FERNANDO MESA

Licenciado en matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira en donde se ha destacado como directivo e investigador. E-mail: femesa@utp.edu.co

ALEJANDRO MARTÍNEZ ACOSTA

Licenciado en Educación, Especialidad Matemática de la Universidad del Cauca. Candidato a magíster en Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira. Actualmente, se desempeña como docente asociado en el Departa-mento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira; es investigador en las áreas de Ecuaciones diferenciales y Educación matemática. E-mail: amartinez@utp.edu.co.

JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA

Matemático, con Maestría en Matemáticas y doctorado en Matemáticas. Investigador en matemáticas puras y aplicadas con resulta-dos originales en la teoría de bifurcación, deformación y deducción de la teoría de micro-deformación. Investigador en ecuacio-nes diferenciales parciales. Profesor asociado de la Universidad Tecnológica de Pereira.mail: jorodryy@gmail.com.

Contenido

Presentacion iv

1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales 1

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Definiciones y terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Soluciones y problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Ecuacion diferencial de una familia de curvas . . . . . . . . . . 12

1.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 19

2.1 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Transformaciones y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 Trayectorias ortogonales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7 Ecuacion diferencial de primer orden en coordenadas polares . 48

2.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8.1 Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8.2 Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

i

CONTENIDO

3 Ecuaciones diferenciales de orden superior 59

3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.1 Introduccion: sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . 59

3.1.2 Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.3 Soluciones fundamentales de ecuaciones homogeneas . . 63

3.1.4 Reduccion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1 Teorıa basica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.2 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . 75

3.2.3 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.4 Operadores anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.5 Variacion de los parametros . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3 Ecuacion de Cauchy–Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 Transformada de Laplace 115

4.1 Definicion y transformadas basicas . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3 Transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4 Los teoremas de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5 Funciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.6 Funcion delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.7 Funcion de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5 Sistemas de ecuaciones diferenciales 155

5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2 Teorıa preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.3 Metodos de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3.1 Metodo de eliminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3.2 Solucion mediante transformada de Laplace . . . . . . 170

CONTENIDO

5.4 Sistemas lineales homogeneos con coeficientes constantes . . . 171

5.5 Sistemas lineales no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.5.1 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.5.2 Variacion de los parametros . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.6 Matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6 Solucion de ecuaciones diferenciales mediante series 193

6.1 Introduccion y preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.2 Solucion mediante series de potencias . . . . . . . . . . . . . . 197

6.2.1 Solucion en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . 198

6.2.2 Solucion en torno a puntos singulares: metodo de Fro-

benius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.3 Ecuaciones y funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.3.1 Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.3.2 Ecuacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.3.3 Ecuacion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Respuestas 219

Bibliografıa 229

Indice alfabetico 230

iii

Presentacion

Esta obra ha sido realizada para que sea usada como texto guıa en los cur-

sos de ecuaciones diferenciales, que se ofrecen en las diferentes universidades

en los distintos programas de ingenierıas y tecnologıas. En particular, en la

Universidad Tecnologica de Pereira en su programa de licenciatura en ma-

tematicas y fısica.

Esta edicion es el resultado de varios anos de trabajo y dedicacion, lo que

permitio basados en la experiencia, mejorar los distintos borradores que fue-

ron utilizados como notas de clase de quienes somos sus autores.

Se desarrollaron seis capıtulos, en los que sin perder de vista la formalidad

de los contenidos, el lector podra encontrarse con una presentacion senci-

lla, practica y amena haciendo posible un primer acercamiento al estudio de

las ecuaciones diferenciales ordinarias. Es ası como en los capıtulos 1 y 2 se

presentan los aspectos relacionados a las ecuaciones diferenciales de primer

orden, tema que corresponde a la unidad I del programa oficial del curso de

matematicas IV que se orienta en la Universidad Tecnologica de Pereira. El

siguiente capıtulo coincide con la unidad II del programa de matematicas

IV en el que se desarrollan los elementos mas importantes de las ecuaciones

diferenciales de orden superior. En el capıtulo 4 se lleva a cabo el desarrollo

de la transformada de Laplace y sus diferentes usos en la solucion de sis-

temas de ecuaciones y otras aplicaciones. Por ultimo en el capıtulo final de

v

Presentacion

esta obra esta dedicado a desarrollar lo referente a la solucion de ecuaciones

diferenciales mediante el metodo de Series de Potencias.

Es de anotar que en cada uno de estos capıtulos nos preocupamos por entregar

una gran variedad de ejemplos, los que le permiten al estudiante desarrollar

los ejercicios y problemas que se proponen; casi en su totalidad con su res-

puesta.

Por ultimo, queremos manifestar que junto con el proposito inicial, tambien

deseamos hacer un aporte para que la complejidad de las matematicas se pre-

sente sin perder rigurosidad pero estando cada vez mas al alcance de todos.

Nos hacemos responsables de los errores que pueden llegarse a filtrar en esta

primera edicion, y agradecemos de antemano las sugerencias y observaciones

que pudieran hacernos llegar.

Los autores.

vi

Capıtulo 1

Introduccion a las ecuaciones

diferenciales

1.1 Introduccion

En las ciencias y en la ingenierıa se desarrollan modelos matematicos para

entender mejor los fenomenos fısicos. A menudo, estos modelos conducen a

una ecuacion que contiene algunas derivadas de una funcion desconocida.

Esta ecuacion se denomina una ecuacion diferencial.

Comenzamos esta seccion con unos ejemplos, los cuales dan origen a ecua-

ciones diferenciales.

Ejemplo 1.1 (Caıda libre). Un ob-

jeto de masa m se deja caer desde una

altura h (por encima del suelo) y cae

por la fuerza de gravedad, (Fig. 1.1).

Determine la ecuacion diferencial que

describe la trayectoria del objeto.

h

y

mg

Nivel del suelo

t = 0, v = 0

Figura 1.1. Cuerpo en caıda libre

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Solucion.

Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece

que la masa de un objeto por su aceleracion es igual a la fuerza total que

actua sobre el. Esto conduce a la ecuacion

md2y

dt2= −mg,

donde m es la masa del objeto, y es la altura sobre el suelo, d2ydt2

es su acelera-

cion, g es la aceleracion gravitacional (constante) y −mg es la fuerza debida

a la gravedad.

Esta es una ecuacion diferencial que contiene la segunda derivada de la al-

tura desconocida y como funcion del tiempo. Al hacer v = dydt, se obtiene la

ecuacion diferencial de primer orden en la incognita v:

mdv

dt= −mg

Ejemplo 1.2 (Vaciado de un tanque). La ley de Torricelli establece que la

rapidez v de flujo (o salida) del agua a traves de un agujero de bordes agudos

en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad)

h, es igual a la rapidez de un objeto que cae libremente desde una altura

h, en este caso v =√2gh, donde g es la aceleracion de la gravedad, (figura

1.2). Deduzca una ecuacion diferencial que exprese la altura h en cualquier

momento t, que hay en el tanque.

h h

V (t)

A0

Figura 1.2. Vaciado de un tanque

2

Otros títulos de interés:

∙ Estadística básica aplicada, Ciro Martínez Bencardino

∙ Estadística y muestreo, Ciro Martínez Bencardino

∙ Fundamentos de estadística. Para la investigación en educación, Mireya Ardila Rodríguez

∙ Álgebra lineal y programación lineal Francisco Soler, Fabio Molina y Lucio Rojas.

∙ Didáctica de las matemáticas Robinson Castro Puche y Rubby Castro Puche.

∙ Fundamentos de matemática Francisco Soler Fajardo y Reinaldo Nuñez.

∙ Matemáticas financieras aplicadas Jhonny de Jesús Meza Orozco

∙ Matemáticas financieras empresariales Jhonny de Jesús Meza Orozco

∙ Matemáticas para informática Ismael Gutiérrez García.

Las ecuaciones diferenciales han permitido acercar estrechamente al ser humano con la realidad expresada en las matemáticas; es por ello, que los autores de esta completa obra la ponemos a su alcance para que sea utilizada como texto guía o de consulta en los cursos de Ecuaciones diferenciales ordinarias que se ofrecen en los programas de ingenierías, tecnologías, matemáticas y licenciaturas en matemáti-cas y física, de las diferentes universidades del país.

Esta primera edición es el resultado de varios años de trabajo y dedi-cación, lo que permitió mejorar los distintos borradores que fueron utilizados como notas de clase de quienes somos sus autores. Se desarrollaron seis capítulos, en los que sin perder de vista la formali-dad de los contenidos, el lector podrá encontrarse con una presenta-ción sencilla, práctica y amena; haciendo posible un primer acerca-miento al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Cabe resaltar que en cada uno de los capítulos nos preocupamos por entregar una gran variedad de ejemplos, que le permitirán al estu-diante desarrollar los ejercicios y problemas que se proponen; casi en su totalidad con su respuesta.

Área: Ciencias ExactasColección: Matemáticas

EcuacionesDiferenciales Ordinariasuna introducción