1

DEFEKTI V TRDNI SNOVIPripravil: Miran Gaberšček

2NEPRAVILNOSTI, VPLIVI NA LASTNOST GRADIV

Lastnosti materialovStrukturno neodvisne ( at. masa, elastičnost ... )Strukturno odvisne ( trdnost, žilavost, gostota )

Praktična uporaba defektnih struktur :Ţoplotna obdelava jekelPolprevodnikiSinteza materialov ( sintranje )Lezenje ...

Tipi defektnih strukturTočkastiLinijskiRavninskiVolumski

Defekti zaradi termičnega neredaTrdne raztopine ( substitucijske, intersticijske

3SCHOTTKY – FRENKEL DEFEKTI (NEPRAVILNOSTI)

4TOČKASTI DEFEKTI

Ravnotežna koncentracija defektov

TSPVUTSHG −+=−=

STUG ∆−∆=∆

defekta okolici vatomov a vibriranjlažjega zaradi entropije povecanjedefekta eneganastanek in vezipretrganje za potrebnodelo,

defektov število;

−∆−

−∆−∆−=∆

vib

v

mvibv

SEn

STSTnnEG

( )BBAABm CCCCNkS lnln +−=∆ “entropija mešanja”

Sprememba G, če v material vnesemo defekte pri konst. P in T

Definicija G

5

( )N

nNNn

NnN

Nn

Nn

Bm NkS −− −+−=∆ lnlnln

TOČKASTI DEFEKTI

NnN

BNn

A CC −== ;

A

A

AA

AA

AA

B

B

BB

BB

BB

( ) ( )( )NNnNnNnnkS Bm lnlnln −−−+−=∆

Celotna sprememba Gibbsove proste entalpije:

( ) ( )( )nNnNnnNNTkSTnnEG Bvibv −−−−−∆−=∆ lnlnln

( )BBAABm CCCCNkS lnln +−=∆

N – število vseh možnih mest

6

Spre

mem

ba e

nerg

ije

n

( ) ( )( )nNnNnnNNTkSTnnEG Bvibv −−−−−∆−=∆ lnlnln

( )nNn

Bvibv TkSTEdn

Gd−−∆−==

∆ ln0

TOČKASTI DEFEKTI

G∆vnE

vibSTn∆−

( ) ( )( )nNnNnnNNTkB −−−−− lnlnln

TkE

TkE

kS

TkEST

B

v

B

v

B

vib

B

vvib

AeeeenN

n−−∆−∆

===−

Ravnotežna koncentracija defektov

7LINIJSKI DEFEKTI - DISLOKACIJE

Niso povezane s termodinamskim ravnotežjem snoviNastanejo zaradi neravnotežne rasti kristalov iz taline, pare ali raztopine

Delitev :Robna dislokacija ( edge dislocation ) ( Burgersov vektor ∟ )Vijačna dislokacija (screw dislocation ) (Burgersov vektor || )

8<100> {100} VIJAČNA DISLOKACIJA MgO

9

DIFUZIJA V TRDNEMPripravil: Miran Gaberšček

10

Linearna DIFUZIJA

( ){ } ( ) ( ) ( )∫≡≡b

a

tpttpt d,KFF~FT

Ena od metod, ki jih uporabljamo pri reševanju parcialnih diferencialnih enačb:integralska transformacija

– funkcija (spremenljivke t), ki jo želimo transformirati

- transformirana funkcija (spremenljivke p)

T - predpis

- jedro predpisa

( )pF~

( )tF

( )pt,K

Nekatere naravne procese (tudi difuzijo snovi ali toplote) dobro opišejo izbrane parcialne diferencialne enačbe in ustrezni robni pogoji.

Osnove difuzije

11

Primer integralske transformacije: Laplaceova transformacija

( ){ } ( ) ( )∫∞

−≡≡0

deFF~F ttst stL

2

2

xCD

tC

∂

∂=

∂∂

Drugi Fickov zakon, zapisan v eni dimenziji

C – koncentracijat – časD – difuzijski koeficientx – krajevna koordinata

Osnove difuzije

12

Uporaba Laplaceove transformacije na 2. Fickovem zakonu

=−−=∂

= ∫∫∞

−∞−∞

−

00

0

dede tCsCetdtC ststst

Leva stran:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∂

dtCL ( )0

~=− tCCs

=∂

∂=

∂

∂= ∫∫

∞−

∞−

02

2

02

2dede tC

xDt

xCD stst

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ∂

2

2

dxCDL

2

2

d

~dxCD

( )2

20

d

~d~xCDCCs t ==−

Transformiran 2. Fickov zakon:

Desna stran:

Osnove difuzije

13

Polneskončna planarna difuzija s konstantnim izvorom

( )2

20

d

~d~xCDCCs t ==−

Enačba:

Začetni pogoj:C (x, t = 0) = 0

Robni pogoj:C (x=0, t ) = C0

{ }

sC

eCs

tCC

st

st

000

000

1

de

=−=

==

∞−

∞−∫L

Transformacijarobnega pogoja:

2

2

d

~d~xCDCs = 0~

d

~d2

2=− C

Ds

xC

Splošna rešitev homogene enačbe 2. reda:

xx Ds

Ds

BAC⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+= ee~

1. A = 0 (fizikalni razlogi)2. B dobimo z upoštevanjem rob. pog.

xsD

sC

C⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

= e~ 0

Končna rešitev:

Osnove difuzije

14

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

DtxerfCtxC

21),( 0

Inverzna transformacija (tabele):

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

C/C

0

x/2(Dt)1/2

Osnove difuzije

15

0 x ∞

M

t = 0

∞-

t → �

t =1

t =10

n

∞

Difuzija iz neskočno tankegaplanarnega izvora

Osnove difuzije

16

Difuzija iz neskočno tankega planarnega izvora

( )2

20

d

~d~xCDCCs t ==−

Enačba:

Začetni pogoj:C (x, t = 0) = 0

Robni pogoj:C (±∞, t ) = 0

( )AnxtxC =∫

∞

∞−

d,

Lastnost neskončnotankega izvora:

2

2

d

~d~xCDCs = 0~

d

~d2

2=− C

Ds

xC

( ) tAntxtxC stst dedd,e

00

−∞∞

∞−

∞− ∫∫∫ =

Transformacija enačbe za tanki izvor:

( )sA

ntxtxC st 121ded,

0 0

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

∞ ∞

∫ ∫

( )Asnxx,sC

2d~

0

=∫∞

Osnove difuzije

17

Dtx

DtAntxC 4

2

e2

),(−

=π

Po inverzni transformaciji:

0~d

~d2

2=− C

Ds

xC

( )Asnxx,sC

2d~

0

=∫∞

xDs

BsxC⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

= e),(~

Splošna rešitev za x>0:

( )Ds

x

Ds

BBxx,sC Ds

=−=

∞

−∞

∫0

0

ed~

AsnB

Ds 2

=sDA

nB2

=

xDs

sDAnsxC

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

= e2

),(~

Transformiranaenačba:

Difuzija iz neskočno tankega planarnega izvora - nadaljevanje

Transformiranipogoj:

Opomba: enako rešitev dobimo za x<0.

Rešitev:

Osnove difuzije

18

0

0.5

1

1.5

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

C(x

)*A/

n

x

.075

.05

Dt=0

0.025

0.25

13

Difuzija iz neskočno tankega planarnega izvoraKrajevno-časovni profil

Osnove difuzije

19

Difuzija iz 2D izvora

C0 (t=0)

C

+x-x

Robni pogoj:C (±∞, t ) = 0

+L-L 0

( )ξ

π

ξ

de2

);,( 40

2

∫−

−−

=L

L

Dtx

DtCLtxC

Seštejemo (integriramo) prispevke množice neskončno tankih izvorov od –L do L

Dtxu

2ξ−

=Uvedemo novo spremenljivko: in po integraciji dobimo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

DtLx

DtLxCtxC

2erf

2erf

2),( 0

Osnove difuzije

20DIFUZIJA V TRDNEM – POSLEDICA DEFEKTOV

1 2 3 4 5

M V

ener

gija

e. b

arie

ra

koordinata atoma M

M (Up)

atomšt. 3

med2 in 3

TkU

B

p

ef−

ν=

d

N1 N2C1 C2

L

redno mesto

vrzel

21 NN >smer difuzije

dLNC 2

11 =

dLNC 2

22 =

( )212

21

221

121 CCdfLfNfN

dtdN

−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=d

CCfddtL

dN 12221

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=d

CCfddtL

dN 12221

2

DIFUZIJA V TRDNEM – POSLEDICA DEFEKTOV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dxdcDjSplošno:

TkUp

BedfdD−

ν−=−= 2212

21

TkUp

BeDD−

= 0

TkUpDD

B

1lnln 0 −=

Arrheniusov graf

T1

BkUp

Dln

0ln D

22DIFUZIJA V TRDNEM – POSLEDICA DEFEKTOV

Kako se koncentracija spreminja s časom in krajem?Poleg 1. Fickovega zakona potrebujemo še kontinuitetno enačbo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−=∂

xCD

xxj

dtC

2

2

xCD

dtC

∂∂

=∂

x vseza 0=C

0,0 0

=∞===

CxC, Cx

Začetni pogoj:

Robni pogoj:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=DtxerfCtxC

21, 0

( ) dtezerfz

t∫ −

π=

0

22kjer:

(2. Fickov zakon)

C

x

C0

t0t1

t2t3

t4

0

0

t0 t1 t2 t3 t4< < < <

23STRIŽNA NAPETOST

G = strižni modul ≅ 30-40% E

δ

Θl0

γτ

γδ

⋅=

=Θ=

G

tgl0

24DEFORMACIJA VZDOLŽ DOLOČENIH RAVNIN DRSENJA

PCK struktura (Cu,Al,Ni,Pb,Au,Ag, γ-Fe)drsne ravnine {111} (4)drsne smeri <110> (3)število sistemov : (12)

(111)

[110](111)

[110] (111)

[110]

z

y

xxy

25

A

A’

SCHMIDOV FAKTOR

F’ = F.cos αA = A’.cos φ

Deformacija (drsenje) se prične, ko doseže τ kritično vrednost τk

τ = 0 ko je α ali φ = 90°α = 90°, A’ ┴ os preiskušancaφ = 90°, A’ ║ os preiskušanca ( velik A )τmax ko je α = φ = 45°, τmax = 0,5. σnatezna

cosα.cosφ je faktor orientacije

φλ

n

F

F’

F

φλστφ

λ

coscoscos

cos''

⋅⋅=

⋅= A

FAF

26PONOVI

Plastična deformacijaMnoženje dislokacijUtrjevanje materialaPorušitev

VključkiNepravilnostiMeje med zrniOviranje gibanja dislokacijOtditev materiala

ε

σ

27

TEORIJE ZLOMAPripravil: Miran Gaberšček

28TEORETIČNA ZLOMNA TRDNOST

a0 a0+ 2λ/

σσmax

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ

⋅σ=σx2sinmax

πλ⋅σ= maxW

( ) ( ) 222

02

2max0

2max

0

cossinλ

λλ

λπ

πλ

λπ σ−=σ=σ= ∫∫ xx dxdxW

γ=⋅σ πλ 2max

Energija, potrebna za prelom, je enakanovonastali površinski energiji

A

A’

φλ

n

F

F’

F

29TEORETIČNA ZLOMNA TRDNOST

Upoštevamo še prej ugotovljeno enakost W in 2γ in dobimo:

0axE=σ

S slike vidimo tudi veljavnost Hookovega zakona pri majhnih x:

0maxmax

22cos2aEx

dxd

=σλπ

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ

⋅σλπ

=σ

Odvajamo enačbo krivulje za σ in izenačimo z odvodom Hookove enačbe:

0max a

Eγ=σ

Primer za Fe :EFe = 200GPaγFe = 1Jm-2

ao = 2.10-10 m

σmax ≅ 31600 MPa ( izračun )σres ≅ 600 MPa ( podatek )

30GRIFFITHOVA TEORIJA

EVxFWE

2; σ

=∆=ε=σ

ElcUel

22πσ−=∆ γ+=∆ clUs 4

γ+πσ

−=∆+∆=∆ clE

lcUUU seltot 422

γ+πσ

−==∆ lcl

EdcUd tot 420

2

cE

c πγ

=σ2

cKcc

1=σ

Lastnost materiala – zlomna žilavost

Splošni zvezi

31ZLOMNA ŽILAVOST, IKC

0.2ice

0.5glass

1wood

3granite

3magnesia

4--5silicon nitride

2polystyrene

10--15reinforced concrete

6--20cast iron

20--45aluminium alloys

20--60GFRP, fibreglass

50--110titanium alloys

50--150high strength steel

170pressure vessel steel

100--350pure ductile metals

IKC [MPam-0.5]Material

CKa =⋅maxσČim večji je a0.5 ( napake v materialu ) nižji je σmax

KC – kritična intenziteta napetosti ali zlomna žilavost ( Fracture Toughness )

Merilo za krhost materijala (KC ↓ ) ali žilavost (KC ↑)

KC odvisen od načina obremenjevanjaNateg ima oznako 1 ali I

IKC ( izgovori “K ena C” )

32

ELEKTROKINETIČNI POJAVIPripravil: Miran Gaberšček

33

Nastane na faznih mejah. Vzroki:- različna afiniteta faz do elektronov- različna afiniteta faz do izbranih ionov- ionizacija površinskih skupin- fizikalno zajetje nabojev v fazah

faznameja

α β

Nevtralni delci: βα µµ ii =

βα µµ ii~~ =Nabiti delci:

Pogoj za ravnotežje med fazama:

Nastanek električnega dvosloja

34

1. Helmholtzov modelfaznameja

kovina elektrolit+++++++++

---------

a

φa

φs

φ

x

ssa x

aφ

φφφ +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

0

φ − električni potencial

x − razdalja od naboja na kovini

Opomba:Narisan je le presežni naboj na

kovini in v elektrolitu

Modeli električnega dvosloja

35

2. Gouy-Chapmanov model – osnovne enačbefaznameja

kovina elektrolit+++++++++

--

--

--

--

-

φ

x0

φs

?

0

2εερφ −=∇

B) Zveza med potencialom φ in gostoto naboja ρ :

0εε - dielektrična konstanta

- influenčna konstanta

22

22

222

zyx ∂

∂+∂

∂+∂

∂=∇

C) Zveza med gostoto naboja ρ in koncentracijami cinabitih delcev z nabojem zi:

∑=i

iiFczρ

A) Zveza med koncentracijo ci in potencialom φ :

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

RTFz

c

c i

i

i φexp0

0ic - koncentracija v območju

elektronevtralnostiF – 96 487 As/mol

Modeli električnega dvosloja

36

2. Gouy-Chapmanov model - rešitev

Rešitev za primer z+ = z- = z (recimo NaCl):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Dxx

RTszF

RTzF exp

4tanh

4tanh

φφ

∑= 2o2

0

iiD

zcF

RTx

εεDebyeva dolžinakjer

Združimo vse tri enačbe in upoštevamo :

∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=i

iii RT

FzFczdxd φ

εεφ exp1 0

0

2

2

2

22x∂

∂=∇

Poisson-Boltzmannova enačba

Rešitev za predpostavko: zFφ << RT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Ds x

xexpφφ

φ

x0

φs

xD

Modeli električnega dvosloja

37

3. Sternov model

kovina elektrolit

+++++++++

--

--

-

-

--

-

φ

x0

φs

negibljivinaboji gibljivi naboji

φa

Helmholtzov model

Gouy-Chap. model

sas x

aφφφφ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−≈

Da x

axexpφφ

Modeli električnega dvosloja

38Elektroosmoza

39

0

0

x

negibljiv naboj

podrocje gibljivega naboja

smer

zun

anje

ga e

lekt

r.pol

ja, E

z

hitrosttekočine,v

v=v0v=0dvdx

ddx

φφ=0

φ ζ= =0

=0

električnipotencial,φ

Elektroosmoza

40

x

smer

zun

anje

ga e

lekt

r.pol

ja, E

z

Sile na element tekocine

E Qz

x+dxηA dv

dx

xηA dv

dx

Adx

Elektroosmoza

41

dxdx

vd

dxdv

dxdvdxE

dxxxz

2

2η

ηηρ

−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

02

2

εερ

−=φ

dxdPoissonova

enačba:

Ravnotežje sil:

+

robni pogoji(gl. shemo)+

ηζεε 00 −=

zEv

mobilnost otskaelektroosm0

viskoznostpotencial zeta

konstanta.dielekt

−

−−−

zEv

ηζε

Tipične vrednosti:ε – 78ζ – 0.05 Vη – 0.0009 Ns/m-2

Vsm108.3

280 −⋅=

zEv

Elektroosmoza

42

Dxx

De

xx

−⋅= ζεερ 2

0)(

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅=

−1)( 0 Dx

xz eExv ζηεε

)()()( xvxxi ⋅= ρ

As/m3/104

m/s/10-8

A/m2/10-6

R(kapilare)>10-7m -> Itot = 4·10-13 A

43

r

x

dy

v y( )

y

0

∫ πρ=r

s ydyyyvI0

2)()(

Strujni tok(tok zaradi gibanja tekočine v kapilari)

kapilaredolžina

tlak

4)()(

22

−

−

−=

l

p

lyrpyv

η

Poiseuille-jeva enačba

02

2 )()(εερφ x

dxxd

−=

Poissonova enačba

Strujni tok

44

prl

I s20 π

ηζεε

−=

Tipične vrednosti:ε – 78ζ – 0.1 Vr – 0.5 mmp – 103 Nm-2

η – 0.001 Ns/m-2

l – 50 cm

A10 10−=sI

∫

∫

∫

−=

=−=

==

ζ

φηεεπ

φεεη

π

ρη

π

0

02

0

2

20

2

02)(

dl

pr

dxdxdx

lpr

dxxxlprI

r

rs

22; xrxrxry >>>>−=

Strujni tok, potencial

45

m/s/10-5

m/s m/s/10-8

Itot = 10-10 A

Itot = 4·10-13 A

lxrpxv

η4)()(

22 −=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅=

−1)( 0 Dx

xz eExv ζηεε

Tlak, ki vodi do enakosti: ca. 3 Pa(0.3 mm H20 stolpca)

Strujni tok, potencial

46Merjenje strujnega potenciala

47

Gibanje nabitih trdnih delcev v zunanjem električnem polju

∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

i

iii RT

FzFcz

drdr

drd

r

φεε

φ exp11 0

0

22

Poisson-Boltzmannova enačba za sferne koord.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

Dz xa

Ev 1

32 0

ηζεε

∫∞

−=a

drrQ ρπ 24 Naboj delca je nasprotno enak naboju “oblaka”

Stokesova sila

ηπvaQEz 6=

Električna sila++

+ +

++ +

+

+-

-

-

-

-

-

- -

-

2a

električnasila

Stok

esov

asi

la

rx

ar

a Ds

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

=exp

φφ

ηπaQ

Ev

z 6=

Elektroforetska mobilnost:

?

Elektroforeza

48

BATTERY

POSITIVE POLE(contact with moist finger)

BRISTLES (non-conducting)

NEGATIVE POLE ELECTROLYTE(water, toothpaste, saliva)

Ionska ščetka = elektroforetska ščetka

insulationepoxy-based sealing

copper electrode

copper electrode

pulp cavity

GALVANOSTAT(POTENTIOSTAT)

physiological solution +staphylococcus aureus

I I

I

CATHODE ANODE

- +

Elektroforeza

49

Anoda (+)

Katoda (-)

Ref

erenčn

i zob

a)b)c)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25sample number

num

ber o

f bac

teria

Anoda(+)

Katoda(-)

• I =50 µA• t = 2 minuti• opazovana površina pod

mikroskopom: 800 µm2

Elektroforeza

50

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Del x

xRU exp2 2000 φεεπ

Elektrostatska potencialna energija priprekrivanju difuznih slojev dveh sfernih delcev(zFφ << RT):

+++ +

++ +

+

+

-

-

-

-

-

- -

--

+++ +

++ +

+

+

-

-

-

--

- -

-

x

R0

xARUvdw 6

0−=

Van der Waalsova energijamed koloidnimi sferami

φ0 – potencial na površini krogelxD – Debyejeva dolžinaA – Hamakerjeva konstanta (5-50·10-20J)

vdwUelU +vdwU

elU

10 20 30 40x/nm

10-18

-10-18

-2·10-18

U/J

Stabilnost koloidov - teorija DLVO(Derjaguin, Landau, Verwey, Overbeek)

-

51

U

x

Naraščajoča koncentr. soliPadajoči potencial na površini

ab

c

d

e

a) Močan elektrostatski odboj koloidov

b) V sekundarnem minimumu dosežejo delci ravnotežje; kinetična stabilnost

c) Počasna koagulacija – minimum preveč plitek

d) Kritična koncentracija za koagulacijo

e) Hitra koagulacija

Stabilnost koloidov-teorija DLVO