£ • 3 ^ 5DE

STATIONIBUS PLA NETA RU M DETERM INANDIS

DISQUISITIONES

Q U A R U M P A R T E M P l l l M A M

V E N . A M P L . F A C U L T , P H I L O S . U P S A L .

_P. P.

M A G . E R I C U S a l m q y i s tNorrlandus

E T

T O N N E S II E L L M. W R A N G E LComes, Slip. Helmfeldt. SjMolandus.

IN A U D I T . G U S T . D IE IX D E C . DIDCCCXXX.A 'H . A . M . S.

U P S A L I Æ'E X C U D E B A N T R K G I A C A C A D W U T Y P O G R A P H Y

Huldaste Föräldrar

h e 1 g a d t

af

Sonlig kärlek, vördnad och tacksamhet.

D ES T A T I O N I B U S P L A N E T A R U M D E T E R M I N A N D I S

D IS Q U IS IT IO N E S .

tam reliquerunt A ftronomi , tum neque in punctis s ta t ionum planetarum determinandis diligentiam fuam de- f ideratam voluerunt . Hic autem plerique, quos nobis quidem cognofcere licuit , ita verfati funt, ut partim orbitas p lanetarum circulares atque concentricas in plano Ecliptico poneren t , partim v e r o , cum fatis in cete- r is facerent, locum planetæ alterius in orbita ipilus cognitum (lationis momento f tatuerent . N eque nos ita ufui aftronomico fatis omnino factum denegaver imus, prsefertim cum res ipfa omnis non maximi cujusdam momenti in difciplina esfe videatur ; fed quoniam Theoria maio rem, quam praxis et admitt it e t , u t perfecta f i t , poftulat diligentiam, veniam B. L. nobis conceslum iri crediderimus, fi, fpecimenAcademicum 'edituri, difputandi materiem hinc potisfiinum defumeremus. Itaque in eo laborav im us , u t , disquifitione ab initio rei inflituta, cognofce remus , quatenus et quoad Theoria m om enta (lat ionum planetarum determinari commode admittat. Difficile e(l in a r t e , to t maximorum vi rorum conjunctis laboribus il luflrata, nifi poft ampla et diuturna (ludia novi aliquid, quod quidem majoris cujusdam momenti fit, in medium afferre, quapropter liceat minora quædam t r ac ta re , et in fpicis, quas alii neglexe. rint, legendis noftram operam ponere.

par tem difciplinæ fuæ incnl-

§. 2. E x Theor ia igitur legis attractionis tanquam cognr- ta fumimus, non tantum orbitas t e r ræ planetæque el- lipticas circa focum earum com m u n em , So lem , verum etiam utr iusque orbitæ elernenta omnia. I taque , quum motus adparens planetæ ex vero iplius atqne te r ræ motu circa Solem compoficus e f t , prima cura atque opera noftra in eo verfetur , ut t e r ræ a tque planetæ orbitas ad eosdem axes coordinatos, rectos inter fe angulos formantes , transformatione idonea referamus.

Sit igi tur orbitæ Telluris axis m a jo r= m , axis mi- n o r = n , r a t io , quam ad axem majorein habet excentr i- c i t a s = re , atque tempus revolutionis f idera ! is=T. E æ - dem vero l i t teræ punctatæ ad eadem elementa planetæ cu juscumque fignificanda adhibeantur. Jam fi ob brevita tem ponimus z— t* zze2, e r u n t , pofitis nempe /3' et cc coordinatis orbi tæ Telluris atque y' et x' coordiuatis or bitæ planetæ,

(3'2-\-e2 ot'2 2eez mo6— e*m2zzzo . . . (/).

y % - f - e 2x ' a - f - 2e e 2 t r ix —V 4 » / 2 — o . . . ( 2 )

aequationes ad orbitas Telluris et planetæ in fuo cujus- que p l a n o , in quibus aequationibus axes abfcislarum , originem communem ducentes ex centro So li s , lunt axes majores orbitarum fuarum, axes vero ordinatarum ad hos perpendiculares. P onan tu r autem novi axes coordinatarum tres ree tæ lineæ in centro Solis coeunt e s , qua rum linea Nodorum fiat axis toZ x : axis vero rov y , ad hanc rec tum angulum faciens, in plano Ecliptico jacea t , ad quod planum axis t c v z perpendicularis fit.

Sint deinde J inclinatio orbitæ planetæ ad planum Eclipt icum» N longitudo Nodi» n e t 7x longitudines

peri h ei i i orbi tarum, efc ponan tur brevitati« caufa 7r— N=zo0) = — fin = ■ * ------ , habebimus

b = c o s ^ t a n g \J/,6 == c o s ^ tang y x vel &'= — c o s ^ cotang\[/;

* ev /» » • *'cos xif = - — = c o s ‘7 fin co su ii = ....... —V ' 4 -cr--l-&2 V i+ * 2+ 5' 2

=5 Q o sj CoS\|/.E x eo au tem , quod manifefto eft B=tang

x r z x'cosx'x H- y c o s y x e t y == x ’co sx ’y + y cosy y , unde fequitur, u t x^=cos\{/.x'— Roxp.y', y = c o s J Rn\p. x ' -J - c o s ^ c o s \ ( a y ;

vel denique xrzrfecJfinvJ/.y-f-coSvjAx; e t y ' z^CecJ? cos \p y — fin\^.x.

Simili ter , vel et iam fi in his formulis poni tu r ,ÿ=

s/= longitudo pi n e tæ hel iocentr ica, quae quidem longitudines a linea N odorum æf timentur , et A=lat i tudo planetae hel iocentrica: l' vero e t b! longitudinem et latitu-

ydinem planetae geocentricas esfej e run t certe — s: tang i,

— = tang L , — t a n g X , = tang/ etc6 X— cc

------------ = tang h \ E x quo fequitur, utV ( * — 'ß )2mom entum oppofitionis aut conjunctionis incidat, cum eft t a n g / = t a n g £ ; ideoque cum / = L , vel l— L ± i8o°, et quidem i ta, ut cum eft / = L oppofitiones eveniant planetae fuperioris, inferioris autem planetae conjunctiones inferiores; cum vero eft l= iL + i$o0 conjunctiones planetae fuperioris fuperioresque conjunctiones planetae in ferioris.

tj ßH æ c aequatio — = — una cum ceteris aequationi-

X ccb u s , quæ leges motus planetae Tellurisque definiunt, revolutionem planetae, fie dictam Synodicam , fuppedi- t e t ; quod obiter tantum commemoratum voluimus. Hic autem momenta et oppofitionum et conjunctionum cognita ponimus.§. 4. Quod fi j a m , his ita pofitis, planetarum ftationes adcurat ius confideramus, diverfæ earum fpecies dari pos- fe viden tur: nam aut ftationalem fefe praebet planeta refpectu longitudinis t a n tum , aut invariabiles forfan ad- parebunt et longitudo et latitudo ejusdem; aut denique latitudine tan tum fiationalis videbitur. Quorum cafuum jam primum examinare animus eft.

U t igitur invariabilis videatur longitudo p î a n e t æ ,y — ß

uecesfario erit / '=conf tans , unde et iam tang / ' = ------x - ooy — ß

—: c; ideoque d. - ------ = o, hoc est ( x —a') [dy— dß)X — OC

^ Qy— ß)(dx —dec) z= o . . . (s). Sed e x Theoria at tractionis 3) condat esfe cc'dß'— ß'doc=.kdt, x d y '—y'dx'zzk'dt;

k' f'i y r T * r \ubi e d - = - 1 / — vel (fi pomtur — = r ) —= — :

k e 1 d H eex quo , cum differentiationis ope dant Formulae ( x \ y ,ß , cc\ §. 2) oc'dß' —ß 'dec =zccdß— ßdet, et ( x d y —y d x )X e c J— x d y — y d x , habebimus ctdß — ß dec = kdt . . . . (

—p ß — qcc\ -+- ( s — py— qx)^S — Pt3— Qcc-f- Gxß -f- Guy — A ß y— Botx— P y— Qx'j> = o . . . . Qio.J

A tq u e haec quidem æquat io una cum aequationibus ( 3 ) (4 . ) (6.) (7.), commode trac ta t is , fufficientes fine du- bio e ruu t ad dat ionum momenta determinanda; fed nobis adcura tam hujus problematis folutionem tentantibus tam prolixae objiciebantur calculationes tamque arduae difficultates, ut nifi vires par i ter atque modum opellæ egredi vel lemus, intra arct iores quosdam limites (ubfi- f tere necesfario cogeremur, I taque noftra opera dehinc non nifi circa eum cafuin ver fabi tu r , in quo ex^entr i- ci tates orbi tarum adeo exiguae funt, ut termini, qui cum fecunda excentr ici tatum dimenfione et cum producto primae dimenfionis earum multiplicati occurrun t , negligi posfint refpectu habito ad te rm inos , in quibus excentri- ci tates tam quam factores haud reperiuntur . Quod fi u- fui non femper fatis fufficeret, tamen prodesfe posfic tamquam an tecedens adproximatio, cujus ope momenta (lat ionum poftea adeuratius de te rminen tur : ad quam reminfra redibimus,. N

§. 5. Neglect is igitur t e rm in i s , qui cum excentricitati- bus fecundae dimenfionis vel cum producto excentr ici tatum primarum dimenfionum multiplicati funt; vel, quod idem eft, pofitis ubicumque e7z=:oJ ee'=zo, e'2z zo , t ransferun tu r aequationes (j ) et (4.) in fequentesß 2-\-ctz-t-2ePß+2eQcc— S = o , y 7- h cos7 J x 2- } - 2e py + 2e qx — s=o 4 )

y r ßvel li ponitur — — = -9-, et c o s j = c9

4 ) Obfervandum eft, coèfficientes P , Q, p, q, heic ron plane eandem habere fignificationem atque P , Q, p , q in § . 2 «io» Illae autem in has per multiplicationem cum t atque e evadunt»

(/ -+- B 2) a* -J- 2b(PB -J- Q) 06 — 5 = o . ; . (A),(c 2 + B '2) X 2 -4 * 2 t\p B ' •+- q)x—/ = o . . , . (/i)

Iisdem pofitis aequatio (jo) in hanc, fecundum di men- fiones rev X ordinatam, abit

* ( f + P & ) ( /+ & & > * 9— < x ( Q + P ^ > f r ^ 9+ ^ /KQ+ P ö ) * 0 -f-c 5 (f+friOOjf ) H- £x(/ -f- BB ) -4- Sctj (c2-4- && ̂ %— ̂ 0 T (Q “t* (j"4“^ t ) + b'Sc t j [q 4* p*$) ) &— X S {i •4- fry) ^= o : . . (C.)

Cum e x hac efc aequatione (B.) x e l im inatu r , reftat asquatio finalis inter B e t B': e t facta deinde e x t e r minatione reo cc ope illius et æquationis ( A .) mane t denique aequatio finalis inter B' et B, q uæ , neglectis t e r minis cum «2, e 2 e t ee multiplicatis, hanc formam as- fumit

^ / /S ̂ / (t *4— BB ) •4* 5c t t {c2 4 - BB ) ̂s rS (t 4- tr \ ) V j + B 2) (c1 -+ -3 '2)

vel , cum p e r 5Vx5 dividitur

7 ( 1 + W ) + ‘r\- (c* 4 - BB)O

= (i + «•}) 1 / 4 (i + S») («* + S '3)

»»'* 7V* / cam'aSed 3) r * = T *’ u n d » J = — -

vel denique ('cum eft c2: = c o s 4^ , .9- = t a n g £ , £ '= t a n g O adhibitis folitis t ransformationibus Trigonometricis,

( i - + - c o s J t ) c o s ( L — l) = fin ZJ c o s L c o s /«+TT( ï+ c o s ^ t t ) \ A — fin2^ c o s a/ . . . {D)

Pofito igitur L z zu , oppofit ione vel conjunctione incidente, in ipfis vero moment is f tat ionum L = m 4 :^ / , 5); erit omnino in ftationibus circa oppofit ionem inferiorem- que conjunctionem /sr iH-J/ ; circa vero conjunctiones fu- per io res Is=+iXo0-bu-\-$L Quibus valoribus rcv L et rov l vfubftitutis, pofitoque z-f-cos,ÿr=.fl, Ty(z + cos,7ry) = 6 , aequatio (D) in fequentem abit formam: cos (J7,—

in terminis cum fin2^ multiplicatis e r ro r quidam in '$L e t $1 determinandis committatur , imo fi plane omittan tu r hæ quan t i ta tes : atque ut in radicali illo explicando t e r m in o s , qui cum fin4^ mult ipl icentur , negligere licear. Quibus adinisfis fequentes oriuntur formulae;

co s{XL— 3l)fin zJ c o s («-\-ft) (eos to+JD — ^cos(«rf~J/) )+ b '

cos [

e x quibus formulae (/) et (/) in ftationes circa oppofitio- nes et conjunctiones inferiores, (2) et (2) au tem in ce te ras ftationes valent. A nimadver tendum vero eft , (fiL -S i) duos habere valores aequales, al terum pof i t ivum, nega t ivum al te rum, (v e l esfe (JL—

conjunctionis incidit, per A et 'A 7) repræfentan- tur , v au tem et v \ eædem fint celeritates / indefinitae» erit omnino , quia ob exiguitatem excentr ici tatum has celerirates uniformiter aut crefcentes aut decrefcent^s ponere liceat intra id tempori» fpatium , quod intra o p . poli tionem vel conjunctionem et m om entum (lationis p ræ te r l ab i tu r , ad hoc ipfum m om entum u = A + Aafi v = 'AHKA2/j 5) ideoque $L— AH-j-A3/ 2, et ^ / ^ A H K i Aa/ 2(; unde (c)'L -J/) = - M = ( A — 'A)/- h 4-(AT— 'A,)/*: ex quo habebimus aequationes tempus ( lat ionum determinantes:

(A2- ' A a) l * ± a ( A - A ) /= 2 0 5) . . . (ff)

('Aa— A J / 2+2( 'A— A) / = 20 . 5) . . . (.?)

quarum aequationes (H) ad planetas fuperiores, aequatio- neS ( 3 ) ad planetas inferiores adhibeantur.

Hinc igi tur adproximative cognito tempore (lationis, et q u æ e x hoc fequuntur

ridiano tempore ejusdem diei erat longitudo Telluris 9) hoc efi: u + 20*1/38"; unde «=22/®'4623".

H o ru m elementorum ope invenimus a z z 12,85864. b— 7,4S(>386; quibus vaioribus in formula (G. 2) fubftitutis, e r u i t u r Q— 12503156''^452036'' . . A t erat et iam hoc ipfo

/ / / ✓ ' / / A / / / _______ „ / / A • / 'die A==>7 4° . • • • > A=*4 45- = 2 # . . , A2= + r= 0 ; atque adeo ad Arationem poft conjunctionem

$ L —s j 4 6 o " t 4 - i P i S l— 2 8 5 ' t ; u n d e J L — J1/ = 0 z z 4 3 2 0 3 6 " zz3i75t+ ?tZ j hoc eft

t z+ 2 3 i7S t = m °72E x qua aequatione tandem erui tu r t= i3 2 7^36' 29" :

ita u t ftatio illa Jovis incidere debuislet d. 31 Dec. h.p. m. 3 h 16' 29".

Si quis autem adcuratius hujus ftationis mom entum habere op te t , fubftituat in formula (E2. ' ) longitudines, quae hoc tempore habebant te rra atque Jup i te r , e t cum quibus elementis computationem denuo fufcipiat.

9 ) Hæc longitudo, quemadmodum eiiam valores tov A, rov 'A etc. ex Aftronomifcbes Jahrbuch für das Jahr 18131 von J. E , Bode, petita funt.