dadang amir hamzah · apabila regangannya mendekati suatu nilai lmaka dikatakan bahwa ”limit dari...

Matematika I : Limit

Dadang Amir Hamzah

2015

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79

Outline

1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions

2 TurunanDua masalah satu tema

3 Referensi


Outline



3 Referensi


Limit

Calculus is the study of limits

Apa itu limit?Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagaipermasalahan mengenai limit.


Limit

Calculus is the study of limitsApa itu limit?

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagaipermasalahan mengenai limit.


Limit

Calculus is the study of limitsApa itu limit?Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagaipermasalahan mengenai limit.


Limit

Pada gambar dibawah misalkan pegas akan rusak apabiladiberikan beban 10 kg atau lebih. Untuk melihat seberapa jauhpegas dapat meregang kita dapat terus tambahkan beban w danmengukur regangannya s untuk setiap w.

Apabila regangannya mendekati suatu nilai L maka dikatakanbahwa ”Limit dari s yang diakibatkan oleh w menuju 10 adalah L”.


Limit

Permasalahan limit dalam matematika tidaklah jauh berbedadengan permasalahan pegas diatas. Secara matematis limitdinotasikan dengan

limx→c

f(x) = L

artinya jika x mendekati c maka f(x) dekat dengan L.

ExampleTentukan nilai dari lim

x→1x2 + 1.


Limit

Pada gambar terlihat bahwa f(x) = x2 + 1 mendekati 2untuk x yang mendekati 1 dari kedua arah. Akibatnya dapat dikatakanbahwa lim

x→1x2 + 1 = 2.

Kemudian perhitungan pada tabel juga memperlihatkan hal yang sama


Limit Sepihak

Mengatakan limx→c+

f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi

x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebutlimit kanan f di c.

Mengatakan limx→c−


x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kirif di c.

Definisi (Informal)Mengatakan lim

x→cf(x) = L jika dan hanya jika

limx→c−

f(x) = L = limx→c+

f(x)

Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jikalim

x→c−f(x) 6= L 6= lim

x→c+f(x) maka lim

x→cf(x) 6= L. Hal ini sama saja

dengan mengatakan bahwa limx→c

f(x) tidak ada.


Limit Sepihak

Mengatakan limx→c+


x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebutlimit kanan f di c.Mengatakan lim

x→c−f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi

x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kirif di c.

Definisi (Informal)Mengatakan lim

x→cf(x) = L jika dan hanya jika

limx→c−

f(x) = L = limx→c+

f(x)

Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jikalim

x→c−f(x) 6= L 6= lim

x→c+f(x) maka lim

x→cf(x) 6= L. Hal ini sama saja

dengan mengatakan bahwa limx→c

f(x) tidak ada.


Limit

limx→1

|x− 1|x− 1

= tidak ada

pehatikan gambar berikut

perhitungan menunjukkan hal yang sama


Limit

Hitunglah nilai limit berikut (Jika ada) :a. lim

x→2

x2−4x−2 f. lim

x→3

x4−18x2+81(x−3)2

b. limx→−1

x3−4x2+x+6x+1 g. lim

u→1

(3u+4)(2u−2)3(u−1)2

c. limx→−t

x2−t2x+t h. lim

h→0

(2+h)2−4h

d. limt→−7

t2+4t−21t+7 i. lim

h→0

(x+h)2−x2

h

e. limt→7+

√(t−7)3t−7 j. lim

t→2

√(t+4)(t−2)4(3t−6)2


Outline



3 Referensi


Definisi Informal

Mengulang definisi diatas :Mengatakan lim

x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat sedekat mungkin

ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.

Mengatakan limx→c

f(x) = L artinya f dapat dibuat seberapadekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke ctetapi x 6= c.Mengatakan lim

x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat sembarang

dekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.


Definisi Informal



ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.Mengatakan lim

x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat seberapa

dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke ctetapi x 6= c.

Mengatakan limx→c

f(x) = L artinya f dapat dibuat sembarangdekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.


Definisi Informal



ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.Mengatakan lim

x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat seberapa

dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke ctetapi x 6= c.Mengatakan lim

x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat sembarang

dekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.


Jarak antara dua bilangan riil

Jarak antara dua bilangan riil x dan y diukur dari nilai mutlakselisihnya atau j(x, y) = |x− y|

j(4, 3) = |4− 3| = |1| = 1j(5, 7) = |5− 7| = | − 2| = 2j(0, x) = |0− x| = | − x| = x


Ilustrasi

Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarakf(x) = 3x ke 3 tak lebih dari 0.1

I Kita menginginkan

j(f(x), 1) = |3x− 3| = |3(x− 1)| = |3||x− 1|= 3|x− 1| < 0.1

I ini bisa dicapai bila

j(x, 1) = |x− 1| < 0.13


Ilustrasi

Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarakf(x) = x2 ke 1 tak lebih dari 0.1

I Kita menginginkan

j(f(x), 1) = |x2 − 1| = |(x+ 1)(x− 1)| = |x+ 1||x− 1|= |x+ 1||x− 1| < 0.1

I ini bisa dicapai bila

j(x, 1) = |x− 1| < 0.1|x+1|

tapi 0.1|x+1| bukan bilangan.


Gambar menyarankan 0.96 < x < 1.04. Jadi kita dapat memilih

0 < |x− 1| < 0.04


Gambar menunjukkan bahwa

0.96 < x < 1.05 ⇒ |x3 − 5x+ 6− 2| < 0.1

1− 0.96 = 0.04 dan |1− 1.05| = 0.05. Pilih δ = 0.04.Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 18 / 79

Definisi Formal

Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidakterdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f(x) mempunyai limit L dix = a ditulis lim

x→af(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0

sehingga

jika x 6= a dan j(x, a) < δ, maka j(f(x), L) < ε

atau0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε


Definisi Formal Limit Fungsi

DefinisiMisalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidakterdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f(x) mempunyai limit L dix = a ditulis lim


sehingga0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

Pernyataan: Untuk setiap penduduk Indonesia terdapat bilanganriil x sehingga x adalah nomor KTP nya.Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiapbilangan riil x bukan nomor KTP nya.






Pernyataan: Untuk setiap penduduk Indonesia terdapat bilanganriil x sehingga x adalah nomor KTP nya.

Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiapbilangan riil x bukan nomor KTP nya.






Pernyataan: Untuk setiap penduduk Indonesia terdapat bilanganriil x sehingga x adalah nomor KTP nya.Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiapbilangan riil x bukan nomor KTP nya.


Definisi Formal Limit

Definisi (negasi limit)Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidakterdefinisi di a. Jika terdapat ε > 0 dimana untuk tiap δ > 0 tidak benarbahwa

0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε


Contoh fungsi tidak mempunyai limit

Misalkan

f(x) =

x− 1 , x < 00 , x = 0x+ 1 , x > 0

Fungsi ini mempunyai limit di tiap x ∈ R kecuali di x = 0.

I pilih ε = 12 . Berapapun kecilnya δ > 0, tidak ada x sehingga

0 < |x− 0| < δ memberikan |f(x)− L| < 12 apapun plilihan L.


Contoh fungsi tidak mempunyai limit

Misalkan

f(x) =

x− 1 , x < 00 , x = 0x+ 1 , x > 0

Fungsi ini mempunyai limit di tiap x ∈ R kecuali di x = 0.I pilih ε = 1

2 . Berapapun kecilnya δ > 0, tidak ada x sehingga0 < |x− 0| < δ memberikan |f(x)− L| < 1

2 apapun plilihan L.


Outline



3 Referensi


Sifat-sifat Limit

Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x2) danmemakan waktu

Strategi

I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasarI Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi

dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.


Sifat-sifat Limit

Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x2) danmemakan waktuStrategi




Sifat-sifat Limit


I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasar

I Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsidibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.


Sifat-sifat Limit





Sifat-sifat Limit

Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka

limx→c

k = k

limx→c

x = c

limx→c

kf(x) = k limx→c

f(x)

limx→c

(f(x)± g(x)) = limx→c

f(x)± limx→c

g(x)

limx→c

f(x).g(x) = limx→c

f(x). limx→c

g(x)

limx→c

f(x)g(x) =

limx→c

f(x)

limx→c

g(x) , limx→c

g(x) 6= 0

limx→c

(f(x))n = (limx→c

f(x))n

limx→c

n√f(x) = n

√limx→c

f(x), syarat limx→c

f(x) > 0 jika n genap.


Teorema akibat

Butir 2 dan 7 memberikan

AkibatJika n ∈ N, maka lim

x→cxn = cn

Bersama butir 3 diperoleh

AkibatJika n ∈ N, maka lim

x→ckxn = kcn


Menggunakan Teorema Limit

Contoh:

Tentukan limx→1

5x2 − 4.

Tentukan limx→4

x2−7x+10x2−10x+24


More examples

Tentukan limx→4

f(x) jika

f(x) =

{8− 2x , x < 4√x− 4 , x > 4

I Tinjau f(x) = 8− 2x untuk x < 4, maka limx→4−

8− 2x = 0

I Kemudian tinjau f(x) =√4− x untuk x > 4, maka lim

x→4+

√4− x = 0

I Karena limx→4−

f(x) = 0 = limx→4+

f(x) akibatnya

limx→4

f(x) = 0


Teorema

TeoremaMisalkan c ∈ (a, b). Jika lim

x→cf(x) ada untuk tiap x ∈ (a, b), x 6= c,

berlaku f(x) = g(x), maka

limx→c

f(x) = limx→c

g(x)

Contoh:Tentukan lim

x→1

x−1√x−1

Solusi:Karena

x−1√x−1 = (

√x−1)(

√x+1)√

x−1=√x+ 1

makalimx→1

x−1√x−1 = lim

x→1

√x+ 1 = 2


Teorema Apit (Sandwich Theorem)

Teorema (Teorema Apit)Misalkan c ∈ (a, b), kemudian f ,g, dan h fungsi-fungsi sehinggag(x) ≤ f(x) ≤ h(x) untuk tiap x ∈ (a, b),c 6= x. Jikalimx→c

f(x) = L = limx→c

h(x) maka limx→c

f(x) = L.


Outline



3 Referensi


Limit Fungsi Trigonometri

Teorema1 lim

t→csin t = sin c

2 limt→c

cos t = cos c

3 limt→c

tan t = tan c

4 limt→c

cot t = cot c

5 limt→c

sec t = sec c

6 limt→c

csc t = csc c

Proof.bukti 1



Proof.Akan ditunjukkan bahwa lim

t→csin t = sin c

Misalkan t > 0, karena radius r = 1, |AP | = t.

sin t = |BP | < |AP | < |AP | = t. Maka 0 < sin t < t.Dengan cara serupa jika t < 0 maka 0 > sin t > t.Akibatnya dengan teorema Apit lim

t→0sin t = 0



limt→0

cos t = limt→0

√1− sin2 t = lim

t→0

√1− 0 = 1

Akibatnya jika h = t− c maka

limt→c

sin t = limh→0

sin(h+ c)

= limh→0

(sinh cos c+ cosh sin c)

= cos c limh→0

sinh+ sin c limh→0

cosh

= cos c.0 + sin c.1= sin c



Teoremalimt→0

sin tt = 1

limt→0

1−cos tt = 0

Contoh: Tentukan nilai limit berrikuta. lim

x→0

sin 3xx

b. limt→0

1−cos tt

c. limx→0

sin 4xtanx


Outline



3 Referensi


Limit at Infinity

Terdapat dua jenis limit yang berkaitan dengan konsep takberhingga: Limit di tak berhingga dan Limit tak berhingga

Ini adalah grafik y = x√x2+1

nilai fungsi ini ketika x bertumbuh tanpa batas (menuju∞) adalahmenuju 1. Kemudian apabila x berkurang tanpa batas (menuju−∞) adalah menuju −1.


Limit at Infinity

Terdapat dua jenis limit yang berkaitan dengan konsep takberhingga: Limit di tak berhingga dan Limit tak berhinggaIni adalah grafik y = x√

x2+1

nilai fungsi ini ketika x bertumbuh tanpa batas (menuju∞) adalahmenuju 1. Kemudian apabila x berkurang tanpa batas (menuju−∞) adalah menuju −1.


Notasi

Notasi f(x) di tak berhingga adalah

limx→∞

x√x2 + 1

= 1

Notasi f(x) di negatif tak berhingga adalah

limx→−∞

x√x2 + 1

= −1


Limit at infinity

Definisi1 Misalkan f(x) terdefinisi pada selang [a,∞) untuk suatu a ∈ R.

Dikatakan limx→∞

f(x) = L, L ∈ R, jika untuk setiap ε > 0 terdapatM sehingga

x > M ⇒ |f(x)− L| < ε.

2 Misalkan f(x) terdefinisi pada selang (−∞, a] untuk suatu a ∈ R.Dikatakan lim

x→−∞f(x) = L, L ∈ R, jika untuk setiap ε > 0 terdapat

M sehinggax < M ⇒ |f(x)− L| < ε


Limit at Infinity

Teoremalimx→∞

1x = 0

Proof.Misal diberikan ε > 0 sembarang. Pilih M = 1

ε . Akibatnya jika x > 1ε

maka 1x < ε atau | 1x − 0| < ε


Example

Misalkan y = f(x) = 5x2+8x−33x2+2

limx→∞

5x2+8x−33x2+2

= 53

limx→−∞

5x2+8x−33x2+2

= 53


Asimptot Horizontal

DefinisiGaris y = L disebut asimptot horizontal dari f(x) jika

limx→∞

f(x) = L, atau limx→−∞

f(x) = L


Infinity of Limit

Ini adalah jenis limit kedua yang menggambarka nilai f(x)disekitar x = c melambung tak terbatas


Limit


Infinity of Limit

Definisi1 Fungsi f(x) dikatakan menuju tak berhingga jika x mendekati c,

ditulislimx→c

f(x) =∞

jika untuk tiap B > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga

0 < |x− c| < δ ⇒ f(x) > B

2 Fungsi f(x) dikatakan menuju negatif tak berhingga jika xmendekati c, ditulis

limx→c

f(x) = −∞

jika untuk tiap B > 0, terdapat δ > 0 sehingga

0 < |x− c| < δ ⇒ f(x) < −B


Infinity of Limit


Asimptot vertikal

DefinisiGaris x = c disebut asimptot vertikal dari f(x) jika

limx→c−

f(x) = ±∞ atau limx→c+

f(x) = ±∞

Contoh: Tentukan asimptot vertikal dari f(x) = x−3x2+2x−15


contoh

f(x) = x−3x2+2x−15 dengan asimptot vertikal garis x = −5 dan asimptot

horizontal garis y = 0


Asimptot Miring

DefinisiGaris y = ax+ b disebut asimptot miring dari f(x) jika

limx→∞

f(x)− (ax+ b) = 0 atau limx→−∞

f(x)− (ax+ b) = 0


Outline



3 Referensi


Kekontinuan fungsi

Perhatikan gambar berikut


Kekontinuan fungsi

DefinisiMisalkan f(x) terdefinisi pada interval buka I dan c ∈ I. Fungsi fdisebut kontinu di titik c jika

f(c) = limx→c

f(x)⇔ f(c) = limx→c−

f(x) = limx→c+

f(x)

Artinya agar kontinu di x = c, fungsi f(x) harus memenuhi ketigasyarat berikut:

I limx→c

f(x) adaI f(x) ada (f(x) terdefinisi di x = c)I lim

x→cf(x) = f(c)

Grafik fungsi kontinu dapat digambar tanpa mengangkat pena.


Tak Kontinu Terhapuskan (Removable Continuity)

DefinisiDiberikan fungsi f(x) yang tak kontinu di x = c. Kekontinuan f di cdisebut terhapuskan bila f(c) dapat diubah sehingga f(x) menjadikontinu di x = c.

Contoh:

Misalkan f(x) =

{x2−4x−2 , x 6= 2

5 , x = 2

Periksa kekontinuan f di titik x = 2?


Kekontinuan sepihak

DefinisiFungsi f disebut kontinu kiri di x = c bila f(c) = lim

x→c−f(x)

Fungsi f disebut kontinu kanan di x = c bila f(c) = limx→c+

f(x)

Definisi (Kekontinuan pada interval)Fungsi f disebut kontinu pada interval buka (a, b) bila f kontinu disetiap titik pada (a, b)

Fungsi f disebut kontinu pada interval tutup [a, b] bila f kontinupada (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.


Sifat-sifat

Suatu polinom p(x) kontinu pada seluruh R.

Fungsi rasional (p(x)q(x) , dengan p(x) dan q(x) polinom) kontinu padaseluruh daerah definisinya.Fungsi f(x) = |x| kontinu pada seluruh daerah definisinya.Fungsi f(x) = n

√x dengan n ∈ N kontinu pada seluruh daerah

definisinya.Bila f , dan g kontinu di titik c dan k ∈ R maka:kf, f + g, f − g, fg, fg dengan g(c) 6= 0, fn, dan n

√f kontinu di c.


Contoh soal

1 Sketsalah sebuah grafik fungsi yang memenuhi syarat-syaratberikut:

I Daerah definisinya [−2, 4]I f(−2) = f(0) = f(1) = f(3) = f(4) = 1I f kontinu di seluruh Df kecuali di x = −2, x = 0 dan x = 3.I lim

x→−1−f(x) = 2, lim

x→0+f(x) = 2, dan lim

x→3−f(x) = 1.

2 Tentukan a dan b agar f(x) =

−1 , x ≤ 0ax+ b , 0 < x < 11 , x ≥ 1

kontinu di R.


Teorema nilai antara (TNA)

DefinitionMisalkan f kontinu pada [a, b]. Bila w bilangan diantara f(a) dan f(b)maka terdapat c ∈ [a, b] sehingga f(c) = w.


TNA tak berlaku

Bagaimana bila f tidak kontinu pada [a, b]?

Bila f tak kontinu pada [a, b] maka ada d diantara f(a) dan f(b)sehingga tidak ada c ∈ [a, b] dengan f(c) = d


TNA tak berlaku

Bagaimana bila f tidak kontinu pada [a, b]?Bila f tak kontinu pada [a, b] maka ada d diantara f(a) dan f(b)sehingga tidak ada c ∈ [a, b] dengan f(c) = d


Soal

1 Tunjukkan p(x) = x3 + 3x− 2 mempunyai akar real diantara 0 dan1.

2 Tunjukkan p(x) = x5 + 4x3 − 7x+ 14 mempunyai paling sedikitsatu akar real.


Outline



3 Referensi


Garis singgung?


Pendekatan dinamis


Gradien y = x2


Outline



3 Referensi


Referensi

E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition,Singapore 2009.

Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB 2011.

R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin HarcourtPublishing Company, Boston USA 2009.


dadang amir hamzah · apabila regangannya mendekati suatu nilai lmaka dikatakan bahwa ”limit dari...

Documents