Revista Brasileira de Ensino de Fısica v 37 n 1 1311 (2015)wwwsbfisicaorgbrDOI httpdxdoiorg101590S1806-11173711678

Determinacao experimental da constante de Boltzmann

a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo(Experimental determination of the Boltzmann constant from current-voltage characteristic of a diode)

Vagner Santos da Cruz1 Vitorvani Soares

Instituto de Fısica Universidade Federal do Rio de Janeiro Rio de Janeiro RJ BrasilRecebido em 592014 Aceito em 1112014 Publicado em 3132015

Apresentamos neste trabalho uma atividade experimental didatica com um diodo realizada com equipamen-tos de facil aquisicao e que pode ser adaptada com facilidade para uma aula de graduacao ou para um grupode ensino medio A atividade descrita estabelece a curva caracterıstica corrente ID-voltagem VD de um diodoa partir das medidas da diferenca de potencial VD sobre ele e da corrente ID que circula atraves dele para tresdiferentes temperaturas T = 0 C 23 C e 100 C Da analise destes resultados experimentais (i) construımosa expressao algebrica da corrente ID em funcao da voltagem VD e da temperatura T e (ii) determinamos o valorda constante de Boltzmann kB uma das constantes fundamentais da fısicaPalavras-chave diodo curva caracterıstica corrente-voltagem constante de Boltzmann

We present in this work a didactic experimental activity with a diode set up with affordable instrumentsand that can be easily adapted for an undergraduate or a high school class The activity described establishesthe current ID-voltage VD characteristics of a diode from measurements of the potential difference VD on it andthe current ID through it for three different temperatures T = 0 C 23 C and 100 C From the experimentalresults (i) we build up an algebraic expression for the current ID as a function of the voltage VD and thetemperature T and (ii) we determine the value of the Boltzmannrsquos constant kB one of the physical fundamentalconstantsKeywords diode current-voltage characteristic curve Boltzmann constant

1 Introducao

No mundo de hoje e impossıvel imaginar a vida das pes-soas sem aparelhos eletricos ou eletronicos e a existenciadestes dispositivos tornou-se essencial em muitas ati-vidades cotidianas De fato a partir do inıcio doultimo seculo a eletronica assume grande importanciano desenvolvimento industrial da nossa sociedade eos componentes eletronicos estabelecem nao somenteum marco nas invencoes proporcionando um imensoavanco tecnologico mas tambem transformam o nossocomportamento social

Dentre os dispositivos eletronicos pode-se afirmarque o diodo e o principal responsavel pelo surgimentode tantas inovacoes no campo da ciencia e da tecnolo-gia Feito em geral com silıcio ou germanio o diodotem a propriedade de conduzir a corrente eletrica so-mente em um sentido Portanto o diodo e um compo-nente cujas propriedades eletricas dependem da pola-rizacao da corrente e por ter esta peculiaridade ele e

amplamente utilizado na industria atual como um com-ponente eletronico de base e se encontra presente empraticamente todos os circuitos eletroeletronicos con-temporaneos

Por ser um dispositivo bastante simples o diodo eum excelente ponto de partida para entender o funci-onamento dos semicondutores [1 2] A determinacaoda sua curva caracterıstica corrente-voltagem e umaexperiencia bastante popular em laboratorios didaticose em geral a literatura especializada apresenta a des-cricao do diodo a partir de um modelo teorico previ-amente estabelecido (veja por exemplo [3-6]) Nestetrabalho em contraste e apresentado um procedimentoalternativo para a determinacao da curva caracterısticado diodo dependente da sua temperatura de operacaosem a apresentacao previa de nenhum modelo teoricopara o seu comportamento

O procedimento aqui apresentado pode ser realizadocom equipamentos de facil aquisicao no mercado o quepermite aplica-lo em locais fora de um laboratorio tra-

1E-mail vagnerscruzgmailcom

Copyright by the Sociedade Brasileira de Fısica Printed in Brazil

1311-2 Cruz e Soares

dicional e ate mesmo em uma sala de aula Apesarda sua aparente simplicidade ele apresenta resultadosprecisos e em curto intervalo de tempo [7]

2 Esquema experimental

O aparato experimental para as medidas eletricas estarepresentado na Fig 1 O circuito mostrado na figura ecomposto por uma fonte de alimentacao continua VF de 15 V um resistor variavel R1 de 200 kΩ em seriecom um resistor fixo R2 de 1 kΩ (plusmn1) e um diodode silıcio do tipo juncao pn (diodo 1N4001 ou equiva-lente) encontrado facilmente em qualquer loja de mate-rial eletronico Utilizamos tambem uma placa de mon-tagem (protoboard) para interligar os componentes edois multımetros digitais para realizar as medidas dasgrandezas eletricas envolvidas

Figura 1 - Representacao esquematica do circuito para a deter-minacao da curva caracterıstica corrente ID -voltagem VD dodiodo A corrente ID e determinada pela razao ID=VR2R2 e asdiferentes voltagens VR2 e VD sao obtidas alterando-se o valordo resistor variavel R1

A curva caracterıstica do diodo para diferentes tem-peraturas de operacao e obtida a partir das medidas dadiferenca de potencial VR2 no resistor R2 que estabele-cem a corrente eletrica ID no diodo e das medidas dadiferenca de potencial VD sobre o diodo A corrente IDe determinada pela razao ID = VR2R2 e as diferentesvoltagens VR2 e VD sao obtidas alterando-se o valor doresistor variavel R1 O valor do resistor R2 foi escolhidode forma a evitar possıveis queimas dos componentes docircuito e assegurar que o experimento transcorra semmaiores problemas

Empregamos um recipiente de cerca de dois litrospara funcionar como um reservatorio termico um con-tendo agua com gelo (0 C) (em nosso caso uma garrafaPET) e outro com agua fervente (100 C) (em nossocaso um Becker) que estabelecem os pontos de fusao eebulicao da agua Isto possibilita maior estabilidade natemperatura durante as medicoes ja que envolve duastransicoes de fase de primeira ordem da agua Para asmedidas de temperatura usamos um termopar

3 Procedimento experimental

Para estabelecer os diferentes valores de temperatura deoperacao do diodo ele foi colocado em um pequeno reci-piente plastico com tampa (no nosso caso uma pequenaembalagem de filme fotografico) junto com os fios con-dutores e o termopar (ver a Fig 2) Este conjunto einserido no recipiente contendo agua com gelo (0 C) ouagua fervente (100 C) Escolhemos uma temperaturade operacao do diodo e realizamos a montagem final docircuito

Figura 2 - Fotografia do material empregado no experimento Apartir do canto superior esquerdo no sentido dos ponteiros dorelogio temos a fonte de alimentacao um recipiente de dois li-tros para servir de reservatorio termico o recipiente termico parao diodo a placa de montagem do circuito o diodo os resistoreso termopar e os multımetros utilizados

Concluıda a montagem o circuito e submetido auma diferenca de potencial (ddp) VF Conforme al-teramos o valor do resistor variavel os valores do po-tencial aplicado nos terminais dos componentes do cir-cuito tambem sao alterados Podemos assim cons-truir uma tabela de dados que relaciona as diferentesddps no diodo VD em funcao da corrente que o per-corre ID = VR2R2 determinada a partir da ddp VR2nos terminais do resistor ohmico R2 como indicado naFig 1 Podemos tambem utilizar um amperımetro de-pendendo da disponibilidade Entretanto o empregodo voltımetro com uma resistencia calibrada permitemaior precisao para os valores da corrente ID

4 Analise dos dados

Determinamos inicialmente a curva ID minus VD do com-portamento caracterıstico do diodo a temperatura am-biente (no nosso caso 23 C) como indicado na Fig 3

Esta figura mostra a formacao de uma curva com ca-racterıstica nao-ohmica e este comportamento ja indicaalgumas propriedades de um diodo simples somente apartir de um valor aproximado de VD sim 06 V surgeuma corrente ID significativa (gt 10minus2 mA) e a partirdeste valor conforme aumentamos o valor da voltagem

Determinacao experimental da constante de Boltzmann a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo 1311-3

VD sobre o diodo a corrente ID tambem aumenta sig-nificativamente mesmo para uma pequena variacao davoltagem sobre o dispositivo

Figura 3 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo na temperaturaambiente

Para a determinacao da forma algebrica desta curvacaracterıstica do diodo realizamos diferentes graficos apartir dos dados obtidos e dentre eles o grafico mono-log da Fig 4 e bastante util

Figura 4 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo a temperaturaambiente em escala monolog

A analise das medidas em uma escala semilo-garıtmica revela que os resultados neste grafico se com-portam como uma reta de maneira bastante satis-fatoria Isto sugere que a relacao entre a corrente nodiodo e a voltagem a qual ele esta submetido pode serrepresentada por uma funcao exponencial

ID = i0ebVD (1)

onde i0 e b sao constantes de ajusteEm seguida para se investigar alguma possıvel in-

fluencia da temperatura sobre a condutividade do di-odo repetimos a experiencia com o dispositivo nas di-ferentes temperaturas T = 0 C e 100 C como expli-

cado no inicio desta secao e os resultados obtidos estaorepresentados na Fig 5 Esta figura mostra que a formaqualitativa da curva caracterıstica ID minus VD do diodo eindependente da temperatura de operacao do sistemaEntretanto os parametros das curvas obtidas nao pare-cem ser independentes da temperatura de trabalho dodispositivo

Representamos novamente os dados obtidos em umgrafico monolog como indicado na Fig 6 e analisamoso comportamento linear das medidas Determinamosos parametros b e i0 para cada uma das retas da figurae os resultados obtidos estao organizados na Tabela 1Para uma sala de aula e suficiente calcular a inclinacaodas retas da forma usual por inspecao da inclinacaoPara a temperatura de 0 C por exemplo temos

b =log

(101

)minus log(10minus3)

(log e)(0 80minus 0 55)asymp 4 0

(0 43)(0 25)asymp 37 (2)

Os valores de i0 tambem podem ser obtidos porinspecao do grafico da Fig 6 prolongando-se as retaspara as diferentes temperaturas ate VD = 0 Eviden-temente resultados obtidos pelo metodo dos mınimosquadrados sao mais precisos como pode ser observadona Tabela 1

Observamos desta tabela que tanto o coeficiente i0quanto o coeficiente b variam com a temperatura deoperacao do diodo enquanto i0 aumenta com o au-mento da temperatura o parametro b por sua vezdiminui Evidentemente uma analise rigorosa dos da-dos vai alem do tempo disponıvel que o professor tempara as aulas do Ensino Medio mas uma analise se-miquantitativa pode ser feita a partir de dados obtidospreviamente

Figura 5 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C da direita para a esquerda

1311-4 Cruz e Soares

Figura 6 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C em escala monolog

Tabela 1 - Dados do ajuste da curva caracterıstica do diodo paradiferentes temperaturas

T () i0 (mA) b (Vminus1)0 (12 plusmn 08) 10minus12 369 plusmn 0523 (30 plusmn 04) 10minus11 346 plusmn 05100 (3 plusmn 1) 10minus7 280 plusmn 02

Da Fig 7 podemos observar que ao mantermosconstante o valor da corrente ID atraves do diodo exis-tem diferentes voltagens VD sobre ele dependendo emqual temperatura T o diodo esteja operando Estasmedidas estao organizadas na Tabela 2

Figura 7 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C As linhas cheias horizontaisindicam a voltagem no diodo para diferentes temperaturas parauma dada corrente ID atraves do diodo

Tabela 2 - Dados para o ajuste das curvas da voltagem VD nodiodo para diferentes temperaturas T em regime de corrente IDconstante ( a incerteza dos potenciais medidos e de 005 V con-forme a precisao do equipamento)

ID 10minus2 mA 10minus1 mA 100 mA 101 mAT (K) VD (V) VD (V) VD (V) VD (V)273 062 068 074 081296 057 063 071 077373 041 049 057 065

Este comportamento entre os parametros VD e Tsugere a construcao de um novo grafico representadona Fig 8

Figura 8 - Voltagem no diodo VD em funcao da sua temperaturaT em graus Celsius para diferentes correntes ID De baixo paracima temos os seguintes valores de corrente no diodo ID = 10minus2

mA 10minus1 mA 100 mA e 101 mA

O grafico da Fig 8 apresenta uma relacao linear en-tre a voltagem no diodo VD e a temperatura Tparauma dada corrente ID no dispositivo Mais ainda umainspecao detalhada como indicado na mesma figurarevela que tambem podemos realizar uma mudanca deescala na temperatura de grau Celsius para kelvin con-forme indicado na Tabela 2 e na Fig 9

Figura 9 - Comportamento da voltagem no diodo VD em funcaoda temperatura T em kelvins a qual ele esta submetido paradiferentes correntes ID

Observamos da Fig 9 que ha um limite superiorde voltagem no diodo que denominamos V0 de apro-ximadamente (120 plusmn 005) V para a temperatura de0 K Da mesma figura conclui-se tambem que

VD = V0 minus βT (3)

onde os parametros β e V0estao indicados na Tabela 3Observamos tambem que o coeficiente linear V0 e inde-pendente da corrente que flui atraves do diodo

Determinacao experimental da constante de Boltzmann a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo 1311-5

Tabela 3 - Ajustes das curvas da voltagem no diodo VD paradiferentes temperaturas T em regime de corrente ID constante

ID (mA) β (mVKminus1) V0 (V)10minus2 -220 plusmn 005 120 plusmn 00510minus1 -200 plusmn 005 120 plusmn 005100 -180 plusmn 005 120 plusmn 005101 -160 plusmn 005 120 plusmn 005

O comportamento da corrente ID com o coeficienteangular β e analisado com o auxılio das Figs 10 e 11onde tambem notamos que uma relacao exponencial en-tre estes dois parametros pode ser estabelecida

ID = I2 exp(αβ) (4)

onde as duas constantes de ajuste

I2 = 10minus9mA (5)

e

a = (1 2plusmn 0 2)times 104Vminus1K (6)

foram determinadas a partir do grafico da Fig 11 damaneira usual Combinamos agora as expressoes (3)e (4) e obtemos a corrente ID no diodo em funcao davoltagem VD a qual ele esta submetido e da sua tem-peratura T de operacao

ID = I2 exp

(minusaV0

T

)exp

(aVD

T

)(7)

onde a voltagem no diodo VD e expressa em volts ea temperatura T em kelvins Da presente analise asconstantes I2 V0 e a sao caracterısticas intrınsecas dodiodo e nao dependem das condicoes de operacao dele

Lembramos ainda que a corrente que circula no di-odo e devida as cargas em movimento e deste modo enatural que na expressao da corrente apareca a cargaeletronica e Assim podemos reescrever a Eq (7) naforma

Figura 10 - Comportamento da corrente no diodo ID em funcaodo coeficiente angular β da relacao entre voltagem VD e tempe-ratura no diodo T a qual ele esta submetido

Figura 11 - Comportamento exponencial da corrente com o coe-ficiente angular β

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)exp

(eVD

kBT

)(8)

onde a nova constante kB e igual a

kB =e

a=

1 602times 10minus19

(1 2plusmn 0 2)times 104=

(1 3plusmn 0 3)times 10minus23 JKminus1 (9)

Esta e a constante de Boltzmann [89] uma das cons-tantes fundamentais da fısica Podemos comparar estevalor de kB com o seu valor tabelado de 1 380 times10minus23 J Kminus1 e obtemos uma discrepancia de apenas 6

Este e um bom momento para chamar a atencaosobre os limites de aplicabilidade de um modelo ma-tematico Segundo o modelo desenvolvido todo o pro-cedimento se sustenta na representacao da curva carac-terıstica corrente ID-voltagem VD como indicada naEq (1) (ou na Eq (8)) e entre a voltagem do diodoVD e a sua temperatura T dada pela Eq (3) Entre-tanto observamos que para voltagem nula o diododeve apresentar uma corrente nula As Eqs (1) e (8)nao dao conta deste fato Desta forma acrescentamosum novo termo I1 a Eq (1)

ID = i0ebVD minus I1 (10)

Para que em VD = 0 a corrente seja nula devemos im-por que I1 = i0 e deste modo a corrente no diodo podeser representada na forma

ID = i0(ebVD minus 1) (11)

Se empregarmos a Eq (8) temos

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)[exp

(eVD

kBT

)minus 1

] (12)

Como I2 e da ordem de picoamperes a expressao (8)e uma boa aproximacao para a regiao de operacao dodiodo considerada neste trabalho

1311-6 Cruz e Soares

5 Consideracoes finais

Os resultados obtidos mostram que na faixa adotadapara a operacao do diodo VD gt 05 V a curva ex-ponencial (8) representa de forma bastante satisfatoriao seu comportamento em um circuito para tempera-turas entre 0 C e 100 C Apesar de ser observadoque esta relacao indica uma correlacao inconsistente en-tre voltagem e corrente no componente para um valorde voltagem nula a expressao (8) e bastante eficienteno regime de voltagens considerado e para propositospraticos ela pode ser empregada desde que se respeiteos seus limites de validade

Outro fator importante esta relacionado com oparametro b da Eq (1) Como pode ser observadoeste fator influencia na condutividade do diodo e estarelacionado com a temperatura que o diodo esta subme-tido no momento do experimento E interessante notarque nos condutores usuais ohmicos a uma dada tempe-ratura a condutividade e constante e para uma dadavoltagem a condutividade diminui com o aumento datemperatura Para o diodo submetido a uma dadavoltagem observamos que o aumento da temperaturaaumenta a sua condutividade

Um olhar atento para a Eq (3) mostra que o di-odo usado em regime de corrente constante pode serempregado como um termometro Com a ajuda destaequacao a ddp que ele apresenta pode ser transformadaem uma escala de temperaturas

A atividade sugerida neste trabalho emprega so-mente materiais de baixo custo para a sua realizacao enao exige um laboratorio especializado Se considerar-mos a habilidade do professor em reduzir a um mınimoo tempo gasto com a coleta de dados o experimentoaqui apresentado pode ser adaptado com facilidade para

uma aula regular de graduacao ou ate mesmo para umgrupo de Ensino Medio

Esperamos que a atividade apresentada ofereca umaestrategia para professores que pretendam atrair aatencao dos seus alunos para o conhecimento da na-tureza atraves de uma atividade didatica experimen-tal de uma forma agradavel e harmoniosa Espera-mos tambem que ela permita ao estudante a sua fami-liarizacao com o processo cientıfico oferecendo a elecondicoes de desenvolver as suas habilidades e com-petencias em relacao a observacao e a analise dosfenomenos fısicos

Referencias

[1] P Horowitz and W Hill The Art of Electronics (Cam-bridge University Press Cambridge 1989) 2a ed

[2] RJ Smith Electronics Circuits and Devices (WileyNew York 1987) 3a ed

[3] L Kirkup and S Wallace Eur J Phys 8 93 (1987)

[4] L Kirkup and M Nicolson Eur J Phys 7 49 (1986)

[5] A Sconza and G Torzo Eur J Phys 10 123 (1989)

[6] HM Campbell BM Boardman TC DeVore andDK Havey Am J Phys 80 1045 (2012)

[7] V Cruz O Diodo e Suas Caracterısticas Uma AulaIntrodutoria Sobre Semicondutores Trabalho de Finalde Curso de Licenciatura em Fısica Instituto de FısicaUFRJ 2009

[8] Encyclopaeligdia Britannica Online disponivel emhttpwwwbritannicacomEBcheckedtopic

72417Boltzmann-constant acesso em 19102014

[9] C Cercignani Ludwig Boltzmann The Man who Trus-ted Atoms (Oxford University Press Oxford 2006)

1311-2 Cruz e Soares

dicional e ate mesmo em uma sala de aula Apesarda sua aparente simplicidade ele apresenta resultadosprecisos e em curto intervalo de tempo [7]

2 Esquema experimental

O aparato experimental para as medidas eletricas estarepresentado na Fig 1 O circuito mostrado na figura ecomposto por uma fonte de alimentacao continua VF de 15 V um resistor variavel R1 de 200 kΩ em seriecom um resistor fixo R2 de 1 kΩ (plusmn1) e um diodode silıcio do tipo juncao pn (diodo 1N4001 ou equiva-lente) encontrado facilmente em qualquer loja de mate-rial eletronico Utilizamos tambem uma placa de mon-tagem (protoboard) para interligar os componentes edois multımetros digitais para realizar as medidas dasgrandezas eletricas envolvidas

Figura 1 - Representacao esquematica do circuito para a deter-minacao da curva caracterıstica corrente ID -voltagem VD dodiodo A corrente ID e determinada pela razao ID=VR2R2 e asdiferentes voltagens VR2 e VD sao obtidas alterando-se o valordo resistor variavel R1

A curva caracterıstica do diodo para diferentes tem-peraturas de operacao e obtida a partir das medidas dadiferenca de potencial VR2 no resistor R2 que estabele-cem a corrente eletrica ID no diodo e das medidas dadiferenca de potencial VD sobre o diodo A corrente IDe determinada pela razao ID = VR2R2 e as diferentesvoltagens VR2 e VD sao obtidas alterando-se o valor doresistor variavel R1 O valor do resistor R2 foi escolhidode forma a evitar possıveis queimas dos componentes docircuito e assegurar que o experimento transcorra semmaiores problemas

Empregamos um recipiente de cerca de dois litrospara funcionar como um reservatorio termico um con-tendo agua com gelo (0 C) (em nosso caso uma garrafaPET) e outro com agua fervente (100 C) (em nossocaso um Becker) que estabelecem os pontos de fusao eebulicao da agua Isto possibilita maior estabilidade natemperatura durante as medicoes ja que envolve duastransicoes de fase de primeira ordem da agua Para asmedidas de temperatura usamos um termopar

3 Procedimento experimental

Para estabelecer os diferentes valores de temperatura deoperacao do diodo ele foi colocado em um pequeno reci-piente plastico com tampa (no nosso caso uma pequenaembalagem de filme fotografico) junto com os fios con-dutores e o termopar (ver a Fig 2) Este conjunto einserido no recipiente contendo agua com gelo (0 C) ouagua fervente (100 C) Escolhemos uma temperaturade operacao do diodo e realizamos a montagem final docircuito

Figura 2 - Fotografia do material empregado no experimento Apartir do canto superior esquerdo no sentido dos ponteiros dorelogio temos a fonte de alimentacao um recipiente de dois li-tros para servir de reservatorio termico o recipiente termico parao diodo a placa de montagem do circuito o diodo os resistoreso termopar e os multımetros utilizados

Concluıda a montagem o circuito e submetido auma diferenca de potencial (ddp) VF Conforme al-teramos o valor do resistor variavel os valores do po-tencial aplicado nos terminais dos componentes do cir-cuito tambem sao alterados Podemos assim cons-truir uma tabela de dados que relaciona as diferentesddps no diodo VD em funcao da corrente que o per-corre ID = VR2R2 determinada a partir da ddp VR2nos terminais do resistor ohmico R2 como indicado naFig 1 Podemos tambem utilizar um amperımetro de-pendendo da disponibilidade Entretanto o empregodo voltımetro com uma resistencia calibrada permitemaior precisao para os valores da corrente ID

4 Analise dos dados

Determinamos inicialmente a curva ID minus VD do com-portamento caracterıstico do diodo a temperatura am-biente (no nosso caso 23 C) como indicado na Fig 3

Esta figura mostra a formacao de uma curva com ca-racterıstica nao-ohmica e este comportamento ja indicaalgumas propriedades de um diodo simples somente apartir de um valor aproximado de VD sim 06 V surgeuma corrente ID significativa (gt 10minus2 mA) e a partirdeste valor conforme aumentamos o valor da voltagem

Determinacao experimental da constante de Boltzmann a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo 1311-3

VD sobre o diodo a corrente ID tambem aumenta sig-nificativamente mesmo para uma pequena variacao davoltagem sobre o dispositivo

Figura 3 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo na temperaturaambiente

Para a determinacao da forma algebrica desta curvacaracterıstica do diodo realizamos diferentes graficos apartir dos dados obtidos e dentre eles o grafico mono-log da Fig 4 e bastante util

Figura 4 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo a temperaturaambiente em escala monolog

A analise das medidas em uma escala semilo-garıtmica revela que os resultados neste grafico se com-portam como uma reta de maneira bastante satis-fatoria Isto sugere que a relacao entre a corrente nodiodo e a voltagem a qual ele esta submetido pode serrepresentada por uma funcao exponencial

ID = i0ebVD (1)

onde i0 e b sao constantes de ajusteEm seguida para se investigar alguma possıvel in-

fluencia da temperatura sobre a condutividade do di-odo repetimos a experiencia com o dispositivo nas di-ferentes temperaturas T = 0 C e 100 C como expli-

cado no inicio desta secao e os resultados obtidos estaorepresentados na Fig 5 Esta figura mostra que a formaqualitativa da curva caracterıstica ID minus VD do diodo eindependente da temperatura de operacao do sistemaEntretanto os parametros das curvas obtidas nao pare-cem ser independentes da temperatura de trabalho dodispositivo

Representamos novamente os dados obtidos em umgrafico monolog como indicado na Fig 6 e analisamoso comportamento linear das medidas Determinamosos parametros b e i0 para cada uma das retas da figurae os resultados obtidos estao organizados na Tabela 1Para uma sala de aula e suficiente calcular a inclinacaodas retas da forma usual por inspecao da inclinacaoPara a temperatura de 0 C por exemplo temos

b =log

(101

)minus log(10minus3)

(log e)(0 80minus 0 55)asymp 4 0

(0 43)(0 25)asymp 37 (2)

Os valores de i0 tambem podem ser obtidos porinspecao do grafico da Fig 6 prolongando-se as retaspara as diferentes temperaturas ate VD = 0 Eviden-temente resultados obtidos pelo metodo dos mınimosquadrados sao mais precisos como pode ser observadona Tabela 1

Observamos desta tabela que tanto o coeficiente i0quanto o coeficiente b variam com a temperatura deoperacao do diodo enquanto i0 aumenta com o au-mento da temperatura o parametro b por sua vezdiminui Evidentemente uma analise rigorosa dos da-dos vai alem do tempo disponıvel que o professor tempara as aulas do Ensino Medio mas uma analise se-miquantitativa pode ser feita a partir de dados obtidospreviamente

Figura 5 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C da direita para a esquerda

1311-4 Cruz e Soares

Figura 6 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C em escala monolog

Tabela 1 - Dados do ajuste da curva caracterıstica do diodo paradiferentes temperaturas

T () i0 (mA) b (Vminus1)0 (12 plusmn 08) 10minus12 369 plusmn 0523 (30 plusmn 04) 10minus11 346 plusmn 05100 (3 plusmn 1) 10minus7 280 plusmn 02

Da Fig 7 podemos observar que ao mantermosconstante o valor da corrente ID atraves do diodo exis-tem diferentes voltagens VD sobre ele dependendo emqual temperatura T o diodo esteja operando Estasmedidas estao organizadas na Tabela 2

Figura 7 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C As linhas cheias horizontaisindicam a voltagem no diodo para diferentes temperaturas parauma dada corrente ID atraves do diodo

Tabela 2 - Dados para o ajuste das curvas da voltagem VD nodiodo para diferentes temperaturas T em regime de corrente IDconstante ( a incerteza dos potenciais medidos e de 005 V con-forme a precisao do equipamento)

ID 10minus2 mA 10minus1 mA 100 mA 101 mAT (K) VD (V) VD (V) VD (V) VD (V)273 062 068 074 081296 057 063 071 077373 041 049 057 065

Este comportamento entre os parametros VD e Tsugere a construcao de um novo grafico representadona Fig 8

Figura 8 - Voltagem no diodo VD em funcao da sua temperaturaT em graus Celsius para diferentes correntes ID De baixo paracima temos os seguintes valores de corrente no diodo ID = 10minus2

mA 10minus1 mA 100 mA e 101 mA

O grafico da Fig 8 apresenta uma relacao linear en-tre a voltagem no diodo VD e a temperatura Tparauma dada corrente ID no dispositivo Mais ainda umainspecao detalhada como indicado na mesma figurarevela que tambem podemos realizar uma mudanca deescala na temperatura de grau Celsius para kelvin con-forme indicado na Tabela 2 e na Fig 9

Figura 9 - Comportamento da voltagem no diodo VD em funcaoda temperatura T em kelvins a qual ele esta submetido paradiferentes correntes ID

Observamos da Fig 9 que ha um limite superiorde voltagem no diodo que denominamos V0 de apro-ximadamente (120 plusmn 005) V para a temperatura de0 K Da mesma figura conclui-se tambem que

VD = V0 minus βT (3)

onde os parametros β e V0estao indicados na Tabela 3Observamos tambem que o coeficiente linear V0 e inde-pendente da corrente que flui atraves do diodo

Determinacao experimental da constante de Boltzmann a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo 1311-5

Tabela 3 - Ajustes das curvas da voltagem no diodo VD paradiferentes temperaturas T em regime de corrente ID constante

ID (mA) β (mVKminus1) V0 (V)10minus2 -220 plusmn 005 120 plusmn 00510minus1 -200 plusmn 005 120 plusmn 005100 -180 plusmn 005 120 plusmn 005101 -160 plusmn 005 120 plusmn 005

O comportamento da corrente ID com o coeficienteangular β e analisado com o auxılio das Figs 10 e 11onde tambem notamos que uma relacao exponencial en-tre estes dois parametros pode ser estabelecida

ID = I2 exp(αβ) (4)

onde as duas constantes de ajuste

I2 = 10minus9mA (5)

e

a = (1 2plusmn 0 2)times 104Vminus1K (6)

foram determinadas a partir do grafico da Fig 11 damaneira usual Combinamos agora as expressoes (3)e (4) e obtemos a corrente ID no diodo em funcao davoltagem VD a qual ele esta submetido e da sua tem-peratura T de operacao

ID = I2 exp

(minusaV0

T

)exp

(aVD

T

)(7)

onde a voltagem no diodo VD e expressa em volts ea temperatura T em kelvins Da presente analise asconstantes I2 V0 e a sao caracterısticas intrınsecas dodiodo e nao dependem das condicoes de operacao dele

Lembramos ainda que a corrente que circula no di-odo e devida as cargas em movimento e deste modo enatural que na expressao da corrente apareca a cargaeletronica e Assim podemos reescrever a Eq (7) naforma

Figura 10 - Comportamento da corrente no diodo ID em funcaodo coeficiente angular β da relacao entre voltagem VD e tempe-ratura no diodo T a qual ele esta submetido

Figura 11 - Comportamento exponencial da corrente com o coe-ficiente angular β

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)exp

(eVD

kBT

)(8)

onde a nova constante kB e igual a

kB =e

a=

1 602times 10minus19

(1 2plusmn 0 2)times 104=

(1 3plusmn 0 3)times 10minus23 JKminus1 (9)

Esta e a constante de Boltzmann [89] uma das cons-tantes fundamentais da fısica Podemos comparar estevalor de kB com o seu valor tabelado de 1 380 times10minus23 J Kminus1 e obtemos uma discrepancia de apenas 6

Este e um bom momento para chamar a atencaosobre os limites de aplicabilidade de um modelo ma-tematico Segundo o modelo desenvolvido todo o pro-cedimento se sustenta na representacao da curva carac-terıstica corrente ID-voltagem VD como indicada naEq (1) (ou na Eq (8)) e entre a voltagem do diodoVD e a sua temperatura T dada pela Eq (3) Entre-tanto observamos que para voltagem nula o diododeve apresentar uma corrente nula As Eqs (1) e (8)nao dao conta deste fato Desta forma acrescentamosum novo termo I1 a Eq (1)

ID = i0ebVD minus I1 (10)

Para que em VD = 0 a corrente seja nula devemos im-por que I1 = i0 e deste modo a corrente no diodo podeser representada na forma

ID = i0(ebVD minus 1) (11)

Se empregarmos a Eq (8) temos

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)[exp

(eVD

kBT

)minus 1

] (12)

Como I2 e da ordem de picoamperes a expressao (8)e uma boa aproximacao para a regiao de operacao dodiodo considerada neste trabalho

1311-6 Cruz e Soares

5 Consideracoes finais

Os resultados obtidos mostram que na faixa adotadapara a operacao do diodo VD gt 05 V a curva ex-ponencial (8) representa de forma bastante satisfatoriao seu comportamento em um circuito para tempera-turas entre 0 C e 100 C Apesar de ser observadoque esta relacao indica uma correlacao inconsistente en-tre voltagem e corrente no componente para um valorde voltagem nula a expressao (8) e bastante eficienteno regime de voltagens considerado e para propositospraticos ela pode ser empregada desde que se respeiteos seus limites de validade

Outro fator importante esta relacionado com oparametro b da Eq (1) Como pode ser observadoeste fator influencia na condutividade do diodo e estarelacionado com a temperatura que o diodo esta subme-tido no momento do experimento E interessante notarque nos condutores usuais ohmicos a uma dada tempe-ratura a condutividade e constante e para uma dadavoltagem a condutividade diminui com o aumento datemperatura Para o diodo submetido a uma dadavoltagem observamos que o aumento da temperaturaaumenta a sua condutividade

Um olhar atento para a Eq (3) mostra que o di-odo usado em regime de corrente constante pode serempregado como um termometro Com a ajuda destaequacao a ddp que ele apresenta pode ser transformadaem uma escala de temperaturas

A atividade sugerida neste trabalho emprega so-mente materiais de baixo custo para a sua realizacao enao exige um laboratorio especializado Se considerar-mos a habilidade do professor em reduzir a um mınimoo tempo gasto com a coleta de dados o experimentoaqui apresentado pode ser adaptado com facilidade para

uma aula regular de graduacao ou ate mesmo para umgrupo de Ensino Medio

Esperamos que a atividade apresentada ofereca umaestrategia para professores que pretendam atrair aatencao dos seus alunos para o conhecimento da na-tureza atraves de uma atividade didatica experimen-tal de uma forma agradavel e harmoniosa Espera-mos tambem que ela permita ao estudante a sua fami-liarizacao com o processo cientıfico oferecendo a elecondicoes de desenvolver as suas habilidades e com-petencias em relacao a observacao e a analise dosfenomenos fısicos

Referencias

[1] P Horowitz and W Hill The Art of Electronics (Cam-bridge University Press Cambridge 1989) 2a ed

[2] RJ Smith Electronics Circuits and Devices (WileyNew York 1987) 3a ed

[3] L Kirkup and S Wallace Eur J Phys 8 93 (1987)

[4] L Kirkup and M Nicolson Eur J Phys 7 49 (1986)

[5] A Sconza and G Torzo Eur J Phys 10 123 (1989)

[6] HM Campbell BM Boardman TC DeVore andDK Havey Am J Phys 80 1045 (2012)

[7] V Cruz O Diodo e Suas Caracterısticas Uma AulaIntrodutoria Sobre Semicondutores Trabalho de Finalde Curso de Licenciatura em Fısica Instituto de FısicaUFRJ 2009

[8] Encyclopaeligdia Britannica Online disponivel emhttpwwwbritannicacomEBcheckedtopic

72417Boltzmann-constant acesso em 19102014

[9] C Cercignani Ludwig Boltzmann The Man who Trus-ted Atoms (Oxford University Press Oxford 2006)

Determinacao experimental da constante de Boltzmann a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo 1311-3

VD sobre o diodo a corrente ID tambem aumenta sig-nificativamente mesmo para uma pequena variacao davoltagem sobre o dispositivo

Figura 3 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo na temperaturaambiente

Para a determinacao da forma algebrica desta curvacaracterıstica do diodo realizamos diferentes graficos apartir dos dados obtidos e dentre eles o grafico mono-log da Fig 4 e bastante util

Figura 4 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo a temperaturaambiente em escala monolog

A analise das medidas em uma escala semilo-garıtmica revela que os resultados neste grafico se com-portam como uma reta de maneira bastante satis-fatoria Isto sugere que a relacao entre a corrente nodiodo e a voltagem a qual ele esta submetido pode serrepresentada por uma funcao exponencial

ID = i0ebVD (1)

onde i0 e b sao constantes de ajusteEm seguida para se investigar alguma possıvel in-

fluencia da temperatura sobre a condutividade do di-odo repetimos a experiencia com o dispositivo nas di-ferentes temperaturas T = 0 C e 100 C como expli-

cado no inicio desta secao e os resultados obtidos estaorepresentados na Fig 5 Esta figura mostra que a formaqualitativa da curva caracterıstica ID minus VD do diodo eindependente da temperatura de operacao do sistemaEntretanto os parametros das curvas obtidas nao pare-cem ser independentes da temperatura de trabalho dodispositivo

Representamos novamente os dados obtidos em umgrafico monolog como indicado na Fig 6 e analisamoso comportamento linear das medidas Determinamosos parametros b e i0 para cada uma das retas da figurae os resultados obtidos estao organizados na Tabela 1Para uma sala de aula e suficiente calcular a inclinacaodas retas da forma usual por inspecao da inclinacaoPara a temperatura de 0 C por exemplo temos

b =log

(101

)minus log(10minus3)

(log e)(0 80minus 0 55)asymp 4 0

(0 43)(0 25)asymp 37 (2)

Os valores de i0 tambem podem ser obtidos porinspecao do grafico da Fig 6 prolongando-se as retaspara as diferentes temperaturas ate VD = 0 Eviden-temente resultados obtidos pelo metodo dos mınimosquadrados sao mais precisos como pode ser observadona Tabela 1

Observamos desta tabela que tanto o coeficiente i0quanto o coeficiente b variam com a temperatura deoperacao do diodo enquanto i0 aumenta com o au-mento da temperatura o parametro b por sua vezdiminui Evidentemente uma analise rigorosa dos da-dos vai alem do tempo disponıvel que o professor tempara as aulas do Ensino Medio mas uma analise se-miquantitativa pode ser feita a partir de dados obtidospreviamente

Figura 5 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C da direita para a esquerda

1311-4 Cruz e Soares

Figura 6 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C em escala monolog

Tabela 1 - Dados do ajuste da curva caracterıstica do diodo paradiferentes temperaturas

T () i0 (mA) b (Vminus1)0 (12 plusmn 08) 10minus12 369 plusmn 0523 (30 plusmn 04) 10minus11 346 plusmn 05100 (3 plusmn 1) 10minus7 280 plusmn 02

Da Fig 7 podemos observar que ao mantermosconstante o valor da corrente ID atraves do diodo exis-tem diferentes voltagens VD sobre ele dependendo emqual temperatura T o diodo esteja operando Estasmedidas estao organizadas na Tabela 2

Figura 7 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C As linhas cheias horizontaisindicam a voltagem no diodo para diferentes temperaturas parauma dada corrente ID atraves do diodo

Tabela 2 - Dados para o ajuste das curvas da voltagem VD nodiodo para diferentes temperaturas T em regime de corrente IDconstante ( a incerteza dos potenciais medidos e de 005 V con-forme a precisao do equipamento)

ID 10minus2 mA 10minus1 mA 100 mA 101 mAT (K) VD (V) VD (V) VD (V) VD (V)273 062 068 074 081296 057 063 071 077373 041 049 057 065

Este comportamento entre os parametros VD e Tsugere a construcao de um novo grafico representadona Fig 8

Figura 8 - Voltagem no diodo VD em funcao da sua temperaturaT em graus Celsius para diferentes correntes ID De baixo paracima temos os seguintes valores de corrente no diodo ID = 10minus2

mA 10minus1 mA 100 mA e 101 mA

O grafico da Fig 8 apresenta uma relacao linear en-tre a voltagem no diodo VD e a temperatura Tparauma dada corrente ID no dispositivo Mais ainda umainspecao detalhada como indicado na mesma figurarevela que tambem podemos realizar uma mudanca deescala na temperatura de grau Celsius para kelvin con-forme indicado na Tabela 2 e na Fig 9

Figura 9 - Comportamento da voltagem no diodo VD em funcaoda temperatura T em kelvins a qual ele esta submetido paradiferentes correntes ID

Observamos da Fig 9 que ha um limite superiorde voltagem no diodo que denominamos V0 de apro-ximadamente (120 plusmn 005) V para a temperatura de0 K Da mesma figura conclui-se tambem que

VD = V0 minus βT (3)

onde os parametros β e V0estao indicados na Tabela 3Observamos tambem que o coeficiente linear V0 e inde-pendente da corrente que flui atraves do diodo

Determinacao experimental da constante de Boltzmann a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo 1311-5

Tabela 3 - Ajustes das curvas da voltagem no diodo VD paradiferentes temperaturas T em regime de corrente ID constante

ID (mA) β (mVKminus1) V0 (V)10minus2 -220 plusmn 005 120 plusmn 00510minus1 -200 plusmn 005 120 plusmn 005100 -180 plusmn 005 120 plusmn 005101 -160 plusmn 005 120 plusmn 005

O comportamento da corrente ID com o coeficienteangular β e analisado com o auxılio das Figs 10 e 11onde tambem notamos que uma relacao exponencial en-tre estes dois parametros pode ser estabelecida

ID = I2 exp(αβ) (4)

onde as duas constantes de ajuste

I2 = 10minus9mA (5)

e

a = (1 2plusmn 0 2)times 104Vminus1K (6)

foram determinadas a partir do grafico da Fig 11 damaneira usual Combinamos agora as expressoes (3)e (4) e obtemos a corrente ID no diodo em funcao davoltagem VD a qual ele esta submetido e da sua tem-peratura T de operacao

ID = I2 exp

(minusaV0

T

)exp

(aVD

T

)(7)

onde a voltagem no diodo VD e expressa em volts ea temperatura T em kelvins Da presente analise asconstantes I2 V0 e a sao caracterısticas intrınsecas dodiodo e nao dependem das condicoes de operacao dele

Lembramos ainda que a corrente que circula no di-odo e devida as cargas em movimento e deste modo enatural que na expressao da corrente apareca a cargaeletronica e Assim podemos reescrever a Eq (7) naforma

Figura 10 - Comportamento da corrente no diodo ID em funcaodo coeficiente angular β da relacao entre voltagem VD e tempe-ratura no diodo T a qual ele esta submetido

Figura 11 - Comportamento exponencial da corrente com o coe-ficiente angular β

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)exp

(eVD

kBT

)(8)

onde a nova constante kB e igual a

kB =e

a=

1 602times 10minus19

(1 2plusmn 0 2)times 104=

(1 3plusmn 0 3)times 10minus23 JKminus1 (9)

Esta e a constante de Boltzmann [89] uma das cons-tantes fundamentais da fısica Podemos comparar estevalor de kB com o seu valor tabelado de 1 380 times10minus23 J Kminus1 e obtemos uma discrepancia de apenas 6

Este e um bom momento para chamar a atencaosobre os limites de aplicabilidade de um modelo ma-tematico Segundo o modelo desenvolvido todo o pro-cedimento se sustenta na representacao da curva carac-terıstica corrente ID-voltagem VD como indicada naEq (1) (ou na Eq (8)) e entre a voltagem do diodoVD e a sua temperatura T dada pela Eq (3) Entre-tanto observamos que para voltagem nula o diododeve apresentar uma corrente nula As Eqs (1) e (8)nao dao conta deste fato Desta forma acrescentamosum novo termo I1 a Eq (1)

ID = i0ebVD minus I1 (10)

Para que em VD = 0 a corrente seja nula devemos im-por que I1 = i0 e deste modo a corrente no diodo podeser representada na forma

ID = i0(ebVD minus 1) (11)

Se empregarmos a Eq (8) temos

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)[exp

(eVD

kBT

)minus 1

] (12)

Como I2 e da ordem de picoamperes a expressao (8)e uma boa aproximacao para a regiao de operacao dodiodo considerada neste trabalho

1311-6 Cruz e Soares

5 Consideracoes finais

Os resultados obtidos mostram que na faixa adotadapara a operacao do diodo VD gt 05 V a curva ex-ponencial (8) representa de forma bastante satisfatoriao seu comportamento em um circuito para tempera-turas entre 0 C e 100 C Apesar de ser observadoque esta relacao indica uma correlacao inconsistente en-tre voltagem e corrente no componente para um valorde voltagem nula a expressao (8) e bastante eficienteno regime de voltagens considerado e para propositospraticos ela pode ser empregada desde que se respeiteos seus limites de validade

Outro fator importante esta relacionado com oparametro b da Eq (1) Como pode ser observadoeste fator influencia na condutividade do diodo e estarelacionado com a temperatura que o diodo esta subme-tido no momento do experimento E interessante notarque nos condutores usuais ohmicos a uma dada tempe-ratura a condutividade e constante e para uma dadavoltagem a condutividade diminui com o aumento datemperatura Para o diodo submetido a uma dadavoltagem observamos que o aumento da temperaturaaumenta a sua condutividade

Um olhar atento para a Eq (3) mostra que o di-odo usado em regime de corrente constante pode serempregado como um termometro Com a ajuda destaequacao a ddp que ele apresenta pode ser transformadaem uma escala de temperaturas

A atividade sugerida neste trabalho emprega so-mente materiais de baixo custo para a sua realizacao enao exige um laboratorio especializado Se considerar-mos a habilidade do professor em reduzir a um mınimoo tempo gasto com a coleta de dados o experimentoaqui apresentado pode ser adaptado com facilidade para

uma aula regular de graduacao ou ate mesmo para umgrupo de Ensino Medio

Esperamos que a atividade apresentada ofereca umaestrategia para professores que pretendam atrair aatencao dos seus alunos para o conhecimento da na-tureza atraves de uma atividade didatica experimen-tal de uma forma agradavel e harmoniosa Espera-mos tambem que ela permita ao estudante a sua fami-liarizacao com o processo cientıfico oferecendo a elecondicoes de desenvolver as suas habilidades e com-petencias em relacao a observacao e a analise dosfenomenos fısicos

Referencias

[1] P Horowitz and W Hill The Art of Electronics (Cam-bridge University Press Cambridge 1989) 2a ed

[2] RJ Smith Electronics Circuits and Devices (WileyNew York 1987) 3a ed

[3] L Kirkup and S Wallace Eur J Phys 8 93 (1987)

[4] L Kirkup and M Nicolson Eur J Phys 7 49 (1986)

[5] A Sconza and G Torzo Eur J Phys 10 123 (1989)

[6] HM Campbell BM Boardman TC DeVore andDK Havey Am J Phys 80 1045 (2012)

[7] V Cruz O Diodo e Suas Caracterısticas Uma AulaIntrodutoria Sobre Semicondutores Trabalho de Finalde Curso de Licenciatura em Fısica Instituto de FısicaUFRJ 2009

[8] Encyclopaeligdia Britannica Online disponivel emhttpwwwbritannicacomEBcheckedtopic

72417Boltzmann-constant acesso em 19102014

[9] C Cercignani Ludwig Boltzmann The Man who Trus-ted Atoms (Oxford University Press Oxford 2006)

1311-4 Cruz e Soares

Figura 6 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C em escala monolog

Tabela 1 - Dados do ajuste da curva caracterıstica do diodo paradiferentes temperaturas

T () i0 (mA) b (Vminus1)0 (12 plusmn 08) 10minus12 369 plusmn 0523 (30 plusmn 04) 10minus11 346 plusmn 05100 (3 plusmn 1) 10minus7 280 plusmn 02

Da Fig 7 podemos observar que ao mantermosconstante o valor da corrente ID atraves do diodo exis-tem diferentes voltagens VD sobre ele dependendo emqual temperatura T o diodo esteja operando Estasmedidas estao organizadas na Tabela 2

Figura 7 - Curva caracterıstica ID-VD do diodo para as tempe-raturas de 0 C 23 C e 100 C As linhas cheias horizontaisindicam a voltagem no diodo para diferentes temperaturas parauma dada corrente ID atraves do diodo

Tabela 2 - Dados para o ajuste das curvas da voltagem VD nodiodo para diferentes temperaturas T em regime de corrente IDconstante ( a incerteza dos potenciais medidos e de 005 V con-forme a precisao do equipamento)

ID 10minus2 mA 10minus1 mA 100 mA 101 mAT (K) VD (V) VD (V) VD (V) VD (V)273 062 068 074 081296 057 063 071 077373 041 049 057 065

Este comportamento entre os parametros VD e Tsugere a construcao de um novo grafico representadona Fig 8

Figura 8 - Voltagem no diodo VD em funcao da sua temperaturaT em graus Celsius para diferentes correntes ID De baixo paracima temos os seguintes valores de corrente no diodo ID = 10minus2

mA 10minus1 mA 100 mA e 101 mA

O grafico da Fig 8 apresenta uma relacao linear en-tre a voltagem no diodo VD e a temperatura Tparauma dada corrente ID no dispositivo Mais ainda umainspecao detalhada como indicado na mesma figurarevela que tambem podemos realizar uma mudanca deescala na temperatura de grau Celsius para kelvin con-forme indicado na Tabela 2 e na Fig 9

Figura 9 - Comportamento da voltagem no diodo VD em funcaoda temperatura T em kelvins a qual ele esta submetido paradiferentes correntes ID

Observamos da Fig 9 que ha um limite superiorde voltagem no diodo que denominamos V0 de apro-ximadamente (120 plusmn 005) V para a temperatura de0 K Da mesma figura conclui-se tambem que

VD = V0 minus βT (3)

onde os parametros β e V0estao indicados na Tabela 3Observamos tambem que o coeficiente linear V0 e inde-pendente da corrente que flui atraves do diodo

Determinacao experimental da constante de Boltzmann a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo 1311-5

Tabela 3 - Ajustes das curvas da voltagem no diodo VD paradiferentes temperaturas T em regime de corrente ID constante

ID (mA) β (mVKminus1) V0 (V)10minus2 -220 plusmn 005 120 plusmn 00510minus1 -200 plusmn 005 120 plusmn 005100 -180 plusmn 005 120 plusmn 005101 -160 plusmn 005 120 plusmn 005

O comportamento da corrente ID com o coeficienteangular β e analisado com o auxılio das Figs 10 e 11onde tambem notamos que uma relacao exponencial en-tre estes dois parametros pode ser estabelecida

ID = I2 exp(αβ) (4)

onde as duas constantes de ajuste

I2 = 10minus9mA (5)

e

a = (1 2plusmn 0 2)times 104Vminus1K (6)

foram determinadas a partir do grafico da Fig 11 damaneira usual Combinamos agora as expressoes (3)e (4) e obtemos a corrente ID no diodo em funcao davoltagem VD a qual ele esta submetido e da sua tem-peratura T de operacao

ID = I2 exp

(minusaV0

T

)exp

(aVD

T

)(7)

onde a voltagem no diodo VD e expressa em volts ea temperatura T em kelvins Da presente analise asconstantes I2 V0 e a sao caracterısticas intrınsecas dodiodo e nao dependem das condicoes de operacao dele

Lembramos ainda que a corrente que circula no di-odo e devida as cargas em movimento e deste modo enatural que na expressao da corrente apareca a cargaeletronica e Assim podemos reescrever a Eq (7) naforma

Figura 10 - Comportamento da corrente no diodo ID em funcaodo coeficiente angular β da relacao entre voltagem VD e tempe-ratura no diodo T a qual ele esta submetido

Figura 11 - Comportamento exponencial da corrente com o coe-ficiente angular β

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)exp

(eVD

kBT

)(8)

onde a nova constante kB e igual a

kB =e

a=

1 602times 10minus19

(1 2plusmn 0 2)times 104=

(1 3plusmn 0 3)times 10minus23 JKminus1 (9)

Esta e a constante de Boltzmann [89] uma das cons-tantes fundamentais da fısica Podemos comparar estevalor de kB com o seu valor tabelado de 1 380 times10minus23 J Kminus1 e obtemos uma discrepancia de apenas 6

Este e um bom momento para chamar a atencaosobre os limites de aplicabilidade de um modelo ma-tematico Segundo o modelo desenvolvido todo o pro-cedimento se sustenta na representacao da curva carac-terıstica corrente ID-voltagem VD como indicada naEq (1) (ou na Eq (8)) e entre a voltagem do diodoVD e a sua temperatura T dada pela Eq (3) Entre-tanto observamos que para voltagem nula o diododeve apresentar uma corrente nula As Eqs (1) e (8)nao dao conta deste fato Desta forma acrescentamosum novo termo I1 a Eq (1)

ID = i0ebVD minus I1 (10)

Para que em VD = 0 a corrente seja nula devemos im-por que I1 = i0 e deste modo a corrente no diodo podeser representada na forma

ID = i0(ebVD minus 1) (11)

Se empregarmos a Eq (8) temos

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)[exp

(eVD

kBT

)minus 1

] (12)

Como I2 e da ordem de picoamperes a expressao (8)e uma boa aproximacao para a regiao de operacao dodiodo considerada neste trabalho

1311-6 Cruz e Soares

5 Consideracoes finais

Os resultados obtidos mostram que na faixa adotadapara a operacao do diodo VD gt 05 V a curva ex-ponencial (8) representa de forma bastante satisfatoriao seu comportamento em um circuito para tempera-turas entre 0 C e 100 C Apesar de ser observadoque esta relacao indica uma correlacao inconsistente en-tre voltagem e corrente no componente para um valorde voltagem nula a expressao (8) e bastante eficienteno regime de voltagens considerado e para propositospraticos ela pode ser empregada desde que se respeiteos seus limites de validade

Outro fator importante esta relacionado com oparametro b da Eq (1) Como pode ser observadoeste fator influencia na condutividade do diodo e estarelacionado com a temperatura que o diodo esta subme-tido no momento do experimento E interessante notarque nos condutores usuais ohmicos a uma dada tempe-ratura a condutividade e constante e para uma dadavoltagem a condutividade diminui com o aumento datemperatura Para o diodo submetido a uma dadavoltagem observamos que o aumento da temperaturaaumenta a sua condutividade

Um olhar atento para a Eq (3) mostra que o di-odo usado em regime de corrente constante pode serempregado como um termometro Com a ajuda destaequacao a ddp que ele apresenta pode ser transformadaem uma escala de temperaturas

A atividade sugerida neste trabalho emprega so-mente materiais de baixo custo para a sua realizacao enao exige um laboratorio especializado Se considerar-mos a habilidade do professor em reduzir a um mınimoo tempo gasto com a coleta de dados o experimentoaqui apresentado pode ser adaptado com facilidade para

uma aula regular de graduacao ou ate mesmo para umgrupo de Ensino Medio

Esperamos que a atividade apresentada ofereca umaestrategia para professores que pretendam atrair aatencao dos seus alunos para o conhecimento da na-tureza atraves de uma atividade didatica experimen-tal de uma forma agradavel e harmoniosa Espera-mos tambem que ela permita ao estudante a sua fami-liarizacao com o processo cientıfico oferecendo a elecondicoes de desenvolver as suas habilidades e com-petencias em relacao a observacao e a analise dosfenomenos fısicos

Referencias

[1] P Horowitz and W Hill The Art of Electronics (Cam-bridge University Press Cambridge 1989) 2a ed

[2] RJ Smith Electronics Circuits and Devices (WileyNew York 1987) 3a ed

[3] L Kirkup and S Wallace Eur J Phys 8 93 (1987)

[4] L Kirkup and M Nicolson Eur J Phys 7 49 (1986)

[5] A Sconza and G Torzo Eur J Phys 10 123 (1989)

[6] HM Campbell BM Boardman TC DeVore andDK Havey Am J Phys 80 1045 (2012)

[7] V Cruz O Diodo e Suas Caracterısticas Uma AulaIntrodutoria Sobre Semicondutores Trabalho de Finalde Curso de Licenciatura em Fısica Instituto de FısicaUFRJ 2009

[8] Encyclopaeligdia Britannica Online disponivel emhttpwwwbritannicacomEBcheckedtopic

72417Boltzmann-constant acesso em 19102014

[9] C Cercignani Ludwig Boltzmann The Man who Trus-ted Atoms (Oxford University Press Oxford 2006)

Determinacao experimental da constante de Boltzmann a partir da curva caracterıstica corrente-voltagem de um diodo 1311-5

Tabela 3 - Ajustes das curvas da voltagem no diodo VD paradiferentes temperaturas T em regime de corrente ID constante

ID (mA) β (mVKminus1) V0 (V)10minus2 -220 plusmn 005 120 plusmn 00510minus1 -200 plusmn 005 120 plusmn 005100 -180 plusmn 005 120 plusmn 005101 -160 plusmn 005 120 plusmn 005

O comportamento da corrente ID com o coeficienteangular β e analisado com o auxılio das Figs 10 e 11onde tambem notamos que uma relacao exponencial en-tre estes dois parametros pode ser estabelecida

ID = I2 exp(αβ) (4)

onde as duas constantes de ajuste

I2 = 10minus9mA (5)

e

a = (1 2plusmn 0 2)times 104Vminus1K (6)

foram determinadas a partir do grafico da Fig 11 damaneira usual Combinamos agora as expressoes (3)e (4) e obtemos a corrente ID no diodo em funcao davoltagem VD a qual ele esta submetido e da sua tem-peratura T de operacao

ID = I2 exp

(minusaV0

T

)exp

(aVD

T

)(7)

onde a voltagem no diodo VD e expressa em volts ea temperatura T em kelvins Da presente analise asconstantes I2 V0 e a sao caracterısticas intrınsecas dodiodo e nao dependem das condicoes de operacao dele

Lembramos ainda que a corrente que circula no di-odo e devida as cargas em movimento e deste modo enatural que na expressao da corrente apareca a cargaeletronica e Assim podemos reescrever a Eq (7) naforma

Figura 10 - Comportamento da corrente no diodo ID em funcaodo coeficiente angular β da relacao entre voltagem VD e tempe-ratura no diodo T a qual ele esta submetido

Figura 11 - Comportamento exponencial da corrente com o coe-ficiente angular β

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)exp

(eVD

kBT

)(8)

onde a nova constante kB e igual a

kB =e

a=

1 602times 10minus19

(1 2plusmn 0 2)times 104=

(1 3plusmn 0 3)times 10minus23 JKminus1 (9)

Esta e a constante de Boltzmann [89] uma das cons-tantes fundamentais da fısica Podemos comparar estevalor de kB com o seu valor tabelado de 1 380 times10minus23 J Kminus1 e obtemos uma discrepancia de apenas 6

Este e um bom momento para chamar a atencaosobre os limites de aplicabilidade de um modelo ma-tematico Segundo o modelo desenvolvido todo o pro-cedimento se sustenta na representacao da curva carac-terıstica corrente ID-voltagem VD como indicada naEq (1) (ou na Eq (8)) e entre a voltagem do diodoVD e a sua temperatura T dada pela Eq (3) Entre-tanto observamos que para voltagem nula o diododeve apresentar uma corrente nula As Eqs (1) e (8)nao dao conta deste fato Desta forma acrescentamosum novo termo I1 a Eq (1)

ID = i0ebVD minus I1 (10)

Para que em VD = 0 a corrente seja nula devemos im-por que I1 = i0 e deste modo a corrente no diodo podeser representada na forma

ID = i0(ebVD minus 1) (11)

Se empregarmos a Eq (8) temos

ID = I2 exp

(minus eV0

kBT

)[exp

(eVD

kBT

)minus 1

] (12)

Como I2 e da ordem de picoamperes a expressao (8)e uma boa aproximacao para a regiao de operacao dodiodo considerada neste trabalho

1311-6 Cruz e Soares

5 Consideracoes finais

Os resultados obtidos mostram que na faixa adotadapara a operacao do diodo VD gt 05 V a curva ex-ponencial (8) representa de forma bastante satisfatoriao seu comportamento em um circuito para tempera-turas entre 0 C e 100 C Apesar de ser observadoque esta relacao indica uma correlacao inconsistente en-tre voltagem e corrente no componente para um valorde voltagem nula a expressao (8) e bastante eficienteno regime de voltagens considerado e para propositospraticos ela pode ser empregada desde que se respeiteos seus limites de validade

Outro fator importante esta relacionado com oparametro b da Eq (1) Como pode ser observadoeste fator influencia na condutividade do diodo e estarelacionado com a temperatura que o diodo esta subme-tido no momento do experimento E interessante notarque nos condutores usuais ohmicos a uma dada tempe-ratura a condutividade e constante e para uma dadavoltagem a condutividade diminui com o aumento datemperatura Para o diodo submetido a uma dadavoltagem observamos que o aumento da temperaturaaumenta a sua condutividade

Um olhar atento para a Eq (3) mostra que o di-odo usado em regime de corrente constante pode serempregado como um termometro Com a ajuda destaequacao a ddp que ele apresenta pode ser transformadaem uma escala de temperaturas

A atividade sugerida neste trabalho emprega so-mente materiais de baixo custo para a sua realizacao enao exige um laboratorio especializado Se considerar-mos a habilidade do professor em reduzir a um mınimoo tempo gasto com a coleta de dados o experimentoaqui apresentado pode ser adaptado com facilidade para

uma aula regular de graduacao ou ate mesmo para umgrupo de Ensino Medio

Esperamos que a atividade apresentada ofereca umaestrategia para professores que pretendam atrair aatencao dos seus alunos para o conhecimento da na-tureza atraves de uma atividade didatica experimen-tal de uma forma agradavel e harmoniosa Espera-mos tambem que ela permita ao estudante a sua fami-liarizacao com o processo cientıfico oferecendo a elecondicoes de desenvolver as suas habilidades e com-petencias em relacao a observacao e a analise dosfenomenos fısicos

Referencias

[1] P Horowitz and W Hill The Art of Electronics (Cam-bridge University Press Cambridge 1989) 2a ed

[2] RJ Smith Electronics Circuits and Devices (WileyNew York 1987) 3a ed

[3] L Kirkup and S Wallace Eur J Phys 8 93 (1987)

[4] L Kirkup and M Nicolson Eur J Phys 7 49 (1986)

[5] A Sconza and G Torzo Eur J Phys 10 123 (1989)

[6] HM Campbell BM Boardman TC DeVore andDK Havey Am J Phys 80 1045 (2012)

[7] V Cruz O Diodo e Suas Caracterısticas Uma AulaIntrodutoria Sobre Semicondutores Trabalho de Finalde Curso de Licenciatura em Fısica Instituto de FısicaUFRJ 2009

[8] Encyclopaeligdia Britannica Online disponivel emhttpwwwbritannicacomEBcheckedtopic

72417Boltzmann-constant acesso em 19102014

[9] C Cercignani Ludwig Boltzmann The Man who Trus-ted Atoms (Oxford University Press Oxford 2006)

1311-6 Cruz e Soares

5 Consideracoes finais

Os resultados obtidos mostram que na faixa adotadapara a operacao do diodo VD gt 05 V a curva ex-ponencial (8) representa de forma bastante satisfatoriao seu comportamento em um circuito para tempera-turas entre 0 C e 100 C Apesar de ser observadoque esta relacao indica uma correlacao inconsistente en-tre voltagem e corrente no componente para um valorde voltagem nula a expressao (8) e bastante eficienteno regime de voltagens considerado e para propositospraticos ela pode ser empregada desde que se respeiteos seus limites de validade

Outro fator importante esta relacionado com oparametro b da Eq (1) Como pode ser observadoeste fator influencia na condutividade do diodo e estarelacionado com a temperatura que o diodo esta subme-tido no momento do experimento E interessante notarque nos condutores usuais ohmicos a uma dada tempe-ratura a condutividade e constante e para uma dadavoltagem a condutividade diminui com o aumento datemperatura Para o diodo submetido a uma dadavoltagem observamos que o aumento da temperaturaaumenta a sua condutividade

Um olhar atento para a Eq (3) mostra que o di-odo usado em regime de corrente constante pode serempregado como um termometro Com a ajuda destaequacao a ddp que ele apresenta pode ser transformadaem uma escala de temperaturas

A atividade sugerida neste trabalho emprega so-mente materiais de baixo custo para a sua realizacao enao exige um laboratorio especializado Se considerar-mos a habilidade do professor em reduzir a um mınimoo tempo gasto com a coleta de dados o experimentoaqui apresentado pode ser adaptado com facilidade para

uma aula regular de graduacao ou ate mesmo para umgrupo de Ensino Medio

Esperamos que a atividade apresentada ofereca umaestrategia para professores que pretendam atrair aatencao dos seus alunos para o conhecimento da na-tureza atraves de uma atividade didatica experimen-tal de uma forma agradavel e harmoniosa Espera-mos tambem que ela permita ao estudante a sua fami-liarizacao com o processo cientıfico oferecendo a elecondicoes de desenvolver as suas habilidades e com-petencias em relacao a observacao e a analise dosfenomenos fısicos

Referencias

[1] P Horowitz and W Hill The Art of Electronics (Cam-bridge University Press Cambridge 1989) 2a ed

[2] RJ Smith Electronics Circuits and Devices (WileyNew York 1987) 3a ed

[3] L Kirkup and S Wallace Eur J Phys 8 93 (1987)

[4] L Kirkup and M Nicolson Eur J Phys 7 49 (1986)

[5] A Sconza and G Torzo Eur J Phys 10 123 (1989)

[6] HM Campbell BM Boardman TC DeVore andDK Havey Am J Phys 80 1045 (2012)

[7] V Cruz O Diodo e Suas Caracterısticas Uma AulaIntrodutoria Sobre Semicondutores Trabalho de Finalde Curso de Licenciatura em Fısica Instituto de FısicaUFRJ 2009

[8] Encyclopaeligdia Britannica Online disponivel emhttpwwwbritannicacomEBcheckedtopic

72417Boltzmann-constant acesso em 19102014

[9] C Cercignani Ludwig Boltzmann The Man who Trus-ted Atoms (Oxford University Press Oxford 2006)