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DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO ANALÍTICO DE allen forteTRANSCRIPT
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO ANALÍTICO DE “PITCH CLASS” O “SET THEORY”
© 2002, Agustín Charles Soler
La música del siglo XX, y en concreto la música que aborda el dodecafonismo y
sus sistemas derivados, serialismo y serialismo integral, precisa hoy de nuevas
formas de análisis para poder observar la obra de modo coherente, ya que buena
parte de los procedimientos tradicionales no encajan bien, o bien no son realmente
útiles para su análisis. A este respecto en los paises anglosajones se utiliza un
procedimiento que poco a poco se ha ido imponiendo en el campo analítico, es el
procedimiento llamado “Pitch Class”o Set Theory”. Si bien en un principio el
análisis basado en las teorías de Schenker fue enormemente desarrollado, éste no
tenía utilidad al aplicarlo a un sistema que carecía de jerarquización musical, y en
los casos que así era no se articulaba de forma lo suficientemente clara como para
poder ser abordado por aquél. El propio Allen Forte, una personalidad notable en
el campo del análisis musical, autor del libro The structure of atonal Music1[1]
hace un análisis del sistema serial que poco o nada tiene que ver con el sistema
Schenkeriano, abordado en su libro Introducción al análisis schenkeriano2[2] .
Este sistema, hoy tan necesario para la lectura de cualquier trabajo analítico
en lengua anglosajona es prácticamente desconocido en nuestro país, lo cual nos
imposibilita abordar dichos trabajos. Evidentemente, uno de los principales
problemas a la hora de traducir los términos es el de su semejanza con una
terminología en español, ya que la anglosajona es breve y concisa, mientras que
en España poseemos un vocabulario musical limitado y falto de terminología. Por
1[1] FORTE, Allen., The Structure of Atonal Music, New Haven: Yale University Press, 1973. 2[2] FORTE, Allen., Introduction to Schenkerian Analysis, New York: W.W. Norton & Company, Inc., 1982.
esa razón hemos procurado añadir a cada definición el nombre de su equivalente
inglés, ya que en muchos casos resulta poco claro.
En la música del siglo XX se han abordado temáticas compositivas que a
menudo surgen de la adopción medios puramente contrapuntísticos que, en no
pocos casos, tienen más que ver con cierta música renacentista que con los
procedimientos compositivos directamente antecesores a aquella. Estos
procedimientos compositivos, que en su mayoría tienen relación directa con el
dodecafonismo se basan, en su mayor parte, en una serie de combinaciones
interválicas que constituyen el eje principal de su lenguaje expresivo. Estos han
dado lugar con posterioridad a una serie de tendencias concretas — en lo
referente al lenguaje sonoro — entre las que el serialismo integral ha sido una de
las más significativas. Para tales procedimientos compositivos, por otra parte
completamente diferenciados de los utilizados en el lenguaje musical común, se
hace necesaria una nueva forma de análisis que aglutine de modo coherente
dicho lenguaje y pueda, a la vez, abrir posibilidades para una mayor clarificación
de su desarrollo musical.
El procedimiento de análisis de altura de sonido (Pitch Class), fue utilizado
en primera instancia por uno de los compositores americanos dodecafónicos de
mayor relieve: Milton Babbitt, el cual definió buena parte de su nomenclatura,
ampliada posteriormente por Allen Forte, Benjamin Boretz, Paul Henry Lang,
George Perle y John Rahn entre otros. La mayoría de ellos han sido
colaboradores asiduos de la revista americana “Perspectives in new Music”,
revista especializada en el análisis de la música del siglo XX.
De dichos autores cabe destacar varios trabajos que por su concisión se
han impuesto paulatinamente. La mayoría son trabajos que tienen relación directa
con la enseñanza del análisis, de ahí su importancia. Tres destacan
principalmente, el ya citado de Allen Forte “The Structure of Atonal Music”, el libro
de John Rahn “Basic Atonal Theory”3[3] , y el de George Perle “Serial Composition
and Atonality”4[4]. Existen, además, multitud de artículos en otros libros sobre el
sistema, si bien la mayoría desarrollan los mismos conceptos, ya sea
resumiéndolos o ampliándolos. En este apartado, sin embargo, no pretendemos
hacer un decálogo del método, puesto que no es el objeto de nuestro estudio, sino
realizar una exposición metodológica mínima, desarrollando únicamente los
aspectos que conciernen a la tesis aquí emprendida.
2 Método de Pitch Class
2.1 Enumeración de alturas
2.1.1. - ALTURAS (PITCH) E INTERVALOS
2.1.1.1 ALTURAS (PITCH)
En buena parte de los análisis de la música del siglo XX se utiliza una
nomenclatura basada en la contabilización del numero de semitonos, para de ese
modo poder analizar de forma clara y coherente el discurso musical, junto al
lenguaje de un compositor atonal determinado. De este tipo de nomenclatura ya
daba algunas nociones el propio Schoenberg en su libro el “Estilo y la Idea”5[5] .
Por tanto, la nomenclatura de intervalos que vamos a utilizar a lo largo del
trabajo estará supeditada a la siguiente tabla:
Segunda menor 1 Segunda mayor 2
3[3] RAHN, John., Basic Atonal Theory. New York: Schirmer Books, 1980. 4[4] PERLE, George: Serial Composition and Atonality. California: University of California Press,
1991. 5[5] SCHOENBERG, Arnold: Style and Idea (edición de Leonard Stein).New York: Belmont Music Publishers, 1975.
Tercera menor 3 Tercera mayor 4 Cuarta justa 5 Quinta disminuida 6 ( o Cuarta Aumentada), Tritono Quinta justa 7 Sexta menor 8 Sexta mayor 9 Séptima menor 10 Séptima mayor 11 Octava 12 ó 0)
La ordenación de sonidos o alturas (Pitch), se realiza en base al numero de
semitonos de la escala y en relación a la determinación de nota = 0 , como nota de
partida:
Ejemplo 1
Así pues, a partir de una nota que determinamos base (como sería en la
tonalidad clásica la tónica) ésta puede ser movible dependiendo del centro tonal
donde se halle la composición, o bien determinada por el analista mediante los
procedimientos que a continuación describimos.
2.1.1.2 INTERVALO DE ALTURAS ORDENADO (ORDERED PITCH INTERVAL)
Este intervalo es el resultante de la distancia entre dos puntos, atendiendo
al numero de la nota de partida y ordenando su intervalo por el numero total de
semitonos. Su fórmula es: ip <x,y> = y-x, y se anota, por tanto, con corchetes.
x se refiere al numero de la primera nota e y al de la última.
O sea, un intervalo (ip) determinado : ip <2, -11> = -11 -2 = -13 . Es por
tanto, -13 el numero de semitonos que hay entre una nota y otra ( los números
negativos o positivos nos indican siempre la dirección del intervalo).
Ejemplo 2
2.1.1.3 INTERVALO DE ALTURAS DESORDENADO (UNORDERED PITCH INTERVAL).
Este tipo de intervalo parte de la misma idea que el anterior , pero en él no
identificamos la dirección del intervalo, sino únicamente la distancia entre las 2
notas. Para ello se utiliza la misma fórmula, pero utilizando el paréntesis en
substitución del corchete: ip (x,y)= |y-x|.
Así pues, el intervalo anterior quedaría de la siguiente forma: ip <2, -11> = |-
11 -2| = |-13| = 13 , por tanto, sin tener en cuenta su dirección.
2.1.2- ORDENACION DE ALTURAS EN GRUPO CERRADO (PITCH CLASS) E INTERVALOS
La ordenación en Pitch Class (pc) es la equivalente a enumerar únicamente
la escala de 0 a 11, suprimiendo las altura del cambio de octava ( es decir
13,14,15 etc.):
Ejemplo 3
De es modo el numero base tiene como equivalentes a:
0 = (...-36,-24,-12,0,12,24,36,48 ...)
1 = (...-35,-23,-11,1,13,25,37,49 ...)
2 = (...-34,-22,-10,2,14,26,38,50 ...)
3 = (...-33,-21, - 9,3,15,27,39,51, ...)
4 = (...-32,-20, - 8, 4,16,28,40,52,...)
5 = (...-31,-19, - 7, 5, 17,29,41,53...)
etc..
2.1.2.1.- INTERVALO DE ALTURAS ORDENADAS EN GRUPO CERRADO (ORDERED PITCH CLASS INTERVAL)
A este tipo de intervalos Milton Babbitt los enumera intervalos directos
(directed intervals), y es el intervalo resultante del la suma del numero de
semitonos total en una dirección, pero teniendo en cuenta únicamente el numero
de la nota (o sea numeración de 0 a 11). En este tipo de intervalos, y en el caso de
sumas negativas se utiliza la suma del intervalo 12 (módulo 12), y significa que a
un resultado negativo se le debe añadir 12, siendo numero válido el resultante. La
fórmula es la siguiente: i<a,b> = b-a . b y a son las notas primera y última del
intérvalo. Veámoslo en el ejemplo siguiente:
i<5,1> = 1-5 = (-4) , ((+ mod.12)) = (8)
Ejemplo 4
Como puede observarse, el resultante de la suma de ambos es siempre la
escala de 12 semitonos, es decir 4+8 = 12.
2.1.2.2 INTERVALO DE ALTURAS DESORDENADAS EN GRUPO (UNORDERED PITCH CLASS INTERVAL)
Éste es el que resulta de la suma por el camino más corto, quedando
siempre las alturas constreñidas a un intervalo el máximo de 6 semitonos
(recuérdese que todos los intervalos pueden ser invertidos, manteniendo siempre
entre sí las mismas notas. De ese modo puede convertirse, por ejemplo, un
intervalo de sexta mayor en uno de tercera menor (9 = 3). La fórmula utilizada
para ello, es la siguiente: i(a,b) = la más pequeña de i<a,b> e i<b,a>. Como
puede observarse hasta aquí, se utilizan siempre paréntesis para los intervalos
desordenados. Si obtenemos el resultado en números negativos deberá añadirse
a aquel un numero de 12 semitonos (mod. 12), como en el anterior ejemplo.
Por tanto, su utilización será: i(11,0) = i(0,11) = 1. Esta es, además, la
fórmula abreviada de i(11,0) = 0 -11 = (-11) , ((+ mod.12)) = 1. Veámoslo en el
ejemplo siguiente:
Ejemplo 5
Hasta aquí hemos observado todas las posibilidades posibles de
combinación a partir de una nota base. Conocer una u otra nos será de gran
utilidad para desarrollar toda la teorización siguiente, sin la cual no sería posible
abordarla. Para dejar en claro todo este tipo de combinación, vamos a analizar con
todas las posibilidades expuestas hasta el momento la serie utilizada por Anton
Webern en el Tema de su Sinfonía Op. 21.
Ejemplo 6
2.1.3.- ORDENACION EN FORMA DE ESCALA (ESCALISTICA) DE LAS ALTURAS E INTERVALOS.
En el análisis de un fragmento musical, aparece, en primer lugar, el
problema de la ordenación de sus notas (alturas) en base a un determinado tipo
de escala, para poder resumir así, y de modo factible, la distribución de los 12
sonidos. Es evidente que el compositor a menudo no utiliza una escala
determinada, si bien ésta se halla subyacente, aunque sea de modo involuntario.
Nuestro trabajo consiste aquí, en dar una visión ordenada y coherente del discurso
musical, convirtiéndolo así en analíticamente comprensible.
2.1.3.1.- PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA FORMA IDEAL (NORMAL FORM).
El procedimiento básicamente utilizado en el análisis de alturas (Pitch
Class), es el de obtener el camino más corto de su distribución interválica, es
decir, el elemento de menor longitud según la escala cromática. Para ello la
ordenación de las alturas podría parecer suficiente, aunque el problema erradica
en que no podemos basar siempre las alturas sobre una única altura base, por
ejemplo Do = 0, ya que en la mayoría de casos, ésta puede no ser la altura central
de la obra, sino una más dentro del discurso sonoro.
O sea, si tenemos, por ejemplo, el acorde siguiente:
Ejemplo 7
La ordenación de sus alturas, desde el ámbito de octava, sería la siguiente,
junto con todas sus posibles combinaciones:
0 2 6 11
2 6 11 0
6 11 0 2
11 0 2 6
Ejemplo 8
Así, tenemos cuatro combinaciones posibles y la pregunta es la siguiente,
¿cuál es la ideal?. Para ello debemos realizar las formulaciones antedichas entre
las diferentes distancias interválicas determinando, de ese modo, cuál de ellas es
la que tiene la suma menor, que será, a su vez, la ideal.
i<0,2> + i<2,6> +<6,11> = 2 + 4 + 5 = 11
i<2,6> + i<6,11> +<11,0> = 4 + 5 + 1 = 10
i<11,0> + i<0,2) +i <2,6> = 1 + 2 + 4 = 7
Es por tanto, la última, la que posee la combinación 11, 0 ,2 ,6 la ideal, por
lo que debe realizarse la numeración a partir de Si = 0 en vez de Do = 0 como
forma ideal (normal form). Veámoslo ahora en un ejemplo más práctico, en el
fragmento de Die Jakobsleiter de Schoenberg:
Ejemplo 9
Tomando como punto de referencia el acorde culminante del compás 6,
tenemos la combinación de alturas siguiente:
0 3 6 9 10 11
3 6 9 10 11 0
6 9 10 11 0 3
9 10 11 0 3 6
10 11 0 3 6 9
11 0 3 6 9 10
Ejemplo 10
Al realizar la formulación se observa que hay tres que son iguales en cuanto
a su longitud:
3 6 9 10 11 0
6 9 10 11 0 3
9 10 11 0 3 6
Otra forma de realizarlo rápidamente es la de sumar el numero de intervalos
entre cada una de las alturas (3 + 1 + 1 + 1 + 3 = 9).
Para ordenar esta combinación y determinar cuál es la ideal, debemos
ahora realizar la operación entre las notas los extremas de cada uno de los
grupos, de los cuales, en esta ocasión también obtendremos idénticos resultados.
El siguiente paso será realizar la operación sobre el primero y penúltimo :
i<3,11> = 8
i <6,0> = 6
i <9,3> = 6
De este modo el primero queda ya eliminado por ser el numero mayor.
Posteriormente lo realizaremos con el antepenúltimo numero de los 2 restantes:
i<6,11> = 5
i<9,0> = 3
Así, determinamos que la combinación {9, 10 ,11, 0, 3, 6} es la que deberá
ser tomada como forma ideal. Esto nos viene a confirmar, sin embargo, algo que
ya veíamos desde el inicio, que la forma ideal (normal form), , es siempre la que
tiene los intervalos más pequeños en general y es, además, la que principalmente
sitúa dichos intervalos al inicio de la escala. O sea, en una combinación de
{8,3,7,0,6,9} la ordenación será:
a/ 0,3,6,7,8,9, con la que quedarían los intervalos siguientes:
b/ 3 3 1 1 1 3 intervalos
0 3 6 7 8 9 (0) pc ( Pitch Class)
Queda como forma ideal la siguiente:
c/ 6 7 8 9 0 3 pc
1 1 1 3 3 intervalos
2.2.- Operaciones básicas con modelos de alturas (Pitch Class).
2.2.1.- TRANSPOSICION
2.2.1.1 TRANSPOSICION DE ALTURA (PITCH TRANSPOSITION) ( )
La resolución de transposición de altura se realiza aquí en base a la
determinación de una nota de partida (pitch), hacia una nota de transposición, o
sea: desde una nota x y un intervalo n. La fórmula es la siguiente (x) = x + n.
Veámoslo en el siguiente ejemplo:
(-10) = -10 + 20 = 10
Ejemplo 11
La numeración "p" es lo que diferenciará a la transposición de alturas
(Pitch), de la de Tn , como transposición de grupo de alturas (pitch Class). Así,
podríamos transportar una línea de alturas con el mismo procedimiento:
Ejemplo 12
2.2.1.2.- TRANSPOSICION DE GRUPOS DE ALTURAS (PITCH CLASS TRANSPOSITION) (Tn ).
El procedimiento para este modelo es similar al anterior, preservando
únicamente las alturas de números entre 0 a 11 (al igual que en el capítulo
anterior), de tal modo que no se mantiene el contorno de la línea del grupo,
aunque sí la semejanza entre ellos.
La formulación utilizada sería: por una pc x y un pc intervalo n, Tn (x) = x +
n (mod.12). En ella utilizaremos el módulo 12 en el caso de los números
negativos. De ese modo, teniendo en cuenta que el numerador de Do es cero
podríamos aplicar los modelos de Pc del siguiente modo:
a) T8(7)= 7+8 = 15 = 15-12 = 3
b) T10<0,1,4>=<0+10, 1+10, 4+10>=<10,11,14>=<10,11,2>
i<x,y>:1,3 i<x,y>:1,3
c) T8{11,0,2,4} = {11+8, 0+8, 2+8, 4+8} = {19,8,10,12} = {7,8,10,0}
Ejemplo 13
2.2.2.-INVERSION
La inversión es una operación relativamente simple, puesto que se trata de
convertir a la altura x en negativa.
2.2.2.1.- INVERSION DE ALTURA
La inversión de altura tiene en cuenta la altura ordenada normalmente
(Pitch): I (x) = - x + n, ó x-n.
Por ejemplo: I(7) = -7 + 8 = 1. Veámoslo en un ejemplo:
a) <0,3,7,8,-1> = <-0,-7,-8,-(-1)> = <0,-3,-7,-8,1>
b) <0,3,7,8,-1> = <-5,-8,-12,-13,-4>
c)
Ejemplo 14
2.2.2.2.- INVERSION DE GRUPO DE ALTURAS
Esta inversión tiene en cuenta a la altura básica de numeración entre 0 y
11, de forma que como se ha realizado anteriormente, en las numeraciones
negativas habría que añadirle el numero complementario 12 (mod. 12). La
formulación sería la siguiente: para un intervalo x y un intervalo pc n, Tn I(x)= x+n
(mod 12).
Por ejemplo, T10 I (11) = -11 + 10 (= -1) +((mod 12 )) = 11. De este modo
las transposiciones resultarían del siguiente modo:
Ejemplo 15
2.2.3.- OPERACIONES COMPUESTAS
Las operaciones compuestas son, por tanto, el producto de 2 ó más
operaciones, es decir, la multiplicación de la operación X con la Y, primero la
operación X , y posteriormente la Y, lo cual lo escribimos como Y (X(z)).
La formulación debe realizarse de derecha a izquierda, en este orden:
primero X en z, después Y en la imagen de z bajo X. Por ejemplo:
Formulación Procedimiento
T11 I(T7(T0 I(T2(T5(x))))) = | 5+2 = 7
T11 I (T7(T0 I(T7(x)))) = | 0-7 = -7 (+12)= 5
T11 I(T7 (T5 I(x))) = | 5+7 = 12 (-12)= 0
T11 I(T0I(x)= | -0-11=-11 (+12)=11
T11 (x) = x+ 11
2.2.3.1 OPERACIONES MULTIPLICATIVAS
Cuando el argumento aparece multiplicado, éste es llamado multiplicativo.
En el modelo de 12 notas, el grupo x = -x es idéntico al grupo x= 11. x (ej: x=1,1 =
-1 =11 y 1 = 11. 1 = 11. De este modo la pc inversión Tn I(x) = -x+n es idéntica a
la operación multiplicativa Tn M11(x) = 11. x+n.
Por ejemplo, en el círculo de cuartas y quintas justas se utiliza el modelo de
multiplicación siguiente - quedando como el círculo de cuartas y quintas, aunque
transformado (recordemos que a los valores negativos, y que exceden de 12
semitonos, se le suma o resta el numero 12 respectivamente (mod. 12)):
M5(x) - Círculo de cuartas
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5.x 0 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7
M7 (x) - Círculo de quintas
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7.x 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5
Teniendo en cuenta que la operación Tn (x) = x+n es idéntica a la
operación multiplicativa Tn M11(x) = 11. x+n, tenemos que:
Tn M11(x) = 11. x+n
T5 M7 {1,4,7,10} = {7+5, 4+5, 1+5, 10+5} = {0,9,6,3} = {0,3,6,9}.
2.3.-GRUPOS DE TIPOS (SET TYPES)
2.3.1.- TIPOS
Los grupos y líneas de alturas y pc son normalmente clasificados en
diferentes tipos o formas. Un grupo familiar de pc sería el acorde mayor tríada, y
un tipo de línea, la escala mayor. Para clasificar a ambos vamos a establecer una
diferencia entre las propiedades estructurales de los grupos y el de las líneas.
2.3.1.1 TIPOS CARDINALES
Por lo general se clasifican según el numero de los miembros que lo
integran. La enumeración, así como los nombres normalmente utilizados, son los
siguientes:
Cardinales Tipo de nombre En inglés
0 Grupo nulo Null set
1 Mónada Monad
2 Díada Dyad
3 Tríada Trichord
4 Quatríada Tetrachord
5 Quintíada Pentachord
6 Acorde de 6 notas Hexachord
7 Acorde de 7 notas Septachord
8 Acorde de 8 notas Octachord
9 Acorde de 9 notas Nonachord
10 Acorde de 10 notas Dedachord
11 Acorde de 11 notas Undecachord
12 Acorde de 12 notas Aggregate
2.3.1.2 LOS Tn TIPOS
Los Tn tipos son los referentes a la transposición de un determinado grupo,
en los que n tiene la función de denominar, con respecto a la numeración 0, la
altura en que se encuentra con respecto a la fórmula inicial. O sea, que en el
supuesto de denominar a Do = 0, la numeración equivaldría a lo siguiente:
T0 = {0,4,7} ( fórmula de partida, es decir, 0 equivale transposición nula)
T1 = {1,5,8}
T2 = {2,6,9}
T3 = {3,7,10}
T4 = {4,8,11}
etc.
T0 T1 (0,4,7)
Ejemplo 16
Para poder distinguir entre los diferentes tipos o formas usaremos {0,4,7}
como la forma representativa del tipo de tríada, y (0,4,7)Tn, como nombre del
tríada tipo. La nomenclatura Tn es necesaria para distinguirlo del Tn/ TnI - tipo.
2.3.1.3 LOS Tn/ TnI - TIPOS
En este caso, la equivalencia {0,4,7} tendrá 24 grupos distintos de pc:
T0 = {0,3,7} T0I = {5,9,0}
T1= {1,4,8} T1I= {6,10,1}
T2= {2,5,9} T2I= {7,11,2}
etc.
Véase la simultaneidad resultante realizada con dicha formulación en el
siguiente extracto del Octet de Stravinsky:
Ejemplo 17
Véase en el ejemplo siguiente la simultaneidad vertical de aquel y su
autorrelación :
Ejemplo 18
Obsérvese que algunos de los subgrupos (subsets) aparecen en más de un
lugar:
Ejemplo 19
2.3.2.- APLICACIONES
2.3.2.1.- COMO ENCONTRAR EL TIPO DE GRUPO
Véase inicialmente el siguiente ejemplo, el cual nos servirá de guía poder
seguir la organización general de forma más clara:
(serie interválica). <1, 5> <5, 1>
(0,1,6)Tn (0,5,6)Tn Tn- Tipos
[0,1,6] Tn/TnI Tipo
Ejemplo 20
El orden del procedimiento es el siguiente:
a/ Listado del grupo en su forma ideal (escala)
b/ Transportar el grupo para que su primera nota sea 0
* Esta es la "forma representativa" del grupo Tn - tipo
c/ Realizar la TnI en el grupo y repetir los pasos 1 y 2
* Esta es la "forma representativa" del grupo de inversión Tn-
tipo
d/ Comparar el Tn-tipo de las formas representativas, y la suma de
ambas será la forma representativa de Tn/TnI-tipo.
2.3.3.- SIMETRIA
2.3.3.1 PRINCIPIO DE SIMETRIA
El principio de simetría (degree of symmetry), se halla en las posibilidades
de repetición que ofrece un elemento. Es decir, como más simétrico sea menos
miembros tendrá, teniendo en cuenta que el numero total de posibilidades son 24
(12 normales y 12 invertidas), deberemos dividir el numero de 24 posibilidades por
el numero de sus variantes, que se fundamenten únicamente en los mismos
números de altura (pitch)6[6]. Veámoslo en los siguientes ejemplos:
a/ {0,4,8} puede actuar desde T0, T4 y T8 .
T0 lo omitimos, es obvio;
T4 {0,4,8} = {4,8,0} = {0,4,8}; T8 {0,4,8} = {8,0,4} = {0,4,8}
Por lo tanto, este tiene principios de simetría (cada uno de
los números puede actuar como simétrico), y a esto hay que
añadirle, además, la simetría de la inversión, que como es
natura, en este caso será la misma, con lo que el numero de
grupos es [0,4,8] = 24/6 = 4. Estas son, efectivamente, las
únicas posibilidades transpositivas del grupo:
[0,4,8] = { {0,4,8},{1,5,9},{2,6,10},{3,7,11}};[0,4,8]
b/ {0,3,7} no admite ninguna otra combinación que mantenga
sus mismos números de altura, por ejemplo: T3 {1,3,7} =
{4,6,10}; por tanto será 1 el numero de posibilidades
combinatorias, o sea: T0 [0,3,7] = 24/1 = 24, que es el
numero total de posibilidades.
2.3.3.2 INVERSION SIMETRICA
Una inversión simétrica del grupo siempre se halla en sentido canónico, y
estos intervalos son sus propios retrógrados (retrógrado-simétrico). Cada
6[6]Para poder combinarse entre sí, es necesario que cada una de las posibles combinaciones no posea otro número de altura más que los que se hallan en la formulación original.
ordenación canónica está bajo la voluntad de TxI, donde la inversión de x es igual
a la suma del primero y último miembro de esta ordenación.
En el anterior ejemplo A, {0,4,8}, tiene 3 elementos canónicos, {0,4,8},
{4,8,0} y {8,0,4}, en los que cada uno se mueve con la simetría interna de distancia
de 4 semitonos <4,4>, con lo que el índice es 0+8 = 8,4 +0 = 4 y 8+4 = 0. En el
ejemplo B {0,1,3,4} tiene el orden canónico {0,1,3,4}, que es un orden retrógrado
simétrico <1,2,1> con lo que el índice es 0+4 = 4.
Por ejemplo {0,2,4,5,7,9} están en orden canónico <2,2,1,2,2>, por lo que
fórmula es T9 I. Veámoslo mejor en la siguiente representación gráfica:
7 0 2 7 índice = 2
0 1 3 4 índice = 4
0 2 4 5 7 9 índice = 9
0 4 8 índice = 8
(4= 1/2 índice = centro de la inversión simétrica)
7 0 1 2 7 índice = 2
(1 = 1/2 índice = centro de la inversión simétrica)
2.3.3.3 TRANSPOSICION SIMETRICA
Este tipo es en realidad muy sencillo, la transposición simétrica será pues la
lógica transposición de un segmento simétrico:
T4{0,1,4,5,8,9} = {4,5,8,9,0,1} etc.
2.3.4.- UNION Y SEPARACION DE LOS GRUPOS DE INVERSION SIMETRICA
Este tipo de unión será la producida por la unión de 2 grupos de inversión
entre sí: {0,2,5} U T2 I {0,2,5} = {0,2,5} U {2,0,9} = {0,2,5,9} = {9,0,2,5} en su forma
normal = orden canónico <3,2,3>. Ejemplo: {0,1,3,4} con respecto a T 4 I divididos
en varias partes de T4I subgrupos relativos:
{0,1,4} U {0,3,4} = {0,1,4} U T4I {0,1,4}
{0,1,3} U {1,3,4} = {0,1,3} U T4I {0,1,3}
{0,1} U {3,4} = {0,1} U T4I {0,1}
{0,3} U {1,4} = {0,3} U T4I{0,3}
2.4.-TEOREMAS DE ALTURAS COMUNES
Los teoremas de alturas comunes pretenden, ante todo, resumir ciertos
pasos complejos con el fin de acelerar el trabajo analítico y proporcionar, de ese
modo, una visión abreviada de todo el proceso de alturas y su autorrelación
interna.
2.4.1.- MULTIPLICIDAD; CONTENIDO INTERVALICO, VECTOR INTERVALICO
2.4.1.1 MULTIPLICIDAD
La multiplicidad es la cantidad de veces que un intervalo se repite dentro de
un grupo de alturas determinadas. Así, en un grupo de alturas {0,2,4,5,7,9,11}, el
intervalo 4 es repetido 3 veces:
i(0,4) = 4
i(5,9) = 4
i(7,11)= 4
La multiplicidad de 4 en este grupo es de 3, lo cual se escribiría del
siguiente modo: MB(K), o sea: MD(4) = 3, es decir, la multiplicidad en el grupo D del
intervalo 4 es 3.
2.4.2.2 CONTENIDO INTERVALICO
El listado de multiplicidades aparecidas en un grupo de pc de cada intervalo
desordenado, de una serie entre 1 y 6, es llamado "contenido de intervalo" de
grupo pc. Los pasos para hallarlo son los siguientes:
Grupo interválico pc Orden Intervalos posibles i(x,y)
0, 11, 5, 9, 4, 2, 7 1 2 3 4 5 6
i(0,11) = 1 0,11,5,9,4,2,7 1
i(0,5) = 5 1
i(0,9) = 3 1
i(0,4) = 4 1
i(0,2) = 2 1
i(0,7) = 5 1
i(11,5) = 6 11,5,9,4,2,7 1
i(11,9) = 2 1
i(11,4) = 5 1
i(11,2) = 3 1
i(11,7) = 4 1
i(5,9) = 4 5,9,4,2,7 1
i(5,4) = 1 1
i(5,2) = 3 1
i(5,7) = 2 1
i(9,4) = 5 9,4,2,7 1
i(9,2) = 5 1
i(9,7) = 2 1
i(4,2) = 2 4,2,7 1
i(2,7) = 5 2,7 1
Total: 2 5 4 3 6 1
Por lo que {0,2,4,5,7,9,11} = D
MD(1) = 2
MD(2) = 5
MD(3) = 4
MD(4) = 3
MD(5) = 6
MD(6) = 1
2.4.2.3 VECTOR INTERVALICO
Una vez asumidas las multiplicidades de los intervalos en orden creciente
de 1 a 6, el numero de intervalos es de 6 <2,5,4,3,6,1>, de tal modo que este
resultado es llamado "vector interválico". O sea, el "Vector interválico" de un grupo
pc es una ordenación de las multiplicidades de los intervalos 1,2,3,4,5,6 en ese
orden. Véase en el siguiente ejemplo práctico:
Ejemplo 21
En este grupo interválico el contenido de vector debería seguir los pasos
antedichos:
Grupo interválico pc Orden Intervalos posibles i(x,y)
0, 7, 4, 11, 8, 3 1 2 3 4 5 6
i(0,7) = 5 0,7,4,11,8,3 1
i(0,4) = 4 1
i(0,11) =1 1
i(0,8) = 4 1
i(0,3) = 3 1
i(7,4) = 3 7,4,11,8,3 1
i(7,11) = 4 1
i(7,8) = 1 1
i(7,3) = 4 1
i(4,11) = 5 4,11,8,3 1
i(4,8) = 4 1
i(4,3) = 1 1
i(11,8) = 3 11,8,3 1
i(11,3) = 4 1
i(8,3) = 5 8,3 1
Total: 3 0 3 6 3 0
El vector interválico es <3,0,3,6,3,0>, o sea, 3 en el intervalo 1, 0 en el
intervalo 2, 3 en el intervalo 3, 6 en el intervalo 4, 3 en el intervalo 5 y 0 en el
intervalo 6.
2.4.2.4 NO VARIACIONES DEL CONTENIDO INTERVALICO; Z-GRUPOS RELATIVOS (Z-Related sets).
El contenido de intervalo o vector interválico de los grupos pc son
invariables en su forma Tn y TnI (transportando o invirtiendo se mantiene siempre
el mismo tipo de intervalo). Todos los grupos de un Tn-tipo o Tn/TnI-tipo tienen el
mismo contenido interválico.
Algunos grupos pueden tener el mismo contenido interválico de un diferente
Tn-tipo y Tn/TnI-tipo. Tales grupos son llamados Z - relativos (Z - related, definición
realizada por Allen Forte en su libro The Structure of Atonal Music). Por ejemplo:
{0,1,4,6} y {0,1,3,7} son las formas representativas, separadamente, de los Tn/TnI-
tipos, pero no son relativas en su transposición ni en su inversión, sin embargo,
mantienen el mismo vector interválico <1,1,1,1,1,1>. Esta última es la llamadas Z-
relativa.
Por lo tanto, los Z - relativos son los intervalos que tienen una relación de
vector interválico aunque no guarden entre sí un mismo contenido, en cuanto a
relación interválica se refiere.
Notas