430201 Engineering Statics430201 Engineering Statics((สถิตยศาสตรสถิตยศาสตรวิศวกรรมวิศวกรรม))

รศรศ..ดรดร.. สิทธิชัยสิทธิชัย แสงอาทิตยแสงอาทิตยสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตรสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตร

จากรูป จุดรองรับเปนแบบหมุด จงหา (1) แรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A และ C(2) แรงภายในที่จุด D และ (3) สมการแรงเฉือนและโมเมนตของคาน CBD

A

BCD

20 kN/m

4 m

2 m 1m 1m

1. เขียน FBD ของทั้งโครง frame จะมีแรงปฏิกิริยากี่ตัว?

2. เสา AB ของโครง frame เปนชิ้นสวนแบบใด?

20 kN/m

x

y

2 m 1m 1mFBACy

20 kN/m

2 m 1m 1mFBACy

∑ = ;0CM

40 kN

0)3(40)2( =−BAF

kN 60=BAF

∑ == 0 ;0 xx AF

∑ =−+= 04060 ;0 yy CF

kN 20−=yC

kN 20=

(1) หาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A และ C

x

y

A

BCD

20 kN/m

4 m

2 m 1m 1m

x

y

(2) หาแรงภายในที่จุด D

20 kN/m

1mVD

MD

ND D

20 kN/m

2 m 2 m 60 kN20 kN

(3) หาสมการแรงเฉือนและโมเมนตดัด (shear force และ bending moment)

x

y

ขั้นตอนในการวิเคราะห 1. เขียน FBD ของคาน และหาคาแรงปฏิกิริยา2. เลือกพิกัด x โดยใหคาพิกัดแตละอันอยูในชวงที่อยูระหวาง F, M, หรือ distributed loads w

3. ตัดคานที่พิกัด x1 และ x2 แลวเขียน FBD ของชิ้นสวนของคาน

4. ใชสมการความสมดุลหาสมการแรงเฉือน V(x) และ moment M(x)

5. เขียน shear diagram และ moment diagram โดยใหแกน x เปนแกนนอนและ function ของ V(x) และ M(x) เปนแกนตั้ง

x1

x2

x1

x2

ปลายคานปลายคานจุดรองรับจุดรองรับจุดที่จุดที่ concentrated load concentrated load กระทํากระทําจุดที่จุดที่ couple moment couple moment กระทํากระทําจุดเริ่มตนของจุดเริ่มตนของ distributed load distributed load

จุดที่จุดที่ distributed load distributed load เปลี่ยนแปลงคาเปลี่ยนแปลงคาจุดสิ้นสุดของจุดสิ้นสุดของ distributed load distributed load

จุดที่เราตองใหความสนใจเปนพิเศษจุดที่เราตองใหความสนใจเปนพิเศษเพราะเปนจุดทีใ่ชในการแบงชวงพกิัดเพราะเปนจุดทีใ่ชในการแบงชวงพกิัดของคานของคาน

ตัวอยางที่ 7-3จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

0; 0x xF A+

→ = =∑0;CM =∑

0;

2.5 2(5) 0y

y

FC

↑ + =

+ − =∑

5(10) 2(5) 5 50 02yA ⎛ ⎞− + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠2.5 kNyA =

7.5 kNyC =

2(5) kN2.5 m

7.5 kN

0 kN

2.5 kN

1. เขียน FBD และหาคาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

7.5 kN

0 kN

2.5 kN

10 5 mx≤ <

0;yF+ ↑ =∑12.5 2 0x V− − =

12.5 2V x= −

0;M =∑1 1 1

12 2.5 02

M x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

21 12.5M x x= −

2x1

2. เขียน FBD ของชิ้นสวนและหาสมการของ shear และ moment

0;yF+ ↑ =∑2.5 2(5) 0V− − =

7.5V = −

( )2 22(5) 2.5 2.5 50 0M x x+ − − − =

0;M =∑

27.5 75M x= − +

25 m 10 mx≤ <2(5) kN

2.5 m

10 5 mx≤ <

12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ <

7.5V = −

27.5 75M x= − +

0-7.5107.5-7.5915-7.58

22.5-7.5730-7.56

37.5-7.55-12.5-7.55

-6-5.54-1.5-3.53

1-1.521.50.5102.50MVx

10 5 mx≤ <

12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ <

7.5V = −

27.5 75M x= − +

3. เขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram

ขอสังเกต1. ตรงจุดที่ moment ทิศตามเข็มฯ กระทํา

moment diagram จะมีคาเพิ่มขึ้นเทากับคาของ couple moment ดังกลาว

2. ( )dV w xdx

= −

3. dM Vdx

=

10 5 mx≤ < 12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ < 7.5V = −

27.5 75M x= − −

Beam Sign Convention( )dV w x

dx= −

dM Vdx

=

ตรงจุดที่ moment ทิศตามเข็มฯ กระทํา moment diagram จะมีคาเพิ่มขึ้น = คาของ moment ดังกลาว

ตรงจุดที่ shear มีคา = ศูนย moment ที่จุดดังกลาวมักมีคาสูงสุด (หรือต่ําสุด)

ตรงจุดที่ point load พุงลงกระทํา shear diagram จะมีคาลดลง = คาของ point load ดงักลาว

ความสัมพันธระหวางแรงแผกระจาย (w) แรงเฉือน (V) และโมเมนตดัด (M)สรุปบทที่ 7/2

วิธีกราฟฟคใชความสัมพันธระหวางแรงแผกระจายใชความสัมพันธระหวางแรงแผกระจาย ( (ww) ) แรงเฉือนแรงเฉือน ( (VV) ) และและโมเมนตดัดโมเมนตดัด ( (MM)) ของชิ้นสวนตางๆของชิ้นสวนตางๆ ของคานเพื่อเขียนของคานเพื่อเขียน diagram diagram โดยตรงโดยตรง

วิธีการเขียน shear diagram และ moment diagramวิธีตัดหนาตัดมีพื้นฐานมาจากการเขียนวิธีตัดหนาตัดมีพื้นฐานมาจากการเขียน FBD FBD ของชิ้นสวนตางๆของชิ้นสวนตางๆ ของคานที่ของคานที่

ถูกตัดที่พิกัดถูกตัดที่พิกัด xx11, , xx22, , xx33...... และการใชสมการสมดุลและการใชสมการสมดุล เพื่อเขียนสมการของแรงเพื่อเขียนสมการของแรงเฉือนและโมเมนตและเขียนเฉือนและโมเมนตและเขียน diagramdiagram

คอนขางยุงยาก แตตรงไปตรงมา มีความจําเปนตองใชในการเรียนในปที่สูงขึ้น

งาย แตตองเขาใจความสัมพันธฯ ความชัน (slope) และการเขียนรูปกราฟฟค และการหาพื้นที่ใตกราฟ

7.3 ความสัมพนัธระหวางแรงแผกระจาย แรงเฉือน และโมเมนตดดัชวยทําใหเขียน shear diagram และ moment diagram ไดงายขึ้น

ชวงของคานที่ถูกกระทําโดยแรงแผกระจาย

ชวงของคานที่ถูกกระทําโดยแรงกระทําเปนจุดและโมเมนตแรงคูควบ สรุป:1.

2..

3.

4.

5.

6. เมื่อโมเมนตแรงคูควบมีทิศทางตามเข็มนาฬิกาแลว moment diagram จะมีคาเพิ่มขึ้น = คาโมเมนตแรงคูควบ

เมื่อแรงกระทําเปนจุดมีทิศทางพุงลง แลว shear diagram จะมีคาลดลง = คาแรงดังกลาว

การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตระหวางจุดมีคา =พื้นที่ภายใต shear diagram ระหวางจุดดังกลาว

slope ของ moment diagram ที่จุดใดๆ มีคา = คาของแรงเฉือนที่จุดนั้น

slope ของ shear diagram ที่จุดใดๆ มีคา = คาลบของแรง w ที่จุดนั้น

การเปลี่ยนแปลงของแรงเฉือนระหวางจุดมีคา = คาลบของพื้นที่ภายใตแรง w ระหวางจุดดังกลาว

ขอสังเกต:

ถาแรงถาแรง ww((xx) ) อยูในรูปอยูในรูป polynomial polynomial ที่มีที่มี degree degree ที่ที่ nn แลวแลว VV((xx) ) จะอยูในรูปจะอยูในรูป polynomial polynomial ที่มีที่มี degree degree ที่ที่ n+1n+1 และและ MM((xx) ) จะอยูจะอยูในรูปในรูป polynomial polynomial ที่มีที่มี degree degree ที่ที่ n+2n+2

ww((xx) = 0) = 0 V=constantV=constant M=linearM=linear

3 m 6 m6 kN

9 kN m 1

1

0 <3; =5 kN =5 kN-m

x VM x

≤

( )2

2

3< 9; =-1 kN = 18- kN-m

x VM x

≤

ww((xx) =constant) =constant V=linearV=linear M=quadraticM=quadratic

ww((xx) =linear) =linear V=quadraticV=quadratic M=cubicM=cubic

4 m 4 m

50 kN/m

A C

200 50V x= −2200 25M x x= −

20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −

ตัวอยาง

x (m)

V (N) Slope = 03.5

M (N-m)

1.5

-1.5-3.5

x (m)

Slope = 3.57

Slope = 1.5 10Slope = -1.5

7 Slope = -3.5

จงเขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. เขียน FBD และหาคาแรงปฏิกิริยา2. ใชความสัมพันธฯ

ตัวอยาง

x (m)

1000Slope = - 500

Slope = - 500

V(N)

x (m)Slope = 0

Slope = 1000-1000

M (N-m)

0

0

1. เขียน FBD และหาคาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

จงเขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

2. ใชความสัมพันธฯ

500(2)

x (m)

V(N)1080

Slope = - 400Slope = 0

600600

x (m)M (N-m)

-1588 Slope = 600

Slope = 1080

Slope = 600-100

-580

ตัวอยางจงเขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. เขียน FBD และหาคาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

2. ใชความสัมพันธฯ x (m)

V (N) Slope = 0

100

-500Slope = 0

x (m)

M (N-m) Slope = 1001000

Slope = -500-1500

Slope = -500

2500

ตัวอยางจงเขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. เขียน FBD และหาคาแรงปฏิกิริยา2. ใชความสัมพันธฯ

ตัวอยาง

Pw

aL

b

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

= 100 kN/m = 15 m = 5 m = 10 m = 1000 kN

wLabP

1000 kN

100 kN/m

5 m

15 m

10 m

Ay

Ax

Cy

0; -100(5) -1000 0y y yF A C↑ + = + =∑

0; 0x xF A+

→ = =∑= 0;AM+∑

100(5) kN

=750 kNyC

( )-100(5)(2.5)-1000(10)+ 15 =0yC

=750 kNyA

1. เขียน FBD และหาคาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรบั

V (kN)

M (kN-m)

1750 kN-100V x=

-750 kNV =

21 1750 -50 kN-mM x x=

250 kNV =

( )2250 1250 kN-mM x= +

5 m

5 m

10 m

10 m

2500

250

3750

( )3-750 11250 kN-mM x= +

750

750

3. เขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram

V

-1000

-500

0

500

1000

0.0 5.0 10.0 15.0V

M

0500

1000150020002500300035004000

0.0 5.0 10.0 15.0

M

1000 kN

100 kN/m

5 m

15 m

10 m

750 kN750 kN

ตัวอยางที ่7-7จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. เขียน FBD และหาคาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

4.4 kN 15.2 kN 1.4 kN 6.0 kN

2. ใชความสัมพันธฯ

ตัวอยางที่ 7-6จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. เขียน FBD และหาคาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรบั

2. ใชความสัมพันธฯ