dedicated to gerhard wanner on the occasion of his 60th...

22
FAST CONVOLUTION FOR NONREFLECTING BOUNDARY CONDITIONS CHRISTIAN LUBICH AND ACHIM SCH ¨ ADLE SIAM J. SCI. COMPUT. c 2002 Society for Industrial and Applied Mathematics Vol. 24, No. 1, pp. 161–182 Dedicated to Gerhard Wanner on the occasion of his 60th birthday Abstract. Nonreflecting boundary conditions for problems of wave propagation are nonlocal in space and time. While the nonlocality in space can be efficiently handled by Fourier or spherical expansions in special geometries, the arising temporal convolutions still form a computational bot- tleneck. In the present article, a new algorithm for the evaluation of these convolution integrals is proposed. To compute a temporal convolution over Nt successive time steps, the algorithm requires O(Nt log Nt ) operations and O(log Nt ) memory. In the numerical examples, this algorithm is used to discretize the Neumann-to-Dirichlet operators arising from the formulation of nonreflecting boundary conditions in rectangular geometries for Schr¨odinger and wave equations. Key words. transparent boundary conditions, radiation boundary conditions, fast convolution algorithm, wave equation, Schr¨odinger equation AMS subject classifications. 65M99, 35L05, 35Q99, 44A10, 44A35 PII. S1064827501388741 1. Introduction. Wave propagation is usually formulated in terms of partial differential equations on unbounded domains. For a computational treatment, how- ever, the equations need to be restricted to a bounded domain in a neighborhood of the region of physical interest. This requires imposing transparent boundary condi- tions (or, synonymously, nonreflecting boundary conditions) which are ideally such that the solution of the equations incorporating these boundary conditions coincides with the restriction to the bounded domain of the solution to the whole-space equa- tions. The derivation of such transparent boundary conditions is well understood; see, e.g., [3, 6] and also sections 3 and 4 below. However, these boundary conditions turn out to be nonlocal both in space and time. For special geometries, e.g., discs or balls or periodically extended slabs and cylinders, Fourier or spherical expansions decouple the boundary equations for the expansion coefficients. There still remain temporal convolutions of the type t 0 f (t τ ) g(τ ) dτ , 0 t T. (1.1) For concreteness, consider the example of the wave equation u tt = u xx + u yy + u zz on R 3 . Suppose the solution is 2π-periodic in y and z, a situation that occurs in mod- eling wave propagation near extended layers. Transparent boundary conditions are required at the planes x = ±a. We consider the Fourier coefficients of the solution, ˆ u k (x, t) with k =(k y ,k z ) Z × Z. Their Laplace transforms U k (x, s) then satisfy the linear ordinary differential equation s 2 U k = xx U k −|k| 2 U k with |k| 2 = k 2 y + k 2 z for Re(s) > 0. This equation can be solved analytically. Retaining only the solution decaying to zero as |x|→∞ gives U k (x, s) = exp( s 2 + |k| 2 |x a|) U k (±a, s). Dif- ferentiation of this equation at x = ±a yields a relation between the transforms of the Received by the editors May 2, 2001; accepted for publication (in revised form) November 19, 2001; published electronically May 20, 2002. http://www.siam.org/journals/sisc/24-1/38874.html Mathematisches Institut, Universit¨at T¨ ubingen, Auf der Morgenstelle 10, D–72076 T¨ ubingen, Germany ([email protected], [email protected]). 161

Upload: others

Post on 04-Feb-2021

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • FAST CONVOLUTION FORNONREFLECTING BOUNDARY CONDITIONS∗

    CHRISTIAN LUBICH† AND ACHIM SCHÄDLE†

    SIAM J. SCI. COMPUT. c© 2002 Society for Industrial and Applied MathematicsVol. 24, No. 1, pp. 161–182

    Dedicated to Gerhard Wanner on the occasion of his 60th birthday

    Abstract. Nonreflecting boundary conditions for problems of wave propagation are nonlocalin space and time. While the nonlocality in space can be efficiently handled by Fourier or sphericalexpansions in special geometries, the arising temporal convolutions still form a computational bot-tleneck. In the present article, a new algorithm for the evaluation of these convolution integrals isproposed. To compute a temporal convolution over Nt successive time steps, the algorithm requiresO(Nt logNt) operations and O(logNt) memory. In the numerical examples, this algorithm is used todiscretize the Neumann-to-Dirichlet operators arising from the formulation of nonreflecting boundaryconditions in rectangular geometries for Schrödinger and wave equations.

    Key words. transparent boundary conditions, radiation boundary conditions, fast convolutionalgorithm, wave equation, Schrödinger equation

    AMS subject classifications. 65M99, 35L05, 35Q99, 44A10, 44A35

    PII. S1064827501388741

    1. Introduction. Wave propagation is usually formulated in terms of partialdifferential equations on unbounded domains. For a computational treatment, how-ever, the equations need to be restricted to a bounded domain in a neighborhood ofthe region of physical interest. This requires imposing transparent boundary condi-tions (or, synonymously, nonreflecting boundary conditions) which are ideally suchthat the solution of the equations incorporating these boundary conditions coincideswith the restriction to the bounded domain of the solution to the whole-space equa-tions. The derivation of such transparent boundary conditions is well understood;see, e.g., [3, 6] and also sections 3 and 4 below. However, these boundary conditionsturn out to be nonlocal both in space and time. For special geometries, e.g., discsor balls or periodically extended slabs and cylinders, Fourier or spherical expansionsdecouple the boundary equations for the expansion coefficients. There still remaintemporal convolutions of the type∫ t

    0

    f(t − τ) g(τ) dτ , 0 ≤ t ≤ T.(1.1)

    For concreteness, consider the example of the wave equation utt = uxx + uyy + uzzon R3. Suppose the solution is 2π-periodic in y and z, a situation that occurs in mod-eling wave propagation near extended layers. Transparent boundary conditions arerequired at the planes x = ±a. We consider the Fourier coefficients of the solution,ûk(x, t) with k = (ky, kz) ∈ Z × Z. Their Laplace transforms Uk(x, s) then satisfythe linear ordinary differential equation s2Uk = ∂xxUk − |k|2Uk with |k|2 = k2y + k2zfor Re(s) > 0. This equation can be solved analytically. Retaining only the solutiondecaying to zero as |x| → ∞ gives Uk(x, s) = exp(−

    √s2 + |k|2 |x∓a|) Uk(±a, s). Dif-

    ferentiation of this equation at x = ±a yields a relation between the transforms of the∗Received by the editors May 2, 2001; accepted for publication (in revised form) November 19,

    2001; published electronically May 20, 2002.http://www.siam.org/journals/sisc/24-1/38874.html

    †Mathematisches Institut, Universität Tübingen, Auf der Morgenstelle 10, D–72076 Tübingen,Germany ([email protected], [email protected]).

    161

  • 162 CHRISTIAN LUBICH AND ACHIM SCHÄDLE

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �������������������������������������������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    ����������