curso intensivo matemÁtica i -...

CURSO INTENSIVO MATEMÁTICA I

Matemática I Prof. Marta N. González Chavarría

1

ÍNDICE DE CONTENIDOS

Introducción………………………………………………………………………….pág.2

Fórmulas y propiedades………………..……………………………………………pág.5

Capítulo 1: Funciones………………………………………………………………..pág.8

Tipos de funciones……………………………………………………....pág.12

Otros tipos de funciones………………………………………………...pág.32

Práctica del capítulo 1…………………………………………………..pág.34

Capítulo 2: Límite……………………………………………………………………pág.36

Propiedades de los límites..…………………………………………….pág.41

Límites infinitos. Asíntotas…………………………………………….pág.42

Límites indeterminados………………………………………………...pág.46

Continuidad de una función…………………………………………...pág.54

Práctica del capítulo 2…………………………………………………pág.60

Capítulo 3: Derivada de una función……………………………………………….pág.63

Propiedades……………………………………………………………..pág.69

Derivadas sucesivas…………………………………………………….pág.72

Práctica del capítulo 3………………………………………………….pág.74

Capítulo 4: Estudio de una función…………………………………………………pág.76

Regla de L’Hopital……………………………………………………..pág.82

Práctica del capítulo 4…………………………………………………..pág.84

Capítulo 5: Concepto de primitiva…………………………………………………..pág.86

Propiedades……………………………………………………………..pág.87

Práctica del capítulo 5………………………………………………….pág.89

Práctica de revisión final……………………………………………………………..pág.90

Bibliografía……………………………………………………………………………pág.93


2

INTRODUCCIÓN

La Matemática es una ciencia dinámica, siempre inserta en la historia de la humanidad como

ciencia autónoma y como instrumento para otras ciencias, unida al desarrollo tecnológico e

íntimamente ligada a la filosofía por su reflexión teórica.

La Matemática se ha incluido en toda propuesta curricular, no sólo por el valor y finalidad de

sus contenidos específicos, sino también por sus aportes para el desarrollo del razonamiento

lógico.

La selección de los contenidos pretende, por un lado, dar continuidad a los contenidos vistos

en el Curso Inicial, y por otro, introducir a los alumnos en el Análisis Matemático.

La propuesta pedagógica de la misma se fundamenta en los lineamientos teóricos de la

Educación Matemática Crítica (EMC) a la que adhiere la autora.

Al decir de Ole Skovmose1:

“Una educación matemática crítica debe facilitar el desarrollo de una alfabetización

matemática que permita a los ciudadanos ejercer una competencia democrática. Podemos

preguntarnos ahora: ¿y cuál es en particular la competencia de la educación matemática crítica

que se conecta con la competencia democrática en general? Esta competencia particular es el

conocer reflexivo. Este se refiere a la capacidad necesaria para “tomar una posición justificada

en una discusión sobre asuntos tecnológicos” (p. 113). Esta competencia incluye al

conocimiento matemático que son las habilidades matemáticas para reproducir pensamientos

matemáticos, teoremas y demostraciones, para ejecutar algoritmos y realizar cálculos y para

inventar y descubrir nuevas matemáticas; al conocimiento tecnológico que es la habilidad de

aplicar las matemáticas y los métodos formales para el logro de fines tecnológicos; y el

conocimiento reflexivo en sí que tiene que ver con la evaluación y la discusión general de lo

que se puede identificar como un fin tecnológico y con las consecuencias éticas y sociales de

lograr tal fin con las herramientas seleccionadas. El conocer reflexivo permite identificar las

nociones y comprensiones previas que se visten con un disfraz de neutralidad en su paso por

las distintas transiciones de lenguaje que suceden en el modelaje matemático, entre los

lenguajes natural, sistémico, matemático y algorítmico. También permite seguirle el rastro a

los cambios en las estructuras de argumentación que cada tipo de lenguaje genera en ese

proceso y así evita generar un cierre en las posibilidades de grupos no expertos para entender

la resolución de un problema social con base en un modelo matemático. Y finalmente permite

indagar la manera como el modelaje matemático puede afectar el contexto social que dio

origen al problema abordado con el modelaje. Así, el conocer reflexivo se hace una parte

importante e integrada de la competencia democrática”

1. Ole Skovmose.1999. Hacia una filosofía de la Educación Matemática Crítica. Una empresa docente©.

Universidad de los Andes. Bogotá.


3

Reforzando la postura anterior, Mogens Niss2 plantea que:

“Es de importancia democrática tanto para el individuo como para la sociedad como

un todo, que a cualquier ciudadano se le suministren los instrumentos para comprender el

papel de las matemáticas. Cualquiera que no posea tales instrumentos se vuelve una “víctima”

de los procesos sociales en los que las matemáticas es una componente. Así, el propósito de la

educación matemática debe ser capacitar a los estudiantes para darse cuenta, comprender,

juzgar, utilizar y también ejecutar las aplicaciones de las matemáticas en la sociedad, en

particular en situaciones significativas para su vida privada, social y profesional”.

Por lo anterior, a través del presente material, se busca:

● Establecer relaciones significativas entre los distintos contenidos valorando sus orígenes y

reconociendo la importancia de sus aplicaciones.

● Resolver situaciones-problema usando diferentes estrategias, con diferentes formas de

validación.

● Interpretar enunciados: utilizando diferentes formas de representación, traducción de

enunciados de un lenguaje a otro, anticipación de resultados.

● Facilitar la comprensión de los conceptos mediante su reconocimiento y utilización en

diferentes contextos valorando sus aplicaciones dentro y fuera del campo matemático.

● Mostrar el lenguaje matemático como modelizador de distintas situaciones problemáticas.

● Incentivar la lectura del marco teórico, interpretar y reproducir definiciones y

demostraciones matemáticas para que sean utilizadas por los alumnos en el aprendizaje de

las mismas.

Para ello se adoptará como metodología de trabajo la resolución de problemas intra y/o extra-

matemáticos durante las clases de la materia.

Se entiende la resolución de problemas como la resolución y la posterior reflexión sobre lo

realizado.

Esta metodología permite la puesta en marcha y utilización de conocimientos disponibles y

capacidades desarrolladas, posibilitando aprendizajes tanto en lo formal como en lo

heurístico*.

En esta metodología de trabajo se pondrán en juego las siguientes estrategias:

- Puesta en situación de los alumnos.

- Utilización de diferentes configuraciones del grupo de trabajo.

- Coordinación de puestas en común, y discusión.

- Institucionalización de los conocimientos construidos

- Presentación de desarrollos formales en diferentes soportes

Los contenidos se organizan bajo los temas:

Funciones,

Límite y continuidad de una función,

2. Niss, Mogens. 1983. “Considerations and experiences concerning integrated courses in mathematics and other

subjects”. En M. Zweng et al. (Eds.), Proceedings of the Fourth International Congress on Mathematical

Education (pp. 247-249). Boston: Birkhäuser.

*Heurístico: Perteneciente o relativo a la heurística. Técnica de la indagación y del descubrimiento. En algunas

ciencias, manera de buscar la solución de un problema mediante métodos no rigurosos, como por tanteo, reglas

empíricas, etc. Fuente: http://buscon.rae.es/drae/srv/search?val=heur%EDsticas

http://buscon.rae.es/drae/srv/search?val=heur%EDsticas


4

Derivada de una función,

Estudio de funciones,

Antiderivadas o Primitivas.

Cada uno de ellos se desarrollan en los capítulos que conforman el presente material,

encontrándose al final de cada uno ejercitación sobre los temas propuestos. Por último se

presenta una práctica de revisión final de los contenidos.


5

Fórmulas y propiedades útiles.

Función lineal

Ecuación de la recta por dos puntos:

0 1 0

0 1 0

y y y y

x x x x

Ecuación de la recta que pasa por un punto:

0 0.y y m x x

Función cuadrática

FORMA FÓRMULA

GRAL VÉRTICE( 𝑥𝑣; 𝑦𝑣) RAÍCES 𝑥1 ˄ 𝑥2

Polinómica

Y= a.x²+b.x+c 𝑥𝑣=

−b

2.a ;

𝑦𝑣= a.( 𝑥𝑣)²+b. 𝑥𝑣+c

𝑥1, 𝑥2=−b±√b2−4ac

2a

Factorizada

Y=a.(x-𝑥1).(x-𝑥2) 𝑥𝑣 =

𝑥2 + 𝑥1

2

1 2. .v v vy a x x x x

𝑥1 ˄ 𝑥2

Canónica Y= a. (x-𝑥𝑣)²+ 𝑦𝑣 (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) 𝑥1, 𝑥2=±√−

𝑦𝑣

a +𝑥𝑣

Productos especiales

2 2.a b a b a b

2 2 22. .a b a a b b

3 3 2 2 33. . 3. .a b a a b a b b

Trigonometría

Fórmulas de adición:

( ) .cos .cos

cos( ) cos .cos .

( )1 .

sen sen sen

sen sen

tg tgtg

tg tg

Fórmulas de la diferencia:

( ) .cos .cos

cos( ) cos .cos .

( )1 .

sen sen sen

sen sen

tg tgtg

tg tg


6

Fórmulas del doble de un ángulo:

2 2

2

(2 ) 2. .cos

cos(2 ) cos

(2 ) 2.1

sen sen

sen

tgtg

tg

Propiedades de operaciones:

Conmutatividad:

a + b = b + a

a - b b - a (la resta no es conmutativa, importa el orden en que la efectuemos)

a .b = b. a

a : b b : a (la división no es conmutativa, importa el orden en que la realicemos)

an n

a

Asociatividad:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a – b ) – c a – ( b – c ) (La resta no es asociativa, ya que importa el orden en que

agrupemos)

(a. b). c = a. (b . c )

(a : b ) : c a : ( b : c ) (La división no es asociativa)

qq ppa a (La potenciación no es asociativa. Recordar que cada elemento que

la forma son conceptualmente diferentes, de ahí que el orden de su ejecución es

importante)

Distributividad:

(a b). c = a . c b .c

(a b) : c = a : c b :c

p : (q r ) p : q p : r (a la izquierda no es distributiva)

(a b ) n a

n b

n (la potenciación no es distributiva respecto a la adición y

sustracción)

(a . b ) n = a

n . b

n

(a : b ) n = a

n : b

n (si b 0 )

n a b n na b (la radicación no es distributiva respecto a la adición y a la

sustracción)

n a b = n na b (la radicación es distributiva respecto a la multiplicación, siempre

que existan cada una de las raíces en particular)

:n a b = :n na b (si b 0 ) (ídem al anterior)

Otras propiedades de la potenciación y radicación:

a 0 = 1 (si a 0)

an . a

m = a

n+ m

an : a

m = a

n- m (si a 0)


7

(an )

m = a

n. m

a -1

= 1

a ( si a 0 )

a z =

1z

a

( si z < 0 y a 0 )

1

n na a

n ma = m

na

m

n a = m

n a

.n m m na a

.n m n ma a

El 0 en la división:

0

a = 0 si a 0

0

a no es posible

0

0 es indeterminado

Propiedades de los logaritmos:

log ( . ) log loga a ab c b c

log ( : ) log loga a ab c b c

log .logc

a ab c b

1

log .logc

a ab bc

log 1a a

log 1 0a

log

loglog

c

a

c

bb

a

“ la división por 0 NO es posible ”


8

Capítulo 1

Funciones

Se encuentra en la bibliografía matemática distintas definiciones de función, de entre ellas se

elije la siguiente:

“Si a cada valor de la variable x , perteneciente a cierto campo, le corresponde un solo valor

de otra variable y , entonces ésta será función de x , y podemos escribir simbólicamente:

( )y f x

La variable x se denomina variable independiente o argumento. La dependencia que existe

entre las variables x e y se llama funcional. La letra “ f ” que entra en la notación simbólica

de una dependencia funcional ( )y f x significa que han de realizarse ciertas operaciones

con el valor de x para obtener el de y ”.1

La variable y recibe el nombre de variable dependiente o imagen.

Al conjunto formado por todos los valores que toma la variable independiente x, se lo

denomina dominio de la función. Dicho conjunto suele representarse fDom .

Al conjunto formado por todos los valores que toma la variable dependiente y, se lo denomina

imagen de la función. Dicho conjunto suele representarse Im f.

Una función puede definirse coloquialmente en lenguaje natural, por una ley de formación,

por tabla de valores o a través de un gráfico.

Por ejemplo:

La función f le hace corresponder a cada valor de x su triple disminuido en dos unidades.

La función anterior está definida coloquialmente. Podemos traducirla a lenguaje simbólico y

obtener la ley de formación de la misma: ( ) 3. 2f x x

Utilizando la expresión anterior podemos construir una tabla de valores:

x y=f(x)=3.x-2

-3 -11

-2 -8

-1 -5

0 -2

1 1

2 4

3 7

1. Piskounov, N. (2004). Capítulo 1. Pág. 14.


9

En la tabla anterior, la primera columna representa al dominio de la función y la segunda al

conjunto imagen. El dominio está formado por todos los números reales ya que cualquier real

al multiplicar por 3 y al resultado restarle 2 nos da otro número real (en la tabla solo

escribimos unos pocos valores), entonces en la segunda columna obtenemos también todos

los números reales. Escribimos:

Im

f

f

Dom

Cada fila de la tabla es un punto del plano coordenado (x;y). Si volcamos cada punto en un

par de ejes cartesianos obtenemos la representación gráfica de la función.

La función del ejemplo es una función lineal y su gráfica es una recta.

Intersección con los ejes coordenados:

A la intersección de la gráfica con el eje x se la denomina ceros o raíces de la función. Se

llaman ceros o raíces de una función a los valores de x del dominio cuya imagen es cero, en

símbolos:

A la intersección de la gráfica con el eje y se la denomina ordenada al origen de la función,

en símbolos:

Entonces para hallar el valor de la raíz igualamos a cero la expresión:

( ) 0

3. 2 0

f x

x

Se despeja x:

3. 0 2

3. 2

2

3

x

x

x

es cero o raíz de ( ) 0x f f x

y es ordenada al origen de (0)f y f


10

La raíz de la función es 2

3x

Para hallar el valor de la ordenada al origen se halla la imagen de cero:

(0) 3.0 2

(0) 0 2

(0) 2

f

f

f

La ordenada al origen de la función es 2y

Crecimiento y decrecimiento de una función:

En el ejemplo que se analiza (función lineal) cualquier par de valores 1 2,x x que tomemos del

dominio cumple que si 2 1 2 1x ( ) ( )x f x f x por lo tanto el intervalo de crecimiento de la

función coincide con el dominio de la misma y se dice que la función es estrictamente

creciente (la función es estrictamente decreciente si: 2 1 2 1x ( ) ( )x f x f x ).

Máximos y mínimos:

Al ser una función estrictamente creciente no tiene valores extremos absolutos (ni mínimo ni

máximo).

Conjuntos de positividad y negatividad:

El conjunto de positividad de una función está formado por los elementos del dominio

cuyas imágenes son positivas. En símbolos: / ( ) 0fC x Dom f x

El conjunto de negatividad de una función está formado por los elementos del dominio

cuyas imágenes son negativas. En símbolos: / ( ) 0fC x Dom f x

f es creciente en un intervalo I, si para todo 1 2x , x I se cumple que:

2 1 2 1x ( ) ( )x f x f x

f es decreciente en un intervalo I, si para todo 1 2,x x I se cumple que:

2 1 2 1x ( ) ( )x f x f x

La función f alcanza un máximo absoluto en a del dominio si para todo x perteneciente al

mismo y siendo x a, se cumple que la imagen de x es menor que la de a.

La función f alcanza un mínimo absoluto en a del dominio si para todo x perteneciente al

mismo y siendo x a, se cumple que la imagen de x es mayor que la de a.

La función f alcanza un máximo relativo en a si existe un intervalo que lo contiene y tal

que si para todo x perteneciente al mismo y siendo x a, se cumple que la imagen de x

es menor que la de a.

La función f alcanza un mínimo relativo en a si existe un intervalo que lo contiene y tal

que si para todo x perteneciente al mismo y siendo x a, se cumple que la imagen de x

es mayor que la de a.


11

Para determinar estos conjuntos es conveniente hallar si existen raíces de la función y analizar

el signo de la imagen a la derecha y a la izquierda de cada una de ellas.

En el presente ejemplo, la función tiene una raíz cuyo valor es 2

3x . A partir de este valor,

el dominio de la función queda dividido en dos intervalos, uno a derecha y otro a izquierda

del mismo: 2

;3

y

2;3

.

Se toma el intervalo 2

;3

y se halla la imagen de un valor cualquiera perteneciente a él.

Por ejemplo 1x . Entonces:

( 1) 3.( 1) 2

( 1) 3 2

( 1) 5 0

f

f

f

El conjunto de negatividad de la función es: 2

;3

C

Se toma el intervalo 2

;3

y se halla la imagen de un valor cualquiera perteneciente a él.

Por ejemplo 2x . Entonces:

(2) 3.2 2

(2) 6 2

(2) 4 0

f

f

f

El conjunto de positividad de la función es: 2

;3

C

Actividad 1:

Para cada función definida coloquialmente se pide: traducirla simbólicamente, construir una

tabla de valores, graficarla, hallar dominio, imagen, intersección con los ejes coordenados,

intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, conjuntos de positividad y

negatividad.

a) f es la función que a cada valor de x le hace corresponder su cuadrado aumentado

en 3 unidades.

b) f es la función que a cada valor de x le hace corresponder el triple de su cuadrado

más el doble de él mismo menos 5 unidades.


12

Tipos de funciones

En las funciones algebraicas las operaciones que afectan a la variable independiente son:

adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, mientras que son

trascendentes aquellas en que la variable independiente es un exponente, el argumento de un

logaritmo o de una expresión trigonométrica.

Funciones algebraicas

Funciones polinómicas

Una función polinómica está definida a través de un polinomio y su ley de formación es: 1 2 1 0

1 2 1 0( ) . . ... . . .n n

n nf x a x a x a x a x a x

El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de números reales .

Ejemplos de funciones polinómicas son la función lineal y la función cuadrática.

Para analizar y graficar funciones polinómicas de grado n se debe tener en cuenta lo

siguiente:

Las funciones polinómicas tienen gráfica de trazo continuo (ver Teorema del valor medio de Cauchy).

Si la función cambia de signo en los extremos de un intervalo entonces existe una raíz

perteneciente al mismo (Ver Teorema de Bolzano-Weierstrass).

Las raíces del polinomio asociado tienen un orden de multiplicidad (la cantidad de veces que esa raíz se repite en su factorización) tal que si es par la gráfica “rebota” al

tocar dicha raíz y si es impar la gráfica “atraviesa” el eje x en dicho valor. El orden de

multiplicidad aparece como un exponente en la forma factorizadade la función.

Entre dos raíces consecutivas la función no cambia de signo (Corolario del Teorema de Bolzano-Weierstrass).

Algebraicas

Trascendentes

Polinómicas

Racionales

Irracionales

Por partes

Exponenciales

Logarítmicas

Trigonométricas

Funciones


13

Teorema del valor medio de Cauchy2

Si una función es de trazo continuo en un intervalo [a,b] y f(a) f(b), entonces para todo c

que se encuentre entre f(a) y f(b) existe un valor x [a,b] tal que f(x)=c.

Por este teorema la función toma todos los valores entre f(a) y f(b). Si f(a) y f(b) tiene signos

opuestos entonces el 0 se encuentra entre f(a) y f(b) por lo cual exite un valor x que resulta

raíz de la función, según el siguiente teorema.

Teorema de Bolzano-Weierstrass3

Si una función es de trazo continuo en un intervalo I y existen a y b pertenecientes a él, tales

que f(a)>0 y f(b)<0 entonces existe por lo menos un valor c I tal que f(c)=0.

Corolario: Entre dos raíces consecutivas de una función de trazo continuo, la función no

cambia de signo. Es decir es toda positiva o toda negativa.

Sea por ejemplo la función 4 3 2( ) 3 12 9 12 12f x x x x x , su dominio es el conjunto .

El valor de la ordenada al origen es (0) 12f .

Para hallar sus raíces se factoriza el polinomio y se encuentra que los valores de las mismas

son 1, -1 y 2. La expresión factorizada de la función es: 2

( ) 3. 1 . 1 . 2f x x x x

El orden de multiplicidad de x1=1 es 1 (impar); el orden de multiplicidad de x2=-1 es 1

(impar) y el orden de multiplicidad de x3=2 es 2 (par). Por lo tanto la grafica atraviesa el eje x

en 1 y -1 y rebota en el eje x para el valor x=2.

A partir de las raíces se divide el dominio de la función en los siguientes intervalos:

, 1 ; 1,1 ; 1,2 2,y y se analiza el signo que toma la imagen en cada uno de ellos.

2 2

, 1 : ( 2) 3. 2 1 . 2 1 . 2 2 3. 3 . 1 4 144 0f , en este

intervalo f es positiva;

2 2

1,1 : (0) 3. 0 1 . 0 1 . 0 2 3. 1 . 1 2 12 0f , en este intervalo f es

negativa;

2 2

1,2 : (1,5) 3. 1,5 1 . 1,5 1 . 1,5 2 3. 0,5 . 2,5 0,5 0,9 0f , en este

intervalo f es positiva;

2 2

2, : (3) 3. 3 1 . 3 1 . 3 2 3. 2 . 4 1 24 0f , en este intervalo es

positiva.

Se han hallado los conjuntos de positividad y negatividad de la función:

, 1 1,2 2,C

1,1C

2. Para ver demostración: Rabuffetti, H.(2002). Capítulo 5, pág.176.

3. Para ver demostración: Rabuffetti, H.(2002). Capítulo 5, pág.177.


14

El gráfico aproximado de la función es:

Observando el gráfico se ve que la función tiene un mínimo absoluto (punto A) y un máximo

relativo (punto C), los puntos marcados con B, D y E son las raíces de la función y el punto

señalado con F es la ordenada al origen. Además se observa que los valores de la función

decrecen hasta el punto A para a partir de él crecer hasta el punto C, decreciendo hasta el

punto E, para luego crecer para todo valor de x que se encuentre a la derecha del mismo.

La abscisa del punto A es un valor comprendido entre -1 y 0, siendo la ordenada un valor

comprendido entre -14 y -15. Para encontrar las coordenadas de A se debe construir una tabla

de valores para el intervalo del dominio (-1;0) y ver qué valores adopta la función en él. El

lector puede confeccionar dicha tabla y verá que para aproximadamente x= -0,37 se obtiene

el valor f(-0,37)= -14,54, siendo el menor valor que adopta la función para la imagen y por lo

tanto es el mímino de la función. Análogamente se procede para hallar las coordenadas del

máximo relativo. La abscisa del punto C es un valor comprendido entre 1 y 2, siendo la

ordenada un valor comprendido entre 1 y 2. Construyendo una tabla para los valores del

domino pertenecientes al intervalo (1,2) se obtiene que para aproximadamente x= 1,37 la

función toma el valor f(1,37)= 1,04, máximo valor que toma la función en dicho intervalo por

lo cual es un máximo relativo.

Teniendo estos valores puede hallarse los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

función.

0,37;1,37 2;

; 0,37 1,37;2

IC

ID

En el capítulo 4 se verá cómo hallar los máximos y mínimos de una función polinómica de

grado n y los intervalos de crecimiento y decrecimiento, sin tener que construir una tabla de

valores.


15

Actividad 2:

Para cada función se pide: hallar dominio, imagen, intersección con los ejes coordenados,


negatividad y construir un gráfico aproximado.

4 2

3 2

1 25) ( ) 12

12 12

) ( ) 3 17 3

a f x x x

b f x x x x

Funciones racionales4

Una función racional está definida a través de un cociente de polinomios, siendo el polinomio

divisor distinto de cero para todovalor x del dominio de la función.

( )( ) ; ( ) 0

( )

P xf x Q x

Q x

Entre las funciones racionales encontramos a las funciones de proporcionalidad inversa y a las

homográficas.

Para analizar y graficar estas funciones primero debe hallarse el dominio. El dominio de una

función racional son todos los reales menos las raíces del polinomio denominador.

La función racional más simple tiene la forma ( )k

f xx

.

Si 1k función se llama de proporcionalidad inversa cuya expresión es 1

( )f xx

.

El dominio de esta función son todos los reales menos el cero, ya que no está definida la

división por este valor. Entonces 0fDom

Se halla ahora el conjunto imagen. La función toma la forma de una fracción y para que una

fracción valga cero el numerador de la misma debe valer cero. Como el numerador es distinto

de cero nunca obtendremos dicho valor para la imagen. Puede observarse a través de una tabla

de valores que la imagen se acerca a cero pero nunca lo alcanza. Entonces el conjunto imagen

está formado por todos los reales menos el cero. Entonces: Im 0f

Esta función no tiene ordenada al origen ya que cero no pertenece al dominio, así como

tampoco tiene raíces ya que cero no pertenece al conjunto imagen. Por lo tanto no tiene

intersecciones con los ejes coordenados.

4. Stewart, J. y Otros. (2007). Capítulo 3, pág. 300-311


16


A medida que los valores de x se acercan al valor cero por la derecha las imágenes aumentan

sin cota y si se acercan a cero por la izquierda las imágenes disminuyen sin cota, acercándose

al eje “y” sin tocarlo. Se dice entonces que el eje “y” es una asíntota vertical de la función

(una definición simple de asíntota es: la recta a la cual la gráfica de la función se acerca sin

tocarla cuando nos alejamos infinitamente desplazándonos sobre ella). Puede escribirse la

ecuación de la asíntota vertical como x=0 (que es la ecuación del eje y).

En símbolos: . : 0AV x pues f(x)→±∞ cuando x se acerca a 0 por derecha y por izquierda.

El valor de la síntota vertical es el que se ha quitado del domino de la función.

A medida que los valores de x aumentan a la derecha las imágenes disminuyen acercándose al

valor cero de la ordenada. Lo mismo sucede cuando los valores de x disminuyen a la

izquierda. Entonces el eje “x” es asíntota horizontal de la función. Puede escribirse la

ecuación de la asíntota horizontal como y=0 (que es la ecuación del eje x).

En símbolos: . : 0A H y pues f(x)→0 cuando x→±∞

El valor de la asíntota horizontal es el que se ha quitado de la imagen de la función.

En este tipo de funciones el crecimiento depende del signo de k . Si 0k la función es

decreciente y si 0k la función es creciente.

En el ejemplo propuesto 1k por lo tanto la función es decreciente para todo su dominio, es

decir, la función es estrictamente decreciente.

Por ser estrictamente decreciente la función no tiene extremos relativos ni absolutos.

Por ser 0k las imágenes son positivas para los valores positivos de x, y las imágenes son

negativas para valores negativos de x. Entonces:

0,

,0

C

C


17

Actividad 3:



negatividad, asíntotas verticales y horizontales. Construir un gráfico aproximado.

3) ( )

2) ( )

a f xx

b f xx

Otro ejemplo de funciones racionales son las llamadas homográficas que resultan de dividir

dos polinomios de grado uno.

La forma de una función homográfica es: ( )ax b

f xcx d

Teniendo en cuenta todo lo visto en párrafos anteriores se define lo siguiente:

El dominio de estas funciones es: f

dDom

c

El conjunto imagen de estas funciones es: Im f

a

c

Estas funciones tienen asíntotas verticales y horizontales cuyas ecuaciones son:

. :

. :

dAV x

c

aA H y

c

La ordenada al origen es (0)b

y fd

La raíz de la función es b

xa

Sea por ejemplo: 2 1

( )3 2

xf x

x

2

3

2Im

3

f

f

Dom

Ordenada al origen: 1

2y

Raíz: 1

2x

Asíntotas:


18

2:

3

2:

3

AV x

AH y


El crecimiento depende del signo del cociente que define la función. En este ejemplo el

cociente siempre es positivo por lo tanto la función es estrictamente decreciente. Por ser

estrictamente decreciente la función no tiene extremos.

Para determinar los conjuntos de positividad y negatividad se toma como referencia la raíz y

la asíntota vertical:

1 2, ,

2 3C

1 2,

2 3C

Actividad 4:




3 1) ( )

5 2

4 1) ( )

3 5

xa f x

x

xb f x

x


19

Otro ejemplo de función racional:

Sea 2

2

3 5 1( )

2 1

x xf x

x x

Para hallar el dominio se buscan las raíces del polinomio denominador:

1

2

1

2

1

x

x

Por lo tanto el dominio es el conjunto: 1

1,2

fDom

La función presenta dos asíntotas verticales en dichos valores.

Por tener el mismo grado el numerador y el denominador la asíntota horizontal es el cociente

de los coeficientes principales: 3

2y .

El conjunto imagen es: Im f pues:

2

2

2 2

2 2

3 5 1 3

22 1

33 5 1 .(2 1)

2

3 33 5 1 3

2 2

a

3 35 1 0

2 2

7 10

2 2

1

7

x x

x x

despejamos

x x x x

x x x x

agrupamos un mismo lado del signo igual

x x

x

despejamos

x

Vemos que existe un valor de x del dominio de la función para el cual el valor hallado de la

asíntota horizontal es su imagen. Esto nos hace ver que el valor de la asíntota horizontal no

siempre está excluído del conjunto imagen como hemos visto en las homográficas. Sin

embargo cuando nos alejamos infinitamente hacia la derecha o hacia la izquierda del valor

1

7x las imágenes que adopta la función se acercan a la recta

3

2y sin tocarla, por eso se


20

dice que 3

2y es asíntota horizontal de la función para valores de x tendientes a y a

(de otro modo 3

2y es asíntota horizontal de la función en el infinito).

La ordenada al origen es: 1

11

y

Las raíces de la función son las raíces del polinomio numerador:

1

2

5 37

6

5 37

6

x

x


Asíntotas de funciones racionales

El cociente que define la función es siempre positivo por lo tanto la función es estrictamente

decreciente y en consecuencia no posee extremos.

Para los conjuntos de positividad y negatividad se tienen en cuenta las raíces y las asíntotas

verticales:

5 37 5 37 1; 1; ;

6 6 2

5 37 5 37 1; 1 ;

6 6 2

C

C

Vistos los ejemplos anteriores se llega a la siguiente conclusión respecto a las asíntotas:


21

Sea f(x) la funcion racional de la forma: 1 0

1 1 0

1 1 0

1 1 0

...( )

...

n n

n n

m m

m m

a x a x a x a xf x

b x b x b x b x

1. Las asintotas verticales de f son las rectas x = h, donde h es un cero del denominador.

2. a) Si n < m, entonces f tiene asíntota horizontal y = 0.

b) Si n= m, entonces f tiene asíntota horizontal n

m

ay

b

c) Si n > m, entonces f no tiene asíntota horizontal.

3. Si 1n m , entonces f tiene asíntota oblicua y mx b , siendo y mx b el

cociente de la división entre los polinomios numerador y denominador de ( )f x .

Cuando una función tiene asíntota oblicua no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo: Sea 2 3 5

( )6

x xf x

x

En esta función el grado del numerador es 2n y el grado del denominador es 1m ,

por lo tanto se cumple que 2 1 1n m , entonces existe asíntota oblicua para la

función.

Para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua debemos dividir los polinomios que

definen la función:

2

2

3 5 6

6 3

3 5

3 18

13

x x x

x x x

x

x

La ecuación de la síntota oblicua de la función es 3y x . La ecuación de la síntota vertical

es 6x y no tiene asíntota horizontal.

El gráfico de la función es:

El lector podrá completar el análisis de la función como se ha visto en ejemplos anteriores.


22

Actividad 5:




2

2

2

6) ( )

5 6

) ( )2 3

a f xx x

xb f x

x x

2 5 3) ( )

2

x xc f x

x

Funciones irracionales (o radicales)

Una función en la que la variable independiente se encuentra en un radicando se dice

irracional.

Un ejemplo simple de función irracional es ( )f x x

En esta función el índice de la raíz es par por lo tanto la variable x solo puede tomar valores

mayores o iguales que cero para que la raíz exista. Entonces 0fDom o también

0,fDom

Para el cálculo de la raíz se toma la solución aritmética (mayor que cero) puesto que al tomar

las dos soluciones dejaría de ser función. Entonces Im 0,f

La ordenada al origen es y=0 y la raíz de la función es x=0.

La función es estrictamente creciente y por lo tanto no posee extremos. El conjunto de

positividad es todo su dominio puesto que todas sus imágenes son positivas.

El grafico aproximado de la función es:


23

Actividad 6:



negatividad. Construir un gráfico aproximado.

3

3

) ( ) 2 1

) ( ) 5

a f x x

b f x x

Funciones por partes

En apartados anteriores se ha trabajado con distintos tipos de funciones. En todas ellas se le

aplicaba la misma ley de formación a todos los elementos del dominio, es decir, por ejemplo:

f(x): Domf Imf / f(x)= x+6

En esta función a cada elemento del dominio se le suma 6.

Pero existen muchos problemas que para modelizarlos algebraicamente es necesario

considerar un dominio “partido” en intervalos, a cada uno de los cuales se le aplica una ley de

formación particular, generando así un tipo de función particular, llamada “función por

partes” (también se las conoce como “funciones partidas”).

Sea por ejemplo:

f(x)=

En este ejemplo se observa que el dominio se encuentra dividido en dos intervalos:

(-∞;-2) y [-2; +∞)

El dominio de f(x) se expresa como la unión de ambos, es decir:

Domf = (-∞;-2) [-2; +∞)

Esta unión “cubre” a todo el conjunto de números reales, ya que si bien -2 no pertenece al

primer intervalo, sí pertenece al segundo. Entonces Domf puede ser reescrito de la siguiente

forma:

Domf = R

Es importante no confundir el dominio de la función con los subdominios o intervalos, en los

que se “parte” el dominio. La función f(x) tiene un solo dominio, aunque se encuentre

subdividido. Asimismo la función f(x) es UNA función aunque en su definición coexistan

leyes de formación diferentes.

x-3 si x< -2

2.x+1 si x≥ -2


24

Ahora bien, ¿cómo se determina qué ley usar para hallar la imagen de un elemento del

dominio?

Supóngase que se quiere hallar f(-4) y f(0).

Se busca a qué intervalo pertenece cada uno de los valores dados.

El valor -4 es menor que -2, entonces para hallar su imagen se utiliza la ley o expresión x-3.

Se reemplaza y se realizan los cálculos correspondientes: f(-4) = -4-3 f(-4) = -7

El valor 0 es mayor que -2, entonces para hallar su imagen se utiliza la expresión o ley 2.x+1.

Se reemplaza y se realizan los cálculos correspondientes: f(0)= 2.0+1 f(0) = 1

Se construye una tabla para valores pertenecientes al intervalo (-∞;-2) y otra para valores

pertenecientes al intervalo [-2; +∞) y se realizar el gráfico de f.

x f(x)= x-3

-5 -8

-4 -7

-3 -6

Se observamos que el gráfico de esta función da un “salto”. El trazo de la gráfica de esta

función no es continuo.

El conjunto imagen es: Im , 5 [ 3, )f

x f(x)=2x+1

-2 -3

-1 -1

0 1


25

La función es creciente pues lo son las funciones que la definen. No tiene máximo pero sí un

mínimo relativo en x=-2.

Tiene una raíz en 1

2x y ordenada al origen 1y

Considerando la raíz se definen los siguientes conjuntos:

1,

2

1,

2

C

C

Actividad 7:




a) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 1 , 𝑥 < −3

𝑥 − 4 , −3 ≤ 𝑥 < 53 , 𝑥 ≥ 5

b) 𝑓(𝑥) = {

−5 , 𝑥 < −34 , −3 ≤ 𝑥 ≤ 1

−1 , 1 < 𝑥 < 52 , 𝑥 ≥ 5

Funciones trascendentes

Funciones exponenciales5

Una función exponencial se define por: ( ) xf x a siendo 0a y 1a .

Esta función tiene las siguientes características:

fDom

Im f

(al ser la base de la positiva todas sus potencias también lo son)

La ordenada al origen es 1y pues 0(0) 1f a

No tiene raíces ya que cero no pertenece al conjunto imagen.

La función tiene asíntota horizontal 0y



26

La función es creciente si 1a y es decreciente si 0 1a .

Su conjunto de positividad coincide con el dominio pues todos los valores tienen imágenes

positivas.

Por ejemplo: ( ) 2xf x

Su gráfica es:

Otro ejemplo: 1

( )3

x

f x

fDom

Im f

Ordenada al origen 1y

: 0AH y

Por estar la base comprendida entre 0 y 1 la función es decreciente. No tiene extremos.

Su gráfico aproximado es:


27

Actividad 8:




3

) ( ) 2

) ( ) 2

x

x

a f x

b f x

Función logarítmica6

La función logarítmica responde a la forma: ( ) logaf x x

Esta función está definida por la operación inversa de la función exponencial, por lo tanto, la

base del logaritmo es la base de la potencia, el argumento del logaritmo es una potencia de la

base a , entonces el logaritmo es el exponente de la potencia.

Por lo anterior, en la función ( ) logaf x x , la base del logaritmo debe ser mayor que cero y

distinta de uno.

El dominio es el conjunto de reales positivos y su conjunto imagen es el conjunto de números

reales.

No tiene ordenada al origen ya que cero no pertenece al dominio. Tiene raíz pues log 1 0a

pues 0 1a siendo ésta 1x

La función es creciente si 1a y decreciente si 0 1a .

Tiene asíntota vertical x=0 (el valor que no pertenece al dominio)

Sea por ejemplo: 2( ) logf x x

El grafico aproximado de la función es:



28

1,

0,1

C

C

Es estrictamente creciente pues la base es mayor que 1, por lo tanto no tiene extremos.

Actividad 9:




1

2

) ( ) log ( 3)

b) f(x) log 2

a f x x

x

Funciones trigonométricas

Función f(x) = sen(x)

Construyendo una tabla de valores, mediante el uso de una calculadora configurada en RAD,

se puede obtener las coordenadas de los puntos que permiten trazar la siguiente gráfica,

aunque en la actualidad se puede realizar el mismo utilizando un programa graficador de

funciones:

El gráfico corresponde a la función ( ) ( )f x sen x .


29

La función se encuentra acotada dentro de la banda que limitan las rectas de ecuaciones y=1

e y= -1

En el gráfico se observa que existen valores diferentes del dominio con el mismo valor para el

seno. Esto produce la forma ondulada de la curva. La curva que resulta se llama sinusoide.

El Dominio de f(x) es: fDom

La Imagen de f(x) es: Im 1,1f

Además la curva repite una y otra vez, la forma que se observa desde x=0 hasta x=2π, esto

significa que es periódica, y que su período es 2π.

Por otro lado se observa que f(x) = sen (x) no presenta discontinuidades.

La función tiene infinitas raíces de la forma x k con k

Función g(x) = cos(x)

La representación gráfica de esta función es muy parecida a la de la función anterior, la curva

se llama cosinusoide.

La función se encuentra acotada dentro de la banda que limitan las rectas de ecuaciones y=1

e y= -1

El Dominio de f(x) es: fDom

La Imagen de f(x) es: Im 1,1f

Además la curva repite una y otra vez, la forma que se observa desde x=0 hasta x=2π, esto

significa que es periódica, y que su período es 2π.


30

Por otro lado f(x) = cos(x) no presenta discontinuidades.

La función tiene infinitas raíces de la forma 2

x k

con k y k impar.

Función h(x) = tg(x)

El gráfico de esta función puede construirse a partir de las funciones sen(x) y cos(x)

recordando que:

cos(x)

sen(x)tg(x)

Luego los valores de la tangente de un número pueden obtenerse dividiendo el valor del seno

del número por el del coseno del mismo número. Esta función no estará definida para los

valores de x que anulan al coseno existiendo asíntotas y por lo tanto su tramo no es continuo.

Su gráfico es:

Las asíntotas verticales tienen ecuación:

2

πkx donde k es un número entero impar

Todo esto quiere decir que h(x)=tg(x) es una función en la que la Imagen es el conjunto de los

números reales, pero el dominio excluye todos los 2

πkx donde k es un número entero

impar.


31

A continuación se presentan los gráficos de las funciones secante, cosecante y cotangente.

Queda a cargo del lector efectuar el análisis de las mismas.**

J(x)= sec (x)

M(x)= cosec (x)

N(x) = ctg (x)

**Para ampliar y/o profundizar sobre el tema, puede consultar en la bibliografía obligatoria Stewart, J. y Otros.

(2007). Capítulo 5, págs. 418-440


32

Otros tipos de funciones

Función valor absoluto

El valor absoluto de un número es la distancia entre éste y el cero. Si se hace corresponder a

cada número real su valor absoluto se tiene la función: ( )f x x

Otra forma de definir la función módulo es: si x 0

( ) si x<0

xf x

x


El domino es el conjunto de números reales. El conjunto imagen es el de los reales positivos

con el cero.

La ordenada al origen es y=0 y la raíz es x=0.

Crece y decrece por intervalos:

IC= (0,+∞)

ID=(-∞,0)

Tiene mínimo absoluto en x=0. No tiene máximo.

Actividad 10:




) ( ) 2 1

) ( ) 2

a f x x

b f x x


33

Función signo

La función signo asigna a cada número real su signo. Su definición es: ( )x

f xx

El dominio de esta función es: 0fDom

El conjunto imagen es: Im 1;1f

Otra forma de definir esta función es: 1 si x>0

( ) 1 si x<0

f x


Como cero no pertenece al domino la función no tiene ordenada al origen.

Como cero no pertenece a la imagen la función no tiene raíces.

Esta función es constante por tramos (no crece ni decrece).

0,

,0

C

C


34

Práctica del capítulo 1

1°) Hallar el dominio de las siguientes funciones:

2

2

) ( ) 1

1) ( )

3 6

) ( ) 2 5

) ( )2 1

a f x x

b f xx

c f x x

xd f x

x x

2°) Hallar el dominio, la imagen, las intersecciones con los ejes coordenados, de las

siguientes funciones. Realizar un gráfico aproximado.

2

2

) ( ) 25

si x 0

) ( ) 9 si 0<x 3

3 si x>3

) ( ) 2

3 1) ( )

5

a f x x

x

b f x x

x

c f x x

xd f x

x

3°) Analizar y construir el gráfico aproximado de las siguientes funciones:

Nota: Analizar una función consiste en hallar su dominio, imagen, ordenada al origen, raíces,

crecimiento, decrecimiento, conjunto de positividad, conjunto de negatividad, extremos

relativos y/o absolutos, asíntotas verticales y/o horizontales si existen.


35

3 2

5 4 3 2

2

2

1

) ( ) 6 12 8

) ( ) 3 14 14 36 43 10

1) ( )

4

9) ( )

) ( ) 5 4x

a f x x x x

b f x x x x x x

xc f x

x

xd f x

x

e f x

2

3

1) ( ) 4

2

) ( ) log 4

) ( ) log 1 2

x

f f x

g f x x

h f x x

25

32

2

) ( ) 3 1

) ( ) 4

) ( ) 3 ( )

) ( ) ( )

1) f(x) 1

5

) ( ) 3 1

3 si x -3

) ( ) 2 si -3<x<1

1 si x 1

1 si x<8) ( )

2 3 si x 8

x

i f x x

j f x x

k f x sen x

l f x sen x

m x

n f x x

x

ñ f x

x

xo f x

x


36

Capítulo 2

Límite y continuidad

En el capítulo anterior se han graficado y analizado distintos tipos de funciones. En este

capítulo se ampliará el estudio de las funciones analizando el comportamiento de las imágenes

cuando los valores del dominio se encuentran muy cerca de alguno de ellos y se

reconceptualizarán otros a través del concepto de límite de una función que se introduce a

continuación.

Límite

Definición intuitiva del límite de una función en un punto

Ejemplo 1: Sea f(x) = 2 .(x+2).(x-3)

La representación gráfica de esta función es una parábola. La función está escrita en forma

factorizada.

La forma en la que esta función está escrita nos permite advertir que las raíces son (-2;0) y

(3;0)

El coeficiente principal es 2. Esto significa que la parábola tiene concavidad positiva.

El eje de simetría tiene es la recta vertical de ecuación x= 0,5 . El vértice es el punto V=(0,5;

-12,5)

Finalmente si x=0 obtenemos la ordenada al origen es decir el punto de intersección de la

gráfica de f(x) con el eje “y”: f(0) = -12

Con toda esta información podemos trazar el gráfico aproximado de f(x)

Si los valores de x se acercasen tanto como se quiera a 2, cómo se comportarían los valores

de la imagen?


37

Se evalúa a través de una tabla lo que sucede con las imágenes cuando los valores del dominio

se acercan a 2 por la derecha y cuando se acercan a 2 por la izquierda.

La expresión 2x se lee “x tiende a 2 por la derecha”.

La expresión 2x se lee “x tiende a 2 por la izquierda”.

Tanto por derecha como por izquierda las imágenesse acercan a f(x)= -8

Es decir:

Cuando sucede esto se dice que:

EL LIMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A 2 ES -8

x f(x)

2,1 -7,38

2,01 -7,94

2,001 -7,99

x f(x)

1,9 -8,58

1,99 -8,06

1,999 -8,01

CUANDO x TIENDE (se acerca) A 2 POR LA IZQUIERDA, f(x) (se acerca) TIENDE A -8

CUANDO x TIENDE A 2 POR LA DERECHA, f(x) TIENDE A -8

2x

( ) 8f x

2x

( ) 8f x


38

Simbólicamente lo anterior se escribe:

2

( ) 8xlím f x

Límite lateral por derecha

2

( ) 8xlím f x

Límite lateral por izquierda

Al ser los límites laterales iguales entonces existe el límite de la función cuando x tiende a 2 y

se escribe:

2( ) 8

xlím f x

El límite de una función si existe es un número real.

La definición intuitiva de límite de una función es:

Según esta definición x tiende a x0 tanto como se quiera pero no se hace igual a x0. Por lo

tanto no importa si x0 es un valor del dominio de la función.

Si se reempla en la función x por 2 se obtiene por imagen -8. Entonces el valor del límite

coincide con el valor de la imagen para x=2 (2 pertenece al dominio de la función).

En este caso puede procederse a reemplazar la x por 2 para el cálculo del límite, es decir:

2

2

2

2. 2 . 3 2. 2 2 . 2 3

2. 2 . 3 2.4.( 1)

2. 2 . 3 8

x

x

x

lím x x

lím x x

lím x x

Ejemplo 2:

Sea

13 si x<2

( ) 2

5 six 2

xf x

El dominio de esta función es el conjunto de números reales.

Su gráfico es:

El límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor x0 es un número real L, tal

que, f(x) tiende a L cuando x toma valores cada vez más próximos a x0.

En símbolos: 0

( )x xlím f x L


39

Cuando se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a 5.

2 2

( ) 5 5x xlím f x lím

Cuando x se acerca a 2 por la izquierda f(x) se acerca a 4

2 2

1( ) 3 4

2x x

lím f x lím x

Los límites laterales son diferentes por lo tanto no existe límite de la función cuando x tiende

a 2.

22 2

( ) ( ) ( )xx x

lím f x lím f x lím f x

Ejemplo 3: Sea 2 4

( )2

xf x

x

El dominio de esta función es: 2fDom

El gráfico de esta función es:


40

Como la función no está definida para x= -2 no se puede reemplazar para hallar el valor del

límite. Por lo tanto se construye una tabla para observar el comportamiento de la imagen

cuando x tiende a -2 por derecha y por izquierda.

x f(x)

x f(x)

-2,1 -4,10

-1,9 -3,90

-2,01 -4,01

-1,99 -3,99

2

( ) 4

x

f x

2

( ) 4

x

f x

22 2

( ) ( ) ( ) 4xx x

lím f x lím f x lím f x

La función 2 4

( )2

xf x

x

es una función racional con dominio 2 cuya gráfica

coincide con la función lineal ( ) 2f x x cuyo dominio es cuando x tiende a -2 . Las

imágenes de estas funciones tienen comportamientos similares cuando x se mantiene muy

próximo a -2, por lo cual son equivalentes en el límite.

Actividad 1

Calcular los siguientes límites:


41

0,1

3

3

3

) log

1)

2

2)

1

x

x

x

a lím x

b lím x

c límx

Propiedades de los límites7

Se aceptarán sin demostración las siguientes propiedades (para una demostración de cada una

de ellas se sugiere al lector consultar la bibliografía)

Sea c y la existencia de los siguientes límites: ( )x alím f x

y g( )x alím x

entonces se cumple:

1) Límite de la suma de funciones: ( ) ( ) ( ) (x)x a x a x alím f x g x lím f x lím g

2) Límite de la diferencia de funciones: ( ) ( ) ( ) (x)x a x a x alím f x g x lím f x lím g

3) Límite de una constante por una función: . ( ) . ( )x a x alím c f x c lím f x

4) Límite de un producto de funciones: f( ).g(x) ( ). ( )x a x a x alím x lím f x lím g x

5) Límite del cociente de funciones: ( )f( )

siendo ( ) 0g(x) ( )

x a

x a x a

x a

lím f xxlím lím g x

lím g x

6) Límite de una potencia: ( ) ( )n

n

x a x alím f x lím f x

7) Límite de una raíz: ( ) ( )n nx a x alím f x lím f x

8) ( ) ( )( ) ( )g x límg xlímf x límf x

Actividad 2

Calcular los siguientes límites aplicando las propiedades:

3

2

2

1

2

8

) log 8 7

2)

2 log

1 1)

4 2

x

x

x

x

a lím x x

x xb lím

x

c lím x x

6. Stewart, J. y Otros. (2007). Capítulo 12, pág. 891


42

Límites infinitos, límites cuando x y asíntotas de una función

En el análisis del comportamiento de una función cuando la variable x tiene a cierto valor real

se han dado dos situaciones:

a) / ( ) Lx a

L lím f x

b) ∄ / ( )x a

L lím f x L

pues:

1 1/ ( )x a

L lím f x L

y 2 2/ ( )

x aL lím f x L

siendo 1 2L L

A continuación se mostrará que existen otro comportamiento de una función cuando x tiende

a un número real.

Sea la función racional ya analizada 1

( )f xx

El dominio es 0 y se quiere analizar el comportamiento de la función para valores muy

cercanos a 0.

Su gráfico es como ya se ha visto es:

Interesa entonces calcular 0

1

xlím

x

Para calcular el límite cuando x tiende a 0 no puede reemplazarse la x por dicho valor ya

que no está definida la división por este número por ello se construyen dos tablas de valores,

una para valores muy cercanos a 0 por derecha y otra para valores muy cercanos por

izquierda.

x f(x)

x f(x)

0,01 100

-0,01 -100

0,001 1000

-0,001 -1000

0,0001 10000

-0,0001 -10000

0x 0x

( )f x ( )f x


43

Las imágenes crecen o decrecen sin cota para valores muy próximos a cero por lo tanto la

función no tiene límite para x tendiendo a 0: ∄0

1

xlím

x

. En general se dice que la función

crece indefinidamente en valor absoluto cuando x tiende a cero.

Esto puede verse en el gráfico:

Este comportamiento de la función puede escribirse: 0

1

xlím

x

En el capítulo 1 se ha visto que esta función tiene asíntota vertical en x=0 puesto que este

valor no pertenece al dominio 0 , a partir de ahora puede darse la siguiente definición

de asíntota vertical utilizando límite:

Importante:

Una función ( )f x tiene asíntota vertical en x a si ( )x alím f x

La expresión 0

1 1

0xlím

x es incorrecta, ya que al hacer el reemplazo se está demostrando que la división

puede hacerse y que por resultado se obtiene una expresión que además no es numérica. El límite para x=0 no

existe (el límite de una función es siempre un número real).

Para mostrar el comportamiento de las imágenes de la función para valores muy cercanos a 0 es conveniente

que se elabore una pequeña tabla y se calculen las imágenes para dejar en evidencia cómo crecen sus valores

en valor absoluto. De ahí que se concluya que el límite tiende a infinito, y para hacer más sencilla la escritura

de esta conclusión se adopta el uso de la expresión “igual” a . Se debe tener en cuenta que no es un

número, solo indica un comportamiento de los valores que adoptan las imágenes de una función.


44

Siguiendo con el análisis de los comportamientos de las imágenes de la función 1

( )f xx

se

plantea observar qué sucede cuando x crece indefinidamente es decir cuando x , para

ello se calcula el 1

xlím

x

. Como no es un número no puede hacerse el reemplazo para

hallar dicho valor, entonces se construyen sendas tablas para ver qué ocurre con la función

cuando x crece a la derecha y cuando x decrece a la izquierda indefinidamente:

x f(x)

x f(x)

100 0,01

-100 -0,01

1000 0,001

-1000 -0,001

1000000 0,000001

-1000000 -0,000001

x x

( ) 0f x ( ) 0f x

Las imágenes se acercan por derecha y por izquierda a cero cuando x crece indefinidamente

en valor absoluto. Este comportamiento se muestra en el siguiente gráfico:

Este comportamiento puede escribirse: 1

0xlím

x

En el capítulo 1 se ha visto que esta función tiene asíntota horizontal en y=0 puesto que este

valor no pertenece a la imagen ( )f x , a partir de ahora puede darse la siguiente

definición de asíntota horizontal utilizando límite:

Una función x a tiene asíntota horizontal en y a si ( )xlím f x a


45

Importante:

A continuación se analizará otro caso de límite cuando x tiende a infinito.

Sea por ejemplo la función 4 2( ) 2 5 3f x x x y se pide calcular 4 2(2 5 3)xlím x x

Para calcular este límite se usará la conclusión 1

0xlím

x . Para ello se realizará el siguiente

procedimiento:

Expresaremos al polinomio como un producto entre el término de grado mayor y la expresión

que se obtiene dividiendo término a término del polinomio original por este término:

4 2

4 2 4

4 4 4

2 5 32 5 3 2

2 2 2x x

x xlím x x lím x

x x x

Simplificamos dentro del paréntesis:

4 2 4

2 4

5 32 5 3 2 1

2 2x xlím x x lím x

x x

El límite de un producto de funciones es el producto entre los límites de las funciones dadas,

por lo tanto, podemos escribir:

4 2 4

2 4

5 32 5 3 2 . 1

2 2x x xlím x x lím x lím

x x

El límite de una suma de funciones es la suma de los límites de cada una de ellas, entonces

escribimos:

4 2 4

2 4

5 32 5 3 2 . 1

2 2x x x x xlím x x lím x lím lím lím

x x

El límite de una constante es la misma constante. Además, para calcular el valor de los otros

dos límites usamos lo hallado para la función 1

x, por lo que el límite de cada una de las

fracciones del interior del paréntesis se acercan tanto a cero que podemos afirmar que estos

límites valen cero.

Recordar que no es un número (muestra un comportamiento) y por lo tanto la expresión 1

0

es incorrecta, ya

que al hacer el reemplazo se está demostrando que se puede hacer la división por algo que no es número.

Para mostrar el comportamiento de las imágenes de la función para valores que crecen o decrecen tanto como se

quiere, es conveniente elaborar una pequeña tabla y calcular las imágenes para dejar en evidencia que sus valores se

acercan a 0. De ahí que se escriba que el límite es igual a 0.


46

Por lo anterior escribimos:

4 2 42 5 3 2 . 1 0 0x xlím x x lím x

4 2 4

4 2 4

2 5 3 2 .1

2 5 3 2

x x

x x

lím x x lím x

lím x x lím x

Para cualquiera de los valores de x tendiendo a sus potencias resultan ser positivas por

tener exponente par. Entonces los valores que obtenemos tienden a , por lo que

concluimos que:

4 22 5 3xlím x x

Entonces podría haberse escrito directamente:

4 2 4

4 2

2 5 3 2

2 5 3

x x

x

lím x x lím x

lím x x

Actividad 3:

Utilizando límites hallar las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones si

existen:

2

2

) ( ) 2 3 4

2 1) ( )

3 9

5) ( ) 2

a f x x x

xb f x

x

c f xx

Límites indeterminados

En el apartado anterior se han aplicado las propiedades de los límites al calcular el límite de

una función polinómica. En ocaciones aplicar estas propiedades lleva a situaciones

indeterminadas por lo que el límite no puede calcularse a partir de las funciones dadas.

Ejemplo1: Sea 2 1

( )1

xf x

x

el dominio de esta función es 1 . Interesa analizar el

comportamiento de la función cuando x tiende a 1, es decir, calcular el 2

1

1

1x

xlím

x

Como vemos el valor del límite de una función polinómica depende del término de

mayor grado del polinomio dado.


47

Al no pertenecer 1 al dominio de la función no puede reemplazarse por este valor para

calcular el límite. Utilizando la propiedad del límite del cociente entre funciones puede

escribirse:

22

1

1

1

( 1)1

1 ( 1)

x

x

x

lím xxlím

x lím x

las funciones de los límites del numerador y del denominador sí están definidas para x=1 y

por lo tanto puede hacerse el reemplazo para calcular los respectivos límites:

2 2

1

1 1 1

1 1 1x

xlím

x

2

1

1 0

1 0x

xlím

x

La expresión 0

0 es una indeterminación (no tiene sentido aritmético). Si se construye el

gráfico se observa que el límite existe:

La función que se encuentra en el numerador es una diferencia de cuadrados y puede

escribirse:

2

1 1

1 ( 1).( 1)

1 1x x

x x xlím lím

x x

Como en el límite x nunca vale 1 sino que se acerca a él 1x nunca vale cero, entonces

puede simplificarse:

2

1 1

1 ( 1).( 1)

1 1x x

x x xlím lím

x x

2

1 1

1( 1)

1x x

xlím lím x

x


48

En el límite las imágenes de 2 1

1

x

x

y ( 1)x se comportan de la misma forma, entonces:

2

1 1

1( 1) 1 1 2

1x x

xlím lím x

x

El límite buscado es 2

1

12

1x

xlím

x

Se ha salvado la indeterminación del tipo 0

0 usando la factorización de polinomios.

Ejemplo 2: Sea 2

4 1( )

25

xf x

x

. Esta función no está definida para 5x . Interesa analizar

el comportamiento de la función cuando x tiende a 5.

5

2 25

5

4 14 1

25 ( 25)

x

x

x

lím xxlím

x lím x

2 25

5 4 14 1

25 (5 25)x

xlím

x

25

1 14 1

(25 25)25x

xlím

x

25

4 1 0

025x

xlím

x

Se ha llegado a una indeterminación. Para salvarla no se puede aplicar la factorización de

polinomios ya que la función del numerador no es un polinomio, en ella aparece una raíz. En

estos casos multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada de la función

en la que aparece la raíz:

2 25 5

4 14 1 ( 4 1).

25 ( 25) 4 1x x

xx xlím lím

x x x

En el numerador se obtiene una diferencia de cuadrados al igual que aparece otra en el

denominador:

22

25 5

4 14 1

25 5 . 5 . 4 1x x

xxlím lím

x x x x


49

25 5

4 1 4 1

25 5 . 5 . 4 1x x

x xlím lím

x x x x

25 5

4 1 5

25 5 . 5 . 4 1x x

x xlím lím

x x x x

25 5

4 1 5

25 5 . 5 . 4 1x x

x xlím lím

x x x x

25 5

4 1 1

25 5 . 4 1x x

xlím lím

x x x

Se obtiene una función equivalente en el límite cuyo denominador es distinto de cero cuando

x tiende a cinco, reemplazando:

25

4 1 1

25 5 5 . 5 4 1x

xlím

x

25

4 1 1

25 10. 1 1x

xlím

x

25

4 1 1

10.225x

xlím

x

25

4 1 1

2025x

xlím

x

Ejemplo 3: Sea ( )

( )sen x

f xx

cuando x tiende a cero se llega a una indeterminación del

límite del tipo 0

0. Se aceptará sin demostrar que

0

( )1

x

sen xlím

x

Utilizaremos esta igualdad para calcular 0

(5 )

x

sen xlím

x

Para aplicar la equivalencia anterior el argumento de la función seno debe ser igual al

denominador de la fracción. Para transformar el denominador multiplicamos numerador y

denominador por 5:

0 0

(5 ) (5 ) 5.5x x

sen x sen xlím lím

x x


50

0 0

(5 ) 5. (5 )

5x x

sen x sen xlím lím

x x

Por propiedad del límite del producto:

0 0 0

(5 ) (5 )5.

5x x x

sen x sen xlím lím lím

x x

1

0 0

(5 )5

x x

sen xlím lím

x

Y como el límite de una constante es la misma constante:

0

(5 )5

x

sen xlím

x

Ejemplo 4: Sea la función 2

3

2( )

x xf x

x

. La función está definida como cociente entre

polinomios. Se pide hallar 2

3

2

x

x xlím

x

Aplicando la propiedad del límite del cociente se llega a:

22

3 3

22 x

x

x

lím x xx xlím

x lím x

Se ha visto que el límite de una función polinómica cuando x tiende a infinito tiende a

infinito, entonces:

2

3

2

x

x xlím

x

Se llega a una expresión indeterminada del tipo

. Para salvar esta indeterminación del

límite se procede de la siguiente forma:

2

2 2 2

3 3

2 2

3 3

2

3 1

2

3

2. 1

2

2

2 1

20

x x

x x

x x

x

xx

x x x xlím lím

x x

x x xlím lím

x x

x xlím lím

x x

x xlím

x

Observar que el grado del polinomio

numerador es menor que el grado del

polinomio denominador, de ahí que el

límite valga 0.


51

Ejemplo 5: Sea 5 3

4 2

3 4 1( )

4

x x xf x

x x x

. Se pide hallar

5 3

4 2

3 4 1

4x

x x xlím

x x x

Según lo visto anteriormente:

5 3 5

4 2 4

5 3

4 2

5 3

4 2

3 4 1 3

4

3 4 13

4

3 4 1

4

x x

x x

x

x x x xlím lím

x x x x

x x xlím lím x

x x x

x x xlím

x x x

Ejemplo 6: Sea 4

4

4 3 5( )

5 3

x xf x

x x

, se pide hallar

4

4

4 3 5

5 3x

x xlím

x x

Se procede como en el ejemplo anterior:

4 2 4

4 4

4 2

4

4 2

4

4 3 5 4

5 3 5

4 3 5 4

55 3

4 3 5 4

55 3

x x

x x

x

x x xlím lím

x x x

x xlím lím

x x

x xlím

x x

Actividad 4


5 2

6 3 2

3

2

5

3 2

3

a)

8 4 5 2b)

3 4 5

9 2 3c)

3 5

2 2d)

7 3 5

x

x

x

x

lím x x x

x x xlím

x x

x xlím

x

x x xlím

x x

Observar que el grado del polinomio

numerador es mayor que el grado del

polinomio denominador, de ahí que el límite

sea según si el grado es par o impar.

Observemos que el grado del polinomio numerador es

igual que el grado del polinomio denominador, de ahí

que el límite sea igual al cociente entre los coeficientes

principales de los respectivos polinomios.


52

2

28

2

1

0

0

2 10 48)

3 9 120

4 12 8)

3 10

( ))

3

( ))

x

x

x

x

x xe lím

x x

x xf lím

x

sen xg lím

x

tg xh lím

x

Asíntota oblicua

Para hallar la ecuación de la asíntota oblicua se debe calcular la pendiente m y la ordenada al

origen b .

Los siguientes límites permiten su cálculo:

( )

x

f xlím m

x y ( )

xlím f x mx b

Sea la función 2 12

(x)4

x xf

x

. Esta función posee asíntota vertical y no posee asíntota

horizontal (el lector puede verificar esta aseveración) se pide encontrar la existencia de

asíntota oblicua.

Se hallan los parámetros m y b :

( )

x

f xm lím

x

La recta y mx b es asíntota oblicua de ( )f x si la diferencia

( )f x mx b tiende a cero cuando x tiende a infinito.


53

2

2

2

2

2

2

12

4

12

( 4).

12

4

1 1

x

x

x

x

x

x x

xm límx

x xm lím

x x

x xm lím

x x

xm lím

x

m lím m

2

2

2 2

12

4

12 .( 4)

4

12 4

4

5 12

4

5

5 5

x

x

x

x

x

x

x xb lím x

x

x x x xb lím

x

x x x xb lím

x

xb lím

x

xb lím

x

b lím b

La ecuación de la recta que es asíntota oblicua de la función es:

1. 5

5

y x

y x

Observación: si una función tiene asíntota vertical puede tener

también asíntota horizontal u oblicua, pero no ambas.


54

Actividad 5

Hallar la asíntota oblicua de las siguientes funciones:

2

2

3

2

2) ( )

5

4) ( )

5

2) ( )

2 1

xa f x

x

xb f x

x

xc f x

x

Continuidad

Una función es continua en un punto si se cumple que:

1) ( ) Existencia de imagen

2) ( ) Existencia de límite (L )

3) ( ) ( ) Imagen y límite coinciden

x a

x a

f a

lím f x L

f a lím f x

Si no se cumple por lo menos una de las condiciones anteriores la función es discontinua.

Ejemplo 1: Estudiar la continuidad de ( ) 2 3f x x en x= -5

5

5

1) ( 5) 2.( 5) 3 10 3 13

2) ( 2 3) 2.( 5) 3 13

3) ( 5) ( )

x

x

f

lím x

f lím f x

Se cumplen las tres condiciones entonces la función es continua en x= -5. La función dada es

una función de trazo continuo.


55

Ejemplo 2: Sea 𝑓(𝑥) = {𝑥3 − 2, 𝑥 < 0

𝑥2 − 2, 𝑥 > 0

Esta función está definida por partes. Interesa analizar la continuidad en x= 0, extremo de los

subdominios de la función. La gráfica de esta función es:

Se observa que la gráfica de la función no es de trazo continuo. El punto (0,2) no pertenece a

la gráfica de la función ya que el valor 0 no pertenece al dominio de f(x), por lo tanto -2 no

pertenece al conjunto imagen de f(x). Por lo tanto no existe f(0).

Se pasa entonces a verificar si se cumple la segunda condición (si existe límite cuando x

tiende a 0).

Calculamos los límites laterales:

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = −2

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = −2

Ambos límites coinciden, entonces:

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = −2

La función es dicontinua pues no existe la imagen de cero. Pero la existencia de límite

significa que para valores muy cercanos a cero las imágenes se mantienen muy cercanas a -2.

Este tipo de discontinuidad se llama evitable, ya que existe límite cuando tiende a 0 aunque

no la imagen.

Ejemplo 3: Sea 2 , 1

( ) 2, 1

x xf x

x x

f(x)=x3-2

f(x)=x2-2


56

Esta función está definida por partes. Interesa analizar la continuidad en x= 1, extremo de los

subdominios de la función. La gráfica de esta función es:

Se observa que la gráfica de la función “salta” en x=1.

Para hallar la imagen de x= 1 se utiliza la primera fila de la definición de la función, ya que es

ahí donde se da la igualdad (para el cálculo de la imagen el valor de x debe ser exactamente el

valor pedido):

2(1) 1 1f existe la imagen. Al cumplirse la primera condición debe analizarse si se

cumple la segunda.

Al ser x= 1 un valor extremo de los intervalos en que queda dividido el dominio se deben

calcular los límites laterales:

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = 3

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = 1

Los límites laterales son diferentes, entonces, ∄ lim𝑥→1 𝑓(𝑥)

Por no existir límite en x = 1 la función es discontinua en dicho valor y no es necesario

verificar la tercera condición.

Por NO EXISTIR LÍMITE DE LA FUNCIÓN, se dice que la función tiene una

DISCONTINUIDAD ESENCIAL.

Ejemplo 4: Sea 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑥 < 0

−𝑥 + 1, 𝑥 > 0 2, 𝑥 = 0

se pide analizar la continuidad en x= 0


57

La gráfica de la función es:

Se sabe que f(0) = 2 por definición de la función.

Se calculan los límites laterales cuando x tiende a 0:

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = 1

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = 1

Ambos son iguales, entonces:

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 1

Al cumplirse la primera y la segunda condición se debe verificar la tercera. Pero resulta que

la imagen y el límite no coinciden, es decir, f(0) ≠ lim𝑥→0 𝑓(𝑥), entonces f(x) es discontinua

en x=0.

Ejemplo 5: Sea 𝑓(𝑥) = {

52

5 𝑥+3

𝑥2 + 3

, 𝑥 > 5, 0 ≤ 𝑥 ≤ 5

, 𝑥 < 0

Se pide analizar la continuidad en los valores que son extremos de los intervalos en que se

partió el dominio de la función.

El gráfico de la función es:

f(x)=2

f(x)=-x+1 f(x)=x+1


58

La gráfica de la función no presenta discontinuidades.

Para x=0:

1) f(0) = 2

5 . 0 + 3

f(0) = 0 + 3

f(0) = 3

2) cálculo de límites:

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = 3

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = 3

Ambos coinciden, entonces: lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 3

3) f(0) = lim𝑥→0 𝑓(𝑥)

f(x) es CONTINUA en x= 0.

Para x = 5.

1) Calcular f(5):

f(5) = 5

2) Calcular los límites laterales:

lim𝑥→5−

𝑓(𝑥) = 5

lim𝑥→5+

𝑓(𝑥) = 5

3) Ambos coinciden, entonces:

f(x)= 2

5x+3

f(x) = 5

f(x)=x2+3


59

lim𝑥→5

𝑓(𝑥) = 5

f(x) es CONTINUA en x = 5.

En este ejemplo se tiene una función definida por partes cuya gráfica no presenta

discontinuidades en ningún valor de su dominio. Existe imagen y límite para todos los

valores del dominio, incluso en los extremos de cada uno de los subdominios y ambos

coinciden. Es decir, esta función analizada resulta ser continua en todo su dominio.

Se ha llegado a ver con los ejemplos propuestos que:

Una función por partes es DISCONTINUA en alguno de los extremos de sus

subdominios, si no existe límite, o no existe imagen, o porque ambos no coinciden.

Una función por partes es CONTINUA en alguno de los extremos de sus subdominios,

si existe imagen y límite en ellos y ambos coinciden.

Utilizando el concepto de continuidad se vuelve al Teorema del valor medio y al de Bolzano-

Weierstrass visto en el capítulo anterior. En ellos se hablaba de funciones de trazos continuos,

a partir del concepto de continuidad estos teoremas se enuncian de la siguiente manera:

Teorema del valor medio de Cauchy

Si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b] y f(a) f(b), entonces para todo c que se

encuentre entre f(a) y f(b) existe un valor x [a,b] tal que f(x)=c.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Si una función f(x) es continua en un intervalo I y existen a y b pertenecientes a él, tales que

f(a)>0 y f(b)<0 entonces existe por lo menos un valor c I tal que f(c)=0.

Corolario: Entre dos raíces consecutivas de una función continua, la función no cambia de

signo. Es decir es toda positiva o toda negativa.

Actividad 6

Analizar si las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados:

2

1) ( ) en x=3

3

1b)f(x)= en x= -1

1

c) f(x)=log(x) en x= 1

a f xx

x

x


60


1) Calcular los siguientes límites:

2)

1

12lim

2

1 x

xx

x

3)

)2)(1(

12lim

2

1 xx

xx

x

4)

2

23

1 )1(

133lim

x

xxx

x

5)

1

133lim

23

1 x

xxx

x

6)

4

16lim

2

4

2 x

x

x

7)

2

4lim

3

6

23 x

x

x

8)

32

642lim

2

23

1 xx

xxx

x

9)

32

642lim

2

23

3 xx

xxx

x

10)

3

652lim

23

3 x

xxx

x

11)

2

652lim

23

2 x

xxx

x

12)

34

652lim

2

23

1 xx

xxx

x

13) 2

3

4 3lim

( 1)( 3)x

x x

x x

14) 3 2

1

2 6 3 1lim

( 1)x

x x x

x

15) 3 2

2

2 5 6lim

( 2)x

x x x

x

16) 3 2

22

2 5 2lim

2 6 4x

x x x

x x

17) 3 2

43

2 12 22 12lim

81x

x x x

x


61

18)

5 4 3 2

1 3 2

1 152 12 2

2 2lim1 1

2 32 2

x

x x x x x

x x x

19)

5 4 3 2

21

12 5 14 12 24

2lim4x

x x x x x

x

2) Encontrar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes

funciones, mediante el cálculo de límites:

a) 1x

1f(x)

b) 4x

1f(x)

c) 25x

1f(x)

d) 35x

1f(x)

e) 2x

3xf(x)

f) 2x

1xf(x)

3) Calcular los siguientes límites:

25

24

26

2

2

2

3

0

0

5)

25

2 2)

16

2 2)

36

8 5 9)

3 9 2

7)

2 9 7

24 46)

7 38

(4 ))

( ))

( ) 2

x

x

x

x

x

x

x

x

xa lím

x

xb lím

x

xc lím

x

x xd lím

x x

e límx x

xf lím

x

sen xg lím

x

x tg xh lím

sen x x


62

4) Hallar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones:

2

2

2

9) ( )

81

5 3) ( )

3

2 4) ( )

3 2

3 2) ( )

2

xa f x

x

xb f x

x

xc f x

x x

x xd f x

x

5) Analizar la continuidad de las siguientes funciones en x0= 1 y en x0 = 3. Clasificar la

discontinuidad si existiese.

2

2

2 3) ( )

1

2 1 si x 1) ( )

1 si x > 1

2 si x 3

1) ( )

2 si x > 3

1

3) ( )

4 3

xa f x

x

xb f x

x

x

xc f x

x

xd f x

x x


63

Capítulo 3

Derivadas

Definición de la derivada de una función8

Sea ( )y f x una función definida en cierto intervalo. A cada valor de x en el intervalo

corresponde un valor determinado de la función ( )y f x .

Admitamos además que existe en dicho intervalo otro valor x x . Entonces, la función y

tomará cierto incremento y , de modo tal que y y ( )f x x .

Entonces, el valor del incremento de la función es:

y ( ) y

y ( ) ( )

f x x

f x x f x

El incremento según y depende del incremento según x . Esto se expresa mediante la razón:

y

x

Por lo tanto: y ( ) ( )f x x f x

x x

Cuando x se hace cada vez más pequeño en valor absoluto ( 0x ) obtenemos el valor

límite del cociente formado por los incrementos dados. Si este límite existe, recibe el nombre

de derivada de la función ( )f x y se designa por (́ )f x :

Observemos que a cada valor de x le corresponde un valor determinado de la derivada '( )f x ,

es decir, la derivada '( )f x es también función de x.

Ejemplo 1: Sea 2( )f x x , hallaremos '( )f x para:

a) Un valor cualquiera x,

b) x= 3

8. Piskounov, N. (2004). Capítulo 3. Págs. 70-104

0

y'( )

xf x lím

x

ó 0

( ) ( )'( )

x

f x x f xf x lím

x


64

a) Para un valor x cualquiera: usamos la definición de derivada

0

2 2

0

2 2 2

0

( ) ( )'( )

( )'( )

2 ( )'( )

x

x

x

f x x f xf x lím

x

x x xf x lím

x

x x x x xf x lím

x

2

0

0

0

2 ( )'( )

.(2 )'( )

'( ) (2 )

'( ) 2 0

'( ) 2

x

x

x

x x xf x lím

x

x x xf x lím

x

f x lím x x

f x x

f x x

b) Para x=3: Reemplazamos el valor de x por 3

'( ) 2

'( ) 2.3

'( ) 6

f x x

f x

f x

Interpretación geométrica de la derivada

Sea ( )f x una función cualquiera, cuya gráfica se muestra a continuación. Sobre la gráfica

marcamos dos puntos: , ( )P a f a y , ( )Q x f x .

Por estos puntos pasa una y solo una recta que llamaremos R. Como R corta a la curva

diremos que es una recta secante a la curva en dos puntos.

La pendiente de R puede calcularse aplicando la expresión:

ax

f(a)f(x)m

R


65

Si Q se acerca a P por la curva tanto como queramos, las sucesivas rectas secantes van

variando su pendiente. En particular para Q muy próximo a P, es decir cuando x a la recta

R tiende a ser tangente a la curva en el punto x = a.

Hemos puesto “cuando x a ” porque esto sucede cuando x tiende a a por derecha ( x a

) y también cuando lo hace por izquierda ( x a ).

Por lo tanto la pendiente ( Tm ) de la recta T tangente a la curva en x=a es:

Tm = ax

f(a)f(x)l im

ax

siempre que el límite exista.

A este límite (cuando existe) se lo llama derivada de la función f(x) en x= a y se escribe:

( ) ( )'( )

x a

f x f af a lím

x a

o también

0

(a ) (a)'(a)

h

f h ff lím

h

siendo h a h a

En consecuencia, la derivada de una función en un punto x a es el valor de la pendiente de

la recta tangente en el punto a, f a siempre que el límite exista.

En el ejemplo 1, la pendiente de la recta tangente a 2( )f x x en x= 3, es m= 6.

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente para m= 6?

Si la recta es tangente a una cierta función f(x) para un cierto valor de x, entonces el punto de

coordenadas (x, f(x)) pertenece a ambas gráficas. En el ejemplo que estamos analizando la

recta será tangente en el punto (3,f(3)), las coordenadas de dicho punto son (3,9).

La ecuación de la recta tangente a la función f(x) tiene la forma t(x)= m.x +b

De esta recta conocemos la pendiente y un punto que le pertenece, por lo tanto, podemos

reemplazar de la siguiente manera:

t(x)=m.x+b

T


66

9= 6.3+b

9= 18+b

Despejando b:

9-18=b

b=-9

reemplazamos en t(x) y obtenemos la ecuación:

t(x)=6.x-9

Graficamos las funciones f(x) y t(x) en un mismo par de ejes cartesianos:

Actividad 1

Utilizando la definición de derivada calcular la derivada de f(x) = x2 + x - 2

Actividad 2

Hallar la ecuación de la recta tangente de la función de la actividad anterior en x = 1

Si una función ( )f x tiene derivada para un valor x= a se dice que ( )f x es derivable siempre

que el valor de la derivada en a, sea un número real:

Una función ( )f x es derivable en x a si '( )f a


67

Ejemplo 2: Sea ( )f x x , hallar su derivada en x= 0

0

0

0

0

0

(a h) (a)'(a)

(0 ) (0)'(0)

0 0'(0)

0'(0)

'(0)

h

h

h

h

h

f ff lím

h

f h ff lím

h

hf lím

h

hf lím

h

hf lím

h

Llegados a este punto debemos averiguar si el límite del cociente h

hexiste por lo cual

calcularemos los límites a derecha y a izquierda de cero:

0

'(0) 1h

hf lím

h

0

'(0) 1h

hf lím

h

Los límites laterales son distintos, por lo tanto no existe límite. Al no existir límite en x= 0

la función no es derivable en dicho valor.

El gráfico de la función valor absoluto es:

Se dice que x= 0 es un “punto anguloso”. En este punto la función es continua, tiene un

extremo pero no tiene derivada.

Ejemplo 3: Sea

3 si x< -1

( )

2 si x -1

f x

x

hallar su derivada en x= -1


68

El gráfico de esta función es:

La función está definida por partes. Por lo tanto debemos hallar las derivadas a derecha y a

izquierda para x= -1.

La derivada por la derecha de -1 es:

0

0

0

0

0

( 1 ) ( 1)'( 1)

( 1 ) 2 [ ( 1) 2]'( 1)

1 2 (1 2)'( 1)

3 3'( 1)

'( 1)

'( 1) 1

h

h

h

h

h

f h ff lím

h

hf lím

h

hf lím

h

hf lím

h

hf lím

h

f

La derivada por la izquierda de -1 es:

0

0

0

( 1 ) ( 1)'( 1)

3 3'( 1)

0'( 1)

'( 1) 0

h

h

h

f h ff lím

h

f límh

f límh

f

Las derivadas laterales son distintas por lo tanto no existe la derivada en x= -1.

Ejemplo 4: Sea 1

( )f xx

, hallar la derivada en x= 0

La gráfica de la función es:


69

En x= 0 existe una asíntota vertical, por lo tanto no existe f(0) y no puede calcularse la

derivada en dicho valor. La función dada es discontinua en x= 0.

Cuando una función es discontinua en cierto punto no existe la derivada en dicho valor.

Conclusión:

Aceptaremos sin demostrar el siguiente teorema:

En consecuencia si una función no es continua en un cierto valor x= a, entonces no es

derivable en dicho valor.

La recíproca del teorema no es verdadera como se ha visto en ejemplos anteriores (funciones

continuas en un punto que no tienen derivada en él)

Propiedades de las derivadas

Sean las funciones derivables ( )f x y ( )g x , se demuestra9 que:

9. la demostración queda a cargo del lector

Cuando una función no es continua en cierto valor de x, o tiene un

punto anguloso en él o la recta tangente es vertical, no existe la

derivada en dicho valor.

Teorema:

Si una función es derivable en un cierto valor a , entonces, es continua en dicho

valor.


70

1) la derivada de la suma de dos funciones derivables es la suma de las derivadas de cada una

de ellas:

( ) ( ) ' '( ) '( )f x g x f x g x

2) la derivada de la diferencia de dos funciones derivables es la diferencia de las derivadas:

( ) ( ) ' '( ) '( )f x g x f x g x

3) la derivada de una función compuesta es:

[ ( ( ))]' '(g(x)).g'(x)f g x f

4) la derivada de un producto de funciones derivables es:

( ). ( ) ' '( ). ( ) ( ). '( )f x g x f x g x f x g x

5) la derivada del cociente de dos funciones es:

2

( ) '( ). ( ) ( ). '( )

( ) ( )

f x f x g x f x g x

g x g x

siendo ( ) 0g x

6) ( ) ( ) . '( )f x f xe e f x

7) ( ) ( ) . '( ).lnf x f xa a f x a

8) procedimiento para realizar una derivada logarítmica (cuando ( )( )g xf x )

a) se aplica logaritmo natural miembro a miembro

b) se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia

c) se deriva miembro a miembro

d) se despeja la derivada que se desea hallar.

Cálculo de derivadas

Para el cálculo de derivadas se ha utilizado la definición. Pero puede agilizarse el mismo

utilizando tablas en las que se encuentra una serie de funciones básicas y sus respectivas

derivadas.

A continuación se da una tabla que usaremos para calcular cualquier función (en Internet

existen diferentes versiones)


71

( )f x '( )f x

k 0

x 1

.k x k

nx 1. nn x

xe xe

xa .lnxa a

x 1

2 x

( )sen x cos( )x

cos( )x ( )sen x

( )tg x 2

1

cos ( )x

cot ( )g x 2

1

( )sen x

( )arctg x 2

1

1 x

( )arcsen x

2

1

1 x

cos( )ar x

2

1

1 x

ln( )x 1

x

log ( )a x 1

.lnx a

1

x

2

1

x


72

Ejemplo: Hallar la derivada de 3 2( ) 2 3 1f x x x x utilizando la tabla de derivadas y las

propiedades.

Consideramos la función dada como la suma y la resta de las funciones elementales: 3x , 22x ,

3x y 1

Entonces: 3 2'( ) ' 2 ' 3 ' 1 'f x x x x

Buscamos en la tabla las formas de cada función elemental:

3 1 2'( ) 3.x 2. ' 3. ' 0f x x x

2 2 1'( ) 3.x 2.2.x 3.1f x

2'( ) 3.x 4.x 3f x

Actividad 3

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

3 2 3) ( ) 4

1) ( )

3 4

a f x x x

b f xx

Derivadas sucesivas

La derivada de una función derivada se llama derivada sucesiva.

Por ejemplo, sea 5( ) 3 4f x x x , su primera función derivada es:

4

4

'( ) 3.5. 4

'( ) 15. 4

f x x

f x x

Si ahora derivamos la derivada primera, obtenemos la derivada segunda:

4''( ) 15. 4 'f x x

4 1

3

''( ) 15.4. 0

''( ) 60.

f x x

f x x

Y si derivamos la derivada segunda obtendremos la derivada tercera:

3'''( ) (60. ) 'f x x


73

3 1

2

'''( ) 60.3.

'''( ) 180.

f x x

f x x

Y así sucesivamente.

Actividad 4

Hallar las derivadas segundas de las siguientes funciones:

4

2

2) ( )

3 4

) ( ) cos 1

xa f x

x

b f x x


74


1°) Derivar las siguientes funciones por tabla:

2

2 3

2

) ( ) 2 9 8

) ( ) 4 7 4

3 8) ( )

2 5

a f x x x

b f x x x

xc f x

x

2°) Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva que representa las siguientes

funciones en los puntos indicados:

a) x3

1f(x) en x = 0

b) x2f(x) en 2

1x

c) .ln(x)3f(x) x en x = 2

d) cos(x)sen(x)f(x) en πx

e) cos(x)2x.sen(x)3

1f(x) x en

2

πx

f) cos(x)

sen(x)f(x) en

6

πx

g) 1)2xsen(xf(x) 2 en 4

πx

h) sen(x)5f(x) en 3

πx

i) cos(x)f(x) en πx

3°) Encontrar la función derivada de:

a) 1)2x(x

f(x)2

1

b) 1)2xsen(x

f(x)2

1

c) cos(x)

2xf(x)

d) cos(x)

1)2xsen(3xf(x)

2

e)

2x 2x 1f(x) cos

3x - 8

f) cos(x)

1)2xxf(x)

23

ln(


75

g) )sen(x)2 1).(52x(xf(x)

h)

3 2 x-2(x 2x 1)f(x)

3x . cos(x)

5

4°) Calcular, si es posible, al menos un valor de x en el que la recta tangente a la gráfica sea

horizontal:

a) 7-x2xxf(x) 23

b) (x) senf(x)

c) (x) cosf(x)

d) (x) tgf(x)

e) 2

2f(x)

f) 2

xf(x)

5°) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado:

2

1

3

) ( ) 2 1 en P= 1; 3

) ( ) 5 8 en P= 7,3

a f x x

b f x x

6°) Determinar el punto P de la gráfica de ( ) 2 4f x x para el que su recta tangente pasa

por el origen de coordenadas.

7°) Calcular las derivadas sucesivas hasta el cuarto orden de las siguientes funciones:

6 4

55

3) ( ) 3 3

4

) ( ) 3 2

) ( ) . x

a f x x x x

b f x x

c f x x e


76

Capítulo 4

Estudio de una función

En el Capítulo 1 estudiamos las características generales de una función, tales como:

dominio, imagen, ordenada al origen, raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,

máximos, mínimos, ya sean absolutos como relativos, conjuntos de positividad y negatividad.

Estas características nos permitieron realizar un gráfico aproximado de la función y

constituyen un estudio básico de la misma.

En el Capítulo 2 hemos calculado límites, encontrado asíntotas, estudiado la continuidad de

funciones para ciertos valores del dominio y en el Capítulo 3 hemos hallado la ecuación de la

recta tangente en un punto de la función, la función derivada y sus derivadas sucesivas.

A continuación haremos una introducción al estudio de una función utilizando todos los

conceptos señalados anteriormente.

Extremos de una función

Teorema de Rolle:

Si una función ( )f x es continua en el intervalo cerrado ,a b , derivable en el intervalo

abierto ,a b y ( ) ( )f a f b , entonces existe al menos un número c en ,a b tal que

'( ) 0f c .

Para una demostración de este teorema puede consultarse la bibliografía sugerida, pero

daremos una interpretación gráfica del mismo:

Fig.1

Fig. 2

En ambos casos la recta tangente en c es horizontal y por ello su pendiente vale cero y como

el valor de la pendiente es el valor de la derivada '( )f c se tiene que '( ) 0f c .

Decimos que:

Si la derivada primera de una función en un punto de su dominio vale cero, entonces, la

función tiene en ese punto, un punto crítico. Un punto crítico puede ser un punto

extremo (máximo o un mínimo local de la función) o un punto de inflexión de la misma.


77

En otras palabras, si una función alcanza un máximo o un mínimo local (extremo de la

función) en un punto de su dominio, la derivada primera de la función en dicho punto vale

cero o no existe.

De ahora en más para buscar los extremos de una función f(x) hallaremos la derivada primera

f’(x) y buscaremos sus raíces, es decir, haremos f’(x)=0.

Hemos encontrado una forma de hallar posibles extremos de una función pero todavía nos

falta saber si esos extremos son máximos o mínimos.

Dicho intervalo es el intervalo de decrecimiento de la función.

Dicho intervalo es el intervalo de crecimiento de la función.

Por lo anterior si en un valor c , la derivada '( )f c :

Pasa de negativa a positiva, entonces ( )f c es un mínimo relativo,

Pasa de positiva a negativa, entonces ( )f c es un máximo relativo

Si se mantiene positiva o se mantiene negativa entonces la función no tiene extremo

en ( )f c

Fig. 1 Las rectas tangentes tienen pendientes negativas a la

izquierda del punto c por lo cual la función decrece y

positivas a la derecha de c por lo cual la función crece. Por lo

tanto en x= c la función alcanza un mínimo.

Fig. 2. Las rectas tangentes tienen pendientes positivas a la

izquierda del punto c por lo cual la función crece y

negativas a la derecha de c por lo cual la función decrece.

Por lo tanto en x= c la función alcanza un máximo.

Si la derivada primera de una función tiene signo negativo en un intervalo de su dominio, entonces la función es decreciente en dicho intervalo.

En otras palabras, una función decrece en un intervalo si y sólo si la derivada primera de

la función es negativa en todos los puntos del intervalo.

Si la derivada primera de una función tiene signo positivo en un intervalo de su dominio,

entonces la función es creciente en dicho intervalo.

En otras palabras, una función crece en un intervalo si y sólo si la derivada primera de la

función es positiva en todos los puntos del intervalo.


78

En la figura 1 en el punto c, ( )f c la curva se encuentra sobre la recta tangente. La función

es cóncava hacia arriba.

En la figura 2 en el punto c, ( )f c la curva se encuentra por debajo de la recta tangente. La

función es cóncava es hacia abajo.

Una función continua puede ser cóncava hacia arriba en un intervalo y cóncava hacia abajo en

otro intervalo, entonces habrá un punto del dominio donde se produzca el cambio de

concavidad. A estos puntos se los llaman “puntos de inflexión”.

Fig. 3

En la figura 3 se observa que en el intervalo ,a b la función es cóncava hacia abajo, en el

intervalo , fb la función es cóncava hacia arriba. Entonces deberá existir un punto en el cual

se realice el cambio de concavidad. Dicho punto es b .

La existencia de intervalos de concavidad positiva o negativa y de puntos de inflexión está

relacionada con la derivada segunda de la función.

Aceptaremos sin demostración el siguiente teorema:

Si ( )f x es una función continua en el intervalo cerrado ,a b y si existe '( )f x en el

intervalo abierto ,a b , entonces:

Si ''( ) 0f x para todo ,x a b entonces f es cóncava hacia arriba en ,a b

Si ''( ) 0f x para todo ,x a b entonces f es cóncava hacia abajo en ,a b

Si 0''( ) 0f x para algún 0 ,x a b y se produce un cambio de signo en él,

entonces el punto 0 0( , y )x es punto de inflexión de la función.


79

Sea por ejemplo la función 3(x) 3xf x . Se pide hallar:

a) Dominio

b) Asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, si existen

c) 0 , C C y C

d) Intervalos de crecimiento, de decrecimiento, máximos y mínimos relativos

e) Intervalos de concavidad negativa, positiva y puntos de inflexión

f) Un gráfico aproximado.

a) Por ser una función polinómica el dominio es y por lo tanto la función es continua.

b) Al ser continua no existen asíntotas verticales.

Cálculo de la asíntota horizontal:

3: 3x

AH lím x x

no existe asíntota horizontal

Cálculo de asíntota oblicua:

3

2

2

( ) 3: m

.(3 1)m

m 3 1

m

x x

x

x

f x x xAO lím lím

x x

x xlím

x

lím x

No existe asíntota oblicua.

c) Calculamos las raíces de (x)f

3

2

1

2

2 3

3 0

13 . 0

3

3 0 0

10

3

1 3 3

3 3 3

x x

x x

x x

x

x x x

Por lo tanto: 0 3 30, ,

3 3C

Dividimos el dominio en los siguientes intervalos:

3 3 3 3, , ,0 , 0, ,

3 3 3 3y

Elegimos un valor dentro de cada intervalo para analizar el signo de (x)f :


80

3

3

3

3

3, : ( 1) 3.( 1) ( 1) 3 1 2 0

3

3,0 : ( 0,1) 3.( 0,1) ( 0,1) 0,003 1 0,097 0

3

30, : (0,1) 3.0,1 0,1 0,003 0,1 0,0097 0

3

3, : (1) 3.1 1 3 1 2 0

3

f

f

f

f

Entonces:

3 3,0 ,

3 3

3 3, 0,

3 3

C

C

d) Calculamos '(x)f

2

2

'(x) 3.3.x 1

'(x) 9.x 1

f

f

Igualamos a cero para hallar los puntos donde se anula la derivada primera:

2

2

1 2

'(x) 0

9.x 1 0

1

9

1 1 1

9 3 3

f

x

x x x

Dividimos el dominio en los intervalos: 1 1 1 1

, , , y ,3 3 3 3

Analizamos el signo de la derivada en cada uno de ellos:

2

2

2

1, : '( 1) 9.( 1) 1 9 1 8 0

3

1 1, : '(0) 9.0 1 0 1 1 0

3 3

1, : '(1) 9.1 1 9 1 8 0

3

f f crece

f f decrece

f f crece

Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función son:


81

1 1, ,

3 3

1 1,

3 3

IC

ID

Por lo tanto:

en 1

3x la función alcanza un máximo. El valor máximo de la función es:

31 1 3 1 2

3.3 3 27 3 9

y

en 1

3x la función alcanza un mínimo. El valor mínimo de la función es:

31 1 3 1 2

3.3 3 27 3 9

y

e) Hallamos la derivada segunda:

''(x) 9.2.x 0

''(x) 18.x

f

f

Igualamos a cero:

''(x) 0

18.x 0 x 0

f

Analizamos el signo de la derivada segunda:

,0 : ''( 1) 18.( 1) 18 0

0, : ''(1) 18.1 18 0

f f es cóncava hacia abajo

f f es cóncava hacia arriba

En 0x hay un punto de inflexión.

f) Construimos un gráfico aproximado.


82

Actividad 1

Analizar las siguientes funciones y realizar el gráfico aproximado.

3 2

4 3 2

) ( ) 6 15 40

1 1) ( ) 3 4

4 2

a f x x x x

b g x x x x x

Regla de L’Hôpital

En el capítulo 2 hemos calculado límites en los que se presentaban dos tipos de

indeterminaciones: 0

y 0

con los respectivos procedimientos para salvarlas.

Pero existen además de aquellas más indeterminaciones, a saber: 0 00. , 0 , , 1

Una aplicación de la función derivada es la utilizada en el estudio de funciones. Otra

aplicación es la que permite calcular los límites en los que aparecen indeterminaciones a

través de procedimientos algebraicos.

Para dicho cálculo se utiliza la llamada Regla de L’Hôpital, que puede enunciarse del

siguiente modo:

Sean dos funciones derivables (x) y ( )f g x en un entorno de 0x , además '( ) 0g x para

0x x en ese entorno.

Si 0 0

( ) ( ) 0x x x xlím f x lím g x

y además existe 0

'( )

'( )x x

f xlím

g xperteneciente a los

reales, entonces se puede verificar que: 0 0

( ) '( )

( ) '( )x x x x

f x f xlím lím

g x g x

Si 0 0

( ) ( )x x x xlím f x lím g x

y además existe 0

'( )

'( )x x

f xlím

g xperteneciente a los

reales, entonces se puede verificar que: 0 0

( ) '( )

( ) '( )x x x x

f x f xlím lím

g x g x

Esta Regla se cumple si x tiende a infinito.

Para usar esta Regla la función debe estar expresada como cociente de funciones.

Ejemplo:

Calcular 1

1 .ln 1xlím x x

Este límite responde a la indeterminación 0. , para aplicar la regla debemos expresar la

función como cociente de funciones:


83

11 1

ln( 1)1 .ln 1

1x x

xlím x x lím

x

Aplicamos la regla:

11 1

[ln( 1)]'1 .ln 1

[ 1 ]'x x

xlím x x lím

x

21 1

1

11 .ln 11x x

xlím x x límx

2

1 1

11 .ln 1

1x x

xlím x x lím

x

Simplificando:

1 1

1 .ln 1 1x xlím x x lím x

1

1

1 .ln 1 (1 1)

1 .ln 1 0

x

x

lím x x

lím x x

Actividad 2


2

0

2

(2 ))

ln( ))

2

x

x

sen x xa lím

x

x xb lím

x


84


1°) Para cada una de las siguientes funciones se pide hallar: Dominio, asíntotas verticales,

horizontales u oblicuas, 0 , C C y C , intervalos de crecimiento, de decrecimiento, máximos

y mínimos relativos, intervalos de concavidad negativa, positiva y puntos de inflexión, y un

gráfico aproximado.

3 2

2

4

3

) ( ) 3 . 1

4 3) ( )

2

) ( ) 2 .

27) ( )

) ( )1

x

x

a f x x x

xb f x

x

c f x x e

xd f x

x

ee f x

x

2°) Calcular los siguientes límites:

0

)

. ( ))

.cos( ) ( ) 2

x x

x xx

x

e ea lím

e e

x sen xb lím

x x sen x x

3°) Las funciones de costo total C y la demanda q (donde p es el precio por unidad) de una

empresa están dadas por: 3 21( ) 7 111 50

3C q q q q y 100q p

a) Expresar la función de ingreso total I en función de q (I=q.p)

b) Hallar la función de beneficio total en función de q (B= I-C)

c) Averiguar el nivel de producción q que maximiza el beneficio

d) Encontrar el máximo beneficio.

4°) El costo de producir una cantidad x de artículos se calcula por medio de la función:

( ) 2100 135 900c x x x

La ganancia obtenida después de la venta de los artículos es la diferencia entre el dinero que

ingresa debido a dicha venta y el dinero que demanda el costo de la producción de dichos

artículos. Si se venden todos los artículos que se producen y el precio de venta de cada uno de


85

ellos es de $90, ¿cuántos artículos se deben producir para que la ganancia sea la máxima

posible?


86

Capítulo 5

Primitivas

Introducción al concepto de primitiva de una función

Si f(x) es una función definida en un dominio D, entonces la función F(x) definida en el

mismo dominio D, es una primitiva (o antiderivada o integral indefinida) de f(x) si y sólo

si F(x) es derivable en el dominio D y f(x) es su derivada.

En símbolos:

( ). ( ) '( ) ( )f x dx F x F x f x

El símbolo recibe el nombre de integral y la expresión ( )f x dx recibe el nombre de

integral indefinida de f(x).

A la función F(x) se llama primitiva. La expresión dx recibe el nombre de diferencial x.

Sea por ejemplo la función: 4( ) 5.f x x

La primitiva de la función f(x) es: 5( )F x x , pues: 4'( ) 5.F x x

En símbolos: 4 55.x dx x

¿La función F(x) es única? No. Cada función f(x) tiene infinitas primitivas de la forma

F(x)+k, siendo k un número real cualquiera.

Por lo tanto se puede escribir: ( ) ( )f x dx F x k y en nuestro ejemplo: 4 55x dx x k

Primitivas de funciones elementales

En la tabla siguiente encontramos las primitivas de algunas funciones:

1

11

nn x

x dx k si nn

x xe dx e k

ln

xx a

a dx ka

1ln( )dx x k

x

( ) cos( )sen x dx x k


87

cos( ) ( )x dx sen x k

2sec ( ) ( )x dx tg x k

2cosec ( ) ( )x dx cotg x k

Propiedades de las primitivas

Veremos solo dos propiedades de las primitivas.

a) La primitiva del producto entre una constante y una función es igual al producto entre

la constante y la primitiva de la función. En símbolos:

. ( ) . ( )k f x dx k f x dx

b) La primitiva de la suma de dos funciones es igual a la suma de las respectivas

primitivas de cada una de las funciones. En símbolos:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Actividad 1

Hallar las siguientes primitivas:

5

4

)

3)

a x dx

b dxx

Actividad 2

Para cada uno de los siguientes casos, verificar si F(x) es o no una función primitiva de f(x).

43) ( ) 1 y f(x)=x

4

) ( ) .ln 2 y f(x)=x

x

xa F x

eb F x e x

x

Actividad 3

Encontrar las primitivas pedidas que cumplan las condiciones dadas.


88

2 7) ln 0,4. si F(1)=

55

) si F(0)=0

x

x

x

a dx

b e senx dx

3 1c) si F(2)=6

1

xdx

x


89


1°) Hallar las siguientes primitivas:

2

1

a) 3

b) cos

x dx

x x x dx

2°) Para cada uno de los siguientes casos, verificar si F(x) es o no una función primitiva de

f(x).

5 2 4

2

3 2

a) ( ) 3 8 9 7 y f(x)=15x 16 9

3 1 2 3b) ( ) 1 y f(x)=

2 3

c) ( ) .ln y f(x)=lnx

F x x x x x

x x xF x

x x

F x x x x

3°) Encontrar una función F(x) que sea primitiva de 2

3

5 2( )

x xf x

x

y que además

verifique que F(1)=8

4°) Obtener una función H(x) que cumpla las siguientes condiciones: la función H(x) es una

primitiva de 3 3

3

2( )

x x xh x

x

y el punto (4;5) pertenece a H(x).


90

Práctica de revisión final

Las siguientes son actividades que les permitirán revisar la teoría desarrollada a lo largo del

presente material relacionando e integrando los contenidos dados.

Bloque I

Marcar la o las respuestas correctas y justificar:

1) Si 4

( ) 1xlím f x

y 4

( ) 1xlím f x

entonces:

a) f es continua en x=4

b) f(4)=1

c) f es discontinua evitable en x=4

d) f no es discontinua esencial en x=4

2) En un cierto intervalo (a;b) se sabe que una función f tiene derivada positiva.

Entonces, en ese intervalo:

a) f es creciente

b) f es positiva

c) f puede tener una discontinuidad evitable

d) f puede tener una discontinuidad esencial.

3) La recta tangente a 3( )f x x x en x=1 tiene ecuación:

a) 23. 1y x

b) 4y

c) 4.y x

d) 4. 2y x

4) Un valor de a para el cual se cumple que 2

2

1

21x a

x xlím

x

es:

a) 0

b) 1

2

c) -1

d) 1

Bloque II

1) Hallar las funciones derivadas de cada una de las siguientes funciones:

a) ( ) ln(2 3)f x x

b) ( ) 2 3f x x

c)

31

( )2 3

f xx

d) 5 2( ) 3 2 5f x x x


91

2) Hallar la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes funciones en x=2

a) 3( ) 2 3f x x x

b) 3 2( ) 7 15f x x x x

c) 2

( )1

xf x

x

d) 1

( )3

f xx

3) Para cada una de las siguientes funciones se pide hallar: Dominio, asíntotas verticales,

horizontales u oblicuas, 0 , C C y C , intervalos de crecimiento, de decrecimiento,

máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad negativa, positiva y puntos

de inflexión, y un gráfico aproximado. ( )1

xf x

x

a) 4 21 3( ) 1

4 2f x x x

b) 2

( )1

xf x

x

c) 2

3( )f x x

4) Para cada una de las siguientes funciones indicar el dominio, puntos de discontinuidad

y asíntotas. Clasificar la discontinuidad en cada caso.

a) 3

2

1( )

1

xf x

x

b) 2 3

( )3

x xf x

x

c) 2 3

( )1

f xx x

d) 2

2

5 5 10( )

5 6

x xf x

x x

Bloque III

1) Hallar las siguientes integrales utilizando la tabla:

a) 2cos ec x dx

b) 2s ec x dx

c) 1

2 x dx

d) e x dx


92

e) 53 5

2x dx

x

f) 1 cos x dx

g) 5cosx x dx

h) 2sec x senx dx

Bloque IV

1°) Calcular los siguientes límites:

a) x

xlimx 7

5tg

0

b) 122

38634

24

1

xxx

xxxlimx

2°) Calcular las siguientes integrales:

2

2

) cos2 2

3)

x xa sen dx

xb dx

x

3°) Dada la función 2

2 3( )

5 1

xf x

x

Determinar:

a) Puntos de discontinuidad. Clasificar la discontinuidad hallada.

b) Máximos y mínimos absolutos y relativos.

c) Puntos de inflexión.

d) Intervalos de concavidad.

e) Ecuación de la recta tangente en x=3

f) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

g) Conjunto de positividad de negatividad.

h) Construir un gráfico aproximado.

4°) Calcular para qué valores de x la derivada de 1

( )x

f xx

es igual a -4

5°) Dada 4 2( ) 6f x x x calcular para qué valores de x se anula la derivada segunda.

6°) Derivar por tabla las siguientes funciones:

3) ( ) 8 1

) ( ) cos ln

a f x sen x

b f x x

7°) Demostrar utilizando la definición de derivada:


93

1) Si f(x)= entonces f '(x)=

2

) Si f(x)= cosx entonces f '(x)=-senx

a xx

b

8°) Hallar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existieren, de las siguientes

funciones: 2

2

5 6) ( )

2

1) ( )

x xa f x

x

xb f x

x x

9°) Indicar Verdadero o Falso y justificar la respuesta elegida:

a) La función 5

8( )

5 2 xf x

no tiene asíntota horizontal ni vertical.

b) Si 0 fx Dom , entonces, ( )f x es continua en

0x

c) Si 0

( )x xlím f x

es un número real, entonces, ( )f x es continua en 0x

d) Si la pendiente de la recta tangente al gráfico de ( ) k xf x e en el punto 1; ( 1))f

es 1

e entonces 2k

e) Si 3( ) . xf x x e entonces la pendiente de la recta tangente a su gráfico en el punto

1; (1))f es 34e

10°) Calcular los siguientes límites utilizando la Regla de L’Hopital:

0

1

2

0

. cos 1)

3 3

) .

ln)

.ln

x

x

x

x

x xa lím

sen x x

b lím x e

x xc lím

x x

Se aconseja reveer todos los ejercicios del material teórico-práctico ya que todos son

prácticas modelo de examen.


94

Bibliografía

Ayres, F. (1989). Cálculo diferencial e integral. McGraw-Hill. España.

Haeussler, E. y Paul, S. (2003). Matemática para administración y economía. Décima edición.

Pearson Educación. México.

Piskounov, N. (2004). Cálculo diferencial e integral. Tomo I. Ed. Limusa. México.

Rabuffetti, H.(2002) Introducción al análisis matemático: Cálculo I. Ed. El Ateneo. Buenos

Aires.

Stewart, J. y Otros. (2007)Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Quinta edición.

CENGAGE Learning Editores SA. México.

Swokowski, E. (1989). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición. Marquette

University. Grupo Editorial Iberoamérica. México.

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