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Exercises enVision Par Ordinateur

James L. Crowley

DEA IVR Premier Bimestre 1997/98

Contenus :

Part 1 - Formation d'Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Part 2 - Reconnaissance de Forme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Part 3 - Description d'Image ............................. 7Part 4 - Appariement et Streo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Vision par Ordinateur Exercises

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Part 1 - Formation d'Image Sances 1, 2 et 3

1) (6 points) Soit une camra monte sur un mobile. Le mobile a une rfrence (note "m") telle quele mobile se dplace dans le plan (xm, ym). Le dplacement se fait selon la direction xm. L'axe ym estperpendiculaire aux dplacements. L'axe zm est la verticale.

xm

ymzm

zc

xc

yc

La camra est positionne avec son centre de projection 100 mm la verticale de l'origine descoordonnes du mobile, soit (0, 0, 100mm). L'axe optique de la camra (L'axe zc) est align avecla direction de dplacement du mobile (c'est--dire avec xm).

Les images, de taille de 512 par 512 pixels sont telles que les pixels couvrent une surface de 0,01 mmpar 0,01 mm. Le centre optique traverse l'image au pixel 256, 256. La focale du systme est de 10mm.

a) (2 point) On souhaite travailler en coordonnes de la rtine. crire la matrice qui transforme lespositions des pixels (i, j) en coordonnes sur la rtine : (xr, yr).

b) (2 points) crire la transformation mr M exprimant la projection des points de la scne relative aumobile mP = (xm, ym, zm) aux coordonnes de la rtine rP = (xr, yr).

c) (4 points) Soit un point dans l'espace exprim relatif au mobile mP= (xm, ym, zm) pour lequel laprojection sur la rtine est rP = (xr, yr). Un dplacement s du mobile (dans la direction xm) engendreun dplacement de la position sur la rtine du point. Le trajet d'un point dans la rtine est exprim parla Jacobien mr J.

mr J =

rP s =

[ ]xryr s =

xrs

yrs

Utiliser mr M afin de dterminer les fonctions xr = fx(s, xm, ym), yr = fy(s, xm, ym) et le Jacobien mr J.


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2) (4 points) Vous tes demands de faire un systme de visualisation pour les modles d'objetscompos de segments 3D. Chaque segment est une paire de points 3D (P1, P2) (en mtres) exprimdans le repre d'une estrade circulaire d'un rayon de 50 centimtre. La camera virtuelle peut treplace n'apporte quel point dans un hmisphre de rayonne 1 mtre autour de cette estrade, avec sonaxe optique toujours orient vers l'origine de l'estrade. Votre systme doit avoir comme paramtre lesangles d'azimut, , et de site, , du point de vue, ainsi qu'un paramtre d'chelle, S. Dterminer laformule pour la matrice de projection si M. Est ce qu'un changement d'chelle est quivalent d'unchangement la rayonne du hmisphre?

xs

ys

zs

xc

yc

zc

xc

xs

ys

zs

zc

yc

Rotation en azimut Rotation en site

(4 points) Vous avez une camra noir et blanc qui regarde une sphre de rayon 10 cm pose sur unetable noire. La sphre occupe une zone au centre de l'image d'environ 256 pixels de largeur et dehauteur dans une image 512 x 512 pixels. La premire ligne de l'image qui contient la sphre est j0 =128. L'Albdo de la sphre est 50% lambertienne est 50% spculaire.

Source pointu de lumire

45 Sphre

Scne Image (approximation).


4

Soit un gain de camra tel qu'une image de la source point donne un pixel de valeur 255. crire lafonction mathmatique des valeurs des pixels de la colonne au centre de l'image.3) (8 points) Vous disposez d'une camra monte sur un bras robotique. L'objectif de la camra a unefocale F mm. L'axe optique traverse l'image au pixel (Ci , Cj) et les pixels ont une taille de Di x Dj(pixels/mm). Le foyer optique de la camra est positionn dans le repre de la scne en position P =(0, 1, 1). L'axe optique est dans le plan x=0, avec un angle vers le sol de 45 .

a) Quelles sont les matrices ri C cr P et scT

et leur composition si M, telles que

w iP

= ri C cr P scT

sP = si M

sP

b) Au temps to = 0, votre systme de vision observe une sphre de rayon 10cm, d'albdoparfaitement uniforme, dtecte par un simple seuillage de l'image au centre de l'image. L'image de lasphre occupe un disque de rayon 128 pixels. La sphre se dplace vers la gauche une vitesse de 1cm/seconde. crire le vecteur d'tat pour un modle 3D de la sphre et son dplacement. criregalement une matrice de covariances pour ce vecteur d'tat.

c) crire l'quation de prdiction pour l'tat de votre sphre au temps tk = tk1 + t

d) Un seuillage de l'image mlange du bruit avec l'image de la sphre. Dcrire un algorithme delocalisation de la sphre partir de la prdiction donne en c).

4) (4 points) Vous tes sur une piste de ski, comme le montre la figure ci-dessous. La soleil brilledans le ciel 45. Il y a une belle neige toute frache sur la piste (une surface "lambertian" avec L =0.9), et pas une seule trace. Sachant que l'intensit du soleil est L cd/m2, calculer l'intensit auxpoints A, B, C, et D.


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5) (6 points) Vous disposez d'une camra monte sur un support. Le foyer optique de la camra estpositionn dans le repre scne en PG = (0, 70.7 cm , 70.7 cm) avec l'axe optique orient versl'origine du repre scne. L'objectif de la camra a une focale F = 25 mm, et l'axes optique traversel'image au pixel (Ci, Cj) = (256, 256). La rtine, d'une taille de 5.12 mm par 5.12 mm, estchantillonne pour former une image de taille 512 x 512 pixels.

Un cube de taille 10 cm est situ l'origine du repre scne. Le cube est orient tel que le point R0 et(0, 0, 0), le point R1 est (7.07, 7.07, 0) et le point R2 est (0, 0, 1).

70.7 mm

70.7 mmR0

R1

R2

a) Dterminer la matrice si M

qui projette les coordonnes de la scne dans l'image.

b) Calculer la position dans l'image des 7 coins du cube visibles depuis la camra.

c) Dessiner les segments de contraste trouvs dans une telle image en respectant leur position dansl'image.


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Part 2 - Reconnaissance de Forme Sances 4, 5, 6

6) L'anne passe, une classe de 40 tudiants du cours C ont obtenu les notes illustres parl'histogramme suivant :

0123456

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0

La promotion comprenait 30 tudiants venant de la formation A et de 10 tudiants de la formation B.Les tudiants de la formation A et B ont eu les histogrammes de notes suivants:Notes du cours C pour les tudiants de la formation A :

0123456

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0

Notes du cours C pour les tudiants de la formation B :

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0

a) (2 points) Soit un tudiant ayant obtenu une note de 13. Quelle est la probabilit qu'il provienne dela promotion A? Quelle est la probabilit qu'il provienne de la promotion B?

b) (2 points) Calculer la moyenne et la variance des notes des tudiants issus de la promotion B.

c) (2 points) Supposons que vous voulez estimer la provenance (promotion A ou B) d'un lve par sanote. Est-il raisonnable de le faire en utilisant une distance de Mahalanobis par rapport aux moyennesdes promotions A et B. Si oui, pourquoi? Si non, pourquoi pas?


7

Part 3 - Description d'Image (Sances 7, 8, 9 et 10.)7) (2 points) Utiliser la fonction de transfert pour dmontrer les relations suivantes:

a) 2 Cos(a) Sin(a) = 1 - Sin(2a)

b) 4 Cos(a) Sin(b) = 2 Sin(a+b) 2 Sin (a-b)

8) (2 points ) Quelle est la fonction de transfert du filtre suivant ?

L(i, j) = - 1 - 2 - 1 -2 12 -2 - 1 - 2 - 1

9) (2 points) Soient les filtres de lissage suivants :

b2(i,j) = 116 1 2 1 2 4 2 1 2 1

Combien de fois faut-il filtrer une image avec b2(i,j) afin d'obtenir l'quivalence d'un filtrage avec unfiltre Gaussien de = 2 pixels?

10) (2 points) Utiliser la fonction de transfert pour dmontrer les relations suivantes:

a) cos2 = 12 (1 + Cos 2) b) cos3 = 14 (3Cos + Cos 3)


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b(i) = 1 4 6 4 1 b(j) = 1 4 6 4 1

b(i,j) = 1 4 6 4 1 4 16 24 16 4 6 24 36 24 6 4 16 24 16 4 1 4 6 4 1

Quel est le cot de calcul par pixel mesur en nombre d'addition et nombre de multiplications pour lesoprations suivants? Considrez qu'une multiplication n'est pas ncessaire pour un coefficient devaleur "1".

a) p(i, j) * [ b(i,j) ]*2

b) [p(i, j) * b(i,j) ] * b(i,j)

c) [[[p(i, j) * b(i) ] * b(i) ] * b(j) ] * b(j)

d) [[p(i, j) * [ b(i) *2 ] * b(j) *2 ]

e) Soit les images de 16 bits, avec une valeur initiale dans la gamme [0, 255]. Est ce que les rsultatsdes calculs des quatre oprations au-dessus seront quivalents?

12) (4 points) Vous souhaiter re-chantilloner une image, p(i, j) en prenant chaque deuxime colonnede chaque deuxime ligne. Soient le filtre de lissage :

b(i,j) = 116 1 2 1 2 4 2 1 2 1

a) Combien de lissages avec ce filtre faut-il faire avant le r-echantillonage afin d'assurer quepour tous frquence (u, v) suprieur du frquence de Nyquist, ( | P(u, v) | < 24. ))

b) Quelle est la taille (en pixels) du filtre quivalent? Quelle est sa variance?


9

13) (4 points ) La Laplacienne d'une fonction f(x,y) est dfinit par :2f(x,y) = 2f(x,y)x2

+ 2P(x,y)y2

a) (1 point) Quels filtres peuvent tre utiliss afin de calculer une approximation discrte de laLaplacienne d'une image?

b) (2 points) Expliquer pourquoi il est possible de calculer une Laplacienne d'une image avec un seulconvolution, quand il faut au minimum de deux convolutions de calculer le module du gradient del'image?

c) (3 points) Utiliser le filtre de la Laplacienne la plus simple afin de calculer la Laplacienne de l'imagesuivant :

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

14) (2 points) Utiliser la fonction de transfert pour dmontrer la relation :

cos2(a) + sin2(a) = 1


b2(n) = 14 1 2 1 u3(n) = 13 1 1 1 u5(n) =

15 1 1 1 1 1

a) (3 points) Driver la fonction de transfert pour chaque filtre. Dessiner la courbe de chaque fonctionde transfert. Indiquer les frquences pour lesquelles la rponse d'une corrlation serait zro.

b) (1 point) Soient les signaux s1(n) = cos(n pi2). Quels sont les changements d'amplitude et lesdcollages en phase induits par une convolution de s1(n) avec le filtre b2(n)? (indiquer la formule etla valeur numrique).


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c) (2 points) Soit k convolutions de b2(n) avec s1(n)

Lk(n) = s1(n) * [b2(n)]*k

Quels sont les changements d'amplitude et les dcollages en phase de Lk(n) en fonction du nombre delissages pour k=2, 3, 4, 5 et 6? Dessiner la courbe de Lk(n) pour k=1,2,3,4,5 et 6.

16) (4 points) Dans le cours, nous avons utilis la fonction de transfert et la convolution des filtrespour prouver l'galit :

-4 sin(a) sin(b) = 2cos(a+b) 2cos(ab)

En appliquant la mme technique, dduire les quivalences pour les fonctions suivantes :a) cos(a) + cos(b)b) cos(a) cos(b)c) 4 cos(a)2d) 4 cos(a) sin(b)

17) (2 points) Nous effectuerons un re-chantillonnage avec une distance de x = 2 pixels. Quelfiltre binomial faut-il utiliser pour assurer que toute frquence suprieure la nouvelle frquence deNyquist pix soit diminue par une attnuation infrieure ou gal

164.

18) (4 points) Un collgue a propos le filtre suivant pour dtecter les segments de contrastehorizontales. Expliquez les problmes ventuels avec ce filtre.

m90(i, j) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

19) (2 points) Quel filtre peut-on utiliser pour obtenir un lissage d'une image avec 2 = 4.0 ?

20) (2 points) Quel filtre peut-on utiliser pour obtenir la troisime drive d'une ligne d'une image?


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21) (8 points) Les oprateurs m0(i, j) et m90(i, j) sont les approximations discrtes du gradient.

m0(i, j) = 1 1 m90(i, j) = 11

a) Calculer la corrlation des oprateurs m0(i, j) et m90(i, j) avec l'image I(i, j) ci-dessus, pour formerles images d0(i, j) et d90(i, j).

d0(i, j) = m0(i, j) I(i, j)d90(i, j) = m90(i, j) I(i, j)

b) Calculez la gradient magnitude E(i, j) et direction (i, j) pour d0(i, j) et d90(i, j). Pour la direction,utiliser une fonction ATAN2(x, y), qui fournit l'arc-tangent entre pi et pi. Note que pour uneconstant a, ATAN2(a, 0) = 0, ATAN2(a, 0) = pi, ATAN2(0, a) = pi/2 ATAN2(0, a) = pi/2.

c) Calculer l'image C(i, j) des points d'extrma dans la direction de la gradient pour E(i, j) et (i, j).C(i, j) = 1 pour les extrmes, et 0 sinon.

d) Faire une liste (une chane) des points d'extrma (les points de contrastes) C(i, j).

e) Calculer un dcoupage recursif sur cette liste pour obtenir les segments de contraste. Noter chaquesegment comme une paire des points ((i1, j1), (i2, j2)).


12

Part 4 - Appariement et Streo Sance 11 et 12

22) (8 points) Vous disposez de deux camras stroscopiques montes sur une estrade. Le foyeroptique de la camra gauche est positionn dans le repre scne en PG = (Tx, 0, Tz) avec l'axeoptique align avec l'axe "y" du repre scne. Le foyer optique de la camra droite est positionn dansle repre scne en PD = (Tx, 0, Tz) avec l'axe optique align avec l'axe "y" du repre scne.

On a dtermin par calibrage que les objectifs des camras ont une focale F mm, que les axes optiquestraversent l'image au pixel (Ci , Cj) et que les pixels ont une taille de Di x Dj (pixels/mm).

Scne

ImageGauche ImageDroite

x

y

z

i

j

a) Dterminer la matrice cgMs qui transforme les coordonnes du point Ps de la scne vers le reprede la camra gauche (cg). Dterminer galement la matrice cdMs qui transforme un point Ps de lascne vers le repre de la camra droite (cd).

b) Dterminer la matrice rgPcg qui projette un point de la scne exprim dans le repre camragauche en un point, wPrg, dans la rtine gauche. Dterminer, galement la matrice rdPcd quiprojette un point de la scne exprim dans le repre camra droite en un point, wPrd, de la rtinedroite.

c) Dterminer la matrice igCrg qui transforme un point Prg, de la rtine gauche, en un point, Pig del'image gauche. Dterminer galement la matrice idCrd qui transforme un point, Prd, de la rtinedroite en un point, Pid, de l'image droite.


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d) Dterminer la matrice igNs qui projette un point de la scne exprim dans le repre scne en unpoint, wPig, de l'image gauche. Dterminer galement la matrice idNs qui projette un point de lascne exprim dans le repre scne en un point, wPid, de l'image droite.

e) Soit un point (0.0, 2.0, 1.0) dans le repre scne. Calculer les pixels pour la projection de ce pointdans les images droite et gauche.

f) Montrer que la technique de streo des rtines "coplanaires" donne le mme rsultat que latechnique gnrale (rtines arbitraires) pour cette configuration de camras.

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