die fourier-transformation in der signalverarbeitung: kontinuierliche und diskrete verfahren der

Dietmar Achilles

DieFourier-Transformation'in derSignalverarbeitungKontinuierliche und diskrete Verfahrender Praxis

~:~ Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1978

Dr.-Ing. DIETMAR ACH ILLESDiplomphysiker, Privatdozent an der Universität Erlangen-Nürnbergz. Zt. Gastdozent an der Bundesuniversität in Rio de Janeiro, Brasilien

Mit 87 Abbildungen

ISBN 978-3-540-08362-7 ISBN 978-3-662-11492-6 (eBook)DOI 10.1007/978-3-662-11492-6

Library of Congress Cataloging in Publication DataAchilles , Dietmar, 1933- Die Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung . (Hochschultext)Includes bibliographies and index.1. Signal processing . 2. Fourier transformations . I. Tille .TK5102.5.A286 621.38'043 77-21701

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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978.

Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1978.

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Vorwort

Die Fourier-Transformation gehört s e it über 150 Jahren zu den wichtigsten mathe

matischen Hilfsmitteln der Physik. Viele ihrer zahlreichen Anwendungen lassen

sich dem Bereich der Signalverarbeitung im weitesten Sinne zuordnen. Ein Beispiel

hierfür ist die Wirkung von Blenden bei der optischen Abbildung, die man als Fil

terung von zweidimensionalen Signalen interpretieren kann. Noch deutlicher in Er

scheinung tritt der Aspekt der Signalverarbeitung bei der Analyse von zeitlich schwan

kenden Vorgängen in der Natur (Seismologie, Meteorologie, Gezeitenforschung usw.)

und in der Technik (Vibrationen, Wechselströme usw. ), die ebenfalls schon seit lan

gem zu den Aufgaben der Fourier-Transformation zählt. Hier wurde vor allem die

diskrete Variante der Fourier-Transformation, die sogenannte Diskrete Fourier

Transformation (DFT) zur numerischen Ausführung eingesetzt.

Mit der Begründung der Systemtheorie der elektrischen Nachrichtenübertragung ist

die Fourier-Transformation vor einigen Jahrzehnten in eine neue Phase ihrer Bedeu

tung eingetreten und zu einem unentbehrlichen mathematischen Werkzeug des Nach

r ichtentechnikers geworden. Die systemtheoretische Betrachtungsweise ist jedoch

keineswegs ausschließlich auf die Nachrichtentechnik zugeschnitten , sondern sie kann

ebenso vorteilhaft auch auf mannigfaltige Aufgabenstellungen in a nderen Bereichen der

Technik und der Naturwissenschaften angewendet werden. Diese Erkenntnis hat sich

in den letzten zwölf Jahren weitgehend durchgesetzt, seitdem man die sehr effektiven

Algorithmen der Fast Fourier Transform (FFT) verwendet, die eine Evolution in der

Signalverarbeitung ausgelöst haben. Die Fourier-Transformation ist in dieser jüng

sten Entwicklungsphase weit über das ursprüngliche Stadium der analytischen Signal

und Systembeschreibung hinausgewachsen und wird heute auch zur Realisierung von

signalverarbeitenden Systemen mit Hilfe von Digitalrechnern, sowie zur Identifizie

rung und zur Simulation allgemeinerer technischer, physikalischer und biologischer

Systeme eingesetzt.

Das vorliegende Buch wendet sich an Ingenieure und Naturwissenschaftler, die in

ständig zunehmendem Maß Problemen der Signalverarbeitung gegenüber-stehen, Es

behandelt schwerpunktmäßig die wichtigsten Prinzipien der Fourier-Transforma

tion , die für die Signalverarbeitung von Bedeutung sind. Die mathematische Dar-

IV Vorwort

stellung ist weitgehend lückenlos und leicht zugänglich. Vorkenntnisse in der System

theorie sind für das Verständnis nicht erforderlich.

Das einleitende Kapitel illustriert an zwei Beispielen die Begriffe Signalverarbeitung

und Fourier-Transformation. Zunächst wird an einer Aufgabenstellung der Signal

verarbeitung in der Radar-Astronomie gezeigt, wie man mit Hilfe der Fourier-Trans

formation aus einem Signal Informationen gewinnen kann, die bei erster Betrachtung

scheinbar völlig unzugänglich sind. Dann wird durch elementare Betrachtungen an

einem linearen zeitinvarianten System die wechselseitige Beziehung zwischen Fourier

Transformation und Systemtheorie beleuchtet.

Das zweite Kapitel zeigt, wie man mit Hilfe der Fourier-Transformation die Spektren

von Signalen verschiedener Klassen definieren kann. Bei der Betrachtung von Signalen

endlicher Energie werden die wesentlichen Eigenschaften des Fourier-Integrals dar

gestellt. Dann wird eine leicht zugängliche Einführung in die Theorie der Fourier

Transformation von Distributionen gegeben, die bei der mathematischen Beschreibung

von Signalen und Systemen eine wichtige Rolle spielen. Die periodischen und die sto

chastischen Signale werden gemeinsam als Signale endlicher Leistung behandelt. Im

Zusammenhang mit den periodischen Signalen ergeben sich einführende Darstellungen

der Fourier-Reihe und der harmonischen Analyse. Die spektrale Leistungsdichte sto

chastischer Signale wird zunächst analog zu den periodischen Signalen definiert. Dann

wird durch systemtheoretische Betrachtungen gezeigt, daß diese Definition physika

lisch sinnvoll ist. Die Behandlung der diskontinuierlichen Signale leitet über in den

Problemkreis der digitalen Signalverarbeitung. Vergleichende Betrachtungen über

analoge und digitale Systeme und über die Zusammenhänge zwischen Fourier-Trans

formation und DFT schließen das Kapitel ab.

Die diskrete Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften bilden den Inhalt des

dritten Kapitels. Für die gesamte Darstellung ist eine einheitliche und übersichtliche

Matrizenform gewählt worden. Der Doppelcharakter der DFT tritt deutlich hervor:

Auf der einen Seite zeigt sie sich als völlig eigenständige unitäre Transformation mit

in sich geschlossenen Abbildungsgesetzen, auf der anderen Seite besteht eine enge

Verwandtschaft zur Fourier-Transformation, die sich in zahlreichen Analogien mani

festiert. Beide Aspekte haben ihre tiefe Bedeutung in der Signalverarbeitung. Die ge

wählte Darstellung ist insofern kompatibel, als die Transformationskonstante der DFT

jederzeit als Abtastintervall interpretiert werden kann.

Die Einführung von Dezimierungs- und Segmentierungs-Operatoren ermöglicht eine

Strukturzerlegung der DFT, die unmittelbar auf das Prinzip der schnellen Fourier

Transformation führt, welche im vierten Kapitel behandelt wird. Für die wichtigsten

FFT-Verfahren werden geschlossene Matrizendarstellungen angegeben. Das gilt ins

besondere auch für die mathematische Beschreibung von FFT-Flußgraphen bei belie-

Vorwort V

bigen Primfaktorzerlegungen. Ergänzende Prinzipien wie die Anwendung des Uber

lagerungssatzes der DFT und die Ausnutzung von Symmetrien der trigonometrischen

Funktionen werden neben anderen praktischen Gesichtspunkten erläutert.

Die für die Signalverarbeitung so wichtigen Operationen der diskreten Faltung und

Korrelation werden im fünften Kapitel behandelt. Die auch hier verwendete Matrizen

form erlaubt übersichtliche Darstellungen der Segmentierungsmethoden bei langen

Signalfolgen. Aufwandungsvergleiche und Abschätzungen günstiger Segmentlängen für

die blockweise vorgenommene Verarbeitung werden angegeben.

Im sechsten Kapitel werden die Zusammenhänge zwischen Fourier-Transformation,

Spline-Interpolation und DFT dargestellt. Es wird gezeigt, wie man diese Beziehun

gen zur numerischen Fourier-Transformation und in der Signalverarbeitung ausnutzen

kann. Erörtert werden insbesondere digitale und hybride Methoden zur Verarbeitung

von kontinuierlichen Signalen, die durch Spline-Funktionen darstellbar sind.

Das für viele technische und naturwissenschaftliche Anwendunden besonders wichtige

Gebiet der digitalen Bestimmung von Leistungsspektren stochastischer Signale wird

im siebenten Kapitel eingehend erörtert. Hier werden die wichtigsten neueren Ver

fahren vorgestellt, an vielen praktischen Beispielen erprobt und miteinander ver

glichen.

Herrn Kival Chaves Weber verdanke ich wesentliche Unterstützung bei der Abfas

sung des siebenten Kapitels. Insbesondere basieren die dort behandelten Beispiele

auf Ergebnissen, die er im Rahmen seiner Masterarbeit erzielt hat. Mein herz

licher Dank gilt auch Frau Rita Frizlen in Erlangen, die das Problem der Rein

schrift des Manuskriptes in vorbildlicher Weise gelöst hat. Besonderer Dank ge

bührt schließlich dem Springer-Verlag für die gute Ausführung und die verständ

nisvolle Zusammenarbeit.

Rio de Janeiro, im Juli 1977 D . Achilles

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung • •. •••• ••••••••••••••• • •••••••••• •••••••••••

1.1 Einführendes Beispiel. ••••• ••••••• • •••••••.•••••••••••

1.2 Bedeutung der Signaldarstellung i m Frequenzbereich •••••• ••• •••

1. 3 Liter a tur •• • • • . • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • . •

2 Signale und Spektren • • • • • • • • • • • • . • •

2. 1 Signale endlicher Energie •• • •••••

2.1.1 Absolut integrierbare Signale •••••••• •••••••••••

2.1.2 Gibbssches Phänomen, nicht absolut integrierbare Signale••••

2. 1.3 Signaldauer und Bandbrei te, schnell abnehmende Signale undSpektren • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••••••

2.2 Distributionen ••••••••• •••••••.••

2.3 Signale endlicher Le istung •••• ••••• ••

2.3. 1 Periodische Signale•••• •••.•

2.3.2 Stochastische Signale .

2.4 Diskontinuierliche Signale •..• ••• •...

2 .4.1 Definition und systemtheoretische Bedeutung •••••••

2.4.2 Probleme der Signaldarstellung durch Abtastwerte .• •••••••

2.4.3 Diskontinuierliche Signale und diskrete Fourier-Transformation

2.5 Literatur •••••••• ••••.••••••••••• ••••••••• •••••.••

1

1

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12

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39

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64

64

68

72

75

3 Die diskrete Fourier-Transformation ••••

3.1

3.2

3.3

3.4

Definition und Darstellung. • • • ••••••

Abbildungsgesetze ••• • .••••••••••••••••

Dezimierung und Segmentierung von Folgen •••

Literatur ••••••• •••••••••••••••••••• ••••

77

77

80

93

98

4 Die numerische Ausführung der diskreten Fourier-Transformation ••••••

4. 1 Vorbemerkungen • • • • • • • . • . . • • • • • • • . • • • .•••••••••••

4.2 Prinzip der schnellen Fourier-Transformation. • .•••••

4.2.1 Der Cooley-Tukey-A lgor-ithrnus •••••••••

4.2.2 Bestimmung von FFT-Signalflußgraphen •••

4.3 Anwendung des Uberlagerungssatzes •••.••••••• ••• •

99

99

100

100

102

107

Inhaltsverzeichnis VII

4.4 Schnelle Fourier-Transformation bei Zweierpotenzen. • • • • • • • • • •• 111

4.4.1 FFT-Signalflußgraphen. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • •• 111

4.4.2 Einfaches FFT-Programm • • • • • • • • . • • • • • • • • • 116

4.4.3 Algorithmen höherer Basis, reelle Zahlenfolgen. . • 118

4.5 Literatur ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • . • • • • • • • • • • • • • • •• 120

5 Schnelle Faltung und Korrelation • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • •• 121

5.1 Diskrete Faltung und Korrelation als zyklische Operationen. • • • • •• 121

5.2 Segmentierung bei langen Datenfolgen • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 128

5 • 3 Literatur • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 135

6 Fourier-Transformation und Spline-Interpolation in der Signalverarbeitung • 136

6.1 Vorbemerkungen zur Signalverarbeitung • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 136

6.2 Spline-Signale und ihre Spektren. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 138

6.3 Faltung, Korrelation und Deconvolution von Spline-Signalen • • • • • • • 146

6.4 Berücksichtigung von Unstetigkeiten in den Spline-Signalen •• •••••• 152

6.5 Literatur. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 161

7 Digitale Methoden zur Spektralanalyse •• • • • • • • • • • • • • • 163

7.1 Klassische Methoden • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 163

7.2 Mittelung über modifizierte Periodogramme. • • • • • • • • • • • • • • • •• 168

7.3 Glättung von Periodogrammen • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 178

7.4 Literatur • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 183

Sachverzeichnis. • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • •• 18'1

1 Einleitung

1.1 Einführendes Beispiel

Aus den zahlreichen Anwendungen der Fourier-Transformation in der Signalverar

beitung sei zur Einführung ein Beispiel ausgewählt, das einerseits besonders deut

lich die tragende Rolle der Fourier-Transformation zeigt und andererseits eine

Schilderung der Zusammenhänge unmittelbar aus der Anschauung heraus gestattet:

die Bestimmung der Oberflächenstrukturen von Planeten durch Zeit-Frequenz-Ana

lyse von Radarimpulsen.

Zunächst einige Vorbemerkungen zur Radar-Astronomie [1.1-1.3J allgemein: Sie

dient der Erforschung unseres Sonnensystems. Nachbarplaneten, Sonne, Mond und

andere Himmelskörper sind dabei Zielobjekte von Radarimpulsen, die über die Pa

rabolantennen von Radioteleskopen abgestrahlt werden. Ein sehr kleiner Teil der vom

jeweiligen Objekt reflektierten bzw. gestreuten Impulsenergie gelangt wieder zum

Radioteleskop zurück, wird aus den sich überlagernden Rauschsignalen herausgefil

tert und hinsichtlich der gewünschten Information ausgewertet. Der relativ kompli

zierte Signalverarbeitungsprozeß wird in der Regel mit Hilfe einer Digitalrechenan

lage, die direkt mit dem Radarsystem verbunden ist, in Echtzeit ausgeführt. Signal

auswertungen dieser Art liefern beispielsweise Messungen der Planetenpositionen

und -bahngeschwindigkeiten, die um Größenordnungen genauer sind als bei entspre

chenden optischen Beobachtungsmethoden. Darüber hinaus erhalten wir Informationen

über die Rotation und die Oberflächenstruktur von Planeten, auch und insbesondere

dann, wenn sie wie die Venus von einer undurchsichtigen Atmosphäre umgeben sind.

Um einen Einblick in die Zusammenhänge zu gewinnen, gehen wir von einer verein

fachenden Modellvorstellung aus. Der Sendeimpuls sei ein trägerfrequenter Recht

eckimpuls der Form

für O~t~e(1.1-1)

sonst.

Die Wahl der Trägerfrequenz fO

und der Impulsdauer e hängt von den speziellen Ge

gebenheiten desBeobachtungsobjektes und von der dem Experiment zugrundeliegen

den Fragestellung ab. Typische Werte sind fO

= 500 MHz und e = 500 IJ.S.

2 Einleitung

Ist R die kürzeste Entfernung zwischen dem Radioteleskop und beispielsweise ei

nem Planeten, so wird das Echo des Impulses nach einer Laufzeit T = 2R/c regi

striert werden. Aus der Vakuumlichtgeschwindigkeit (c'" 3· 105 km/s) und der

Messung von T läßt sich dann die Entfernung R sehr genau ermitteln. Der Meß

zeitpunkt wird durch das Eintreffen der Vorderflanke des Echoimpulses bestimmt.

Diese muß durch Reflexion am vordersten Teil des Planeten entstanden sein. Da

auch die weiter entfernt liegenden Teile der von der Erde aus sichtbaren Planeten

oberfläche zum Echoimpuls beitragen, ist seine Dauer gegenüber der Dauer des

Sendeimpulses um 2r/c länger , wenn r der Planetenradius ist [1.4J .

Der als Beispiel angeführte Sendeimpuls enthält efO = 2,5· 10 5 Perioden der Träger

schwingung. Die zu 1/e proportionale Breite der Spektrallinie ist somit sehr klein

in Bezug auf die Trägerfrequenz. Die Spektrallinie des Echoimpulses ist infolge des

D 0 pp I er - E f f e k t es im allgemeinen gegenüber fO verschoben und darüber hinaus

auch verbreitert. Hieraus lassen sich Informationen über die Translation, die Rota

tion und die Oberflächenstruktur des beobachteten Planeten gewinnen, wenn man das

Signal im Frequenzbereich betrachtet, dv h, eine Spektralanalyse vornimmt.

Betrachten wir zunächst die reine Translation. Die Geschwindigkeitskomponente des

Planeten auf die Erde sei zu vr• Die Trägerfrequenz des Echoimpulses ist dann un

ter Vernachlässigung relativistischer Effekte durch

(1. 1-2)

gegeben. Damit läßt sich vr aus der Frequenzverschiebung des Empfangssignals

bestimmen.

Wenn nun der Planet mit der Winkelgeschwindigkeit Q um eine Achse rotiert, die

wir der einfacheren Darstellung wegen als senkrecht zur Verbindungslinie Planet

Erde annehmen wollen, so sind die Relativgeschwindigkeiten zwischen dem Radio

teleskop und den einzelnen Oberflächenelementen des Planeten, die alle zum Echo

impuls beitragen, im allgemeinen verschieden. Daraus resultieren Frequenzver

schiebungen, die maximal ± 2 fOrQ/c betragen (Bild 1. 1). Das Signalspektrum wird

daher ins ges a mt um den Betrag

B =4fOrQ/c (1. 1-3)

verbreitert. Durch Bestimmung von B kann dann auf die Winkelgeschwindigkeit Q

der Rotation des Planeten geschlossen werden. Mit einer solchen Methode wurden

beispielsweise die Eigenrotationen von der Venus und vom Merkur erstmals genau

bestimmt [1.5, 1.6J.

1. 1 Einführendes Beispiel 3

Ein besonders eindrucksvoller Erfolg der modernen Signalverarbeitung ist die Ab

bildung der Oberflächenstrukturen von Planeten. Von allen Planeten unseres Sonnen

systems ist die Venus von der Erde aus unter dem größten Öffnungswinkel, der bei

einer mittleren Konjunktion etwa eine Bogenmitte beträgt , zu sehen. Das bedeutet,

daß die Venus und natürlich auch alle anderen Planeten völlig innerhalb des Strahlen

kegels auch der größten vollsteuerbaren Radioteleskope liegt [1. 7J.

v,=- rQ

Bild 1. 1. Zur Erläuterung des Doppler-Effektes beieiner Rotation V,= rQ

zum Rodorsyslem

Eine unmittelbare Winkelauflösung der Oberflächenstrukturen ist daher ausgeschlos

sen. Andererseits enthält das Echo eines Radarimpulses, das sich ja aus vielen Teil

reflexen an den Unregelmäßigkeiten der Planetenoberfläche zusammensetzt, Informa

tionen über die gesamte Struktur dieser Oberfl äche , Diese Informationen aus den

Echoimpulsen herauszuholen, ist eine Aufgabe der Signalverarbeitung. Im folgenden

wird kurz gezeigt, daß dieses Problem gelöst werden kann, indem man die Signale

sowohl im Frequenzbereich als auch im Zeitbereich analysiert.

Oberflächenelemente des Planeten, die zu Teilreflexen der gleichen konstanten Ver

zögerung führen, liegen auf konzentrischen Kreisen um die Achse Erde - Planet,

Oberflächenelemente, deren durch die Rotation des Planeten hervorgerufenen Rela

tivgeschwindigkeiten in Bezug auf die Erde konstant sind, liegen dagegen auf konzen

trischen Kreisen um eine Achse, die auf der Verbindungslinie Erde - Planet und der

Rotationsachse des Planeten senkrecht steht. Diese letzteren Oberflächenelemente

führen demzufolge zu Teilreflexen, die alle die gleiche Dopplerverschiebung aufwei

sen. In der Projektion auf die Ebene des Planetenbildes sind die Linien gleicher Ver

zögerung konzentrische Kreise um den Planetenmittelpunkt und die Linien gleicher

Doppelverschiebung Parallelen zur Rotationsachse des Planeten (Bild 1.2). Jedes

Flächenelement in dem so entstehenden Koordinatenraster ist durch eine bestimmte

Verzögerung und eine bestimmte Dopplerverschiebung gekennzeichnet und läßt sich

somit einem bestimmten Zeit-Frequenz-Intervall des Echoimpulses zuordnen.

4 Einleitung

Die Signalleistung in diesem Intervall hängt von der materiellen Zusammensetzung

und der Geometrie des zugehörigen Oberflächenelementes auf dem Planeten ab

Linien gleicher EntfernungRototionsochse

\6linien gleicherDopplerverschiebung

Bild 1.2. Orte gleicher Echoverzögerung und gleicher Dopplerverschiebung

und läßt infolgedessen Rückschlüsse auf diese Struktur zu. Zur Lokalisierung der

Teilechos unterteilt man den Echoimpuls zunächst in einzelne Abschnitte von der

Bild 1.3. Kurzzeitspektralanalyse eines Radarechos vom Mond nach [1. 8J

1. 1 Einführendes Beispiel 5

Dauer des Sendeimpulses, denn diese bestimmt ohnhin die Entfernungsauflösung und

damit die Breite der Entfernungsringe. Dann führt man für jeden dieser Abschnitte

eine Spektralanalyse mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation

(vgl , Kapitel 4) auf einem Digitalrechner durch. Zur Illustration ist in Bild 1. 3 eine

solche Zeit-Frequenz-Analyse (mit relativ grober AUflösung) von einem Radarecho

des Mondes gezeigt [1. 8J. Aufgetragen sind hier die Werte der Signalintensität in

Bezug auf die Frequenz (Abszisse) und die Zeit (Ordinate). Dabei wurde der ge

samte Echoimpuls in 25 Abschnitte von jeweils 500 IJ.s Dauer unterteilt und für je

den dieser Abschnitte eine Spektralanalyse durchgeführt. Die im Bild dargestell

ten Spektren werden von oben nach unten, d vh, mit zunehmender Verzögerungszeit

immer breiter, weil die zugehörigen Entfernungsringe in die Bereiche größerer

Dopplerverschiebungen hineinwachsen.

Eine entsprechende kartographische Projektion der Intensitäten liefert dann (bei ge

nügend feiner AUflösung) ein Bild der Planetenoberfläche. Die bei Mondaufnahmen

erreichte Genauigkeit - in Bild 1. 4 is t ein solches Radarbild mit einer Auflösung von

1 km 2 gezeigt - gibt die Gewähr, daß auch Planetenaufnahmen wie die in Bild 1. 5

dargestellte Venusoberfläche den tatsächlichen Strukturen entsprechen. Erwähnt

werden sollte noch, daß die Doppeldeutigkeit der Lokalisierung von Zeit-Frequenz

Intervallen (im Bild 1. 2 die Punkte P und P ") durch s pez i ell e Techniken eliminiert

werden kann. I m Falle des Mondes reicht die Strahlenbündelung der Radioteleskope

aus, um jeweils nur eine der beiden Mondhalbkugeln zu beobachten. Im Falle der

Planeten kann man Interferometer-Methoden [1. 9, 1.10J verwenden, auf die hier

nicht näher eingegangen werden soll.

HAYSTACK R(SEARCH fACILITYfEBRUARY 1970

LUNAR RADAR CHART3.8an WAVELENGTH

Bild 1.4. Radarbild vom Mond nach [1. 9J, ermittelt durch Kurzzeitspektralanalysedes Echosignals

6 Einleitung

Bild 1.5. Radarbild der Venus nach [1. lOJ , ermittelt durch Kurzzeitspektralanalysedes Echosignals

Das in diesem einleitenden Abschnitt behandelte Beispiel zeigt nur eine der vielen

interessanten Anwendungsmöglichkeiten, die die Fourier-Transformation in der

Signalverarbeitung bietet. Der Sachverhalt mußte hier natürlich stark vereinfacht

dargestellt werden. Die genannten Begriffe und Methoden der Signalverarbeitung be

werden in den folgenden Kapiteln noch genauer erläutert werden.

Im nächsten Abschnitt betrachten wir weitere Aspekte der Signaldarstellung i m Fre

quenzbereich.

1.2 Bedeutung der Signaldarstellung im Frequenzbereich

1.2 Bedeutung der Signaldarstellung im Frequenzbereich

7

Unter Si g n ale n verstehen wir allgemein Zeitfunktionen, di e Informationen tragen.

In den meisten Fäll en wird es sich hierbei um r eelle e indi mens iona l e Funktionen han

deln, die sich unmittelbar aus den dabei zugrundeliegenden physikalischen Vorgängen

e r gebe n. Man läßt aber auch zugunsten e iner e infa c heren mathematischen Darstel

lung komplexe Signalfunktionen zu, so z , B. die harmonische Exponentielle, die in der

Systemtheorie eine wesentliche Rolle spielt (z , B. [1 . 11] ) . Darüber hinaus gibt es

auch echt zweidimensionale Signale, beispielsweise in der Bildverarbeitung , di e zwar

auf e indim e ns iona l e Signalfunktionen abgebildet werden können, vielfach aber a uc h di

rekt zweidimensional verarbeitet werden (z , B. [1. 12J). Im folgenden wollen wir je

doch Signale im m e r als eindimensionale Zeitfunktionen auffassen.

Wir können Signale übertragen oder speichern und auf verschiedene Weisen verarbei

ten, bevor wir sie schließlich auf ihren Informationsgehalt hin auswerten. Be i diesen

Operationen ist es vorteilhaft oder sogar notwendig, ein gegebenes Signal in einer an

deren Form darzustellen, beispielsweise durch Entwicklung nach einem vollständigen

Orthogonalsystem bzw . durch eine Orthogonaltransformation. Die Information is t

dann i n den Koeffizienten der Entwicklung bzw. i n der Bildfunktion e ntha lte n und zeigt

sich möglicherweise damit in einer Form, die di e Verarbeitung und Auswertung we

sentlich vereinfachen kann.

Unte r den vielen Orthogonalsystemen, die s c ho n zur Signal da r s tell ung verwendet wor

den s ind, ist da s der Sinus- und Cosinus-Funktionen bes onders ausgezeichnet . Das

hat eine Reihe von Gründen. Zunächst ermöglicht eine Signal darstellung mittels die

s e r Funktionen eine Abbildung des Signals auf den Fr e q u e n z b er e ich, dem e ine

unmittelbare physikalis che Bedeutung zukommt - m an denke beispielsweise an di e

Beschreibung des Dopplereffektes - und der dem Naturwissenschaftler und Ingenieur

entsprechend vertraut ist. Sodann besitzen die Sinus- und Cosinus-Funktionen di e be

sonders wichtige Eigenschaft, daß s ie Eigenfunkt ionen linearer zeitin-

va r i an te r S y s t em e sind. Für die Signalverarbeitung ist weiterhin sehr wesent

lich, daß die Signalabbildung auf den Frequenzbereich digital m it Hilfe der besonders

effektiven Algorithmen der sc h ne 11 e n F 0 u r i er - T r ans f 0 r m a t ion (vgl. Ka

pitel 4) problemlos und sehr schnell vorgenommen werden kann. Dadurch wiederum

ist es m öglich, die so häufig auftretenden signalverknüpfen Operationen der Fa I

tun g und der Kor r e la t ion unter erheblichem Zeitgewinn im Frequenzbereich

als Multiplikationen auszuführen.

Wir gehen hier noch etwas ausführ-licher' auf den systemtheoretischen Aspekt ein .

Dazu betrachten wir ein lineares zeitinvariantes S ystem mit einem Ein

gang und einem Ausgang, be ispielsweis e ein selektives Filte r (Bild 1. 6 ). Das System

8 Einleitung

reagiere auf ein Eingangssignal ut t ) mit dem Ausgangssignal yf t ) ; Wir kennzeich

nen diesen Zusammenhang mathematisch durch die Operatorgleichung

S[u(t)J =yf t}, (1.2-1)

u(ljO----ilineares

zeitinvariantesSystem

1----<> y ( I )Bild 1.6. Lineares zeitinvariantes

System

wobei der Operator S die Einwirkung des Systems auf das Eingangssignal uf t ) sym

bolisieren soll. Wenn wir speziell als Eingangssignal eine Sinus-Funktion der Fre

quenz f wählen, die bereits seit unendlich langer Zeit auf das System einwirken

möge,

u( t ) =sin 2TTft (1. 2-2)

so zeigt die Erfahrung, daß das Ausgangssignal eine Sinus-Funktion der gleichen

Frequenz sein muß,

y(t) =a sin(2TTft + q), (1.2-3)

die sich in der Amplitude a und der Phasenverschiebung CI' im allgemeinen vom Ein

gangssignal unterscheidet. Bei einem selektiven Filter gilt a'" 1, wenn die Frequenz

f im Durchlaßbereich liegt, und a « 1, wenn s ie im Sperrbereich liegt. Die zuge

hörige Operatorgleichung ist

S[sin 2TTftJ =a stnf zrrrt + q). ( 1.2-4)

Die vorausgesetzte Zeitinvarianz des Systems bewirkt, daß bei einer zeitlichen Ver

schiebung des Eingangssignals um eine beliebige Zeit to das Ausgangssignal um die

gleiche Zeit 'o verschoben wird :

(1.2-5)

Hieraus folgt, daß sich die Cosinus-Funktion genauso verhalten muß wie die Sinus

Funktion. Wir brauchen dazu nur 2TTftO =- TT/2 zu setzen:

Sf cos 2TTftJ =a cosf zrrrt + q) (1. 2-6)

Die vorausgesetzte Linearität des Systems entspricht der Gültigkeit des Superposi

tionsprinzips : Das System antwortet auf eine beliebige Linearkorn bination von belie-

1. 2 Bedeutung der Signaldarstellung im Frequenzbereich 9

biegen Eingangssignalen mit genau der gleichen Linearkombination der zugehörigen

Ausgangsssignale. Diese Eigenschaft benutzen wir nun dazu, um das Systemverhal

ten bei Erregung mit einer harmonischen Exponentiellen

ej2TTft =cos 2TTft + j sin 2TTft (1.2-7)

(j =v::t', Einheit der imaginären Zahlen) zu studieren, denn diese ist für die Dar

stellung von Signalen im Frequenzbereich von fundamentaler Bedeutung. Die ent

sprechende Linearkombination von (1.2-4) und (1.2-6) ergibt

S[ j2TTftJ _ j(2TTft+cp}e - a e •

Fassen wir den Amplitudenfaktor und den Phasenfaktor zu

zusammen, so gilt

(1.2-8)

(1.2-9)

(1.2-10)

dvh, eine harmonische Exponentielle beliebiger Frequenz f ist eine Eigenfunk

ti 0 n linearer zeitinvarianter Systeme, und H ist der zugehörige Eigenwert, der

zahlenmäßig natürlich von der jeweiligen Frequenz f abhängt.

Wenn das Eingangssignal eine Linearkombination von Eigenfunktionen verschiedener

Frequenzen f mit den Gewichtsfaktoren utr } ist, so giltn n

[

'\' j2TTf t]S ~ U(fn}e n

n

j2TTf tH(f }U(f}e n

n n(1.2-11)

Gehen wir nun zu einem Kontinuum von Eigenfunktionen über, wo die Frequenzen

sich über die gesamte reelle Zahlenachse erstrecken, so wird die Linearkombina

tion durch ein Integral beschrieben, und das Systemverhalten ist durch

darstellbar. Das Eingangssignal ul t ) wird hier also durch

(1. 2-12)

u( t )

co

f U(f) ej2 TTft

df

-=(1.2-13)

10

mathematisch beschrieben. Die Umkehrung dieser Beziehung führt auf

co

f u(t}e-j2nftdt.

-oo

Einleitung

(1.2-14)

Wir bezeichnen (1.2-14) als Fourier-Integral und (1.2-13) als inverses

Fourier-Integral. Diese beiden Darstellungen sind umkehrbar eindeutig, wenn so

wohl uf t ) als auch U(f} absolut integrable Funktionen sind, wie i m nächsten Kapi

tel noch näher ausgeführt wird. Wir interessieren uns hier zunächst für die Be

schreibung linearer zeitinvarianter Systeme und betrachten daher auch das Aus

gangssignal y(t} unter dem Aspekt des Fourier-Integrals. Nach (1.2 -12) gilt

co

y(t} f H(f)U(f}ej2nftdf,

-00

und die Umkehrung hiervon ist

cof y(t}e-j2nftdt.

-oo

Es gilt also

vtr) =H(f)U(f).

(1.2-15)

(1.2-16)

(1.2-17)

Wir bezeichnen H (f) als U be r t rag u n g s fun k t ion des linearen zeitinvarianten

Systems. Sie entspricht der Gesamtheit aller möglichen Eigenwerte, und ihre Kennt

nis genügt, um die Beziehung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal im Frequenz

bereich vollständig zu beschreiben.

1.3 Literatur

1. 1 Skolnik, M. I. : Introduction to Radar Systems, chapter 14 : Detection of ExtraterrestrialObjects. New York, Toronto, London: McGraw HilI 1962.

1.2 Evans, J. V. j Hagfors, T.: Radar Astronomy. New York, Toronto, London :McGraw Hill 1968.

1.3 Special Issue on Radio and Radar Astronomy. Proc. IEEE 61 (1973), Nr , 9.

1.4 Leadabrand, R. L. j Dyce, R. B. et al: Radio Frequency Scattering from theSurface of the Moon, Proc. IRE 48 (1960) 932-933 .

1.3 Lit eratur 11

1.5 Carpenter, R.L.: StudyofVenusbyC.W. Radar. Astron. J. 69 (1964) 2-11.

1.6 Pettengill, G.H. ; Dyce, R.B. : A Radar Determination of the Rotation of thePlanet Mercury. Nature 206 (1965) 1240.

1. 7 Hachenberg, 0.; Grahl, B.H.; Wielebinski, R. : The 100-Meter Radio Telescope at Effelsberg. Pr-oc , IEEE 61 (1973) 1288-1295.

1.8 Pettengill, G.H.: Measurements of Lunar Reflectivity Using the MillstoneRadar. Proc. IRE 48 (1960) 933-934.

1. 9 Hagfors, T.; Campbell, D. B.: Mapping of Planetary Surfaces by Radar. Proc.IEEE 61 (1973) 1219-1225.

1.10 Rogers, A.E.E.; Ingalls, R.P.: Venus, Mapping the Surface Reflectivity byRadar Interferometry. Science 165 (1969) 797-799.

1. 11 Unbehauen, R. : Systemtheorie. München, Wien: Oldenbourg 1971.

1. 12 Rabiner, L. R.; Gold, B. : Theory and Application of Digital Signal Processing.Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall 1975.

2 Signale und Spektren

Der Schlüssel zur Beschreibung von Signalen im Frequenzbereich ist die F 0 u r i er

T r ans f 0 r m at ion. Grundlegende physikalische und mathematische Unterschiede

in den hier inte r es s ie r e nde n Signalklassen erfordern zunächst eine individuelle Be

trachtung. So lassen sich beispielsweise Signale endlicher Energie spektral durch

das Fourier-Integral und periodische Signale durch die Fourier-Reihe beschreiben.

Durch die Einbeziehung von Signalen, die als Distributionen darstellbar sind, kann

dann der Begriff der Fourier-Transformation verallgemeinert und vereinheitlicht

werden. Das hat u, a, den Vorteil , daß die Spektren von Signalen verschiedener

Klassen mathematisch miteinander verknüpft werden können. Außerdem läßt sich

die Fourier-Transformation dann auch einheitlich symbolisieren: Wir verwenden

im folgenden zur Kennzeichnung der Fourier-Transformation sowohl das Symbol

o--e als auch den Operator F . Für die inverse Fourier-Transformation gelten die

entsprechenden Symbole --.0 und F-1. Die Aussage uf t ) 0---4 U(f) bzw. U(f) =F!u(t)! bedeutet : uf t ) und U(f) sind umkehrbar eindeutig durch die Fou

rier-Transformation miteinander verknüpft. Die Beziehungen utr) --.0 ut t ) und

u(t) = F-1 lutr) I folgen dann automatisch.

2.1 Signale endlicher Energie

Wir betrachten in diesem Abschnitt ausschließlich Signalfunktionen, die quadratisch

integrierbar sind :

=f I u ( t ) 12

dt < 'X.

-=(2 .1-1)

Mathematisch gleichbedeutend damit ist die Aussage : uf t ) E L2, d.h. ul t ) gehört

den Raum L2 der quadratisch integrierbaren Funktionen an. Physikalisch interpre

tiert, besagt (2 .1-1), daß wir hier nur Signale endlicher Energie betrachten. Nicht

notwendig verknüpft mit dieser Voraussetzung aber aus physikalischen Gründen sinn-

2.1 Signale endlicher Energie 13

voll ist eine weitere Forderung, die wir zusätzlich für Signale dieser Klassen erheben

wollen : die beschränkte Variation aller Signalfunktionen u(t), die (2.1-1)

erfüllen. Das bedeutet, daß die Kurve, die uf t ) beschreibt, in endlichen Zeitinter

vallen nur eine endliche Bogenlänge haben soll. Die in diesem Abschnitt zugelasse

nen Signale müssen also beispielsweise zu allen Zeitpunkten eine endliche Amplitude

haben und dürfen auch nur mit endlicher Frequenz oszillieren. Diese Einschränkung

ist für praktische Probleme unbedeutend, erleichtert aber wesentlich die mathema

tische Behandlung.

2.1.1 Absolut integrierbare Signale

Aus mathematischen Gründen ist es notwendig, eine weitere Klassifizierung der

betrachteten Signale vorzunehmen. Die Gültigkeit bestimmter Aussagen hinsicht

lich der Fourier-Transformation hängt davon ab, ob die Signalfunktionen absolut

integrierbar sind oder nicht. Wenn

co

f lu(t) Idt < =-=

(2.1-2 )

gilt, dann ist u( t ) E L1 , d, h, u( t ) gehört dem Raum L1 der absolut integr i e r ba r e n

Funktion an.

Das Kriterium (2.1-2) ist für die Signaltheorie etwas problematisch, weil es ein

mathematisches Kriterium und kein physikalisches ist. Die Frage nach seiner Gül

tigkeit läßt sich somit nicht unmittelbar aus physikalischen Uberlegungen heraus be

antworten, wie das etwa bei dem Energiekriterium (2.1-1) der Fall ist. Erschwe

rend kommt hinzu, daß von den beiden Räumen L1 und L2 keiner den anderen voll

ständig urnfaßt ; es gibt also quadratisch integrable Funktionen, die nicht absolut in

tegrierbar sind, und absolut integrable, die nicht quadratisch integrierbar sind.

In der Regel kann man davon ausgehen, daß die bei praktischen Anwendungen vor

kommenden Signale endlicher Energie auch absolut integrierbar sind. Bei grund

legenden systemtheoretischen Betrachtungen spielen jedoch nicht absolut integrable

Signale endlicher Energie eine nicht unwesentliche Rolle.

Wenn uf t ) E L1

ist, konvergiert das Fourier-Integral

co

u(f) S u(t)e-j2TIftdt

-=(2.1-3)

14 2. Signale und Spektren

für alle reellen Werte von f. Mit utr) existiert dann eine Signaldarstellung im Fre

quenzbereich, die wir das (komplexe) Amplitudenspektrum des Signals nen

nen. Die Umkehrung

u( t )

0::>I U(f) ej2Tlftdf

- 0::>

(2.1-4)

ist eindeutig für alle Werte von t , an denen uf t ) stetig ist. Wenn uf t ) nicht über

all stetig ist, muß man (2.1-4) durch die allgemeinere Umkehrformel

a

lim fa .... O::>

-a

j2Tlft 1 ( )U(f)e df ='2 u(t + 0) + uf t - 0) (2.1-5)

ersetzen. Das Integral hierin unterscheidet sich von dem in (2.1-4) durch die Art

des Grenzüberganges : Während man (2.1-4) entsprechend der allgemeinen Defini

tion der uneigentlichen Integrale als Grenzwert eines Integrals mit der unteren

Grenze -a und der oberen Grenze +b erklärt, wo a und b unabhängig voneinander

gegen unendlich streben, sind in (2.1-5) obere und untere Grenze miteinander ge

koppelt. Man nennt das letztere den Cauchyschen Hauptwert von dem un

eigentlichen Integral in (2.1-4). Der Cauchysche Hauptwert kann existieren, auch

wenn (2.1-4) nicht konvergiert.

Als Beispiel betrachten wir einen Schaltvorgang endlicher Dauer bzw. einen Recht

eckimpuls (Bild 2.1) :

u( t ) {~für - T ~t <T

(2.1-6)sonst.

o.t

Bild 2.1. Rechteckimpuls der Dauer2T

Die Ausführung des Fourier-Integrals (2.1-3) führt auf das Amplitudenspektrum

(Bild 2.2) :

U( r) (stn 2TlfT)/ (rrr}, (2.1-7)


u

15

3"1

Bild 2.2. Fourier-Transformierte des Rechteckimpulses von Bild 2.1

Die Umkehrformel (2 .1-5) liefert dann mit

a 11 für ItI < Tlim f U(f)e

j2TTftdf = 1/2 für [t I =T

a->= I I-a 0 für t >T

(2.1-8)

eine Zeitfunktion, die sich in den Zeitpunkten ±T von dem ursprünglich gegebenen

Signal ut t ) unterscheidet. Man muß also beachten, wenn man das Signal in den

Schaltzeitpunkten durch den Wert 1 bzw. 0 definiert, daß die inverse Fourier

Transformation des zugehörigen Spektrums in diesen punkten auf das arithmetische

Mittel 1/2 führt. Die tiefere Ursache eines solchen Verhaltens bei der inversen

Fourier-Transformation liegt darin, daß eine nichtstetige Signalfunktion uf t ) E L1

eine Fourier-Transformierte hat, die ihrerseits nicht absolut integrabel ist. Die

Fourier-Transformation führt also hier aus dem Ll_R aum hinaus. Die Folge davon

ist, daß die Umkehrformel (2.1 -5) anstelle von (2 .1-4) verwendet werden muß

(vgl , Abschnitt 2.1. 2). Für u( t ) E L1 und utr) E L1 sind dagegen (2.1-3) und

(2.1-4) umkehrbar eindeutig.

Im folgenden sind die wichtigsten Ab b i 1dun g s g e set zeder Fourier-Transfor

mation zusammengestellt. Auf Beweisführungen, die in den meisten Fällen sehr

einfach und direkt zu vollziehen sind, wird hier verzichtet, zumal sie in vielen Bü

chern über Fourier-Transformation, Systemtheorie etc. ausführlich erörtert werden

(z.B. [2.1, 2.2J) . Wir verwenden dabei die zu Anfang des Kapitels eingeführte Sym

bolik. Die Existenz der Beziehung U(f) = F !u(t) I bzw. ul t ) 0-. utr) wird im fol

genden vorausgesetzt.

16

Maßstabsänderung

uf at )~ _1_ U{f/a) , a reell und *0[a ]

U(af) ..-<> I~I u(t/a)

Zeitliche Verschiebung

Frequenzverschiebung

Differentiation im Zeitbereich

2. Signale und Spektren

(2.1-9)

(2.1-10)

(2.1-11 )

(2.1-12)

Wenn u( t ) n-rnal differenzierbar ist und u (ri) (t ) E L1 , so gilt

Für v = 0 , 1 , ••• ,n-1 gilt außerdem u( v)(t) EL1 und

lim u(v)(t) = O.

[t I ->00

Differentiation im Freguenzbereich

Wenn t \lu(t) EL1 für v=0,1, ••• , n ist, so existiert U(n)(f), und es gilt

Mehrfache Anwendung der Fourier-Transformation

Wir verwenden den Operator der Fourier-Transformation

(2.1-13)

(2.1-14)

(2.1-15)

F[u(t)]

00

f u(t)e-j2nftdt = urr)_00

(2.1-16)


und erklären seine zweifache Anwendung durch

17

CD

f U(f)e-j2TTftdf.

-CD

(2.1-17)

Durch Bilden der inversen Fourier-Transformation von u( -t) kann man leicht zeigen,

daß der Operator F 2 das Signal uf t ) lediglich zeitlich invertiert:

2F [u(t)] = u(- t).

Hieraus folgt, daß der Operator F 4 der Einheitsoperator ist:

4F [u(t)] =uf t},

(2.1-18)

(2.1-19)

Infolgedessen muß der Operator F 3 der inversen Fourier-Transformation entspre

chen :

3 -1 *F =F =F, (2.1-20)

wobei noch hinzugefügt wird, daß der Operator F-1 offensichtlich auch dem konju

giert-komplexen Operator F* entspricht. Mit dieser Schreibweise läßt sich die Ab

bildung der zeitlichen Spiegelung eines reellen Signals uf t ) 0---. U(f) auf den

Frequenzbereich sehr einfach darstellen:

* l~F[u(-t)]=F [u(t)]=U (f). (2.1-21)

Operatoren mit der Eigenschaft (2.1-19) nennt man "zyklisch vom vierten Grade".

Sie besitzen nur die vier Eigenwerte ±1 und ±j (vgl , Abschnitt 2.1.3). Die gleiche

Eigenschaft hat auch der Operator der diskreten Fourier-Transformation (vgl , Ka

pitel 3).

Faltung

Die Faltung zweier Signale u1(t ) und u

2(t)ist durch

CD

u1

(t ) * u2(t)

= f u1

(T)U2

(t - T)dT = y(t)_00

(2.1-22)

definiert. Für die Existenz der Faltung ist hinreichend, daß eines der bei den Signale

endliche Energie besitzt, während das andere nur beschränkt sein muß. Die Faltung


wird wie ein Produkt geschrieben, weil sie sich wie ein solches verhält: Sie ist

kommutativ,

(2.1-23)

1und für u1' u2' u3 E Lauch ass 0 z i a ti v :

(2.1-24)

Bei einem Faltungsprodukt von beliebig vielen absolut integrablen Signalen is t es

daher gleichgültig, in welcher Reihenfolge man sie anordnet und die sukzessiven

Faltungen ausführt. Diese Eigenschaften der Faltung gehen unmittelbar aus ihrer

Abbildung durch die Fourier-Transformation hervor: Die Faltung zweier Signale

u1 (t)~ V1(f) und u2(t)~ V

2( f ) wird auf das Produkt ihrer Fourier-Trans

formierten abgebildet:

(2.1-25)

Korrelation

Die Kreuzkorrelationsfunktionen zweier reeller Signale endlicher

Energie u1

(t ) und u2

(t) sind erklärt durch

co

Cll12(t) f u1(T)u2(t + T)dT = u1(t) *u2(- t},_CC'

=Cll21(t) f u

1(t+T)u2(T)dT=u

1( -t)*u2(t)._ CC'

(2.1-26)

(2.1-27)

Diese Korrelationsoperationen lassen sich wie dargestellt durch Faltungsoperationen

ausdrücken. Die Abbildung auf den Frequenzbereich ist infolgedessen mit (2. 1-25)

unter Berücksichtigung von (2.1-21) bei Existenz von "i~ V 1 und "a~ V2

leicht anzugeben :

<P 12 (f) = F[ CP12(t)] = F[u1(t) * u2(- t)]

2 3= F[u1(t)

*F [u2(t)]]

= F[u1(t)]F

[u2(t)]

=V 1(f)V;(f),

Entsprechend ergibt sich

(2.1-28)

(2.1-29)

2. 1 Signale endlicher Energie 19

Die Au t 0 kor r el at ion s fu n k t ion eines reellen Signals endlicher Energie ist

definiert durch

co

CPl1(t) f u1(T)u1(t+T)dT =u1(t)*u1(-t).

-co

Mit "i a---. U1 ergibt sich die Abbildung auf den Frequenzbereich zu

Multiplikation

(2.1 -30)

(2.1-31)

Das Produkt zweier Signale "i a---. U1 und "z a---. U2 wird durch die Fourier

Transformation auf die Faltung der zugehörigen Spektren U1 und U2

abgebildet:

co

u1(t)u2(t) a---. U1(f) *U2(f) = f U1(cr)U2(f-

cr)dcr.

-co

Parsevaische Gleichung

Aus (2.1-32) folgt unmittelbar die Parsevaische Gleichung in der Form

(2.1-32)

co

f u1 (t)u2(t)dt =_co

Eine einfache Umformung führt auf

co

f U1(f)U2(-f)df.-co

(2.1-33)

co co

f u1 (t)u;(t)dt = f U1 (f)U;(f)df.

-co -co

Speziell für u1 = u2 = u a---. U gilt

co co

f lu(t)!2 dt= f IU(f)12df.

-co -co

(2.1-34)

(2.1-35)

Die Signalenergie ergibt sich also auch durch Integration über das Absolutquadrat

des Amplitudenspektrums. Wir nennen diese Größe 4>11 = IU(f) 12 deshalb die

spektrale Energiedichte des Signals. Aus (2.1-31) folgt, daß die spektrale


Energiedichte und die Autokorrelationsfunktion durch die Fourier-Transformation

miteinander verknüpft sind.

Symmetrien

Wir betrachten zunächst eine re e 11 e Signalfunktion u {t} und zerlegen sie mit

in einen geraden Anteil

und einen ungeraden Anteil

uf t ) =u (t ) + U (t )g u {2.1-36}

{2.1-37}

{2.1-38}

Die zugehörige Fourier-Transformierte utr) wird in Real- und Imaginärteil auf

gespalten:

utr) = V (r) + j u.rr).r 1

{2.1-39}

Man kann leicht zeigen, daß Vr{f} die Fourier-Transformierte des geraden Signal

anteils

und j U i (f ) die des ungeraden Signalanteils

u (t )~ j V . (r)u 1

(2.1-40)

{2.1-41}

ist. Außerdem ergibt sich, daß Vr{f} eine gerade Funktion und Vi{f} eine unge

rade Funktion sein muß.

Um das entsprechende Abbildungsgesetz für den allgemeinen Fall kom p l e x e r

Signalfunktionen ul t ) anzugeben, zerlegen wir sowohl uf t ) als auch utr) in den

jeweils geraden und ungeraden Anteil {erster Index : g bzw, u ) und diese Anteile

wiederum in Real- und Imaginärteil (zweiter Index : r bzw, i}, Mit diesen ersicht

lichen Bezeichnungen ergeben sich die folgenden Teilabbildungen:

u( t )

rutr)

ug r

{t ) + U ( t ) + j u . {t ) + j u . {t }ur gl Ul

I ~V (f)+V (f)+jV.(f) +jV .(f)

gr ur gl Ul

{2.1-42}

2 .1 Signale endlicher Energie

2.1.2 Gibbssches Phänomen, nicht absolut integrierbare Signale

21

Wir betrachten zunächst das Beispiel aus Abschnitt 2. 1. 1 etwas genauer. Dazu führen

wir die Sprungfunktion

für t ~ 0(2.1-43)

für t < 0

ein. Diese ermöglicht es, den durch (2.1-6) definierten Rechteckimpuls in der Form

uf t ) =set + T) - set - T) (2.1-44)

darzustellen. Wir definieren außerdem die rechteckförmige Bewertungsfunktion

Q (r) = { 1a 0

für Ifl ~ a

sonst(2.1-45)

im Frequenzbereich, die im Zeitbereich der Funktion

=(sin 2nat)/(nt) = f Qa (f)ej2nftdf

-=(2.1-46)

entspricht. Unter Verwendung des Faltungssatzes (2.1-25) ergibt sich dann für die

inverse Fourier-Transformation von utr)

a =lim f U(f)e

j2nftdf = lim f U(f)Qa(f)e

j2nftdf

a~= a~=

~ -== lim !u(t) * «sin 2nat)/(nt» Ia~=

= lim !(s(t + T) - sf t - T» * «sin 2nat)/(nt» Ia~=

= lima~= 1

= =f sin 2na( t - T) dr - f

n( t - T)-T T

sin2na(t - T)n(t - T)

(2.1-47)

Wir haben nun den Grenzwert der Funktion

u (t) =.!{S.(2na(t+T» -S.(2na(t-T»!a nIl

für a ~ co mit der ursprünglichen Signalfunktion u( t ) zu vergleichen. Die hierin

auftretende Integralsinusfunktion

22 2 . Signale und Spektren

(2.1-48)

(z , B. [2. 3J) ist in Bild 2.3 dargestellt. Für entsprechend große Werte von a ergibt

sich dann etwa der in Bil d 2.4 dargestellte Verlauf von ua (t}, Wir stellen fest, daß

5j(z)

Bild 2.3. Integralsinusfunktion Si (z )

Uo

,... .../0(1)

11 \

I ~':"2:n:o1 0 2:n:01- 2:n:ot

Bild 2.4 . Verlauf von ua(t) für große Werte von a

eine Vergrößerung von a nur den Maßstab der Zeitachse beeinflußt. Mit wachsen

dem a rücken die Schwingungen von u (t ) immer näher an die Stellen t =- T bzw,at =T heran. Die gegenseitige Beeinflussung der beiden Integralsinusfunktionen wird

immer geringer, so daß für sehr große a das Verhalten von u (t) bei t = - T prak-atisch nur durch die erste Integralsinusfunktion in (2. 1-47) und bei t =T durch die

zweite bestimmt wird. Die Höhen der größten Uber- und Unterschwinger (Betrag

etwa 9 ~ der Rechteckhöhe) verändern sich dann bei wachsendem a kaum noch, und

wir erhalten in der Grenze a -+ = die in Bild 2.5 gezeigte Signalfunktion , bei der alle

Oszillationen in die Punkte t = - T bzw. t = T hineingewandert sind. Diese Erschei

nung, die in ähnlicher Form allgemein bei der Rücktransformation aus dem Frequenz

bereich an allen SprungsteIlen der Signalfunktion auftritt, ist als Gib b s s c h e s

P hä no me n bekannt.


Die Funktion lim ua (t) und die ursprüngliche Signalfunktion u{t), die in Bild 2.1a"' =

dargestellt ist, unterscheiden sich in den Zeitpunkten t =±T. Sie haben aber die

gleiche Fourier-Transformierte utr) E L2 , die durch (2 .1-7) gegeben ist. Die Ein

deutigkeit der Rücktransformation von urr) in den Zeitbereich ist also nicht gege

ben, solange wir an der Forderung der punktweisen Ubereinstimmung festhalten.

Fordern wir jedoch stattdessen nur eine Ubereinstimmung i m qu a d rat i sc h e n

Mit tel, d. h, betrachten wir zwei Funktionen u1 (t) und u2

(t) als gleich, wenn

ihre mittlere quadratische Differenz verschwindet,

co

I I u1 ( t ) - u2 ( t ) 12

dt =0,

-=

1,0

(2.1-49)

- 1

0,80,60,40,2

o

I ......- lim uQ (! )Va-co

Bild 2.5. Gibbssches Phänomen

so wirken sich offensichtlich Abweichungen in einzelnen Punkten nicht aus, und wir

können in diesem Sinne die Umkehrtransformation als eindeutig betrachten. Auf

dieser gelockerten Forderung basiert die Fourier-Transformation im L2-Raurn , die

von Plancherel entwickelt wurde. Für uf t ) E L2 und U(f) E L2 gilt umkehrbar ein-

deutig

a

utr) =l.i.m. I u{t)e-j2nftdt

a"' = -a

a

u( t ) =l.i.m. I u(f) ej2nftdf,

a"' = -a

(2.1-50)

(2.1-51)

wobei das Symboll.i.m. bedeutet , daß hier nur die Konvergenz im Mittel gefordert

wird, während in (2.1-3) und (2.1-4) die Konvergenz punktweise gegeben ist. Die

Fourier-Transformation im L2

-Raum verläuft konform mit der im Li-Raum. Die Er-


gebnisse beider Transformationen stimmen " fa s t überall" überein, dvh , sie unter

scheiden s ic h gegebenenfalls nur an einzelnen Punkten wie bei dem betrachteten Bei

spiel. Hinsichtlich weiterer Einzelheiten wird auf [2.4 J verwiesen.

2.1.3 Signaldauer und Bandbreite, schnell abnehmende Signale und Spektren

Aus den Differentiationssätzen (2.1-13) und (2.1-15) kann man den Einfluß der Ge

stalt von ul t ) auf die von U(f) und umgekehrt ablesen : Wenn u(n) (t) E Li ist, so

existiert die zugehörige Fourier-Transformierte, und es muß gelten

lim !(j2nf)nU(f) I = 0 ,f"'± C('

(2.1-52)

dv h, u(f) muß für f ... ±O2 stärker als Ifl-n gegen Null streben. Hieraus folgt :

Je öfter uf t ) differenzierbar ist, um so stärker strebt utr) gegen Null für f ... ± co,

Entsprechendes gilt umgekehrt, wenn U(n)(f) E Li ist: Je öfter U(f) differenzier

bar ist, desto stärker strebt u ( t) gegen Null für t ... ±O2.

Diese asymptotischen Eigenschaften von Signalfunktionen und ihren Spektren legen

die Frage nahe, wie sich Signaldauer und Bandbreite zueinander verhalten. Dazu

müssen diese beiden Größen durch relativ willkürliche Vorschriften im Zeit- und im

Frequenzbereich definiert werden, denn ein Signal und das zugehörige Spektrum kön

nen nicht gleichzeitig von endlicher Breite sein, wie aus dem asymptotischen Ver

halten hervorgeht. Für praktische Zwecke bieten sich hi er in erster Linie Sc h w e l

I e n kr i t e r i e n an. Man definiert danach z. B. die Signaldauer e als das kleinst

mögliche Zeitintervall, außerhalb dessen eine vorgegebene Schwelle der Höhe q be

tragsmäßg nicht mehr überschritten wird (Bild 2.6). Entsprechend erfolgt die Defi

nition der Bandbreite des Signals.

u

qO J.-..-q------~---7'~..:::>..,;;;;;;;>o".....",=----:-

- q 1----,1-- - - - --1-""'-''''------- - - -I---e--~

Bild 2.6. Zur Definition der Impulsdauer durch ein Schwellenkriterium

2.1 Signale endlkher Energie

Für allgemeine mathematische Aussagen bevorzugt man E ne r gi e kr i t e r i e n

zur Definition von Signaldauer 18 und Bandbreite B :

25

=182 f (t - t

O)2!u(t),2 dt,

-==

B2 = f (r - fO)21 utr) 12

df .

-=Hierbei ist die Signalenergie

= =f !u(t) 12

dt = f IU(f) 12

df = 1

-= -=

(2.1-53)

(2.1-54)

als normiert vorausgesetzt, und to und fO

sind die Schwerpunkte der Energie

dichten im Zeit- bzw, im Frequenzbereich:

=to = f t lu ( t ) 1

2dt ,

-==

fO = f flu(f) 12

df .

-=Es gilt dabei die "Unschärferelation"

eB~1/(4TT).

(2.1-55)

(2.1-56)

(2.1-57)

Den Beweis führen wir für reelle Signale u( t) und unter den vereinfachenden Annah

men to = 0 und fO = O. Wir gehen aus von der Schwarzsehen Ungleichung

b b

I f g1 (t) g2 (t ) dt 12

,,;;; f-a -a

b

I g1 (t ) 12

dt f I g2 «: 12

dt,

-a

(2.1-58)

lassen hierin die Integrationsgrenzen a und b gegen = gehen und setzen die Funk

tionen g1 (t ) =t ut t ) und g2(t) =du/dt ein :

-=

= = =f t u ( t ) ~~ dtj2 ,,;;; fit u ( t ) 12

dt f-= -=

(2.1-59)


Da Signale endlicher Energie für t ... ±co stärker als l/Vt verschwinden müssen und

die Signalenergie als normiert vorausgesetzt wurde, erhält man durch partielle In

tegration

co

f () dU 1tut <rrdt=-2'

-co

(2.1-60)

Aus dem Differentiationssatz (2.1-13) und der Parsevalsehen Gleichung (2.1-35)

folgt andererseits

co co

f I ~~ 12

dt = f !2TTfU(r) 12

df ,_ce

und Einsetzen in (2.1-59) ergibt

co co

i<4TT2 f t2Iu(t)/2dt f ~IU(f)12df,

-co

woraus (2.1-57) folgt.

(2.1-61)

(2.1-62)

Das Gleichheitszeichen in der Unschärferelation gilt für die Gaußsehe Glockenfunk

tion exp( - a2 t 2 ) , a reell. Diese gehört zu einer Klasse von Signalen, die für t ... ±co

schneller als jede Potenz mit negativem Exponenten gegen Null streben und außerdem

unendlich oft differenzierbar sind. Funktionen mit solchen Eigenschaften nennen wir

sc h ne 11 ab n e h me n d [2. 4J. Sie bilden einen Teilraum von L1 und werden durch

die Fourier-Transformation wieder auf denselben Teilraum abgebildet . Schnell ab

nehmend sind beispielsweise die Her mit es ehe n Fun k t ion e n, die uns hier be

sonders interessieren, weil sie die interessante Eigenschaft besitzen, invariant ge

gen die Fourier-Transformation zu sein. Diese Funktionen sind für n = 0,1,2, •.•

Lösungen der Differentialgleichung

(2.1-63)

und lassen sich mittels der Her mit es ehe n Poly no me Hn

(x) darstellen durch

2H (x)e-x /2

W (x) _~n===-

n Vn! 2n 'fiT (2.1-64)

2. 1 Signale endlicher Energie 27

Die Hermiteschen Polynome ihrerseits ergeben sich aus

H (x)n

2-xe (2.1-65)

und genügen der Rekursionsformel

H l(x) =2xH (x) - 2nH l(x).n+ n n- (2.1-66)

Es gilt beispielsweise HO(x) =1, H1 (x ) =2x und H2(x)

=4x2 - 2. Aus (2.1-66)

und (2.1-64) folgt eine Rekursionsformel für die Hermiteschen Funktionen:

(2.1-67)

Bild 2.7 zeigt die Funktionen *0 bis *6' Die Hermiteschen Funktionen bilden ein

vollständiges Orthogonalsystem und sind in der durch (2.1-64) definierten Form

normiert:

0:::

f lIr n (x ) *m (x ) dx = <'>nm

-=für

für

n = m

n '" rn ,(2 .6-68)

'l'lxl

Bild 2.7. Hermitesche Funktion

Wir zeigen nun, daß die Hermiteschen Funktionen Eigenfunktionen der Fou

r i er - T r ans f 0 r m at ion sind. Zuerst berechnen wir die Fourier-Transformierte

von *0 ' lassen dabei aber einen zunächst noch beliebigen reellen Skalenfaktor a zu.

Es gilt dann

_0:::

co = 22f lIro ( at ) e - j2TTft dt = (TT)-1/4 f e-a t / 2- j2 TTft dt •

-=

28

Die Integration läßt sich leicht auf

= 2f e-z dz ='fiT-OO


(2.1-69)

zurückführen, indem man den Exponenten zu einem vollständigen Quadrat ergänzt

und geeignet substituiert :

-= _00

00

=V[ e -2 (TTf/a}2 f_00

= 'f'2TT e-2 (nr/a)2

a

2e-z dz

(2.1-70)

Die Fourier-Transformierte von *0 ist also auch eine Glockenfunktion. Die Form

hängt vom Skalierungsfaktor a ab. Lassen wir a wachsen, so wird die Zeitfunktion

schmal und die Frequenzfunktion breit. Umgekehrtes gilt für abnehmendes a, Eine

völlige Symmetrie erreichen wir für a =1{2TT :

00f wo('/2ilt}e-i2TTftdt = (TT}-1/4 e-2TTj / 2 =*O( 1{2TTf).

_00

(2.1-71)

Wir zeigen nun allgemein, daß die entsprechend skalierten Hermiteschen Funktionen

* (1{2TTt) invariant gegen die Fourier-Transformation sind, und setzen zur Vereinn

fachung der Schreibweise x = 1{2TTt und y = 'V2TIf. Die Fourier-Transformierte von

W (x) = w ('/2Tit) nennen wir co (y) = co ('/2Tif). Bei entsprechender Substitution dern n n nVariablen t und f geht dann das Fourier-Integral über in

1=--'/2T1

00

f wn(x}e-iXYdx.

-OO

(2.1-72)

Den Beweis für die behauptete Invarianz bringen wir nun durch Induktion, indem wir

für die e (y) eine Rekursionsformel herleiten und das speziell für n =0 bereits ben

wiesene Ergebnis einsetzen. Wir gehen dazu von

00

Y2TT(n+ 1}!2n+1'fiT con+1(y}

= f Hn+1(x}e-x2/2-iXYdx

_00


aus, wenden (2.1-65) an und integrieren partiell, wobei der ausintegrierte Anteil

verschwindet:

co

Y2TT(n+1}!2 n+1yn cpn+1(y} =: (_l)n+1 f ex2/2-jXY(cfx)n+1e-x2dx

-co

co

=: (_1}n f (x - jy}ex2/2-jXY( cfx) n e-x2

dx

-co

co

=: f (x - jy}e-x2/2-jXYHn(X}dx

_co

co 2=: f xHn(x}e-X /2-jxy dx - jy Y2TTn!~\fiT cpn(Y)

-co

Mit (2.1-66) gelangt man leicht zu der Rekursionsformel

(2.1-73)

Da nach (2.1-71) cpo(Y} =: 'l1o(Y}

gilt, erhält man durch Anwendung dieser Rekur

sionsformel und Vergleich mit (2.1-67) für n v D

für n =: 1

cp2(Y} =: - jycp1(Y} +_1_ cpO(Y}V2

=: - Y'l11(Y}

+_1_ 'l10(Y}

=: - 'l12(y}V2

und allgemein

Es gilt also die Korrespondenz

(2.1-74)

(2.1-75)

(2.1-76)

(2.1'-77)


dv h, die Hermiteschen Funktionen sind Eigenfunktionen der Fourier-Transforma

tion. Der jeweilige zu Wn

gehörige Eigenwert ist (- j)n. Zahlenmäßig ergeben sich

daraus die vier Möglichkeiten ± 1 und ± j für die Eigenwerte (vgl , Abschnitt 2.1. 1).

2.2 Distributionen

Distributionen oder ver a 11 gern ein e r te Fun k t ion e n werden in vielen tech

nischen und naturwissenschaftlichen Bereichen sehr gern verwendet, weil sie eine

elegante mathematische Beschreibung bestimmter physikalischer Zusammenhänge

ermöglichen. Die Beliebtheit dieser Distributionen beruht allerdings zu einem nicht

geringen Anteil auf einer widersprüchlichen Doppelbedeutung : Man stellt sie sich

gern als Funktionen im gewöhnlichen Sinne vor, obwohl sie es nicht sind, und schätzt

sie wegen genau derjenigen ihrer mathematischen Eigenschaften, die gewöhnliche

Funktionen nicht besitzen. Betrachten wir beispielsweise die von Dirac eingeführte

o5-Distribution o5(t - tO):

Man sagt, sie sei überall 0 mit Ausnahme der Stelle t=to'wo sie co sei, derart, daß

=f 6(t - to)dt = 1

-=(2.2-1)

gelte. Sie habe überdies die Eigenschaft, aus einer stetigen Funktion g(t) den Wert

bei t = to herauszusieben:

co

S g(t) o5(t - tO)dt = g(tO)·

-=(2 .2-2 )

Gewöhnliche Funktionen können diese an die s-Distrtbutton gestellten Forderungen

nicht erfüllen, insofern ist auch die Integraldarstellung in diesen Beziehungen nicht

im gewöhnlichen (d. h, im Riemannschen oder Lebesgueschen) Sinn zu erklären.

Die Theorien der Distributionen (z , B. [2.4, 2. 5J) überwinden diese mathematischen

Schwierigkeiten. Einen verhältnismäßig leichten Zugang zu diesen Theorien gewinnt

man, wenn man sich die verallgemeinerten Funktionen als Grenzwerte von Funktio

nenfolgen vorstellt. Die o5-Distribution läßt sich beispielsweise durch die Funktionen

folge

(2.2 -3)

2.2 Distributionen 31

definieren (Bild 2.8). Diese Funktionenfolge ist normiert, d.h. das Integral zwi

schen den Grenzen - = und + = liefert für jede Funktion der Folge den Wert 1.

8

7

6n= 200

5

-lO -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 o 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Bild 2.8. Funktionenfolge zur Definition von 5(t)

Damit ist (2.2-1) erklärt. Zur Interpretation von (2.2-2) setzen wir vereinfachend

to =0 und zeigen, daß die absolute Abweichung

= 2e( n) ~ f e-nt g(t)dt _ g(O)

-== 2mf e-nt 19(t) - g (O) ldt

-=für n'" co verschwindet, sofern die erste Ableitung von g (t ) beschränkt ist:

= 2e(n) ,;;;;max!g·(t)ly*" fe-nt Itldt =_1_ maxlg'(t)l ... o

vrm für n'" co , (2.2-4)

32 2. Signa le und Spektren

Die Darstellung (2.2-3) gibt uns auch die Möglichkeit, der ö- Dis t r i buti o n eine Fou

rier-Transformierte zuzuweisen. Zunächst hat nach (2.1-70) jede Funktion der Folge

(2.2-3) eine wiederum glockenförmige Fourier-Transformierte:

(2.2-5)

Die beiden Folgen werden durch die Fourier-Transformation stetig aufeinander abge

bildet. Wir können also hier, wie das bei allen Funktionen aus dem Raum der schnell

abnehmenden Funktionen (vgl , Abschnitt 2.1. 3) erlaubt ist [2. 4J, die Fourier-Trans

formation mit dem limes-Zeichen vertauschen und erhalten somit für n .... co aus

(2.2-5)

ö(t) o--e 1. (2.2-6)

Die durch Vertauschung von t und f in (2.2-5) entstehenden Folgen werden durch

die Fourier-Transformation ebenfalls stetig aufeinander abgebildet: exp( _n2t2In)

o--e 'rnTTi exp( - m2). Hieraus ergibt sich für n .... = , daß wir der Konstanten 1

die Fourier-Transformierte ö(f) zuordnen können:

(2.2-7)

Wichtige verallgemeinerte Funktionen sind neben der Distribution ö( t ) auch ihre

Derivierten ö( k ) ( t ) . Diese können wir als Grenzwerte der k-rnal differenzierten

Funktionenfolge (2.2-3) definieren. Als Beispiel sind in Bild 2.9 einige Funktionen

der Folge gezeigt, die ö (1) (t) definiert. Die Able itungen der Glockenfunktion s ind

ebenfalls schnell abnehmende Funktionen, denn sie lassen sich als Linearkombina

tionen einer endlichen Anzahl von Hermiteschen Funktionen darstellen. Infolgedes

sen können wir auch bei den Funktionenfolgen, die die Derivierten von ö( t ) definie

ren, Fourier-Transformation und limes-Zeichen vertauschen. Durch Anwendung des

Differentiationssatzes (2.1-13) und anschließenden Grenzübergang n .... co ergibt

sich allgemein

(2.2-8)

Nach Vertauschen von t und f erhalten wir ebenso aus (2.1-15)

(2.2-9)

Die Abbildungen (2.2-6) bis (2.2-9) sind umkehrbar eindeutig.

2.2 Distributionen 33

Die Symmetrieeigenschaften der Glockenfunktion und ihrer Ableitungen gehen beim

Grenzübergang nicht verloren. Es gilt daher

{2.2-10}

100

BO

60

40

0,6

-40

-60 200

Bild 2.9. Funktionenfolge zur Defini

tion von 5(1 ) ( t )-BO

-100

Ebenso wie die Differentiationssätze behalten auch die Ver s chi e bu n g s sät z e

der Fourier-Transformation (2.1-11) und (2.1-12), sowie die Sätze der Maßstabs

ä n der u n g im Bereich der Distri butionen offensichtlich ih r e Gültigkeit. Hinsichtlich

der Maßstabsänderung gilt für die 5-Distribution und ihre Derivierten

5( k ) ( a t ) ~1h (j2TTf/a)k,

rh 5( k ) ( t / a )~ (j2TTaf)k.

Für k =0 folgt hieraus speziell

rh 5{t/a )~ 1

(2.2-11)

(2.2-12)

(2.2-13)

34

und wegen der Eindeutigkeit von (2.2-6)

6(t/a) = la!6(t).


(2.2-14)

Hiernach läßt sich der 6-Distribution formal eine "Dimension" zuordnen : Die Kon

stante a habe beispielsweise die Dimension von t , Wir postulieren dann, daß mit

dem Argument t/a auch 6{t/a) dimensionslos sein muß. Aus (2.2-14) folgt somit,

daß 6(t) die Dimension von 1/t hat. Das steht in Einklang mit (2.2-2) .

Hinsichtlich der Argumentverschiebungen gilt für die 6-Distribution und ihre Deri

vierten

(2.2-15)

(2 .2-16)

Das ergibt sich unmittelbar aus den entsprechenden Verschiebungen der definieren

den Funktionenfolgen. Für k =0 folgt speziell

- j 2TTft O6(t - tO)~ e , (2.2-17)

(2.2-18)

Die letztere Beziehung zeigt, daß wir der harmonischen Exponentiellen der Frequenz

fO eine "Spektrallinie" bei f =fO zuordnen können. Hieraus folgt unmittelbar

sin 2TTfOt~ ij (6(f - fO)- 6(f + fO»'

1cos 2TTfOt~ 2' ( 6(r - fO) + 6(r + fO».

(2.2-19)

(2.2-20)

Was die Faltung anbetrifft, so begnügen wir uns hier damit, diese nur für Distri

butionen und Funktionen zu erklären, denen wir umkehrbar eindeutig eine Fourier

Transformierte zuordnen können. Dazu postulieren wir die Gül tigkeit der Faltungs

sätze (2.1-25) und (2.1-32) auch für Distributionen, allerdings mit der Einschrän

kung, daß keine Multiplikation zwischen zwei Distributionen auftreten darf, denn

diese ist nicht allgemein definiert. Es gilt dann beispielsweise

(2.2-21 )

2.2 Distributionen

Wegen der Eindeutigkeit der Abbildung folgt daraus

35

(2.2-22)

Allgemeiner ergibt sich bei Berücksichtigung des Verschiebungssatzes (2.2-15)

(2.2-23)

Entsprechendes gilt für die Faltung im Frequenzbereich.

Die Faltung zwischen einer Distribution und einer Funktion wird auf die gleiche

Weise erklärt . Für uf t )~ u(f) gilt beispielsweise

(2.2-24)

Wenn ul t ) k-mal differenzierbar ist, können wir die Derivation der 6-Distribution

beliebig auf uf t ) abwälzen. Insbesondere gilt dann

und für k = 0

6{t) * ul t ) =ul t},

(2.2-25)

(2.2-26)

Die Distribution 6(t) spielt also die Rolle des Einheitselementes in der Faltung.

Aus dem Verschiebungssatz folgt weiterhin, daß die Faltung mit 6{t - tO)

nur eine

entsprechende Verschiebung von u (t) bewirkt :

(2.2-27)

Die M u I ti p l i kat io n von 6{t) mit einer bei t =0 stetigen Funktion ul t ) E Li

läßt sich mit Hilfe von (2.1-32) und (2.1-4) folgendermaßen erklären:

6(t)U(t)~ 1 * u{f)=f utr - ql)dql =-ce

=f U{f)df =uf O},

-=Die konstante Spektralfunktion uf O) hat aber nach (2.2-6) die inverse Fourier

Transformierte uf O) 6(t), also gilt wegen der Eindeutigkeit

6(t)U(t) = 6(t)u(O). (2.2-28)


Es soll nun gezeigt werden, wie man mit Hilfe der Distributionstheorie Funktionen

g( t }, die nicht überall differenzierbar sind, Derivierte zuordnen kann. Dazu be

trachten wir die durch (2.1-43) definierte Sprungfunktion s(t). Sie läßt sich durch

die Funktionenfolge

t

VIf-=

2e-nx dx -+ sf t ) für n e cc (2.2-29)

erklären (Bild 2.10). Durch Differentiation nach t erhalten wir hieraus die Funk

tionenfolge, welche nach (2.2-3) die tl-Distribution definiert. Es gilt daher

(2.2-30)

-1.2 -1,0 -0,8 - 0,6 -0,4 -0,2 o 0.2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Bild 2.10. Funktionenfolge zur Definition der Sprungfunktion

wobei jedoch auf der linken Seite kein Differentialquotient im gewöhnlichen Sinne

sondern eine Derivierte im Sinne der Distributionstheorie steht. Die höheren Deri

vierten der Sprungfunktion ergeben sich dann zu

(2.2-31)

Betrachten wir nun eine Funktion g(t), die überall differenzierbar sei mit Ausnah

me der Stelle t =to' wo sie von g( to - 0) auf g( to + 0) springt. Diese Funktion

läßt sich dann darstellen durch die Uberlagerung eines stetigen Anteils go (t) und

einer Sprungfunktion,

(2.2-32)

2.2 Distributionen

und die Derivation ergibt

37

(2.2-33)

Hat die erste Ableitung von gO(t) einen Sprung der Höhe go' (to + 0) - go' (to - 0)

bei t =to' so wenden wir das gleiche Prinzip an, um die zweite Derivierte von g( t)

zu bestimmen, usw. Allgemein ergibt sich dann für eine Funktion g(t), die für t<tound t >to Ableitungen bis zur k-ten Ordnung besitze, die k-te Derivierte zu

g(k)(t) = (g(k)(t))t*t + (g(to

+ 0) -g(to-O))ö(k-1)(t

- tO)o

+ (g(l)(t +0) _g(l)(t _0))ö(k-2)(t_t)o 0 0

(k-1) ) (k-j ) ( )) ( )• .• + (g (to + 0 - g to - 0 ö t - to ' (2.2-34)

wenn bei Annäherung an t =to von links und von rechts die Grenzwerte g( to - 0) ,

g(l)(to

- 0), ••• ,g(k-1)(to

- 0) bzw. g(to

+ 0), g(l)(to

+ 0), ••. ,g(k-1)(to

+ 0)

existieren.

In Abschnitt 2.3.1 wird noch die Fourier-Transformierte einer periodischen Folge

von ö-Distributionen angegeben. Weitergehende Aspekte der Distributionstheorie

können hier nicht erörtert werden. Zum weiteren Studium wird [2. 4J empfohlen.

Als ein Beispiel für die Anwendung der ö-Distribution in der Systemtheorie soll

hier noch der Begriff der Im pul san t wo r t erläutert werden. Im Abschnitt 1.2

wurde gezeigt, daß die harmonische Exponentielle exp{j2TTfot) eine Eigenfunktion li

nearer zeitinvarianter Systeme ist. Der hierzu gehörige Eigenwert bestimmt das

Systemverhalten bei der Frequenz fO

' Um die Gesamtheit aller Eigenwerte, dv h,

die Ubertragungsfunktion des Systems H(f) zu ermitteln, regen wir das System im

gesamten Frequenzbereich an, d.h. wir setzen in der Beziehung Y(f) = H(f)U(f)

das Spektrum des Eingangssignals U(f) == 1. Das entspricht der Anregung mit dem

Eingangssignal ö(t). Das zugehörige Ausgangssignal nennen wir die Impulsantwort

h( t) des Systems. Sie ist mit der Ubertragungsfunktion durch die Fourier-Transfor

mation

hf t ) e>----. H(f) (2.2-35)

verknüpft und ermöglicht eine vollständige Beschreibung des Systemverhaltens im

Zeitbereich durch das Superpositionsintegral

00

y(t) = hf t ) -I> uf t ) = f h( er)u(t - er)der,_00

(2.2-36)


wobei uf t ) und y(t) Eingangs- bzw. Ausgangssignal des Systema sind. Wir betrach

ten diesen Zusammenhang am Beispiel idealisierter Tiefpaßsysteme. Diese

entsprechen der Wunschvorstellung, alle Spektralanteile eines Signals außerhalb des

endlichen Frequenzbandes If I ~ fg vollständig zu unterdrücken und innerhalb dieses

Bandes überhaupt nicht oder nur in tolerierbarer Weise zu verändern. Die sich pri

mär anbietende Ubertragungsfunktion

mit der Impulsantwort

für

für

[r ] ~ fg

[r ] >fg

(2.2-37)

(2.2-38)

ist aus verschiedenen Gründen nicht realisierbar. Insbesondere ist die Impulsant

wort eine nicht-kausale Funktion, da sie bereits vor dem Zeitpunkt t =0 der Im

pulserregung existiert. Aus diesem Grund wird die Wunschvorstellung auf ein System

reduziert, das neben der Filterwirkung auch noch eine Verzögerung des Eingangs

signals um 'o bewirkt:

für

für

(2.2-39)

Die zugehörige Impulsantwort (Bild 2.11) ist

(2.2-40)

Bild 2.11. Impulsantwort des idealen Tiefpaßfilters

2.3 Signale endlicher Leistung 39

Auch dieses System, das als idealer Tiefpaß bezeichnet wird, ist nicht kausal.

Es läßt sich jedoch für genügend große Werte von 'o approximativ realisieren. Bei

systemtheoretischen Betrachtungen spielt der ideale Tiefpaß eine wichtige Rolle.

2.3 Signale endlicher Leistung

Bisher wurden Signale betrachtet, bei denen wir eine endliche Energie voraussetzen.

Zwei wichtige Klassen von Signalen erfüllen diese Voraussetzung nicht: die per i 0

dis ehe n Signale und die s t 0 c h ast i sc h e n Signale. Für ihre Beschreibung im

Frequenzbereich müssen daher andere Methoden als die bisher verwendeten heran

gezogen werden.

Grundsätzlich interessieren wir uns hier nur für Signale u( t}, deren mittlere Lei

stung endlich ist:

-&

f lu(t} 12

dt <= .--&

2.3.1 Periodische Signale

Für ein periodisches Signal u (t ) gilt

u (t) = u (t + ke),

(2.3-1)

(2.3-2)

wobei e die Periode und k eine beliebige ganze Zahl ist. Wir setzen wieder die

beschränkte Variation (vgl , Abschnitt 2.1) voraus, dv h, uf t ) soll in end

lichen Zeitintervallen nur eine endliche Bogenlänge haben. Ein solches Signal ent

hält - gegebenenfalls neben einem konstanten Gleichanteil - nur die Grundfrequenz

1/e und sogenannte höhere harmonische Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache von

1/e sind. Das zeigt die harmonische Analyse des Signals. Hierunter versteht

man die Approximation von ul t ) durch harmonische Exponentielle der Frequenzen

v/e (v ganzzahlig) im Sinne des minimalen mittleren quadratischen Fehlers:

n

utt ) - Lv=-n

j2 TIvt/e 2dt ! MOc e = In.v (2.3 -3)


Das Integral erstreckt sich über ein beliebiges Intervall von der Länge einer Periode

(to

reell). Die Parameter der Optimierung sind die Koeffizienten c\l. Sie lassen

sich aus den notwendigen Bedingungen

~~ ~ 0 für alle IJ.IJ.

(2.3-4)

bestimmen. Bei Berücksichtigung der Orthogonalität der harmonischen

Funktionen

für

für

IJ. = \I

(2.3-5)

(Integration einer periodischen Funktion mit verschwindendem Gleichanteil über

eine volle Periode bzw. ein ganzzahliges Vielfaches einer Periode ergibt Null) er

halten wir

t +e !o n

{ uf t ) - u~nn

L\I=- n

n

L\I =- n

Hieraus folgt

to+e

f * J"2TIll t / e * Iu(t)e'" dt+eclJ.=o.

to

(2.3-6)

*Partielle Differentiation von Q nach clJ. ergibt die mit (2.3-6) verträgliche Lösung

(2.3-7)


Die so bestimmten Koeffizienten c führen immer auf ein Minimum von Q, d, h, sieI.L

erfüll en auch die hinreichenden Bedingungen für (2.3-3). Bemerkenswert ist, daß

die c nicht von n abhängen, also unabhängig von der Anzahl der zur ApproximationI.L

verwendeten harmonischen Funktionen sind. J I"} größer n, desto genauer ist die Ap-

proximation. Für n » co ver s chwindet der m ittlere quadratische Fehler

co

lu ( t ) -

v=-=

und wir erhalten die F 0 u r i er s c heR ei h e ne nt w i c k 1u n g, bei der

co

ul t ) L c vej2nvt/ 8

v=- =

(2.3-8)

(2.3-9)

überall gilt, wo ul t ) stetig ist, während an Unstetigkeitsstellen von uf t ) das arith

metische Mittel der Grenzwerte von links und rechts angenommen wird :

co

\' j2 n vt/8 1 (( )~cve ='2 u t- O+ u(t+O».

v=-=

(2.3-10)

Die Fourier-Koeffizienten hängen natürlich nicht davon ab, wie der Wert von u( t )

an einer Unstetigkeitsstelle definiert ist. Zur Gewinnung einer spektralen Darstel

lung periodischer Funktionen können wir daher von (2.3-9) ausgehen, wobei erfor

derlichenfalls angenommen wird, daß der Funktionswert an Unstetigkeitsstellen

durch das arithmetische Mittel der Grenzwerte von links und rechts definiert is t .

Mit exp(j2n vt / 8)~ ö(f - v/ 8) nach (2.2-18) ergibt sich dann sofort

uf t )~ utr)co

Lv=- =

c Ö(f - v/8 ) .v (2.3-11)

Das Spektrum einer periodischen Funktion ist diskontinuierlich, ein sogenanntes

Li nie n s p e k t rum. Die Spektrallinien liegen auf äquidistanten Rasterpunkten v/8

( v = 0, ± 1, ±2, ••• ). Der Rasterabstand 1/ 8 bestimmt die Grundperiode 8 des Si

gnals. Umgekehrt entspricht einem diskreten Spektrum genau dann eine periodische

Funktion, wenn ein Raster der beschriebenen Art gefunden werden kann, in das die

gegebenen Spektrallinien hineinpassen. Hieraus folgt beispielsweise, daß eine Line

arkom bi nation oder das Produkt zweier periodischer Funktionen mit den Perioden

81

und 82 genau dann wieder auf eine periodische Funktion führt, wenn 8/82 eine

rationale Zahl ist.


Mit der Darstellung (2.3-11) haben wir Anschluß an die bisherigen Ergebnisse der

Fourier-Transformation gewonnen. Wir können damit alle Abbildungsgesetze, sofern

sie auch für die Distributionen gelten, sinngemäß übernehmen. Außerdem ist es nun

möglich, kontinuierliche und diskontinuierliche Spektren miteinander zu verknüpfen.

Ein bei praktischen Problemen häufig auftretendes Anwendungsbeispiel hierfür sind

Signalfunktionen, die durch zeitliche Begrenzung oder durch eine allgemeinere Be

wertung mit einer Gewichtsfunktion aus periodischen Funktionen entstanden s ind.

Zur Veranschaulichung betrachten wir die in Bild 2.12 dargestellte periodische Puls

folge. Da wir 'o in (2.3-7) beliebig wählen können, s ind ihre Fourier-Koeffizienten

darstellbar durch (Bild 2.13)

b/2

1 fc --J.I. - iEl-b/2

e-j2TTJ.i.t/iEldt = sin(TTJ.i.b/iEl)TTJ.I.

u

(2.3-12)

Bild 2.12. Periodische Pulsfolge

co=b/8 /I \

I \I C, Cl \

o

Bild 2.13. Fourier-Koeffizienten der Pulsfolge von Bild 2.12

Speziell für iEl = 2b ergibt sich hieraus

1

1/ 2 für J.i. = 0

c = 0 für J.I. gerade

J.I. (_1)m/( IIJ. !TT) für 1J.i. 1 = 2m + 1, m=O,1,2, ••• ,

(2.3-13)


und die Fourier-Reihendarstellung lautet für das Periodizitätsintervall Itl ,;;;; 8/2:

(_l)m 1 1

n(2m + 1) cosf zm + t Jt = 1~2

für

für

für

[t I < 8/4

It I =8/4

8/4 < It I ,;;;; 8/2.

(2.3-14)

Berücksichtigt man nur die Reihenglieder von m = 0 bis m = 6, so ergibt sich der

in Bild 2. 14 dargestellte Verlauf, dessen periodische Fortsetzung die ursprüngliche

Pulsfolge approximiert. Bei Hinzufügen weiterer Glieder der Reihenentwicklung

wandern die Uber- und Unterschwinger in die Punkte t = ±8/4, ihr maximaler Be

trag von etwa 9 % der Pulshöhe bleibt aber praktisch unverändert (Gibbssches Phä

nomen, vgl , Abschnitt 2 .1.2) .

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

-8/2 -8/5 -8/10 0 8/10 8 /5 8 /2

Bild 2.14. Approximation der Pulsfolge von Bild 2.12 durch eine endliche Anzahlvon Gliedern der Fourier-Reihe

Wir betrachten nun eine Signalfunktion

xf t ) = g(t)u(t), (2.3-15)

die durch Bewertung mit einer Gewichtsfunktion g(t) aus der periodischen Puls

folge ul t ) entstanden sein möge. Die Gewichtsfunktion habe die Fourier-Transfor

mierte G(f). Aus dem Faltungssatz folgt dann für das Spektrum der Signalfunktion

x( t )

=xf t )~ xrr) =G(f) * L c ö(f - \1/8)

\I

co

L\1=-=

c G(f - \1/8).\I

(2.3-16)


Anstelle des Linienspektrums (2.3-11) für ul t) ergibt sich nun eineUberlagerungder

mit den Fourier-Koeffizienten von uf t ) bewerteten Spektren crr - v/e) . Für den

Fall der rechteckförmigen Gewichtsfunktion

.(t) ~ 1'~2

mit der Fourier-Transformierten

für

für

für

[t ] < (rn + 1/2) e

Itl = (rn + 1/2) e

It! > ( m + l / 2 ) e

(2.3-17)

otr) = (sin TT(2m + 1)fe)/(TTf) (2.3-18)

hat das Spektrum die in Bild 2.15 dargestellte Form. Für genügend große Werte von

m wird die Bandbreite von G (r) klein gegen 1/e, und man erhält ein "fast diskon

tinuierliches" Spektrum mit "endlicher Linienbreite". Von dieser Art sind beispiels-

-----slrin tb

_-----.10 ....c1ttb--- ----

0.8

x(fl0.6

0.4

0.2

------

Bild 2.15. Spektrum einer endlichen Anzahl von äquidistanten Rechteckimpulsen

weise die Spektren von Radarsignalen, etwa beim Mittelbereichsradar, wo man eine

Folge von 10 bis 20 Echoimpulsen erhält, während der Radarstrahl über das Zielob

jekt hinwegstreicht. Bei unbewegten Zielobjekten liegen die Spektrallinien im Raster

v/ e ( v =0, ± 1, ± 2, ••• ), bei bewegten Zielobjekten (Flugzeugen) sind sie um die

Dopplerfrequenz gegenüber diesem Raster verschoben. Diesen Effekt macht man sich

bei der sogenannten Fes t z ei c h e n lös c h u n g oder m 0 v i n g t arg e tin d i c a -

t i 0 n (MT!) zunutze, indem man im Empfänger ein Kammfilter verwendet, das alle

Spektralanteile in der unmittelbaren Umgebung der Frequenzen v/e und dam it alle

Echosignale von unbewegten Objekten (clutter }, die die Flugzielerkennung erschwe

ren, weitgehend unterdrückt.


Wir betrachten nun noch eine wichtige Beziehung zwischen Fourier-Integral und Fou

rier-Reihe. In Bild 2 .13 bzw. Gleichung (2.3-12) kann man erkennen, wie die Spek

tren der periodischen Pulsfolge einerseits und des einzelnen Impulses (bei t =O) an

dererseits zusammenhängen. Die Fourier-Koeffizienten c\l der Pulsfolge sind bis auf

den Faktor 1/iEl durch die Werte der Fourier-Transformierten des einzelnen Impulses

an den Stellen \I/iEl gegeben. Das läßt sich leicht allgemein beweisen. Wir "periodisie

ren" dazu eine Signalfunktion y(t}~ Y(f}, d.h. wir erzeugen durch Uberlagerung

(Bild 2.16) die periodische Funktion

=L y(t - \JiEl} =y(t - miEl},

\J=-=

m ganzzahlig, (2.3-19)

y(t+9l y(tl y(t -Sl

Bild 2.16. Periodisierung eines Signals y(t)

deren Abbildung auf den Frequenzbereich durch

co

yÜ}~ L ckö(f - k/iEl}

k=- =

(2.3-20)

I ~

gegeben sei . Die Fourier-Koeffizienten von y(t} hängen folgendermaßen mit Y(f}

zusammen :

iEl/2 = iEl/21 f y(t}e-j2TTkt/iEldt = ~ L f y( t + \JiEl} e -j2TTkt/edtc k ="8

-iEl/2 \1=-= -iEl/2

= \liEl+iEl/2 co1 L f y(-&}e-j2TTk-&/iEld-& = ~ f y( -&} e-j2TTk-&/iEl d-&="8

\.1=-= \.I iEl- iEl/ 2 -=

(2.3-21)

46

Es gilt somit


= =y (t )~~ L Y(k/ e) etr - k/e) = Y(f) ~ L ö( f - k/ e),

k=- = k=- =

(2.3-22)

d, h, durch die Periodisierung von y( t ) wird die zugehörige Fourier-Transformierte

y(f) in der angegebenen Weise " diskr e t isi e r t" . Diesem Sachverhalt entspricht eine

wichtige Beziehung in der Distri butionstheorie : Wir können die Periodisierung von

y(t) offensichtlich durch Faltung m it einer periodischen Folge von ö-Distributionen

- einem sogenannten Im pul s kam rn-darstellen,

=y(t ) = y ( t ) * L e (t - ve ) ,

v=- =

(2.3-23)

und da y(t) nach (2.3-22) e i ne Fourier-Transformierte besitzt, die durch das Pro

dukt von y(f) und einem Impulskamm im Frequenzbereich gegeben ist, folgt aus

dem Faltungssatz, daß die beiden Impulskämme selbst durch die Fourier-Transfor

mation miteinander verknüpft sein müssen :

co =L ö( t - ve )~~ L ö( f - k/e ) . (2.3-24)

v=- = k=- =

Mit dieser Beziehung lassen sich die Operationen Periodisierung und Diskretisierung

(Abtastung ) auf sehr einfache Weise vom Zeitbereich auf den Frequenzbereich und

umgekehrt abbilden. Periodisi eren wir beispielsweise im Frequenzbereich (Periode

B) und tasten im Zeitbereich ab , so ergibt s ich der " Übe r lage r ungs sat z " [2.13 J

= =Y(f) L Y(f - kB) --.0 ~ L y( v/B ) ö(t - v/ B ) ,

k=- = v=-=

auf den wir im Abschnitt 2.4 zurückkommen werden.

(2.3-25)

Wir gehen nun auf die s p e k t ra I e Lei s tun g s d ich t e von periodischen Signalen

und ihre Verknüpfung mit der Au t 0 kor r el at ion s fu n k t i on ein. Die mittlere

Leistung ist durch (2.3-1) definiert. Bei periodischen Signalen kann man den zeit

lichen Mittelwert durch Mittelung über eine Periode bestimmen. Mit (2.3-9) und


(2.3-5) folgt dann

t +80

[uf t ) 12 1 S /u ( t ) /2 dt=@

to00 00 t

O+8 00

1 L L * S e j2TT ( \1-v)t/8dt = L Ic 12.="ij c c\1 v \1

\1=-00 v=-OO to j.L=- OO

47

(2.3-26)

Die Verteilung der Leistung über den gesamten Frequenzbereich wird durch die

spektrale Leistungsdichte Su (r) beschrieben. Es muß allgemein für Signale end

licher Leistung gelten

=SSu(f)df = lu(t) 12

•

-OO

(2.3-27)

Periodische Signale können nur eine diskontinuierliche spektrale Leistungsdichte

haben, und zwar müssen die Spektrallinien bei den Frequenzen v/8 (v ganzzahlig)

liegen, wenn 8 die Periode ist. Mit (2.3-26) und (2.3-27) gilt dann offensichtlich

s(f)u

=L

j.L=-OO

(2.3-28)

Im folgenden beschränken wir uns auf re e 11 e Signale endlicher Leistung. Für

diese ist die Autokorrelationsfunktion allgemein durch

-&

-n (T) = u(t)u(t + T) = lim ~21 Su(t)u(t + T)dtu -&"'00 c."J

--&

(2.3-29)

definiert. Bei periodischen Signalen braucht die zeitliche Mittelung nur über eine

Periode vorgenommen zu werden:

t +8o-nU(T) =~ f u(t)u(t + T)dt

to

1=@

00

Lj.L= -OO

=

V=- 00

t +8oS ej2TT ( \1+ v)t/ 8dt•

to

48

Hieraus ergibt sich mit (2.3-5)


R (-r)U

=L~=-=

J'2 TT II -r/ iEIc ce" =~ -~

=L

j.l.=-=

(2.3-30)

*wobei die für reelle Signale geltende Relation c =c verwendet wurde. Ein Ver--~ ~

gleich von (2.3-28) und (2.3-30) zeigt, daß die spektrale Leistungsdichte und die

Autokorrelationsfunktion durch die Fourier-Transformation miteinander verknüpft

sind:

(2.3-31)

2. 3.2 Stochastische Signale

Bisher haben wir deterministische Signale betrachtet, deren Verlauf u (t ) für alle

Zeiten festliegt und prinzipiell bestimmbar ist. Viele der uns interessierenden Si

gnale sind nicht von dieser Art, sondern können zumindest hinsichtlich des zukünf

tigen Verlaufes nicht genau oder überhaupt nicht bestimmt werden, sei es, daß es

sich um Nutzsignale handelt, die uns Nachrichten übermitteln, deren Inhalt wir nicht

kennen, oder um regellose Störsignale, deren Eigenschaften wir studieren wollen,

um sie besser unterdrücken zu können. Uber solche Signale, die wir zufällig, regel

los oder s t 0 c h ast i sc h nennen, können im allgemeinen nur Wahrscheinlichkeits

aussagen gemacht werden. Einige wesentliche PrInztpten der statistischen Signal

beschreibung werden im folgenden kurz erörtert. Wir beschränken uns dabei auf

den praktisch wichtigen Fall re e 11 e r Signalfunktionen x (t ) •

Wir gehen aus von der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion P(X).

Diese gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß das Signal x( t ) zu irgendeinem

Zeitpunkt t eine Schranke der Höhe X nicht überschreitet (Bild 2. 17) :

P (X) = W(x ~ X ), X reell.

x

x(t)

XI--f!\---I--'''I-- - --+---'''<,tL--t-- - - - --I-+--

o

(2.3-32)

Bild 2.17. Zur Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion


Diese Wahrscheinlichkeit kann mit wachsender Schrankenhöhe nicht abnehmen, d, h,

es muß für Xl <X2

gelten : P(X1)

~ P(X2).

Wegen 0 ~ p(X) ~ 1 folgt dann P(co)=l

und p(_ co) = 0 .

Aus P(X) ergibt sich durch Differentiation die Wahrscheinlichkeitsdichte

funktion

Umgekehrt gilt

woraus speziell

(X) - dP(X) ~OP - dX 7.

Xf p(x)dx = p(X),

-co

co

f p(x)dx = 1

-co

(2.3-33)

(2.3-34)

(2.3-35)

folgt. Ein Beispiel ist die G lei c h ver t eil u n g, wo alle Signalwerte innerhal b ei

nes bestimmten Amplitudenbereiches gleichwahrscheinlich sind und außerhalb nur

mit der Wahrscheinlichkeit 0 auftreten, etwa die Verteilung

p(x)für

für

[x ] ~a

lxi >a(2.3-36)

1

0 für X ~ - a

P ( X ) ( a + X ) / ( 2a ) für IX I ~ a ,

1 für Ia ] ~ X

die in Bild 2.18 dargestellt ist.

(2.3-37)

Die experimentelle Bestimmung [2.6J von P(X) ist im allgemeinen unproblema

tisch, wenn die Signalfunktion xt t ) durch einen stationären Vorgang erzeugt wird,

dessen statistische Eigenschaften sich nicht mit der Zeit ändern. Man summiert

dann alle Zeitintervalle, für die das Signal unterhalb der Schranke X liegt, und di

vidiert durch die gesamte Beobachtungszeit. Bei nichtstationären Vorgängen ist die

ses Verfahren nicht ohne weiteres anwendbar. Um auch hier eine Bestimmungsvor

schrift überhaupt definieren zu können, ist eine mathematische Abstraktion notwen

dig: Man stellt sich die Gesamtheit aller möglichen Signale vor, die unter den ge

gebenen Bedingungen anstelle des beobachteten Signals auch hätten auftreten können,


und hat mit einem solchen E n sem bl e von Signalfunktionen ein fikti ves statistisches

" Be obac ht u ngs m a t e r ia l " , das die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion für jeden be-

P1

2ö

-0

p

o o

- 0 o o x

Bild 2.18. Gleichverteilung

liebigen Zeitpunkt zu erklären gestattet. Durch die Gesamtheit der Ensemblefunk

tionen ist dann ein s t 0 eh ast i sc her Pro z e ß definiert, der eine mathematische

Beschreibung des zugrundeliegenden physikalischen Vorgangs darstellt. Aufgrund

dieser Modellvorstellung können wir nun zwischen einer z ei t 1ich e n Mittelung und

einer s tat ist i s ehe n Mittelung (Ensemble-Mittelung, Mittelung über den Pz-ozeß ]

unterscheiden. Die Ergebnisse der letzteren nennen wir Er war tun g s wer te •

Sie sind immer dem gesamten stochastischen Prozeß zuzuordnen, während die zeit

lichen Mittelwerte spezifisch für das einzelne stochastische Signal sind.

Die einfachsten Mittelwerte sind der lineare und der quadratische Mittel

wert. Bei zeitl icher Mittelung erhalten wir mit

-&

- I" 1 fx = im 2-&-& ....= --&

den Gleichanteil des Signals xf t ) und mit

x( t ) dt (2.3-38)

2" I " 1x = rm 2-&-& .... co

(2.3-39)


seine mittlere Leistung, die nach Voraussetzung (2.3-1) endlich sein soll . Die ent

sprechenden Ergebnisse der statistischen Mittelung sind die Erwartungswerte

co

E[x] f xpf x Idx = m

-=und

co

E[x2J f 2x p(x)dx.

-=

(2.3-40)

(2.3-41)

Ein wichtiger Mittelwert ist noch die mittlere quadratische Abweichung vom linearen

Mittelwert m

(2.3-42)

die wir Streuung oder Va r i a n z nennen. Durch den linearen Mittelwert m und die

Varianz er; ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der No r mal

ve rt eil u ng oder Gaußverteilung

eindeutig festgelegt.

p(x) 1=---er '{2TTx

(2.3-43)

Zeitliche und statistische Mittelung können allgemein über jede eindeutige Funktion

g (x ) der Variablen x vorgenommen werden:

-9

grxr = lim i-& f g !x(t) ldt-& ...= --&

co

E[g(x)] = f g(x)p(x)dx

-cc

(2.3-44)

(2 .3-45)

Bei nichtstationären Vorgängen muß die zeitliche Mittelung nicht notwendig konver

gieren. Die Existenz dieser Mittelwerte ist nur bei stationären Vorgängen gewähr

leistet . Das besagt das Erg 0 den t h e 0 rem [2.7, 2. 8J. Eine weitere Aussage die

ses Theorems ist, daß bei denjenigen stationären stochastischen Vorgängen, die die

Eigenschaft der Erg 0 d i z i t ä t besitzen, zeitliche Mittelung und statistische Mit

telung zum gleichen Ergebnis führen. Für ergodische Prozesse gilt also

grxy =E[g(x)J. (2 .3-46)


Es ist hier nicht möglich, auf den Ergodizitätsbegriff detaillierter einzugehen (siehe

z.B. [2.8J). Die Frage, ob Ergodizität vorliegt oder nicht, ist auch bei vielen prak

tischen Problemen schwer zu beantworten, zumal eine echte Ensemble-Mittelung

praktisch selten durchführbar ist. Man setzt dann bei stationären Vorgängen in der

Regel die Ergodizität voraus, wenn nicht zwingende physikalische Gründe dagegen

sprechen. Nur unter dieser Voraussetzung ist es möglich, aus der Beobachtung ei

nes einzigen stochastischen Signals auf die statistischen Eigenschaften des zugrunde

liegenden Prozesses zu schließen.

Ein Thema, mit dem wir uns hier ausführlicher zu beschäftigen haben, ist die S p e k

tralanalyse stochastischer Signale. Wir müssen davon ausgehen, daß für

ein stochastisches Signal keine eindeutig umkehrbare Darstellung im Frequenzbereich

existiert, da es im allgemeinen keine Fourier-Transformierte besitzt. Es ist aber

sicher sinnvoll zu fragen, wie die voraussetzungsgemäß endliche Signalleistung über

den Frequenzbereich verteilt ist. Dazu erinnern wir uns an den Zusammenhang

{2.3-31} zwischen spektraler Leistungsdichte und Autokorrelationsfunktion bei den

periodischen Signalen und d e f in i er e n hier zunächst formal die s p e k t ra I e Lei

s tun g s die h t e eines stochastischen Signals x{ t ) als Fourier-Transformierte

=Sx (f) I n

x(T) e -j2rrfTd-r

-=der durch (2.3-29) erklärten Autokorrelationsfunktion

n (T) =x(t)x(t + T) •x

(2.3-47)

(2.3-48)

Weiter unten werden wir sehen, daß diese als Wiener-Khinchin-Beziehung bekannte

Definition physikalisch sinnvoll ist. In jedem Fall muß die Integration über die ge

samte spektrale Leistungsdichte auf die mittlere Leistung des Signals

(2.3-49)

führen. Das ist hier schon erkennbar, wenn wir in der Umkehrung von (2.3-47)

=tiX{T) I ~x{f)ej2rrfTdf

-=die Verschiebung T gleich Null setzen:

cc

nx{O) =x2 = I ~x{f)df.

-=

(2.3-50)

{2.3-51}


Oben wurde die Autokorrelationsfunktion als zeitlicher Mittelwert erklärt. Bei sto

chastischen Vorgängen haben wir andererseits die Möglichkeit, über den Prozeß zu

mitteln. Wir können die Autokorrelationsfunktion daher auch als Erwartungswert

E[x1x2]

definieren, wobei die Variablen x1 = x(t1) und x2 = x(t2) alle möglichen

Signalwerte des Ensembles zu den Zeitpunkten t 1 und t2 = t1 + ,. repräsentieren.

Dieser Erwartungswert ist durch

er co

E[x1x2] f J x1x2P(x1,x2)dx1dx2

-= -er

(2.3-52)

gegeben, worin P(x1,x2) die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunk-

ti 0 n der beiden Variablen x1 und x2 sein soll. Sie ist erklärt als gemischte zweite

partielle Ableitung

(2.3-53)

der Verbundwahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion P(X1, X2), die ihrerseits durch

die Verbundwahrscheinlichkeit definiert ist, daß die Signalwerte x1 und x2

die je

weils beliebig vorgebbaren Schranken X1

bzw. X2

nicht überschreiten:

(2 .3-54)

Wenn die Signalwerte x1 und x2

voneinander statistisch unabhängig sind,

was für genügend großen Abstand ,. der Fall sein wird, so gilt

(2.3-55)

wobei P1 und P2 die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der

Variablen x1 und x2 sind. Bei stationären Vorgängen muß P1 =P2 sein.

Da die statistische Mittelung über alle Signalfunktionen des Ensembles erfolgt, nen

nen wir zur Unterscheidung von der Definition (2.3-48) den Erwartungswert

(2.3-56)

die Autokorrelationsfunktion des stochastischen Prozesses. Sie

hängt im allgemeinen von der Lage der Zeitpunkte t1

und t2

ab, durch die die Signal

werte x1 und x2

definiert sind. Wenn der betrachtete Prozeß stationär ist, so spielt

die Wahl des Zeitnullpunktes keine Rolle mehr, und die Autokorrelationsfunktion des


Prozesses hängt nur noch vom Abstand T =t2 - t 1 ab. Es gibt aber auch nichtstatio

näre V orgänge , bei denen Rx auch nur eine Funktion von T ist :

(2.3-57)

Prozesse mit dieser Eigenschaft nennen wir allgemein s tat ion ä r im w e i t er e n

Si n n e. Sie schließen offensichtlich auch alle stationären Prozesse mit ein. Für alle

stochastischen Prozesse, die mindestens im weiteren Sinne stationär sind, läßt sich

die s p e k t ra I e Lei s tun g s di c h te als Fourier-Transformierte der Autokorrela

tionsfunktion definieren :

(2.3-58)

Für erg 0 dis c h e Pro z e s s e gilt wegen der Äquivalenz von zeitlicher und sta

tistischer Mittelung R (T) =-n {T} und S (f) =S" (r).x x x x

Wir geben nun noch einige wichtige Eigenschaften der Autokorrelationsfunktionen an.

Es gilt offensichtlich die Symmetrie

(2.3-59)

die für Prozesse, die mindestens im weiteren Sinne stationär sind, in

(2 .3-60)

übergeht. Durch einfache Substitution der Integrationsvariablen in (2. 3-29) erhält

man die entsprechende Beziehung auch für die Autokorrelationsfunktion des einzel

nen Signals x ( t ) :

(2.3-61)

Die Autokorrelationsfunktionen sind reell und symmetrisch. Nach (2.1-42) müssen

also die spektralen Leistungsdichten ebenfalls reell und symmetrisch sein :

S" (e) =S" (- f), S (r) =S {- f}, reell.x x x x (2.3-62)

Die Be s c h r ä n k t h e i t der Autokorrelationsfunktionen ergibt sich durch Anwen

dung der Schwarzsehen Ungleichung

(2.3-63)


Für Prozesse, die mindestens im weiteren Sinne stationär sind, folgt hieraus

55

(2.3-64)

Ebenfalls durch Anwendung der Schwarzsehen Ungleichung läßt sich die Gültigkeit

von

(2.3-65 )

zeigen.

Das Verhalten der Autokorrelationsfunktionen für große Werte von T wird dadurch

bestimmt, daß die Signalwerte x t =x(tt) und x2 =x(t2) statistisch voneinander un

abhängig werden :

(2.3 -66)

Es gilt dann

(2.3-67)

woraus bei stationären Prozessen

(2.3-68)

folgt. Für Rx

( T) läßt sich ein entsprechendes asymptotisches Verhalten generell

nicht herleiten. Man kann daher nur für ergodisehe Prozesse folgern, daß

gilt.

lim RX(T) = liTt) 12T'" ±=

(2.3-69)

Wir betrachten zur Veranschaulichung der Ergebnisse einfache Beispiele stochasti

scher Prozesse, bei denen wir die Autokorrelationsfunktion und die spektrale Lei

stungsdichte geschlossen berechnen können :

a) Binäre stochastische Pulsfolge

Das in Bild 2 .19 dargestellte Signal xf t ) soll in jedem Zeitintervall to + \18 <t < 'o + (\I + t )8, \I ganzzahlig, den Wert + Xo oder - Xo mit gleicher Wahrschein

lichkeit annehmen können,

(2.3-70)


x,--@-

- I--- Xo ,.....---

"'10-2@ 10 lo+@ 1'-1 0+ 3@ 1

- -I'-xo

Bild 2. 19. Binäre stochastische Pulsfolge

und die Signale in verschiedenen Zeitintervallen seien voneinander statistisch unab

hängig. Die Verschiebung 'o des Zeitrasters gegen den Ursprung ist eine statisti

sche Variable, die über das Intervall 0 ~ to ~ e gleichverteilt ist :

(2.3-71)

Der betrachtete Prozeß ist offensichtlich stationär. Die folgenden Mittelwerte las

sen sich unmittelbar angeben:

m = E[x] = x= 0,

2 2" 2E [x ] =x =X o '

2 2 2 2" -2 20x = E[x ] - m = x - x = xO•

(2.3-72)

(2.3-73)

(2.3-74)

Die Autokorrelationsfunktion RX(T) =E[x1x2] des Prozesses läßt sich folgender

maßen bestimmen. Für 1,.1 > @) können xl und x2 nicht im gleichen Intervall liegen

und müssen daher voneinander statistisch unabhängig sein:

(2.3-75)

Für IT I ~ e hängt es von to

ab, ob xl und x2 im gleichen Intervall liegen oder

nicht. Im ersteren Fall gilt E[x1x2] =x~, im letzteren E[x1x2] =O. Da RX(T)

eine gerade Funktion ist, können wir uns auf die Betrachtung des Falles 0 ~ T ~ @)

beschränken. Wegen der Stationarität können wir außerdem t 1 =0 und t2 = T set

zen. Für,. < 'o ~ @) liegen die Werte xl und x2 dann im gleichen Intervall (Bild2.20).

Der Wert E[x1x2] =x~ wird mit der Wahrscheinlichkeit WO' daß diese Bedingung

für 'o erfüllt ist, angenommen. Es gilt also Rx (0 ~ T ~ e) =Wox~ mit


S r S

= J PO(tO}dto - J PO(tO}dtO =~JdtO =1 - 1'jS

_= -= l'

57

(2.3-76)

Bild 2.20. Zur Berechnung der Autokorrelationsfunktion

Xo -------..,I II II II I

I eI 10II____.J

-xo

Die Autokorrelationsfunktion des Prozesses ist damit durch

für

für

(2.3-77)

gegeben (Bild 2.21) .

Bild 2.21. Autokorrelationsfunktion der binären stochastischen Pulsfolge

Durch zeitliche Mittelung über eine einzelne Pulsfolge gelangen wir zum gleichen

Ergebnis: Verschieben wir die Pulsfolge von Bild 2.19 um l' >0, so ist das Pro-

dukt x(t}x(t + 1') als Folge von Pulsen der Breiten S -( r Irnod Sund (1') mod ® dar

stellbar. Für l' > ® haben beide Pulsarten jede für sich mit gleicher. Wahrscheinlich

keit die Pulshöhen + x~ und - x~. Die zeitliche Mittelung führt also auf Rx (1' > S) =O.

Für T';; ® haben die Pulse der Breite S - T immer den Wert + x~, während die Pulse

der Breite r die Werte + x~ und - x~ mit gleicher Wahrscheinl ichkeit besitzen. Im

zeitlichen Mittel wirken sich daher nur die ersteren aus, und wir erhalten


R (0 ~ T ,.;e) :: 1 - T/e, woraus R (T) :: R (T) folgt. Der Prozeß ist offensichtlichx . x xergodisch. Durch Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion erhalten wir

die spektrale Leistungsdichte

S 'f ) :: S (f) :: ex2 {SinTTfe}2 •x t x 0 TTfe (2.3-78)

Wir können die betrachtete Pulsfolge um einen beliebigen Gleichanteil E[x] :: X::m :f 0 anheben, beispielsweise, um eine binäre Pulsfolge mit den Werten 2xO und 0

zu erzeugen. Die Autokorrelationsfunktion wird dann um die Konstante m 2 angeho

ben, und die spektrale Leistungsdichte erhält zusätzlich eine Spektrallinie bei f :: 0

mit dem Gewicht m2.

b) Pulsfolge mit beliebigen Pulshöhen

Die in Bild 2 .22 dargestellte stochastische Pulsfolge unterscheidet sich von der oben

betrachteten binären Folge dadurch, daß nun Pulse verschiedener Höhe zugelassen

sind. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pl x ) kann dabei kontinuierlich oder

diskontinuierlich sein.

x(I)

o

Bild 2.22. Stochastische Pulsfolge mit Pulsen verschiedener Höhe

Wir haben nun im wesentlichen wieder die gleichen Betrachtungen anzustellen wie im

Fall der binären Pulsfolge. Wenn der Gleichanteil E[x] :: 0 ist, verschwindet für

ITI ~ e die Autokorrelationsfunktion wegen der statistischen Unabhängigkeit der Im

pulse in verschiedenen Intervallen. Für 0 ,.; T ,.; e ergibt sich bei der Mittelung

E[x1x2J hier der quadratische Mittelwert E[x2J :: cr~ mit der Wahrscheinlichkeit

WO. Insgesamt folgt also

R (T)x 10

(1 - ITl/iEl)cr~ für

für

(2.3-79)


und

c ) Weiß es Rauschen

S (f) = Gl 0 2 / sin TIf@) I2x x TIfGl • (2.3-80)

Als "weißes Rauschen" bezeichnet man einen stochastischen Prozeß, dessen spek

trale Leistungsdichte für alle Frequenzen einen konstanten Wert hat :

(2.3-81)

Für die Signalfunktionen eines solchen Prozesses trifft die oben gemachte Voraus

setzung der endlichen mittleren Leistung nicht zu. Der Prozeß ist in dieser Form

auch nicht realisierbar. Technisch realisieren lassen sich hingegen immer B r e i t

ban d si g na I e, deren spektrale Leistungsdichte über einen hinreichend großen

Frequenzbereich konstant ist. Die mathematische Abstraktion solcher Prozesse

führt dann auf das weiße Rauschen, das bei den stochastischen Signalen eine ähnlich

wichtige Rolle spielt, wie die Impulsfunktion ö(t) bei den deterministischen. In der

Tat führt die inverse Fourier-Transformation von (2.3-81) auf die Autokorrelations

funktion

(2.3-82)

Eine sehr interessante Anwendung solcher Breitbandsignale ist die statistische Sy

stemanalyse, auf die wir jedoch erst nach Einführung der Kreuzkorrelationsfunktio

nen und Kreuzleistungsspektren eingehen können.

Wir betrachten zwei stochastische Prozesse mit den reellen Signalfunktionen x( t )

bzw, y(t), die wir durch Kreuzkorrelation miteinander verknüpfen wollen. Durch

zeitliche Mittelung erhalten wir die Kr eu z kor r el at ion s fu n k ti 0 ne n zweier

reeller Signale xf t ) und y(t):

R (T)=X(t)y(t+T),xy

~ (T) = y(t)x(t + T)yx

Es gilt, wie man leicht zeigen kann,

(2.3-83)

(2.3-84)

(2.3-85)

Die entsprechenden Kreuzkorrelationsfunktionen der Pro z es s e ergeben sich durch

statistische Mittelung. Dabei seien t 1 und t2 = t 1 + T die beiden betrachteten Zeit-

60 2 . Signale und Spektren

punkte und xl =x(t l), x2 =x(t2), Yl =y(t l) und Y2 =y(t2) die zugehörigen Signal

werte. Es gilt dann

und

CD CD

Rxy(t l,t2) = E[xl Y2] f f xlY2P(xl'Y2)dxldY2_ CD _ CD

CD CD

Ryx (t l , t2 ) =E[ylx2] = f f Ylx2P(x2'Yl)dx2dYl'_ CD _ CD

(2.3-86)

2.3-87)

wobei die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten analog zu (2.3-53) definiert sind.

Durch Anwendung der Schwarzsehen Ungleichung kann man leicht zeigen, daß auch

die Kreuzkorrelationsfunktionen beschränkt sind:

Entsprechende Beziehungen gelten für die Kreuzkorrelationsfunktionen Rxy

( T) und

R ( T), wobei die jeweiligen zeitlichen Mittelwerte einzusetzen sind.xY

Bei Prozessen, die mindestens im weiteren Sinne verbundweise stati

o n ä r sind, hängen die Kreuzkorrelationsfunktionen nur noch von T =t2

- t1

ab.

Dabei gilt R ( T) =R (- T) . Für T -> ± cx: folgt aus der statistischen Unabhängig-xy yxkeit der beteiligten Signalwerte das asymptotische Verhalten

(2.3-88)

(2.3-89)

Eine entsprechende Beziehung für die durch zeitliche Mittelung gewonnenen Kreuz

korrelationsfunktionen existiert nur bei verbundweise ergodisehen Prozessen, wo

alle zeitlichen Mittelwerte gleich den entsprechenden statistischen Mittelwerten sind:

lim R ( T) = lim l'i ( T) = Xy.T->± CD yx T-+±CD yx

(2.3-90)

Die verschiedenen Kr e u z lei s t u ng s s p e k t ren sind als Fouriertransformierte

der entsprechenden Kreuzkorrelationsfunktionen definiert, wobei im Falle der durch

Ensemble-Mittelung gewonnenen Kreuzkorrelationsfunktionen vorausgesetzt werden

muß, daß die Prozesse mindestens im weiteren Sinne verbundweise stationär sein


müssen:

R (,.)~ S (r), R (,.)~ S (f),xy xy yx yx

61

(2.3-91)

Da die Kreuzkorrelationsfunktionen in sich selbst nicht symmetrisch sein müssen,

sind die zugehörigen Kreuzleistungsspektren im allgemeinen komplexe Funktionen

der Frequenz, jedoch mit geraden Realteilen und ungeraden Imaginärteilen wegen

der vorausgesetzten Reellität der Signale und damit auch ihrer Kreuzkorrelations

funktionen. Die Kreuzleistungsspektren enthalten also Phaseninformationen, die zu

interessanten systemtheoretischen Beziehungen führen, von denen im

folgenden die wichtigsten erörtert werden sollen.

Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System, das durch seine Impulsantwort

h l t ) bzw. seine Ubertragungsfunktion H(f) beschrieben sei (Bild 2.23). Für ein

beschränktes stochastisches Eingangssignal xl t ) gilt die Eingangs-Ausgangs-Rela

tion nach (2.2-36)

x(t)

yf t ) =hf t ) l ' xf t )=f h(cr)x(t - cr)dcr,

-=y y(tl =x(lh h(I)

(2.3-92)

h (t )

H(t)f---_-O

Bild 2.23. Lineares zeitinvariantes System mit stochastischen Eingangs- und Ausgangssignalen

sofern die Impulsantwort endliche Energie besitzt, was wir voraussetzen. Wir bil

den nun die Kreuzkorrelation zwischen Eingangs- und Ausgangssignal, setzen das

Faltungsintegral ein und vertauschen die Reihenfolge der Operationen :

-&

R (,.) =x(t)y{t + ,.) = lim 21-& f x(t)y(t + ,.)dt

xy -& -'0::--&

1-& Jx(t)x(t + ,. - o)dt )dO.

--&

-&

= lim 1-& f xl t )-&-.= --&

= =f h(O)/lim-& ...=-=

co

f h(o)x(t + ,. - cr)dodt

-=


Der in geschweiften Klammern stehende Ausdruck entspricht der um 0 verschobenen

Autokorrelationsfunktion des Eingangssignals. Hieraus folgt, daß sich die Kreuzkorre

lationsfunktion von Eingangs- und Ausgangssignal aus der Faltung der Autokorrelati

onsfunktion des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems ergibt :

00

n (,.) f h(o)n (,. - o)do =: h(") lf-n (,.).~ x x

_00

(2.3-93)

Diese Beziehung ermöglicht ein wichtiges Verfahren zur S y s te man a 1y s e , Man

gibt auf den Eingang des zu analysierenden Systems ein genügend breitbandiges Ge

räusch xl t}, das innerhalb der Systembandbreite näherungsweise als weißes Rau

schen aufgefaßt werden kann. Seine Autokorrelationsfunktion strebt dann nach (2.3-82)

gegen 1\(,.) =: So 6( "), und die Impulsantwort des Systems

(2.3-94)

läßt sich somit durch Kreuzkorrelation von Eingangs- und Ausgangssignal ermitteln.

Wendet man auf (2.3-93) die Fourier-Transformation an, so ergibt sich die ent

sprechende Verknüpfung im Spektralbereich :

s (f) =:H(f)~ (f).xy x (2.3-95)

Es soll nun noch gezeigt werden, wie die spektralen Leistungsdichten S (r) und S (r)x y

miteinander verknüpft sind. Dazu gehen wir aus von der Autokorrelationsfunktion des

Ausgangssignals und setzen das Faltungsintegral (2.3-92) ein :

1=: lim R

-& .... 00

ef y(t)y(t + ,.)dt

--& .

-& 00

f y (t ) f h ( e) x (t + ,. - 0) dedt_-& _ 00

7h(O)!lim b j y(t)x(t + ,. - O)dtjdo_ 00 -& ....00 _-&

00

=: f h(o)R (,. - o)do =: h(") lf-R (,.).yx yx_ 00

(2.3-96)

2.3 Signale endlicher Lei stung

Durch Fourier-Transformation erhalten wir hieraus

8 (r) =H(f)8 (f).y yx

Wegen (2.3-85) und (2.3-95) gilt aber

8 (r) =8* (f) = H*(f)8 (f),yx xy x

6 3

(2.3-97)

(2.3-98)

(2.3-99)

und Einsetzen in (2.3-97) ergibt schließlich den gesuchten Zusammenhang für die

Verknüpfung der spektralen Leistungsdichten von Eingangs- und Ausgangssignal :

5 (f) = IH(f) 12 5 (f).

y x

Wegen dieser Beziehung nennt man IH (f) 12 die Leistungsübertragungs

funktion des Systems.

Aus (2.3-99) folgt nachträglich eine physikalische Rechtfertigung für die Definition

(2.3 -47) der spektralen Leistungsdichte eines stochastischen Signals : Wir betrach

ten dazu eine geeignete Meßapparatur (Bild 2.24), die aus einem Bandpaßfilter und

x(t )O------i Bandpassfiltery(I)

Wattmeter 1-----0 ?Tti

Bild 2.24. Zur Messung der spektralen Leistungsdichte

einem nachgeschalteten Wattmeter besteht. Das Bandpaßfilter habe die (idealisierte)

Leistungsübertragungsfunktion

2 j1 für fO - M/2 ~ Ifl ,;;;; fO + M/2

/HBP(f) I =o sonst

(2.3-100)

(2. 3-101)

mit sehr schmalem Durchlaßbereich (M« fO)

in der Umgebung der Frequenz fO'

für die wir den Wert der spektralen Leistungsdichte ermitteln wollen. Das Wattme

ter bestimmt die mittlere Leistung des an seinem Eingang anliegenden Signals y{t).

Für diese gilt mit (2.3-99) und (2.3-51)

co co fO+M/ 2

f 8y(f)df = f IHBP { f ) /2 5x (f) df = 2 f 5x{f)df/_CC _co f

O- M/ 2


woraus sich für lIf ... 0 die gesuchte spektrale Leistungsdichte bei der Frequenz fO

ergibt:

(2.3-102)

Der hierin auftretende Faktor 2 ist darauf zurückzuführen, daß die spektrale Lei

stungsdichte, so wie sie hier definiert wurde, eine symmetrische Funktion der Fre

quenz ist. Läßt man keine negativen Frequenzen zu, so ergibt sich eine andere De

finition, die sich von Sx(f) nur um den Faktor 2 unterscheidet.

In Kapitel 7 wird die Bestimmung von Leistungsspektren stochastischer Signale aus

führlich behandelt.

2.4 Diskontinuierliche Signale

2.4.1 Definition und systemtheoretische Bedeutung

Die Verarbeitung von Signalen wird seit der Entwicklung der digitalen Filtertechnik

und der Verfügbarkeit leistungsfähiger Digitalrechner in Verbindung mit besonders

effektiven Algorithmen wie der schnellen Fourier-Transformation in ständig zuneh

mendem Maße auf digitale Weise ausgeführt [2.9-2. 11J. Das Schema einer solchen

Signalverarbeitung ergibt sich aus Bild 2.25 : Dem zu verarbeitenden Signal uf t )

werden durch Abtastung äquidistante Werte u( vr ) entnommen, die über einen Ana

log/Digital-Wandler in eine für das digitale System geeignete Form gebracht werden.

Dieses System liefert dann digitale Ausgangswerte, die durch einen Digital/Analog

Wandler in die analoge Signalform zurückgewandelt werden. Die eigentliche Verar

beitung erfolgt nach einern festgelegten Algorithmus, mit dem aus der Wertefolge

lu( vr ) I die Folge Iy( vr) I errechnet wird.

u(t) o--------t~---

Abtastung~AID Digitales System

Wandlung Verarbeitung

~ DIA ~y(t)Rückwandlung

Bild 2.25. Schema einer digitalen Signalverarbeitung nach [2. 9J

Die Wirkungsweise des digitalen Systems läßt sich prinzipiell ohne die Verwendung

der Begriffe Zeit und Frequenz beschreiben. Denkt man beispielsweise an den Ein

satz eines Digitalrechners, der in Feldern angeordnete Zahlen verarbeitet, so fehlt

auch zunächst eine Motivation für die Einführung dieser Begriffe. Vorn systemtheo

retischen Standpunkt aus jedoch ist es wünschenswert, ein geschlossenes mathema-

2.4 Diskontinuierliche Signale 65

tisches Modell der digitalen Verarbeitung analoger Signale zu haben, bei dem der

Signalfluß die Grenzen zwischen analogen und digitalen Teilsystemen passieren kann,

wobei sich nur die Signalform ändert . Zu diesem Zweck definiert man diskonti

nu i er I ich e Si g na 1e, die aus kontinuierlichen Signalen durch eine idealisierte

Abtastung, d, h, Multiplikation mit einem Impulskamm hervorgehen :

<X)

u*(t) : =u(t)T L\1= - <X)

<X)

s (t - vr) = T L u ( \lT) ö(t - vr).

\1= - <X)

(2.4-1)

Das diskontinuierliche Signal u*(t) ist so durch die Abtastwerte u( \lT) des konti

nuierlichen Signals u( t) vollständig bestimmt. Wir gehen zunächst von der Hypo

these aus, daß umgekehrt auch das Signal uf t ) durch die Abtastwerte u( \lT) ein

deutig festgelegt wird. Diese Annahme gilt sicher dann, wenn u( t ) eine Interpola

tionsfunktion darstellt, welche die Werte u( vr) nach einem bekannten Gesetz inter

poliert. Zwei Fälle sind in diesem Zusammenhang von besonderem Interesse : Die

Spline-Interpolation, auf die wir im Kapitel 6 näher eingehen werden, und die Shan

non-Interpolation, mit der wir uns hier befassen wollen.

Die S h a n non - I nt e r pol at ion ist in technischer Hinsicht außerordentlich wich

tig, weil sie einer Bandbegrenzung entspricht, die man bei vielen zu verarbeiten

den Signalen zumindest näherungsweise als gegeben voraussetzen bzw, leicht her

stellen und kontrollieren kann. Zu ihrer Darstellung betrachten wir ein bandbegrenz

tes Signal uf t ) mit einem Amplitudenspektrum utr), das außerhalb des Bandes

lr] ~f identisch verschwindet (Bild 2.26). Tastet man uf t ) mit der Frequenzg

(2.4-2)

Bild 2.26. Periodisierung eines begrenzten Spektrums

ab, so ist damit nach (2.3-25) eine Periodisierung im Frequenzbereich verbunden,

die in diesem Fall aber einer periodischen Fortsetzung von U(f) außerhalb des


Bandes 'f I ~ fg mit der Periode fA entspricht (Bild 2.26) :

co

UW= L U(f-kfA)..-ou*(t).

k=-co

(2.4-3)

Offensichtlich läßt sich U(f) aus U(f) mit Hilfe der Ubertragungsfunktion HO(f)

des idealisierten Tiefpaßsystems nach (2.2-37) ausblenden :

(2.4-4)

Das Signal uf t ) ergibt sich dann aus u*(t) durch Faltung mit der zugehörigen Im

pulsantwort hO(t) nach (2.2-38), und man erhält die Shannonsche Int erpola

tionsformel :co

uf t ) = hO(t) * u~(t) = " u(\lT) sin TI(t - \lT)/T~ ~ TI( t - \lT)/T

\1=-co

(2.4-5)

Wandlung und Rückwandlung können im mathematischen Modell der digitalen Signal

verarbeitung demnach durch einen idealisierten Abtaster, der das analoge Signal mit

einem Impulskamm multipliziert, und durch einen idealisierten Tiefpaß erfolgen

(Bild 2 .27) . Zwischen diesen beiden Wandlern liegt das Signal in diskontinuierlicher

Form vor, und hier ist zur Vervollständigung des Modells das digitale System einzu

fügen (Bild 2.28). Wir vernachlässigen dabei die nichtlinearen Effekte, die sich in

u(t) idealer ull-I I} = idealer Tielposs

Ablosterahne

=11: u(v1)olt-vl) Verzögerung"

11: ött-vl )v

uIt)

Bild 2.27. Wandlung und Rückwandlung eines bandbegrenzten Signals u( t )

ull} idealer ull-(t) { U (k)} Yll-It) idealer lielposs Y10--

Ablosler ahneU(fl Ü(fl -+ {y(kl} Y(fl Verzögerung Y(

diskontinuierlichesSyslem

t)

f)

utt)

UII}

h (I)

H(f I

y(I)= h(tlll-u(t)1-_-0

Ylfl=H(fl U(II

konlinuierliches Syslem

Bild 2.28. Lineare Modelle der analogen und digitalen Signalverarbeitung


realen digitalen Systemen als Folge der endlichen Wortlänge ergeben [2. 9J, und

nehmen an, daß die Wertefolge Iy{ vr) I aus der Folge lu{ vr) I durch eine lineare

Abbildung hervorgeht. Dieses System nennen wir dis k 0 nt i nu i er I ich [2. 2J. Um

eine mögliche Beschreibung seiner Wirkungsweise zu finden, ziehen wir zum Ver

gleich ein analoges System heran, welches hinsichtlich der betrachteten Signale das

Gleiche leisten möge {Bild 2. 28}. Für das bandbegrenzte Signal u( t ) ist nur der Ver

lauf der Ubertragungsfunktion H{f) im Band Ifl ~f relevant. Wenn wir diesen Teilg

ausblenden, so erhalten wir ein bandbegrenztes System mit der Ubertragungsfunk-

tion

IH {f} für 1f I ~ fg

H (f) =wo für [r] > f

g

{2.4-6}

die ebenfalls die gewünschte Eingangs-Ausgangs-Beziehung

Y{f} = H (f)U{f)w {2.4-7}

herstellt . Wenn wir nun H (f) periodisch fortsetzenw

CD

Hw{f} I: Hw(f + kfA},k=-co

{2.4-8}

und auch die Signalspektren periodisieren, so gilt offensichtlich

Y{f) =H (f)U{f).w {2.4-9}

Damit haben wir eine Beschreibung des diskontinuierlichen Systems im Frequenz

bereich gefunden. Hieraus folgt für den Zeitbereich die Verknüpfung der entspre

chenden diskontinuierlichen Signale durch die Faltung

CD

y*{t} = T \' y{nT}ö{t - nT} = h (t ) * u*{t}c: w*n=-o:>

ce

I: hw{ vT}u{~T}ö{t - -r - ~T}v=- CD~=-CD

~ IT ,~'" hw(,T),(t - 'T)) ·1T.~CX' u(.T),(t - .T))ce

=T2 I:

n=-OO {2.4-10}


Wir sehen, daß die Abtastwerte des Ausgangssignals mit denen des Eingangssignals

und der zu H (f) gehörigen Impulsantwort h (t) durch die d i s k r e t e Fa 1tun gw w

co

y(nT) =T Lv=-=

h (vT)u( nT - v'I')w

(2.4-11)

verknüpft sind. Formal erhält man die gleiche Beziehung, wenn man auf das Fal

tungsi ntegral

co

y(t) =hw(t) '"" uf t ) I hw(.,.)u(t - .,.)d.,.

-=die Rechteckformel der numerischen Integration anwendet.

2.4.2 Probleme der Signaldarstellung durch Abtastwerte

(2.4-12)

Die bisherigen Betrachtungen erfolgten unter der Voraussetzung der Bandbe

grenzung. Ist diese nicht gegeben, so bewirkt die Abtastung des Signals eine

Uberlagerung im Frequenzbereich nach (2.4-3), die das Spektrum verfälscht

(Bild 2.30). Wenn man zusätzliche Informationen über den Verlauf der Signale zwi

schen den Abtastpunkten hat oder von geeigneten Hypothesen hierüber ausgeht , läßt

sich der Uberlagerungseffekt in gewissen Fällen geschlossen eliminieren (vgl. Ka

pitel 6). Im allgemeinen aber muß man, wenn das Signal uf t ) am Eingang des Sy

stems nicht bandbegrenzt ist, einen Uberlagerungsfehler (englisch: aliasing) inner

halb des Bandes If I :!G; fg hinnehmen, der durch den Tiefpaß am Ausgang des Systems

nicht mehr unterdrückt werden kann. Als vorbeugende Maßnahme dagegen läßt sich

in vielen Fällen eine entsprechende Bandbegrenzung des Signals u (t ) vor der Ab

tastung vornehmen, wenn der relevante Frequenzbereich bekannt ist, und wenn die

durch die Tiefpaßfilterung verursachte Signalveränderung (Bandbegrenzung , Lauf

zeitverzerrung) toleriert werden kann. Wenn das nicht möglich ist, muß die Abtast

frequenz fA so hoch angesetzt werden, daß der Uberlagerungsfehler innerhalb je

weils festzusetzender Schranken bleibt. Praktisch läßt sich das so durchführen, daß

man fA schrittweise erhöht bzw, erniedrigt und feststellt, ob und wie sich die Spek

tralfunktion dabei ändert.

Wir betrachten dazu zwei einfache Beispiele, bei denen die Spektralfunktionen ge

schlossen berechnet werden können. Die in Bild 2.29 dargestellte symmetrische

Signalfunktion u( t ) =exp( - It l ) hat die Fourier-Transformierte

u(f) (2.4-13)


-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 o 0,5 1,0=1

1,5 2,0 2,5

Bild 2.29. Signalstützwerte für die numerische Fourier-Transformation

Wir tasten ul t ) mit der Frequenz fA = 1/T ab und bilden das diskontinuerliche

Signal u , (t), wie in (2.4-1) definiert . Die zugehörige Spektralfunktion

=u(f) =T L u(\lT}e-j2TTf\lT

\1=-=

(2.4-14)

ist mit u(f} durch den Uberlagerungssatz (2.4-3) verknüpft (Bild 2.30). Ein Ver

gleich von (2.4-13) und (2.4-14) zeigt, daß U(f) formal auch als numerische Ap-

"-....::=:z::::=--:-----

-.1-= 12r

U(f)Ü(I)

o

r~

'Y--_---,.__=-=-~-;:;o:;...-

Bild 2.30. Fourier-Transformierte des Signals von Bild 2.29 und seine Periodisierung

proximation von U( r) interpretiert werden kann, die durch Anwendung der Recht

eckformel der numerischen Integration auf das Fourier-Integral entsteht. Wir kön

nen D'(r} mit Hilfe der geometrischen Summenformel leicht berechnen :


U(f) = 2T Rel f: e-(1+j2TTf)\lT J- T

\1=0

= 2T Re { 1. } T1 - exp( - (1 + J2TTOT) -

-2T_ T 1 - e _ T sinh T- 1 _ 2e-Tcos 2TTfT + e-2T - cosh T - cos 2TTfT •

(2.4-15)

Bild 2.30 zeigt einen Vergleich von U(f) und U<f) für T = 0,5. Der Approximations

bereich ist das Band [r I ~ 1/(2T). Für kleine Werte von T läßt sich der Approxima

tionsfehler durch Taylor-Entwicklung der transzendenten Funktionen in (2.4-15) leicht

ermitteln:

U(f) =U(f)(1 + T2/6) + Glieder mit höheren Potenzen von T (2.4-16)

Daß dieser Fehler quadratisch und nicht linear mit T verschwindet, wie man das

eigentlich bei der Rechteckformel erwartet, liegt dar-an, daß für das gewählte spe

zielle Beispiel U(f) auch der Anwendung der Trapezformel auf das Fourier-Inte

gral (2.4-13) entspricht: Rechteckformel und Trapezformel unterscheiden sich nur

hinsichtlich der Bewertung der beiden Randordinaten des Integrationsbereiches; die

se liegen aber hier im Unendlichen und verschwinden.

Im allgemeinen jedoch verschwindet die Differenz zwischen uÜ) und utr) im Band

[r] ~1/(2T) nur linear mit T wie bei dem folgenden Beispiel mit derSignalfunk

tion (Bild 2.31)

1,0

0,6

0,4

0,2

°1 21 31

I-t

u( t ) = ofür t -;;. 0

für t < 0

N1

(2.4-17)

Bild 2.31. Abschneiden und Diskretisieren einer Signalfunktion für die numerischeBestimmung des Spektrums

2.4 Diskontinuierliche Signale

Hier erhält man

71

und

U(f) 11 + j2TTf (2.4-18)

T

1 -( 1+j2TTOT '- e

und die Taylor-Entwicklung für kleine T liefert mit

+ • • •

(2.4-19)

(2.4-20)

einen proportional zu T verschwindenden Approximationsfehler.

Bei den betrachteten Beispielen konnte U(f) geschlossen berechnet werden. Im all

gemeinen aber läßt sich die Formel (2.4-14) nur numerisch auswerten, dvh, es

kann nur eine endliche Anzahl von Abtastwerten berücksichtigt werden. Hieraus re

sultier.t zusätzlich ein Fehler, der durch das Ab s c h n eid e n der Signalfunktion,

bei dem zuletzt betrachteten Beispiel etwa an der Stelle t =NT entsteht (Bild 2 .31).

Dieser Fehler muß mit wachsendem Wert des Produktes NT abnehmen. Reduziert

man nun den Diskretisierungsfehler durch Verkleinern von T, ohne das Produkt NT

zu verändern , so nähert sich der aus Diskretisierungsfehler und Abschneidefehler

bestehende Gesamtfehler der numerischen Fourier-Transformation asymptotisch

dem konstanten Wert des Abschneidefehlers, und eine weitere Reduzierung von T

ist sinnlos. Man muß daher gleichzeitig auch das Produkt NT vergrößern. Ein all

gemeines Verfahren hierzu ergibt sich aus der folgenden Betrachtung.

Die Verfügbarkeit schneller Algorithmen zur numerischen Fourier-Transformation

(Kapitel 4 und 6) stellt es uns weitgehend frei, die Signale wahlweise im Zeitbereich

oder im Frequenzbereich darzustellen und bei der Signalverarbeitung aus dem

einen in den anderen Bereich überzugehen. Ein typisches Beispiel hierfür ist

die Simulation von umfangreichen Systemen. Es ist dabei grundsätzlich anzustreben,

daß die Signale im Zeitbereich und im Frequenzbereich m öglichst gleich gut durch

die entsprechenden diskreten Werte repräsentiert werden. Gehen wir von dem all

gemeinen Fall aus, daß die Signale zeitlich und spektral nur näherungsweise be

grenzt sind, so entstehen Abschneide- und Diskretisierungsfehler. Uber die Ab

schneidefehler können wir nur von Fall zu Fall Aussagen machen. Von den Diskre

tisierungsfehlern aber wissen wir, daß sie proportional zum jeweiligen Abtastinter

vall im Zeit- bzw. im Frequenzbereich verschwinden. Wenn T das Abtastintervall

im Zeitbereich ist, so hat nach dem Uberlagerungssatz die ermittelte Spektralfunk

tion die Periode 1/T. Wir setzen voraus , daß eine solche Periode das wahre Spek

trum weitgehend richtig wiedergibt. Man wird dann auch von diesem Bereich aus-


gehen, um die inverse Fourier-Transformierte der Spektralfunktion numerisch zu

bestimmen. Verwendet man hier ebenfalls N Stützwerte, die äquidistant über den

Bereich r/r verteilt sind, so ergibt sich das Abtastintervall im Frequenzbereich

zu

Q = l/(NT) • (2.4-21)

Somit verschwindet der Diskretisierungsfehler bei der Transformation aus dem Zeit-

in den Frequenzbereich proportional zu T und der bei der umgekehrten Transfor

mation proportional zu l/(NT). Sollen sich beide Fehler in gleichem Maße verän

dern, so ist T ~ l/(NT) zu wählen; wobei die Proportionalitätskonstante, die wir a 2

nennen wollen, von dem jeweiligen Problem abhängt. Die gesuchte Relation zwischen

T und N ist dann

T = a/ VN , a > 0, reell, konstant. (2.4-22)

Zu dem gleichen Ergebnis gelangt man auch, wenn der mittlere quadratische Gesamt

fehler beider Approximationen zu einem Minimum gemacht wird. Für das Abtastin

tervall im Frequenzbereich folgt aus (2.4-21) und (2.4-22)

Q=l/(aVN). (2.4-23)

Die Diskretisierungsfehler im Zeit- und im Frequenzbereich lassen sich nun durch

Vergrößerung von N in gleichem Maße reduzieren. Darüber hinaus werden wegen

NT = aVN und NQ = VN/a auch die Abschneidefehler in beiden Bereichen verkleinert.

Der jeweilige Optimalwert der Konstanten a läßt sich entweder aus Abschätzungen

der Abschneide- und Diskretisierungsfehler oder durch numerische Untersuchungen

mit variablem a ermitteln. Als grobe Abschätzungen kann man beispielsweise

a = VelB verwenden, wobei e und B Signaldauer bzw. Bandbreite sind, oder a so

bestimmten, daß die Signalenergien innerhalb des Frequenzintervalls NQ = r/r ei

nerseits und des Zeitintervalls NT andererseits gleich sind.

2.4.3 Diskontinuierliche Signale und diskrete Fourier-Transformation

Die Repräsentation von Signalen und Spektren durch jeweils endlich viele Abtastwerte

ist für die digitale Verarbeitung von fundamentaler Bedeutung. Die bisherigen Be

trachtungen waren insofern nicht ganz befriedigend, als noch keine eindeutig umkehr

baren Beziehungen zwischen endlich vielen Signalwerten und endlich vielen Spektral

werten gefunden werden konnten. Wir haben festgestellt, daß ein diskontinuierliches

Signal u*( t ) das periodisierte Spektrum U( r) hat. Entsprechend besitzt das diskre

tisierte Spektrum U*(f) nach (2.3-22) als inverse Fourier-Transformierte das pe

riodisierte Signal ~(t). Diese Beziehungen entsprechen im wesentlichen den Fourier

reihendarsteIlungen der periodischen Funktionen ~(t ) und lJ< f) : Die Periode von

~(t) ist NT und die von U(f) ist r/r. Es gilt dann, wie man aus (2.3-22) leicht er-


sehen kann,

~( t )=L

k=- =

1uf t - kNT) =NT

coL U ( ~) ej2nkt/(NT)

k=- =

(2.4-24)

und aus einer ähnlichen Betrachtung folgt

= coL ut r - k/T) = T L u(kT)e-j2nkfT.

k=- = k=- =

(2.4-25)

Um nun zu e iner Signaldarstellung mit jeweils endlich vielen Abtastwerten im Zeit

bereich und im Frequenzbereich zu gelangen, ändern wir die Problemstellung der

harmonischen Analyse (2. 3-3), als deren Ergebnis ja die Beziehungen (2. 4-24) und

(2.4-25) aufzufassen sind, im Sinne einer diskreten Approximation ab :

Die N Abtastwerte einer Periode von ~(t) sollen durch e ine Linearkombination von

N entsprechend diskretisierten harmonischen Funktionen im Sinne eines minimalen

mittleren quadratischen Fehlers angenähert werden:

N-1

Q= Lv=O

N-1

~( vT) - L11=0

_ j2nl1v/ N 2! .c e =Mi n,

11(2.4-26)

Wie bei der harmonischen Analyse können wir nach den Koeffizienten c oder den. ~* mkonjugiert-komplexen Werten c

mdifferenzieren und die notwendigen Bedingungen

für das Minimisierungsproblem aufstellen. Beide Wege führen zum gleichen Ergeb-~*

nis , Im Falle der Differentiation nach c m erhalten wir das lineare Gleichungssystem

N-1 I~ ~( vT)

das sich auch in der Form

N-1

-L11=0

~ j2nI1V/N) -j2 nm v/ N - 0cl1e

e - ,

N-1 N-1 N-1

L ~( T) -j2nm v/N L ~ L j2n(l1-m)v/Nu ve = c e11

v=O 11=0 v=O

(2.4-27)

schreiben läßt. Die innere Summe auf der rechten Seite kann man nach der geome

trischen Summenformel leicht berechnen. Das Ergebnis

N-1\' ej2n( l1-m) v/N _ eX~{j2n( l1- m»- 1i: -expj2n( l1- m)!N)-1v=O

(2.4-28)


entspricht der- S u m m e no r t h 0 gon al i t ä t der diskreten harmonischen Funktionen:

N-1 { 1~ L ej2n(~-m)'J/N = 0

v=O

für ~ - m = kN, k ganz

sonst(2.4-29)

Der Wertevorrat von ~ und m umfaßt jeweils die ganzen Zahlen von 0 bis N - 1

Die Bedingung für Nichtverschwinden der Summe ist also nur für k = 0 gegeben.

Hiermit folgt aus (2.4-27)

N-1

cm

= ~ L ;;( vT) e- j2nmv/ N.

v=O

(2.4-30)

Um festzustellen, ob wir mit dieser Lösung tatsächlich ein Minimum von Q gefun

den haben, setzen wir sie in (2.4-26) ein und erhalten bei Berücksichtigung von

(2.4-29)

N-1~ ~ J'2n~v/N 1i: c ~e = N~=O

N-1 N-1L ;;( nT) L ej2n~( v- n ) /N = ;;( vr).

n=O ~=O

(2.4-31)

Hieraus folgt Q = 0, d.h. das Approximationsproblem (2.4-26) wird durch eine In

terpolation gelöst. Man spricht deshalb in diesem Zusammenhang von tri g o n 0 me

trischer Interpolation [2.12J. Wir setzen nun die Beziehung (2.4-24) in

(2.4-30) ein und erhalten

1= ifT

N-1 =L L U (~T) ej2n(k-m)v/N

v=O k=- == N-1L U (~) L e j2n(k-m)'J/N •

k=- = v =O

(2.4-32)

Nichtverschwinden dieses Ausdrucks ergibt sich wegen der Summenorthogonalität

(2.4-29) für k = m+nN mit ganzzahligem n, Hieraus folgt

=c m = ~T L U (mN;N) = ~T u( ~)

n=- =

(2.4-33)

2.5 Literatur

und mit (2.4-30)

N-1u( m) = T ~ ~(vT}e-j2TTmv/N,

NT i....Jv=O

Die Umkehrung hiervon ergibt sich aus (2.4-31) :

m=0,1, .•• N-1.

75

(2.4-34)

~(vT) =J.rN-1

Lm=O

~U ( .!!!... ) j2TTmv/NNT e , v=0,1, ••• N-1. (2.4-35)

Die Beziehungen (2.4-34) und (2. 4-35) stellen den gesuchten eindeutig umkehr

baren Zusammenhang zwischen jeweils N Abtastwerten im Zeitbereich und im Fre

quenzbereich dar. Sie entsprechen der dis k re te n F 0 u r i e r - T r ans f 0 r m a-

ti 0 n, mit der wir uns im folgenden Kapitel eingehend befassen werden.

Festgehalten werden sollte noch, daß für T ~ 1/\,fN die periodisierten Funktionen

~(vT) und U(m/(NT}} mit wachsendem N gegen die Signalfunktion uf t ) bzw, das

Spektrum U(f) streben. Es existiert also immer ein genügend großer Wert von N

derart , daß die Abbildung von Signalen uf t ) auf ihre Spektralfunktionen U(f) und

umgekehrt durch die diskrete Fourier-Transformation in jeder gewünschten Genau

igkeit vorgenommen werden kann.

Hinsichtlich solcher Konvergenzbetrachtungen ist noch eine Bemerkung notwendig.

Die Approximationsbereiche wurden hier, so wie es allgemein üblich ist, durch

o .,;: t .,;: NT und 0 .,;: f .,;: 1/T festgelegt. Wegen der Periodizität der approximieren

den Funktionen ~(t) und U( f) bedeutet diese Wahl keine Beschränkung auf positive

Zeiten und Frequenzen. Man findet beispielsweise die Spektralfunktion U(-1 /(2T} ~

f ~ 0 im Intervall 1/ (2T) ~ f ~ 1/T. Für N ... =aber verschiebt sich das letztere In-~

tervall ebenfalls ins Unendliche. Zum Konvergenznachweis U ... U muß man daher

von dem Intervall Ifl ~ 1/(2T} ausgehen. Entsprechendes gilt für die Signalfunk

tion u( t) •

2.5 Literatur

2.1 Papoulis, A.: The Fourier Integral and Its Applications. New York, London,Toronto: McGraw-Hill 1962.

2.2 Unbehauen, R. : Systemtheorie. München, Wien: Oldenbourg 1971.

2 .3 Abramowitz, M.; Stegun, I.A. (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions ,New York: Dover Publications 1965.

2.4 Doetsch, G.: Funktionaltransformationen; in: Mathematische Hilfsmittel desIngenieurs, 1. Teil; Hrsg.: R. Sauer und I. Szabo, Berlin, Heidelberg, NewYork: Springer 1967.


2. 5 Lighthill, M.J.: Einführung in die Theorie der Fourier-Analysis und der verallgemeinerten Funktionen. Mannheim, Wien, Zürich : Bibliogr. Institut 1966.

2.6 Giloi, W.: Simulation und Analyse stochastischer Vorgänge, 2 . Aufl. Münc he n , Wien: Oldenbourg 1970.

2.7 Davenport, W.B.; Root, W.L. : Random Signals und Noise. NewYork, Toronto, London : McGraw-Hill 1958.

2.8 Doob, J.L. : Stochastic Processes. New York: Wiley 1953.

2.9 Schüßler, H. W. : Digitale Systeme zur Si gnalverarbeitung. Berlin, Heidelberg,New York : Springer 1973.

2.10 Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W.: Digital Signal Processing. EnglewoodCliffs, N.J. : Prentice-Hall1975.

2.11 Rabiner, L. R.; Gold, B.: Theory and Application of Digital Signal Processing.Englewood Cliffs, N.J. : Prentice Hall 1975.

2.12 Zurmühl, R .: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker, 5. Aufl ,Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1965.

2.13 Bauer, F .L.; Stetter, H. J .: Zur numerischen Fourier-Transformation.Numer. Math , 1 (1959) 208-220.

3 Die diskrete Fourier-Transformation

3.1 Definition und Darstellung

Die diskrete Fourier-Transformation muß nicht notwendig als Approximation der

Fourier-Transformation kontinuierlicher Funktionen angesehen werden. Sie stellt

eine völlig eigenständige lineare Transformation dar, die eine Folge von N kom

plexen Zahlen lx v I = lxo' x l ' •.. ' xN_ 1 1 vermöge der Beziehung

~= 0 , 1 , ••• ,N-1 (3 .1-1)

eindeutig umkehrbar auf di e Folge !y~ I = !yo' y1"" 'YN-1 1 abbildet. Die Trans

format ionskonstante T soll reell und positiv, im übrigen aber beliebig definierbar

sein. Die Eindeutigkeit de r Umkehrtransformation

folgt aus der Summenorthogonalität (2.4-29)

v = 0 , 1 , ••• ,N-1 (3. 1-2)

N-1 N-11 L ej2TT ~V/N TL -j2TT\.1n/Nx v = NT x en

\.1=0 n=O

N-1 N-11 L L j2TT~( v- n )/ N

=N x e = x •n vn=O ~=O

(3.1-3)

Wir nennen (3.1-1) die dis krete Fourier-Transformation (DFT) und

(3.1-2) die inverse diskrete Fourier-Transformation (IDFT).

Häufig gebrauchte allgemeine i: astlegungen der Transformationskonstanten sind

T = 1 und T = l /N. Zweckmäßig is t besonders auch die Definition T = 1/'/N, nicht

nur wegen der im Abschnitt 2.4 diskutierten Zusammenhänge, sondern auch, weil

die DFT dann eine uni t ä r e Transformation ist , wie unten noch näher erläutert

78 3. Die diskrete Fourier-Transformation

wi r d . Bezüglich der Wahl von T wird hier keine generelle Festlegung getroffen, da

immer di e Möglichkeit gegeben sein soll, T durch ein Abtastintervall zu spezifizieren

( vgl , Abschnitt 2.4). Lediglich im Kapitel 4, wo es um die Algorithmen zur numeri

schen Ausführung der DFT geht , werden wir zur Vereinfachung der Schreibweise

T = 1 setzen.

Wir verwenden im folgenden wahl weis e verschiedene Darstellungen bzw. Symbole

fü r die diskrete Fourier-Transformation und ihre Umkehrung , die alle im Sinne der

Gleichungen (3.1-1) bzw. (3.1-2) zu ve r s t ehen s ind :

Iy I = DFT [x l , [x I = IDFT!y I,IJ. v v IJ.

[x I 0---" ly I, ly \,,---0 [x I.v IJ. IJ. v

(3.1-4)

(3.1-5)

Wenn man die Zahlenfolgen [x I und !y I als Spaltenvektoren x bzw. v darstellt,v ~ - ~

lassen sich die Transformationen auch in der Form

:L = ':!!.~,-1

(3.1-6)~ = W :L

schreiben, wo die Matrix W der DFT und ihre Inverse vrl wie folgt definiert sind:

1 1 1 1

12 N-lw w w

W = T 1 2 4 2(N-1) => W für T => t/'fNw w w -0(3.1-7)

1 N-l (N_1)2w w

1 1 1 1

1 -1 -2 -(N-l)w w w

-1 1 -2 -4 -2(N-l) => W- l für T => l/mW =NT 1 w w w -0(3.1-8)

-(N-l)2

1-(N-l)

w w

Dabei wurde zur Ab kürzung die Größe

-J02TT/Nw =e (3.1-9)

e ingeführt. Setzen wir speziell T = l/m, so ne nne n wir die Matrizen ~ bzw. ~1,

wi e oben angedeutet ist . Diese Mat r iz e n haben eine Reihe besonderer E igenschaften,

3.1 Definition und Darstellung

di e i m folgenden erörtert werden : Si e s ind s y m m e t r i sc h

Wo =W_O"

W-1 - ( W - 1 ) I- 0 - - 0 '

79

( 3.1-1O)

wobei d ie transponierte Matrix durch eine n Str ich geke nnz eich ne t wurde , und auß er

dem zueinander k 0 n j u g i er t - kom p lex:

-1 *~O =~O·

- 1 +Somit ist ~O auch die zu ~ a dj u ng i er te Ma trix '!!.O :

-1 +~O =~O •

{3.1-11 }

{3.1-1Z}

Ma trizen mit dieser Eigenschaft nennt man un i t ä r (z , B. [ 3. 1] }. Sie vermi tteln

e ine un itäre Transformation.

Für den allgemeinen Fall mit e i ne r beliebigen Tr a nsfor ma ti onskonsta nte n T ergibt

s ich entsprechend

{3.1 -13}

Die Umrechnungsbeziehungen zwischen ~ und Wo sind

{3.1-14}

Führen wir den Spaltenvektor

1 1

k -j2nk /Nw e

Zk -j2nZk/Nw e

~k . - =

(N-t)k -j2n(N-1 }k/N.w e

{3.1-15}

ein, so lassen sich die Beziehungen (3.1-6) auch folgendermaßen darstellen:

N-1

1. = ~!. = T L xk~k'k=O

(3.1-16 )

- 1 1!. =~ l. =NT

N- 1

Lk=O

{3.1-17 }


Im folgenden ist W immer als DFT-Matrix für die Transformation von N Werten auf

zufassen. Wenn die Anzahl der zu transformierenden Elemente n * N ist, so erhält

die zugehörige DFT -Matrix den Index n,

3.2 Abbildungsgesetze

Bei der vektoriellen Darstellung Gar diskreten Fourier-Transformation (3.1-6) sind

.! und y.. Vektoren in einem N-dimensionalen komplexen Punktraum IRN• Wir gehen

zunächst kurz auf die Metrik dieses Raumes ein.

Das in ne r e Pro du k t zweier Vektoren ~ E IRN und.! E IRN ist durch

*u xn n (3.2-1)

erklärt. Eine Vertauschung in der Reihenfolge der Vektoren führt auf den konjugiert

komplexen Zahlenwert

N-1

= x+u = \'-- Ln=O

* *x u = (u , x) •n n --

(3.2-2)

Die No r m eines Vektors .! E IRN ist erklärt durch

In IRN gelten die Schwarzsehe Ungleichung

I(u,x) I ~ I I~III~II,

die D r eie c k s u n g lei c h u n g

II~ + .!II~ II!!II + I~II

(3.2-3)

(3.2-4)

(3.2-5)


und die Par a 11 e log ra m m g 1e ich u n g

Beweise für diese Beziehungen findet man z. B. in [ 3 . 2J .

81

(3.2-6)

Das inne r e Produkt zweier Vektoren aus RN is t invariant gegen unitäre Transfor

mationen, also auch gegen die DFT mit der Matrix WO : Sei ~ =W~ und y.. =W~ ,

so gilt wegen (3.1-12)

(3.2-7)

Insbesondere folgt hieraus, daß die Norm eines Vektors bei der Transformation mit

Jio erhalten bleibt:

(3.2-8)

Die Beziehung (3.2-7) ist e in diskretes Analogon der Parsevalschen Gleichung,

aus der die Gleichheit der Signalenergie im Zeit- und im Frequenzbereich folgt. Es

ist daher zweckmäßig, die Energie der diskontinuierlichen Signale so zu definieren,

daß sie gegen die entsprechenden Integralausdrücke in (2.1-35) konvergiert, wenn

wir die Abtastintervalle T und 1/(NT) gegen 0 gehen lassen, also durch T(~,~)"bzw.

(y",y")/(NT). Genau dann ist die Signalenergie invariant gegen die DFT, was sich bei

Beachtung von (3.1-13) leicht zeigen läßt :

(3.2-9)

Wir betrachten eine Reihe von weiteren Abbildungseigenschaften der DFT.

Die Li ne ar i t ä t der Transformation entspricht der Gültigkeit des Superpositions

prinzips. Die DFT einer Linearkombination von Vektoren ~\i ist danach gleich der

entsprechenden Linearkombination von WX\i:

W j\' c x I=\' c Wx- '-:: \i - v '-:: v -- \i '

c skalar.v (3.2-10)

Bei m ehr f ach e r A n wen dun g der DFT gelten Regeln, die genau denen der

mehrfachen Anwendung der Fourier-Transformation entsprechen (vgl. Abschnitt

2.1. 1). Wir betrachten zunächst die zweifache Anwendung und berechnen dazu die


Matrix Y{~, die die Elemente a ik haben möge. Diese Elemente ergeben sich bei Be

rücksichtigung der Summenorthogonalität (2.4-29) zu

N-l 11 für i = k = 01 vi vk .. ,

a ik =N L w w = 1 fur 1 + k =N

v=O 0 sonst

(3.2-11)

d, h, die Elemente aOO

und a. N . für i = 1,2, •.• ,N - 1 sind gleich 1, während1, -1

alle übrigen Elemente verschwinden. Für N =4 gilt beispielsweise

W2

= 1 r~-0 '4 1

1

1

-j

-1

1

-1

1

-1

_~ J2 r~-J l0

ooo1

oo1

o

(3.2-12)

Y{~ ist also eine Permutationsmatrix, die lediglich die Reihenfolge der Elemente

xo' Xl"'" xN_1 eines Spaltenvektors, auf den sie angewendet wird, in xo' xN_1'xN_2' ••• ,xl umkehrt. Das Element Xo übernimmt gewissermaßen s tellvertretend

die Rolle des (in der Zahlenfolge nicht auftretenden) Elementes xN' das nach (3. 1-2)

den gleichen Wert hätte. So ist auch hier eine volle Analogie zu der entsprechenden

Beziehung (2.1-18) bei der Fourier-Transformation gegeben. Da Y{~ eine symme

trische Permutationsmatrix ist, muß ihr Quadrat gleich der Einheitsmatrix .!. sein,

d s h, y{0 ist wie der Fourier-Operator (Abschnitt 2.1.1) zyklisch vom vierten Grade:

4WO =.!. ·

Hieraus folgt

3 -1 '*y{0 = y{0 = y{0

und

Die zu W konjugiert-komplexe Matrix läßt sich dann durch

* '* 3 2y{ =T'fN Y{O =TYN'!!.O ='!!.O '!!.

darstellen.

(3.2-13)

(3.2-14)

(3.2-15)

(3.2-16)

3.2 Abbildungsgesetze 83

Wegen (3.2-13) kann ~O genau wie der Fourier-Operator nur die vier Eigen

wer te ±1 und ±j besitzen. Hinsichtlich der Ei gen v e k tor e n von ~O besteht

auch eine enge Verbindung zu den Eigenfunktionen der Fourier-Transformation. Zu

nächst sei festgestellt, daß ~O als unitäre Matrix stets diagonalisierbar sein muß

(z , B. [3.1]). Da ~ und ~O sich gegebenenfalls nur um einen konstanten Faktor

unterscheiden, gilt das auch für die Matrix W. Eine entsprechende Äquivalenztrans

formation

(3.2-17)

wo M die Eigenvektormatrix und ~ die aus den Eigenwerten von ~ gebildete Dia

gonalmatrix sein soll, ist bisher noch nicht angegeben worden. Es läßt sich auch

nicht von vornherein sagen, ob eine solche Darstellung Anwendungen in der Signal

verarbeitung finden würde. Die Möglichkeit, daß die Ausführung der DFT

(3.2-18)

über die rechts stehenden Operationen bei geeigneter Wahl von ~ numerisch effek

tiver sein könnte, als die schnelle Fourier-Transformation, ist nicht ohne weiteres

auszuschließen [3.3 J •

Wir gehen im folgenden kurz auf die Eigenvektorbestimmung nach [3.4J ein. Dazu

betrachten wir hier noch einmal die Beziehung (2. 1-77)

nach der die Hermiteschen Funktionen Eigenfunktionen der Fourier-Transformation

sind. Nach (2.4-34) muß nun

=(_j}n L 'l1 n ( \f2iT( IJ. + k N) ~T}

k=-=

'l1 (\f2iT ( v + kN) T}e -j2TTIJ.v/N

nv=O k=-=

(3.2-19)

gelten. Setzen wir hierin T = 1/VN, so sind die periodisierten Hermiteschen Funk

tionen auf beiden Seiten zahlenmäßig gleich. Die Größen

=L v = 0 , 1 , ••• ,N-1 (3.2-20)


bilden daher die Elemente von Eigenvektoren

p =n

der diskreten Fourier-Transformation

(3.2-21)

(3.2-22)

Das gilt für jede Ordnungszahl n =0,1,2, ••. der Hermiteschen Funktionen. Natür

lich können nur N linear unabhängige Eigenvektoren auftreten. Bei einem für N = 8

ausgerechneten Beispiel [3 . 4J entsprechen diese offenbar den Ordnungszahlen n = 0,

1, ••• ,7. Für diesen Fall sind die Elemente der Eigenvektoren EO bis E,3 in Bild 3.1

im Vergleich mit den entsprechenden Hermiteschen Funktionen dargestellt. Orthogo

nalität besteht nur für Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören.

Beispielsweise sind EO und E4' die beide zum Eigenwert 1 gehören, nicht zueinan

der orthogonal, während für alle Paarungen der dargestellten Vektoren Orthogo

nalität besteht. Numerisch ist die Berechnung der Eigenvektoren nach (3.2-20)

unproblematisch, da die Hermiteschen Funktionen jenseits des letzten Wendepunktes,

dessen Abszisse sich aus der Differentialgleichung (2.1-63) zu x =~ ergibt,w

wie exp( _x2/2) verschwinden. Die Anzahl der zu berücksichtigenden Summenglieder

ist dann von der Größenordnung 2 '{2n.

Wir betrachten nun Symmetrien der Abbildung durchdieDFT. Dazubenut

zen wir die Eigenschaft der Matrix ~~, die Reihenfolge der Elemente eines Vektors,

auf den sie angewendet wird, in der geschilderten Weise zu invertieren, und definie

ren einen Vektor x als "gerade", wenn!. =~~ ist, und als "ungerade", wenn

!. =-~~ gilt. Wir können dann jeden Vektor!. mit

2!.g = (!. + ~o!.) /2 ,

!.U = (!. - ~~) / 2

(3.2-23)

(3.2-24)

in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegen. Bei der DFT mit Y.. =Wx wird

x auf den geraden und x auf den ungeraden Anteil von v abgebildet. Das läßt sich-g -u "-leicht zeigen, wenn man beachtet, daß ~ und ~O' die sich gegebenenfalls nur um

3.2 A bbil dungsgesetze

n = 0 0,31 \ 'l'o/f8'

10.2 .>/ \

/ 0,1 \

I /11 't, I

o 1 2 3 5 6 7 B v

0,3

n =1 0,2\ 1j', !YB'

I V-I

\0,1 II \

..... 5 6 7

, , 0 2 3 4 B v\ I\

I\ I\ I

n =2 0,3'-

I

\ 0 , 1 B v\ I\ I, I

\ I

0,3

85

n=3

\\~

0,2 "\ 'I'/ t8'1", ~

\ 01 I\ ' I

1 I

I 2\ I\ I\,

v

Bild 3. 1. Element e von E igenvektoren der DFT für N = 8 nach [3 . 4J


einen konstanten skalaren Faktor unterscheiden, vertauschbar sind :

(3.2-25 )

(3.2-26)

Wir zerlegen nun x und x sowie y _ und 1.. in Realteile (Index r-) und Imaginär--g -u -g uteile (Index t ) und untersuchen die entsprechende Abbildung durch die DFT. Da

nach (3.2-16) y!.* =y!'~y!. gilt und ein gerader Vektor invariant gegen Multiplika

tion mit y!.~ ist, während ein ungerader Vektor bei dieser Operation nur im Vor

zeichen geändert wird, erhalten wir

1 * 1 ** 1 *v =-2 (v + L) =-2 (Wx + W x ) =-2 W(x + x ) =Wx ,....gr ....g -g --g - -g - -g -g --gr

1 * 1 ** 1 *v , =-2' (v - v ) =-2' (Wx - W x ) =-2' W(x - x ) =WXg1' ,....gl J "'"g ....g J --g - -g J - -g -g --

1 * 1 ** 1 *v =-2 (v + v ) =-2 (Wx + W x ) =-2 W(x - x ) =jWx , ,....ur ....u ....u --u - -u - -u -u --Ul

1 * 1 ** 1 *v , =-2' (v - v ) =-2' (Wx - W x ) =-2' W(x + x ) =-jWx •....Ul J ....u "-U J --u - -u J - -u -u --ur

Die Zusammenfassung dieser Ergebnisse führt auf eine vollständige Analogie zu

der entsprechenden Beziehung (2. 1-42) der Fourier-Transformation:

x =x + x + jx , + jx ,- -gr -ur -gl -Ul

9 9 Q 9 _0: 1.. .:>

I i ....... ...- . -...1.. = 1..gr + 1..ur + j1..gi + j1..ui

(3.2-27)

Eine spezielle Folgerung hieraus. die in entsprechender Weise auch für die Fourier

Transformation gilt. ist: Wenn ~ und 1.. beide reell sind, dann müssen sie auch ge

rade sein und umgekehrt.

Ein Analogon zum Faltungssatz (2.1-25) der Fourier-Transformation läßt sich all

gemein nur für die sogenannte zyklische diskrete Faltung angeben. Diese

Faltungsoperation verknüpft zwei Zahlenfolgen lco. c 1 • • • • • c N_ 1 1 und IbO' b1 , ••• ,


bN_1 ! zu der Zahlenfolge laO,a1 , ••• ,aN_ 1 ! in der folgenden Weise

87

ao Co cN

_1

cN

_2 cl bO

a 1 cl Co cN

_1 c 2

b1

a2 = T c2 cl Co c 3

b2

(3.2-28)

aN

_1

cN

_1

cN

_2 cl Co b

N_

1

Bezeichnen wir den links stehenden Spaltenvektor mit~, den rechts stehenden mit

~ und die Matrix mit C, so ergibt sich die vektorielle Darstellung der zyklischen

diskreten Faltung

a=TCb. (3. 2-2 9)

Die Matrix C ist eine sogenannte Z ir k u la nt e. Sie hat auf allen Diagonalen je

weils gleiche Elemente. Darüber hinaus geht jede ihrer Spalten durch zyklische

Vertauschung der Elemente aus der vorhergehenden hervor . Die zyklische Vertau

schung der Elemente der letzten Spalte führt wieder auf die erste Spalte. Die Matrix

läßt sich also durch "Zirkulation" der Elemente der ersten Spalte aufbauen und ist

damit durch den Spaltenvektor

c = (3.2-30)

eindeutig festgelegt. Wir können dementsprechend die zyklische diskrete Faltung

auch als Operation zwischen den Vektoren E. und ~ definieren und folgendermaßen

symbolisieren:

a =Tc '"' b (3.2-31)

Die Konstante T wurde in die zyklische Faltung einbezogen, weil sie auch in der dis

kreten Faltung (2. 4-11) auftritt. Sie läßt sich als Abtastintervall interpretieren und

entspricht der Transformationskonstanten der DFT in (3. 1-1) •


Zirkulante Matrizen sind stets diagonalisierbar. Ein vollständiger Satz von orthogo

nalen Eigenvektoren sind die konjugiert-komplexen Werte der in (3.1-15) eingeführ

ten Spaltenvektoren ~ k :

Für die Eigenwerte "k gilt

k=O,l, ••. ,N-1. (3.2-32)

N-1

A - ~k - L

v=O

kvc wv

(3.2-33)

sie entsprechen also im wesentlichen der DFT des Vektors Q .

Die Gültigkeit von (3.2-32) läßt sich zeilenweise leicht nachprüfen. Für die (IJ,+ 1)

te Zeile gilt

IJ,

(clJ.,clJ._1,···,cO,cN_1,cN_2,···,clJ.+1)~: = Lv=O

N-1

L

-vkc w +IJ.- V

N-1

Lv=IJ.+1

-(N+IJ.- v)kc wv

*Die Eigenvektormatrix wird spaltenweise aus den normierten Eigenvektoren ~k/'{N

für die das innere Produkt gleich 1 ist, gebildet. Die zu C gehörige Eigenvektor

matrix ist also ~; = ~Ö1, und die Äquivalenztransformation lautet

Ebenso gilt natürlich auch

-1 . ( )~~~ =Diag \ '

(3.2-34)

(3.2-35 )

-1 -1da die Proportionalitätskonstanten sich wegen ~O~O = ~ W =.!.. aufheben müs-

sen. Die Umkehrung von (3.2-35) ist

(3.2-36)


und die zyklische Faltung kann in der folgenden Form dargestellt werden :

89

(3.2-37)

Die Elemente TAk der Diagonalmatrix hierin entstehen nach (3.2-33) durch DFT der

Zahlenfolge [c I:\!

(3.2-38)

Um den Zusammenhang etwas deutlicher hervorzuheben, führen wir nun die M u 1

tiplikation zweier Folgen als Vektor-Operation ein:

ao bO aO bO

a 1b1 a 1 b1

a 0 b : = (3.2-39)

aN_1

bN_1

aN_1

bN_1

Die Gleichung (3.2-37) läßt sich dann folgendermaßen darstellen:

(3.2-40)

Multiplizieren wir von links mit Y:!., so ergibt sich ein Analogon zum Faltungssatz

der Fourier-Transformation:

(3.2-41)

Die zyklische Faltung wird also durch die DFT auf die Multiplikation im Sinne von

(3.2-39) abgebildet. Ebenso läßt sich zeigen, daß die Multiplikation zweier

F 0 I gen durch die DFT auf die zyklische Faltung abgebildet wird :

(3.2-42)


Diese Beziehung stellt ein Analogon zum Multiplikationssatz (2.1-32) der Fourier

Transformation dar. Als Beispiel hierzu betrachten wir die beiden N-zeiligen Vek

toren

(3.2 -43)

welche die Rollen der Einheitselemente bei der Multiplikation bzw, bei der zykli

schen Faltung spielen. Bei Anwendung auf einen N-zeiligen Spaltenvektor ~ gilt

nämlich

w 0a=T6 *a=Ia=a,-0 - -=0 - - - - (3.2-44)

da die den Operationen entsprechenden Matrizen gleich der Einheitsmatrix ...!. sind.

Insofern stellen die Vektoren ~ und:fYO Analoga zur Deltadistribution bzw. zu der

Konstanten 1 bei den kontinuierlichen Signalen dar. Entsprechend zu 6(t)~ 1

sind ~ und :fYO durch die DFT miteinander verknüpft :

Umgekehrt gilt

2WWO=NT6,-- -0

(3.2-45)

(3.2-46)

wie man durch Anwendung der Summenorthogonalität (2.4-29) leicht zeigen kann.

Ein Test für den Multiplikationssatz (3.2-42) ist die Identität

(3.2-47)

Wir betrachten nun noch einige Eigenschaften der zyklischen Faltung und der Mul

tiplikation von Folgen. Beide Operationen sind als Produkte von Matrizen mit Spal-


tenvektoren erklärt und somit linear. Daher gilt die Dis tri bu t i v i t ä t

91

'.([ob) L 0' (a 0 b ) , (3.2-48)- v-v v - -v

V v

~.(;; ",~} ;; 0' (a * b ) • (3.2-49)v - v

Hierin sind die ~v sowie ~ Spaltenvektoren und die O'v Skalare. Die zyklische Fal

tung und die Multiplikation von Folgen sind außerdem für sich jeweils kom mut a

t i v

und ass 0 z i a t i v

~ * ~ =~ * ~, a 0 b =b v u (3.2-50)

(3.2-51)

Diese Eigenschaften sind anhand der entsprechenden Matrizendarstellungen leicht

zu erkennen. Die gemischten Operationen sind i , a, nicht assoziativ :

(~ 0 ~) * c '" a 0 (~*.!2.).

Wir betrachten schließlich noch Analoga zu den Ver schi e bu n g s sät zen (2.1-11)

und (2.1-12) der Fourier-Transformation. Dazu definieren wir die N-zeiligen Spal

tenvektoren

~k=(l/T) (ö vk)' Zeilenindex v=0,1, ••• ,N-1, (3.2-52)

die aus ~O durch k-fache zyklische Vertauschung der Elemente hervorgehen (ö vk =

Kronecker-Symbol: ökk

= 1, övk = 0 für v*, k}, So wie sich die Verschiebung eines

kontinuierlichen Signals uf t ) um to als Faltung von uf t ) mit ö(t - tO

) schreiben

läßt, so können wir nun die k-fache zyklische Vertauschung der Elemente eines Vek

tors x durch zyklische Faltung mit ~ darstellen. Beispielsweise gilt für N = 4 und

k =2


0 0 1 0 Xo x2

0 0 0 1 xl x3T~2 *~ = (3.2-53)

1 0 0 0 x2Xo

0 1 0 0 x3 xl

Wie man aus (3.1-16) bzw. (3.1-17) unmittelbar ersehen kann, sind DFT und

IDFT von ~k durch

(3.2-54)

gegeben. Nach (3. 2-41) wird die zyklische Verschiebung durch die DFT folgender

maßen abgebildet :

(3.2-55)

Dabei ist 1. =~~. Die Verwandtschaft zum Verschiebungssatz (2. 1-11) ist leicht

zu erkennen, wenn man die Komponente y des Vektors 1. betrachtet: Sie wird mit~

dem Phasenfaktor exp( - j2lT~k/N) multipliziert, wenn die Elemente des Vektors ~

k-mal zyklisch vertauscht werden.

Dem Verschiebungssatz (2.1-12) entspricht die Abbildung der k-fachen zyklischen

Vertauschung der Elemente von 1. durch die IDFT:

(3.2-56)

Bei Multiplikation eines Vektors ~ mit 4: gilt

(3.2-57)

wobei xk

das {k+l)-te Element von ~ ist. Die Abbildung dieser Operation durch

die DFT führt auf

(3.2-58)

Abschließend geben wir noch einige einfache Multiplikations- und Faltungsbeziehun

gen der Vektoren ~k und ~k an, die unmittelbar einzusehen sind:

w 0 w = w-k -m -k+m' (3.2-59)

3.3 De z i m ie r u ng und Segmentierung von Folgen

1~k für k = m

T~k o~m=

o für k '*' m , 0 =Nullvektor

93

(3 .2-60)

(3 .2 -61)

für k = m

für k '*' m

(3.2 -62)

3.3 Dezimierung und Segmentierung von Folgen

Die Dez im ie r ung und die Segm e nt ie r ung vo n F ol ge n spielen wichtige Rolle n bei der

numerischen Ausführung der DFT durch die schnelle Fourier- Transformation (vgl.

Kapitel 4) .

Wir dez i m i er e n eine Folge von N Elementen dadurch, daß wir jedes n-te Ele

ment herausgreifen und die dazwischen liegenden Elemente durch Nullen ersetzen.

Durch Weglassen der Nullen können wir aus dieser Folge dann auch eine entspre

chend verkürzte Folge bilden. Von praktischer Bedeutung ist der Fall, wo n ein Tei

ler von N ist. Genau dann läßt sich die Dezimierung als zyklische Operation definie

ren. Wir setzen daher in diesem Abschnitt

N = nm mit n, m > 1, ganz (3.3-1)

voraus . Ein N-zeiliger Vektor ~ läßt sich dann auf mindestens zwei verschiedene

Weisen durch dezimierte Folgen darstellen :

n-1 m -1

=TL Lk=O 1-1 =0

(3.3-2)

m-1 n-1

= T L Lk=O \)=0

m-1 n-1

= T L L xk+\)m ~k+ \)mk =O \)=0

(3.3-3 )


Die Gültigkeit dieser Beziehungen ersieht man daraus, daß die in geschweiften Klam

mern stehenden Doppelsummen genau den Einheitsvektor :y!O darstellen. Zur Verein

fachung der Schreibweise definieren wir den Dezimierungs-Operator

Ö-k+iJ,n' k=O,l, ••• ,n-l, (3.3-4)

der ein Analogon zum Impulskamm darstellt, mit dessen Hilfe wir die Diskretisierung

kontinuierlicher Signale im Abschnitt 2.4 mathematisch beschreiben konnten. Dieser

Operator greift aus einem (N = nm ) -zeiligen Vektor ~ - begi nnend beim EIern ent xkjedes n-te Element heraus und erzeugt so einen N-zeiligen Vektor mit m nicht allge

mein verschwindenden Elementen. Den Beziehungen (3.3-2) und (3.3-3) entsprechen

dann Zerlegungen, die unter Verwendung des Dezimierungs-Operators folgendermas

sen geschrieben werden können:

x ° d(k)-n,m

m-l\' x ° d(k) •L -m,nk=O

(3.3-5)

Für N = 6 mit n = 2 und m = 3 gilt danach beispielsweise

Xo 0

0 Xl

X=XO d(O) +XO d(l)x2 0

+- - -2,3 - -2,3 0 x3

x4 0

0x 5

und

Xo 0 0

0 Xl 0

x = x ° d(O) + x ° d(l) +xod(2) ° 0 x2

+ +- - -3,2 - -3,2 - -3,2 x3 0 0

0 x4 0

0 0 x5

3.3 Dezimierung und Segmentierung von Folgen 95

Se g me nt i er e n läßt sich eine Folge von N = nm Werten ebenfalls auf zwei ver

schiedene Arten, die sich aus (3.3-2) einerseits und (3.3-3) andererseits ergeben,

wenn wir die Reihenfolge der Summationen vertauschen und den Se g m e nt i er u n g s

Operator

einführen :

n-ls(~):=T~ö-m,n L ..:::.t<+~n'

k=O

~=O,l, .•• ,m-l (3.3-6)

m-l

x = L~=O

n-lxos(~) =~- -m,n L

\1=0

( \I)X 0 s

-n,m (3.3-7)

Für das Beispiel mit N = 6 gilt danach für n = 2 und m = 3

Xo 0 0

xl 0 0

x e x s s(O) +xo s(l) +x o s(2)0 x2 0

+ +- - -3,2 - -3,2 - -3,20 x3 0

0 0 x4

0 0 x5

und

Xo 0

xl 0

x =x ° s(O) + x 0(1) x2 0

- - -2,3 - ~2,3 +

0 x3

0 x4

0 x5

Hinsichtlich der Bezeichnungsweise ist festzuhalten: Bei beiden Operatoren d( \I)( ) -n,m

und s \I bestimmt der erste Index n die Anzahl der erzeugten Folgen, der zweite-n,mIndex m die Anzahl der nichtverschwindenden Elemente pro Folge und der hochge-

stellte Index \I die laufende Nummer der erzeugten Folgen.

Zur Bestimmung der Abbildungen von Dezimierung und Segmentierung durch die

DFT müssen wir zunächst die diskreten Fourier-Transformierten der entsprechen

den Operatoren berechnen. Hier genügt es, die Fälle k = 0 bzw. ~ = 0 zu betrach

ten und dann den Verschiebungssatz (3.2-55) anzuwenden. Zur Vereinfachung der


Schreibweise lassen wir die hochgestellten Indizes weg, wenn sie gleich 0 sind. Es

gilt also: d (O) "= d und s (O) "= s • Für den letzteren Operator folgt aus-n,m -n,m -m,n -m,n

(3.3-6) und (3.2-54) sofort

n-1

Ws = T '\' ~k .--m,n ~

k=O

Die Anwendung von (3.2-55) liefert dann allgemein

In-1 )Ws (J.l.) = W(Tö * s ) = w ° T '\' w

k•

--m,n - -J.l. -m,n -J.l. ~ -k=O

(3.3 -8)

(3.3-9)

Das (i+ 1 ) - te EIern ent von W d ergibt sich nach der Sum m enorthogonal it ät--n,m(2.4-29) zu

m-1 m-1

e-j2TTi\l /m = {mT für i = km, k=0,1, ••• , n- 1

T L e-j2TTi\ln/N = T L 0 sonst\1 =0 \1=0 (3.3-10)

Es gilt also speziell

Wd =mTd--n,m -m ,n

und allgemein nach (3.2-55)

Wd{k) =W{Tö *d )=mTwkod •- - n , m - -=-k - n , m - -m, n

(3.3-11)

(3.3-12)

Die Beziehung (3.3-11) stellt ein Analogon zu (2.3-24) dar, wonach die Fourier

Transformation e ines Impulskammes im Zeitbereich auf e inen Impulskamm im Fre

quenzbereich führt.

Die multiplikative Anwendung von d auf einen Vektor x läßt sich als "Abtastung"-n,m -der aus den Elementen von ~ gebildeten Zahlenfolge interpretieren. Ihr entspricht

nach dem Multiplikationssatz (3.2-42) die zyklische Faltung von d mit 1. = Wx :-m,n --

(3.3 -13)

Diese Beziehung ist ein Spezialfall des sogenannten U be r 1ag e run g s s atz e s der

DFT [3.5J, der sich allgemein ebenfalls unmittelbar aus (3.2-42) ergibt:

(3.3-14)

3.3 Dezimierung und Segmentierung von Folgen 97

Die rechts in (3.3-13) stehende Faltungsoperation ist der Periodisierung nach (2.4-3)

vergleichbar: Sie verursacht eine Überlagerung der Elemente von :L derart. daß nur

die ersten m Zeilen von (3.3-13) linear unabhängigen Gleichungen entsprechen. Die

übrigen N-m Zeilen ergeben sich dann durch (n-l) -fache Wiederholung der ersten m

Zeilen. Das läßt sich genauer zeigen. wenn wir (3.3-13) unter Anwendung von(3.3-4)

in der folgenden Form schreiben:

g:= ~(~ 0 ~n.m) = T(m/N)

n-l

Lv=O

v "'" ö •L - vm (3.3-1S)

Die (k+l) -te Zeile dieser Vektorgleichung ergibt sich demnach zu

n-l

qk = (m/N) L Y(k+vm)mod N = q(k+im)mod N'v=O

i ganz. k = O. 1••••• N - 1.

Für N = 6 mit n = 3 und m = 2 gilt dann beispielsweise:

qo Xo YO + Y2 + Y4

ql 0 Y1+Y3+YS

q2 0 1 Y2 + Y4 + Yo=W "3

q3 x3 Y3+YS+Y1

q4 0 Y4+YO+Y2

qs 0 YS+Y1+Y3

Der Vektor g läßt sich daher auch folgendermaßen darstellen:

(3.3-16)

(3.3-17)

rr-d (rr os(v)).:.. - -m n {' .:.. -n m •. . v=O.l ••••• n-l • (3.3-18)

Hierin ist v aus dem angegebenen Wertevorrat beliebig wählbar. Das bedeutet fol

gendes: Wir können die m relevanten Elemente von g wahlweise in die Plätze mit

den Indizes O.l •.••• m - 1 oder m j m + 1••••• 2m - 1 oder 2m.2m + 1••••• 3m - 1.

usw. eines N-zeiligen Vektors einschreiben und die übrigen Zeilen dieses Vektors

mit Nullen auffüllen. Durch zyklische Faltung mit ~m n gelangt man in jedem Fall•

zum Vektor g. Diese Operation ist hinsichtlich der Speicherplatz-Ökonomie bei der

numerischen Ausführung der DFT von Bedeutung. wie im folgenden Kapitel gezeigt

wird.

98

3.4 Literatur

3. Die diskrete Fourier-Transformation

3.1 Zurmühl, R. : Matrizen und ihre technischen Anwendungen, 4. Aufl. Berlin,Göttingen, Heidelberg : Springer 1964.

3.2 Collatz, L. : Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Berlin, Göttingen,Heidelberg: Springer 1964.

3.3 McClellan, J .H.; Parks, T. W. : Eigenvalue and Eigenvector Decomposition ofthe Discrete Fourier Transform, IEEE Trans . on Audio and ElectroacousticsAU-20 (1972) 66-74.

3.4 Achilles, D.: Uber die diskrete Fourier-Transformation und ihre Anwendungenauf lineare zeitinvariante Systeme, Ausgewählte Arbeiten über Nachrichtensysteme, Nr. 15, herausgegeben von W. Schüßler. Universität Erlangen-Nürnberg 1971.

3.5 Achilles, D. : Der Uberlagerungssatz der diskreten Fourier-Transformation undseine Anwendung auf die schnelle Fourier-Transformation. Arch, Elektr. Ubertr.25 (1971) 251-254.

4 Die numerische Ausführung der diskretenFourier-Transformation

4.1 Vorbemerkungen

Im fo lgenden werden Prinzipien und Methoden zur numeri schen Ausführung der DFT

e rör ter t. Vereinfachend set zen wir in di esem Kapitel die Transformationskonstante

T = 1. Di e Aufgabenstellung besteht darin, aus N gegebenen (La. komplexen) Z ah

len xO,x1, · •• ,xN_ 1 die Z ahlen YO' Yl " " 'YN-l nach der F ormel

Y~

N-l

LV=O

-j2n~ v/Nx ev (4.1-1)

mit möglichst geringem Rechenaufwand zu bestimmen . Zunächst ist zu bemerken,

daß die in (4.1-1) auftretenden Koeffi zi enten insgesamt nur di e N verschiedenen

Werte exp(-j2nk/N) für k = O,l, •.• , N - 1 annehmen. Wir s etzen voraus, daß die

s e Wert e zu r Verfügung s t ehen - entweder durch Abruf von ein er vorher e rste ll ten

Datenli s t e od e r a ls Ergebni s einer Subr outine. Im wesentlichen s ind dann nur noch

Multiplikationen und Additionen bz w , Subtraktionen komple xer Zahlen auszufü h r en .

Die komplexe Mult iplikat ion entspr icht vier r eellen Multipli kationen und zw ei r e e l

l en Addit ion en und ist s omit e ine im Vergleich zur Addit ion seh r a ufwendige a r it h

m etis che Operation.

Man kann deshalb davon ausgehen, daß di e für die gesamt e Transformation benötigte

Rechenz eit bei Verwendung e ines Allzweck-Digitalrechners et wa der Anzahl M der

insge samt e r fo r de r lichen komplexen Multiplikationen proportional ist. Diese Zahl M

s tellt s omit auc h ein geeig netes Maß für die Lei stungsfähigke it von Algorithmen zur

num eris chen Ausführung der DFT dar. Wird in diesem Zusammenhang im folgenden

vo n Mult iplikationen gesprochen , so v erstehen wir dar unter di e Bildung der Produkte

jewei ls z weier komplexer Zahl en.

Prinzipiell läßt sich di e Anzahl der e r fo r de r lic hen Mult iplikationen durch

a ) weitgehende Ausnutzung der Symmetrien in den harm onischen Funktion en

exp(- j2 nk/N) un d

b ) geeignete Zusamm en fas sung von Teilsummen, die m it dem gleic hen F aktor mul

t ipli z iert werden,

100 4. Die numerische Ausführung der diskreten Fourier-Transformation

Auf dem Prinzip a basieren die meisten klassischen Methoden zur Ausführung der

DFT (z.B. [4.1]). Für relativ kurze Zahlenfolgen (z.B. N =32) sind diese Metho

den noch recht effektiv. Bei wesentlich längeren Zahlenfolgen , die früher jedoch

ohne Digitalrechner sowieso nicht verarbeitet werden konnten, s ind diese klassi

schen Methoden ungeeignet, weil bei ihnen dann die Anzahl der auszuführenden Mul

tiplikationen im wesentlichen proportional zu N2

ansteigt. Das gilt beispielsweise

für die Rungesche Faltung (z.B. [4.2]), die zur DFT einer Folge von N = 4m re

ellen Zahlen etwa N2/ 4 reelle Multiplikationen erfordert.

Das Prinzip b ist der Kern der schnellen Fourier-Transformation (en

glisch : Fast Fourier Transform =FFT), sowie sie beispielsweise von Cooley und

Tukey angegeben worden ist [4.3]. Hier steigt die Anzahl der erforderlichen Mul

tiplikationen im wesentlichen proportional zu N log N an. Für großen Wert von N

(z , B. N = 1024) wird somit die Anzahl der erforderlichen Multiplikationen um Grös

senordnungen gegenüber den klassischen Verfahren reduziert. Das Prinzip der FFT

ist nur anwendbar, wenn N keine Primzahl ist. Hohe Effektivität erreicht man für

Werte von N, die in sehr viele Primfaktoren zerlegbar sind (z.B. Zweierpotenzen) •

Es gibt sowohl klassische als auch moderne Verfahren zur numerischen Ausführung

der DFT , die beide Prinzipien a und b ausnutzen. Der Grundgedanke der FFT ist

also nicht neu, sondern schon vor Cooley und Tukey - allerdings in jeweils spezi

eller Form bei klassischen Verfahren ausgenutzt worden [4.4-4. 7J. Moderne Ver

fahren, die das FFT-Prinzip mit der Ausnutzung von Symmetrien der harmonischen

Funktionen koppeln , sind insbesondere Algorithmen der Basis 4, Basis 8 und Basis

16, sowie gemischter Basis [4.8-4.11].

Im folgenden werden einige wichtige Prinzipien der schnellen Fourier-Transforma

tion erörtert. Es ist hier nicht möglich, auf die vielen Methoden zur FFT ausführ

lich einzugehen. Detaillierte Darstellungen findet man in [4.12-4. 14J. Umfang

reiche Literaturangaben sind in [4.14-4.16J enthalten.

4.2 Prinzip der schnellen Fourier-Transformation

4.2.1 Der Cooley-Tukey-Algorithmus

(4.2-1)W(x 0 d(k) )- - -n,m

n-l

1.=Y!.~=Lk=O

Wenn N nach (3.3-1) in mindestens zwei ganzzahlige Faktoren n und m zerlegbar

ist, die größer als 1 s ind , so läßt sich der zu transformierende Vektor ~ nach

(3.3-5) dezimieren. Wegen der Linearität der DFT ergibt 1. sich dann als Summe

der diskreten Fourier-Transformierten der durch die Dezimierung entstandenen

Teilvektoren

4.2 Prinzip der s chnellen F ou rier-Transform ation

Nach e infacher Um rechnung folgt hi e r aus für T = 1 di e Beziehung

n-l m-l

Y.. = L L xk+\/n ~k+\/n 'k=O \/=0

101

(4.2-2)

deren Gültigkeit auch unmittelbar aus (3.1-16) z u e r sehen ist. Nach (3.2- 59) gilt

aber ~k+ \/n = ~k 0 ~ vn ' und wir erha lten

Xk w I·+\/n - \/n (4 . 2- 3)

Das Prinzip de r von Cool ey un d Tukey in [4. 3J angegebe nen Methode zur FFT be

s teht nun darin, zuerst di e n Teilvektoren

m-l

9.k = L xk+ \/n ~ vn'\/=0

k =O,l, • • • ,n-l (4.2-4)

a us z urec hnen und dann in eine m zweiten Schritt Y.. nach

n-l

Y.. = L ~k 0 9.kk =O

(4.2-5)

zu b estimmen. Die Bestimmung der Vektoren 9.k entspr icht im Aufwand - ge mes

sen an der An zahl der erforderlichen a r it hmetisc hen Operationen - de r Ausführung

der DF T vo n n F o lge n z u je m Ele m enten: Di e e r s ten m E le m ente vo n 9.k e rgeben

sich nach (4.2-4) a us

m -l

L\/=0

- j2n~ \//mxk+\/n e , ~=O,l, ••• ,m-l, (4.2-6)

wäh rend m an die übrigen N -rn Ele mente offe ns icht li c h durch periodische Forts et

zung e r hält:

r=1,2, ••• , n - l . (4.2-7)

Wir gehen zunächst vo n der Ann ahme aus , da ß a uch die Multiplikationen mit dem

Faktor W O = 1 ausgeführt werden. Zur Bestimmung der n Vektoren 9.k sind dann

nm 2 = mN Multiplika ti on en notwendi g. Dazu kommen nN Multiplikationen für die


Ausführung der Operation (4. 2-5). Der Gesamtaufwand zur Transformation y.. = Y!.. ~entspricht somit Nf n- m ) Multiplikationen.

Wenn N noch weiter faktorisierbar ist, so läßt sich das geschilderte Prinzip wie

derholt anwenden. Beispielsweise sei m = rp mit r,p > 1, ganzzahlig. Die n dis

kreten Fourier-Transformationen , die nach (4.2-4) auszuführen sind, lassen sich

dann ihrerseits in je p (bzw , r) diskrete Fourier-Transformationen von jeweils

r (bzw , p ) Elementen unterteilen, wobei jede dieser Transformationen m (p-r )

Multiplikationen erfordert . Der Gesamtaufwand bei der DFT einer Folge von N =npr

komplexen Zahlen entspricht dann der Ausführung von Nn + nrnf p-r-) = N{n+p+r)

Multiplikationen. Es ist leicht einzusehen , daß die DFT von

n

N =n Pk'k=1

komplexen Zahlen einen Aufwand von

ganzzahlig (4.2-8)

n

M =N L Pkk=1

(4.2-9)

Multiplikationen erfordert. Im Falle gleicher Faktoren Pk = P ist N = pn und M =

Nnp = pN 10gpN.

Die Anzahl der erforderlichen Multiplikationen läßt sich noch weiter reduzieren

durch Nichtausführung von Multiplikationen mit dem Faktor wO, durch Anwendung

des Uberlagerungssatzes der DFT (Abschnitt 4.3) und durch Ausnutzung von Sym

metrien in den harmonischen Funktionen (Abschnitt 4.4) •

4.2.2 Bestimmung von FFT-Signalflußgraphen

Zunächst stellen wir einige Uberlegungen zur S p ei c her p l atz - Öko n 0 m i e an.

Würde man alle Elemente der nach (4. 2-4) berechneten Vektoren g k speichern,

so wären hierfür insgesamt nN Speicherplätze erforderlich. Da jeder Vektor

<I.k jedoch nur m relevante Elemente enthält, die durch (4. 2-6) definiert sind, wäh

rend die übrigen sich durch periodische Fortsetzung nach (4. 2-7) ergeben , ist es

plausibel, daß man auch mit nm = N Speicherplätzen auskommen kann. Wir bilden

dazu aus den n Vektoren gk einen N-zeiligen Vektor ~ derart, daß die ersten m

Elemente von ~ den relevanten Elementen von go' die nächsten m Elemente von

~ denen von g l' usw. entsprechen. Der Vektor ~ ist also durch

n-1

~=Lk=O

(4.2-10)

4.2 Prinzip der schnellen Fourier-Transformation

gegeben. Umgekehrt erhalten wir die Vektoren ~k aus ~ durch Ausblenden der

entsprechenden Elemente von ~ und periodische Fortsetzung

103

n =(z os{k) )*d.::J.k - -n,m -m,n (4.2-11)

Es muß nun gezeigt werden, wie wir einerseits von ~ zu z und andererseits von

~ zu y... gelangen. Nach (4. 2-6) gilt

0 0 0 0qk,O w w w w xk

0 n 2n {m-1)nqk,l w w w w xk+n

0 2n 4n 2{m-1)nqk,2 w w w w xk+ 2n (4.2-12)= .

. • 20 (m-1)n (m-1) n

Qk,m-1 w w w xk+{m-1)n

Die Matr-ix hierin, die wir ~m nennen, entspricht der DFT-Matrix für m Elemente.

Dabei ist wie bisher w = exp{ - j2TT/N). Um die Teiloperationen (4. 2-12) in der Ma

trixdarstellung der gesamten DFT separieren zu können, nehmen wir nun eine Per

mut at ion der Elemente x vor, indem wir die durch Dezimierung entstandenen

N-zeiligen Vektoren x ° d{k)" zuerst durch Weglassen der Nullelemente auf m-- --fl,mzeilige Vektoren, die wir ~k nennen wollen, komprimieren und dann aus diesen Teil-

vektoren einen neuen Vektor nach

~O

~1

~n-1

=Px (4.2-13)

bilden. Dabei sei P die Matrix, die diese Permutation beschreibt. Es gilt dann

z =

W-m

W-m

W-m

~O

~1

~n-1

(4.2-14)

wobei 9 1 die Matrix ist, die durch diagonale Anordnung der n DFT-Matrizen Y! m

entsteht.

104 4 . Di e numerische Ausführung der di skreten Fourier-Transformation

Die entsprechende Abbildung von ~ a uf 1. ergibt sich durch Einsetzen von (4.2-11)

in (4.2-5)

(4.2-15)w o[d * (s(k) oz}].-k -m,n -n,m -

n-1

1. =Lk =O

Wir betrachten nun die Matrizendarstellung dieser Operationen. S(k} und Qk( ) -n m -

seien di e aus den Elementen der Vektoren s k bzw , wk gebildete~ Diagonal --n,m -m atrizen und D die aus derzeugte Zirkulante. Es gilt dann-m,n -m,n

n-1

1. =Lk=O

Q D S(k} z.-k-m,n-n,m - (4.2-16)

Die Matrizen hierin lassen sich ausmultiplizieren und summieren. Das Ergebnis

ist eine N - z e ilige quadratische Matrix

n-1G := \' Q D S(k}-2 L -k-m,n-n,m '

k=O

(4.2-17)

di e eine m at h e m at i s c heB e s c h r e i b u n g des S i g n al f I u ß g rap h e n der

Abbildung von ~ auf 1. darstellt. Insgesamt gilt dann

(4.2-18)

Es ist nicht zweckmäßig, hierin das Matrizenprodukt 9 1!: auszumultiplizieren,

da wir durch Schachtelung das b eschriebene Prinzip nach Belieben fortsetzen, d.h.

jede der DFT-Matrizen ~m in 9 1 ebenfalls durch eine (4.2-18) entsprechende

Darstellung ersetzen können m öchten. So nehmen wir zuerst die Permutation ~~

vor. Die Matrix 9 1 beschreibt dann den Signalflußgraphen , nach welchem die Ab

bildung des Vektors ~~ auf den Vektor ~ zu erfolgen hat.

Als einfaches Beispiel betrachten wir den Fall N = 6, zunächst mit m = 3 und n = 2.

Die Permutation (4.2-13) hat hier die Form

Xo 1 0 0 0 0 0 Xox2 0 0 1 0 0 0 xi

x4 0 0 0 0 1 0 x2Px = (4.2-19)xi 0 1 0 0 0 0 x 3

x3 0 0 0 1 0 0 x4

x5 0 0 0 0 0 1 x 5

4 .2 Prinzip der s c hne ll en Fourier-Transformation 105

F ür die Matrix 9 1 gilt

0 0 0w w w

0 2 4w w w

0 4 8w w w

9 1 0 0 0 {4.2-20}w w w

0 2 4w w w

0 4 8w w w

und die Matrix 9 2 lautet

00 0 0 0 0w w

0 0 0 01

0w w

0 00

0 02

w w9 2 = 0 3

{4 . 2-21}w 0 0 w 0 0

00

0 0 4 0w w

0 0 0 0 0 5w w

Der zugehörige Signalflußgraph ist in Bild 4.1 mit einer von rechts nach links lau-

fenden Flußrichtung dargestellt , so wi e es der Anwendungsreihenfolge der Matrizen

2.1 und 92

entspricht. Wir erkennen drei Knotenebenen , die den Ergebnissen der

jewe i li gen Teilschritte entsprechen: Rechts stehen die Elemente des permutierten

wOYo Xo

Y, Xl

Yl X4

YJ Xl

Y4 Xl

Bild 4.1. Signalflußgraph für FFTvon N =6 Werten beim =3 und n =2 Ys Xs


Vektors ~!.' in der Mitte die Elemente Zv des Vektors ~ =91~~ und links die

Elemente des Vektors 1. =92~. Den Signalflußgraphen gewinnt man aus den Ma

trizen 9 1 und 9 2 auf folgende Weise : Ist das jeweilige Matrixelement in der i -ten

Zeile und k-ten Spalte von Null verschieden, so zieht man einen Pfeil vom k-ten

Punkt derjenigen Knotenebene , die dem Vektor entspricht, auf welchen die Matrix

anzuwenden ist , zu dem i-ten Knotenpunkt der links benachbarten Knotenebene und

bewertet den Pfeil mit dem Matrixelement • Die Bewertungsfaktoren sind in Bild 4 .1

mit dem nach wn =w(n)mod 6 kleinstmöglichen Exponenten angegeben .

Setzen wir nun n =3 und m =2, so ergibt sich der folgende Zusammenhang,

00

0 0 0 0 ] 0 0Yo w w w w w Xo

00 0

10

2 0 3Y1 w w w w w x

30 0

2 0 4 00 0

Y2 w w w w w xl

0 0 0 3 06 0 3

Y3 w w w w w x4

0 0 4 08

00 0

Y4 w w w w w x2

00

0 s0

10 0 3Ys w w w w w Xs

(4 .2-22)

wo 9 1 durch die rechte und 9 2 durch die linke Matrix gegeben ist. Der zugehörige

Signa lfl ußgr a ph ist in Bild 4.2 dargestellt. Die für diese Form der Dezimierung er

forderliche Permutation ist bereits ausgeführt. Die Permutationsmatrix ist nicht ge

sondert angegeben .

wO Zo wOYo Xo

Y, Xl

Yz Xl

Yl X4

XzBild 4.2. Signalflußgraph für FFT

Y4 von N =6 Werten beim =2 und n =3

Ys Xsw4

Die Matrizen 91

und 92

lassen sich ohne Schwierigkeiten für beliebige Werte von

n und m bestimmen. Es ist somit möglich , die Entwicklung der zugehörigen Si

gnalflußgraphen für beliebige Faktorisierungen von N zu programmieren.

4.3 Anw endung des Überlagerungs s atzes 107

Di e in di e s em Abschnitt be s chri eben e Methode zur schne llen Fourier-Transforma

tion basiert auf einer Dezimierung des zu transformierenden Vekto rs ~. Man spricht

deshalb von "Dezimierung i m Z eitbereich" • Auf ähnliche Weis e läßt sich ein anderer,

hinsichtlich des Rechen aufwandes äqui va l ent e r Algorithmus e nt wicke ln , der von Gent

leman und Sande angegeben wurde und auf einer " Dez i m i e r ung im Frequenzbereich",

d s h , Dezimierung des Vektors 1. beruht [4.17J. Auf eine entsprechende Darstellung

dieses Prinzips wi r d hi er verzichtet.

4.3 Anwendung des Überlagerungssatzes

Die Anw endung des Überlagerungssatzes der OFT in der speziellen Form (3. 3-13)

ermöglicht eine vorteilhafte Modifikation der oben b eschriebenen Methode zur FFT

[ 4 . 18J. Im Abs chnitt 3. 3 wurde bereits gezeigt, d aß di e Elem ente Y des gesuchtenI.J.

Vektors 1. und die e r s t en m Elemente Zv = q v des Vektors ~, der nach Ausführung

von (4.2-14) a ls Zwi schenergebnis bekannt ist, durch das lineare Gl eichungssystem

( 3.3-16) verknüpft s ind , das aus füh r lich geschrieben folgendermaßen lautet :

n za =Ya + Ym + Y2m + + Y(n-1)m

n z1 =Y1 + Ym+ 1 + Y2m+ 1 + + Y(n-1)m+1(4. 3-1)

n z m-1 =Ym-1 + Y2m - 1 + Y3m - 1 + + Ynm-1

In diesen m linear unabhängigen Gl eichungen kommt jedes Element des Vekto r s il.

gena u ein m a l vor. Somit lassen sich m dieser Elemente - b eispielsweise die Werte

Ym 'Ym+ 1 ' Ym+2"" ' Y2m-1 - ohne Multiplikation bestimmten, wenn di e übrigen Ele

mente Yv und die Elemente Zv bek annt sind .

Zur Veranschaulichung di eser Methode betrachten wir wieder das Beispiel N = 6,

zunächst mit der Aufspaltung m = 3 und n = 2. Das Gleichungs system (4. 3-1) lautet

dann

(4.3-2)

Wir gehen nun folgendermaßen vor: Zuerst werden a ll e Elemente za' z1 ' •.. ,zs be

s tim m t , s o wie e s dem e r s t en Teil des Signalflußgraphen von Bild 4.1 entspricht.

Aus di esen werden dann di e Wert e Ya ' Y1 und Y2 nach

(4.3-3)


berechnet. Die Elemente Y3'Y4 und Y5 hingegen ermitteln wir aus (4 .3-2):

Y3 =2 zo - Y0 =zo - z 3 '

Y4 =2 zl - Yl =zl - w z4 '

2Y5 =2 z2 - Y2 =z2 - w z5 •

(4 .3-4)

wobei zu beachten ist, daß die rechts stehenden P r odukte schon in (4.3 - 3 ) auftre

ten und mithin bekannt sind. Hieraus folgt eine Modifikation des Signalfiußgraphen

von Bil d 4 .1, die in Bild 4.3 dargestellt ist . Dabei haben wir diesmal alle Gewichts

faktoren wO durch 1 ersetzt.

E ine entsprechende Modifikation des Signalfl ußgraphen von Bild 4.2 erhalten wir ,

wenn der Überlagerungssatz mit der Aufspaltung m =2 und n =3 angewendet wird.

Das Gleichungssystem (4 .3-1) hat hier die Form

3 zo = Y0 + Y2 + Y4 ' 3 z 1 = Y1 + Y3 + Y5

Wir berechnen beispielsweise nun zunächst YO' Yl' Y4 und Y5 direkt nach

(4 .3-5)

Y0 =Zo + z2 + z 4

4 2Y4 =Zo + w z2 + w z4 '

(4.3-6)

di e Werte Y2

und Y3 hingegen ohne weitere Multiplikation aus

Y2 = 3z0 - Y0 - Y4 =Zo - z2 - z4 (4 .3-7)

Ein möglicher Signalflußgraph hierfür ist in Bild 4 .4 dargestellt .

(4 .3-8 )

Wir berechnen nun a llgemein die Anzahl der erforderlichen Multiplikationen für den

modifizierten FFT-Algorithmus. Dabei nehmen wir außerdem an, daß die Multipli

kationen mit dem Faktor wO nicht ausgeführt werden . Be i der Faktorisierung N =mn

entspricht die Berechnung der Elemente des Vektors z der Ausführung der DFT von

n Folgen zu je m Werten, wobei nun nl m - 1)2 MUltiplikationen notwendig sind .

N - m der Elemente y müssen direkt nach (4.2-5) bestimmt werden. Unter diesen~

sollte sich das Element YO befinden, da seine Berechnung ohnehin keine Multiplika-

tionen erfordert. Für diesen zweiten Schritt ergibt sich dann ein Aufwand von

(N - m - 1) (n - 1) Multiplikationen , da die übrigen m Elemente von 1. ohne weitere

4.3 Anwendung des Überlagerungssatzes 109

Multiplikationen durch Anwendung des Überlagerungssatzes gewonnen werden . De r

Gesamtaufwand für die Aufspaltung N =nm beträgt dann beim abgewandelten Algo

rithmus n(m - 1) 2 + (N - m - 1)(n - 1 ) =N(m + n - 4) + m + 1 Multiplikationen .

Wenn n und m nicht gleich groß sind, hängt der Aufwand von der Art der Aufspal

tung ab, wobei der Fall m < n günstiger ist als der Fall n < rn , Wie man anhand

der Signalflußgraphen in den Bildern 4 .3 und 4 .4 nachprüfen kann, erfordert die

AUfspaltung m =3 und n =2 die Ausführung von 10 Multiplikationen, während für

m = 2 und n = 3 nur 9 Multiplikationen notwendig sind .

Yo~-----------,p----<lO::->--.,....-----__",Q Xo

Y, ~-----''-<------,-r------,P---~=---''''-~~--'''::::;;IO X Z

Yz~-----:~-----:~----..,p---$:::"""'>:-------='O x4

Yl <5-_----:~-____:~-----'o-_-~---i>-------__",Q Xl

Ys <5-_----------'0-_-$:::.......>:-------='0 Xs

Bild 4.3 . Modifikation des Signalflußgraphen von Bild 4.1 bei Anwendung des Uberlagerungssatzes der DFT

ZoYo Xo

Y, Xl

Yl Xl

Yl X4

Y4 Xz

Ys XsWl

Bil d 4 . 4 . Modifikation des Signalflußgraphen von Bild 4 .2 bei Anwendung des Uberlagerungssatzes der DFT


Läßt sich m weiter in die Faktoren p und raufspalten, so ist das gleiche Prinzip

auch auf die DFT der n Folgen zu je m = pr Werten anwendbar, und man muß für

diese dann nur noch n [m(p + r - 4)+ P + l)J Multiplikationen ausführen, was ins

gesamt zu einem Aufwand von N (n + p + r - 6 + l/n + l/r) Multiplikationen führt.

Dabei ist es für verschieden große Faktoren n,p und r wiederum am günstigsten,

die Aufspaltung so zu wählen, daß p der kleinste der drei Faktoren ist.

Die fortgesetzte Anwendung dieses Prinzips führt bei einer nach (4.2-8) zerleg

baren Zahl N auf die Ausführung von

(4.3-9)

Multiplikationen. Bei verschieden großen Faktoren Pi sind die günstigen Gruppie

rungen für p ~Pk gegeben. Im Falle gleicher Faktoren p. =p folgt aus (4.3-9):n 1

M(N = pn) = Nn(p - 2) + N(n - l)/p + 1 (4.3-10)

Für verschiedene Werte der Basis p ist die Anzahl der erforderlichen Multiplika

tionen in Abhängigkeit von n in Bild 4.5 dargestellt. Der OptimalfaU liegt hiernach

bei der Basis p = 2, wo

M(N = 2n) = (N/2)(n - 1)+ 1 "" (N/2)(n - 1) = (N/2)ld(N/2)

Multiplikationen ausgeführt werden müssen.

(4.3-11)

0=20= 30=50=7

Bild 4.5. Anzahl M der erforderlichenMultiplikationen bei der FFTfür N = a n nach [ 3 . 19J

4.4 Schnelle Fourier-Transformation bei Zweierpotenzen 111

Der Bereich zwischen den Faktorisierungen N = Zn und N = 3n wird weitgehend

durch Faktorisierungen der Form N = 3m Zn-rn bzw. N = Sm Zn-rn ausgefüllt. Ei

nige Beispiele dieser Art s ind in Bild 4.6 dargestellt.

M"

104

Bild 4.6. Anzahl M der erforderlichen Multiplikationen beider FFT für N =3" Zn-"und N =Sj.Zn- j. nach [3.19J

-- 3"---- 32 • Z"-1- .- 3·Z"-1•.......... 5·Z"-1-- Z"

4.4 Schnelle Fourier-Transformation bei Zweierpotenzen

Die Faktorisierung N = Zn ist besonders vorteilhaft für die schnelle Fourier-Trans

formation : Einmal ist die erforderliche Rechenzeit minimal, wie man aus den Bil

dern 4. Sund 4.6 entnehmen kann. Sodann lassen sich für diesen Spezialfall FFT

Programme von sehr einfacher Struktur entwic keln . Schließlich bestehen - da N

durch 4 teilbar ist - Möglichkeiten, die Quadrantsymmetrien der Sinus- und der

Cosinusfunktion auszunutzen.

4.4.1 FFT-Signalflußgraphen

Betrachten wir zunächst das einfachste Beispiel N =4. Die Permutation der Ele

mente des zu transformierenden Vektors!. führt auf die Folge lxO,x z,xl ,x3 1. Die

Mat rizen 91

und 9z des Signalflußgraphen ergeben sich zu

(4.4-1)

112

und

4. Die numerische Ausführung der diskreten Fourier-Transformation

1 0 1 0

10 1 0 1

9 2 = L g k Q2 2§.~kk =w

2 {4.4-2}, , 1 0 w 0k=O

0 1 03

w

Der zugehörige Signalflußgraph ist in Bild 4.7 dargestellt. Durch Anwendung des

Uberlagerungssatzes {3. 3 -13} • der hier zu den Beziehungen

2 zo = YO + Y2, {4.4-3}

ZoYo ~.......--------p=-_-----"",?.o Xo

Y, c.:--.........--*----?J'=-_-----....:::'O x2

Y2~-----"*---~o:::-----------:::::.o x,

Y3CI!'---"-------'l:lo=-_--------:::'O x3

Bild 4.7. Signalflußgraph für FFTvon N = 4 Werten

führt, läßt s ich die Anzahl der Multiplikationen noch reduzieren, indem man Y2 und

Y3 aus

Y2 = 2z0 - Y0 = Zo - z2' Y3 = 2z1 - Y1 = z 1 - wZ3{4.4-4}

ermittelt, während YO und Y1 wie vorher nach YO = Zo + z2 und Y1 = z1 + wz 3 be

rechnet werden. Das hierbei auftretende Produkt wz 3 wird natürlich nur einmal

ausgerechnet. Der entsprechende modifizierte Signalflußgraph ist in Bild 4.8 darge-

Zo 1 ZoYo Xo

Y, x2

Y2 x,

Y3 X3

Bild 4.8. Modifikation des Signalflußgraphen von Bild 4.7 nach Anwendung des Uber lagerungssatzes der DFT


stellt. Die eingeführte Zwischenebene beschreibt die Abbildung des Vektors ~ auf

einen Vektor ~'. Nur bei dieser Abbildung treten noch Multiplikationen auf, während

die Abbildungen von ~ auf ~ und von ~ I auf i!... multiplikationsfrei erfolgen , wobei

nur noch die Summen und Differenzen jeweils zweier Elemente gebildet werden. Die

se Grundoperation, die bei allen FFT-Algorithmen für Zweierpotenzen immer wieder

auftritt, wird im englischen Sprachgebrauch als "Butterfly" bezeichnet. Bild 4.9

zeigt die Butterfly-Operationen für das Beispiel N = 4. Zu bemerken ist noch, daß

in Bild 4.8 der Pfeil von z2 nach z2 mit dem Faktor wO bewertet ist, weil diese

Multiplikation bei dem unten angegebenen einfachen FFT-Programm tatsächlich aus

geführt wird.

Bild 4.9. "Butterfly"-Operationen

Die Signalflußgraphen für höhere Zweierpotenzen lassen sich nach dem Schachte

lungsprinzip sehr leicht aufbauen. Die Schlüsseloperation hierzu ist die Bestimmung

der Matrix 22 für jeden Teilschritt der FFT und ihre Modifikation durch Anwendung

des Uberlagerungssatzes. Die zugehörige Lösung läßt sich allgemein angeben. Zu

nächst gilt für die Faktorisierung N =2 (N/2), wenn man in (4.2-17) n =2 und

m = N/2 setzt

(4 .4-5)

Man sieht leicht e in, daß sich hieraus eine N-reihige quadratische Matrix ergibt,

die in vier (N/2)-reihige Diagonalmatrizen aufgeteilt werden kann :

1

1

1

1

1

1

ow

N/2w

1w

N/2+1w

N/2-1w

N-1w

(4.4-6)


Die Elemente der Teilmatrix im rechten unteren Quadranten sind wegen wN/2 =- 1

ersetzbar durch - wO, - w1, ••• ,- wN/2- 1

• Das ist hier gleichbedeutend mit der An

wendung des Überlagerungssatzes, wie man leicht einsieht. Zur Vereinfachung der

Schreibweise führen wir nun die (N/2) -reihige Diagonalmatrix

ow1

w

Q= 2w (4.4-7)

N/2-1w

ein. Dann ist (4.4-6) darstellbar als

(4.4-8)

wobei.!. und Q die Einheitsmatrix bzw. die Nullmatrix der Reihenzahl N/2 sein sol

len. Das Matrizenprodukt rechts in (4.4-8) gibt den Signalflußgraphen an: die Dia

gonalmatrix ganz rechts die Abbildung von ~ auf ~' und die links davon stehende die

Butterfly-Operationen.

Für N = 4 gilt beispielsweise (Bild 4.8)

= [;- - - ; J-~---~1[;---~-~-~---~-11 0: -1 0 0 0 , wO 0

I '1o 1 I 0 -1 0 0: 0 w

(4.4-9)

Für N = 8 erhalten wir

1 1 1

1 -1

1 -1

1

1_______ _ _ 1 _

I 0,wI w1

1

2w

o

o

1

-1

1

1

1 1

1

1

1 -13

w

(4.4-10)

4.4 Schnelle Fourier-Transformation bei Z weierpotenzen 115

Der hierzugehörige Signalflußgraph ist in Bild 4.10 dargestellt. Er ist nach rechts

hin zu ergänzen durch zwei übereinander angeordnete Signalflußgraphen für je N = 4.

Dann ergibt sich der vollständige Signalflußgraph für N = 8 , wie in Bild 4.11 darge-

Zo

Z,

Zl

Zl

Z4

Zs

Z6

Z7

Xo

X4

Xl

X6

Xl

Xs

Xl

Zu

Zz

Z,

Yo ~+--------P---_--<l

YoQ-+-'--------p----o<:"""""o----------:'P------<>.::::,.-.-------::;:;>'O

Yl ct--+-*-*---*--p:......._-----<l

Yl Q-~~-*"""-*"--p--........-~-----------=:>O-_--<JC.~--------=:::,;,

Y4 6----*"""-*-*--4>----oc-"o-----------;;'P------<>.::::::+--------:-;::?J

Y7O---------4>-_-----<l

Bild 4.10. Teil des Signalflußgraphen fürdie FFT von N = 8 Elementen,welcher der Matrix 22 entspricht

~ ~

Vollständiger Signalflußgraph für die FFT von N = 8 Elementen bei Dezimierung im Zeitbereich und Permutation der Eingangselemente

Y7 0-......-------~_--4-_-------~_--<F'=__.,l__------"'O X7

Bild 4.11.

116 4. Die nu me r i s c he Au sführung der diskreten Fourier-Transformatio n

s te llt . Die Elemente x \) s ind s c hon in pe r mutie r te r Form a ngeor dnet . Die Kons t ruk

tion von Signalflußgraphen läßt s ich auf diese We ise mit Hilfe der Matrizen 22

für

beliebige Z we ierpotenzen mühelos vornehmen.

4.4.2 E infaches FFT-Programm

E in einfaches FORTRAN-Programm nach Cooley, Welch und Le wis [4.12,4.13 , 4 .19J ,

das die FFT für N = 2n nach di e s e m Prinzip ausführt , is t in Bild 4.12 angegeben.

SUBROUTINE FFT (X, P, M)CC FFT FOR COMPLEX DATAC PARAMETERS:C X COMPLEX ARRAY OF INPUT VALUESC P NUMBER OF STAGES (M = 2**P)C M LENGTH OF INPUT ARRAY (HAS TO BE APOWER OF TWO)C

COMPLEX X(M) , WR, W, VMV2 M/2MM1 = M-1J = 1DO 3 I = 1, MM 1IF (I .GE . J) GOTO 1V X(J)X(J) X(I)X( I ) V

1 K MV22 IF(K .GE. J) GOTO 3

J J - KK K/ 2GOTO 2

3 J J + KC

binäre i nv e r s i on

C

C

C

PI

DO 20 LLELEI~IR

W

DO 20 R

4.*ATAN(1.)

1, P~ stufenzähler2**LLE/2(1.0,0.)CMPLX(COS(PI/LE1), - SI N(PI / LE1) )

1 , LE1

DO 10 IQ= R, M, LEIP IQ + LEI dft für eine stufeV X( IP)*WRX( IP) X(IQ) - V

10 X(IQ) X( IQ) + VC20 WR I~R *W

RETURNEND

Bild 4 . 12 . FORTRAN-Programm für die FFT von N =2n

Elementen m i t Dezimier ung i m Zeitbereich und Permutation der Eingangselemente nach Cooley ,Welch und Lewis [ 4 .12 , 4 . 13. 4.19 J

4 .4 Schnelle Fourier-Transformation bei Zweierpotenzen 117

Hier werden die im Signalflußgraphen (Bild 4.11) mit wO angegebenen Gewichtsfak

tor en auch tatsächlich ausgeführt. Dieser relativ geringe Mehraufwand an Multipli

kationen ermöglicht die besonders einfache Struktur des angegebenen Programms .

Pro FFT-Stufe sind nunmehr N/2 Multiplikationen notwendig. Bei N = 2n gibt es n

Stufen und somit insgesamt einen Aufwand von

M = (N/2)n = (N/2) ld N (4 .4 -11)

oMultiplikationen . Würde man die Ausführung der Multiplikation mit w im Programm

vermeiden, so wären in der ersten Stufe N/4, in der zweiten Stufe N/8, in der drit

ten N/16 Multiplikation usw, einzusparen. In der vorletzten Stufe fielen zwei und in

der letzten schließlich noch eine Multiplikation weg. Das würde insgesamt eine Er

sparni s von N/2-1 Multiplikationen ausmachen, und man wäre dann wieder bei der

in (4 .3-11) a ngegebenen Minimalzahl von Multiplikationen.

Für di e bei N = 2n

vorzunehmende P e rmuta ti on der E lemente x gibt es e ine ein-v

fache Regel: Wir schreiben den Index \) eines jeden E lementes als Biriärzahl , Diese

Binärzahl wird an ihrer Symmetrieachse gespiegelt und entspricht danach dem Index

desjenigen Elementes, mit dem x\) bei der Permutation den Platz tauscht. Elemente

mit Indizes , denen symmetrische Binärzahlen entsprechen , bleiben an ihrem Platz .

F ü r N = 8 ergibt sich beispielsweise die in Tabelle 4 .1 angegebene P e r muta ti on.

Das ge s childerte Verfahren läßt sich leicht begründen, wenn man die bei der Ent

wicklung des Signalflußgraphen erforderlichen Dezimierungen betrachtet: Bei der

Dezimierung mit ~2,N/2 und ~~1,~/2 werden zuerst d ie Elemente mit geraden In

dizes (letztes Bit: 0) auf die ersten N/2 Plätze (erstes Bit: 0) und dann die Ele

mente mit ungeraden Indizes (letztes Bit : 1) auf die P l ä tz e von N/2 bis N - 1 (er

stes Bit: 1) gesetzt. Be i der zweiten Dezimierung der beiden Teilfolgen von je N/2

Werten mit ~2,N/4 und ~~1,~/4 we r de n dann da s vorletzte Bit und das zweite Bit

miteinander vertauscht usw; , so daß insgesamt schließlich eine vollständige Spiege

lung der binären Indizes zustande kommt.

Tabelle 4 . 1. Permutation für N = 8 durchSpie ge lung der bi nären Indizes

Index Index Index Indexdezimal binär binär , dezimal,

gespiegelt permutiert

0 o 0 0 000 0

1 o 0 1 1 0 0 4

2 o 1 0 010 2

3 o 1 1 1 1 0 6

4 1 o 0 o 0 1 1

5 1 o 1 1 0 1 5

6 1 1 0 o 1 1 3

7 1 1 1 1 1 1 7


4.4.3 Algorithmen höherer Basis, reelle Zahlenfolgen

Bei Ausnutzung der Symmetrien in den harmonischen Funktionen ergeben

sich Möglichkeiten zu einer weiteren Reduzierung der Anzahl der erforderlichen Mul

tiplikationen. Der beschriebene FFT-Algorithmus würde für den Fall N = 4 nach Bild

4.8 ein oder zwei Multiplikationen erfordern, je nachdem, ob man die eine Multiplika

tion mit wO ausführt oder nicht. Nun ist aber für eine DFT von N = 4 Zahlen offen

sichtlich überhaupt keine Multiplikation erforderlich, wenn man sie entsprechend der

zugehörigen Matrix

1

-j

-1

1

-1

1

-1-~ J-J

(4.4-12)

direkt ausführen würde. Ähnlich ist es beim Fall N = 8, für den die FFT nach Bild

4.11 fünf bzw. acht Multiplikationen erfordert. Die zugehörige DFT-Matrix hat mit

w = exp{- jn/4) = (1 - j)/\f2 die Form

1 1 1 1 1 1 1 1

1 w -j -w* -1 -w j w*

1 -j -1 1 -j -1

W8 = 1 -w* j w -1 w* -j -w

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1(4.4-13)

1 -w -j w* -1 w j -w*

1 -1 -j 1 j -1 -j

1 w* -w -1 -w* -j w

Zerlegen wir nun die zu transformierende Folge mit Xv = Civ

+ jßv

in Real- und Ima

ginärteile, so sind lediglich die Summenausdrücke (Ci 1 - Ci3 - Ci5

+ Ci7 ) , (Ci 1 + Ci2

-

Ci5 - Ci7 ) , (ß 1 - ß3 - ß5 + ß7) und (ß 1 + ß3 - ß5 - ß7) jeweils mit dem Faktor 1/'/2

zu multiplizieren, alle übrigen Operationen bestehen aus Sortieren, Vorzeichenände

rungen und Summationen. Insgesamt sind für N =8 also 4 reelle Multiplikationen

bei komplexen Folgen oder 2 reelle Multiplikationen bei reellen Folgen auszuführen.

Diese Verhältnisse werden bei den "Basis-4"- und "Basis-8"-FFT-Algorithmen aus

genutzt, wo man die Folge [x I nicht vollständig in Zweiergruppen aufteilt, sondernv

jeweils Gruppen von 4 bzw, 8 Elementen als Block der DFT unterwirft [4. 8-4.11J.

Hierdurch kann der Aufwand an Multiplikationen nochmals um 30 bis 40 %reduziert

werden [4. 15J. Die Programme sind allerdings wesentlich umfangreicher als das

oben angegebene.

Abschließend betrachten wir noch den häufig auftretenden Fall, daß die zu transfor

mierende Zahlenfolge [x Ire e 11 ist. Ohne hierauf abzielende spezielle Maßnahv


men würden die beschriebenen FFT-Verfahren zum gleichen Aufwand wie bei komple

xen Zahlenfolgen führen. Die Redundanz hierin läßt sich jedoch auf verhältnismäßig

einfache Weise zu einer Aufwandsreduzierung ausnutzen : Die Folge [x I wird zu-\I

nächst in die beiden Teilfolgen !x2n I und Ix2n+ 11 von je N/2 Elementen (n = 0,1, ••• ,

N/2-1) aufgespalten. Dem entspricht die Darstellung eines diskontinuierlichen Si

gnals als Superposition zweier Signale der halben Abtastfrequenz:

N-1

x*(t) =T L\1=0

x Ö(t - \lT)\I

(4.4-14)

N/2-1

=T Ln=O

N/2-1

x2n ö(t - 2nT) + T L x2n+ 1 ö(t - (2n + 1}T)

n=O

Für die zugehörige Fourier-Transformierte gilt dann

N/2-1__ T '\' -j2nf2nT T -j2nfTL x2ne + e

n=O

N/2-1

Ln=O

-j2nf2nTx 2n+ 1 e • (4.4-15)

Wird nun die Frequenz mit f -+ f = IJ./(NT) diskretisiert, so ergeben sich die zugeIJ.

hörigen relevanten Spektralwerte im wesentlichen durch Ausführung zweier diskre-

ter Fourier-Transformationen von je N/2 Elementen :

N/2-1 N/2-1X(f ) - T '\' -j2nlJ.n/(N/2) T -j2n lJ./ N '\'

IJ. - L x2ne + e Lne O n=O

-j2n lJ.n/(N/2)x2n+ 1 e •

(4.4 -16)

Die beiden reellen Teilfolgen IX2n 1 und !x 2n+ 1 1 werden nun zu der komplexen Folge

IX2n + jx2n+ 11 zusammengefaßt, dann wird für die letztere die DFT ausgeführt. An

hand der Zuordnung (3.2-27) lassen sich die Folgen DFT !x 2n I und DFT !x 2n+1 1

leicht aus der Folge DFT IX2n + jX2n+1 1 separieren.

Der Gesamtaufwand an Multiplikationen wird durch das geschilderte Verfahren etwa

auf die Hälfte reduziert. Verwenden wir beispielsweise das in Bild 4.12 angegebene

Programm, so sind für die FFT von N/2 komplexen Zahlen nach (4.4-11) (N/4) Id(N/2)

Multiplikationen auszuführen. Hinzukommen N/2 Multiplikationen mit den in (4.4-16)

auftretenden Phasenfaktoren.

Spezielle Programme für die FFT von reellen Zahlenfolgen findet man z , B. in

[4.9,4.11,4.14J.

120

4.5 Literatur

4. 5 Li teratur

4.1 Willers, F.A.: Methoden der praktischen Analysis, Berlin: de Gruyter 1971.

4.2 Zurmühl, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker, 5. Aufl ,Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1965.

4.3 Cooley, J. W.; Tukey, J. W. : An Algorithm for the Machine Calculation ofComplex Fourier Series. Math. Computation 19 (1965) 297-301

4.4 Pollak , L. W.: Zur harmonischen Analyse empirischer, durch eine große Zahlgegebener Ordinaten definierter Funktionen. Ann , Hydrograph. u , Maritim.Meterorologie (1926) 311-315, 344-349, 378-384.

4.5 Runge, C.; König, H.: Vorlesungen über Numerisches Rechnen, Bd , II. Berlin: Springer 1924.

4.6 Danielson, G.C.; Lanczos, C.: Some Improvements in Practical Fourier Analysis and their Application to X-ray Scattering from Liquids , J. Franklin Inst ,233 (1942) 365-380, 435-452.

4.7 Cooley, J. W.; Lewis, P. A. W.; Welche, P.D.: Historical Notes on the FastFourier Transform. IEEE Transact. on Audio and Electroacoustics AU-15(1967) 76-79.

4.8 Bergland, G.D.: A Fast Fourier Transform Using Base 8 Iterations. Math ,Computation 22 (1968) 275-279.

4.9 Bergland, G.D.: A Radix-Eight Fast Fourier Transform Subroutine for Realvalued Series. IEEE Transact. on Audio and Electroacoustics AU-17 (1969)138-140.

4.10 Singleton, R.C.: An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast FourierTransform. IEEE Transact. on Audio and Electroacoustics AU-17 (1969) 93103.

4.11 Brenner, N. M.: Three FORTRAN Programs that Perform the Cooley-TukeyFourier Transform. MIT Lincoln Lab; , Lexington/Mass., Techn. Note 1967-2,July 1967.

4.12 Oppenheim, A.V.; Schafer, R.W.: Digital Signal Pr-oceaaing, EnglewoodCliffs, N.J.: Prentice-Hall 1975.

4.13 Rabiner, L.R.; Gold, B.: Theory and Application of Digital Signal Processing.Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall 1975.

4.14 Brigham, E .0.: The Fast Fourier Transform. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall 1974.

4.15 Bergland, G.D.: A Guided Tour of the Fast Fourier Transform. IEEE Spectrum, July 1969, 41-52.

4.16 Singleton, R.C.: A Short Bibliography on the Fast Fourier Transform. IEEETransact. on Audio and Electroacoustics AU-17 {1969} 166-169.

4.17 Gentleman, W.M.; Sande, G.: F'aatF'our-ier- Transforms - for Fun and Profit.Fall Joint Computer Conference 1966, AFIPS Proc. 29 (1966) 563-578.

4.18 Achilles, D.: Der Uberlagerungssatz der diskreten Fourier-Transformationund seine Anwendung auf die schnelle Fourier-Transformation. Arch. elektr.Ubertr. 25 {1971} 251-254.

4.19 Schüßler, H. W. : Digitale Signalverarbeitung. Universität Erlangen-Nürnberg1976.

5 Schnelle Faltung und Korrelation

Im Abschnitt 2.4 wurde die diskrete Faltung als eine mögliche Form der Beschrei

bung diskontinuierlicher Systeme eingeführt . Ihre numeris c he Ausführung mittels

eines Digitalrechners stellt darüber hinaus ein Verfahren zur Real is ie rung solcher

Sys te me dar, das insbesondere bei nichtrekursiven digitalen Filter n, d . h . diskon

ti nuierlichen Syste men mit end lich la nger Impul s ant wor t wegen der dabei erzielba

ren Ve r a r be i tun gs ge s c hwin digk e i t gr oße Bedeutung besitzt . Ande r e r s e its s tellt die

diskrete Faltung auch e ine numerische Approximation des F a ltungs inte gr a l s dar und

ermöglicht so die Si m ula tion von kontinuierlichen linearen Systemen .

Die im Abschnitt 2 .1 definierten Korrelationsfunktionen von Signalen endlicher Ener

gie besitzen im wesentlichen die Form des Faltungsintegrals . Ihre Diskretisierung

füh rt daher auf Operationen, die nu meri s ch genauso wie die diskrete F altung ausge

führt werden können. Di e Methoden hi e r zu wer den im folgenden behande lt. Das grund

le gende P r in z ip besteht dar in, die diskrete F altung a ls zykli s c he Operation darzuste l

len und un te r Anwe ndun g der schnellen Four ier- Transfor mation auszuführen. Diese s

Verfahren, welches man allgemein a ls s c h n e 11 e F a lt u n g bezeichnet , hat weit

gehende Anwendungen in der digitalen Signalverarbeitung gefunden [ 5 . 1-5 . 7 J .

5.1 Diskrete Faltung und Korrelation als zyklische Operationen

Wir gehen von der diskreten F altung ( 2. 4-11) a us , beschränken un s aber zunächst

auf Zahlenfol gen e nd lic her Länge, etwa [u (O) , u (T) , •.• , u (( L - i rr) I e inerseits

und Ig(O) ,g(T) , ••• ,g ( ( K - i rr ) I a nde r e r s e its . Für die diskrete Faltung dieser

beiden Folgen gilt dann

K- l

y ( nT) = T I g ( \lT) u( NT - vr) ,

\1=0

( 5 .1-1)

122

wobei nur für die

5. Schnelle Faltung und Korrelation

N=K+L-1 (5.1-2)

Werte y(O) ,y(T), ••• ,y«N - 1)T) der Ausgangsfolge nichtverschwindende Ergeb

nisse auftreten können.

Die Konstante T wird in den meisten Definitionen der diskreten Faltung gleich 1 ge

setzt. Wir führen sie aber hier mit, weil sie in der Beschreibung diskontinuierlicher

Systeme nach (2.4-11) auftritt und außerdem bei der numerischen Approximation des

Faltungsintegrals notwendig ist. Allerdings wollen wir zur Vereinfachung der Schreib

weise y(nT) =,y(n), g("T) =,g(,,) und u(~T) =,u(~) setzen.

Als e infaches Beispiel betrachten wir zunächst die diskrete Faltung zweier Zahlen

folgen der Längen K = 3 und L = 4, die nach der Darstellung in Bild 5.1 als Abtast

folgen interpretiert werden können. Die durch die Faltung erzeugte Folge ly(n) I hat

N = 6 Werte, die sich wie folgt ergeben :

y(O) = T(g(O)u(O»,

y( 1) = T(g(O)u( 1) + g( 1)u(O»,

y(2) = T(g(O)u(2) + g( 1)u( 1) + g(2)u(O»,

y(3) = T(g(O)u(3) + g(1)u(2) + g(2)u(1»,

y(4) = T(g(1)u(3) + g(2)u(2»,

y(5) = T(g(2)u(3».

.... -.<u1I 1 ",- .... 911 1-- '" ',<- , ,// ..

'" u(3l u(2l u(1 ) u101 9(0) 9(1 "-- 9(2) ....,

3T 2T T 0 0 T 2T

Bild 5. 1. Zur diskreten F'altung zweier Zahlenfolgen

In der Matrixdarstellung lauten diese Gleichungen

(5.1-3)

y(O)

y( 1)

y(2)

y(3)

y(4)

y(5)

=T

g(O)

g(1)

g(2)

ooo

og(O)

g(1)

g(2)

oo

oo

g(O)

g(1)

g(2)

o

ooo

g(O)

g(1)

g(2)

~u(O) ~u( 1)

u(2)

u(3)(5.1-4)

5.1 Diskrete Faltung und Korrelation als zyklische Operationen 123

Die Faltungsmatrix hierin ist eine Rechteckmatrix , bei der auf jeder Diagonalen je

weils gleiche Elemente stehen. Die Nullen im oberen rechten und im unteren linken

Dreieck sind erforderlich, um - bildlich ausgedrückt - das Ineinander- und Ausein

anderlaufen der zu faltenden Folgen zu ermöglichen.

Wir erweitern nun die Operation (5.1-4) zu einer zyklischen Faltung, um den Fal

tungssatz der DFT anwenden zu können. Dazu verlängern wir den Spaltenvektor auf

der rechten Seite um K - 1 = 2 Nullelemente und ergänzen die Faltungsmatrix zu

einer 6-reihigen quadratischen Matrix. Dabei werden an die Matrix zwei Spalten an

gehängt, deren Elemente wegen der am rechten Spaltenvektor hinzugefügten Nullen

völlig frei wählbar sind, ohne daß das Gleichungssystem verändert wird. Wir wäh

len nun diese Elemente so, daß eine Zirkulante entsteht:

y(O) g(O) 0 0 0 g(2) g( 1) u(O)

y(1) g( 1) g(O) 0 0 0 g(2) u(l)

y(2) g(2) g(l) g(O) 0 0 0 u(2)= T (5.1-5)

y(3) 0 g(2) g( 1) g(O) 0 0 u(3)

y(4) 0 0 g(2) g(l) g(O) 0 0

y(5) 0 0 0 g(2) g(l) g(O) 0

Für den allgemeinen Fall der diskreten Faltung (5.1-1) würde das entsprechende

Schema folgendermaßen aussehen:

y(O) g(O) 0 0 0 g(K-1) ••• g(l) u(O)

y(l) g( 1) g(O) 0 g(2) u(1)

y(2) g(2) g(1) g(O)

g(K-l)

= Tg(K-l) u(L-l)0

{:0 {~y(N-l) 0 g(K-1) g(l) g(O)

L-l Nullen K-l Nullen

(5.1-6)

124 5. Schnelle Faltung und Korrelation

Vektoriell lautet diese Beziehung, wenn wir den links stehenden Spaltenvektor mit 1.,den rechts stehenden mi t u und die zirkulante Matrix mit G bzeichnen

y.. = T 9..!:! • (5 .1-7)

Definieren wir den Vektor ß. durch die erste Spalte von G, s o läßt sich dieser Zu

sammenhang auch in der symbolischen Form der zyklischen Faltung schreiben :

Aus dem Faltungssatz (3.2 -40) folgt dann

s. =Tß. * .!:! =~ -1 I(~ß.) 0 (~.!:!) I .

(5.1-8)

(5.1-9)

Somit läßt s ic h d ie diskrete Faltung über die rechts stehenden Operationen , d , h,

i m wesentlichen zwei OFT und eine lOFT mit Hilfe der schnellen Fourier-Transfor

mation numerisch ausführen (schnelle Faltung). In diesem Zusammenhang sei dar

auf hingewiesen, daß die Anzahlen L - 1 und K - 1 der an die Zahlenfolgen Ig( \I) Ibzw. lU(\I) I angehängten Nullelemente nur Mindestanzahlen darstellen , die notwen

dig sind, um die diskrete Faltung als zyklische Faltung auszudrücken. Man kann

darüber hinaus die Längen beider Folgen in gleichem Maße durch Anhängen weiterer

Nullen vergrößern , ohne das Ergebni s zu verändern. Es ergibt sich dann nur eine

um entsprechend viele Nullelemente verlängerte Ergebnisfolge \y( \I) I. Auf diese

Weise kann man Werte von N erhalten, die für die FFT günstig sind (z.B. Zweier

potenzen) •

Die diskreten Korrelationsoperationen lassen sich ebenfalls nach dem Prinzip der

schnellen Faltung numerisch ausführen. Betrachten wir zunächst die d i s k r e t e

Kreuzkorrelation zweier reeller Folgen endlicher Länge !g(O) ,g(1) , ••• ,g(K-1) Iund !x(O) ,x(1), • •• ,x(L-1)}. Die beiden möglichen Operationen, die der Diskreti

sierung der Kreuzkorrelationsfunktionen (2.1-26) bzw, (2.1-27) entsprechen, sind

folgendermaßen definiert:

K-1

p(nT) == p(n) = T L g(\I)x(n + \I),

\1=0

L-1

cp(nT) == cp(n) =TL g(\I + nIxf v ) •

\1=0

(5.1-10)

(5.1-11)

5.1 Diskrete Faltung und Korrelation als zyklische Operationen 125

Wir wählen die Matrizendarstellungen dieser Operationen so, daß wir wieder die

zirkulante Matrix g, die in (5.1-6) dargestellt ist, verwenden können. Dazu defi

nieren wir die folgenden Spaltenvektoren:

P(L-l)

P(L-2)

P = P(0)

P(-1)

p ( - K + l )

x(L-l)

x(L-2)

x= x(O) (5.1-12)

~) K-lNullen

Man überzeugt s ich leicht, daß nun die diskreten Kreuzkorrelationsoperationen

(5.1-10) und (5.1-11) in gleicher Weise durch

vektoriell darstellbar s ind, wobei von der Beziehung

p ( n ) = cp( - n},

(5. 1-13 )

(5.1-14)

die sich unmittelbar aus (5.1 -10) und (5.1-11) ergibt, Gebrauch gemacht wird.

Die sc h ne 11 e Kor re 1a t ion entspricht dann der Ausführung der Operationen

(5.1-15)

mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation.

Betrachten wir nun die dis k r e t e Au t 0 kor re 1at ion einer reellen Folge

19( v) I von K = L Werten:

K-l

r(nT) =: r(n) = T L g( v)g(n + v) •

v=O

(5.1-16)

Sie läßt sich als zyklische Operation unter Verwendung der zirkulanten Matrix 9darstellen:


r(O)

r( 1)

r(K-1)

r(-K+1)

r(-1)

=T

g(O)g(1)

g(2)

g(K-1)

o

o

og(O)g(1)

o

oo

g(O)

g(K-1)

o g(K-1)

g(1)

g(1)

g(2)

g(K-1)

o

og(O)

g~O) 1.) K-1~ Nullen

g(K-1)

g(1)

(5 .1-17)

Der rechts stehende Spaltenvektor ist durch ~~~ darstellbar , den links stehenden

nennen wir E.' Es gilt dann

2 2 -1 I 2 IE. = T S!~ 0 ~ = T.ß: * (~O~) = ~ (~~) 0 (~~O~) •

Nach (3.2-16) ist wegen der vorausgesetzten Reellität von ~

und hieraus folgt, daß r s ich mi t

(5.1-18)

(5.1-19)

(5.1-20)

als 10FT eines Spaltenvektors ergibt, dessen Elemente gleich den Absolutquadra

ten der Elemente von ~~ sind.

Somit sind hier zwei reelle Vektoren durch die DFT miteinander verknüpft. Beide

Vektoren müssen daher nach (3.2 -27) symmetrisch im Sinne von E. = ~~E. sein.

Wir vergleichen nun den Aufwand, den die zyklischen Operationen bei Anwendung

der FFT erfordern würden, mi t dem, welcher bei der direkten Ausführung der dis

kreten Faltungs- und Korrelationsoperationen zu leisten wäre.

Zunächst wird die diskrete Faltung komplexer Folgen betrachtet: Bei der schnellen

Faltung wären nach (5.1-9) zwei DFT, eine 10FT und die Multiplikation zweier

komplexer Folgen zu je N Elementen auszuführen. Gehen wir davon aus, daß N = 2n

ist und eine FFT mit dem in Bild 4.12 angegebenen Programm nN/2 Multiplikatio

nen erfordert , so sind für die schnelle Faltung insgesamt N(3n/2 + 1) Multiplika

tionen auszuführen. Auf der anderen Seite müßte bei direkter Ausführung der diskre

ten Faltung jedes Element der Folge \u( \I) I mit jedem Element der Folge jg( \I) I

5.1 Diskrete Faltung und Korrelation al s zyklische Operationen 127

multipliziert werden, was insgesamt einen Aufwand von KL Multiplikationen erfor

dern würde. Bild 5.2 zeigt einen Vergleich der beiden Verfahren für den F all L=K=N/2.

Bild 5.2. Aufwandsvergleich zwischender schnellen und der direkten Ausführung der diskretenFaltung zweier komplexerFolgen von je N/2 Elementen(bei reellen Folgen verschiebtsich das Verhältnis um etwaeinen Faktor 2 zugunsten derdirekten Ausführung) •

/

Etwas anders liegt der Fall der diskreten Faltung bzw. Kreuzkorrelation zweier

re e 11 er Zahlenfolgen. Hier wären bei der direkten Ausführung dieser Operatio

nen KL reelle Multiplikationen nötig. Diesen stünden 4N(3n/2 + 1) reelle Multi

plikationen bei der schnellen Faltung gegenüber, wenn man die reellen Folgen als

komplexe Folgen mit verschwindendem Imaginärteil verarbeiten würde. Bei Anwen

dung spezieller Algorithmen für die FFT von reellen Folgen lassen sich die a us zu

führenden Multiplikationen etwa a uf die Hälfe reduzieren.

Bei der diskreten Autokorrelation einer Folge von N/2 reellen Zahlen wäre nach

(5.1-20) eine DFT und eine IDFT von je N reellen Zahlen, sowie die Bildung der

Absolutquadrate von N komplexen Zahlen vorzunehmen. Führen wir d ie beiden Trans

formationen jeweils als FFT von N/2 komplexen Zahlen aus (vgl , Abschnitt 4.4),

so wäre insgesamt ein Aufwand von 2nN reellen Multiplikationen zu leisten, dem

(N/2 - 1}N/4 reelle Multiplikationen bei der direkten Ausführung der diskreten Au

tokorrelation gegenüber stünden. Bild 5.3 zeigt einen entsprechenden Aufwandsver

gleich.

Bei dem in Bild 5.2 dargestell ten Vergleich zwischen der schnellen und der direkten

Ausführung der diskreten Faltung wurde die erstere insofern begünstigt, als der Fall

L = K = N/2 einen Optimalfall darstellt. Je mehr L und K voneinander abweichen,

umso stärker verschiebt sich das Aufwandsverhältnis zugunsten der direkten Aus

führung. Dieser Effekt läßt sich folgendermaßen plausibel machen : Für K« L, d s h ,

auch K «N sind die nichtverschwindenden E lemente der Zirkulanten in (5.1-6) im


wesentlichen auf einen relativ schmalen Bereich um die Hauptdiagonale konzentriert.

Infolgedessen kann die Diagonalisierung nur noch einen verhältnismäßig geringen Ge

winn bringen, dem e in gleichbleibender Aufwand für die Transformationen gegenüber

steht. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, daß dieser Effekt durch e ine segmentierte

Ausführung der schnellen Faltung umgangen werden kann.

~

I I§~~ 1/I f!' ;;::.-c:J

& -.<P~ !"' L'I

2i ~~ §S~ "i'

QJ #.~ ~"tS <,"

/

L'I'

/// /

Bild 5.3. Aufwandsvergleich zwischender schnellen und der direktenAusführung der diskreten Autokorrelation einer Folge von N/2reellen Zahlen.

5.2 Segmentierung bei langen Datenfolgen

Bei einer Reihe von wichtigen Anwendungen liegt der Fall vor, daß eine der beiden

zu faltenden bzw, zu korrelierenden Folgen endliche Länge besitzt , während die an

dere unendlich bzw, sehr lang im Vergleich zur ersten ist. Das gilt beispielsweise

für die Verarbeitung von seismischen, oiomedizini schen und radioastronomischen

Signalen , von Sprache und von Radarsignalen. Hier entspricht etwa die Folge! g( 0) ,

g( 1), .•• ,g(K - 1) I z.B. der Impulsantwort eines nichtrekursiven digitalen Filters,

einem Wanderfenster oder e inem Mustersignal, während die andere Folge lu(o),

ut t ) ,u(2), .•• 1 das zu verarbeitende Signal darstellt , welches z..B, gefiltert , ge

glättet oder mit einem Mustersignal korreliert werden soll. Wir wollen die erstere

Folge als Fenster und die letztere als Eingangssignal bezeichnen . Das Ergebnis der

Faltung oder Korrelation, die Folge !y(O) , y ( 1) ,y(2), .•• I, nennen wir Ausgangs

stgnal ,

Man kennt zwei Methoden zur segmentierten Ausführung der schnellen F'altung , Bei

beiden lassen sich die elementaren Block-Operationen als Anwendung einer N-reihi-

5.2 Segmentierung bei langen Datenfolgen 129

gen zirkulanten Matrix 2 von der in (5.1-6) angegebenen Form auf N-zeilige Spal

tenvektoren, welche aus Segmenten der Eingangsfolge gebildet werden, darstellen.

Bei der sogenannten 0 ver l a p - A d d - Met h 0 d e , die auf Stockharn [5. 1J zurück

geht, werden der Eingangsfolge lu{ \I) I aneinandergrenzende Segmente von je

L = N - K + 1 > K Werten entnommen. Diese L Werte und K - 1 angehängte Nullen

bilden jeweils die Elemente eines N-zeiligen Spaltenvektors , auf den die Matrix 2angewendet wird. Der p-te Block bei der Verarbeitung hat dann die Form

"p(O) g{O) 0 0 g{K-1) g{l) u{ p)

"p{l) g{ 1) g{O) u(p+1)

g(K-1)

"p (K-1)= T g{K-1) g(l) g(O) 0 0 u(p+L-1)

0 0]0 • K-1

"p (N-1) 0 0 g(K-1) g(O)Ö Nullen

(5.2-1)

Das Ergebnis dieser Operation, ein N-zeiliger Vektor mit den Elementen "p(\I)

stimmt nur in seinem mittleren Teil mit den gesuchten Elementen y( \I) der Aus

gangsfolge überein :

"p(\I)=y(PN+\I) für \I=K-1,K,K+1, ••• ,L-1, (5.2-2)

während die ersten K - 1 und die letzten K - 1 Elemente unvollständig sind. Be

nachbarte Blöcke ergänzen sich jedoch bezüglich dieser unvollständigen Elemente:

"p -1 (N - \I) + "p ( \I) = y (p N + \I) ,

" (N - \I) +" 1(\1) = y«p + 1)N + \I)p p+

\I=0,1, ••• ,K-2 (5.2-3)

Zur Veranschaulichung dieser Methode betrachten wir ein einfaches Beispiel: Das

Eingangssignal habe die Elemente ut v) = \I + 1 für \I = 0,1,2, ••• und sei zu falten

mit dem aus K = 3 Elementen bestehenden Fenster g( 0) = g(1) = g( 2) = 1. Das

Abtastintervall sei T = 1. Wir wählen die Segmentlänge N = 6. Daraus ergibt sich

L = N - K + 1 = 4. Die Matrixdarstellung (5.2-4) zeigt die Bildung der ersten drei

Segmente bei der Overlap-Add-Methode.

Man erkennt die Uberlappung der Segmente im Ausgangssignal. Die nach (5.2-3)

zu addierenden Elemente sind hierin als Summen dargestellt. Die letzten beiden

Elemente sind noch unvollständig, da die zugehörigen Komplemente erst im vierten

130 5. Schnelle F altung und Korrelation

Segment gebildet werden. Die z irkulante Ma tr ix 2 tritt drei ma l in d iesem Sc hema

auf, wobei sic h jeweils K - 1 = 2 Zeilen übe r lappen .

1 1 000 1 1 1

3 1 1 o 0 0 1 21.S.

6 1 1 1 0 o 0 3

9 o 1 1 1 o 0 4 1. S .

r 7+5 001 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0

4+11 000 1 1 1 1 1 000 1 0

18 1 1 1 000 52.S. 21 = 0 1 1 1 0 0 6

L 15+9 0 o 1 1 1 0 100 0 1 1 7

8+19 0 o 0 1 1 1 110001 82.S .

30 1 1 1 0 0 0 0

3.S. 33 011100 0

23+ •• 001110 9

12 +• • 000 1 1 1 10

11 3.S.

12

0

0

(5.2-4)

Bei der s oge na nnte n 0 v e r I a p - S ave - Met h 0 d e , die unabhängig von Stockham

[5.3J und Helms [ 5 . 2 J entwickelt wurde, überlappen s ich die Segmente in de r

E ingangsfolge um jeweils K - 1 E lemente. Das erste Segmen t enthä lt K - 1 Nul

len und d ie Werte uf O) bis u(L - 1). Im z we iten Segment befinden sich die Ele

mente u(L - K + 1) b is u(2L - 1), im dritten d ie Elemente u(2L - K + 1) bis

u(3L - 1), usw, Der p-te Block hat dann die folgende Form:

{: u( ( P-1)L-K+1)

u( ( P-1)L-K+2)K-1 nicht zu

y ( ( p-1)L)ve rwertendeElemente

y ( ( P-1)L+1) (5.2-5)= T G

u( pL-2 )

y ( pL- 1) u( pL-1)

5.2 Segmentierung bei langen Datenfolgen 131

D ie zirkulante Matrix .9 hierin is t die gleiche wie in (5.2-1) . Die ersten K - 1 E le

mente i m links stehe nden Spa ltenvektor s ind nicht zu verwerten und we r d en ignoriert .

D ie übr ige n L Elemente s te llen den Beitrag des p -ten Blockes zur Au sgangsfolgedar .

Zur Verans chaulichung der Overlap-Save-Methode ziehen wir wieder das oben gewähl

te Beispiel heran. Hier s ieht das Matrix s chema folgendermaßen aus:

~1 000 1 1 0

1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 1 000 11.S.

3 0 1 1 100 2 1.S.

6 o 0 1 1 1 0 3 l9 o 0 0 1 1 1 4

~1 000 1 1 5 2 . S .1 1 000 1 6

12 = 1 1 1 000 7 (5.2-6)2.S.

15 o 1 1 100 8

18 o 0 1 110 9

21 000 111 10 3.S.

~1 000 1 1 11

1 1 o 0 0 1 12

24 1 1 1 0 o 03.S.

27 o 1 1 1 o 0

30 o 0 1 1 1 0

33 000 1 1 1

Wegen der Überlappung der Segmente in der Eingangsfolge um jewe ils K - 1 = 2

Elemente sind zwei Elemente in jedem Segment der Ausgangsfolge falsch und zu

ignorieren , wie in ( 5.2-6) angedeutet is t . Pro Block ergeben s ich L = N - K + 1 = 4

richtige Werte der Ausgangsfolge . Die zirkulanten Matrizen in (5 .2-6) übe r la ppe n

sich u m jeweils K - 1 = 2 Spalten.

Beide Me thoden zur segmentierten schnellen Faltung sind hinsichtlich des Aufwandes

praktisch gleichwertig. Die DFT der e rsten Spalte in der Zirkulanten .9 wird vorab

gebildet. Dann sind pro Segment no ch eine DFT und e ine IDFT von je N Elementen

und zus ätzlich N Multiplikationen a uszuführ e n. Gehen wir davon a us , daß N =2n

ist, so ergibt s ich bei An we ndung des in Bild 4.12 angegebenen FFT-Programms,

welches nN/2 Multiplikationen erfordert, bei ins ge s a mt R Segmenten der Aufwa nd

von

M =nN/2 + R nN + RN =nN/2 + RN(n + 1) (5.2-7)


Multiplikationen. Bei einer großen Anzahl R von Segmenten fällt der einmalige Auf

wand von nN/2 Multiplikationen nicht mehr ins Gewicht, und man hat dann e t wa pro

Block N(n + 1) Multiplikationen auszuführen. Dabei werden L =N - K + 1 Elemente

der Ausgangsfolge geliefert . Der im Mittel pro Element y erforderliche Aufwand~

ist somit

A = N(n + 1)N-K+1

n + 11 - (K - 15/N

n + 1

1 - (K - 1)2-n (5 .2-8)

Dieser Aufwand l äß t sich durch Wahl der Segmentlänge N beeinflussen . Zur Ab

schätzung des Optimalwertes von N bestimmen wir das Maximum von N bezüglich

einer kontinuierlich veränderbaren Variablen n. Man erhält dann die transzendente

Gleichung

2n = (K - 1) (1 + (n + 1) In 2) , ( 5 . 2-9 )

die für positives n und K ~ 2 genau eine Lös ung besitzt, welche auf ein Minimum

von A führt. Da der für n in Frage kommende Wertebereich wesentlich kleiner ist

als der für K, bestimmt man aus (5.2 -9) zweckmäßigerweise den jeweils günstigsten

ganzzahligen Wert von K für die interessierenden ganzzahligen Werte von n , Tabelle

5.1 zeigt diese Werte und den jeweils zugehörigen mittleren Aufwand A .

Tabelle 5. 1. Optimalwerte von K fürverschiedene Segmentlän-gen N

n N K A

3 8 3 5,33

4 16 5 6,67

5 32 7 7,38

6 64 12 8,45

7 128 20 9 ,39

8 256 36 10,43

9 512 66 11 ,45

10 1 024 120 12,45

11 2 048 221 13,44

12 4 096 410 14 ,44

13 8 192 766 15,44

14 16 384 1 439 16,44

15 32 768 2 711 17,44

5 .2 Segmentierung bei langen Datenfolgen 133

Der Minimalwert des Aufwandes Amin' der sich allerdings i ;a , für nichtganzzahlige

Werte von K ergibt, folgt aus (5.2-8), wenn man (5.2-9) einsetzt:

A . = n + 1 + 1/ln2mm(5.2-10)

Bild 5.4 zeigt für verschiedene Segmentlängen N = 2n den Aufwand A als Funktion

von K. Hieraus kann man für einen vorgegebenen Wert von K die jeweils günstigste

Segmentlänge entnehmen.

Wenn man andere FFT-Programme für die schnelle Faltung verwendet, die mehr

oder weniger als (N/2)ldN Multiplikationen erfordern, so läßt sich die optimale

Segmentlänge auf ähnliche Weise leicht ermitteln. In [5.7J wurde der Fall betrach

tet, daß die schnelle Fourier-Transformation (N/2)ld(N/2) Multiplikationen er

fordert. Dabei ergeben sich nur geringfügige Unterschiede hinsichtlich der optima

len Segmentlänge. Grundsätzlich i s t jedoch zu beachten, daß es sich hier nur um

Abschätzungen handelt. Bei häufig wiederkehrenden Signalverarbeitungsaufgaben ,

die mit einem bestimmten Programm auf einem bestimmten Digitalrechner durch

geführt werden sollen, empfiehlt es sich, einen echten Rechenzeitvergleich mit ver

schiedenen Segmentlängen vorzunehmen.

Wir untersuchen nun den Aufwandsgewinn , den die segmentierte schnelle Faltung

gegenüber der direkten Ausführung der diskreten Faltung bringen kann. Dabei gehen

wir davon aus, daß die Segmentlänge optimal und die Anzahl der Segmente R» 1

sei. Die direkte Ausführung erfordert K Multiplikationen pro Ausgangswert, wäh

rend man für die schnelle Faltung bei optimaler Segmentierung in guter Näherung,

wie Bild 5.4 zeigt, den minimalen Aufwand einsetzen kann. Das führt bei komplexen

Folgen zu einem Aufwandsverhältnis A . /K von schneller zu direkter Faltung,mmdas in Bild 5.5 als Funktion der Fensterlänge K dargestellt ist. Der Regelfall in

der Anwendung wird jedoch die Faltung bzw. Korrelation reeller Folgen sein.

Hier wären bei der direkten Ausführung nur K reelle Multiplikationen pro Aus

gangswert vorzunehmen, denen bei der schnellen F altung 4 A . /K reelle Multi-mm

plikationen gegenüberstünden, wenn man das reelle Eingangssignal als komplexe

Folge mit verschwindendem Imaginärteil verarbeiten würde. Man kann jedoch die

sen Aufwand um einen Faktor 2 reduzieren, indem man nach Stockham [5. 1J folgen

dermaßen vorgeht : Jeweils zwei a ufe ina nde r folge nde Elemente der Eingangsfolge

werden zu einer komplexen Zahl zusammengefaßt , so daß eine komplexe Folge ent

steht. Faltet man diese komplexe Folge mit der reellen Fensterfunktion , so ergibt

sich wegen der Linearität der Faltungsoperation eine Folge von komplexen Zahlen ,

deren Realteile und Imaginärteile jeweils zwei aufeinanderfolgenden Elementen des

reellen Ausgangssignals entsprechen. Für je zwei Ausgangswerte ist somit etwa


der Aufwand A . zu leisten. Das Aufwandsverhältnis bei der diskreten Faltungminreeller Signale i s t daher ungefähr durch 2A . /K gege be n, wie in Bild 5.5 dargemmstellt.

22

20

18

16

14

~

<i 12

10

8

In=15

13 ~ /~P,~

1 ? ~

1'9 ...,?yJ

V~V

6/ /n=j Vp~ .>

1/I:?'"

4 6 B 103

K-

B 104

Bild 5.4. Mittlerer Aufwand A pro Element der diskreten Faltung in Abhängigkeitvon der Länge K der Fensterfunktion für verschiedene Segmentlängen.

"-

'", i' 2A/ Ki' '"1

'".AlK " r-,

t', r-,I"-

,3

Bild 5.5. Aufwandsvergleich zwischens chne ller und direkter Fal-tung bei optimaler Segmentierung (komplexe Folgen : Am1n/K ,reelle Folgen : 2 Am1n/K).

104

5 .3 Literatur

5.3 Literatur

135

5.1 Stockham jr. , T.G. : High-Speed Convolution and Correlation. Spring JointComputer Conference 1966, AFIPS Proc. 28 (1966) 229-233.

5.2 Helms, H.D . : Fast Fourier Transform Method of Computing Difference Equations and Simulating Filters. IEEE Transact. on Audio and ElectroacousticsAU-15 (1967) 85-90.

5.3 Stockham [r-, , T.G. : High-speed Convolution and Correlation with Applicationsto Digital Filtering. In : Gold, B.; Rader, C. M. : Digital Processing of Signals.New York, Toronto, London : McGraw-Hill 1969.

5.4 Achilles, D. : Uber die diskrete Fourier-Transformation und ihre Anwendungauf lineare zeitinvariante Systeme. Ausgew. Arb. über Nachrichtensysteme,Nr , 15, herausgegeben von W. Schüßler , Universität Erlangen-Nürnberg 1971.

5.5 Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. : Digital Signal Processing. Englewood Cliffs,New Jersey : Prentice Hall 1975.

5.6 Rabiner, L.R.; Gold, B. : Theory and Application of Digital Signal Processing.Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall1975.

5.7 Achilles, D. : Die diskrete Fourier-Transformation und ihre Anwendungen.In : H. W. Schüßler, Digitale Systeme zur Signalverarbeitung. Berlin , Heidelberg, New York: Springer 1973.

6 Fourier-Transformation und Spline-Interpolationin der Signalverarbeitung

6.1 Vorbemerkungen zur Signalverarbeitung

Im folgenden betrachten wir Methoden der digitalen Signalverarbeitung [6.6-6. 8J,

welche auf der Annahme beruhen, daß der Signalverlauf zwischen den Abtastwerten

durch Spline-Funktionen beschreibbar ist. Diese Hypothese liegt nicht so fern, wenn

man beachtet, daß Spline-Interpolationen La. sehr gute Approximationseigenschaf

ten besitzen und überdies auch die Shannon-Interpolation als Spline-Interpolation

unendlich hoher Ordnung interpretierbar ist. Diese letztere Aussage wird plausibel,

wenn man die Operationen im Zeit- und im Frequenzbereich vergleicht, durch wel

che kontinuierliche und diskontinuierliche Signale jeweils verknüpft sind: Bei der

Shannon-Interpolation sind das einerseits die Faltung des diskontinuierlichen Signals

mit a= (t) = (sin nt/T) / (rrt ) und andererseits die Multiplikation des periodisierten

Spektrums mit der Rechteckbewertungsfunktion A= (f), die für [r] > 1/(2T) iden

tisch verschwindet (Bild 6.1). Die entsprechenden Funktionen der Spline-Interpola

tion - in Bild 6.1 sind sie für die Polygon-Interpolation (Spline 1. Ordnung), die

kubische Spline-Interpolation und die Interpolation mit Spline-Funktionen 7. Ordnung

dargestell t - tendieren mit wachsender Ordnung der interpolierenden Polynome

gegen a= (t) bzw, A= (f).

Zweifellos ist die Shannon-Interpolation in dieser Reihe von herausragender Bedeu

tung für die Signalverarbeitung. Obwohl der Begriff des bandbegrenzten Signals eben

falls eine mathematische Abstraktion darstellt - denn Kausalität und Bandbegrenzung

sind streng genommen nicht vereinbar, wie die Shannonsche Interpolationsformel

(2.4-5) zeigt - so ist auf der anderen Seite doch die Voraussetzung der Bandbegren

zung approximativ immer durch Erhöhung der Abtastfrequenz bzw. durch Tiefpaßfil

terung des zu verarbeitenden Signals mit hinreichender Genauigkeit zu erfüllen und

technisch verhältnismäßig leicht zu überprüfen. Besonders wichtig ist hier auch die

Erhaltung der Signalklasse bei linearen Abbildungen: Bandbegrenzte Eingangssignale

führen bei linearen Systemen auf bandbegrenzte Ausgangssignale gleicher bzw. gerin

gerer Bandbreite.

Bei Spline-Interpolationen endlicher Ordnung ist die Approximationsgüte technisch

nicht so leicht überprüfbar, infolgedessen besteht eine gewisse Unsicherheit hin

sichtlich der Genauigkeit der Signalverarbeitung. Uberdies bleibt die Signalklasse

6.1 Vorbemerkungen zur Signalverarbeitung 137

1T

1T

1TI

o

1,0

1.0

1,0

1 1 0 1 1-1 -TI TI T

1,0

vÄoo(f )

1 0 1-TI TI

1,0

-T 0 T

Bild 6.1. Operationen im Zeit- und im Frequenzbereich bei verschiedenen SplineInterpolationen bzw, bei der Shannon-Interpolation

auch bei der Verarbeitung durch lineare Systeme i. a , nicht erhalten: Die Faltung

zweier kubischer Spline-Funktionen führt beispielsweise auf eine Spline-Funktion

7. Ordnung. Andererseits bestehen hier keine Probleme bei der Darstellung kau

saler Signale, und auch Unstetigkeiten in den Signalfunktionen und ihren Ableitungen

lassen sich durch Spline-Funktionen ohne prinzipielle Schwierigkeiten approximie

ren , wohingegen bandbegrenzte Signalfunktionen unendlich oft differenzierbar sein

müssen.

Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, daß die Fourier-Transformierten bestimmter

Spline-Funktionen aus den periodischen Spektren der zugeordneten diskontinuierlichen

138 6. Fourier-Transformation und Spline-Interpolation in der Signalverarbeitung

Signale durch multiplikative Bewertung mit einfachen Gewichtsfunktionen, von denen

einige in Bild 6.1 bereits dargestellt sind. gewonnen werden können. Das hat die weit

reichende Konsequenz , daß die Spektren solcher Spline-Signale mit Hilfe der diskreten

Fourier-Transformation ex akt bestimmt werden können.

6.2 Spline-Signale und ihre Spektren

Die Spline-Interpolation (z.B. [6 .1 , 6.2J ist dadurch gekennzeichnet. daß der Funk

tionsverlauf zwischen den zu interpolierenden Abtastwerten durch Polynome gegeben

ist. deren Koeffizienten durch Stetigkeitsforderungen und durch Rand- bzw. Anfangs

bedingungen festgelegt werden. Betrachten wir zur Veranschaulichung die Interpola

tion von N Abtastwerten "o -u1 • • • • •uN-1 durch kubische Spline-Funktionen (Bild 6.2) ,

y(1)

Yo (I)

/II UN-3

/Ol--..l.-_-L.-_.....L-~--T-----~---J'----..l.--...l...-__

Bild 6.2. Zur kubischen Spline-Interpolation

Hier ist die inte r poli e r ende Funktion y(t) zusammengesetzt aus Polynomen dritten

Grades y (t}, welche intervallweise verschieden sind:\I

y(t) = Yn(t) für nT~t~ (n + i rr , n = O,l , ••. •N - 2,

Yn(t) = an + bn(t - nT) + cn(t - nT)2 + dn(t - nT)3 • (6.2-1)

Insgesamt sind hier 4 (N - 1) frei wählbare Koeffizienten a • b , c und d vor-n n n nhanden , für deren Festlegung die folgenden Stetigkeitsforderungen erhoben werden :

y(nT) =u,y«n+1)T)=u l' n=O .1 •.•• •N-2,n n n n-

y~-l (nT) = y~(nT), y~-l (nT) = y~(nT), n = 1,2 ••• •• N - 2.

(6.2-2)

(6.2-3)

6.2 Spline-Signale und ihre Spektren 139

Das sind insgesamt 4 (N - 1)- 2 Bedingungen. Die beiden restlichen Freiheitsgrade

können durch Rand- oder Anfangsbedingungen abgedeckt werden. Bei den sogenann-

ten "natürlichen Splines" fordert man YÖ(O) = YN_2«N - 1)T) =0, wodurch die Krüm

mung der Gesamtfunktion minimal wird wie bei einem dünnen elastischen Kurvenlineal ,

das im Englischen als "spline" bezeichnet wird und dieser Interpolationsart den Na

men gegeben hat.

Für die Signalverarbeitung ist es aus Kausali tätsgründen zweckmäßiger, anstelle der

obigen Randbedingungen geeignete An fan g sb e d i n gun gen aufzustellen, also bei

spielsweise die Werte yÜ(O) = bO und yÖ(O) = 2cO vorzugeben. Die Fourier-Trans

formierten solcher Spline-Funktionen lassen sich leicht durch Bewertung der aus den

Abtastwerten u\l gebildeten diskreten Fourier-Transformierten mit bestimmten, all

gemein angebbaren Gewichtsfaktoren - den sogenannten "Abminderungsfaktoren"

[6.3-6.5] - und Hinzufügen einfacher Zusatzglieder, welche den Anfangsbedingungen

Rechnung tragen [6.6], ermitteln .

Wir gehen hier zunächst von dem wichtigen Sonderfall aus, daß die kubische Spline

Funktion nebst ihrer ersten und zweiten Ableitung bei t = 0 verschwinden soll:

(6.2-4)

Außerdem nehmen wir vorerst an, daß das durch Spline-Interpolation zu approximie

rende Signal nach einer gewissen Zeit wieder genügend stark abklingt, um mit hin

reichender Genauigkei t

y ( (N - 1) T) = YI ( (N - 1) T) = y" ( (N - 1) T) = 0 (6.2-5)

setzen zu können. Diese einschränkenden Bedingungen werden im Abschnitt 6.4 wie

der aufgehoben. Die hier betrachteten Spline-Funktionen sind von der in Bild 6.3 dar

gestellten Art: Die zweite Ableitung ist ein Polygonzug und die dritte eine Stufenfunk

tion , deren Derivation eine Folge von bewerteten Delta-Distributionen ergibt.

Die Verallgemeinerung solcher Funktionen führt auf die folgende Definition der Klasse

S von Spline-Signalen m-ter Ordnung:m

Wir nennen p (t) ES ein Spline-Signal der ordnung m e zk e t (k~O,ganz),m m

wenn die ersten m - 1 Ableitungen von p (t ) stetig sind, die rn-te Ableitung einem

Treppenfunktion mit äquidistanten Stufen in den Zeitpunkten t = \lT (\I ganzzahlig) mit

den Stufenhöhen q ist und das Fourier-Integral für p (t) und alle seine Ableitungen\I m

bis zur m-ten e inschließlich existiert. Die (rn + 1) -te Derivierte des Spline-Signals

hat dann die FormN-1

L\1=0

q &(t- \lT).v

(6.2-6)

140 6 . Fourier-Tra nsforma tion und Spline-Interpola tion in der Signalvera rbeitung

,~~......._--o 1

0 1 ~

0 1 V7

+[t:J-I--+--~f----

o 1

B il d 6 .3 . Bei s pi el für ein kubisches Spline-Sign a l und seine Derivierten

Die Definiti on l äß t s ich a uf Funktionen Pm (t) aus dehnen, die s ich über di e gesamte

Zeita chs e e rstr ecke n un d erst i m Unendlichen vers chwinden. Auch für die se gelten

die in diese m Abschnitt her zu le ite nde n Beziehungen si nngemäß [6 . 5J. In d er prak

ti s chen Anwendung wird man je do ch i m m er auf Zeita b s chnitte e ndliche r Länge zurück

gr e ife n , nötigenfalls durch Segmentier ung der zu verarbeitenden Signale. Dabei kann

man beliebige Signalauss chnitte über die R änder hinaus stetig i n p (t) und s einenm

beiden e rste n Ablei tungen fortsetzen, was zu maximal m zus ätzlichen Abtastwerten

a uf jeder Seite führt, di e durch die Ste tigkeitsbedingungen festgelegt sind (Abschnitt

6. 4) .

Wir betrac h ten zunächst den einfacher e n F all eines Spline-Signals erster Ordnung

P1(t) , a lso eines Polygonzuge s , der die Abtastwerte u\l linear interpoliert, wobei

Uo =uN_ 1 =0 gel te n muß:

( u 1 - u )( t - vr ) / T + U für v'I' ~ t ~ ( \I + 1) T.\1+ \I \I

(6.2-7)

6.2 Spline-Signale und ihre Spektren

Die e rste Ableitung ist dann di e Stufenfunktion

P(1 ) ( t ) = (u -u )!T für \lT~ t~ ( \I + 1)T,1 \1+1 \I

deren Derivation a uf d ie Impulsfolge

N-1

P ~ 2) ( t ) = L q\l6(t - \lT)

\1=0

141

(6.2-8)

( 6.2-9)

führt , wobei die Faktoren q\l der jeweiligen Stufenhöhe von Pi (t) a n den Stellen

t = \lT entsprechen:

q = (u 1 - 2u + U l)!T.\I \1+ \I \1 -

Die Fourier-Transformation von p~2) (t) führt a uf

(6.2-10)

N-1

p~2)(t) ~ L\1=0

( 6.2-11)

und hieraus folgt durc h Anwendung des Differentia tions s a tzes (2.1-13) die Fourie r

Transformierte von P i ( t) :

N-l

L\1=0

-j2nf\lTq e\I (6.2-12)

Se tzt man nun für q v die Werte U v nach (6.2-10) e in, so e r gi bt sich wegen

U o = uN

_1 =0

P (f) = -11 T(2nf)2

N-l

Lv=o

( )-j2nfvT

u 1 - 2u + U 1 ev+ \I \1 -

N-1-T \'

(2nfT)2 Lv=o

1-j2nf( \I- l ) T 2 -j2nfvT -j2nf( v+1) T I

u e - e +e\I

2T=------,:-(2 nfT) 2

N-1

(1 - cos2nfT) Lv=o

-j2nf\lTu e •\I ( 6. 2-13 )


Nach Substitution von

ergibt sich

N-l

I\(f) = TL\J=O

u e -j2TTf\JT\J (6.2-14)

P (f) - Isin TTfT } 2 P (f)1 - TTfT l' (6.2-15)

Das periodische Spektrum Pl (r) kann punktweise durch DFT der Abtastwerte u\J

berechnet werden, und hieraus folgt das gesuchte Spektrum des Spline-Signals erster

Ordnung durch Bewertung mit der Gewichtsfunktion

die in Bild 6 .1 dargestellt ist.

( ) _ Isin TTfT 12

Al f - TTfT ' (6.2-16)

Wir betrachten als einfaches Testbeispiel hierzu das Spline-Signal ul t) nach Bild 6.4.

1,0

Bild 6.4. Einfaches Spline-Signal 1. Ordnung

Seine Abtastung mit der Frequenz l/T führt auf das diskontinuierliche Signal u* (t) =

n(t - T) mit dem Spektrum u(f) = T exp( - j2TTfT). Die Anwendung von (6.2-15) er

gibt das Spektrum von u( t ) exakt :

(6.2-17)

Die Beziehung (6.2-15) läßt sich auf Spline-Signale m-ter Ordnung verallgemeinern

[6.5J. Die Fourier-Transformation von (6.2-6) liefert für das Spektrum eines sol

chen SignalsN-l

(j2TTf)m+l P m(f) = L Q\Je- j2TTf\JT.

\J=O

(6.2-18)


Das aus den Abtastwerten Pm (\lT) gebildete diskontinuierliche Signal hat anderer

seits das Spektrum

N-1

Pm (f) = T L Pm (\lT) e -ja-rvr ,\1=0

welches mit P (r) durch den Uberlagerungssatz (2.3-25)m

00

P (f) = \' P (f - k/T)m i...J mk=-oo

(6.2-19)

(6.2-20)

verknüpft ist. Wir setzen nun (6.2-18) ein, wobei aber zunächst die Frequenzpunkte

f = IJ./T für ganzzahliges IJ. auszuschließen sind:

N~1 -j2n(f-k/T) -rL. q e

\1=0 \I

(j2n(f _ k/T)) m-1

N-1

=L\1=0

-j2nf\lTq e

\I

N-1

L\1=0

1

(j2n(f _ k/T))m+1

Erneutes Einsetzen von (6.2-18) liefert dann

k=-ro

1

(f - k/T)m+1 •(6.2-21)

Die Summe hierin läßt sich durch rn-fache Differentiation nach f

00

Lk=-oo

1

(f - k/T) m- I

:::0

Lk=-oo

1f-k/T (6.2-22)

auf die für m = 1 bereits gefundene Lösung zurückführen. Setzen wir nämlich in

(6.2-21) m = 1, so ergibt ein Vergleich mit (6.2-15) und (6.2-22)

:::0

(f _ k~T)2 = ISi:r;;fT }2 = - ~ gf k~oo f - ~7T •


Da andererseits

I -rr j2 2d rrsin nfT = - nTf df cot fT

gilt , folgt aus (6.2-22)

co

Loder

1 _ nr (- 1)m dm

cot nrr(f_k/T)m+1- m! dfm

k=- =

(6.2-23)

co

fm+1 Lk=-=

(6.2-24)

Aus (6.2-21) ergib.t sich nun die gesuchte Beziehung

P (f) = A (f)p (f)m m m

mit

A (f) = (d/df) m( 1/f) •m nT(d/df)mcot nfT

(6.2-25)

(6.2-26)

Man kann leicht zeigen, daß dieser Zusammenhang auch für die ursprünglich ausge

schlossenen Frequenzpunkte f1/T gilt. Aus (6.2-26) folgt

und (6.2-18) geht über in

für

für

~ = 0

~=±1,±2 , ••• ,(6.2-27)

N-1

(j2n~/T)m+1Pm(~/T)= I: q\) = 0,

\)=0

(6.2-28)

wobei die Summe über alle Sprünge q verschwinden muß, weil für die Treppen

funktion p~m) (t) voraussetzungsgem~das Fourier-Integral existieren soll. Aus

(6.2-28) folgt dann

Pm(~/T)=O für ~=±1,±2, ••• , (6.2-29)


und die Gültigkeit von (6.2-25) für f = 0 ergibt sich aus (6.2-20) und (6.2-29):

P (k/T) = P (0).m m (6 .2-30)

Die Gewichtsfunktionen A (f) lassen sich aus (6.2-26) ermitteln. Es gilt beispielsm

weise

A3

( f ) 3 {Si~;fT} 4= 2 + cos 2nfT

und

= ----".----_3:.,.1:..;5:...-.__...-- ----".----_

17 + 180 cos2

nfT + 114 cos4

nrr + 4 cos6 rrrt

(6.2-31)

(6.2-32)

Diese und andere Gewichtsfunktionen sind in Bild 6.5 dargestellt.

1,00r-oo::::::::-----o:::::::::::---==:::::""':::::-=:::::-<:

0,75

0,50

0,25

o 1T

Bild 6.5. Gewichtsfunktionen A (f) = A (- f) für m = 1,3,5,7,9 ,19.m m

Die vorstehenden Betrachtungen lassen deutlich erkennen, daß die Fourier-Trans

formierten der Spline-Signale auf der gesamten Frequenzachse definiert und aus den

periodisierten Spektren P (f) ermittelt werden können. Der Überlagerungseffekt inm

(6.2-20) wird also durch die Bewertung mit A (f) vollständig kompensiert. Andem

rerseits wird bei der praktischen Berechnung von P (r) eine Diskretisierung derm


Frequenzachse vorgenommen, die sich zunächst auf die Frequenzpunkte f = ~/(NT)~

mit ~ = 0,1, ••• ,N - 1 erstreckt. Die periodische Fortsetzung der Spektralwerte

p (~/{NT» führt dann jedoch auf eine vollständige Abdeckung der Frequenzachse,m

d.h.

p {~/ (NT» = A {~/{NT»P (~/ (NT»m m m (6.2-33)

kann für alle ganzzahligen Werte von ~ bestimmt werden, wobei eine DFT von N

Werten durchgeführt werden muß und zusätzlich noch jeweils eine Multiplikation

mit dem reellen Faktor A (~/{NT» pro Frequenzpunkt vorzunehmen ist. Die Symmmetrien des Spektrums P (f) bei reellen Signalen nach (2.1-42) bleiben be

mstehen, wenn der berücksichtigte Frequenzbereich symmetrisch zu f = 0 liegt.

6.3 Faltung, Korrelation und Deconvolution von Spline-Signalen

Die Fa I tun g zweier Spline-Signale der Ordnungen n und m führt auf ein Spline

Signal der Ordnung k = n + m + 1: Für u{ t) E Sund h{ t) E S gilt [6.7Jm n

u{t) * h{t) = y{t) E Sk' k=n+m+1. (6.3-1)

Zum Beweis betrachten wir die entsprechende Beziehung im Frequenzbereich

und multiplizieren mit {j2nf)k+ 1:

U(f)H(f) = Y{f) (6.3-2)

(6.3-3)

Die inverse Fourier-Transformation führt dann auf die Faltung der entsprechenden

Derivierten

Da nach (6. 2-6) die Darstellungen

(6.3-4)

K-1

u{m+1) (t) = L;t=O

(X ö{t-KT)K

(6.3-5)


und

L-1

h (n+1}(t) -_ ~ Q L( T}~ f';l" v t - ;l"

;l,,=0

gelten, folgt aus (6.3-4) bei Anwendung von (2.2-23)

147

(6.3-6)

K-1 L-1

y<k+1} (t ) = L LK=O ;l,,=0

N-1

Q'Kß;l" ö(t - KT - xr) = Lv=O

q ö (t - vT) ,v

(6.3-7)

wobei N = L + K - 1 ist und die qv sich aus der diskreten Faltung der Q'K und ß;l"

ergeben:

K-1

qv = L Q'K ßV-K •K=O

(6.3-8)

Der Vergleich von (6.2-6) und (6.3-7) zeigt, daß y(t} ein Spline-Signal der Ord

nung k = n + m + 1 sein muß. Die Beziehung (6.3-2) läßt sich dann nach (6.2-25)

ersetzen durch

Ak(f)Y(f) = A (f}A (f)U(f}H(f) •m n (6.3-9)

Wenn man nun nach Y(f) auflöst und die Frequenzachse mit f ... f = IJ,/(NT} diskreIJ,

tisiert

(6.3-10)

so lassen sich die Abtastwerte von y(t} durch eine lOFT exakt bestimm.en [6.7]:

N-1

y(vT} = ~T L Y (NT) ej2TIIJ,vjN

IJ,=O

(6 .3-11)

Es ergibt sich so das folgende Verfahren zur numerischen Ausführung der Faltung

von Spline-Signalen : Die Abtastfolgen !u(O} ,u(T}, ••• ,u( (K - 1)T} I und Ih(O},

h(T}, ••• ,h( (L - 1)T} I werden durch Anhängen von Nullen auf Folgen von jeweils

N = K + L - 1 Elementen verlängert und dann der DFT unterworfen. Man erhält so

die Folgen !U(f } I und IH(f } I, welche miteinander zu multiplizieren und mit denIJ, IJ,

reellen Faktoren A (f}A (f }/Ak(f ) zu bewerten sind. Die lOFT führt dann aufm IJ, n IJ, IJ, .die Folge ly(vT}I.


Dieses Verfahren erfordert nur einen geringfügigen Mehraufwand gegenüber der

schnellen Faltung : Es sind zusätzlich lediglich N Multiplikationen mit reellen Fak

toren auszuführen. Für Spline-Signale sind die Resultate exakt. Bei anderen Funk

tionen entspricht die Genauigkeit der Approximationsgüte der Spline-Interpolation.

Nehmen wir an, daß uf t ) und hf t ) kubische Spline-Signale sind oder durch solche

approximiert werden, so ergibt sich als Resultat der Faltung ein Spline-Signal der

Ordnung 7. Die Bewertungsfaktoren sind hier nach (6.2-31) und (6.2-32)

2 4 617 + 180 cos TIf.l:/N + 114 cos TIf.l:/N + 4 cos TIp./N

2 •35(2 + cos znu/N)

(6.3-12)

Die Zahlenwerte dieser Faktoren sind immer positiv , und die Periodizität, die nach

(6.3-10) bestehen muß, ist leicht zu erkennen. Das Prinzip dieser digitalen Verar

beitung von Spline-Signalen ist in Bild 6.6 dargestellt.

'" u(vTlu(I) 0--<> ~---l

y (vT)0------1 I---------l X }_-o OlLL.--_---'

Bild 6.6. Digitale Verarbeitung von kubischen Spline-Signalen: ut t) '"" hf t) = y(t}

Will man statt der Faltung die Kreuzkorrelationsfunktionen von uf t ) und

h l t ) bestimmen, so ist nach (2.1-28) bzw, (2.1-29) in (6 .3-10) DU } bzw. 'HU }f.l: f.l:

durch den konjugiert-komplexen Wert zu ersetzen.

Eine Deconvolution läßt sich ausführen, wenn man (6.3-1O) nach UU} bzw.

'HU} auflöst und davon die IDFT bildet. Eine mögliche Anwendung ist die System-

I den t i f i kat ion, wo die Impulsantwort h( t) eines linearen zeitinvarianten Systems

bei bekanntem Ausgangssignal y(t} zu bestimmen ist:

N-l

h(vT} = JT Lf.l:=0

(6.3-13)


mit

149

(6.3-14)

Hierbei wird der Kehrwert von (6 .3-12) zur Bewertung verwendet. Will man die

Übertragungsfunktion H(f) bestimmen, so sind die Werte

H(f )~

(6.3-15)

105 (2 + cos 2TT~/N) { sin TT~/N 14

2 4 6 TT IN17 + 180cos TT~/N + 114cos TT~/N + 4cos TT~/N ~

zu bilden.

Das angegebene Verfahren ermöglicht die Bestimmung der Abtastwerte des gesuch

ten Spline-Signal s , welches somit eindeutig festgelegt ist. Die Zwischenwerte könn

ten dann durch Interpolation bestimmt werden.

Im folgenden betrachten wir eine andere Methode zur Verarbeitung von Spline-Si

gnalen , welche unmittelbar auf die an a log e Si g n a I f 0 r m des gesuchten Signals

führt [6.8J. Nehmen wir an. daß wieder das Spline-Signal y(t) gesucht sei. wel

ches sich nach (6.3-1) als Faltung zweier Spline-Signale uf t) und h(t) ergibt. Die

(k + l)-te Derivierte von y(t) ist nach (6.3-7) als diskontinuierliches Signal dar

stellbar. Bei bekannten Impulsstärken q muß sich y(t) durch (k + l)-fache Inte

gration aus /k+l) (t ) ergeben. Zur Bes~immUngder q transformieren wir (6.3-7)v

in den Frequenzbereich und erhalten mit (6.3-9)

N-l

Lv=O

-j2TTfvTq e

v

(6.3-16)

Diskretisieren wir nun die Frequenz mit f ... f = ~I (NT) so ergeben sich die gesuch~

ten N Werte qv durch eine lOFT

{~1k+l A (L) A (L) u(L) H(L) ej2TT~v/NNT m NT n NT NT NT •

(6.3-17)

Für den Fall, daß u( t ) und h( t) kubische Spline-Signale sind, schreiben wir dieses

Ergebnis in der Form

v=O ,l • • • •• N-l, (6 .3-18)


worin U = U(~/(NT)) und H = H(~/(NT)) sein sollen. Da die Bewertungsfaktoren~ ~

R = T 91 (2/T) sin TT~/Nt~ \2 + cos 2TT~/N1

(6.3-19)

vorab berechnet werden können, besteht der numerische Mehraufwand gegenüber

der schnellen Faltung wiederum nur in den N Multiplikationen mit diesen reellen

Faktoren R •~

Die Rückwandlung in die analoge Signalform läßt sich mit Hilfe von acht Integrierern

vornehmen, wobei die Werte qv in den Zeitpunkten t = v'I' als Anfangsbedingungen

auf den ersten Integrierer gegeben werden. Das Schema dieser hybriden Signalver

arbeitung ist in Bild 6.7 dargestellt.

Bild 6.7. Hybride Verarbeitung von kubischen Spline-Signalen

Die beschriebenen Methoden wollen wir nun an einem einfachen Beispiel testen. Das

in Bild 6.4 dargestellte Spline-Signal erster Ordnung

It/T

u( t) = ~-t/T

für 0";; t ,,;; T

für T";; t,,;; 2T

sonst

(6.3-20)

soll mit sich selbst gefaltet (korreliert) werden. Zuerst betrachten wir das Ver

fahren, welches nach (6.3-11) auf die Abtastwerte von y(t) = uf t) * uf t) führt.


Nach (6.3-10) und (6.2-17) gilt mit f = ~/(NT)~

Y(f } = u2 (f }A21

(f }/A3

(f } = (T2/3)(2+cos2n~/N}e-j2n~2/N~ ~ ~ ~

= (T2/6) 1e-j2n~/N + 4e-j2n~2/N + e-j2n~3/N 1'

151

(6.3-21)

und hieraus ergeben sich die Abtastwerte y(O} = O,y(T} = T/6, y(2T} = 2T/3 , y(3T} =

T/6 und y(4T} =O. Die Richtigkeit dieser Werte folgt aus dem Vergleich mit dem

analogen Signal y(t}, welches in (6.3-22) angegeben ist.

Für die hybride Methode ergibt sich aus (6.3-16) mit N =5, m =n = 1 und k = 3

4

T ~ -j2nWv/5 _ T(~) 4 A2 (L) u2 ( L )1...J q\l e - NT 1 NT NT\1=0

_ T3 (~) 41

sin n~/N 14 -j2n~2/N- NT n~7N e

= (1/T) (2sin n~/N)4 exp( -j2n~2/N}

1 \1 4 -j2n~/5 6 -j2n~2/5 4 -j2n~3/5 -j2n~4/5l='f - e + e - e +e

Durch Koeffizientenvergleich erhält man hieraus die Werte q\l' mit denen das dis

kontinuierliche Signal

y ( 4 ) ( t) = (1/T2) Iö ( t ) - 4 ö (t - T) + 6e(t - 2T) - 4 ö (t - 3T) + s(t - 4T) l

gebildet wird, und nach viermaliger Integration folgt hieraus

3 2yo (t) = t / (6T ) 0 ~ t ~ T

2 3 2Y1(t) = T/6+(t-T}/2+(t-T} /(2T}-(t-T) /(2T ) T ~ t ~ 2T

y(t} = Y2(t} = 2T/3_(t_2T}2/T+(t_2T}3/(2T2} 2T~t~3T.

Y3(t} = T/6-(t-3T}/2+(t-3T}2/(2T}-(t-3T}3/(6T2}

3T ~ t ~ 4T

o sonst

(6.3'-22 )

Dieses Signal ist mit seinen Ableitungen in Bild 6.8 dargestellt.

152 6 . Fourier-Transformation und Spline-Interpolation in der Signalverarbeitung

3

21

o-1

-2-3

T2y"'( t)/

T 2T 3T 141 t

O!L---++--+--f-I---""*--4T

-1

-2

04T

-1

t 1~t)

I0 T 2T 3T 4T

Bild 6.8. Beispiel für die Bestimmungeines kubischen Spline-Signals durch viermalige Integration

6.4 Berücksichtigung von Unstetigkeiten in den Spline-Signalen

Im folgenden wird erläutert, wie man die in den vorhergehenden Abschnitten beschriebe

nen Methoden auch auf solche Signale anwenden kann, deren Spline-Charakter stellen

weise gestört ist. Wir beschränken uns dabei auf den praktisch wichtigen Fall der

Interpolation durch ku bi sc h e Splines. Beispielsweise sei u{ t ) für t > 0 ein ku

bisches Spline-Signal, das für t < 0 identisch verschwinden möge, wobei für t = 0

die Unstetigkeiten

lim uf t) ="o: lim u '{t) =uo't~+O t-++O

lim u"{t) = Uöt-++O(6.4-1)

6.4 Berücksichtigung von Unstetigkeiten in den Spline-Signalen 153

vorliegen sollen (Bild 6.9). In [6.6J wurde gezeigt, wie man u(t} zu einem ku

bischen Spline-Signal vervollständigen kann, indem man das Signal und seine ersten

_""l~_o

-3T -21 -T 0

Bild 6.9. Kausales Signal mit Spline-Charakter für t > o. Die Ergänzung zum kubischen Spline-Signal ist für t < 0 angedeutet

beiden Ableitungen für t < 0 stetig fortsetzt. Der hinzugefügte Signalverlauf p( t}

erstreckt sich über maximal drei Abtastintervalle bis t = - 3T, wie in Bild 6.9 dar

gestellt ist. Die Gesamtfunktion u( t ) + p( t) ist dann ein kubisches Spline-Signal,

dessen Spektrum sich nach (6.2-25) durch Bewertung der DFT-Koeffizienten mit

den Gewichtsfaktoren A3 (r~) ergibt. Subtrahiert man von diesem Spektrum die

leicht zu ermittelnde Fourier-Transformierte von p( t) und die DFT-Terme der zu

sätzlichen Abtastwerte, so erhält man das gesuchte Spektrum von uf t) [6.6J. Zum

gleichen Ergebnis gelangt man auch über die Distributionstheorie , wie im folgenden

gezeigt wird.

Die vierte Derivierte von u ( t}, die nach (2.2-34) sofort angegeben werden kann,

unterscheidet sich von der des kubischen Spline-Signals in (6.2-6) durch drei zu

sätzliche Distributionen:

N-1

u(4}(t} =L q\l o(t - vr) + uöo(l}(t} + uOö(2}(t} + uOö(3}(t}.

\1=0

Hieraus folgt mit (2.2-8) die Fourier-Transformierte von uf t) zu

(6.4-2)

utr) 1N-1

L\1=0

(6.4-3)


Um nun andererseits das periodisierte Spektrum V(r) berechnen zu können, muß man

zunächst definieren, auf welchen Wert die Abtastung von u( t) im Zeitpunkt t = 0 füh

ren soll. Wenn wir den rechtsseitigen Grenzwert uf O) = uo einsetzen, wie es der An

fangsbedingung entspricht, so ist zu beachten, daß die Fourier-Transformation nach

(2.1-5) nur für u(O) = uO/2 eindeutig ist. Wir definieren nun

N-1

u(f) = TuO

+ T L u(vT)e-j2nfvT

v=l

(6.4-4)

und müssen daher den Term uOT/2 beim Uberlagerungssatz wieder abziehen:

co

u(f) - uo T/2 = L urr - k/T)

k=-=

N-1

=Lv=O

1

(j2n(f - k/T»4

co co

+ uö L 1 + U I L 1

k=-=(j2n(f _ k/T»3 0

k=-=(j2n(f - k/T»2

co

L 1 (6.4-5)+ uo j2n(f - k!T) .k=-=

Hierin kann die Summe über v mit (6.4-3) substituiert werden. Außerdem lassen

sich die Summen über k nach (6.2-23) ausrechnen:

co

Lk=-=

1f _ k!T = rrr cot nfT , (6.4-6)

(6.4-7)

co

Lk=-=

1

(f - k/T)3 = I rrr }3sin nfT cos nfT , (6.4-8)

=L

k=-=

1 1

(f-k/T)4= f4A3(f)(6.4-9)

6.4 Berücksichtigung von Unstetigkeiten in den Spline-Signalen

Aus (6.4-5) folgt dann

~ {Uo uD Uö } 1u(f) - uOT/2 = u(f) -i2Tif - 2 - 3 x::m

J (j2TTf) (j2TTf) 3

u"o

uD ! TTT } 2 UoTTT+ . + . cot TTfT.

(j2TTf) 2 sm TTfT j2i'i'1

155

(6 .4-10)

Wir lösen nach u(f) auf und erhalten nach e infacher Umrechnung die Beziehung

(6.4-11)

die sich von (6.2-25) nur durch das additive Ergänzungsglied

() .L { 3 ( sin TTfT) 3 jTTfT }BO f = 2TTf 2 + cos 2TTfT TTfT e - 1 Uo

j ! 3 sin 2TTfT 1}"- (2 TTf) 3 2 + cos 2TTfT· 2TTfT - Uo

unterscheidet. Dieses Ergebnis gilt auch für f = 0, wo wir

erhalten.

(6.4-12)

(6.4-13)

Der numerische Aufwand zur Bestimmung des Spektrums besteht nun in der Ermitt

lung von U(f) durch eine DFT, der Bewertung mit A3 (f) (2N reelle Multiplikationen)

und der Bestimmung der Zusatzglieder. Berücksichtigt man, daß der Faktor bei UDreell und der bei Uö rein imaginär ist, so müssen zur Berechnung von B

O(f) weitere

4N reelle Multiplikationen ausgeführt werden.

Das beschriebene Verfahren kann leicht auf beliebige Unstetigkeitsstellen erweitert

werden. Betrachten wir dazu das Signal u( - t} , das also für t < 0 ein kubisches

Spline-Signal ist, für t > 0 verschwindet und bei t = 0 die Unstetigkeiten "o- r: UDund Uö hat. Das hierzugehörige Ergänzungsglied ist im wesentlichen der konjugiert

komplexe Wert von BO(f), worin lediglich UD durch - UD ersetzt werden muß. Eine


Kombination der beiden Zusatzglieder für Unstetigkeiten am Beginn und am Ende

eines Signals führt bei Berücksichtigung des Verschiebungssatzes (2.1-11) auf das

Korrekturglied B (f), durch welches Unstetigkeiten an einer beliebigen Stelle t = to(Bild 6.10) berücksichtigt werden können :

B(f) -L { 3 (sin nfT ) 3 jnfT= zrrr 2 + cos 2nfT TTfT e -

j { 3 sin 2nfT 1 11IUll .(zrrr) 3 2 + cos 2nfT 2nfT

10-3T 10-2T 10- T

(6.4-14)

(6.4-15)

Bild 6.10. Unstetigkeiten bei t = to' die den Spline-Charakter des Signals u( t )stören (nach [6.6J)

Dabei sind lIu, lIu' und lIu" die Sprunghöhen in u(t), u' (t) bzw. u"(t), wenn man

sich der SprungsteIle von links her nähert. In Bild 6.10 ist angedeutet, wie man

bei der Bestimmung von B(i) durch stetige Fortsetzung über die Stelle t = to hinaus

vorgehen würde [6.6J •

Ein einfaches Testbeispielläßt sich aus dem in (6.3-22) angegebenen Spline-Signal

konstruieren, indem man YO(t) == 0 setzt. Der Spline-Charakter ist dann bei t = T

gestört , und es gilt

"o =T/6, Uo= 1/2, Uö= l/T •

Nach (6.4-14) und (6.4-15) ergibt sich das Zusatzglied

(6.4-16)

(6.4-17)


3 2welches genau dem negativen Wert der Fourier-Transformierten von YO(t) = t /(6T )

entspricht.

Das beschriebene Verfahren läßt sich auch zur nu m e r i sch en F ou r i er - Tr ans

f 0 r m a t i o n von Funktionen einsetzen, die nicht als Spline-Signale interpretierbar

sind. Wir betrachten dazu als einfaches Beispiel die Funktion

{

-t

u( t ) = :für

für

o ~ t

t < 0 •(6.4-18)

Sie hat nach (2.4-18) die Fourier-Transformierte u(f) = 1/(j2nf} und nach (2.4-19)

das periodisierte Spektrum 'D(f) =T/ 11 - exp( - (1 + j2nf)T} I. Die Unstetigkeiten

bei t = 0 sind "o = 1, Uo= - 1 und Uö= 1. Wenn man u( t) für t > 0 näherungs

weise als kubisches Spline-Signal auffaßt, ergibt sich für utr) die folgende Nähe

rungslösung:

.. rv .L { 3 ( sin -rr ) 3 1 }U(f) ... u(f} = U(f}A3(f} + 2nf 2 + cos 2nfT nfT -

1 { 3 ( sin nfT) 2 1 }- (2nf)2 2 + cos 2nfT nfT -

_ ........j ...... { 3 sin 2nfT - 1 I- (2nf) 3 2 + cos 2nfT 2nfT •

(6.4-19)

Eine Taylorentwicklung von U(f) für T« 1 zeigt, daß der Approximationsfehler

hier proportional zu T4 verschwindet:

U(f) - lj( f) rv T4U (f) + Glieder mit höheren Potenzen von T.

Die Differenz zwischen u(f} und 'D(f} verschwindet nach (2.4-20) dagegen nur li

near mit T. Die mittleren quadratischen Approximationsfehler

=f I u(f} - D(f} 12

dfI € 12 = ~O-=- _ (6.4-20)

(6.4-21)=f IU ( f} 12

dfo

1/(2T}J IU( f) - 'D(f} 1

2df

IEI2 = ---'0 _

und


sind in Bild 6.11 dargestellt. Zu beachten ist, daß bei 1'81 2nur die Fehleranteile im

Bereich 0 ~ f ~ 1/(2T) berücksichtigt wurden. Für Ifl > 1(2T) stellt U(f) keine Ap

proximation an u(f) mehr dar (Bild 6.12).

10 0

10-1

10-1

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-1010'

10-1 10-1 10-3 T

Bild 6. 11. Beispiel für mi ttlere quadratische Fehler bei dernumerischen Fourier-Transformation durch die DFTund bei Anwendung der impliziten Spline-Interpolationnach [6. 6J

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

o

Bild 6.12. Zur Approximation des~

Spektrums u(f) durch u(f)und U(f) für T = 0,1 nach[6.6J

Die erläuterten Zusammenhänge lassen sich auch bei der F al tung von Spline

Signalen, die stellenweise durch Unstetigkei ten gestört sind, ausnutzen. Wir be

trachten dazu die Faltung zweier kausaler Signale u( t) und h( t}, die für t > 0 als

kubische Spline-Signale darstellbar sind, aber für t = 0 selbst und in ihren ersten

beiden Ableitungen nicht stetig sind. Mit den rechtsseitigen Grenzwerten uO'

uO'Uö und h

O' hO' hÖfolgt aus (6.4-2) für die vierten Derivierten der beiden Sig-nale

K-1

u(4)(t) = L Q'x.ö(t-x.T) +uöö(1)(t) +uoö(2)(t) +uoö(3)(t), (6.4-22)

x.=O


(6.4-23)

In der achten Derivierten von y{t) = u{t) * h{t) treten nun gegenüber (6.3-7) noch

zusätzliche Terme auf, die auf die Unstetigkeiten bei t = 0 zurückzuführen sind:

N-1

y(8) (t ) = u(4) (t) * h(4) (t) = L\J=O

q 6(t - \JT)\J

+ uOlh0l6 (2) (t) + (uOlh'+ u ' h Ol ) 6(3) (t) + (uOlh + u 'h '+ u hOl) 6(4) (t)00 00 00 00 00 00

(6.4-24)

Hierin sind die q durch (6.3-8) definiert, und es gilt wieder N = L + K - 1. Bei\Jder Faltung der Distributionen wurde von (2.2-23) Gebrauch gemacht. Bestimmt

man in (6.4-24) die Werte q\J ' Q'l1. und ~\ explizit, so läßt sich das Verarbeitungs

schema von Bild 6.7 durch weitere Anfangsbedingungen ergänzen. Wir erläutern

zunächst die Bestimmung der Q'l1.' Die Werte ~\ ergeben sich dann entsprechend ,

und die q folgen aus der diskreten Faltung der Q' und 13, nach (6 .3-8). Um die\J l1. ~

schnelle Faltung anwenden zu können, verlängern wir die Folgen !Q'l1.1 und !ßAI

durch Anhängen von Nullen auf jeweils N Werte. Die Fourier-Transformation von

(6.4-22) führt dann auf

N-1

(j2nf) 4U(f) = L Q'l1. e -j2nfl1.T + uöj2nf + u6 (j2nf) 2 + Uo

(jzrrr) 3 •

l1.=0

(6.4-25)

(6.4-26)

Wir lösen nach der Summe über l1. auf und substituieren u(f) durch (6.4-11) :

N-lL Q'l1. e -j2nfl1.T = (jzrrr) 4U(f) - uöj2nf - u6 (j2nf) 2 - Uo

(j2nf) 3

= (j2nf)4U(f)A3(f) + 2+co~ 2nfT IUoj{2/T)3(sin nfT)3ejnfT

+ U6(2/T)2(sin nfT)2 -uÖ(j/T)sin 2nfT I.


Wir diskretisieren nun d ie Frequenz f ... f = IJ./ (NT), IJ. = 0,1 , ••• , N - 1, und führenIJ.

die folgenden Bezeichnungen ein:_

N-1

a lJ. = TLl1.=0

4

GIJ. = T A3 ( m. )( ~t ) ,CIJ. = j(2/T)3(sin TTIJ./N)

3(2+cos 2TTIJ.J~)exp{jTTIJ./N) ,

C~ = (2/T)2(sin TTIJ./N)2

(2+co~T2TTf]./N) ,

C~ = - (j/T) (sin 2TTIJ./N) (2+C:: 2TTIJ./N)·

Aus (6.4-26) folgt damit

a = G U + u C + U I C' + u" C"IJ. IJ. IJ. OIJ. O f]. O IJ. '

(6.4-27)

(6.4-28)

(6.4-29)

(6.4-30)

(6.4-31)

(6.4-32)

wobei wieder D = DU ) gelten soll. Werden die Gewichtsfaktoren G , C , C' undIJ. IJ. IJ. IJ. IJ.

C" vorab bestimmt und gespeichert, so lassen s ich die a durch eine DFT, welcheIJ. ~ IJ.

auf d ie Werte U führt , und weitere 6N reelle Multiplikationen bestimmen. EntIJ.

s pr ec he nde s gilt für die DFT-Werte der ß A.

N-1

blJ. = T LA.=O

ß e-j2TTIJ. A./N = G H + h C + h'C' + h"C" •A. IJ.IJ. O IJ. O f]. OIJ.

(6.4-33)

Die gesuchten Werte C1'v' ßv und q v ergeben sich nun im wesentlichen durch drei

inverse diskrete Fourier-Transformationen

lCl'vl = lOFT lalJ.l, lß vl = lOFT IblJ.l, lq I = lOFT ja b Iv IJ. IJ.

(6.4-34)

und lassen sich danach gemäß (6.4-24) als Anfangsbedingungen bei der achtfachen

Integration verwenden. Das Prinzip dieser hybriden Signalverarbeitung ist in Bild

6.13 dargestellt. Es ergänzt das Schema von Bild 6.7 für den Fall, daß der Spline

Charakter der Signale u( t) und h( t) durch Unstetigkeiten bei t = 0 gestärt ist.

Der Gesamtaufwand umfaßt i m wesentlichen, wenn man die Ausrechnung der Ge

wichtsfaktoren nicht mitrechnet, eine schnelle Faltung und we ite r e zwei inverse

diskrete Fourier-Transformationen. Hinzu kommen 12 N reelle Multiplikationen

6.5 Literatur 161

bei der Bestimmung der a und b , sowie 6N reelle Multiplikationen mit jeweils~ ~

einem konstanten reellen Faktor für die Einstellung der Anfangsbedingungen in den

Integrierern.

y(t) (>.-0-<=u(t)* h(t)

bl1

Uo.U o.Uöho.ho,hö

uoho+Uoho uöho+uoho+uohö

t=o\ 1=0\

Arithmetische Operationen

Bild 6.13. Hybride Verarbeitung von kubischen Spline-Signalen mit Unstetigkeitenbei t = 0

Die Verarbeitung der Spline-Signale kann se gm en t wei se vorgenommen werden,

wenn man die Signalendwerte eines jeden Segmentes als Anfangswerte im folgenden

Segment verwendet. Die schnelle Faltung zur Bestimmung der q\) muß dabei auch

in segmentierter Form (Abschnitt 5.2) vorgenommen werden.

6.5 Literatur

6. 1 Ahlberg, J. H.; Nilson, E. N.; Wal sh , J. L.: The Theory of Splines and theirApplications. New York : Academic Press 1967.

6.2 Bulirsch, R.; Rutishauser, H.: Interpolation und genäherte Quadratur. In:Sauer, R.; Szabo , I.: Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, Teil 1I1.Berlin , Heidelberg, New York : Springer 1968.

162 6.5 Literatur

6.3 Dällenbach, W.: Verschärftes rechnerisches Verfahren der harmonischenAnalyse. Arch. Elektrotechn. 10 (1922).

6.4 Quade, W.; Collatz, L.: Zur Interpolationstheorie der reellen periodischenFunktionen. Sitzungsberichte der preuß , Akad , der Wissenschaften, phys.math , Klasse 30 (1938).

6.5 Bauer, F. L.; Stetter, H. J. : Zur numerischen Fourier-Transformation. Numer.Math. 1 (1959) 208-220.

6.6 Achilles, D.: Pipeline Fourier Transform with Implicit Spline Interpolation.Arch. elektro Ubertr , 29 (1975) 74-80.

6.7 Achilles, D. : Convolution, Correlation , and Deconvolution of Spline FunctionsVia FFT. Nachrichtentechn. Zeitschr. 30 (1977) 654-656.

6.8 Achilles , D.: Digital Processing of Spline Signals. In Vorbereitung.

7 Digitale Methoden zur Spektralanalyse

Digitale Methoden zur Bestimmung von Leistungsspektren [7.1-7. 5J ergänzen bzw,

ersetzen in zunehmendem Maße die analoge Meßtechnik. Ihre Vorteile liegen uva,

in der höheren Flexibilität, der Möglichkeit zur Analyse von extrem niederfrequen

ten Vorgängen, wie sie beispielsweise in der Seismologie, in der Meteorologie und

in der biomedizinischen Technik auftreten, sowie auch von Signalen, die von vorn

herein in digitaler Form vorliegen. Darüber hinaus können im Anschluß an eine di

gitale Spektralanalyse weitere kompliziertere Verarbeitungsprozesse vorgenommen

werden, wie z s B; die Logarithmierung und eine erneute Fourier-Transformation bei

der Cepstrum-Analyse und allgemeinere nichtlineare Operationen bei der homomor

phen Signalverarbeitung [7. 4J.

Die Grundprinzipien der numerischen Spektralanalyse sind seit langem bekannt, und

man verwendet die klassischen Methoden im wesentlichen auch heute noch. Die Art

der numerischen Ausführung dieser Methoden hat sich allerdings nach Einführung

der FFT grundlegend geändert: In der modernen Technik führt man Korrelations

und Glättungsoperationen vorwiegend über die schnelle Faltung aus, wohingegen

früher diskrete Fourier-Transformationen nach Möglichkeit vermieden bzw. auf re

lativ kurze Zahlenfolgen beschränkt wurden.

7.1 Klassische Methoden

Die Per iod 0 g r a m m - A n a I y se diente vorwiegend zur Entdeckung verborgener

Periodizitäten in scheinbar regellosen Vorgängen, wie sie beispielsweise in der

Se ismologie oder in der Meteorologie auftreten. Man entnimmt hierzu dem zu ana

lysierenden Signal x( t) eine Probe endlicher Länge, etwa

für O~t~e

(7.1-1)sonst

164

und bildet das Per iod 0 g r a m m

7. Digitale Methoden zur Spektralanalyse

@

P@(f) = ~ f x@{t)e-j2TTftdt

2

o

durch numerische Auswertung seiner diskreten Version

(7.1-2)

N-1

L\)=0

(7.1-3)

Wenn die Probenlänge @= NT groß genug gegen die mutmaßliche Grundperiode des

gesuchten periodischen Vorgangs ist und überlagerte regellose Störungen nicht zu

stark ins Gewicht fallen, werden im Periodogramm ausgeprägte gleichabständige

Spitzen auftreten, die Hinweise auf die periodischen Signalanteile geben .

Ein einzelnes Periodogramm liefert jedoch höchst unzuverlässige Informationen über

das Leistungsspektrum eines s t 0 c ha s ti sc h e n Signals. Als Beispiel hierzu be

trachten wir weißes Rauschen mit der spektralen Leistungsdichte Sx{f) = 1.

DieVerteilungsdichtefunktion sei glockenförmig nach (2.3-43) mit m = 0 und CT~= 1.

Eine durch einen Pseudo-Zufallszahlen-Generator erzeugte Signalprobe ist in Bild 7.1

dargestellt. Bild 7.2 zeigt ein Periodogramm, das aus 1024 Abtastwerten dieses

x(t )

2

o~LJVIjWPIW~WV+iItA-A#tI\AM\JWW~

-2

-4

Bild 7.1. Signalprobe weißen Rauschens {normalverteilt, m = 0 , (J2 = 1)x

Signals hergestellt wurde. Das Mittel aller Periodogrammwerte liegt bei 0,9 und

kommt damit dem wahren Wert der spektralen Leistungsdichte verhältnismäßig nahe.

Die starken Schwankungen im Periodogramm (Varianz der Spektralwerte = 0,82)

können aber periodische Anteile im Signal maskieren bzw. vortäuschen. Der Schluß,

daß es sich bei dem analysierten Signal um weißes Rauschen handelt, läßt sich jeden

falls aus dem Periodogramm nicht ziehen.

7.1 Klassische Methoden 165

Das Periodogramm von Bild 7.2 ist typisch in seiner Erscheinung, wie allgemeinere

statistische Untersuchungen zeigen. Definiert man die Gesamtheit aller möglichen

6

5

3

2

o

Bild 7.2. Periodogramm des Rauschsignals von Bild 7.1. Wahrer Wert der spektralen Leistungsdichte : S (f) =1. Frequenzraster : f = ~/ (1024T)

x ~

Periodogramme eines stochastischen Prozesses als statistisches Ensemble (vgl ,

Abschnitt 2.3), so läßt sich für jede Frequenz f der Erwartungswert und die Varianz

des Periodogramms bilden. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt , daß das Periodogramm

asymptotisch erwartungstreu ist, d s h , daß sein Erwartungswert für @J -+ 00 gegen den

wahren Wert der spektralen Leistungsdichte strebt :

lim E!P",,(f) 1=s (f) •ö . x

@J -+00(7.1-4)

Dieses Ergebnis der Mittelwertbildung sagt aber nichts darüber aus, welche Schwan

kungen das einzelne Periodogramm gegenüber S (f) aufweist. Das Periodogrammx

wäre erst dann ein k 0 n s ist e n t e r Schätzwert für die spektrale Leistungsdichte ,

wenn seine Varianz für @J -+00 verschwinden würde , und das ist im allgemeinen nicht

der Fall. Beispielsweise gilt für reelle normalverteilte stochastische Prozesse [7. 6J

(7.1-5)

Zur Verbesserung der Ergebnisse bieten sich zwei Möglichkeiten an: Die Mit t e

lu n g über eine größere Anzahl von Periodogrammen oder die GI ä t tun g des Pe

riodogramms durch Faltung mit einer geeigneten Fensterfunktion. Die klassischen

Verfahren konzentrieren sich auf die letztere Methode, da die Bildung einer größe

ren Anzahl von Periodogrammen ohne Anwendung der FFT zu einem erheblichen

Rechenaufwand führt.

166 7. Digitale Methoden zur Spektralanalyse

Die Glättungsoperation wäre einer Tiefpaßfilterung vergleichbar, wenn man sich das

Periodogramm als zeitlichen Vorgang vorstellt. Sie kann auch indirekt durch Bewer

tung der diskreten Autokorrelierten der Signalprobe mit einer geeigneten Gewichts

funktion vorgenommen werden, wie die folgenden Betrachtungen zeigen.

Wenn man die Definition (2.3-47) der spektralen Leistungsdichte von stochastischen

Signalen auch als Meßvorschrift auffaßt, so hätte man die Fourier-Transformierte

der Autokorrelationsfunktion des zu analysierenden Signals zu bestimmen. Es bietet

sich dann an, nach Abtastung der Signalprobe xe(t) mit der Frequenz r/r = N/e die

diskrete Autokorrelierte

N-1

R(nT) = ~ L xe( vT)xe(nT + vT) ,

v=o

- (N - 1) ~ n ~ N - 1 (7.1-6)

zu bilden und hierauf die DFT anzuwenden. Diese Operationen führen aber genau auf

das Periodogramm in der diskreten Form (7.1-3)

N-1'\' (T) -j2TTfvT 2Z: xe v ev=o

N-1 N-1

LLv=o iJ.=O

N-1

Ln=-(N-1)

N-1e-j2TTfnT L

v=O

(7.1-7)

N-1=T L R(nT)e-j2TTfnT.

n=-(N-1)

Vom Ergebnis her ist ein solches Verfahren also äquivalent zur Periodogramm

Analyse. Die verschiedenen Wege der Ausführung erlauben es aber, die Glättung

wahlweise als Faltung des Periodogramms mit einer Fensterfunktion oder als Be

wertung der Autokorrelierten mit einer Gewichtsfunktion vorzunehmen (Bild 7.3).

Betrachten wir zur Veranschaulichung die Autokorrelationsfunktion des Rauschsi

gnals (Bild 7.4) : Der relevante Anteil ist die Spitze bei T = 0, der gesamte übrige

Verlauf besteht dagegen nur aus zufälligen Schwankungen, die von Probe zu Probe

verschieden sind. Ein ähnlicher Effekt zeigt sich allgemein bei stochastischen Si

gnalen mit verschwindendem Mittelwert (vgl , Abschnitt 2.3), wenn auch nicht so

extrem wie beim weißen Rauschen. Ein Ausblenden des relevanten Anteils der Auto-

7.1 Klassische Methoden

Signalprobexe( t l

Autokorrelation

R(t)

Bewertung9(tl

R(t) g(

Fourier-e----- Iranstor-

mation

~I 1

2

Pe (f l

GlättungG(f l

tl

167

FourierTransformation

Pe(t)*G(fl

geglättetes Periodogromm

Bild 7.3. Klassische Methoden der numerischen Spektralanalyse

R(nT)

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

Bild 7.4. Autokorrelationsfunktion des Rauschsignals von Bild 7.1

korrelationsfunktion der Signalprobe durch Bewertung mit einer geeigneten Gewichts

funktion g( T), welche für ITI> Tmax verschwindet, wird daher zu einem verbes

serten Schätzwert für die spektrale Leistungsdichte führen, sofern man apriori hin-


reichende Informationen über das zu analysierende Signal hat. die eine vernünftige

Wahl von T gewährleisten. Die Autokorrelationsfunktion muß dann nur noch fürmax

o ~ nT ~ T max berechnet werden.

Die bevorzugte klassische Methode zur digitalen Spektralanalyse bestand darin. die

diskrete Autokorrelierte für verhältnismäßg kleine Werte der Verschiebung T (z.B.

5 % oder 10 %der Probenlänge e ) zu berechnen, mit einer Gewichtsfunktion zu be

werten und der diskreten Fourier-Transformation zu unterwerfen [7 .1J. Diese Art

der Glättung von Periodogrammen wird heute noch mit Erfolg verwendet, wobei

Algorithmen der schnellen Autokorrelation zur Anwendung kommen (Abschnitt 7.3).

Eine andere wichtige Technik, die erst durch die FFT ermöglicht wurde, ist die

Mittelung über Periodogramme bzw. modifizierte Periodogramme. Sie wird im fol

genden Abschnitt behandelt.

7.2 Mittelung über modifizierte Periodogramme

Es wird zunächst festgestellt, welche Bezrehung zwischen der spektralen Leistungs

dichte S (f) eines stochastischen Signals x( t) und dem Erwartungswert des Perioxdogramms P e(f) einer Signalprobe besteht. Die Signalprobe xe( t) läßt sich bei Ver-

wendung der Gewichtsfunktion

für O~t~e

(7.2-1)sonst

auch in der Form xe(t) = go(t)x(t) schreiben. Auf diese Weise tritt das stocha

stische Signal x( t) selbst im Periodogramm auf

=Pe(f) =~ f gO(t)x(t)e-j2TTftdt 2

-=(7.2-2)

1='8 f f-= -=

und ermöglicht so mit (2.3-56) die Ausrechnung des Erwartungswertes

=EIPe(f)I=~ J

(7.2-3)

7.2 Mittelung über modifizierte Periodogramme 169

Setzen wir voraus, daß x( t ) durch einen stochastischen Prozeß erzeugt wird , der

mindestens im weiteren Sinne stationär ist, so gilt nach (2.3-57) und (2.3-58) für

die Autokorrelationsfunktion die Beziehung

00

Rx(t1,t2) =Rx(t2 - t 1) = J-=

(7.2-4)

die in (7.2-3) eingesetzt werden kann. Außerdem führen wir die Fourier-J'ransfor

mierte

G (r) = ee -jTTfe s in TTfeo TTfe (7.2-5)

der Gewichtsfunktion go (t ) ein und können damit die Integrale über t1

und über t2

durch GO(cp- f) bzw. GO{f - cp) ersetzen. Wegen GO(cp - f ) =G;{f - cp) ergibt sich

dann schließlich

=E lpe {f ) I = ~ J

-=(7.2-6)

d.h. der Erwartungswert des Periodogramms entspricht der F'al tung der spektralen

Le istungsdichte mit dem sogenannten "natürlichen" Spektralfenster

Q (f) = 1. IG (f) 12 = e { sin TTfe } 2 •o e 0 TTfe (7.2-7)

Erst für e ...co entspricht E!Pe {f ) I dem wahren Wert der spektralen Leistungs

dichte.

Bei der praktischen Mittelung über Periodogramme führen insbesondere die Neben

maxi ma von QO(f) zu Fehlern : Hat Sx(f) z.B. bei f =fO eine stark ausgeprägte

Spitze , so hat der Erwartungswert des Periodogramms entsprechend verkleinerte

Abbilder dieser Spitze z , B. bei den Frequenzen fO

± 3/ (2 e). Eine Reduzierung die

ses Effektes ist möglich, wenn man anstelle von go (t ) andere Gewichtsfunktionen

verwendet, deren Fourier-Transformierte kleinere Nebenmaxima besitzen. Zur

Konstruktion solcher Gewichtsfunktionen kann man die Shannonsche Interpolations

formel (2.4-5) heranziehen und auf den Frequenzbere ich anwenden : Danach muß

eine auf das Intervall 0 ~ t ~ e beschränkte Funktion g( t) eine durch

co

G(f) = e-jTTfe Lk=- =

G(~) sin TT{fe-k)'CI TT (fe - k) (7.2-8)

170 7 . Digital e Me th oden z ur Spe k tralanalyse

darste ll bare Fourier-Tra nsformierte besitzen. Setzt man be is piel swei s e G(O) =e

un d G(k/e) = 0 für k *0, so ergibt sich GO(f). Durch Hin zunahme we iterer Glie

de r de r Summe in (7 .2-8) kann man Spek tr a lfenster mit kl e inere n Nebenma xima

kons truieren . Da s gesc hieht a lle r d ings a uf Kosten der spektralen Auflösung , denn

das Hauptrna x irn a von c rr) wird dabei br e iter . Die be kannte s ten Funktionen dieser

Art [ 7 . 1] sind das nach J. v , Hann bena nnte Ha n n i n g - F e n s t e r

(7 .2-9)

un d das nach R . W. Hamming benannte Ham ming -Fe ns te r

( 7. 2-10)

die in Bild 7 .5 darge stell t s ind . Die z ugehö rigen Gewichtsfunktione n sind

1,0

1 1 0-8 -2e -0,2

~ G I (f ) einte IHanning)

2e

1 1 0 1- 8 - 2e -0,2 2e -0,02

0,6 ~ G l I f) ein te (Barllett)

0,4

0,2

2 _1 0e e

Bild 7 .5 . Klassische F ens te r fun k ti on en

7.2 Mittelung über modifizierte Periodogramme

{

0,511 + cos 2TT(t/e-1/2) lg2 (t) =

o

und

für 0 ~ t ~ e

sonst

171

(7.2-11)

{

0,54+0,46 cos 2TT(t/e-1/2)g3 (t) =

o

für 0 ~ t ~ e

sonst(7.2-12)

Ein weiteres häufig verwendetes Spektralfenster (Bild 7.5)

G (f) _ ~ !sin TTfe/2j2 -jTTfe1 - 2 TTfEl!2 e (7.2-13)

wird nach M. S. Bartlett benannt [7. 1J. Es entspricht der dreiecksförmigen Ge

wichtsfunktion

12 t/e für 0 ~ t ~ e/2

g 1( t) = 2 ( 1-t/e ) für e/2 ~ t ~ e

o sonst.

(7.2-14)

Ersetzt man nun in (7 .2-2) die Rechteckfunktion gO(t) durch eine andere Gewichts

funktion g(t), so erhält man anstelle von Pe(f) ein sogenanntes modifiziertes

Periodogramm, das wir Pe(f) nennen wollen. Der Erwartungswert des modifi

zierten Periodogrammes ergibt sich zu

E !p",(f) 1= S (f) * Q(f) = S (f) * jG(f) 12

ö x x e

wobei G(f) die Fourier-Transformierte von g(t) ist.

(7.2-15)

Die beschriebenen klassischen Fensterfunktionen wurden zur Glättung verwendet.

Insofern interessierte primär die Form von G(f). Bei der Mittelung über modifi

fizierte Periodogramme kommt es aber auf den Verlauf von Q(f) = I G(f) 12/ e an.

Außerdem wirkt sich die Gewichtsfunktion g( t) nur an den Abtastpunkten t = v'I'\I

aus; zwischen diesen kann sie beliebige Werte annehmen. Diese Uberlegungen bil-

den den Ausgangspunkt zur Konstruktion eines 0 pt i ma 1fen s t e r s nach A. Eber

hard [7. 7J : Die Abtastung des zu analysierenden Signals x( t) wird hier durch Fal

tung mit einem bewerteten Impulskamm endlicher Länge

N-1

g*(t) L Y\Iö(t - \lT)

\1=0

(7.2-16)

172 7 . Digitale Methoden zur Spektralanalyse

vorgenommen. Die reellen, positiven Gewichtsfaktoren 'Iv sind dabei so zu wählen,

daß die spektrale Energieverteilung auf einen schmalen Bereich um f = 0 herum kon

zentriert ist :

Dabei ist

max , (7.2-17)

N-1

Lv=O

-j2nfvT'I ev

(7.2-18)

die Fourier-Transformierte des Impulskammes gi~(t). Man erhält:

1/8

f-1/8

N-1 N-1

leU) 12df = L L

v=O n=O

sin 2n( v - n)/NYvYn n( v-n)T (7.2-19)

1/ (2T)

f-1/(2T)

N-1

!e(!) 12

df =+L y~v=O

(7.2-20)

Die zu maximierende Größe ß läßt sich durch den Rayleigh-Quotienten [7. 8J

y ' Myß =-y'y-

einer quadratischen Matrix M mit den Elementen

(7 .2-21)

M vnsin 2n( v - n) /N

n( v - n) v , n= 0 , 1 , ••• , N - 1 (7.2-22)

darstellen , wobei y der aus den Elementen Yv gebildete Spaltenvektor und y ' der

transponierte Vekt;r ist. Da die Matrix M reell symmetrisch ist, liegt der-Werte

bereich des Rayleigh-Quotienten ß auf der reellen Zahlenachse , begrenzt von dem

größten und dem kleinsten Eigenwert von M. Der größte Eigenwert A s te Il t so-- max

mit den Maximalwert von ß dar. Er ergibt sich , wenn y gleich dem zugehörigen

Eigenvektor , d , h , M y = A Y ist. Die Bestimmung der Gewichtsfaktoren v ent--_ max_ ' vspricht damit der Ermittlung des zu Amax gehörigen Eigenvektors von M. Dieses

Problem kann numerisch mit Hilfe des Gauß-Seidel-Verfahrens gelöst werden.

Tabelle 7.1 gibt die Bewertungsfaktoren für N = 16, 32 , 64 und 128 an.


Tabelle 7.1; Bewertungsfaktoren y v für das Optimalfenster nach Eberhard [7. 7J.

Yv = 'IN- i - v ' v = Sn + k , (Berechnung nach [7 .1OJ)

N X 0 1 2 3 4 5 6 7

16 0 0.30050 0 .42685 0.55816 0 .68604 0.80173 0 .89698 0.96477 1.00000

32 0 0.26923 0.32964 0.39274 0.45760 0.52321 0.58852 0.65242 0 .713831 0.77166 0.82487 0.87248 0.91361 0.94749 0 .97349 0.99111 1.00000

64 0 0.25434 0.28370 0.31390 0.34482 0.37636 0.40840 0.44082 0 .473491 0.50629 0.53908 0.57172 0.60409 0.63604 0.66742 0.69813 0.728002 0.75691 0 .78473 0.81133 0.83659 0.86040 0.88263 0.90320 0.922003 0.93894 0.95395 0.96695 0.97788 0.98668 0.99333 0.99777 1.00000

128 0 0.24706 0.26151 0.27619 0.29109 0 .30619 0 .32147 0.33693 0.352551 0.36832 0.38422 0.40024 0.41636 0.43257 0 .44885 0.46519 0.481562 0.49796 0.51436 0.53075 0.54712 0.56344 0 .57970 0.59589 0.611973 0.62795 0.64379 0.65949 0.67502 0.69037 0.70552 0.72045 0.735164 0.74961 0.76380 0.77771 0.79132 0.80462 0.81760 0.83023 0.842505 0.85440 0 .86592 0.87704 0.88774 0.89803 0.90787 0.91727 0.926216 0.93469 0.94268 0 .95018 0.95719 0.96369 0.96967 0.97514 0.980077 0.98448 0 .98834 0 .99166 0.99443 0.99666 0.99833 0.99944 1.00000

Das Verfahren zur Spektralanalyse durch Mittelung über modifizierte Periodogram

me wurde von P.D. Welch [7 .9J angegeben : Man unterteilt dazu die Signalprobe in K

Abschnitte vonje M= N/K Werten und bestimmt für jeden dieser Abschnitte das mo

difizierte Periodogramm in der diskreten Form

M-lL x8

« k + v}T}g( vT } e-j2n~v/N 2,

v=O

f = ~/( MT) ,~

~ = O , l , ••• ,M-l, k=O,l, ••• ,K-1. (7.2-23)

E ine Mittelung über alle K modifizierten Programme liefert dann den Schätzwert

(7.2-24)

für die spektrale Leistungsdichte , dessen Varianz um den Faktor t/x gegenüber

der Varianz des einzelnen Periodogramms reduziert ist [7 .9J. Im folgenden werden

einige praktische Ergebnisse gezeigt , die mit dieser Methode in [7. 10] gewonnen

wurden.

Zuerst wird die Signalprobe weißen Rauschens von Bild 7 .1 analysiert. Dazu werden

insgesamt N = 1024 Signal werte x( »r ) verwendet. Diese unterteilen wir in 32 Signal

abschnitte zu je 32 Signal werten bzw, 16 Signalabschnitte zu je 64 Signalwerten und


bilden die modifizierten Periodogramme. Die Ergebnisse sind für die Bewertungen

nach Bartlett , Hamming und Eberhard in Bild 7.6 dargestellt . Das arithmetische

t Hamming

:~~o B 16 24 32 40 48 56 64 J.1

,t Eberh~rd , t>"" .

1 :~~ .o 8 16 24 32 40 48 56 64 J.1

Bild 7.6. Ergebnisse der Spektralanalyse von weißem Rauschen nach Mittelung über32 modifizierte Periodogramme (---) zu je 32 Spektralwerten und über 16modifizierte Periodogramme (--) zu je 64 Spektralwerten. Frequenzraster : f =../ (64T)..

Mittel m s und die Varianz er; der Spektralwerte , sowie ihr mittlerer quadratischer

Fehler 8 ~ nach der Mittelung von 32 modifizierten Periodogrammen sind in Tabelle

7.2 dargestellt.

Tabelle 7.2. Mittelwert, Varianz und mittlerer quadratischer Fehler der Spektralwerte vonweißem Rauschen als Ergebnis der Mittelung über 32 modifizierte Periodogramme

Bewertung Mittel m Varianz er2 Fehler 8;s s

Bartlett 0,835 0 ,0275 0,0546

Hamming 0 ,908 0 ,0324 0,0409

Eberhard 0,898 0,0337 0,0442

Die Stärke der Bewertung nach Eberhard zeigt sich, wenn man dem weißen Rauschen

ein periodisches Signal überlagert. Ein solches Signal der Form

xl t ) =r'{t ) + 0,5 sin(nt/(8T) + c ) , (7.2-25)


worin r( t} weißes normalverteil tes Rauschen der spektralen Leistungsdichte S (f) =r

,i = 1 ist, zeigt Bild 7.7. Der periodische Anteil ist erst in der Autokorrelations-r

funktion nach Bild 7.8 erkennbar. Die durch Mittelung über 32 modifizierte Periodo-

xII)

2

O wmHJ.~9IM\P"\+HlJlli1ftj\f.Jt1ff'Mft~'YlHI/rfIYhPttiftrl"lk+llj-ßUImfHtftffl'tl\HtiiJHIM-M\Ht\tW~

-2

-4

Bild 7.7. Sinusförmiges Signal der Frequenz fO

= 1/(16T), das von weißem Rauschen überlagert ist

R(nTl

0,12

0,9

0,6

0,3

-0,3

-0,6

Bild 7.8. Autokorrelationsfunktion des Signals vom Bild 7.7

gramme bei Hamming- und Eberhard-Bewertung bestimmten Spektralfunktionen

sind in Bild 7.9 dargestell t. Man erkennt die wesentlich höhere Selektivität des Op

timalfensters nach Eberhard an den stark reduzierten Nachbarwerten der Spektral

linie des Sinussignals.

Als letztes Beispiel wird die stochastische Pulsfolge von Bild 7.10 analysiert, d ie

theoretisch schon im Abschnitt 2.3 behandelt wurde. Die Pulse haben die Breite 8T.

Ihre Varianz ist ,i =1/12 und ihr Mittelwert m =O. Nach (2.3-80) gilt für diex xspektrale Leistungsdichte

S (f) = 8T 02 Isin 8nfT 1

2

x x Brrf'I' • (7.2-26)

7. Digitale Methoden zur Spektralanalyse176

I MI f jL)

4dB

3

2

1

0

-1

-2

1MOll)

4dB3

2

1

0

-1

-2

32 11

32 11

Bild 7.9. E rgebnisse der Spektralanalyse des Signals von Bild 7.7 nach Mittelungübe r 32 modifizierte Periodogramme. Oben: Hamming-Bewertung; unten:Eberhard-Bewertung. Frequenzraster : f = ~/(32T). M = 32

~

x(t)0,5

0,4

0,3

0,2

0.1

0 i- 0,1

- 0,2

-0,3

- 0,4 -

B ild 7 . 10 . Stochastische Folge von Rechteckimpulsen der Breite 8T (x =0 , rl=1/12)x

Die entsprechenden E rgebnisse de r Mittelung über 32 modifizierte Periodogramme

bei Hamming- und bei Eberhard-Bewertung s ind in Bild 7.11 dargestellt.

-...I

N,

Hamm

ing\

0,6

~06

f-"-

\,

\~ ~

y5,

(f)

(1)

0,5r

0,5

~I

::lI

iTCl

I0,

41:

:0,

4r'

\.\

0'

(1)

\'1

0,3r

\\\

3\

0

~\

e:0,

21-

0,2\

...., N' (j)'

0,1r

v-,

/13

1lf

lL)

0,1r

\)

64(f

p.)

'1 ~ (1) '"0 (1)

°8

1624

32J.1

°8

1624

32J.1

'1 o' P- o iTCl

\Eb

erha

rd

~''1

0,6\

po0,

6r\

3I v

5,(f

)\.

,/5,

lf)

3 (1)

0,5t\.

\0,

5\

\ I0,

4r

\\0,

4\ I

0,3r

\\0,3

\ \

0,2r

~\0,

2

0 ,1r

(....-

-0,1

/1 3

1Ifp.

)

~

°8

1624

32J.1

°8

1624

32J.1

Bil

d7

.11

.E

rgeb

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Sp

ek

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nac

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32m

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iert

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zuje

32Sp

ek

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n(l

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16m

odif

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Pe

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....(r

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nte

n:

Eb

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-Bew

ertu

ng

.F

req

uen

zra

ste

r:

f::

~/(64T)

-...I

-...I

~

178 7. Di g itale Methoden zur Spe ktralanalyse

Di e beschriebene Methode hat den Vorteil, daß man über P eriod ogramme von ver

hältnismäßig kurzen Signalproben mittelt. Dadurch benöti g t man we nig Speicherplatz.

Außerdem besteht die Möglichkei t , Nichtstationaritäten in den Spektren zu e r ke nne n

und zu bes timmen. Ande rerseits erhält man bei etwa gleiche m Rechenaufwand we

s entlich we ni ge r Spektral werte al s be i der im fol genden betrachtete n Methode zur

Spektralanalyse, di e auf einer Glättung des Periodogramms bas iert.

7.3 Glättung von Periodogrammen

Die klassi sche Methode der Periodogrammglättung durch Bewertung der Autokorre

lationsfunktion (Bild 7.3) läßt s ich mit Hilfe der schnellen Autokorrelation

(KapitelS) auf sehr effektive Weise ausführen. Im Abschnitt 7.1 wurde bereits da

r auf hingewiesen, daß die Bewertungsfunktion g( T) für die Autokorrelierte relativ

schmal sein muß , wenn man einen starken Glättungseffekt erreichen möchte. Wir

nehmen daher an, daß g(T) für IT I > T vers chwindet , wobe i T =: MT kl e inmax maxgegen die Probenlänge 18 =: NT i s t . Bewertet man d ie diskrete Autokorrelationsfunk-

ti on von xe ( t ) mit dieser Funktion , so erhält man anste ll e von (7. 1-7) das g e

glätte te Periodogramm

M- l

IN(f) =: T L g(nT)R(nT) e - j2 TTfnT.

n=:-( M-l)

(7.3-1)

Zu s e ine r numerischen Bestimmung benötigen wir di e M Werte. R(O) , R ( T), ••• ,

R( (M - l)T). Das Matrix schema (5.1-17) für d ie schnelle Autokrrelation zeigt ,

daß an die Folge lx e( vr ) I dann nur noch M - 1 Nullelemente anzuhängen sind .

Mithin besteht die Gesamtfolge a us

L =: N + M (7. 3-2)

Werten. Die Gewichtsfunktion g ( T) muß symmetri sch zu T =: 0 sein , damit die Re

ellitä t des geglätteten Periodogramms ge währ lei stet i s t.

Es e r gibt s ich dann folgendes Verfahren zur Bestimmung des geglättete n Periodo

gr a m ms [ 7 . 4J : Man be stimmt zunächst die DFT der L- werti gen Folge !xe(O),

xe(T), ••• , x e( (N - l)T),O , 0 , ••• , 0 I , bildet di e Ab s olutquadrate de r L DFT-Werte

und wendet hierauf die IDFT an. Die e rste n M Werte der Ergebnisfolge e rgeben

dann die gesuchte n Werte R( O) , R (T), ••• , R ( ( M - l )T). Au s diesen bi ldet man di e

L-we r tige Folge !g( O) R ( O) ,g(T) R (T), •.• ,g ( ( M - 1)T)R( ( M - i rr) ,0,0, ••• ,0 ,

g( ( M - l)T)R( (M - l) T) , ••• , g ( 2T)R( 2T) , g(T)R( T) I, deren DFT a uf das geglättete

7.3 Glättung von Periodogrammen 179

Periodogramm führt, sofern L ~ 2M ist. Für sehr große Werte von L empfiehlt es

sich, die schnelle Autokorrelation segmentweise (vgl. Abschnitt 5.2) auszuführen

[7.4,7.11J.

Bei der Wahl von L sind verschiedene Gesichtspunkte zu beachten: Zunächst sollte

L» M sein, so daß die Autokorrelierte nur für Verschiebungen T berechnet wird,

wo sich xe(t) und Xe(t + T) noch größtenteils überlappen. Sodann muß L eine für

die FFT günstige Zahl, also möglichst eine Zweierpotenz sein. Schließlich bestimmt

L die Dichte der Spektrallinien, die im geglätteten Periodogramm bei den Frequenzen

f = ~/(LT) , ~ = 0,1, ••• ,L -1 liegen . Das spektrale Auflösungsvermögen wird da-~

gegen durch die Breite des Spektralfensters und damit durch M bestimmt.

Man verwendet die im vorigen Abschnitt beschriebenen klassischen Bewertungsfunk

tionen auch zur Glättung. Sie haben hier aber die Breite 2Tmax = 2MT und liegen

symmetrisch zu T = O. Die zugehörigen Spektralfenster sind dann reell. Beispiels

weise gilt für das Bartlett-Fenster anstelle von (7 .2-13) bzw, (7.2-14)

G (f) - MT {sin TIMfT} 21 - TIMfT ' (7.3-3)

für

für(7.3-4)

Der Glättungseffekt läßt sich durch die Reduzierung der Varianz des Periodogramms

beschreiben. Bei gaußschen Prozessen gilt näherungsweise für das Verhältnis der

Varianzen des Periodogramms vor und nach der Glättung [7.2, 7.4J

Für die Rechteckbewertung

M-1

L i(mT)m=-(M-1)

(7.3-5)

für

für(7.3-6)

erhält man beispielsweise V = (2M - 1)/N. Je kleiner M ist , desto stärker wird

die Varianz des Periodogramms reduziert, allerdings auf Kosten der spektralen

Auflösung : Verwendet man als Maß die Breite Q des Hauptmaximums der Fenster

funktion, gemessen zwischen den Nulldurchgängen beiderseits von f = 0, so gilt bei

spielsweise für die Rechteckbewertung Gd = 1/( MT). In Tabelle 7.3 sind die Werte


von V und Q auch für andere Fenster angegeben. Hiernach kann man durch Wahl von

M die gewünschte spektrale Auflösung festlegen und dann N bzw. L =N + M so wäh

len, daß sich eine genügend starke Varianzreduktion ergibt.

Tabelle 7.3. Näherungswerte für Varianzreduktion undspektrale Auflösung (M» 1) •

Bewertung

Rechteck

Bartlett

Hanning

Hamming

Varianzreduktion V

2 M/N

2 M/(3N)

3 M/( 4N)

4 M/(5N)

spektrale Auflösung Q

l/(MT)

2/(MT)

3/(2MT)

3/(2MT)

Bei Rechteck-, Hanning- und Hamming-Bewertung können sich wegen der negativen

Nebenmaxima der zugehörigen Fenster für das geglättete Periodogramm. negative

Werte ergeben. Das muß nicht als Nachteil dieser Fenster angesehen werden, denn

man kann in diesem Fall den Fehler, der durch die Nebenmaxima - ob positiv oder

negativ - in jedem Fall verursacht wird, erkennen und eliminieren.

Im folgenden werden einige Beispiele zur Glättung von Periodogrammen durch Be

wertung der Autokorrelationsfunktionen gezeigt, die in [7.lOJ behandelt wurden.

Dabei gilt in allen Fällen N =960, M = 64 und somit L = 1024.

Bild 7. 12 zeigt die geglätteten Periodogramme von weißem Rauschen bei Bartlett

und Hamming-Bewertung und Tabelle 7.4 den Mittelwert,die Varianz und den mittle

ren quadratischen Fehler der Spektralwerte.

Tabelle 7.4. Mittelwert , Varianz und mittlerer quadratischer Fehler der Spektralwerte eines geglätteten Periodogramms von weißem Rauschen

Bewertung

Bartlett

Hamming

Mittel m s

0,961

0,968

Varianz ~2s

0,0471

0,0553

Fehler 82s

0,0486

0,0563

In Bild 7.13 ist das geglättete Periodogramm der stochastischen Pulsfolge von Bild

7 .10 bei Bartlett-Bewertung dargestellt.

Schließlich betrachten wir noch die Ergebnisse der Periodogrammglättung für das

verrauschte sinusförmige Signal nach (7.2-25) und Bild 7.7. In Bild 7.14 ist das

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7. 4 Li te r a tu r 183

Re sulta t be i Hamming-Be wertung dargestellt . Da s Opti malfenster nach Eberhard

[ 7 .7] ist a n sich ni cht für d ie P er iodogrammglättung kon z i piert worden . Trotzdem

wurde versuchsweise e ine Bewertung der Autokorrela t ion s funkti on mit der Ebe rhard

Gewichtsfun ktion vor ge nommen. Da s in Bild 7 .14 dargeste llte E r ge bnis zeigt, daß

die Spektr all in ie de s s inusför migen Signals be s s e r aufgelöst wird a ls mit dem Ham

ming - Fenster . Der Gl ä t tungs e ff ek t ist hi er geri nger .

Zusammenfassend ist zu bemerken, daß be ide Methoden - d ie Mittelung über modi

fi zierte P eriodogramme e inerse i ts und die Glättung von Perio dogrammen durch Be

wertung der Autokorrelationsfunktion a nder e rsei ts - bei etwa gleic he n Rechenzeiten

( so wurden die Beispiele gewä hlt ) e t wa gleic h gute Ergebnisse zeigen.

De r Vorteil der Glättungsmethode liegt darin, daß m an ein wesentlich dichtere s

Ra s ter von Spektralwerten e r hält . Die Methode der Mittelung über modifizierte Pe

riodogramme erfordert dafür ge r inger e Speicherkapazität und bietet außerdem di e

Möglichkei t , nichtstation äre Vorgänge zu erkennen nnd zu a nalys ie r e n .

7.4 Literatur

7.1 Blackman , R.R.; Tukey , J . W. : The Me a surement of P o wer Spectra. NewYo rk : Dover Publi cations 1958.

7.2 J e nkins , G. M. ; Wa t ts , D. G. : Spectr a l Analys is a nd Its Applications San Francisco : Holden-Day 1968.

7. 3 Bin gh am, C. ; Godfre y , M. D .; Tukey, J. W.: Mod e r n Tec hni qu e s of PowerSpectrum Estimation. IEEE Tr ansact. on Au dio a nd Electroacousti c s AU-15(1 9 67) 56-66.

7 .4 Oppenhei m , A.V.; Schafer, R.W.: Digital Sig nal Proc e s sing. Engl ewoodCli ff s , N.J.: Prentic e Hall 1975.

7.5 Rabiner , L. R.; Gold , B.: Theory and Application of Digi tal Signa l Proc e s sing.Engl ewood Cliffs, N. J. : Prentice-Hall 1975.

7.6 Davenport, W.B.; Root , W.L.: Random Si gn al s and Nois e. NewYork, Toronto , London: McGraw-Hill 19 58.

7.7 Eberhard, A.: An Opti ma l Discrete Window fo r th e Calculation of PowerSpectra . IEEE Trans a ct. on Au di o a nd Electroacoustic s AU-21 (1973) 37 - 43 .

7. 8 Zurmühl, R.: Ma trizen und ihr e techni s chen Anwendungen , 4. Aufl , Berlin ,Gö ttingen , Heidelberg: Springer 1964.

7. 9 Welch , P.D . : The Us e of F F T for the E stimation of Power Spectra : a Me th odBa s ed on Time Avera ging Over Shor t, Modifi e d P e riodogramms. IEEE Transact . on Au dio a nd Ele c troacou s tics AU-15 (1967) 70 - 73 .

7 . 10 Weber, K.C.: E stimayao Di gi tal do E xpe c tro de Potenc ia de Sinais Al e a tbr ios ,Thesi s (M.Sc.), Rio de J ane ir o: Unive rsidade F ederal (COPPE) 1976.

7.11 Ra der , C. M.: An I mproved Algorith m for High-Spe ed Autoc or r e lation withApplication to Spec tr al E sti m a ti on. IEEE Trans a c t. on Audio and E l ec troacoustics AU-1 8 (1 970) 439-441.

Sachverzeichnis

Abbildungsgesetze der FourierTransformation 15 rr., 48

- der DFT 80 ff.

Abbildungssymmetrien der Fourier-Transformation 20

- der DFT 86

Abminderungsfaktoren 139 ff.

Abschneidefehler 71

Abtastfrequenz 65 , 136

Abtastung 46, 64 ff.

idealisierte 65, 66

von Zahlenfolgen 96

Abtastwerte65, 136, 138

aliasing 68

Amplitudenspektrum 14

Äquivalenztransformation 83, 88

Auflösung, spektrale 180

Autokorrelation , schnelle 125 ff.

Autokorrelationsfunktion 19, 47, 48,52 ff., 166 ff., 175, 178

- von Signalen endlicher Energie 19

- von Signalen endlicher Leistung 47

- von periodischen Signalen 47, 48

- von stochastischen Signalen 52

- von stochastischen Prozessen 53

Bandbegrenzung 65, 68, 136

Bandbreite 24, 25

Bandpaßfilter 63

Bartlett, M.S. 171

Bartlett-Fenster 170, 171, 174, 179 ff.

Basis-4-Algorithmen 118

Basis-8-Algorithmen 118

beschränkte Variation 13, 39

Breitbandsignal 59, 62

Butterfly-Operation 113

Cauchyscher Hauptwert 14

Cepstrum 163

clutter 44

Cooley , J. W. 100

Cooley-Tukey-Algorithmus 100 rr.

Deconvolution 148

Delta-Distribution 30 ff.

Derivation 32 rr., 36 , 37, 139, 140

Dezimierung von Folgen 93 ff.

im Frequenzbereich 107

- im Zeitbereich 107

Dezimierungs-Operator 94

DFT 75, 77 rr.Abbildungsgesetze der 80 ff ,

Eigenvektoren der 83 ff.

Eigenwerte der 83

Faltungssatz der 123

numerische Ausführung der 99 ff.

Uberlagerungssatz der 96, 107 ff.

Verschiebungssätze der 91 ff.

Differentiationssätze 16

digitale Signalverarbeitung 64 ff., 147 ff ,

digitale Spektralanalyse 163 ff.

Dirac, P. 30

diskontinuierliches Signal 64 ff.

Sachverzeichnis

diskontinuierliches Spektrum 41

diskontinuierliches System 67, 68

diskrete Faltung 68, 121 rr.diskrete Fourier-Transformation,

s , OFT

diskrete Korrelation 121 ff.

Diskretisierung 46

Diskretisierungsfehler 71

Distributionen 30 ff.

Doppler-Effekt 2, 44

Doppler-Frequenz 44

Dreiecksungleichung 80

Eberhard, A. 171

Eberhard-Fenster 171 ff.

Eigenfunktionen 7 ff., 27 ff., 37

- linearer zeitinvarianter Systeme7 «., 37

- der Fourier-Transformation 27 ff.

Eigenvektoren 83 ff., 88, 172

- der DFT 83

- zirkulanter Matrizen 88

Eigenvektormatrix 83. 88

Eigenwerte 9,17,83,88,172

der DFT 83

der Fourier-Transformati::>n 17

linearer zeitinvarianter Systeme 9

zirkulanter Matrizen 87, 88

Einheitsoperator 17

Eindeutigkeit der DFT 77

- der Fourier-Transformation 12 ff.

endliche Linienbreite 44

Energie 12, 19, 81

Energiedichte , spektrale 19

Energiekriterien 25

Ensemble-Mittelung 50

Ergodentheorem 51

ergodische Prozesse 51, 54

Ergodizität 51

Erwartungswert 50, 51, 168

185

Faltung7, 17, 18, 34, 35

diskrete 121

schnelle 121 ff.

zyklische 86 ff.

Faltungsintegral 17, 121

Faltungsmatrix 123

Faltungssatz 18, 86 ff.

Fensterfunktionen 170 ff.

Festzeichenlöschung 44

FFT 100 rr,- bei reellen Zahlenfolgen 118, 119

- bei Zweierpotenzen 111 ff.

- , FORTRAN-Programm zur 116

FFT-Signalflußgraphen 102 ff., 108, 109,111 rr.

- , mathematische Beschreibung der104, 113

Folgen 89 rr.Abtastung von 96

Dezimierung von 93 ff.

Multiplikation von 89 ff ,

Segmentierung von 95 ff.

Fourier-Integral 10, 13 ff.

Fourier-Koeffizienten 41 ff ,

Fourier-Plancherel-Transformation 23

Fourier-Reihe 41 rr.Fourier-Transformation, diskrete,

s , DFT

numerische 68 ff., 157 ff.

schnelle, s , FFT

Überlagerungssatz der 143

- von Distributionen 30 ff.

- von Spline-Funktionen 137 ff ,

Frequenzverschiebung 16

Funktionenfolgen 30 ff.

Gaußverteilung 51

Gaußsche Glockenfunktion 26, 30 ff.

Gentleman, W.M. 107

geometrische Summenformel 69, 73

Gibbssches Phänomen 21 ff., 43

186

Gl ättung von Periodogrammen 178 ff.

Gleichverteilung 49

Grundfrequenz 39

Hamming, R. W. 170

Hamming-Fenster 170

Hann, J .v , 170

Hanning-Fenster 170

harmonische Analyse 39 ff.

harmonische Exponentielle 9, 37,39 ff.

harmonische Frequenzen 39

Helms, H.D. 130

Hermitesche Funktionen 26 ff ., 83

- , periodisierte 83, 84

Hermitesche Polynome 26 ff.

homomorphe Signalverarbeitung 163

idealer Tiefpaß 38, 39

Impulsantwort 37, 38, 62, 148

Impulskamm 46, 65, 94, 171

inneres Produkt 80

Integralsinus 21, 22

Interpolationsformel , Shannonsche 66

Kausalität 38, 136, 137, 139

Knotenebenen der FFT 105 ff.

Konvergenz im Mittel 23

Korrelation 18, 121 ff., 146 ff.

- , schnelle 121 ff.

Kreuzkorrelation , diskrete 124

- von Spline-Signalen 148

Kreuzkorrelationsfunktion 18, 59

Kreuzleistungsspektrum 60 ff.

Leistung, mittlere 39, 52

Leistungsspektrum , s , spektraleLeistungsdichte

Leistungsübertragungsfunktion 63

Linearität 8

Sachverzeichnis

Linienspektrum 41

Maßstabsänderung 16, 33

Matrix , unitäre 79

- , zirkulante 87

modifiziertes Periodogramm 168 ff ,

moving target indication 44

Multiplikation von Folgen 89 ff ,

Multiplikationssatz 19, 35 , 90

natürlicher Spline 139

nicht rekursive digitale Filter 112

Normalverteilung 51

numerische Fourier-Transformation69 ff., 157 ff.

Operator, zyklischer 17, 82

- der Fourier-Transformation 12

Optimalfenster 171

Orthogonalität 27, 40, 82 , 84

Orthogonalsystem , vollständiges 7, 27

Overlap-Add-Methode 129 ff ,

Overlap-Save-Methode 130 ff.

Parallelogrammgleichung 81

Parsevaische Gleichung 19, 81

Periode 39

periodische Signale 39 ff.

Periodisierung 45 ff., 65, 83

Periodogramm 164, 165, 168, 178,180 , 181

- , modifiziertes 168 ff.

Periodogramm-Analyse 163 ff.

Periodogrammglättung 178 ff.

Permutation bei der FFT 103 ff. , 117

Permutationsmatrix 82 , 103

Polygon-Interpolation 136, 137

Polygonzug 140

Prozeß, ergodischer 51, 54

- , normalverteilter 165, 179

Sachverzeichnis

Prozeß, stochastischer 50

Pulsfolge , periodische 42 ff.

- , s t oc has t is c he 55 ff.

Radar-Astonomie 1 ff .

Ra yle igh - Quot ient 172

Sande, G . 107

schnelle Faltung 121 ff.

schnelle Fourier-Transformation,s , FFT

schnelle Korrelation 121 ff .

Schwarzsehe Ungleic hung 25, 55, 60,80

Schwellenkr iterium 24

Segmentlänge, Opt i m a lwe r t der 132

Segmentierung 95 ff., 128 ff.

- von Folgen 95 ff.

- bei der schnellen Faltung 128 ff.

Segmentierungs-Operator 95

Shannon-Interpolation 65, 136, 137,169

Signal 7 ff.

bandbegrenztes 65, 136

diskontinuierliches 64 ff., 81

periodisches 39 ff.

schnell abnehmendes 26 ff.

stochastisches 48 ff.

Signaldauer 24, 25

Signalenergie 12 , 19, 81

Signalfußgraph , s , FFT-Signalflußgraph

Si nussignal , verrauschtes 175, 180, 182

Speicherplatz-Ökonomie oei der FFT97, 100 ff.

Spektralanalyse 2, 52, 163 rr.spektrale Auflösung 180

spektrale Energiedichte 19

spektrale Leistungsdichte 46 rr., 52, 63

- • diskontinuierliche 47

- von periodischen Signalen 46 ff.

- von stochastischen Signalen 52, 63

187

Spektralfenster 169 ff.

Spektralli nie 2, 34, 44

Spline-Interpolation 65, 136 ff.

Spline-Signal 138 ff.

Sprungfunktion 21, 36

Stationarität im weiteren Sinn 54

statistische Signalbeschreibung 48 ff .

stochastischer Prozeß 50

stochastische Pulsfolge 55 ff. , 175 ff.

Stockham, T.G . 129 , 130

St r euung , s . Varianz

Summenorthogonalität 74, 77, 82 , 90, 96

Su pe r pos itions int eg r al 37

Su pe r pos it ions prinz ip 8 , 8 1

Sys t e m . lineares zeitinvariantes 7 ff ., 6 1

- , diskontinuierliches 67

Systemanalyse, statistische 62

Sys t e m ident ifi ka t ion 148

Sys t e m s i m ula t ion 121

Tiefpaß, idealer 38, 39

Tiefpaßsysteme , idealisierte 38, 39, 66

Trapezformel 70

trigonometris che Interpolation 74

Tukey, J . W. 100

Überlagerungssatz der Fourier-Trans-formation 46, 69 , 143

- der DFT 107 ff .

Übertragungsfunktio n 10 , 37

unit ä r e Matrix 83

unitäre Transformation 77, 79

Unschärferelation 25, 26

Varianz 51, 179, 180

Vektornorm 80

verallgemeinerte Funktion. s , Distri bution

Verschiebungssätze 16, 91 ff.

188

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 49,53

Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion 48, 53

weißes Rauschen 59, 62, 164 ff ,., 180,181

Welch, P.D. 173

Wiener-Khinchin-Beziehung 52

Sachverzeichnis

Zahlenfolgen, s , Folgen

Zeitinvarianz 8

zeitliche Verschiebung 16

Zirkulante 87,123

zyklische diskrete Faltung 86 ff., 123

zyklischer Operator 17, 82

zyklische Verschiebung 91

die fourier-transformation in der signalverarbeitung: kontinuierliche und diskrete verfahren der

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