Despre Diagrama Smith și câteva aplicații practice ale acesteia.

YO8CRZ / VA7CRZ – Florin Crețu

Diagrama Smith este o metodă simplă pentru a reprezenta nu doar impedanțe în planul complex, dar și

coeficienți de reflexie în plan polar (amplitudine și fază). Permite de asemenea trasarea unor cercuri cu Q

constant, SWR constant sau chiar cercuri de stabilitate. Diagrama Smith a fost creată de Phillip Smith care lucra

pentru Bell Labs, fiind publicată pentru prima dată în revista Electronics Magazine din Ianuarie 1939.

Generații de proiectanți în domeniul RF au folosit cu succes diagrama Smith pentru a reprezenta

impedanțe și pentru a efectua sinteza unor circuite sau analiza acestora. Diagrama elimină nu numai un volum

substanțial de calcule, dar permite și o reprezentare vizuală foarte intuitivă a impedanțelor. Deși folosirea grafică a

acestei diagrame nu rezultă într-o precizie deosebită a calculelor, forma intuitivă a rezultatelor și ușurința cu care

se poate face adaptarea unor impedanțe ușurează substanțial munca de proiectare.

Astăzi, rareori se mai folosește diagrama Smith pe hârtie, așa cum era folosită în trecut, pentru că există

programe pe calculator sau analizoare de rețea care folosesc această reprezentare. Folosirea programelor de

calcul a simplificat considerabil proiectarea cu diagrama Smith, însă evident că cel care folosește această diagramă

trebuie să aibă o bună înțelegere nu numai a ceea ce este o impedanță sau o admitanță ori a unui coeficient de

reflexie, dar și o bună înțelegere a modurilor de reprezentare a acestor mărimi.

Pentru un neprofesionist, care nu are o pregătire specifică în domeniu, lucrul cu diagrama Smith are o

alură de ”magie neagră”. Lucrurile nu sunt însă nici pe departe atât de complicate și astăzi foarte mulți

radioamatori, fără o pregătire de specialitate, sunt în măsură să interpreteze corect o diagramă Smith. Pe această

temă au apărut numeroase articole de popularizare în reviste străine sau autohtone pentru radioamatori.

Prezentul articol încearcă nu doar o simplă explicare a diagramei dar sunt date și câteva exemple de folosire

practică, ce vor ușura înțelegerea modului de folosire și interpretare a datelor.

Noțiuni introductive

Iată mai întâi câteva noțiuni de bază ce sunt necesare pentru a înțelege și a putea lucra cu diagrama Smith. Există în principal două moduri pentru a reprezenta o impedanță:

Reprezentare Carteziană. Impedanța este de forma Z=R+/-jX, unde R este componenta rezistivă a impedanței și X este reactanța sau componenta reactivă. Evident, folosind reprezentarea Carteziană se poate folosi și admitanța.

Reprezentare Polară sub formă de coeficient de reflexie. E necesară magnitudinea și faza, fiind de forma magnitudine∠unghi0 exemplu: 0.8∠1000. Diagrama Smith admite reprezentări pentru magnitudine cu valori cuprinse între 0 și 1, partea numerică fiind limitată la acest domeniu.

Fiecare dintre aceste reprezentări are avantaje sau dezavantaje, funcție de situația concretă. Iată și câteva elemente de reflectometrie, și parametrii care descriu calitatea adaptării unei sarcini la sursă. Coeficientul de reflexie Γ este raportul tensiunilor reflectate și incidente:

Γ=

Coeficientul de reflexie poate fi exprimat și în coordonate polare ∠ , unde este magnitudinea (modulul) coeficientului de reflexie, iar Φ este faza.

Uneori mai este notat cu ρ. Valorile luate de acest coeficient sunt de la 0 (reflexie nulă) pentru

adaptare perfectă, la 1 pentru dezadaptare totală (reflexie totală).

De cele mai multe ori, în practică această mărime nu se măsoară în mod direct, fiind folosită mai mult în calcule. Raportul de unde staționare în tensiune VSWR. Orice dezadaptare de impedanță creează unde reflectate. Unda directă și cea reflectată se combină, creând unde staționare. Raportul tensiunilor maximă și minimă este notat cu VSWR.

O adaptare perfectă implică VSWR=1 (practic nu se produce o undă staționară), în timp ce o dezadaptare completă implică un VSWR cu mărime foarte mare. Măsurarea directă a acestei mărimi se face direct și ușor cu un măsurător de unde staționare, folosind un echipament ieftin. Pierderile de reflexie RL (Return Loss). RL este un coeficient măsurat în dB și în esență arată cu câți dB puterea reflectată este mai mică decât cea directă. Un număr cât mai mare este preferabil, pentru că implică o atenuare mai mare a puterii reflectate, ceea ce implică o adaptare mai bună.

RL=-20logρ În practică RL poate fi determinat măsurând puterea directă și puterea reflectată.

RL=10 Log (Preflectat/Pdirect) Măsurarea directă a acestei mărimi se poate face direct folosind un analizor de rețea (VNA) sau un Wattmetru direcțional și este larg folosită în industrie. Recapitulând, figura de mai jos arată modul cum variază valorile coeficientului de reflexie, VSWR și RL, când impedanța trece de la adaptare perfectă la dezadaptare totală.

VSWR

RL (dB)

|Γ| = ρ

Reflexie nulăZL=Z0

Reflexie totalăZL scurt circuit sau deschis

0 1

1

0

Fiecare dintre cele trei mărimi exprimă dezadaptarea într-un mod diferit, exprimarea într-o formă sau alta făcându-se după necesități, în unele situații fiind preferabilă folosirea unui anume tip de mărime. Astfel, măsurarea calității adaptării unei antene la un emițător de putere, este făcută foarte simplu cu un măsurător de unde staționare (Reflectometru), care poate afișa în mod direct fie VSWR-ul, fie puterea reflectată și cea directă. Există formule de conversie cu care se poate face ușor trecerea de la o mărime la alta. În Anexele la prezentul material sunt date, pentru aducere aminte, formulele precum și programele de calcul on-line pentru transformarea parametrilor necesari unei dimensionări corecte.

Diagrama Smith

Phillip Smith, a creat inițial diagrama Smith doar pentru aplicații uzuale, ce nu necesită impedanțe

negative sau coeficienți de reflexie mai mari de 1. Ulterior el a creat și versiuni extinse ale acestei diagrame, ce

acoperă și situațiile menționate, însă pentru simplitate aici nu vor fi tratate aceste cazuri.

Iată în continuare în Fig. 1 o digramă Smith clasică, ce permite reprezentarea impedanțelor în format

Cartezian, . Ideea este simplă, impedanțele pur rezistive sunt reprezentate pe linia centrală orizontală,

ce divide cercul în două semicercuri. Pe această linie pot fi reprezentate rezistențe cu valoarea de la 0 Ohm

(extrema stângă a liniei orizontale) la infinit în extrema dreaptă a liniei orizontale.

Jumătatea superioară a cercului este folosită pentru reprezentarea impedanțelor inductive (Z=R+jX), în

timp ce jumătatea inferioară este folosită pentru reprezentarea impedanțelor capacitive (Z=R-jX). Centrul

diagramei Smith (X) de mai sus este pentru o impedanță pur rezistivă de 50 Ohm, care în acest caz este

considerată impedanță de referință. Aceasta este de regulă impedanța sarcinii. Dacă e necesar, această

impedanță de referință poate fi schimbată.

De multe ori este preferabil să se lucreze cu valori normate ale rezistenței. Astfel dacă referința este 50

Ohm, centrul diagramei Smith va fi 1, valoarea de 25 Ohm va fi 0.5 iar 200 Ohm va fi 4. Diagrama din Fig. 1

prezintă cercuri de rezistență constantă pentru câteva dintre cele mai importante valori. Sunt de asemenea

reprezentate arce de cerc care se termină pe exteriorul diagramei, ce reprezintă contururi de reactanță constantă.

Este așa numita reprezentare în planul impedanțelor Z. Astfel, o impedanță de tipul Z=50+j50, se plasează pe

diagramă la intersecția cercului cu rezistență constantă de 50 Ohm, cu arcul de cerc cu reactanța de 50 Ohm.

Diagrama Smith poate fi folosită și pentru lucrul în planul admitanței complexe Y (Y=1/Z) ca în Fig. 2 .

Admitanța poate fi scrisă ca: . Sunt arătate atât cercurile cu conductanță constantă (inversul

rezistenței) G, cât și arcele de cerc pentru susceptanță constantă B (inversul reactanței). Valorile arătate pe

diagrama din Fig. 2 sunt în mS (mili-Siemens). Pentru comoditate și aducerea aminte a cititorilor și a celor care

doresc să lucreze cu diagrama Smith au fost pregătite ca ajutor și detalii în anexe la prezentul material. Astfel în

Anexa 1 găsiți formule și programe pentru ”Calculul reactanțelor și transformarea impedanțelor în admitanțe”.

Atunci când valoarea unei inductanțe sau capacități ideale serie se schimbă, reactanța se schimbă de-a

lungul unui cerc de rezistență constantă, însă în direcții opuse. Aceasta pentru că rezistența rămâne constantă și

doar reactanța variază cu valoarea inductanței sau capacității. Pentru o inductanță sau capacitate în paralel,

reactanța urmărește un cerc de conductanță constantă, însă în direcții opuse. Pentru o reprezentare ușoară a unui

circuit ce conține elemente în serie și paralel, este evident că este preferabil să lucrăm cu diagrama Smith ce

conține atât cercurile de rezistență constantă cât și de admitanță constantă, ca în Fig. 3.

În decursul timpului s-a lucrat grafic, în mod manual, cu diagrama Smith de înaltă rezoluție pe hârtie unde

se puneau punctele de impedanță sau admitanță și traseele de analiză pentru schemele dorite. Cu ajutorul

programului realizat de prof. dr. Fritz Dellsperger ”Smith Chart Software 4.0” procedurile de calcul s-au

automatizat și analiza / proiectarea circuitelor se face mult mai sugestiv și mai ușor. Toate figurile din acestă

expunere sunt capturi de ecran din programul mai sus amintit. Nu s-a lucrat manual pe diagrama Smith de înaltă

rezoluție. A fost folosită numai atunci când afost nevoie de o mai bună înțelegere a funcționării acesteia.

Programul mai sus amintit știe să pună valorile și să calculeze cu mare precizie elementele de schemă

Prezenta expunere este însoțită și de un tutorial video cu explicații și exemple de operare pentru câteva

scheme simple.

Pe diagramă au fost reprezentate ca exemplu două impedanțe. DP1 este o impedanță inductivă Z=19+j30,

iar DP2 este o impedanță capacitivă Z=40-j69. Pe diagrama Smith putem reprezenta și coeficienți de reflexie în

coordonate polare. În centrul diagramei (pentru adaptare perfectă) coeficientul de reflexie este zero. Pe conturul

exterior al diagramei, coeficientul de reflexie este 1, ceea ce implică dezadaptare totală. Orice impedanță poate fi

reprezentată ca un coeficient de reflexie, ce are magnitudine și fază.

În exemplul din Fig. 4, Coeficientul de Reflexie în punctul DP1 este Γ=0.58∠­107°. Pentru lucrul cu

coeficienți de reflexie se folosește magnitudinea (modulul) coeficientului (|Γ|) și faza, diagrama Smith putând avea

notate pe cercul exterior unghiurile de reflexie. De notat că dacă folosim doar magnitudinea pentru a reprezenta

coeficientul de reflexie, există o ambiguitate asupra naturii impedanței care a generat reflexia, pentru că putem

avea reflexie totală (|Γ|=1) și în cazul în care avem un scurtcircuit (R=0 Ohm) fie dacă avem un circuit deschis

(R=∞). Folosind unghiul coeficientului de reflexie se elimină însă această ambiguitate.

Faza semnalului reflectat (tensiunii) atunci când sarcina este infinită (circuit deschis Γ=1) este în fază cu

semnalul incident. Faza semnalului reflectat de o sarcină în scurt circuit (Γ=-1) este în antifază cu semnalul

incident. În ambele cazuri 100% din semnal este reflectat înapoi către sursă, însă cu faze diferite. Există un număr

de aplicații, în care este necesar să controlăm faza semnalului reflectat. Ca exemplu, cazul amplificatoarelor de

putere de mare eficiență la care faza reflexiei armonicilor trebuie controlată.

Faza semnalului reflectat (tensiunii) atunci când sarcina este infinită (circuit deschis Γ=1) este în fază cu

semnalul incident. Faza semnalului reflectat de o sarcină în scurt circuit (Γ=-1) este în antifază cu semnalul

incident. În ambele cazuri 100% din semnal este reflectat înapoi către sursă, însă cu faze diferite. Există un număr

de aplicații, în care este necesar să controlăm faza semnalului reflectat. Ca exemplu, cazul amplificatoarelor de

putere de mare eficiență la care faza reflexiei armonicilor trebuie controlată.

Iată un exemplu de diagramă Smith completă în Fig. 5, pe care sunt figurate nu doar cercurile de rezistență

constantă și liniile de reactanță constantă ci și nomogramele de calcul. Circumferința cercului este marcată în

grade și lungimi de undă.

Diagrama de mare rezoluție prezentată folosește exprimarea normată a impedanțelor(Z/50) pe 50 Ohm,

deci centrul este 1. Exprimarea normată face deosebit de simplă scalarea rezultatelor pentru diverse frecvențe sau

impedanțe. Pe exteriorul diagramei sunt marcate unghiurile coeficientului de reflexie în tensiune. Sunt arătate sub

diagramă și nomogramele folosite pentru determinarea lungimii fizice pe diagrama Smith a magnitudinii

coeficientului de reflexie, ca si pentru pierderile de reflexie RL (Return Loss) direct in dB.

Practic se folosește un compas-distanțier pentru a măsura distanța pe nomogramă pentru magnitudinea

coeficientului de reflexie dorit, după care se plasează compasul în centrul diagramei Smith și se trasează un cerc cu

raza egală cu magnitudinea coeficientului de reflexie. Se trasează apoi o linie din centrul diagramei, ce

intersectează cercul exterior al diagramei Smith la unghiul dorit. Intersecția între această linie și cercul trasat

anterior este coeficientul de reflexie căutat.

Pe diagramă a fost figurat coeficientul de reflexie Γ=0.6∠-1050. Acest coeficient de reflexie poate fi însă

reprezentat și ca o impedanță folosind planul complex Z=19-j35. Transformarea impedanțelor carteziene în

formatul polar – magnitudine și fază - precum și transformarea inversă sunt prezentate în Anexa 2 și programul

de calcul atașat.

Ca exercițiu, iată în Fig. 6 reprezentate 4 impedanțe diferite pe diagrama Smith de mare rezolutie folosită in analizele fară programul de calcul. Impedanța Z2 este o impedanță capacitivă, impedanța Z3 este inductivă, iar Z1 și Z4 sunt pur rezistive. A fost folosită atât exprimarea în format cartezian cu valori normate pe 50 Ohmi, cât și reprezentarea clasică în Ohmi. Aceleași impedanțe reprezentate și în coordonate polare sub forma magnitudine și fază se poate face ușor cu programul din Anexa 2 - http://leleivre.com/rf_gammatoz.html

Pentru a ușura reprezentarea vizuală a impedanțelor, în raport cu factorul VSWR, se pot trasa cercuri cu VSWR

constant, ca în Fig.7. Aceste cercuri sunt de fapt locuri geometrice, cu o proprietate comună, toate impedanțele de

pe cerc având același VSWR.

Ca exemplu, putem vizualiza impedanțele DP1 19-j35 cu SWR 4:1 și DP2 37-j15 SWR 1.59:1, în raport cu cercurile

de VSWR constant.

Exemple practice folosind diagrama Smith

Iată și un exemplu practic în Fig. 8. Pe diagrama Smith, putem ușor sintetiza un circuit de adaptare.

Să presupunem că dorim să adaptăm punctul DP1 (5.5-j30) la 50 Ohm. În esență, trebuie să folosim componente

care să aducă impedanța din punctul DP1, în centrul diagramei unde impedanța este de 50 Ohm. Punctul TP

trebuie să ajungă în urma transformării de impedanță cât mai aproape de centru. Putem folosi cercuri de SWR

constant trasate pe diagrama Smith, pentru a evalua calitatea adaptării rezultate.

Putem folosi un inductor în serie, urmat de o capacitate în paralel, ca în

schema din. Fig.9.

Pentru 7MHz, sunt determinate de program și valorile necesare pentru

circuitul de adaptare. Se observă pe diagrama Smith, că a fost trasat și

cercul cu Q constant (verde) cu valoarea 3. Acesta este Q-ul în sarcină al

circuitului de adaptare. Putem folosi cercurile de Q constant pentru a

impune un Q maxim pentru circuitul de adaptare pe care îl proiectăm. Pe

un cerc de Q constant, toate punctele au o proprietate comună: raportul

între reactanța X și rezistența R este același.

Iată aceeași impedanță, adaptată cu un Q în sarcină mai redus, în Fig. 10.

Pentru acest design, am impus un Q în sarcină maxim de 1.5. Adaptarea de impedanță este făcută în mai mulți

pași, pentru a păstra un Q maxim nu mai mare de cel impus de 1.5.

Schema echivalentă rezultată poate fi văzută în fig.11.

Numărul de componente folosite a fost dublat, însă Q-ul în sarcină a fost redus la jumătate.

Folosirea unui circuit cu Q-în sarcină redus, are ca efect

nu doar creșterea benzii de frecvență a circuitului, dar și

reducerea pierderilor în circuit. Acesta este motivul

pentru care la transformările cu rapoarte mari de

impedanță, se folosesc un număr considerabil de

componente, pentru a păstra un Q în sarcină redus și

implicit pierderi reduse și o bandă largă, ceea ce este

foarte important mai ales atunci când se lucrează cu

puteri mari. Q-ul în sarcină poate fi redus și mai mult

pentru acest circuit de adaptare, însă evident vor fi

necesare mai multe componente în circuit. Pentru un Q

în sarcină cu valoarea 1, vor fi necesare 3 inductanțe și 3 capacități.

Diagrama Smith, poate fi folosită și pentru lucrul cu linii de transmisie. Unul dintre cele mai utile lucruri pe care-l

putem face cu diagrama Smith și liniile de transmisie, este să adaptăm o impedanță folosind o linie de transmisie

cu o impedanță caracteristică diferită, ca în Fig.12.

Se poate folosi un segment de linie, a cărei impedanță caracteristică se calculează ca fiind media geometrică între

impedanța ce trebuie adaptată și impedanța de 50 Ohm.

Z0=√

Folosind o linie de transmisie cu impedanța de 16.5 Ohm și lungime electrică de 12.1m (la 7MHz), respectiv o

lungime fizică de 7.4m (folosind un factor de viteză pentru linie de 0.62), putem adapta impedanța de 5.5 Ohm la

valoarea de 50 Ohm. Dezavantajul metodei este că la frecvențe joase este necesară o lungime considerabilă

pentru linie și în plus această adaptare este corectă doar pentru frecvența din calcul. Iată în Fig. 13, cum variază

impedanța (linia verde) la capătul liniei de transmisie conectate la 50 Ohm, când frecvența este variată de la 5 la

10MHz. La 10 MHz, SWR-ul trece de 5:1. În general, se poate obține o bandă de trecere de cca. 10-15% din

frecvența de operare, pentru un SWR maxim de 1.5:1.

Folosirea pe cablajul imprimat a liniilor Microstrip sau Stripline permite

adaptarea simplă a circuitelor ce funcționează în domeniul microundelor.

Adaptarea cu linii de transmisie cu impedanțe diferite este uzuală la

frecvențe mari și la construcția transformatoarelor de bandă largă cu linii de

transmisie. Acesta este motivul pentru care astăzi sunt disponibile cabluri

coaxiale cu impedanțe caracteristice de genul 10, 12, 15, 18, 20 sau 25 Ohm.

Un alt aspect al lucrului cu linii de transmisie și proprietatea acestora de a

transforma impedanțe (atunci când lucrează în regim dezadaptat), este când

dorim să folosim o linie de transmisie ca șoc RF prin care introducem o

tensiune/curent de curent continuu, ca în Fig.14. În acest caz linia trebuie să

prezinte o impedanță cât mai mare. Dacă la un capăt linia este decuplată la

masă, cu un condensator ce are o impedanță de 0.2 Ohm, iar linia de transmisie are o lungime de lambda/4, la

celălalt capăt al liniei de transmisie vom măsura o impedanță foarte mare în raport cu masa (peste 12 KOhm). Aici,

folosim proprietatea liniilor de transmisie cu lungime de lambda/4 pentru a inversa mărimea unei impedanțe.

Această proprietate a liniilor de transmisie este folosită frecvent în radiotehnică.

În trecut se lucra pe diagrama Smith doar cu valori normate atât ale rezistenței cât și a reactanței. Valoarea

reactanței era determinată prin măsurarea lungimii pe diagramă, după care valoarea rezultată pentru reactanță

era convertită în mărimea inductanței sau capacității, la frecvența dorită. Astăzi nu se mai lucrează în acest fel,

fiind folosite programe de calcul, care afișează automat valorile componentelor la frecvența dorită.

Există multe programe ce permit acest fel de utilizare a diagramei Smith, însă probabil unul din cele mai versatile

este programul Smith, creat de Fritz Dellsperger - HB9AJY. Versiunea curenta a programului este Smith 4.0.0.2 (la

data scrierii articolului) și există versiuni student (gratuite) cu aplicabilitate limitată sau fără restricții (cu plată).

Versiunea ”Student” a programului Smith V4.0 permite utilizatorului să folosească maximum 5 componente într-o

rețea de adaptare și nu permute salvarea proiectelor create. Acest program este foarte util pentru a înțelege cum

se construiesc circuitele de adaptare, precum și pentru sinteza efectivă a acestora. Programul permite de

asemenea trasarea cercurilor auxiliare pentru SWR constant sau Q constant. Permite importul și exportul de

parametrii ”S”, precum și analiza stabilității unui circuit, prin trasarea cercurilor de stabilitate.

Cele prezentate acoperă doar câteva elemente de bază legate de diagrama Smith. Utilitatea acesteia este

deosebită într-un domeniu larg de aplicații, de la adaptarea impedanțelor unui amplificator de semnal mic pentru

zgomot minim, la efectuarea unei analize Load Pull pentru un amplificator de putere. În acest ultim caz, un

amplificator de putere este forțat să lucreze pe impedanțe diverse, la care faza este rotită cu 360 grade. Puterea

de ieșire este apoi figurată pe diagrama Smith și permite determinarea impedanței optime de ieșire pentru acel

tranzistor/amplificator, pentru a se putea obține puterea maximă, linearitatea maximă sau eficiența maximă, după

caz.

Utilitatea diagramei Smith este deosebită nu doar pentru profesioniștii în domeniu, dar și pentru radioamatorii

care folosesc din ce în ce mai mult instrumente moderne pentru analiza circuitelor sau antenelor. Fie că e vorba de

analizoare de antenă pentru radioamatori precum SARK 110, RigExpert AA55, KC901 sau de un mini-VNA (Vector

Network Analyzer), înțelegerea corectă a folosirii diagramei Smith, permite utilizatorului să vadă exact care este

natura impedanței și implicit care e componenta reală (rezistivă) și cea imaginară (reactivă). Pornind de la aceasta

se pot trage concluzii dacă antena este prea scurtă sau prea lungă ca și a modului în care trebuie construit

circuitul de adaptare.

Bibliografie:

1. Phillip Smith Electronic Applications of the Smith Chart McGraw Hill 1969 2. Guillermo Gonzalez Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design Prentice Hall 1997 3. Fritz Dellsperger Smith Chart Software V4.0 Jan 2017

http://www.fritz.dellsperger.net/smith.html

4. Dumitru Blujdescu Experimente cu Fideri Conex Club Feb 2002

5. D. Blujdescu -YO3AL Diagrama Smith întrebări și răspunsuri (I și II) Radiocomunicații și

Radioamatorism

6. F. Crețu Radioreceptoare PIM 2007

7. K-C Chan & A. Hartner Impedance Matching and the Smith Chart RF Design Jul 2000

O diagramă Smith Color atât pentru planul Z cât și pentru planul Y poate fi descărcată de aici: https://www.microwaves101.com/downloads/smith%20chart%20in%20color.PDF O diagramă alb negru pentru planul Z poate fi descărcată de aici: https://www.microwaves101.com/downloads/smith.PDF

Anexa 1 - Calculul reactanțelor și transformarea impedanțelor în admitanțe.

Imagini, linkuri si programe.

http://www.qsl.net/pa2ohh/jslcimp.htm

https://www.easycalculation.com/engineering/electrical/electrical-admittance.php

Anexa 2 – Transformarea impedantelor din coordonate carteziene in coordonate polare și transformarea inversă.

http://leleivre.com/rf_gammatoz.html

Anexa 3 – Alte câteva link-uri care s-ar putea să fie utile. Funcție de raportul de unde staționare VSWR calculul valorilor pentru:

- Coeficientul de reflexie Γ alias ρ. - Puterea reflectată în procente și dB. - Pierderile în dB (Return Loss).

http://www.antenna-theory.com/definitions/vswr-calculator.php

Un .ppt de prezentare a diagramei Smith în limba română

http://elth.pub.ro/~vasilescu/sisteme_cu_microunde/Introducere_Diagrama_Smith.pdf