dazuad- - hilbert.math.uni-mannheim.dehilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/hm2/teil12.pdf ·...

10
ohere Mathematik II WS 2003/2004 wir m¨ ussen zun¨ achst die Matrix berechnen. Wie wir bereits zu Beginn von 1e) gesehen haben, ist 2 die Einheits- matrix, woraus folgt, daß = cosh 1 sinh 1 sinh 1 cosh 1 und = cosh sinh sinh cosh ist, also = cosh( ) sinh( ) sinh( ) cosh( ) = cosh sinh sinh cosh . Wir brauchen die Funktion ()= cosh sinh sinh cosh 0 6 sinh = 6 sinh 2 6 sinh cosh und m¨ ussen diese integrieren. Beginnen wir mit dem ersten Eintrag: 6 sinh 2 = 6 2 2 = 3 2 ( 2 + 2 2) = 3 2 2 2 2 2 2 + = 3 4 ( )( + )+3 + = 3 sinh cosh +3 + . Genauso finden wir auch eine Stammfunktion des zweiten Eintrags: 6 sinh cosh = 3 2 ( 2 2 ) = 3 4 2 + 2 + = 3 4 2 +2+ 2 + 3 2 =3 + 2 2 + = 3 cosh 2 + . Kap. 4: Differentialgleichungen Da wir nur eine spezielle L ¨ osung brauchen, k ¨ onnen wir die beiden Inte- grationskonstanten unbesorgt auf null setzen; jede andere Wahl w¨ urde nur bedeuten, daß wir eine L¨ osung der homogenen Gleichung dazuad- dieren. Also arbeiten wir mit ()= 3 sinh cosh +3 3 cosh 2 und die gesuchte spezielle L ¨ osung ist ()= cosh sinh sinh cosh 3 sinh cosh +3 3 cosh 2 = 3 sinh cosh 2 + 3 cosh + 3 cosh 2 sinh 3 sinh 2 cosh + 3 cosh + 3 cosh 3 . In der ersten Zeile dieses Ergebnisses heben sich der erste und der dritte Term gegenseitig weg; in der zweiten ist 3 cosh 3 3 sinh 2 cosh = 3 cosh (cosh 2 sinh 2 ) = 3 cosh . Als Endergebnis erhalten wir somit die spezielle L¨ osung () () = ()= 3 cosh 3 sinh + 3 cosh . Insbesondere ist ( ) = 3 cosh eine spezielle L ¨ osung der Ausgangsgleichung ¨( ) ( ) = 6 sinh , und die allgemeine L ¨ osung dieser Differentialgleichung ist ( ) = 3 cosh + cosh + sinh mit beliebigen Konstanten aus oder – je nachdem, ¨ uber welchem der beiden K ¨ orper wir das Problem betrachten. Die Beispiele aus diesem Abschnitt zeigen nur einen winzigen Aus- schnitt der M¨ oglichkeiten, wie Symmetriebetrachtungen zu L¨ osungen von Differentialgleichungen f¨ uhren k ¨ onnen; ihre volle N ¨ utzlichkeit ent- falten sie erst bei nichtlinearen Differentialgleichungen und Differenti- algleichungssystemen. Im Rahmen dieser Vorlesung bleibt keine Zeit,

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ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

03/2

004

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chne

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bere

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und

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sinh

sinh

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cosh

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+

�� .

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nw

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intr

ags:

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=3 4

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� 2�� +

=3 4

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+

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� �3 2

=3

� �� +

��

2

� 2 +�� =

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sh2

+

�� .

Kap

.4:D

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entia

lgle

ichu

ngen

���

Da

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ines

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elle

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3

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sinh

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cosh

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sh2

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� � 3si

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+3

cosh

+3

cosh

2

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cosh

+3

cosh

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ich

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rste

und

derd

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nsei

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rzw

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nist

3co

sh3

�3

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2

cosh

=3

cosh

(cos

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sinh

2

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sh

.

Als

End

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bnis

erha

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irso

mit

die

spez

ielle

Los

ung

��� (

) �

(

)

� =

�� ���� ( )

=

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cosh

3

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+3

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� .

Insb

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� (

)=

3

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eine

spez

ielle

Los

ungd

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leic

hung

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)

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)=

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nh

,

und

die

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neL

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rent

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leic

hung

ist

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� cosh

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mit

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bige

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��� aus

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–je

nach

dem

,uber

wel

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eide

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rent

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falte

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fere

ntia

lgle

ichu

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Dif

fere

nti-

algl

eich

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.ImR

ahm

endi

eser

Vor

lesu

ngbl

eibt

kein

eZ

eit,

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Hoh

ere

Mat

hem

atik

IIW

S20

03/2

004

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aufe

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liche

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von

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met

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Sym

met

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rent

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,S

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met

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nD

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rent

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n)Sym

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me-

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die

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2–19

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nhei

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ER

(184

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iebr

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wis

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auch

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ST

EIN

sR

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Inte

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tinge

nal

ser

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athe

mat

ikha

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urde

sie

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tG

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und

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Maw

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und

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itute

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arbe

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hung

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imle

tzte

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grap

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enha

ben)

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ungs

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riegi

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erde

nde

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bsog

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Wes

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chni

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near

ePro

blem

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en.

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lgle

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ngen

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htlin

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ngen

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rmge

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wer

den;

trot

zdem

lohn

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eS

uche

nach

eine

rLos

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el,de

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lche

Form

elge

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sser

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sage

n ube

rdas

Ver

halte

nder

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unge

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kann

eine

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iede

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nang

ewan

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ung

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r)al

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enko

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