decisiones de inversión valor del dinero en el tiempo · el efecto de la inflación el efecto de...
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Decisiones de Inversión
Valor del dinero en el tiempo
Ignacio Vélez Pareja
Profesor
Politécnico Grancolombiano
www.poligran.edu.co/decisiones
[email protected]/[email protected]
19/02/98 2Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
CAPÍTULO 2
EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO"Me inauguras el día con tus brazos
Que me acogen, me salvan, me consuelan
Del empuje del tiempo velocísimo Donde somos el mar y el navegante."
(Jorge Guillén, Más tiempo.)
"Se habla mucho de depositar confianza, pero nadie dice qué interés te pagan."
(Quino. Manolo, en, ...y yo digo)
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Análisis de rentabilidad
En este curso se estudiará el
problema que se plantea el
inversionista al enfrentarse con flujos
de dinero que ocurren en diferentes
períodos de tiempo.
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Análisis de rentabilidad
Los individuos tienen preferencia por
consumir ahora y no aplazar ese consumo.
Cualquier individuo prefiere tener una
suma de dinero hoy y no tener que
esperar un cierto tiempo para poder contar
con la misma cantidad de dinero ofrecida
para hoy.
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Análisis de rentabilidad
Sobre esta base se desarrolla lo que se conoce como Matemáticas Financieras. En realidad debe ser Aritmética Financiera Para el manejo de esta herramienta sólo es necesario saber contar y aplicar las operaciones básicas de la aritmética y algo de sentido común y cierta capacidad de análisis de situaciones.
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Niveles de comprensión
Aquí se pueden presentar tres niveles de
comprensión:
�Conceptual. Entender conceptos
�Operativa o instrumental. Uso de los
instrumentos aritméticos o
computacionales
�Situacional. Descripción de la realidad
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Ojos despiertos y oídos atentos
Esto indica que hay que agudizar la
vista y el oído. Hay que leer con
atención y escuchar al otro para
entender de qué se trata la situación a
analizar.
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El Concepto de Equivalencia
A continuación se van a expresar unas ideas
que conducen a un mismo concepto:
equivalencia. Los individuos obtienen satisfacción al consumir y se puede cambiar
consumo actual por consumo futuro, siempre
que la utilidad o satisfacción de este último
sea al menos equivalente a la del consumo
actual.
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Hagamos un trato...
Si usted tiene el derecho a recibir hoy $1
millón, (Le debo $1 millón y se lo debo pagar hoy. No
puedo hacerlo y le pido un plazo de un año.) ¿qué suma
de dinero dentro de un año estaría
dispuesto a recibir en lugar del $1 millón
hoy? Escriba en secreto la suma de dinero
que aceptaría.
Algunas respuestas típicas
25%1.250
6%1.060
100%2.000
15%1.150
60%1.600
35%1.350
10%1.1001.000
Suma adicional en %Dentro de un añoHoy
¿Qué se puede concluir?
1. Todos encuentran una suma equivalente a 1.000 de hoy.
2. Cada uno obtiene una suma equivalente, en general diferente.
3. Por lo tanto, es posible encontrar siempre el equivalente a una suma futura.
4. La suma adicional expresada en porcentaje es unatasa de equivalencia.
5. La relación entre suma presente y suma futura es F = P×(1 + tasa de equivalencia).
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La tasa de equivalencia
La suma que se escribió es equivalente a $1
millón hoy. La suma adicional que se exige
sobre $1 millón medida como una fracción es la
tasa de equivalencia. Esa tasa de
equivalencia es personal y depende de la
información que tenga cada persona.
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Olvídese de sumar en tiempos diferentes
Como la gente tiene una preferencia
subjetiva a consumir hoy, aplazar un
consumo actual, implica exigir una mayor
cantidad de consumo futuro, para alcanzar una
satisfacción equivalente. Así, se llega
fácilmente a la conclusión que ya no se
pueden sumar unidades monetarias de
diferentes períodos de tiempo, porque no son
comparables.
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Cambio consumo actual por futuro
Cuando se introduce el concepto de
inversión, o sea sacrificar $1 hoy para obtener
más de $1 al final de un período, se invertirá
mientras la suma adicional que le paguen, sea
mayor que la asignada al sacrificio de
consumo actual, o sea, a la tasa a la cual se
está dispuesto a cambiar consumo actual por
consumo futuro.
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El Concepto de Equivalencia
En forma matemática:F=P(1+i)n
donde:F = Suma futura poseída al final de n
períodos.i = Tasa de equivalencia, fracción, mayor
que cero y menor que 1 definida para el período (año, mes, día,...)
P = Suma de capital colocada en el período cero.
n = Número de períodos
Este es el concepto bEste es el concepto báásicosico
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Soy indiferente entre P y F
Este modelo y los párrafos anteriores permiten
expresar de otro modo el concepto de
equivalencia. Se dice que dos sumas son
equivalentes, aunque no iguales, cuando la
persona es indiferente entre recibir una suma
de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) -
mayor- al final de un período de tiempo.
19/02/98 15Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
La diferencia es por el sacrificio
Esta diferencia entre P y F responde por
el “valor” que le asigna el individuo al
sacrificio de consumo actual y al riesgo que
percibe y asume al posponer el ingreso. Al
hablar de equivalencia se ha involucrado -
en forma implícita- una tasa de
equivalencia i%, en general, diferente de
cero.
19/02/98 16Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Un peso hoy vale más
El concepto de equivalencia, implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año. Más aun, un peso hoy vale más que un peso futuro.
19/02/98 17Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
La tasa de descuento
La tasa que establece esta
equivalencia se llama tasa de
descuento (discount rate o hurdle rate, en
inglés) o tasa de rentabilidad mínima
aceptable; algunos autores prefieren
utilizar el nombre de costo o tasa de
oportunidad
19/02/98 18Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
... nadie dice qué interés te pagan
El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente
arraigado en la mentalidad de
quienes viven en un sistema
capitalista.
19/02/98 19Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Interés, ¿es lo justo?
No se necesita formación académica
para entender que cuando se recibe
dinero en calidad de préstamo, es
"justo" pagar una suma adicional al
devolverlo. La aceptación de esta
realidad económica, es común a todos los
estratos socio-económicos.
19/02/98 20Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Interés: Lo que me gano
Se puede definir el interés, en forma muy
simple como:
�Lucro producido por el capital.
�Provecho, ganancia, utilidad.
El interés puede definirse, también, como el
precio pagado en dinero, por el uso del dinero
de otro.
19/02/98 21Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
... capital, tiempo y riesgo
“En economía, el interés se liga a los
conceptos de capital, tiempo y riesgo; por lo
tanto, puede ser considerado como la
compensación que el poseedor del dinero
recibe, .. por la cesión a otros, (y) por la
utilización (por ese tercero) durante un
período de tiempo ... (de) un capital
determinado, empleo que en sí mismo, es
siempre arriesgado".
Evangelio de Mateo: la parábola de los
talentos
En aquel tiempo, dijo Jesús a sus discípulos esta parábola: un hombre que se iba al extranjero llamó a sus siervos y les encomendó su hacienda: a uno dio cinco talentos, a otro dos y a otro uno, a cada cual según su capacidad; y se ausentó. Enseguida, el que había recibido cinco talentos se puso a negociar con ellos y ganó otros cinco. Igualmente el que había recibido dos ganó otros dos. En cambio el que había recibido uno se fue, cavó un hoyo en tierra y escondió el dinero de su señor. Al cabo de mucho tiempo, vuelve el señor de aquellos siervos y ajusta cuentas con ellos. Llegándose el que había recibido cinco talentos, presentó otros cinco, diciendo: señor, cinco talentos me entregaste; aquí tienes otros cinco que he ganado. Su señor le dijo: ¡bien, siervo bueno y fiel!; en lo poco has sido fiel, al frente de lo mucho te pondré; entra en el gozo de tu señor. Llegándose también el de los dos talentos dijo: señor, dos talentos me entregaste; aquítienes otros dos que he ganado. Su señor le dijo: ¡bien, siervo bueno y fiel!; en lo poco has sido fiel, al frente de lo mucho te pondré; entra en el gozo de tu señor. Llegándose también el que había recibido un talento dijo: señor, sé que eres un hombre duro, que cosechas donde no sembraste y recoges donde no esparciste. Por eso me dio miedo, y fui y escondí en tierra tu talento. Mira, aquí tienes lo que es tuyo. Mas su señor le respondió: siervo malo y perezoso, sabías que yo cosecho donde no sembré y recojo donde no esparcí; debías, pues, haber entregado mi dinero a los banqueros, y así, al volver yo, habría cobrado lo mío con los intereses. Quitadle, por tanto, su talento y dádselo al que tiene los diez talentos. Porque a todo el que tiene, se le daráy le sobrará; pero al que no tiene, aun lo que tiene se le quitará. Y a ese siervo inútil, echadle a las tinieblas de fuera. Allí será el llanto y el rechinar de dientes. (Mateo 25, 14-30)
19/02/98 22Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Interés
En otras palabras, el interés, I, es la
compensación que reciben los individuos, firmas
o personas naturales, por el sacrificio en que
incurren al ahorrar una suma P. El mercado
brinda la posibilidad de invertir o la de recibir en
préstamo; el hecho de que existan oportunidades
de inversión o de financiación, hace que exista el
interés.
19/02/98 23Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
PIi =
Interés es la compensación
Este fenómeno económico real, se mide con la
tasa de interés, i, la cual, a su vez, se representa
por un porcentaje. Este porcentaje se calcula
dividiendo el interés I recibido o pagado por un
período, por el monto inicial, P; de modo que la
tasa de interés será:
19/02/98 24Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Los componentes de la tasa de interés
Se puede considerar que la magnitud de la tasa
de interés corriente, o sea la que se encuentra en
el mercado (la que usan los bancos o cualquier
otra entidad financiera) tiene tres componentes o
causas
�La inflación
�El riesgo
�El interés real
19/02/98 25Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
El efecto de la inflación
El efecto de la inflación o mejor, las expectativas
de inflación, que es propio de la economía donde
se presenta el problema de inversión. La
inflación mide el aumento del nivel general de
precios, a través de la canasta familiar; su efecto
se nota en la pérdida del poder adquisitivo de la
moneda.
A mayor inflación, mayor tasa de interés.
19/02/98 26Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
¿Cómo se relacionan interés e inflación?
Una rápida exploración a los valores de las
tasas de interés del mercado de algunos países,
muestra la influencia de la inflación sobre la tasa
de interés (cifras de 1997, The Economist May
28th-June 3rd 2005, pp 100-102 ).
19/02/98 27Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
En países desarrollados
Unión Europea
1,40%0,75%Suiza
0,30%1,86%Suecia
13,40%13,00%Rusia
-0,20%0,02%Japón
0,50%3,36%Hong Kong
1,90%4,81%Gran Bretaña
3,50%3,17%Estados Unidos
1,80%2,18%Dinamarca
2,40%2,47%Canadá
2,40%5,68%Australia
1,70%2,00%Alemania
InflaciónTasa de interésPaís
19/02/98 28Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
... y no tan desarrollados
15,80%11,85%Venezuela
3,60%2,65%Tailandia
2,00%3,02%Perú
4,60%9,69%México
2,70%2,84%Malasia
8,10%8,07%Indonesia
4,20%5,15%India
3,90%7,31%Hungría
8,50%4,88%Filipinas
0,40%3,51%Corea del Sur
5,00%7,17%Colombia
1,80%2,00%China
2,90%3,96%Chile
8,10%19,75%Brasil
8,80%5,50%Argentina
InflaciónTasa de interésPaís
Gráficamente…
Tasa de inflación vs Tasa de interés de corto plazo
y = 0,9001x + 0,0181
R2 = 0,5587
0%
5%
10%
15%
20%
25%
-2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18%
Tasa de inflación
Tasa de interés
19/02/98 29Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
El efecto del riesgo
El efecto del riesgo, que es intrínseco al negocio
o inversión en que se coloca el dinero o capital.
A mayor riesgo, mayor tasa de interés
19/02/98 30Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
El interés real
El interés real o la productividad en su uso, que
es un efecto intrínseco del capital, independiente
de la existencia de inflación o riesgo. Refleja
también la abundancia o escasez de dinero en el
mercado (grado de liquidez del mercado).
Tiende a ser constante y con un valor cercano al
3%-6% anual.
Datos para Colombia: 1995-1999
A 6 meses A 1 año A 2 años A 3 años
Máximo 31,13% 26,30% 17,27% 12,97%
Mínimo -5,26% 2,33% 7,29% 8,79%
Promedio 10,39% 10,91% 9,79% 10,33%
Desviaciónestándar
8,75% 6,80% 1,91% 1,40%
Coeficientede variación
1,19 1,61 5,12 7,39
Tasas reales
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
sep-94 abr-95 oct-95 may-96 dic-96 jun-97 ene-98 jul-98 feb-99 ago-99
Mes
Tasa
1 año
2 años
3 años
6 meses
19/02/98 31Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Relación multiplicativa
La relación de estos componentes para determinar la tasa de
interés, no es aditiva, sino multiplicativa, o sea que la tasa de
interés, se puede expresar según lo que se conoce como la
relación de Fisher.
111 −+×+=
fiii
rsr
Relación de Fisher
111 −+×+=
fiii
rsr
Donde isr es la tasa de interés libre de riesgo, ir es la
tasa de interés real y if es la tasa de inflación
19/02/98 32Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Relación de Fisher extendida
1111 −+×+×+=
θiiii
fc r
donde:
ic = tasa de interés corriente
ir = tasa de interés real
if = tasa de inflación
iθ = componente de riesgo
O combinada…
Donde ic es la tasa de interés corriente, ir es la tasa de
interés real, if es la tasa de inflación y CR es la prima o
componente de riesgo
( ) ( ) CR111 +−+×+= frc iii
19/02/98 33Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Componentes de la tasa de interés
Hoy Hoy + un año
$1,000,000 1,320,000
1,000/US$ idev =20% 1,200/US$
US$1,000 idura=10% US$1,100
Interés obtenido por el inversionista 32%Este ejemplo ilustra, por analogía, la idea anterior
19/02/98 34Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Componentes de la tasa de interés
Como la devaluación y el interés en dólares
son simultáneos, el interés ganado en moneda
blanda no es idev + idura sino
iblanda=(1+idev)x(1+idura)-1
=1.2x1.1-1=.32-=.32 ó 32%
Esto es similar al esquema de los
componentes de la tasa de interés
19/02/98 35Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Diagrama de Flujo de Caja
El eje del tiempo
0 1 2 3 4 5 6............ .....n
19/02/98 36Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Diagrama de Flujo de Caja
Los egresos
0 1 2 3
120
450
19/02/98 37Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Diagrama de Flujo de Caja
Los ingresos
250
350
0 1 2 3
19/02/98 38Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Diagrama de Flujo de Caja
Una inversión: 1,350
1,000
00
1
19/02/98 39Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Diagrama de Flujo de Caja
Un préstamo:
00
1,000
1,350
1
19/02/98 40Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Interés Simple y Compuesto
La tasa de interés puede considerarse simple o
compuesta. El interés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la suma inicial,
a diferencia del interés compuesto, que genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos
intereses no pagados, que ingresan o se suman al
capital inicial.
19/02/98 41Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Aritmética financiera
La sencillez de este tema permite llamarlo
aritmética financiera. Aquí se trata de encontrar
una variable entre cinco, dadas tres de ellas, de
las cuales una es el número de períodos (n) o
la tasa de interés (i). La condición para hallar esa variable desconocida es que se mantenga
válida la equivalencia entre flujos de caja.
19/02/98 42Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Número de períodos
Las variables son:
n = número de períodos que se
analizan (año, mes, día, trimestre,
semana, etc.). Los períodos deben ser
iguales. En Excel se llama nper.
19/02/98 43Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tasa de interés de equivalencia (tasa)
i = tasa de interés de equivalencia,
expresada en porcentaje por unidad de
tiempo (año, mes, día, trimestre, semana,
etc.). Este interés debe ser estipulado por
unidad de tiempo igual al período indicado
en n. Se supone interés compuesto.
Nombre en Excel, tasa.
19/02/98 44Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Suma presente (VA)
P = Suma presente, situada al final del
período cero. Nombre en Excel, VA.
00 n
P
19/02/98 45Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Suma futura (VF)
F = Suma futura, situada al final del
período n. Nombre en Excel, VF.
00 n
F
19/02/98 46Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Cuota uniforme
C = Cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entre el período 1
y el n. Nombre en Excel, pago.
0 1 2 3 4
C C C C
19/02/98 47Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Suma presente y suma futura
Se puede transformar una suma de dinero
presente P en el período, en una suma de
dinero mayor equivalente, F en el período n y viceversa.
n00n00⇔
P F
19/02/98 48Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Suma presente y suma futura
Lo anterior responde a preguntas como:
�¿Si se deposita una suma de dinero hoy en una
cuenta de ahorros al i% por período, cuánto se
tendrá al final de n períodos?
o
�¿Cuánto se debe depositar hoy para tener una
suma F al final n períodos, a la tasa i%?
19/02/98 49Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Suma presente y cuota
Se puede transformar una suma de dinero
presente P, en 0, en una serie de cuotas
uniformes C equivalente, desde 1 hasta n y viceversa.
00 n
C C C C
⇔n0 1 20 1 2
19/02/98 50Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Suma presente y cuota
Esto responde a preguntas como:
�¿Si se tiene un préstamo P a la tasa de i%,
cuánto valen las cuotas iguales para pagarlo en n
períodos?
o
�¿Cuánto se debe pagar hoy por un préstamo a
cuotas C a la tasa de i% y faltan n cuotas?
19/02/98 51Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Suma futura y cuota
Se puede transformar una suma de dinero
futura F, n, en una serie de cuotas uniformes C
equivalente y viceversa.
00 n 00 n
⇔
C C C CF
19/02/98 52Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Suma futura y cuota
Esto responde a preguntas como:
�¿Cuánto se debe ahorrar por período para
obtener una suma F al final de n períodos si la
tasa de interés es i%?
o
�¿Cuánto se tendrá al final de n períodos si se
ahorra C por período al i%?
19/02/98 53Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
F (VF) equivalente a P
Para hallar el valor de una suma futura -F- al
final de n períodos, equivalente a una suma
presente, a una tasa de interés compuesto i%, se
utiliza la siguiente fórmula de Excel
=VF(i;n;C;P;tipo)
19/02/98 54Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
P (VA) equivalente a F
Para hallar la suma presente en el período cero,
equivalente a una suma futura situada en n, a una
tasa de interés compuesto, i%, se utiliza la
siguiente fórmula de Excel.
=VA(i;n;C;F;tipo)
19/02/98 55Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
P (VA) equivalente a C
A su vez, para hallar la suma P a la tasa de
interés compuesto i%, que sea equivalente a
una suma uniforme durante n períodos al final
de cada uno, 1, 2,..., n, se utiliza la fórmula de
Excel
=VA(i;n;C;F;tipo)
19/02/98 56Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Costo Capitalizado
Cuando n es muy grande, entonces la
anterior expresión se llama Costo
Capitalizado. Esto significa que se tiene una
serie perpetua de ingresos iguales a C y se
desea calcular la suma presente P equivalente.
iCP=
19/02/98 57Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
... con crecimiento
Cuando las sumas de dinero futuras
experimentan un crecimiento porcentual de g,
a partir de una suma uniforme C, entonces
esta expresión queda modificada así:
Esto será de utilidad para calcular el valor
residual o de salvamento de un proyecto (cap.6)
gi
CP
−=
19/02/98 58Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
C (pago) equivalente a P
Para hallar la suma uniforme durante
determinado número de períodos 1,2,..., n,
equivalente a una suma presente en cero a una
tasa de interés compuesto i%, se utiliza la
fórmula de Excel:
=PAGO(i;n;P;F;tipo)
19/02/98 59Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Perpetuidades
Cuando n es muy grande, o sea que se desea
calcular la cuota C perpetua equivalente a P
PxiC =
19/02/98 60Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
F (VF) equivalente a C
Para calcular la suma futura al final del
período n equivalente a una serie uniforme
durante n períodos, a la tasa de interés
compuesto i%, al final de cada uno, 1, 2....n, se
utiliza la fórmula de Excel
=VF(i;n;C;P;tipo)
19/02/98 61Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
C (pago) equivalente a F
Para obtener el valor de la serie uniforme al
final de cada período 1,2 ...n, equivalente a una
suma futura al final del período n, a la tasa de
interés compuesto i%, se utiliza la fórmula de
Excel
=PAGO(i;n;P;F;tipo)
19/02/98 62Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Cálculo de número de períodos (nper)
En estos factores sólo se ha trabajado en el
cálculo de P, F o C, pero se puede también
calcular las otras variables n e i. Para calcular n,
se utiliza la función de Excel
=NPER(i;C;P;F;tipo)
Esto permite responder preguntas como
¿cuánto tiempo hay que esperar para duplicar
una inversión?
19/02/98 63Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Cálculo de tasa de interés (Tasa y TIR)
Cálculo de tasa de interés
i es aquella tasa de interés que hace
equivalentes los flujos de caja positivos con los
negativos. Cuando se trabaja con Excel, se
utiliza:
=TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) para flujos
constantes y =TIR(rango;i semilla) para flujos
no constantes.
19/02/98 64Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
“Estimar” o i semilla
En el Asistente de Funciones, para la
función TIR, aparece “estimar” en
lugar de i semilla; cuando no se
escribe ningún valor, el programa
supone que es 0.1.
19/02/98 65Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Cálculo de tasa de interés
Con este cálculo se puede responder preguntas
como ¿cuánto se ganó en esta inversión?
19/02/98 66Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
P equivalente a flujo no uniforme (VNA)
¿Cuál es el equivalente en pesos de hoy (valor
actual o valor presente) de un flujo de caja cuando
no son constantes?
En Excel se utiliza =VNA(i;rango). Esta suma en
0 se expresa en pesos descontados del período
anterior al que inicia el rango. El rango debe
seleccionarse desde el período 1 hasta el n.
19/02/98 67Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Sólo tres funciones
En Excel sólo se requieren tres funciones para
manejar los casos de transformación entre sumas
de dinero P, F y C. Estas son:
=VF(i;n;C;P;tipo) para transformar P y/o C a F.
=VA(i;n;C;F;tipo) para transformar F y/o C a P.
=PAGO(i;n;P;F;tipo) para transformar P y/o F a C.
19/02/98 68Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tabla resumen
Patrón típico
("datos": P, F, C,
nper y/o i%)
Patrón no típico
(irregular, real;
"datos": rango)
A suma presente VA VNA
A suma futura VF No hay
A cuota uniforme PAGO No hay
Tasa de interés TASA TIR
Número de
períodos
NPER No hay
Mejoras a VNA
Luciano Machain, profesor de la Universidad Nacional de Rosario, Argentina, ha desarrollado funciones financieras adicionales para Microsoft Excel. Es un Add-in que calcula el VPN de un flujo no constante, (no el VP de los flujos como VNA) con tasas únicas y variables y con períodos iguales y desiguales; el VP de un flujo no constante con tasas fijas (comoel VNA) y variables y con períodos iguales y desiguales Es un aporte muy útil. Para bajar manual y add-in. Para bajar el add-in se recomienda hacer click derecho y guardar en disco.
Se encuentra en el programa del curso, en la página webwww.poligran.edu.co/decisiones dentro del material para la primera y segunda semanas.
19/02/98 69Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tablas de amortización
Una tabla de amortización muestra cómo un
pago de una deuda se divide entre interés y
abono o amortización de la deuda; o, en el caso
que así fuera, cómo un determinado esquema de
abonos o amortizaciones conduce, al sumarle los
intereses, a una cierta cuota o pago.
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Amortización y capitalización
Con una tabla de amortización se puede
también determinar el saldo pendiente al
final de cada período. Algo similar puede
hacerse con una tabla de capitalización; la
diferencia radica en que en lugar de
amortizar (disminuir una deuda), se
capitalizan los ahorros y los intereses que
ellos producen y, por ende, se puede calcular
el saldo acumulado del capital ahorrado con
sus intereses.
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Dos grandes tipos de tablas
�Cuota o pago determinados
y
�Abono o amortización determinados
Sólo se necesita definir de cuál caso se
trata y crear la estructura.
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Regla general
Cuota = abono más intereses
Abono = Cuota menos intereses
La cuota uniforme es sólo un caso
particular donde todas las cuotas son
iguales
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Estructura con cuota o pago
Saldo inicial
Interés Amorti-zación
Pago o cuota
Saldo final
Saldo final del período anterior
Saldo inicial por tasa de interés
Pago menos interés
Definido a voluntad
Saldo inicial menos amortiza- ción
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Estructura con amortización
Saldo inicial
Interés Amorti-zación o abono
Pago o cuota
Saldo final
Saldo final del período anterior
Saldo inicial por tasa de interés
Definida a Voluntad
Abono más interés
Saldo inicial menos amortiza- ción
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Tasas de Interés Equivalentes
En muchos casos es necesario hacer
transformaciones a las tasas de interés estipuladas para
poderlas comparar. En particular, esto se refiere a los
casos en que los intereses se pagan en forma anticipada
y en los casos en que los intereses se estipulan para un
determinado período, pero se liquidan en períodos
inferiores al que se estipuló inicialmente.
Definamos diferentes tasas
Podemos identificar las siguientes tasas de
interés, en términos de equivalencia de tasas:
1.Tasa de interés periódica
2.Tasa de interés nominal
3.Tasa de interés efectiva
Tasa de interés periódica
Esta es la más importante. Con esa tasa se liquidan los pagos o los ingresos de intereses. Se define para un período específico (mes, año, trimestre, etc.).
Para las tasas de interés periódicas podemos tener dos modalidades: vencidas o anticipadas.
Está relacionada con la tasa de interés nominal, como veremos más adelante.
19/02/98 88Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tasa de interés nominal
Tasa de interés nominal es una tasa de interés que se estipula para un determinado período (por
ejemplo, un año) y que se liquida en forma fraccionada,
en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente.
Se estipula para un período y se indica cómo se
liquida (o se capitaliza). Por ejemplo, se puede decir
que la tasa nominal es de 36% nominal anual, liquidada
trimestre vencido, 36% N.A.T.V.
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Tasa de interés efectiva
Tasa de interés efectiva es la tasa de interés que resulta cuando se liquida una tasa de interés
nominal en períodos menores al estipulado
inicialmente para ella. Dicha tasa puede
calcularse en virtud de que el interés es
compuesto, ya que las liquidaciones del mismo
se han acumulado.
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Interés Anticipado
Cuando se estipula un pago de interés anticipado (ia),
en realidad ello significa que (en el caso de un
préstamo) se recibe un monto menor al solicitado.
P
Pia P
110
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Interés Anticipado
Es decir que hoy se recibe P-Pia y al final del
año se debe pagar P. Nuevamente, la suma
adicional que se paga es Pia, pero la suma
recibida es P-Pia. Por lo tanto, el interés I, que se
paga, es Pia.
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Tasa de interés vencida
a
av
i
ii
−=1
Esta es la tasa de interés vencida, a partir de la anticipada
donde:iv = tasa de interés vencidaia = tasa de interés anticipada
Esta relación sólo aplica para tasas periódicas.
19/02/98 79Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tasa de interés anticipada
vivi
ai+
=1
Esta es la tasa de interés anticipada, a partir de la vencida
donde:iv = tasa de interés vencidaia = tasa de interés anticipadaEsta relación sólo aplica para tasas periódicas.
Ejemplo
Supongamos un préstamo de $1.000 que se
puede pagar de dos maneras
1. La primera es pagar a los 4 trimestres la
suma de $1.360
2. A la tasa nominal de 36% nominal anual,
liquidada trimestre vencido, 36% N.A.T.V.
El capital se paga al final.
19/02/98 80Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Primera forma de pagar el préstamo
Primera opción para pagar el préstamo de
$1,000: pagar todo a los 4 trimestres:
00 11 22 33 44
1,3601,360
19/02/98 81Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Segunda forma de pagar el préstamo
La segunda es pagar intereses trimestrales
vencidos y los $1,000 al final:
0 1 2 3 4
9090 9090 9090 1,0901,090
¿Cuál prefiere?
1. Pagar todo al final
2. Pagar intereses trimestrales vencidos y el
monto del préstamo al final de los 4
trimestres.
19/02/98 82Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
¿Qué escogieron?
Lo más probable es que todos hubieran preferido la
primera. Si hay esa preferencia significa que la segunda
debe ser más costosa. Si se tuviera el dinero para pagar
de la segunda manera, pero en lugar de hacerlo se
escoge la primera y se ahorran los $90 al 9% trimestral,
se tendrá a final la suma de $411.58. O sea, que se deja
de recibir esa suma en el caso de pagar de la primera
forma..
19/02/98 84Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
¿A quién le cuesta más?
Tasa de
ahorro
Valor
futuro
Tasa de
interés
anual
0.0% $ 360.00 36.00%
3.0% $ 376.53 37.65%
6.0% $ 393.72 39.37%
9.0% $ 411.58 41.16%
12.0% $ 430.14 43.01%
19/02/98 83Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Si no tuviera que prestar el dinero...
Podría ahorrarlo y obtendría justamente, el valor
futuro de los intereses que debo pagar al dueño
del dinero. Y todo sería mío. Pero como debo
pagar los intereses, sólo queda para mí la
diferencia entre los intereses y el valor
acumulado del ahorro.
19/02/98 85Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
¡No es una paradoja!
A quien tenga una posibilidad de ahorrar a
mayor tasa, le va a costar más pagar intereses
liquidados cada trimestre en lugar de pagarlos
todo al final. ¿Sorpresa? No. Ya se había intuido
con el concepto de equivalencia; y es de la tasa
de interés de equivalencia (de ahorro) que
depende el valor hoy de un dinero en el futuro.
19/02/98 86Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
¿Cómo se mide este costo?
Este mayor costo debe poderse reflejar de alguna
manera. Una forma de hacerlo es por medio de
la tasa de interés efectiva.
El préstamo de este ejemplo se pactó al 36%
anual liquidado por trimestre vencido.
19/02/98 87Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tasa de interés efectiva y nominal
Dependiendo de la forma como se liquiden los
intereses estipulados en una transacción,
entonces se presentarán diferencias entre el
interés “verdadero” y el pactado. Estas tasas se
llaman tasas de interés efectivas y tasas de interés nominales.
19/02/98 90Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
La efectiva depende de la nominal
La tasa de interés efectiva depende de la tasa de interés
nominal.
Tasa mensual Tasa nominal Tasa efectiva
(tasa periódica) anual anual
�1.0% 12% 12.68%
�1.5% 18% 19.56%
�2.0% 24% 26.82%
�2.5% 30% 34.49%
�3.0% 36% 42.58%
19/02/98 91Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
... y de la frecuencia de liquidación
La frecuencia con que se liquida una tasa nominal, influye en la tasa efectiva. Esto puede verse en una tabla, a partir de una tasa anual nominal 24% :
Período i por período Períodos ieaAño 24.00% 1 24.00%
Semestre 12.00% 2 25.44%
Cuatrimestre 8.00% 3 25.97%
Trimestre 6.00% 4 26.25%
Bimestre 4.00% 6 26.53%
Mes 2.00% 12 26.82%
Día 0.0658% 365 27.11%
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Condiciones para la tasa de interés efectiva
Para estos ejemplos, es importante reiterar que
un interés efectivo implica:
�liquidación de intereses en períodos de
tiempo menores al estipulado para la tasa de
interés nominal;
�acumulación (real o virtual) de los intereses
generados durante el período indicado; y
�interés compuesto.
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Ejemplo
Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000
al 2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se
considera que 2% mensual es lo mismo que
decir 24% anual liquidado mensualmente
vencido, entonces esta expresión se puede
escribir como 1,000(1+0.24/12) 12
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Tasa de interés efectiva y nominal
Si se generaliza y se piensa que el 24% anual
liquidado mensualmente vencido es la tasa de
interés nominal, entonces el valor acumulado es
P(1+inom/n)n
El valor de los intereses en el ejemplo es
$268.24, (1,268.24-1,000). La tasa de interés es
268.24/1,000=26.82%
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Tasa de interés efectiva
Dados una tasa de interés nominal y el número de veces por período que se liquida el interés (vencido), entonces el interés efectivo es:
Donde:
ief = tasa de interés efectiva
n = número de veces que se liquida o capitaliza el interés nominal durante el período
inom = tasa de interés nominal por período, liquidada por período vencido
11 −+=
n
nomef n
ii
19/02/98 96Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tasa de interés efectiva en Excel
En Excel se utiliza la función
=INT.EFECTIVO(int.nominal;num. períodos al año)
19/02/98 97Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tasa de interés continua
Cuando n es muy grande se dice que tiende a ∞ (infinito) y en ese caso, la expresión queda reducida a
donde:
e = base de logaritmos naturales
inom = tasa de interés nominal anual
A esta expresión se llama tasa de interés continua.
1−= nomi
ef ei
19/02/98 98Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Otra vez el préstamo...
En el ejemplo se tenía entonces que el préstamo
se había hecho al 36% anual TV (trimestre
vencido). La tasa de interés efectiva es de
41.16% (verifique ese cálculo). Pero ese
resultado es el mismo para cualquier persona, ya
sea que ahorre al 0% o al 12%. ¿Qué supuesto
implícito hay aquí?
19/02/98 99Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Supuesto implícito en ief...
¡La persona que recibe ese crédito, ahorra a la
misma tasa a la que le prestan! Tarea: averiguar
si el sistema financiero da en préstamo a la
misma tasa que paga por los depósitos que
recibe. ¿Qué es la tasa de captación? ¿Qué es la
tasa de colocación? ¿Qué es el margen de
intermediación? Ahora saque sus conclusiones.
19/02/98 100Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Cuando la nominal es anticipada...
Cuando la tasa de interés nominal se liquida anticipada, la fórmula de la tasa de interés efectiva se convierte en
Excel no tiene una fórmula diseñada para este caso.
11 −−
−=
n
n
ii nomef
19/02/98 101Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tasa de interés nominal
La tasa interés nominal a partir de la tasa de interés efectiva anual es:
Donde:ief = tasa de interés efectiva anualn = número de veces que se liquida durante el períodoinom = tasa de interés nominal por período, liquidada vencida
−+×= 111n
efnom ini
19/02/98 102Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Tasa de interés nominal en Excel
En Excel
=TASA.NOMINAL(interés efectivo;num. períodos)
interés efectivo = tasa de interés efectiva anual
num. períodos = número de veces que se liquida
durante el año.
Esta tasa nominal anual, liquidada vencida.
19/02/98 103Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Relación entre tasa periódica y nominal
Tasa de interés periódica es igual a tasa de
interés nominal dividida por el número de
períodos
ip = inom/n
y viceversa
inom =n x ip
19/02/98 104Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Transformaciones entre tasas nominales
En las transformaciones entre tasas de interés
nominales debe distinguirse entre
transformaciones con períodos de liquidación
iguales y desiguales.
Para el caso de períodos de liquidación iguales:
19/02/98 105Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Transformaciones entre tasas nominales
Tasanominal
Cálculo detasaperiódica
Equivalencia Nueva tasanominal
Anticipada ia = inom/n iv = ia/(1-ia) n x iv
Vencida iv = inom/n ia = iv/(1+iv) n x ia
19/02/98 106Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Transformaciones entre tasas nominales
Para períodos de liquidación diferentes: Con la
inom v con período de liquidación n1 se calcula la
tasa efectiva y con esta última se calcula la
nueva inom n2. Para llegar a la tasa nominal
vencida si se tiene una anticipada se utiliza
primero el procedimiento para convertir de tasa
anticipada a vencida con igual período.
19/02/98 107Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Transformaciones entre tasas nominales
inom a n1 ⇓⇓⇓⇓ inom a n2 = iaxn2
ia = inom a/n1 ⇓⇓⇓⇓ ia = iv/(1+iv) ⇑⇑⇑⇑
iv = ia/(1-ia) ⇓⇓⇓⇓ iv = inom v/n2 ⇑⇑⇑⇑
inom v = ivxn1 ⇒⇒⇒⇒ ief ⇒⇒⇒⇒ inom v n2 ⇑⇑⇑⇑
19/02/98 108Copyright Ignacio Vélez Pareja ©
Ejemplo
Tasa nominal anticipadade 24% anual trimestreanticipado 4 períodos
⇓⇓⇓⇓
Se convierte a tasa deinterés nominal antici-
pada n2 períodos inom a= 11,640%x2=23,280%
Tasa de interés periódicaanticipada
ia = 24% /4=6%
⇓⇓⇓⇓
⇑⇑⇑⇑
Se convierte a tasa deinterés periódic antici-
pada ia =
13,743%/(1+13,743% )=11,640%
Se convierte a tasa deinterés periódica vencida
iv = 6%/(1-6% )=6,383%
⇓⇓⇓⇓
⇑⇑⇑⇑
Se convierte a tasa deinterés periódica vencida2 períodos
iv = 26,347% /2=13,173%
Se convierte a nominalvencida
inom v =
6,383%x4=25,532%
⇒⇒⇒⇒
Se convierte ahora a tasade interés efectiva con la
fórmula o con la funciónde Excel
ief=28,082%
⇒⇒⇒⇒
⇑⇑⇑⇑
Se convierte a tasa no-minal vencida con la
fórmula o con la funciónde Excel con 2 períodos
26,347% semestre ven-cido