:
i = 1...n
Ri+1,iT Pi,i+1
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Dinmica de Cuerpos Rgidos articulados
Anlisis de la ecuacin de velocidad espacial
articulacin i
centro de masacm
si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1
......cuerpo n: efecto final
base
......articulacin
i+1
ri+1,i
Velocidad espacial:
i = 1...n6x1
Vi : Velocidad espacial. Vector de 6x1del cuerpo i, con respecto al sistema coordenado de la articulacin i
Ri+1,i 6x6 Pi,i+1 ! "
6x6 : Operadores espaciales de rotacin y traslacin. Matrices de 6x6 que permiten orientar y trasladar cantidades fsicas que se encuentran con respecto a diferentes sistemas de coordenadas.
Vi1 : Velocidad espacial del cuerpo i-1, con respecto al sistema i-1H : vector de 6x1 (al menos que la articulacin sea esfrica). Permite proyectar un escalar de movimiento
sobre el eje de movimiento.
qi :Escalar. Velocidad angular de la articulacin (rad/s)- articulacin rotacional o velocidad lineal de la articulacin (m/s) articulacin prismtica
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Dinmica de Cuerpos Rgidos articulados
Anlisis de la ecuacin de aceleracin espacial
articulacin i
centro de masacm
si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1
......cuerpo n: efecto final
base
......articulacin
i+1
ri+1,i
Aceleracin espacial:
i = 1...n6x1
bi =Pi ,i+1 Ri+1,iVi ! 1 + H qi
qi
qi
qi
Coriolis Centrgufa Ri+1,iT Pi,i+1
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Dinmica de Cuerpos Rgidos articulados
Anlisis de la ecuacin de Fuerza espacial
articulacin i
centro de masacm
si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1
......cuerpo n: efecto final
base
......articulacin
i+1
ri+1,i
Fuerza espacial:
i = 1...n6x1
IiVi Componente local de fuerza- (Newton: masa por aceleracin), siendo Ii el operador de inercia o matriz
de inercia del cuerpo i con respecto al sistema de coordenadas i
I i
Si ,cm + I iVi : Trminos de fuerza dependientes de velocidad: giroscpicas
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Dinmica de Cuerpos Rgidos articuladosEn resumen..modelo dinmico
articulacin i
centro de masacm
si,cm
pi,i+1
cuerpo i
cuerpo i+1
zi
xiyi
zi+1
xi+1
yi+1
......cuerpo n: efecto final
base
......articulacin
i+1
ri+1,i
Velocidad espacial de la cadena articulada:
Aceleracin espacial de la cadena articulada:
i = 1...n
i = 1...nFuerza espacial de la cadena articulada:
i = 1...n
Ri+1,iT Pi,i+1
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Algoritmos:Dinmica Inversa/DirectaRevisarLibro: Herramientas para Robtica de Manipuladores Andrs Jaramillo Botero, 2005
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El problema dinmico
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Algoritmo: dinmica InversaClculo de torques/fuerzas segn un movimiento articular predefinido.
Velocidades y aceleraciones espaciales (PROPAGACION HACIA ADELANTE)Dinmica Inversa
Fuerzas espaciales (PROPAGACION HACIA ATRAS):
Ri+1,iT Pi,i+1
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Algoritmo: dinmica InversaClculo de torques/fuerzas segn un movimiento articular predefinido.
Newton-Euler Recursivo (complejidad O(n))
Ri+1,iT Pi,i+1
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Algoritmo: dinmica Inversa
Detalle de algunos operadores espaciales:
siendo,
Hi =
001000
qi =
00qi000
Rotacional (alrededor de z)
Hi di =
00000di
Primtica(a lo largo de z)
Hi qi =
1 0 00 1 00 0 10 0 00 0 00 0 0
qi =
qx 0 00 qy 0
0 0 qz0 0 00 0 00 0 0
Articulacin esfrica
Ri+1,iT Pi,i+1
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Algoritmo: dinmica InversaDetalle de algunos operadores espaciales:
siendo,
Operador inercial en el {CM}
Tensor de inercia en el {CM}
momentos
Operador de traslacin entre el frame {i} y el {CM}
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Dinmica Directa
q = M q( )1 C q, q( ) q g q( )
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Algoritmo: Dinmica Directa (complejidad O(n2))
Paso 1. Clculo del Operador de Masa M(q) de nxn
q = M q( )1 C q, q( ) q g q( )
Dado que M(q) SOLO es dependiente de las posiciones articulares (q), Los trminos de Fuerza dependientes de velocidad (Coriolis) y aceleracin (Gravedad), NO afectan los componentes de la matriz de masa M(q). Por lo tanto,
= M q( ) q +C q, q( ) q + g q( )01
= M q( )
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Algoritmo: Dinmica Directa
Paso 2. Clculo de los trminos de fuerza dependientes de velocidad: Coriolis/gravedad
q = M q( )1 C q, q( ) q g q( )
Paso 3. Finalmente se integra en el tiempo (numricamente) para hallar qd y q a partir de qdd
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ModeloEnergtico
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Energa cintica y potencial de un robot de n-grados de libertad
Por definicin, la energa cintica (K) de una partcula de masa puntual (m) est definida segn su velocidad (V), como:
K = 12mV 2
As mismo, la energa potencial (U) para la misma partcula se define como el producto de su masa puntual por la constante de la gravedad (g) y la altura (h) de dicha partcula con respecto al suelo
U = mgh
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Energa cintica y potencial de un robot de n-grados de libertad
Para el caso de una cadena articulada de cuerpos rgidos, la energa cintica de TODO el robot, se calcula como:
K = 12qiM q( ) qiT
:Velocidades articulares. Vector de 1xn qiM q( ) : matriz de masa de nxn calculada en el cmputo de la dinmica directa.
Por otro lado, la energa potencial (U) solo depende de la masa puntual de cada cuerpo rgido. Para hallar la energa potencial de TODO el robot, es necesario calcular la energa potencial de cada cuerpo y propagar esta cantidad a lo largo de toda la cadena cinemtica.
Uii=1
n
=Ui1 +mi g p z( )
p z( ) : componente del eje z del vector de traslacin de la matriz homognea del cuerpo i
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