different formulations of the discontinuous galerkin method for the viscous terms

8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms

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D I F F E R E N T F O R M U L A T I O N S O F T H E D I S C O N T I N U O U S

G A L E R K I N M E T H O D F O R T H E V I S C O U S T E R M S

C H I - W A N G S H U

y

A b s t r a c t . D i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d i s a n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g c o m p l e t e l y d i s c o n -

t i n u o u s p i e c e w i s e p o l y n o m i a l s p a c e f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n a n d t h e t e s t f u n c t i o n s . U n t i l r e c e n t l y

i t w a s m a i n l y u s e d f o r s o l v i n g c o n v e c t i o n p r o b l e m s i n v o l v i n g o n l y r s t s p a t i a l d e r i v a t i v e s . R e c e n t l y

t h e m e t h o d h a s b e e n e x t e n d e d s u c c e s s f u l l y t o s o l v e c o n v e c t i o n d i u s i o n p r o b l e m s i n v o l v i n g s e c o n d

d e r i v a t i v e v i s c o u s t e r m s . I n t h i s p a p e r w e w i l l u s e s i m p l e e x a m p l e s t o i l l u s t r a t e t h e b a s i c i d e a s a n d

\ p i t f a l l s " f o r u s i n g t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d o n t h e v i s c o u s t e r m s .

K e y w o r d s . d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d , v i s c o u s t e r m s , c o n v e c t i o n d i u s i o n p r o b l e m .

A M S s u b j e c t c l a s s i c a t i o n s . 6 5 M 6 0

1 . I n t r o d u c t i o n . T h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d i s a c l a s s o f n i t e e l e m e n t

m e t h o d s u s i n g c o m p l e t e l y d i s c o n t i n u o u s p i e c e w i s e p o l y n o m i a l s p a c e f o r t h e n u m e r i c a l

s o l u t i o n a n d t h e t e s t f u n c t i o n s . O n e c e r t a i n l y n e e d s t o u s e m o r e d e g r e e s o f f r e e d o m

b e c a u s e o f t h e d i s c o n t i n u i t i e s a t t h e e l e m e n t b o u n d a r i e s , h o w e v e r t h i s a l s o g i v e s o n e

a r o o m t o d e s i g n s u i t a b l e i n n e r b o u n d a r y t r e a t m e n t s ( t h e s o - c a l l e d u x e s ) t o o b t a i n

h i g h l y a c c u r a t e a n d s t a b l e m e t h o d s i n m a n y d i c u l t s i t u a t i o n s .

U n t i l r e c e n t l y , t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d w a s m a i n l y u s e d t o s o l v e r s t

o r d e r h y p e r b o l i c p r o b l e m s . A n e x a m p l e i n t h e t w o s p a c e d i m e n s i o n a l t i m e d e p e n d e n t

s e t t i n g i s

u

t

+ f ( u )

x

+ g ( u )

y

= 0 :( 1 . 1 )

T h e r s t d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d w a s i n t r o d u c e d i n 1 9 7 3 b y R e e d a n d

H i l l 1 3 ] , i n t h e f r a m e w o r k o f n e u t r o n t r a n s p o r t , i . e . e q u a t i o n ( 1 . 1 ) w i t h o u t t h e t i m e

d e p e n d e n t t e r m u

t

a n d w i t h l i n e a r f ( u ) = a u a n d g ( u ) = b u w h e r e a a n d b d o n o t

d e p e n d o n u . A m a j o r d e v e l o p m e n t o f t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d i s c a r r i e d

o u t b y C o c k b u r n , S h u a n d t h e i r c o l l a b o r a t o r s i n a s e r i e s o f p a p e r s 4 , 5 , 6 , 7 ] , i n w h i c h

t h e y e s t a b l i s h e d a f r a m e w o r k t o e a s i l y s o l v e n o n l i n e a r t i m e d e p e n d e n t p r o b l e m s ( 1 . 1 )

u s i n g e x p l i c i t , n o n l i n e a r l y s t a b l e h i g h o r d e r R u n g e - K u t t a t i m e d i s c r e t i z a t i o n s 1 4 ] a n d

d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n d i s c r e t i z a t i o n i n s p a c e w i t h e x a c t o r a p p r o x i m a t e R i e m a n n

s o l v e r s a s i n t e r f a c e u x e s a n d T V B ( t o t a l v a r i a t i o n b o u n d e d ) n o n l i n e a r l i m i t e r s t o

a c h i e v e n o n - o s c i l l a t o r y p r o p e r t i e s f o r s t r o n g s h o c k s .

T h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r ( 1 . 1 ) h a s f o u n d r a p i d a p p l i c a t i o n s i n

s u c h d i v e r s e a r e a s a s a e r o a c o u s t i c s , e l e c t r o - m a g n e t i s m , g a s d y n a m i c s , g r a n u l a r o w s ,

m a g n e t o - h y d r o d y n a m i c s , m e t e o r o l o g y , m o d e l i n g o f s h a l l o w w a t e r , o c e a n o g r a p h y , o i l

r e c o v e r y s i m u l a t i o n , s e m i c o n d u c t o r d e v i c e s i m u l a t i o n , t r a n s p o r t o f c o n t a m i n a n t i n

p o r o u s m e d i a , t u r b o m a c h i n e r y , t u r b u l e n t o w s , v i s c o e l a s t i c o w s a n d w e a t h e r f o r e -

c a s t i n g , a m o n g m a n y o t h e r s .

T h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d h a s t h e f o l l o w i n g a t t r a c t i v e p r o p e r t i e s :

I t c a n b e e a s i l y d e s i g n e d f o r a n y o r d e r o f a c c u r a c y i n s p a c e a n d t i m e . I n f a c t ,

p - v e r s i o n o r s p e c t r a l e l e m e n t t y p e v e r s i o n c a n b e d e s i g n e d 1 1 ]

T h i s p a p e r i s d e d i c a t e d t o P r o f e s s o r H o n g - C i H u a n g o n t h e o c c a s i o n o f h i s r e t i r e m e n t .

y

D i v i s i o n o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s , B r o w n U n i v e r s i t y , P r o v i d e n c e , R I 0 2 9 1 2 , U S A

( s h u @ c f m . b r o w n . e d u ) . R e s e a r c h s u p p o r t e d b y N S F g r a n t s I N T - 9 6 0 1 0 8 4 , D M S - 9 8 0 4 9 8 5 a n d E C S -

9 9 0 6 6 0 6 .

1


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2 C H I - W A N G S H U

I t c a n e a s i l y h a n d l e a d a p t i v i t y s t r a t e g i e s s i n c e r e n e m e n t o r u n r e n e m e n t o f

t h e m e s h c a n b e a c h i e v e d w i t h o u t t a k i n g i n t o a c c o u n t o f t h e c o n t i n u i t y r e -

s t r i c t i o n s t y p i c a l o f c o n f o r m i n g n i t e e l e m e n t m e t h o d s . M o r e o v e r , t h e d e g r e e

o f t h e a p p r o x i m a t i n g p o l y n o m i a l c a n b e e a s i l y c h a n g e d f r o m o n e e l e m e n t t o

t h e o t h e r .

I t i s a n e x p l i c i t m e t h o d , t h u s e c i e n t f o r s o l v i n g t h e h y p e r b o l i c p r o b l e m

( 1 . 1 ) . N o g l o b a l l i n e a r o r n o n l i n e a r s y s t e m s n e e d b e s o l v e d

I t c o m b i n e s t h e e x i b i l i t y o f n i t e e l e m e n t m e t h o d s i n t h e e a s y h a n d l i n g o f

c o m p l i c a t e d g e o m e t r y , w i t h t h e h i g h r e s o l u t i o n p r o p e r t y f o r d i s c o n t i n u o u s

s o l u t i o n s o f n i t e d i e r e n c e a n d n i t e v o l u m e m e t h o d s t h r o u g h m o n o t o n e

u x e s o r a p p r o x i m a t e R i e m a n n s o l v e r s a p p l i e d a t t h e e l e m e n t i n t e r f a c e s a n d

l i m i t e r s

I t h a s n i c e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s : a l o c a l c e l l e n t r o p y i n e q u a l i t y f o r t h e s q u a r e

e n t r o p y c a n b e p r o v e n 1 0 ] f o r g e n e r a l t r i a n g u l a t i o n f o r a n y s c a l a r n o n l i n e a r

c o n s e r v a t i o n l a w s ( 1 . 1 ) i n a n y s p a t i a l d i m e n s i o n s a n d f o r a n y o r d e r o f a c -

c u r a c y , e v e n w i t h o u t t h e n e e d o f n o n l i n e a r l i m i t e r s . S o f a r t h i s i s t h e o n l y

c l a s s o f h i g h o r d e r m e t h o d s h a v i n g p r o v a b l e c e l l e n t r o p y i n e q u a l i t i e s i n s u c h

a g e n e r a l s e t t i n g . T h i s i m p l i e s n o n l i n e a r L

2

s t a b i l i t y a n d e n t r o p y c o n s i s t e n c y

e v e n f o r d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s

T h e m e t h o d i s h i g h l y c o m p a c t : t h e e v o l u t i o n o f i n f o r m a t i o n i n a n y e l e m e n t

d e p e n d s o n l y o n t h e i n f o r m a t i o n o f i t s e l f a n d i t s i m m e d i a t e n e i g h b o r s , r e -

g a r d l e s s o f t h e o r d e r o f a c c u r a c y . T h i s i s i n c o n t r a s t w i t h h i g h o r d e r n i t e

v o l u m e s c h e m e s w h i c h m u s t u s e w i d e s t e n c i l s f o r h i g h o r d e r r e c o n s t r u c t i o n .

T h i s c o m p a c t n e s s i s r e s p o n s i b l e f o r t h e e c i e n t p a r a l l e l i m p l e m e n t a t i o n o f

t h e m e t h o d , s e e , e . g . 3 ] .

F o r m o r e d e t a i l s o f t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d a n d i t s r e c e n t d e v e l o p m e n t

a n d a p p l i c a t i o n s , w e r e f e r t h e r e a d e r s t o t h e s u r v e y a r t i c l e b y C o c k b u r n , K a r n i a d a k i s

a n d S h u 9 ] , t h e r e f e r e n c e s l i s t e d t h e r e i n , a n d o t h e r p a p e r s i n t h a t s p e c i a l S p r i n g e r

v o l u m e d e d i c a t e d e x c l u s i v e l y t o t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d .

R e c e n t l y , m o t i v a t e d b y t h e s u c c e s s f u l n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s o f B a s s i a n d R e b a y

1 ] , C o c k b u r n a n d S h u d e v e l o p e d t h e s o - c a l l e d l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d

i n t r e a t i n g t h e s e c o n d o r d e r v i s c o u s t e r m s a n d p r o v e d t h e s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e

w i t h o p t i m a l e r r o r e s t i m a t e s 8 ] . A t a b o u t t h e s a m e t i m e , B a u m a n n a n d O d e n 2 ]

i n t r o d u c e d a n e w d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e s e c o n d

o r d e r v i s c o u s t e r m s , s e e a l s o t h e p a p e r b y O d e n , B a b u s k a a n d B a u m a n n 1 2 ] . I n t h i s

p a p e r w e w i l l u s e s i m p l e e x a m p l e s t o i l l u s t r a t e t h e b a s i c i d e a s o f b o t h a p p r o a c h e s

a n d c o m p a r e t h e i r p e r f o r m a n c e s . W e w i l l a l s o e m p h a s i z e t h e \ p i t f a l l s " f o r u s i n g t h e

d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d o n t h e v i s c o u s t e r m s .

2 . D i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r r s t o r d e r c o n v e c t i o n p r o b l e m s .

W e s h a l l r s t d e s c r i b e t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e r s t o r d e r c o n v e c t i o n

p r o b l e m ( 1 . 1 ) . T o s i m p l i f y t h e p r e s e n t a t i o n a n d w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t i e s w e s h a l l

u s e t h e o n e d i m e n s i o n a l l i n e a r v e r s i o n o f ( 1 . 1 ) a s a n e x a m p l e :

u

t

; u

x

= 0 :( 2 . 1 )

W e s h a l l s o l v e ( 2 . 1 ) f o r x 2 0 , 2 ] w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d w i t h a n

i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) .

L e t ' s d e n o t e I

j

= x

j ;

1

2

x

j +

1

2

] , f o r j = 1 : : : N , a s a m e s h f o r 0 , 2 ] , w h e r e x

1

2

= 0

a n d x

N +

1

2

= 2 . W e d e n o t e t h e c e n t e r o f e a c h c e l l b y x

j

=

1

2

x

j ;

1

2

+ x

j +

1

2

a n d t h e


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D I S C O N T I N U O U S G A L E R K I N M E T H O D F O R V I S C O U S T E R M S 3

s i z e o f e a c h c e l l b y x

j

= x

j +

1

2

; x

j ;

1

2

. T h e c e l l s d o n o t n e e d t o b e u n i f o r m b u t f o r

s i m p l i c i t y w e w i l l p e r f o r m c a l c u l a t i o n s i n t h i s p a p e r o n l y w i t h u n i f o r m m e s h e s a n d

w i l l d e n o t e t h e u n i f o r m m e s h s i z e b y x .

I f w e m u l t i p l y ( 2 . 1 ) b y a n a r b i t r a r y t e s t f u n c t i o n v ( x ) , i n t e g r a t e o v e r t h e i n t e r v a l

I

j

, a n d i n t e g r a t e b y p a r t s , w e g e t

Z

I

j

u

t

v d x +

Z

I

j

u v

x

d x ; u ( x

j +

1

2

t ) v ( x

j +

1

2

) + u ( x

j ;

1

2

t ) v ( x

j ;

1

2

) = 0 :( 2 . 2 )

T h i s i s t h e s t a r t i n g p o i n t f o r d e s i g n i n g t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d . W e r e p l a c e

b o t h t h e s o l u t i o n u a n d t h e t e s t f u n c t i o n v b y p i e c e w i s e p o l y n o m i a l s o f d e g r e e a t m o s t

k . T h a t i s , u v 2 V

x

w h e r e

V

x

= f v : v i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e a t m o s t k f o r x 2 I

j

j = 1 : : : N g :( 2 . 3 )

W i t h t h i s c h o i c e , t h e r e i s a n a m b i g u i t y i n ( 2 . 2 ) i n t h e l a s t t w o t e r m s i n v o l v i n g t h e

b o u n d a r y v a l u e s a t x

j

1

2

, a s b o t h t h e s o l u t i o n u a n d t h e t e s t f u n c t i o n v a r e d i s c o n -

t i n u o u s e x a c t l y a t t h e s e b o u n d a r y p o i n t s . T h i s i s a n u i s a n c e b u t a l s o a n o p p o r t u n i t y :

o n e c o u l d c l e v e r l y d e s i g n t h e s e t e r m s s o t h a t t h e r e s u l t i n g n u m e r i c a l m e t h o d i s s t a b l e

a n d a c c u r a t e . T o m o t i v a t e t h e i d e a s , l e t ' s l o o k a t t h e s i m p l e s t c a s e k = 0 . T h a t i s ,

t h e s o l u t i o n a s w e l l a s t h e t e s t f u n c t i o n s a r e p i e c e w i s e c o n s t a n t s . I f w e d e n o t e b y u

j

t h e v a l u e o f u ( w h i c h i s c o n s t a n t i n e a c h c e l l ) i n t h e c e l l I

j

, ( 2 . 2 ) w o u l d b e c o m e t h e

f a m i l i a r r s t o r d e r u p w i n d n i t e v o l u m e s c h e m e

d

d t

u

j

;

1

x

j

( u

j + 1

; u

j

) = 0

i f w e p e r f o r m t h e f o l l o w i n g i n ( 2 . 2 ) :

1 . R e p l a c e t h e b o u n d a r y t e r m s u ( x

j

1

2

t ) b y s i n g l e v a l u e d n u m e r i c a l u x e s

u

j

1

2

= u ( u

;

j

1

2

u

+

j

1

2

) . T h e s e u x e s i n g e n e r a l d e p e n d b o t h o n t h e l e f t

l i m i t ( e . g . u

;

j +

1

2

= l i m

x ! x

;

j +

1

2

u ( x t ) ) a n d o n t h e r i g h t l i m i t ( e . g . u

+

j +

1

2

=

l i m

x ! x

+

j +

1

2

u ( x t ) ) . F o r t h e e q u a t i o n ( 2 . 1 ) , t h e u x ^ u

j +

1

2

i s t a k e n a s u

+

j +

1

2

a c c o r d i n g t o u p w i n d i n g .

2 . R e p l a c e t h e t e s t f u n c t i o n v a t t h e b o u n d a r i e s b y t h e v a l u e s t a k e n f r o m i n s i d e

t h e c e l l I

j

, n a m e l y v

;

j +

1

2

a n d v

+

j ;

1

2

.

T h e s c h e m e n o w b e c o m e s : n d u 2 V

x

s u c h t h a t , f o r a l l t e s t f u n c t i o n s v 2 V

x

,

Z

I

j

u

t

v d x +

Z

I

j

u v

x

d x ; u

j +

1

2

v

;

j +

1

2

+ u

j ;

1

2

v

+

j ;

1

2

= 0( 2 . 4 )

w h e r e t h e n u m e r i c a l u x ^ u

j +

1

2

= u

+

j +

1

2

.

A f t e r p i c k i n g a l o c a l b a s i s a n d i n v e r t i n g a l o c a l ( k + 1 ) ( k + 1 ) m a s s m a t r i x ( b y

h a n d ) , t h e s c h e m e ( 2 . 4 ) c a n b e w r i t t e n a s

d

d t

u

j

+

1

x

j

( A u

j

+ B u

j + 1

) = 0( 2 . 5 )

w h e r e u

j

i s a s m a l l v e c t o r o f l e n g t h k + 1 c o n t a i n i n g t h e c o e c i e n t s o f t h e s o l u t i o n u

i n t h e l o c a l b a s i s i n s i d e c e l l I

j

, a n d A a n d B a r e ( k + 1 ) ( k + 1 ) c o n s t a n t m a t r i c e s

w h i c h c a n b e c o m p u t e d o n c e a n d f o r a l l a n d s t o r e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o d e .


4/11


T a b l e 2 . 1

L

2

a n d L

1

e r r o r s a n d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 2 . 4 ) a p p l i e d t o

t h e l i n e a r e q u a t i o n ( 2 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) , t = 2 . T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a

i n t i m e .

k = 1 k = 2

x L

2

e r r o r o r d e r L

1


2


1

e r r o r o r d e r

2 = 2 0 4 . 6 3 E - 0 3 | 1 . 3 4 E - 0 2 | 1 . 1 4 E - 0 4 | 5 . 1 0 E - 0 4 |

2 = 4 0 1 . 0 9 E - 0 3 2 . 0 8 3 . 7 5 E - 0 3 1 . 8 4 1 . 4 2 E - 0 5 3 . 0 0 6 . 4 4 E - 0 5 2 . 9 8

2 = 8 0 2 . 6 9 E - 0 4 2 . 0 2 9 . 8 4 E - 0 4 1 . 9 3 1 . 7 7 E - 0 6 3 . 0 0 8 . 0 8 E - 0 6 3 . 0 0

2 = 1 6 0 6 . 6 9 E - 0 5 2 . 0 1 2 . 5 2 E - 0 4 1 . 9 7 2 . 2 1 E - 0 7 3 . 0 0 1 . 0 1 E - 0 6 3 . 0 0

S c h e m e ( 2 . 5 ) c a n t h e n b e e a s i l y d i s c r e t i z e d i n t i m e b y t h e n o n l i n e a r l y s t a b l e h i g h

o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d s i n 1 4 ] . W e u s e t h e t h i r d o r d e r v e r s i o n i n 1 4 ] a n d u s e

s u c i e n t l y s m a l l t i m e s t e p s f o r t h e a c c u r a c y t e s t s .

W e r e m a r k t h a t t h e m e t h o d ( 2 . 5 ) i s e x t r e m e l y s i m p l e t o c o d e a n d e a s y t o p a r a l -

l e l i z e .

F o r i l l u s t r a t i o n p u r p o s e w e s h o w i n T a b l e 2 . 1 t h e L

2

a n d L

1

e r r o r s a n d n u m e r i -

c a l l y o b s e r v e d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e t w o c a s e s k = 1 a n d 2 ( p i e c e w i s e l i n e a r a n d

p i e c e w i s e q u a d r a t i c c a s e s ) f o r t = 2 ( a f t e r o n e t i m e p e r i o d ) . W e c a n c l e a r l y s e e t h a t

a n o r d e r o f k + 1 i s a c h i e v e d .

T o i l l u s t r a t e t h e p o w e r o f t h e m e t h o d f o r d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s , e v e n w i t h o u t

u s i n g t h e n o n l i n e a r l i m i t e r s , w e s o l v e e q u a t i o n ( 2 . 1 ) w i t h a d i s c o n t i n u o u s i n i t i a l c o n -

d i t i o n u ( x 0 ) = 1 f o r x 2

2

3

2

] a n d u ( x 0 ) = 0 e l s e w h e r e i n s i d e 0 , 2 ] , e x t e n d e d

p e r i o d i c a l l y . W e s o l v e t h e p r o b l e m f o r 5 0 t i m e p e r i o d s t o t = 1 0 0 , u s i n g N = 4 0

c e l l s , w i t h k = 1 ( p i e c e w i s e l i n e a r ) a n d k = 6 ( p i e c e w i s e s i x t h d e g r e e p o l y n o m i a l ) ,

a n d s h o w t h e r e s u l t s i n F i g . 2 . 1 , w h e r e t h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t s o l u t i o n a n d t h e

d a s h e d l i n e a n d s q u a r e s y m b o l s ( o n l y t h e m i d d l e p o i n t v a l u e o f e a c h c e l l i s p l o t t e d )

a r e t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s . W e c a n c l e a r l y o b s e r v e t h a t t h e s e c o n d o r d e r m e t h o d

( k = 1 ) h a s a c o n s i d e r a b l e s m e a r i n g o f t h e d i s c o n t i n u i t y a t t h i s l o n g t i m e b u t t h e

s e v e n t h o r d e r m e t h o d ( k = 6 ) a r e s t i l l a b l e t o h o l d o n t o t h e s t r u c t u r e o f t h e s o l u t i o n

w i t h o u t n o t i c e a b l e s m e a r i n g . N o t i c e t h a t t h i s i s a p a r t i c u l a r l y t o u g h t e s t c a s e a s d i s -

c o n t i n u i t i e s f o r l i n e a r e q u a t i o n s l i k e ( 2 . 1 ) , w h i c h a r e c a l l e d \ c o n t a c t d i s c o n t i n u i t i e s "

i n t h e l i t e r a t u r e , a r e s u b j e c t t o s e v e r e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n ( s m e a r i n g ) a n d a r e v e r y

d i c u l t t o r e s o l v e s h a r p l y b y a n u m e r i c a l m e t h o d .

3 . N a i v e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d t o t h e

s e c o n d o r d e r d i u s i o n p r o b l e m | a \ p i t f a l l " . W e n o w t u r n o u r a t t e n t i o n t o

t h e c o n v e c t i o n d i u s i o n p r o b l e m s c o n t a i n i n g s e c o n d d e r i v a t i v e s . T h e d i c u l t y c a n b e

i l l u s t r a t e d b y t h e f o l l o w i n g s i m p l e h e a t e q u a t i o n :

u

t

; u

x x

= 0 :( 3 . 1 )

a g a i n f o r x 2 0 , 2 ] w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n

u ( x 0 ) = s i n ( x ) .

I f w e p r o c e e d a s b e f o r e w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g e q u a l i t y s i m i l a r t o ( 2 . 2 ) :

Z

I

j

u

t

v d x +

Z

I

j

u

x

v

x

d x ; u

x

( x

j +

1

2

t ) v ( x

j +

1

2

) + u

x

( x

j ;

1

2

t ) v ( x

j ;

1

2

) = 0 :( 3 . 2 )

T h e o n l y d i e r e n c e b e t w e e n ( 2 . 2 ) a n d ( 3 . 2 ) i s t h a t , i n a l l t h e t e r m s e x c e p t t h e r s t

o n e , u i n ( 2 . 2 ) i s r e p l a c e d b y u

x

i n ( 3 . 2 ) . A v e r y n a t u r a l w a y t o e x t e n d t h e s c h e m e


5/11


0 1 2 3 4 5 6

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1u

k=1, t=100, solid line: exact solution;dashed line / squares: numerical solution

0 1 2 3 4 5 6

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1u

k=6, t=100, solid line: exact solution;dashed line / squares: numerical solution

F i g . 2 . 1 T h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 2 . 4 ) a p p l i e d t o t h e l i n e a r e q u a t i o n ( 2 . 1 ) w i t h a

s q u a r e i n i t i a l c o n d i t i o n , t = 1 0 0 . 4 0 c e l l s . T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a i n t i m e . S o l i d l i n e : t h e e x a c t

s o l u t i o n D a s h e d l i n e a n d s q u a r e s s y m b o l s : t h e c o m p u t e d s o l u t i o n a t t h e c e l l c e n t e r s . L e f t : k = 1

R i g h t : k = 6

( 2 . 4 ) w o u l d b e s i m p l y t o r e p l a c e u b y u

x

: n d u 2 V

x

s u c h t h a t , f o r a l l t e s t f u n c t i o n s

v 2 V

x

,

Z

I

j

u

t

v d x +

Z

I

j

u

x

v

x

d x ; u

x

j +

1

2

v

;

j +

1

2

+ u

x

j ;

1

2

v

+

j ;

1

2

= 0( 3 . 3 )

w h e r e , f o r t h e l a c k o f u p w i n d i n g m e c h a n i s m i n a h e a t e q u a t i o n o n e n a t u r a l l y t a k e s a

c e n t r a l u x ^ u

x

j +

1

2

=

1

2

( u

x

)

;

j +

1

2

+ ( u

x

)

+

j +

1

2

.

O n e m i g h t b e m o r e c a r e f u l a n d n o t i c e t h a t , f o r t h e p i e c e w i s e c o n s t a n t c a s e k = 0 ,

( 3 . 3 ) b e c o m e s t h e r i d i c u l o u s

d

d t

u

j

= 0( 3 . 4 )

w h e r e u

j

i s t h e v a l u e o f u ( c o n s t a n t i n e a c h c e l l ) i n c e l l I

j

, c l e a r l y i n c o n s i s t e n t w i t h

t h e o r i g i n a l P D E ( 3 . 1 ) . H o w e v e r , o n e m i g h t b e t e m p t e d t o b e l i e v e t h a t t h i s i s j u s t a

s p e c i a l c a s e a n d s t a r t i n g f r o m k = 1 t h i n g s w i l l b e O K , a s t h e n t h e r s t e q u a l i t y i n

t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) w i t h t h e c h o i c e v = 1 i n I

j

b e c o m e s

d

d t

u

j

;

1

x

j

u

x

j +

1

2

; u

x

j ;

1

2

= 0

w h i c h i s q u i t e r e a s o n a b l e i n a p p e a r a n c e .

W e r e m a r k t h a t , i n t h e a c t u a l c o m p u t a t i o n , t h e s c h e m e i s s i m i l a r t o ( 2 . 5 ) a n d

t a k e s t h e f o r m

d

d t

u

j

+

1

x

2

j

( A u

j ; 1

+ B u

j

+ C u

j + 1

) = 0( 3 . 5 )

w h e r e u

j

i s a s m a l l v e c t o r o f l e n g t h k + 1 c o n t a i n i n g t h e c o e c i e n t s o f t h e s o l u t i o n u

i n t h e l o c a l b a s i s i n s i d e c e l l I

j

, a n d A , B , C a r e ( k + 1 ) ( k + 1 ) c o n s t a n t m a t r i c e s

w h i c h c a n b e c o m p u t e d o n c e a n d f o r a l l a n d s t o r e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o d e .

A g a i n , t h e t h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d 1 4 ] c a n b e u s e d .


6/11


T a b l e 3 . 1

L

2

a n d L

1

e r r o r s a n d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e i n c o n s i s t e n t d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d

( 3 . 3 ) a p p l i e d t o t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) , t = 0 8 . T h i r d

o r d e r R u n g e - K u t t a i n t i m e .

k = 1 k = 2

x L

2


1


2


1

e r r o r o r d e r

2 = 2 0 1 . 7 8 E - 0 1 | 2 . 5 8 E - 0 1 | 1 . 8 5 E - 0 1 | 2 . 7 2 E - 0 1 |

2 = 4 0 1 . 7 6 E - 0 1 0 . 0 1 6 2 . 5 0 E - 0 1 0 . 0 2 5 1 . 7 8 E - 0 1 0 . 0 4 9 2 . 5 5 E - 0 1 0 . 0 8 9

2 = 8 0 1 . 7 5 E - 0 1 0 . 0 0 4 2 . 4 8 E - 0 1 0 . 0 1 2 1 . 7 7 E - 0 1 0 . 0 1 3 2 . 5 1 E - 0 1 0 . 0 2 5

2 = 1 6 0 1 . 7 5 E - 0 1 0 . 0 0 1 2 . 4 8 E - 0 1 0 . 0 0 3 1 . 7 6 E - 0 1 0 . 0 0 3 2 . 5 0 E - 0 1 0 . 0 0 7

W e c o m p u t e w i t h t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) a n d s h o w i n T a b l e 3 . 1 t h e L

2

a n d L

1

e r r o r s

a n d n u m e r i c a l l y o b s e r v e d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e t w o c a s e s k = 1 a n d 2 ( p i e c e w i s e

l i n e a r a n d p i e c e w i s e q u a d r a t i c c a s e s ) t o t = 0 : 8 . C l e a r l y t h e r e i s a n o r d e r o n e e r r o r f o r

b o t h c a s e s w h i c h d o e s n o t d e c r e a s e w i t h a m e s h r e n e m e n t ! W e p l o t t h e s o l u t i o n s w i t h

1 6 0 c e l l s i n F i g . 3 . 1 a n d c a n c l e a r l y s e e t h a t t h e c o m p u t e d s o l u t i o n s h a v e c o m p l e t e l y

i n c o r r e c t a m p l i t u d e s . T h e s c h e m e i s n o t c o n s i s t e n t !

0 1 2 3 4 5 6

x

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8u

k=1, t=0 .8, solid line: exact solution;dashed line / squares: numerical solution

0 1 2 3 4 5 6

x

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6u

k=2, t=0 .8, solid line: exact solution;dashed line / squares: numerical solution

F i g . 3 . 1 T h e i n c o n s i s t e n t d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 3 . 3 ) a p p l i e d t o t h e h e a t e q u a t i o n

( 3 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) t = 0 8 . 1 6 0 c e l l s . T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a i n

t i m e . S o l i d l i n e : t h e e x a c t s o l u t i o n D a s h e d l i n e a n d s q u a r e s s y m b o l s : t h e c o m p u t e d s o l u t i o n a t t h e

c e l l c e n t e r s . L e f t : k = 1 R i g h t : k = 2

T h i s i s a v e r y s u b t l e i n c o n s i s t e n c y : t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e P D E ( 3 . 1 ) d o e s s a t i s f y

t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) e x a c t l y ! H e n c e o n e m i g h t b a s e t h e j u d g m e n t o n o n e ' s e x p e r i e n c e w i t h

n i t e d i e r e n c e a n d c o n c l u d e t h a t t h e m e t h o d i s c o n s i s t e n t . I n d e e d , s i n c e t h e m e t h o d

i s e x t r e m e l y n o n - c o n f o r m a l ( i . e . t h e s p a c e V

x

i n ( 2 . 3 ) i s t o o i r r e g u l a r f o r t h e h e a t

e q u a t i o n ( 3 . 1 ) w h i c h n e e d s a n H

1

s p a c e ) , t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) s u e r s f r o m t h e \ v a r i a t i o n a l

c r i m e s " a s d e s c r i b e d b y S t r a n g a n d F i x 1 5 ] .

I t i s a c t u a l l y v e r y d a n g e r o u s t h a t t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) p r o d u c e s s t a b l e b u t c o m p l e t e l y

i n c o r r e c t s o l u t i o n . I f o n e w a s i n a h u r r y a n d d i d n o t w a n t t o d o t h e g r o u n d w o r k o f

t e s t i n g t h e m e t h o d o n t h e s i m p l e h e a t e q u a t i o n r s t w h i c h h a s a k n o w n e x a c t s o l u -

t i o n , b u t r a t h e r w e n t t o s o l v e t h e c o m p l i c a t e d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d p r o d u c e d

b e a u t i f u l c o l o r p i c t u r e s , o n e w o u l d n o t b e a b l e t o t e l l t h a t t h e r e s u l t i s a c t u a l l y w r o n g !

I n f a c t , t h e i n c o r r e c t s c h e m e ( 3 . 3 ) h a s b e e n u s e d i n t h e l i t e r a t u r e f o r d i s c r e t i z i n g t h e

v i s c o u s t e r m s i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( I w i l l s p a r e t h e r e f e r e n c e h e r e ) .

I n t h e n e x t t w o s e c t i o n s w e w i l l d e s c r i b e \ s m a l l " m o d i c a t i o n s t o t h e i n c o r r e c t


7/11


s c h e m e ( 3 . 3 ) t o o b t a i n t w o c l a s s e s o f s t a b l e a n d a c c u r a t e s c h e m e s f o r ( 3 . 1 ) . W e w i l l

a l s o c o m p a r e t h e i r n u m e r i c a l p e r f o r m a n c e s .

4 . T h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e s e c o n d o r d e r d i f -

f u s i o n p r o b l e m . I f w e r e w r i t e t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) a s a r s t o r d e r s y s t e m

u

t

; q

x

= 0 q ; u

x

= 0 ( 4 . 1 )

w e c a n t h e n f o r m a l l y u s e t h e s a m e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d a s i n s e c t i o n 2

f o r t h e c o n v e c t i o n e q u a t i o n t o s o l v e ( 4 . 1 ) , r e s u l t i n g i n t h e f o l l o w i n g s c h e m e : n d

u q 2 V

x

s u c h t h a t , f o r a l l t e s t f u n c t i o n s v w 2 V

x

,

Z

I

j

u

t

v d x +

Z

I

j

q v

x

d x ; q

j +

1

2

v

;

j +

1

2

+ q

j ;

1

2

v

+

j ;

1

2

= 0( 4 . 2 )

Z

I

j

q w d x +

Z

I

j

u w

x

d x ; u

j +

1

2

w

;

j +

1

2

+ u

j ;

1

2

w

+

j ;

1

2

= 0

w h e r e , a g a i n f o r t h e l a c k o f u p w i n d i n g m e c h a n i s m i n a h e a t e q u a t i o n o n e n a t u r a l l y

r s t t r i e s t h e c e n t r a l u x e s :

u

j +

1

2

=

1

2

u

;

j +

1

2

+ u

+

j +

1

2

q

j +

1

2

=

1

2

q

;

j +

1

2

+ q

+

j +

1

2

:( 4 . 3 )

W e e m p h a s i z e t h a t t h e a b o v e f o r m u l a t i o n o f t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n s c h e m e

i s o n l y f o r m a l l y s i m i l a r t o t h a t o f t h e c o n v e c t i o n e q u a t i o n i n s e c t i o n 2 . I n f a c t , t h e r e

i s n o t i m e d e r i v a t i v e i n t h e s e c o n d e q u a t i o n i n ( 4 . 1 ) a n d i t i s n o t a h y p e r b o l i c p r o b l e m

e v e n t h o u g h i t i s w r i t t e n i n t o a s y s t e m f o r m w i t h o n l y r s t d e r i v a t i v e s . I f w e v i e w t h e

s c h e m e ( 4 . 2 ) a s a m i x e d n i t e e l e m e n t m e t h o d t h e n i t l a c k s t h e u s u a l s o p h i s t i c a t e d

m a t c h i n g o f t h e t w o s o l u t i o n s p a c e s f o r u a n d q ( t h e s a m e s p a c e i s u s e d f o r b o t h

o f t h e m ) . \ C o m m o n s e n s e " i n t r a d i t i o n a l n i t e e l e m e n t s w o u l d h i n t t h a t s c h e m e

( 4 . 2 ) h a s n o c h a n c e t o w o r k . H o w e v e r , B a s s i a n d R e b a y 1 ] w e r e b r a v e e n o u g h t o

t r y t h i s m e t h o d o n t h e v i s c o u s t e r m s i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d s e e m e d t o

h a v e o b t a i n e d v e r y g o o d r e s u l t s . M o t i v a t e d b y t h e i r w o r k , C o c k b u r n a n d S h u 8 ]

a n a l y z e d t h i s m e t h o d a n d o b t a i n e d c o n d i t i o n s o n t h e c h o i c e o f t h e u x e s ^ u

j +

1

2

a n d

q

j +

1

2

w h i c h g u a r a n t e e s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e a n d a s u b - o p t i m a l e r r o r e s t i m a t e o f o r d e r

k f o r p i e c e w i s e p o l y n o m i a l s o f d e g r e e k . I t t u r n s o u t t h a t t h e c e n t r a l u x e s ( 4 . 3 )

u s e d b y B a s s i a n d R e b a y 1 ] d o s a t i s f y t h e s e c o n d i t i o n s . N o w o n d e r t h e y c o n v e r g e i n

p r a c t i c e !

W e r e m a r k t h a t t h e a p p e a r a n c e o f t h e a u x i l i a r y v a r i a b l e q i s s u p e r c i a l : w h e n a

l o c a l b a s i s i s c h o s e n i n c e l l I

j

t h e n q i s e l i m i n a t e d a n d t h e a c t u a l s c h e m e f o r u t a k e s

a f o r m s i m i l a r t o ( 3 . 5 ) . W e w i l l c o m e b a c k t o t h i s i s s u e l a t e r .

T h e r e a r e t w o p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h t h e c h o i c e o f t h e c e n t r a l u x e s i n ( 4 . 3 ) :

1 . I t s p r e a d s t o v e c e l l s w h e n a l o c a l b a s i s i s c h o s e n f o r u i n c e l l I

j

. A f t e r q i s

e l i m i n a t e d t h e s c h e m e b e c o m e s

d

d t

u

j

+

1

x

2

j

( A u

j ; 2

+ B u

j ; 1

+ C u

j

+ D u

j + 1

+ E u

j + 2

) = 0

w h e r e u

j

i s a s m a l l v e c t o r o f l e n g t h k + 1 c o n t a i n i n g t h e c o e c i e n t s o f t h e

s o l u t i o n u i n t h e l o c a l b a s i s i n s i d e c e l l I

j

, a n d A , B , C D , E a r e ( k + 1 ) ( k + 1 )

c o n s t a n t m a t r i c e s w h i c h c a n b e c o m p u t e d o n c e a n d f o r a l l a n d s t o r e d a t t h e

b e g i n n i n g o f t h e c o d e . T h e s t e n c i l h e r e i s w i d e r t h a n t h a t i n ( 3 . 5 ) .


8/11


T a b l e 4 . 1

L

2

a n d L

1

e r r o r s a n d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 4 . 2 )

w i t h u x e s ( 4 . 4 ) a p p l i e d t o t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) , t = 0 8

T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a i n t i m e .

k = 1 k = 2

x L

2


1


2


1

e r r o r o r d e r

2 = 2 0 , u 1 . 9 2 E - 0 3 | 7 . 3 4 E - 0 3 | 4 . 8 7 E - 0 5 | 2 . 3 0 E - 0 4 |

2 = 2 0 , q 1 . 9 3 E - 0 3 | 7 . 3 3 E - 0 3 | 4 . 8 7 E - 0 5 | 2 . 3 0 E - 0 4 |

2 = 4 0 , u 4 . 8 1 E - 0 4 2 . 0 0 1 . 8 4 E - 0 3 1 . 9 9 6 . 0 8 E - 0 6 3 . 0 0 2 . 9 0 E - 0 5 2 . 9 9

2 = 4 0 , q 4 . 8 1 E - 0 4 2 . 0 0 1 . 8 4 E - 0 3 1 . 9 9 6 . 0 8 E - 0 6 3 . 0 0 2 . 9 0 E - 0 5 2 . 9 9

2 = 8 0 , u 1 . 2 0 E - 0 4 2 . 0 0 4 . 6 2 E - 0 4 2 . 0 0 7 . 6 0 E - 0 7 3 . 0 0 3 . 6 3 E - 0 6 3 . 0 0

2 = 8 0 , q 1 . 2 0 E - 0 4 2 . 0 0 4 . 6 2 E - 0 4 2 . 0 0 7 . 6 0 E - 0 7 3 . 0 0 3 . 6 3 E - 0 6 3 . 0 0

2 = 1 6 0 , u 3 . 0 0 E - 0 5 2 . 0 0 1 . 1 5 E - 0 4 2 . 0 0 9 . 5 0 E - 0 8 3 . 0 0 4 . 5 3 E - 0 7 3 . 0 0

2 = 1 6 0 , q 3 . 0 0 E - 0 5 2 . 0 0 1 . 1 5 E - 0 4 2 . 0 0 9 . 5 0 E - 0 8 3 . 0 0 4 . 5 3 E - 0 7 3 . 0 0

2 . T h e o r d e r o f a c c u r a c y i s o n e o r d e r l o w e r f o r o d d k . T h a t i s , f o r o d d k t h e

p r o o f o f t h e s u b - o p t i m a l e r r o r e s t i m a t e o f o r d e r k i s a c t u a l l y s h a r p .

B o t h p r o b l e m s c a n b e c u r e d b y a c l e v e r c h o i c e o f u x e s , p r o p o s e d i n C o c k b u r n

a n d S h u 8 ] :

u

j +

1

2

= u

;

j +

1

2

q

j +

1

2

= q

+

j +

1

2

:( 4 . 4 )

i . e . w e a l t e r n a t i v e l y t a k e t h e l e f t a n d r i g h t l i m i t s f o r t h e u x e s i n u a n d q ( w e c o u l d

o f c o u r s e a l s o t a k e t h e p a i r u

+

j +

1

2

a n d q

;

j +

1

2

a s t h e u x e s ) . N o t i c e t h a t t h e e v a l u a t i o n

o f ( 4 . 4 ) i s s i m p l e r t h a n t h a t o f t h e c e n t r a l u x e s i n ( 4 . 3 ) . W e r e c o v e r e x a c t l y t h e

s c h e m e i n t h e f o r m o f ( 3 . 5 ) ( o f c o u r s e w i t h d i e r e n t c o n s t a n t m a t r i c e s A , B a n d C )

w h e n a l o c a l b a s i s i s c h o s e n . H e n c e t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t a n d s t o r a g e r e q u i r e m e n t

o f s c h e m e ( 4 . 2 ) w i t h t h e u x e s ( 4 . 4 ) i s t h e s a m e a s t h a t o f t h e i n c o n s i s t e n t s c h e m e

( 3 . 3 ) , e v e n t h o u g h w e n o w h a v e n o m i n a l l y a n a d d i t i o n a l a u x i l i a r y v a r i a b l e q ! W e c a n

a l s o p r o v e t h a t n o w t h e o r d e r o f a c c u r a c y b e c o m e s k + 1 f o r a l l k .


2

a n d L

1

e r r o r s a n d n u m e r -

i c a l l y o b s e r v e d o r d e r s o f a c c u r a c y , f o r b o t h u a n d q , f o r t h e t w o c a s e s k = 1 a n d 2

( p i e c e w i s e l i n e a r a n d p i e c e w i s e q u a d r a t i c c a s e s ) t o t = 0 : 8 . C l e a r l y ( k + 1 ) - t h o r d e r

o f a c c u r a c y i s a c h i e v e d f o r b o t h o d d a n d e v e n k a n d a l s o t h e s a m e o r d e r o f a c c u r a c y

i s a c h i e v e d f o r q w h i c h a p p r o x i m a t e s u

x

. W e t h u s o b t a i n t h e a d v a n t a g e o f m i x e d

n i t e e l e m e n t m e t h o d s i n a p p r o x i m a t i n g t h e d e r i v a t i v e s o f t h e e x a c t s o l u t i o n t o t h e

s a m e o r d e r o f a c c u r a c y a s t h e s o l u t i o n t h e m s e l v e s , y e t w i t h o u t a d d i t i o n a l s t o r a g e o r

c o m p u t a t i o n a l c o s t s f o r t h e a u x i l i a r y v a r i a b l e q !

5 . T h e B a u m a n n - O d e n d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e s e c o n d

o r d e r d i u s i o n p r o b l e m . A n o t h e r p o s s i b l e m o d i c a t i o n t o t h e i n c o n s i s t e n t s c h e m e

( 3 . 3 ) i s g i v e n b y B a u m a n n a n d O d e n 2 ] , s e e a l s o O d e n , B a b u s k a , a n d B a u m a n n 1 2 ] .

B a s i c a l l y , e x t r a b o u n d a r y t e r m s w e r e a d d e d t o t h e e l e m e n t b o u n d a r i e s s u c h t h a t ,

w h e n o n e t a k e s v = u a n d s u m o v e r a l l c e l l s , t h e b o u n d a r y c o n t r i b u t i o n d i s a p p e a r s

a n d o n e g e t s a n i c e L

2

n o r m s t a b i l i t y c o n t r o l . T h e s c h e m e n o w b e c o m e s : n d u 2 V

x

s u c h t h a t , f o r a l l t e s t f u n c t i o n s v 2 V

x

,

Z

I

j

u

t

v d x +

Z

I

j

u

x

v

x

d x ; u

x

j +

1

2

v

;

j +

1

2

+ u

x

j ;

1

2

v

+

j ;

1

2

( 5 . 1 )

;

1

2

( v

x

)

;

j +

1

2

u

+

j +

1

2

; u

;

j +

1

2

;

1

2

( v

x

)

+

j ;

1

2

u

+

j ;

1

2

; u

;

j ;

1

2

= 0


9/11


w h e r e , a g a i n f o r t h e l a c k o f u p w i n d i n g m e c h a n i s m i n a h e a t e q u a t i o n o n e n a t u r a l l y

t a k e s a c e n t r a l u x ^ u

x

j +

1

2

=

1

2

( u

x

)

;

j +

1

2

+ ( u

x

)

+

j +

1

2

. N o t i c e t h a t t h e e x t r a t e r m s

a d d e d d o n o t m a k e t h e s y s t e m s y m m e t r i c .

W e r e m a r k t h a t f o r k = 0 t h e s c h e m e ( 5 . 1 ) a g a i n d e g e n e r a t e s t o t h e r i d i c u l o u s

( 3 . 4 ) h e n c e i s i n c o n s i s t e n t w i t h t h e P D E ( 3 . 1 ) . T h e s c h e m e c a n o n l y b e u s e d f o r

k 1 .

F o r c o d i n g p u r p o s e ( 5 . 1 ) i s t h e m o s t c o n v e n i e n t f o r m , h o w e v e r i t m i g h t b e m o r e

i l l u s t r a t i v e i f w e r e w r i t e ( 5 . 1 ) i n t o a g l o b a l f o r m : n d u 2 V

x

s u c h t h a t , f o r a l l t e s t

f u n c t i o n s v 2 V

x

,

Z

2

0

u

t

v d x +

N

X

j = 1

Z

I

j

u

x

v

x

d x + u

x

j +

1

2

v ]

j +

1

2

; v

x

j +

1

2

u ]

j +

1

2

!

= 0( 5 . 2 )

w h e r e w ] w

+

; w

;

d e n o t e s t h e j u m p o f t h e f u n c t i o n w a t t h e i n t e r f a c e a n d t h e

u x f o r v

x

i s a l s o a c e n t r a l u x ^ v

x

j +

1

2

=

1

2

( v

x

)

;

j +

1

2

+ ( v

x

)

+

j +

1

2

. T h e a n t i - s y m m e t r y

n a t u r e o f t h e b o u n d a r y t e r m s ( w h i c h d i s a p p e a r w h e n o n e t a k e s v = u ) i s c l e a r l y s e e n

i n t h e g l o b a l f o r m u l a t i o n ( 5 . 2 ) .

W e r e m a r k t h a t o n c e a g a i n w e r e c o v e r e x a c t l y t h e s c h e m e i n t h e f o r m o f ( 3 . 5 )

( o f c o u r s e w i t h d i e r e n t c o n s t a n t m a t r i c e s A , B a n d C ) w h e n a l o c a l b a s i s i s c h o s e n .

H e n c e t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t a n d s t o r a g e r e q u i r e m e n t o f s c h e m e ( 5 . 1 ) i s t h e s a m e a s

t h a t o f t h e i n c o n s i s t e n t s c h e m e ( 3 . 3 ) o r a s t h a t o f t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n

m e t h o d ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) . T h e r e i s n o s a v i n g i n t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t h e r e o v e r t h e m e t h o d

( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) e v e n t h o u g h t h e l a t t e r h a s n o m i n a l l y a n a d d i t i o n a l a u x i l i a r y v a r i a b l e q .

T h i s s t a t e m e n t i s v a l i d w h e n a l i n e a r P D E i s s o l v e d . F o r n o n l i n e a r p r o b l e m s t h e

c o m p u t a t i o n a l c o s t o f t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d ( 5 . 1 ) m a y b e s m a l l e r t h a n t h a t o f

t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) .

T h e o r d e r o f a c c u r a c y f o r t h e s c h e m e ( 5 . 1 ) i s k f o r e v e n k ( s u b - o p t i m a l ) a n d k + 1

f o r o d d k ( o p t i m a l ) .


2

a n d L

1

e r r o r s a n d n u m e r i -

c a l l y o b s e r v e d o r d e r s o f a c c u r a c y , f o r t h e t w o c a s e s k = 1 a n d 2 ( p i e c e w i s e l i n e a r a n d

p i e c e w i s e q u a d r a t i c c a s e s ) t o t = 0 : 8 . C l e a r l y ( k + 1 ) - t h o r d e r o f a c c u r a c y i s a c h i e v e d

f o r t h e o d d k = 1 a n d k - t h o r d e r o f a c c u r a c y i s a c h i e v e d f o r t h e e v e n k = 2 . C o m -

p a r i n g w i t h t h e r e s u l t s i n T a b l e 4 . 1 o f t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d , w e

c a n s e e t h a t , f o r t h e s a m e m e s h , t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d ( 5 . 1 ) h a s l a r g e r e r r o r s

t h a n t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) e v e n f o r o d d k w h e r e b o t h

a r e a c c u r a t e o f o r d e r k + 1 . F o r e v e n k t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d ( 5 . 1 ) i s m u c h

i n f e r i o r t o t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) a s t h e f o r m e r i s o n e

o r d e r l o w e r i n a c c u r a c y .

6 . C o n c l u d i n g r e m a r k s . W e h a v e d i s c u s s e d t h r e e d i e r e n t f o r m u l a t i o n s o f t h e

d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d s f o r t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) . F o r p r a c t i c a l i m p l e m e n -

t a t i o n s o f l i n e a r p r o b l e m s a l l o f t h e m a r e o f t h e s i m p l e f o r m ( 3 . 5 ) a n d h a v e t h e s a m e

c o m p u t a t i o n a l c o s t a n d s t o r a g e r e q u i r e m e n t . F o r n o n l i n e a r p r o b l e m s t h e c o m p u t a -

t i o n a l c o s t o f t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d m a y b e s m a l l e r t h a n t h a t o f t h e l o c a l d i s -

c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d . T h e r s t a p p r o a c h i n s e c t i o n 3 p r o d u c e s a n u m e r i c a l l y

s t a b l e b u t i n c o n s i s t e n t m e t h o d , g i v i n g n i c e l o o k i n g b u t c o m p l e t e l y w r o n g s o l u t i o n s .

T h i s e x a m p l e s e r v e s a s a w a r n i n g t o \ p i t f a l l s " i n u s i n g d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h -

o d s f o r h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e t e r m s . T h e l a s t t w o a p p r o a c h e s a r e b o t h s t a b l e a n d

c o n v e r g e n t a n d h a v e c o m p a r a b l e c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y . T h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s


10/11

1 0 C H I - W A N G S H U

T a b l e 5 . 1

L

2

a n d L

1

e r r o r s a n d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e B a u m a n n - O d e n d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n

m e t h o d ( 5 . 1 ) a p p l i e d t o t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) , t = 0 8

T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a i n t i m e .

k = 1 k = 2

x L

2


1


2


1

e r r o r o r d e r

2 = 2 0 6 . 4 0 E - 0 3 | 1 . 2 5 E - 0 2 | 4 . 0 0 E - 0 3 | 5 . 6 4 E - 0 3 |

2 = 4 0 1 . 6 0 E - 0 3 2 . 0 0 3 . 1 4 E - 0 3 2 . 0 0 1 . 0 3 E - 0 3 1 . 9 5 1 . 4 6 E - 0 3 1 . 9 5

2 = 8 0 4 . 0 0 E - 0 4 2 . 0 0 7 . 8 5 E - 0 4 2 . 0 0 2 . 6 1 E - 0 4 1 . 9 9 3 . 6 8 E - 0 4 1 . 9 9

2 = 1 6 0 9 . 9 9 E - 0 5 2 . 0 0 1 . 9 6 E - 0 4 2 . 0 0 6 . 5 3 E - 0 5 2 . 0 0 9 . 2 3 E - 0 5 2 . 0 0

G a l e r k i n m e t h o d i s s y m m e t r i c a n d m o r e e x i b l e i n n u m e r i c a l u x e s a n d c a n a c h i e v e

u n i f o r m ( k + 1 ) - t h o r d e r a c c u r a c y f o r b o t h u a n d u

x

f o r a l l k , w h i l e t h e B a u m a n n - O d e n

m e t h o d a p p r o x i m a t e s u t o ( k + 1 ) - t h o r d e r a c c u r a c y f o r o d d k b u t o n l y t o k - t h o r d e r

a c c u r a c y f o r e v e n k . F o r t h e s a m e m e s h a n d w h e n k i s o d d h e n c e b o t h m e t h o d s a r e o f

t h e s a m e o r d e r k + 1 , t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d h a s s m a l l e r e r r o r s t h a n

t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d f o r t h e h e a t e q u a t i o n w e h a v e t e s t e d . W h e n k i s o d d t h e

l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d i s m u c h m o r e a c c u r a t e t h a n t h e B a u m a n n - O d e n

m e t h o d a s t h e l a t t e r i s o n e o r d e r l o w e r i n a c c u r a c y . T h e c o n c l u s i o n s d r a w n i n t h i s

p a p e r , a l t h o u g h g i v e n o n l y f o r t h e s i m p l e h e a t e q u a t i o n , a r e v a l i d f o r m o r e c o m p l e x

c o n v e c t i o n d i u s i o n p r o b l e m s s u c h a s t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .

R E F E R E N C E S

1 ] F . B a s s i a n d S . R e b a y , A h i g h - o r d e r a c c u r a t e d i s c o n t i n u o u s n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r t h e

n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , J . C o m p u t . P h y s . , 1 3 1

( 1 9 9 7 ) , p p . 2 6 7 { 2 7 9 .

2 ] C . E . B a u m a n n a n d J . T . O d e n , A d i s c o n t i n u o u s h p n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r c o n v e c t i o n -

d i u s i o n p r o b l e m s , C o m p u t . M e t h o d s A p p l . M e c h . E n g r g . , 1 7 5 ( 1 9 9 9 ) , p p . 3 1 1 { 3 4 1 .

3 ] R . B i s w a s , K . D . D e v i n e a n d J . F l a h e r t y , P a r a l l e l , a d a p t i v e n i t e e l e m e n t m e t h o d s f o r

c o n s e r v a t i o n l a w s , A p p l . N u m e r . M a t h . , 1 4 ( 1 9 9 4 ) , p p . 2 5 5 { 2 8 3 .

4 ] B . C o c k b u r n a n d C . - W . S h u , T V B R u n g e - K u t t a l o c a l p r o j e c t i o n d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n

n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r s c a l a r c o n s e r v a t i o n l a w s I I : g e n e r a l f r a m e w o r k , M a t h . C o m p . ,

5 2 ( 1 9 8 9 ) , p p . 4 1 1 { 4 3 5 .

5 ] B . C o c k b u r n , S . - Y . L i n a n d C . - W . S h u , T V B R u n g e - K u t t a l o c a l p r o j e c t i o n d i s c o n t i n u o u s

G a l e r k i n n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r c o n s e r v a t i o n l a w s I I I : o n e d i m e n s i o n a l s y s t e m s , J

C o m p u t . P h y s . , 8 4 ( 1 9 8 9 ) , p p . 9 0 { 1 1 3 .

6 ] B . C o c k b u r n , S . H o u , a n d C . - W . S h u , T V B R u n g e - K u t t a l o c a l p r o j e c t i o n d i s c o n t i n u o u s

G a l e r k i n n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r c o n s e r v a t i o n l a w s I V : t h e m u l t i d i m e n s i o n a l c a s e , M a t h .

C o m p . , 5 4 ( 1 9 9 0 ) , p p . 5 4 5 { 5 8 1 .

7 ] B . C o c k b u r n a n d C . - W . S h u , T V B R u n g e - K u t t a l o c a l p r o j e c t i o n d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n n i t e

e l e m e n t m e t h o d f o r s c a l a r c o n s e r v a t i o n l a w s V : m u l t i d i m e n s i o n a l s y s t e m s , J . C o m p u t .

P h y s . , 1 4 1 ( 1 9 9 8 ) , p p . 1 9 9 - 2 2 4 .

8 ] B . C o c k b u r n a n d C . - W . S h u , T h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t i m e - d e p e n d e n t

c o n v e c t i o n d i u s i o n s y s t e m s , S I A M J . N u m e r . A n a l . , 3 5 ( 1 9 9 8 ) , p p . 2 4 4 0 { 2 4 6 3 .

9 ] B . C o c k b u r n , G . K a r n i a d a k i s a n d C . - W . S h u , T h e d e v e l o p m e n t o f d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n

m e t h o d s , i n D i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n M e t h o d s : T h e o r y , C o m p u t a t i o n a n d A p p l i c a t i o n s , B

C o c k b u r n , G . K a r n i a d a k i s a n d C . - W . S h u , e d i t o r s , L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t a t i o n a l S c i e n c e

a n d E n g i n e e r i n g , v o l u m e 1 1 , S p r i n g e r , 2 0 0 0 , P a r t I : O v e r v i e w , p p . 3 - 5 0 .

1 0 ] G . J i a n g a n d C . - W . S h u , O n c e l l e n t r o p y i n e q u a l i t y f o r d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d s ,

M a t h . C o m p . , 6 2 ( 1 9 9 4 ) , p p . 5 3 1 { 5 3 8 .

1 1 ] I . L o m t e v a n d G . K a r n i a d a k i s , A d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e N a v i e r - S t o k e s

e q u a t i o n s , I n t . J . N u m . M e t h . F l u i d s , 2 9 ( 1 9 9 9 ) , p p . 5 8 7 - 6 0 3 .

1 2 ] J . T . O d e n , I v o B a b u

s k a , a n d C . E . B a u m a n n , A d i s c o n t i n u o u s h p n i t e e l e m e n t m e t h o d

f o r d i u s i o n p r o b l e m s , J . C o m p u t . P h y s . , 1 4 6 ( 1 9 9 8 ) , p p . 4 9 1 { 5 1 9 .

1 3 ] W . H . R e e d a n d T . R . H i l l , T r i a n g u l a r m e s h m e t h o d s f o r t h e n e u t r o n t r a n s p o r t e q u a t i o n ,


11/11

D I S C O N T I N U O U S G A L E R K I N M E T H O D F O R V I S C O U S T E R M S 1 1

T e c h . R e p o r t L A - U R - 7 3 - 4 7 9 , L o s A l a m o s S c i e n t i c L a b o r a t o r y , 1 9 7 3 .

1 4 ] C . - W . S h u a n d S . O s h e r , E c i e n t i m p l e m e n t a t i o n o f e s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r y s h o c k c a p -

t u r i n g s c h e m e s , J . C o m p u t . P h y s . , 7 7 ( 1 9 8 8 ) , p p . 4 3 9 { 4 7 1 .

1 5 ] G . S t r a n g a n d G . F i x , A n a n a l y s i s o f t h e n i t e e l e m e n t m e t h o d , P r e n t i c e - H a l l , 1 9 7 3 .

different formulations of the discontinuous galerkin method for the viscous terms

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