DERIVATIVEArum Handini primandari

INTRODUCTION

Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan)

Calculus dikembangkan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz, dan ilmuwan lainnya; yang pada mulanya berusaha untuk menyelesaikan masalah:

1. Garis singgung (tangent line): mencari garis singgung di titik tertentu pada suatu kurva

2. Luas area: menentukan luas area di bawah suatu kurva

TINGKAT PERUBAHAN (CHANGE OF RATE)

Fungsi linier (garis), antara satu titik dantitik yang lain memiliki tingkat perubahan

yang sama, yaitu sebesar m

Kurva, antara satu titik dan titik yang lain memiliki tingkat perubahan yang

berbeda, yaitu diberikan oleh kemiringandari garis singgung pada P(c,f(c))

CONTOH: TINGKAT PERUBAHAN KURVA

Fungsi daripengaruh

penggangguranterhadap inflasi

BERAPAKAH BESAR TINGKAT PERUBAHAN?

Berapakah besar tingkat perubahan di titik𝑃(𝑐, 𝑓 𝑐 )?

Misalkan diketahui titik:

𝑄(𝑐 + ℎ, 𝑓 𝑐 + ℎ )

Ruas garis PQ disebut garis potong (secant line)

Perhatikan: seiring ℎ mendekati 0, garispotong PQ semakin mendakati garissinggung di titik P

Sehingga besar tingkat perubahan:

limℎ→0

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑦

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑥= lim

ℎ→0

𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐)

ℎ

DERIVATIVE

Fungsi derivative:

Fungsi derivative 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi 𝑓′(𝑥) yang dirumuskan:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

Proses dari perhitungannya disebut diferensial (turunan). Dikatakan bahwa 𝑓(𝑥) terdiferensial di 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓′(𝑥) ada, yaitu jika limit yang mendefinisikan 𝑓′(𝑥) ada di titik 𝑥 = 𝑐

CONTOH 1:

Tentukan diferensial dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2

Jawab:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥

ℎ

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑥+ℎ 2−𝑥2

ℎ= lim

ℎ→0

(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)−𝑥2

ℎ= lim

ℎ→0

2𝑥ℎ+ℎ2

ℎ= lim

ℎ→02𝑥 + ℎ = 2𝑥

NOTASI LEIBNIZ

Misalkan notasi turunan:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

Δ𝑦

Δ𝑥= lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

dituliskan𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ= 𝑓′(𝑥)

Order yang lebih tinggi:

2

2

4(4)

4

''d y

f xdx

d yf x

dx

TEKNIK DIFERENSIAL

Diferensial dari suatu konstanta𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

Jika 𝑛 bilangan riil, maka berlaku𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1

Jika 𝑐 adalah konstan dan 𝑓(𝑥) fungsi terdiferensial, maka: 𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

LATIHAN 1

Tentukan diferensial dari fungsi berikut:

1. 𝑓 𝑥 =1

4𝑥8 −

1

2𝑥6 − 𝑥 + 2

2. 𝑦 =1

𝑡+

1

𝑡2−

1

𝑡

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 +1

𝑥5

4. 𝑓 𝑡 = 2 𝑡3 +4

𝑡− 2

5. 𝑦 = −𝑥2

16+

2

𝑥− 𝑥

3

2 +1

3𝑥2

6. 𝑦 =7

𝑥1.2+

5

𝑥−2.1

7. 𝑦 =3𝑥5 + 2𝑥 +

4

𝑡

KEGUNAAN DIFERENSIAL

1. Kemiringan Kurva

Kemiringan suatu kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑐 adalah 𝑚 = 𝑓′(𝑐)

2. Tingkat perubahan

Tingkat perubahan dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥, ketika 𝑥 = 𝑐 adalah 𝑓′(𝑐)

MENENTUKAN TINGKAT (RATE) PERUBAHAN

Kegunaan fungsi derivative, salah satunya, adalah menentukan tingkat (rate) perubahan, contohnyapada gerak linier.

Jika posisi obyek yang bergerak pada lintasan linier pada waktu 𝑡diberikan oleh fungsi 𝑠(𝑡), maka obyek memiliki:

1) Kecepatan 𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 =𝑑𝑠

𝑑𝑡

2) Percepatan 𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

Obyek bergerak maju ketika 𝑣 𝑡 > 0, bergerak mundur ketika 𝑣 𝑡 < 0, dan berhenti (stasioner) ketika 𝑣 𝑡 = 0

RELATIFITAS DAN PERSENTASE PERUBAHAN

Tingkat perubahan dari kuantitas 𝑄(𝑥) pada saat 𝑥 diberikan oleh rasio:

Persentase perubahan dari 𝑄(𝑥) pada waktu 𝑥 adalah:

Δ =𝑄′ 𝑥

𝑄 𝑥

% Δ =𝑄′ 𝑥

𝑄 𝑥∗ 100%

TANDA SIGNIFIKAN PADA DERIVATIVE

Jika fungsi 𝑓 terdiferensial pada 𝑥 = 𝑐, maka:

1. 𝑓 naik di 𝑥 = 𝑐, jika 𝑓′ 𝑐 > 0

2. 𝑓 turun di 𝑥 = 𝑐, jika 𝑓′ 𝑐 < 0

Penggunaan aturan ini adalah ketika menentukan titik stasioner dan sketsa kurva.

Titik-titik stasioner 𝑥, yaitu memenuhi 𝑓′ 𝑥 = 0

CONTOH 2:

Tentukan titik stasioner dan sketsa dari 𝑔 𝑥 =𝑥3

3+ 2𝑥2 − 21𝑥 + 3

CONTOH

Posisi suatu benda bergerak linier diberikan oleh fungsi 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 + 5

a) Tentukan kecepatan obyek tersebut saat 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4

b) Tentukan total jarak yang ditempuh oleh obyek tersebut antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4

c) Tentukan percepatan obyek antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4

LATIHAN 2

1.

2.

Pertumbuhan Populasi Diperkirakan bahwa x bulan darisekarang, populasi dari kota tertentu akan menjadi

𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 4𝑥3

2 + 5,000.a) Sembilan bulan dari sekarang, berapakah kecepatan

pertumbuhan populasi tersebut?b) Berapakah persentase kecepatan pertumbuhan

populasi saat 9 bulan dari sekarang?

Polusi udara Studi lingkungan dari suatu daerahmengemukakan bahwa 𝑡 tahun dari sekarang, rata-rata tingkat karbon monoksida di udara akan menjadi𝑄 𝑡 = 0.05𝑡2 + 0.1𝑡 + 3.4 ppm.a) Pada 1 tahun mendatang, berapakah kecepatan

perubahan tingkat karbon monoksida di udara?b) Berapakah kecepatan perubahan tingkat karbon

monoksida tahun ini?

3.

4. Efisiensi Pekerja Studi efisiensi dari shift pagi pada suatuperusahaan mengindikasikan bahwa rata-rata pekerjayang datang pukul 08:00, akan mengumpulkansebanyak 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥 unit pekerjaan, 𝑥jam kemudian. a) Tentukan fungsi kecepatan pekerja dalam

mengumpulkan pekerjaan setelah 𝑥 jam.b) Pada pukul 09:00, berapakah kecepatan pekerja

mengumpulkan pekerjaannya?c) Sketsakan grafik keefektifan pekerja tersebut.

ATURAN PENJUMLAHAN

The sum rule:𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Then, the difference of derivative: 𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 −

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

ATURAN PERKALIAN

Aturan perkalian fungsi derivative:

Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi yang terdiferensial pada 𝑥, maka perkalian kedua fungsi tersebutdidefinisikan:

𝑓 ∙ 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)

ATURAN PEMBAGIAN

Aturan perkalian fungsi derivative:

Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi yang terdiferensial pada 𝑥 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka pembagian keduafungsi tersebut didefinisikan:

𝑓

𝑔

′𝑥 =

𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥

𝑔 𝑥 2

ATURAN RANTAI

LATIHAN 3

1) 𝐹 𝑥 =𝑥2−1

2𝑥+3

2) 𝐺 𝑥 = (𝑥3 − 2𝑥)(2𝑥 + 5)

3) Diketahui fungsi 𝐺 𝑥 = (9𝑥8 − 8𝑥9) 𝑥 +1

𝑥:

a) Tentukan 𝐺′(𝑥)

b) Tentukan 𝐺′(−1)

4) 𝐹 𝑥 =1

𝑥5−2𝑥+1 2

5) Tentukan nilai 𝐺′(2) dari 𝐺 𝑠 =3

5𝑠2+2

DIFERENSIALFUNGSI IMPLISIT

LATIHAN 4

1. 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥𝑦

2. 5𝑥 − 𝑥2𝑦3 = 2y

3. 𝑦2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑥2 = 9

4. 𝑥 + 𝑦 = 1

Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang sudah diberikan:

5. 𝑥2 = 𝑦3 di (8, 4)

6. 𝑥2 − 𝑦3 = 2𝑥 di (1, −1)

7. Pertumbuhan tumor suatu tumor dimodelkan, secarakasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius tumor saat ini 𝑅 = 0.54 cm dan mempunyaikecepatan tumbuh 0.13 cm per bulan. Berapakankecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui:

𝑉 =4

3𝜋𝑅3

APLIKASI DERIVATIVE

LATIHAN

Tentukan interval naik dan turun dari kurva berikut

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5

2. 𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡2 + 1

3. 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥3

4.

THE MEAN-VALUE THEORM

Jika 𝑓 adalah fungsi terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏) dan kontinu di selangtertutup [𝑎, 𝑏], maka terdapat paling tidak satu bilangan 𝑐 di (𝑎, 𝑏) sedemikiansehingga:

𝑓′ 𝑐 =𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎

𝑏−𝑎

KETERANGAN

Perhatikan gambar:Nilai dari

𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎

𝑏−𝑎adalah kemiringan dari suatu garis, ℓ,

yang melalui titik (𝑎, 𝑓 𝑎 ) dan (𝑏, 𝑓 𝑏 ).

Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwagrafik 𝑓 mempunyai paling tidak satu titik (𝑐, 𝑓 𝑐 )dimana garis singgungnya sejajar dengan garis ℓ.

ROLLE THEORM

Andaikan bahwa 𝑓 adalah fungsi yang terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏) dankontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 . Jika 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏) keduanya bernilai 0, makaterdapat paling tidak satu bilangan 𝑐 sedemikian hingga:

𝑓′ 𝑐 = 0

LATIHAN

Tunjukkan bahwa 𝑓 memenuhi kondisi dari teorema Rolle di interval yang diberikan. Tentukan bilangan 𝑐 di dalam interval sedemikian sehingga 𝑓′ 𝑐 = 0

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥; [0,1]

2. 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2 − 8; [−2,2]

Tunjukkan bahwa 𝑓 memenuhi kondisi teorema mean-value pada interval yang diberikan. Tentukan nilai 𝑐 yang memenuhi konklusi dari teorema.

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥2; [1,2]

4. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 4𝑥; [1,4]