diktat 2011_ui

PIPTEK BEM FTUI 2011

presents

Diktat

Mata Kuliah Dasar Teknik

Ujian Tengah Semester

Aljabar Linier

Fisika Dasar 1


Prayer without study would be empty. Study without prayer would be blind.

Karl Barth (1886 - 1968)

Study as if you have not reached your goal - hold it as if you were afraid of losing what you have.

Confucius (c. 551 - c. 479 BC)

UJIAN TENGAH SEMESTERFakultas Teknik Universitas IndonesiaMata Kuliah : Aljabar Linier

Hari/Tanggal : Senin, 29 Maret 2010

Waktu : 08.00 – 09.50 WIB (100 menit)

Sifat Ujian : Tutup buku dan tanpa kalkulator

Dosen : Tim Dosen Aljabar Linier


ALJABAR LINIERDIKTAT UTS PIPTEK BEM FTUI 2011

Kumpulan Soal Ujian Tengah Semester Aljabar Linier


PETUNJUK : KERJAKAN 5 SOAL DARI 8 SOAL YANG TERSEDIA

1. Misalkan matriks berikut adalah matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linier

[a 0 b 2a a 4 40 a 2 b ]

Tentukan nilai-nilai a dan b sehingga sistem tersebut mempunyaia. Solusi satu parameterb. Solusi dua parameter

2. Tentukan solusi dari sistem persamaan linier berikut:2x1 + x2 - x3 - x4 = -13x1 + x2 - x3 - 2x4 = -2-x1 - x2 + 2x3 + x4 = 2-2x1 - 2x2 + 6x4 = 12

3. Diberikan tiga buah matriks berikut:

A = [1 2 41 1 74 2 −35 9 2

0218] B = [1 2 4

0 −1 32 1 13 8 1

02

−19

] C = [1 2 40 −1 36 3 −25 9 2

0208]

Tanpa menghitung determinan, tunjukan bahwa det(A) + det(B) = det(C)

4. Carilah persamaan bidang yang memuat garis x=1+t , y=3 t , z=2 t dan bidang tersebut sejajar dengan garis perpotongan bidang – x+2 y+z=0 dan x+z=1.

5. Tunjukkan bahwa range dari operatot linier yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan:

w1 = x1 - 2x2 + x3

w2 = 5x1 - x2 + 3x3

w3 = 4x1 + x2 + 2x3

bukan R3 dan tentukan vektor-vektor yang tidak berada di range.

6. T : R2 R2 adalah proyeksi ortoghonal ke garis g yang melalui titik (0,0) dan membentuk sudut θ terhadap sumbu Y positif.

a. Tentukan matriks transformasi dari Tb. Apakah T transformasi satu-satu? Jelaskan jawaban anda!c. Jika diketahui u = (2,5), tentukan T(u)!


7. Tentukan apakah vektor-vektor v1=1−3 x−x2, v2=4 x−2x3 dan v3=2+6 x+3x2

merentang P2? Jika ya, tuliskan kombinasi linier dari v=3+11 x−2 x2 terhadap vektor-vektor v1, v2, dan v3

8. Diberikan V = {(a , b , c )|a , b , c ϵ R , c=a+b−1 }. Tunjukkan apakah V merupakan

subruang dari R3?


Jawaban :

1. [a 0 b 2a a 4 40 a 2 b ] b2 – b1 [a 0 b 2

0 a 4−b 20 a 2 b] b3 – b2[a 0 b 2

a a 4 40 0 b−2 b−2]

a. Solusi satu parameter

Agar matriks di atas memiliki solusi satu parameter, makab – 2 = 0 dan a = 0b = 2

2. Diketahui persamaan

2x1 + x2 - x3 - x4 = -13x1 + x2 - x3 - 2x4 = -2-x1 - x2 + 2x3 + x4 = 2-2x1 - 2x2 + 6x4 = 12

Maka matriksnya : [ 2 1 −1 −1 −13 1 −1 −2 −2

−1 −1 2 1 2−2 −2 0 6 12

][ 2 1 −1 −1 −1

3 1 −1 −2 −2−1 −1 2 1 2−2 −2 0 6 12

] [−1 −1 2 1 22 1 −1 −1 −1

−2 −2 0 6 123 1 −1 −2 −2

] maka,

[−1 −1 2 1 22 1 −1 −1 −1

−2 −2 0 6 123 1 −1 −2 −2

] -b1 [ 1 1 −2 −1 −22 1 −1 −1 −1

−2 −2 0 6 123 1 −1 −2 −2

] b2 – 2b1, b3 + 2b1, b4 – 3b1

[1 1 −2 −1 −20 −1 3 1 30 0 −4 4 80 −2 7 1 4

] b4 – 2b2 [1 1 −2 −1 −20 −1 3 1 30 0 −4 4 80 0 1 −1 −2

] 14 b3

[1 1 −2 −1 −20 −1 3 1 30 0 −1 1 20 0 1 −1 −2

] b4 + b3 [1 1 −2 −1 −20 −1 3 1 30 0 −1 1 20 0 0 0 0

] b1 + b2


[1 0 1 0 10 −1 3 1 30 0 −1 1 20 0 0 0 0

] b2 – b3 [1 0 1 0 10 −1 4 0 10 0 −1 1 20 0 0 0 0

]Jadi, x1+ x3=1

−x2+4 x3=1

−x3+x4=2

Misalkan x3=t

Maka akan dihasilkan x1=1−t

x2=4 t−1

x4=2+ t

HP : { x1 , x2 , x3 , x4|x1=1−t , x2=4 t−1 , x3=t , x4=2+ t , tϵR}

3. Diketahui matriks

A = [1 2 41 1 74 2 −35 9 2

0218] B [1 2 4

0 −1 32 1 13 8 1

02

−19

]= C = [1 2 40 −1 36 3 −25 9 2

0208]

Tunjukkan bahwa det(A) + det (B) = det(C)

A = [1 2 41 1 74 2 −35 9 2

0218] b2 – b1 [1 2 4

0 −1 34 2 −35 9 2

0218]tukar b3 dengan b4 [1 2 4

0 −1 35 9 24 2 −3

0281]

Dengan begitu, det(A) menjadi –det(A) sesuai dengan sifat determinan

C = [1 2 40 −1 36 3 −25 9 2

0208] tukar b3 dengan b4 [1 2 4

0 −1 35 9 36 3 −2

0280] b4 – b3 [1 2 4

0 −1 35 9 31 −6 −4

028

−8]

Dengan begitu, det(C) menjadi –det(C) sesuai dengan sifat determinan

-det(A) + det(B) = -det(C)det(B) + det(C) = det(A)


det [1 2 40 −1 32 1 13 8 1

02

−19

] + det [1 2 40 −1 35 9 31 −6 −4

028

−8] = det [1 2 4

0 −1 35 9 24 2 −3

0281]

sesuai dengan sifat determinan, maka

det [1 2 40 −1 32 1 13 8 1

02

−19

] + det [1 2 40 −1 35 9 31 −6 −4

028

−8] = det [ 1 2 4

0 −1 35 9 2

(3+1) (8−6) (1−4 )

028

(9−8)]sehingga terbukti kalau det(A) + det(B) = det(C)

4. Persamaan bidang yang memuat garis x=1+t , y=3 t , z=2 t dan bidang tersebut sejajar dengan garis perpotongan bidang – x+2 y+z=0 dan x+z=1.

Normal dari bidang : – x+2 y+z=0 n1 = ( -1, 2, 1) x+z=1 n2 = ( 1, 0, 1 )

Didapat n3 = n1 x n2 = |−1 2 11 0 1| = ( 2, 2, -2 )

n3 tegak lurus dengan vektor arah garis

vektor arah garis dari x=1+t y=3 t z=2 t, adalah n4 = ( 1, 3, 2 )

Vektor normal bidang n5 = n3 x n4 = |2 2 −21 3 2 | = ( 10, -6, 4 )

Mencari 1 titik yang terdapat pada bidang, masukkan t = 0, maka didapatx = 1, y = 0, dan z = 0titik P ( 1, 0, 0 )

maka persamaan bidangnya adalah :10 (x-1) – 6 (y – 0) + 4 (z – 0) = 010x – 6y + 4z – 10 = 0

5. Persamaanw1 = x1 - 2x2 + x3

w2 = 5x1 - x2 + 3x3

w3 = 4x1 + x2 + 2x3


Matriks yang sama

matriks [1 −2 15 −1 34 1 2]

range dari operator linier ini bukan di R3 karena determinannya 0 sehingga matriks tersebut tak memiliki invers.

[1 −2 15 −1 34 1 2] b2-5b1 [1 −2 1

0 9 −24 1 2 ] b3-4b1 [1 −2 1

0 9 −20 9 −2] b4 – b3 [1 −2 1

0 9 −20 0 0 ]

Vektor yang tak berada di dalam range adalah w3 = 4x1 + x2 + 2x3

6. T : R2 R2 adalah proyeksi ortogonal ke garis g yang melalui titik (0,0) dan membentuk sudut θ terhadap sumbu Y positif.

‖T (e 1)‖ = ‖e1 sin θ‖ = sin θ

‖T (e 2)‖ = ‖e2 cos θ‖ = cos θ

T(e1) = [‖T (e1)‖ sin θ

‖T (e1)‖ cosθ] = [ sin2 θsin θ cosθ]

T(e2) = [‖T (e2)‖ sin θ

‖T (e2)‖ cosθ ] = [sin θ cosθcos2θ ]

Matriks transformasi T = [ sin2 θ sin θ cosθsin θ cosθ cos2θ ]


g

e1

e2

θ

Determinan dari matriks transformasi T adalah 0, sehingga matriks transformasi ini bukanlah transformasi satu-satu

u = (2,5)

T(u) = [ sin2 θ sin θ cosθsin θ cosθ cos2θ ][25] = [ 2 sin2θ+5 sinθ cos θ

2sin θ cos θ+5cos2 θ]7. P2=a+bx+c x2

v1=1−3 x−x2

v2=4 x−2x3

v3=2+6 x+3x2

P2=k1 v1+k2 v2+k3 v3

(ax+bx+c x2 )=k 1 (1−3 x−x2 )+k2(4 x−2 x3 ¿ + k 3(2+6 x+3 x2)(ax+bx+c x2 )=( k1+2k3 )+x (6 k3+4 k2−3k1 )+x2(3k3−k1−2k 2)

k 1+2 k3=a−3 k1+4 k2+6k 3=b−k 1−2 k2+3 k3=c

[ 1 0 2−3 4 6−1 −2 3]

Lalu cari determinan. Apabila memiliki invers (determinan tidak nol), maka vektor-vektor tersebut merentang P2

Determinan = 12 + 0 + 12 + 8 + 12 = 44. Jadi, vektor – vektor merentang P2

V=3+11 x−2x2

3+11 x−2 x2=k1 v1+k 2 v2+k3 v3

3+11 x−2 x2=k1 (1−3 x−x2 )+k 2(4 x−2 x3 ¿ + k 3(2+6 x+3 x2)3+11 x−2 x2=(k 1+2 k 3 )+ x (6 k3+4 k2−3k1 )+x2 (3 k3−k1−2 k2 )

Sehingga, k 1+2 k3=3

−3 k1+4 k2+6k 3=11−k 1−2 k2+3 k3=−2

[ 1 0 2 3−3 4 6 11−1 −2 3 −2] b2 + 3b1, b3 + b1 [1 0 2 3

0 4 12 200 −2 5 1 ] 14 b2 [1 0 2 3

0 1 3 50 −2 5 1] b3 + 2b2


[1 0 2 30 1 3 50 0 11 11] 1

11 b3 [1 0 2 3

0 1 3 50 0 1 1] b2 – 3b3 [1 0 2 3

0 1 0 20 0 1 1] b1 – 2b3 [1 0 0 1

0 1 0 20 0 1 1]

Jadi didapat k 1=1 ,k 2=2 , dan k3=1

Sehingga kombinasi linier dari v=3+11 x−2 x2 terhadap vektor-vektor v1, v2, dan v3 adalahV=v1+3 v2+v3

8. V = {(a , b , c )|a , b , c ϵ R , c=a+b−1 }

v1=(a1 , b1 , a1+b1−1)v2=(a2 ,b2 , a2+b2−1)

Untuk membuktikan apakah V merupakan subruang dari R3, dibuktikan melalui aksioma 1 dan aksioma 5

- V 1+V 2=(a1+a2 , b1+b2 , 2a1+2 a2−2)karena aksiomaini gagal , makaV bukanlah subruang vektor


UJIAN TENGAH SEMESTER FTUI (2005/2006)

Mata Kuliah : Aljabar LinierHari / Tanggal : Kamis, 6 April 2006Waktu : 100 menitSifat Ujian : Tutup buku, Tanpa KalkulatorDosen : Dhian Widya

1. Tentukan nilai c dan d agar sistem persamaan linier berikut ini tidak mempunyai solusi, tepat satu solusi, dan mempunyai banyak solusi

x+2 y+z=3cy+5 z=10

2 x+7 y+cz=d

2. Buktikan bahwa jika A adalah matriks ukuran n x n yang mempunyai invers maka det(adj(A)) = (det(A))n-1

3. T : R2 R2 adalah operator linier yang memproyeksikan secara ortogonal setiap vektor ke garis y=− xa. Tentukan matriks standar untuk Tb. Apakah T merupakan operator salah satu? Jelaskan jawaban anda! Jika ya,

tentukan T-1 (x,y)c. Tentukan peta dari vektor (1,5) setelah diproyeksikan secara ortogonal ke

garis y=− x kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y.

4. Tentukan persamaan bidang yang memuat garis x=1+t , y=3 t , z=2 tdan sejajar dengan garis perpotongan dari bidang x=2 y+z dan x+z+1=0

5. Misalkan V adalah himpunan dari semua bilangan real dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalarnya didefinisikan sebagai berikut :

x+ y=xy dan kx=kx dimana x , y ϵ V dan k skalarJelaskan apakah V merupakan ruang vektor!


1. Diketahui persamaan :

x+2 y+z=3cy+5 z=10

2 x+7 y+cz=dDalam bentuk matriks menjadi

[1 2 1 30 c 5 102 7 c d ] b3 – 2b1 [1 2 1 3

0 c 5 100 3 c−2 d−6]

b3 x c dan b2 x 3 [1 2 1 30 3 c 15 300 3 c −2 c+c2 cd−6 c]

a. Persamaan linier dengan tepat 1 solusii. c2−2 c−15 ≠ 0

(c-5)(c+3) ≠ 0c ≠ 5 dan c ≠−3

ii. dc−6c−30 ϵ R

d ϵ Rb. Persamaan linier memiliki banyak solusi

iii. c2−2 c−15=0(c-5)(c+3) = 0c = 5 dan c = - 3

iv. c(d-6) – 30 = 0d-6 = 30/cuntuk c = 5, maka d = 12untuk c=3, maka d = -4

c. Persamaan linier tidak memiliki solusiv. c2−2 c−15=0

(c-5)(c+3) = 0c = 5 dan c = - 3

vi. dc – 6c – 30 ≠ 0untuk c = 5, maka d ≠ 12untuk c = - 3, maka d ≠ - 4, d ϵ R

2. A-1 = 1

det (A )[ Adj ( A)]

det [A-1] = det (1

det (A )[ Adj ( A)])


det [A-1] = ( 1

det (A ))n . det [ Adj( A) ]

det [A-1] = (det(A)) –n. det [ Adj( A) ]

det [ A−1](det ( A))−n = det [ Adj( A) ]

3. a.T : R2 R2

θ

Misal matriks standar untuk adalah [T] = [(Te1), (Te2)]Kemudian dimisalkan ada vektor e1 yang sejajar dengan sumbu x dengan panjang

‖T (e1)‖ = 1 diproyeksikan ke y = -x sehingga akan menghasilkan Te1

Cos θ = ‖T (e1)‖

Jadi, pangjang ‖T (e1)‖ = cos θ

‖(e1)‖ = 1

Te1 mempunyai komponen x dan y

[T e1 ] = [‖T e1‖cosθ

‖T e2‖sin θ ] = [ cos2 θcosθ sin θ]


T(e1)

y = -x

‖T (e2)‖ sin

e1 ‖T (e1)‖ cos θ

‖T (e1)‖θ

Dengan cara yang sama :

‖T (e2)‖Maka sin θ = ‖T (e2)‖

‖e2‖ = 1

Komponen [Te2] = [‖T (e2)‖cos θ

‖T (e2)‖sinθ ] = [sin θ cosθsin2 θ ]

T = [ [T e1] [T e2]] = [ cos2 θ cosθ sin θcosθ sin θ sin2 θ ]

Untuk garis y=− x, maka

yx

= -1 maka T = [ 12

−12

−12

12

]tan θ = -1θ = 135o


‖T e2‖sin θ

e2y=− x

‖T e2‖cos θ

θ

θ

b. Syarat satu – satu adalah T dapat dibalik (reversible)

det (T) = (12

.12

¿−¿.−12

¿ = 0

karena determinan dari T = 0, maka T bukan merupakan operator satu-satu

c. Matriks standar untuk pencerminan terhadap sumbu y :

[T 2o T 1 ] = [T 2¿[T 1¿

= [−1 00 1 ][ 1

2−12

−12

12

] = [−12

12

−12

12]

[T 2o T 1 ] = [−12

12

−12

12]

[T 2o T 1 ](1,5) = [−12

12

−12

12][15]=[22]

4. Persamaan bidang yang memuat garis x=1+t , y=3 t , z=2 t dan bidang tersebut sejajar dengan garis perpotongan bidang x=2 y+z dan x+z+1=0.

Untuk menentukan vektor perpotongan bidang x=2 y+z dengan bidang x+z+1=0 adalah dengan men-cross kan vektor normal kedua bidang tersebutNormal dari bidang : x=2 y+z n1 = ( 1, -2, -1)

x+z+1=0 n2 = ( 1, 0, 1 )

Didapat n3 = n1 X n2 = |1 −2 −11 0 1 | = ( -2, -2, 2 )

n3 tegak lurus dengan vektor arah gariskarena kedua bidan sejajar dengan garis, maka vektor hasil cross product di atas (n3) akan tegak lurus dengan vektor arah garis.

vektor arah garis dari x=1+t y=3 t z=2 t, adalah n4 = ( 1, 3, 2 )

Vektor normal bidang n5 = n3 X n4 = |−2 −2 21 3 2| = ( -10, 6, -4 )


Mencari 1 titik yang terdapat pada bidang, masukkan t = 0, maka didapatx = 1, y = 0, dan z = 0titik P ( 1, 0, 0 )

maka persamaan bidangnya adalah :-10 (x-1) +6 (y – 0) - 4 (z – 0) = 0-10x + 6y - 4z + 10 = 0

5. Syarat ruang vektor adalah dapat memenuhi 10 aksioma, yaitu :

a. m + n terletak pada VBukti : m + n = m.n

b. m + n = n + mBukti : m + n = m.n

m + n = n.mm + n = n + m

c. m + (n + p) = (m + n) + pBukti : m + (n + p) = m + n.p

m + (n + p) = m.n.pm + (n + p) = (m.n) + pm + (n + p) = (m + n) + p

d. m + 0 = 0 + m = m….. Ada vektor 0 sehingga m + 0 = 0 + m = mBukti : m + 0 = m

m. 0 = m0 = 10 terletak pada V

e. Ada negatif dari m, sehingga m + (-m) = 0Bukti : m + (-m) = 0

m. (-m) = 1-m = 1/m

f. Karena terletak pada VBukti : k.m = km

k adalah konstantag. K (m+n) = km + kn

i. K (m+n) = km + kn = km . kn

= k2. mn= k2 (m+n)

ii. K (m+n) ≠ km + kn maka aksioma ke-7 gagal (tak terpenuhi)h. (k+l)m = km + lm

i. (k+l) m = km + lm= km + lm= klm2


= (k+l) m2

ii. (k+l) m ≠ km + lm maka aksioma ke-8 gagal (tak terpenuhi)i. k.l(m) = k (l.m)

i. k.l (m) = k (l.m)= k.l.m

j. l.m = mm = m

kesimpulan :- V bukan ruang vektor karena gagal pada aksioma 7 dan 8

o Jika satu aksioma saja ada yang gagal, maka itu bukan ruang vektor


2011

“Those who do not study are only cattle dressed up in men's clothes”


FISIKA DASAR 1

UNIVERSITAS INDONESIAFAKULTAS TEKNIK

Ujian Tengah Semester Genap 2009/2010Fisika Dasar 1 (3 sks) – Fisika Mekanika dan KalorHari/tanggal : Rabu, 31 Maret 2010Dosen : Team Dosen Fisika Dasar IWaktu : 100 menitSifat : Tutup Buku

Petunjuk : a. Gunakan pulpen bertinta biru atau hitamb. Tidak diperbolehkan menggunakan pensil, kalkulator HP, dan saling meminjamkan alat tulisc. Gunakan g = 10 m/s2 dan ρ air = 103 kg/m3

d. Gunakan satuan dan angka penting yang tepat

1. Sebuah bola pejal (I = 3/5 mR2) berdiameter 4 cm dan massa 100 gram menggelinding tanpa slip di bidang miring dengan sudut kemiringan 30o. Mula-mula bola tersebut diam di bidang miring pada ketinggian 4 m. Hitunglah :

a. Percepatan bolab. Koefisien gesek antar bola dan bidang miring (tentukan jenis gesekan statik

atau kinetik)c. Besar usaha yang dilakukan gaya gesek untuk memperlambat bolad. Kecepatan bola di dasar bidang miring

2. Sebuah balok bermassa m1 = 2,0 kg meluncur sepangjang meja tanpa gesekan dengan kecepatan 10,0 m/s. Tepat di depan balok ini bergerak sebuah balok yang ditempeli sebuah pegas dengan konstanta pegas k = 1120 N/m di salah satu sisinya, seperti terlihat pada gambar. Balok ini bermassa m2 = 5,0 kg dan bergerak meluncur dengan kecepatan 3 m/s.

a. Berapakah kecepatan pusat massa sistem sesaat sebelum m1 menyentuh pegas?

b. Hitunglah berapa jauh pegas akan tertekan karena ditabrak m1c. Berapakah kecepatan kedua balok relatif terhadap meja, setelah kedua balok

berpisah?

10 m/s


3 m/sk = 1120 N/m

m1 m2

3. Sebuah wadah penampungan air mempunyai katup di dasarnya, seperti pada gambar. Anggaplah h = 10,0 m, L = 2,00 m, dan θ = 30,0o, serta luas penampang A sangat lebih besar dari luas penampang B.

a. Berapakah laju air yang keluar dari sisi kanan wadah (B)?b. Berapakah ketinggian maksimum air yang keluar tersebut?c. Berapakah debit ait yang harus ditambahkan ke wadah agar ketinggian

permukaan air tetap?


1. Diketahui :a. I = 3/5 mR2

b. d = 4 cm = 4.10-2 mc. massa = 100 gram = 0.1 kgd. θ = 30o

e. Vo = 0 m/sf. g = 10 m/s2

a. Percepatan bola ?

∑Τ = I. α

f.R = 3/5 mR2 .aR

f = 3/5ma

∑F = m.aW.sinθ – f = m.am.g.sinθ – 3/5 m.a = m.ag. sinθ = 8/5 a10. sin 30o = 8/5 a

a = 258

m/s2 = 3.125 m/s2

b. Koefisien gesek

Dari persamaan di poin a f = 35

m.a

f = 35

(0.1)(3.125) = 0.1875 N

f gesek = µ.N0.1875 = µ.W.cos θ0.1875 = µ.m.g.cos 30o

0.1875 = µ (0.1)(10)(12√3)

µ = 0.22 merupakan koefisien gesek statik karena pada gerak menggelinding tanpa slip, gerak merupakan gerak rotasi murni. Translasi yang terjadi hanyalah akibat dari rotasi tersebut.

c. Usaha oleh gaya gesek untuk memperlambat bola

W = F.s


N

W.sin θ

W. cosθW

θ

f

- Mencari s sinθ = hs

sin 30o = 4s

s = 8 m

- Mencari f gesek = 35

m.a = 35

(0.1)(3.125) = 0.1875 N

W = F.s = 0.1875(8) = 1.5 Joule

d. Kecepatan bola di dasar bidang miring

GLBB Vt2 = Vo2 + 2.a.sVt2 = o + 2 (3.125) (8)Vt2 = 50Vt = 5√2 m/s

2. Diketahui :a. m1 = 2 kgb. v1 = 10 m/sc. m2 = 5 kgd. v2 = 3 m/se. k = 1120 N/m

a. Kecepatan pusat massa sistem sesaat sebelum m1 menyentuh pegas

m1.V1 + m2.V2 = m1.V1’ + m2.V2’2 (10) + 5 (3) = (m1+m2)V’20 + 15 = (2+5) V’35 = 7.V’V’ = 5 m/s

b. Berapa jauh pegas tertekan karena ditabrak m1 ?V1 ‘ V2 ‘

Syaratnya V1 ‘ = V2 ‘ = Va


m1

m2

- EM1 = EM2

12

m1 v12+ 1

2m2 v2

2=12

k x2+ 12(m1+m2)va

2

- Persamaan momentumm1 v1+m2 v2=(m1+m2)v a

va=m1 v1+m2 v2

m1+m2

- Dari persamaan energi mekanik dan persamaan momentum :

12

m1 v12+ 1

2m2 v2

2=12

k x2+ 12(m1+m2)(

m1 v1+m2 v2

m1+m2

)2

12

.2.102+ 12

.5 . 52=12

.1120 . x2+ 12(2+5)( 10.2+5.3

2+5)

2

100+22.5=560 x2+ 12

(7 )(25)

122.5=560 x2+87.5

35=560 x2

x2= 116

x=14

m

c. Kecepatan kedua balok relatif terhadap meja, setelah kedua balok berpisah

Keadaan dari kondisi jawabab (b) ke kondisi terpisah

- MomentumPawal=Pakhir

(m1+m2 ) va=m1 v1} + {m} rsub {2} {{v} rsub {2}} ^ {

7.va=2.v1} + 5 {{v} rsub {2}} ^ {

7.5=2.v1} + 5 {{v} rsub {2}} ^ {

35=2.v1} + 5 {{v} rsub {2}} ^ {

- Persamaan energi12

k x2+ 12

( m1+m2 ) ( va )2=12

m1 v12} + {1} over {2} {m} rsub {2} {{v} rsub {2}} ^ { 2

12

.1120 .1

16+ 1

2(7 ) (5 )2=1

2.2 . v1

2} + {1} over {2} .5. {{v} rsub {2}} ^ {2

35+87.5=v12} + {5} over {2} {{v} rsub {2}} ^ { 2

122.5=v12} + {5} over {2} {{v} rsub {2}} ^ {2


Dari persamaan momentum dan persamaan energi yang didapat, disubtitusi sehingga didapat v1

¿ dan v2¿

Dari persamaan momentum v1} = {35-5 {{v} rsub {2}} ^ { ¿

2

Masukkan ke persamaan energi :122.5=¿¿

122.5=1225−350 v2

} +25 {{v} rsub {2}} ^ {2

4+5

2v2

2¿

122.5=1225−350 v2

} +25 {{v} rsub {2}} ^ {2

4+10

4v2

2¿

122.5=1225−350 v2

} +35 {{v} rsub {2}} ^ {2

4

−735=−350 v2} +35 {{v} rsub {2}} ^ {2

−21=−10 v2} + {{v} rsub {2}} ^ {2

0=−10 v2} + {{v} rsub {2}} ^ {2+21

v2} = {7m} over {s} d an {{v} rsub {1}} ^ {=o

ms

v2} =3 {m} over {s} dan {{v} rsub {1}} ^ {=10

ms

3.a. Laju air yang keluar dari sisi kanan wadah (B)

- P1 + ρ.g.h1 + 12

. ρ.V12 = P2 + ρ.g.h2 +

12

. ρ.V22

Diabaikan karena A >>> B

P1 + ρ.g.h1 = P2 + ρ.g.h2 + 12

. ρ.V22

g.h1 = g.h2 + 12

. V22

g.h1 - g.h2 = 12

. V22

g (h1 - h2) = 12

. V22


- sin θ = h2

L

h2 = L. sin θh2 = 2. sin 30o

h2 = 1 m

g (h1 - h2) = 12

. V22

10 (10-1) = 12

. V22

10 (9)(2) = V22

180 = V22

V2 = √180 m/s= 13.42 m/s

b. ketinggian maksimum air yang keluar dari sisi kanan wadah (B)

Gunakan gerak parabola V0 = V2

Ymax = v02 .sin230 °

2 g

Ymax = 180 .¿¿

Ymax = 180( 12)

2

20

Ymax = 180( 1

4)

20

Ymax = 2.25 m dari ujung B

c. Debit air yang harus ditambahkan ke wadah agar ketinggian permukaan air tetapKarena dari soal diketahui penampang A sangat lebih besar dari B maka dapat disimpulkan tinggi permukaan air tetapSehingga dapat disimpulkan bahwa Q = 0


Ujian Tengah Semester Genap 2009/2010

Fisika Dasar 1 – 3 sks (Fisika Mekanika)Hari/Tanggal : Senin, 29 Maret 2010 (Siang)Dosen : Team Dosen Fisika Dasar 1Waktu : 100 menitSifat : Tutup Buku

Petunjuk : a. Gunakan pulpen bertinta biru atau hitamb. Tidak diperbolehkan mempergunakan pensil, kalkulator HP, dan saling meminjamkan alat tulis.

c. Gunakan g = 10 m/s dan ρ air = 103 kg/m3

R

H H

θ

d

1. Sebuah bola bermassa m = 1 kg diam di ketinggian H = 2 m di sebuah bidang miring dengan sudut 45o dan koefisien gesek kinetk µk = 0.1. Bola tersebut kemudian meluncur turun dan selanjutnya bergerak di sepanjang lintasan datar dan licin hingga menumbuk sebuah bola lain berassa M = 3 kg. Setelah tumbukan, massa m berhenti. Sementara itu, massa M bergerak melalui lintasan melingkar dengan jejari R = 2 m hingga mencapai ketinggian h. Massa M kemudian turun dan menumbuk massa m sehingga massa m bergerak dengan kecepatan vm, sedangkan massa M diam. (Perlakukan bola sebagai benda titik).

a. Berapa kecepatan m ketika menumbuk massa Mb. Hitung kecepatan massa M setelah ditumbuk oleh massa mc. Berapa ketinggian h maksimum yang bisa dicapai oleh massa Md. Setelah ditumbuk oleh massa M, apakah massa m bisa mencapai bidang

miring? Jika ya, berapa ketinggian maksimum yang bisa dicapainya sebelum berhenti?

2. Dari sebuah danau, air dipompa melalui sebuah pipa berdiameter 3,0 cm. Tekanan di mulut pipa yang tersambung ke pompa adalah sebesar 2,0 atm. Pipa ini tersambung dengan pipa kecil, berdiameter 2,0 cm, yang terletak mendatar pada ketinggian 10 m


m

m

dari tepi danau. Debit air yang mengalir melalui pipa kecil ini terukur sebesar 6,75π x 10-2 liter per detik.

a. Berapa tekanan air pada ketinggian tersebut?b. Berapakah daya yang diperlukan mesin untuk memompa air tadi?

3. Silinder pejal bermassa M dan berjari-jari R dililit tali yang ujungnya dikaitkan pada sebuah penopang seperti pada gambar disamping. Silinder bergerak turun. Buktikanlah :

a. Percepatan turun pusat massa silinder a = 2g/3b. Tegangan tali saat silinder turun T = 1/3 berat

silinder

c. Kecepatan turun pusat massa silinder v=√ 43

gh

d. Setelah seluruh tali teregang, jika panjang tali l, luas penampang tali A dan konstanta Young Y, hitunglah pertambahan panjang tali.


R

M

h

JAWABAN :

1. Diketahui :a. m1 = 1 kgb. H = 2 mc. θ = 45o

d. µk = 0.1e. M = 3 kgf. R = 2m

a.f

∑F = m.am.g. sin θ - µk.m.g.cos θ = m.a

1.10.12√2 – 0,1.1.10.

12√2 = 1. a

a = 6.36 m/s2

v t2=v0

2+2. a . s

v t2=0+2 (6.36 )¿

v t=6 m/ s

b. m1.V1 + m2.V2 = m1.V1’ + m2.V2’6 = V1’ + 3 V2’

1=−(v1

'−v2' )

v1−v2

1=−(v1

'−v2' )

6v2

'−v1'=6

Dari dua persamaan di atas didapat bahwa v1 '=−3ms

dan v2 '=3ms

c. Energi kinetik = Energi Potensial

Ek = Ep12

m v2 ' 2 = m. g. h

0.5 (3)2 = 10h


N

W. sin θ

WW. cos θ

h = 0.45 md. v t

2=v02+2. a . s

v0=v1'

v02=2.a . s

32 = 2 (6.36)sS = 0.707 m

2. Diketahui :a. p1 = 2 atmb. Q = 6.75 π x 10-2 l/s = 6.75 π x 10-5 m3/sc. h2 = 10 md. ρ = 1000 kg/m3e. r1 = 3 cmf. r2 = 2 cm

v1=QA

=6.75 π x 10−5

πx 9 x10−4 =0.075ms

v2=QA

=6.75 π x10−5

πx 4 x10−4 =0.17ms

a. P1 + ρ.g.h1 + 12

. ρ.V12 = P2 + ρ.g.h2 +

12

. ρ.V22

2.10-5 + 0 + 0.5 (1000) (0.075)2 = P2 + 1000 (10) (10) + 0.5 (1000) (0.17)2

2.10-5 + 2.8 = P2 + 14.48 + 1.10-5

2.10-5 = P2 + 1.10-5

P2 = 1.105

P2 = 1 atm

b. Daya = ρ.g.h. QDaya = 1000 (10) (10) (6.75π x 10-5)

= 6.75π Watt

3.a.

- Untuk gerak Translasio ∑F = m.a

M.g – T = M.aM (g-a) = T

- Untuk gerak Rotasio Τ = I.α

T . R=12

M R2 aR


T=12

M . a

- Dari dua persamaan di ataso T = T

12

M . a=M (g−a )

32

a=g

a=23

g terbukti

b. T=12

M . a

T=12

M .23

g

T=13

M . g

jadi ,T=13

W

c. Energi Mekanik = Energi Mekanik

12

I ω2+ 12

m v2=m. g . h

12

12

m R2 v2

R2 +12

m v2=m .g . h

34

v2=g . h

v=√ 43

g .h

d. y=Tℇ

=FA

.L

ΔL

y= M .aA

.LΔL

∆ L=M .29 . L3. A . y



Ujian Tengah Semester Genap 2009/2010Fisika Dasar 1 – 3 sks (Fisika Mekanika)Hari/Tanggal : Senin, 29 Maret 2010 (Siang)Dosen : Team Dosen Fisika Dasar 1Waktu : 100 menitSifat : Tutup Buku

Petunjuk : a. Gunakan pulpen bertinta biru atau hitamb. Tidak diperbolehkan mempergunakan pensil, kalkulator HP, dan saling meminjamkan alat tulis.

c. Gunakan g = 10 m/s dan ρ air = 103 kg/m3

1. Sebuah peluru senapan mempunyai massa 50 gr bergeral dengan kecepatan 200 m/s meumbuk secara horizontal titik tengan sisi sebuah balok kayu berbentuk kubus besisi 10 cm dan bermassa 10 kg yang digantung di tengah salah satu mukanya dengan seutas tali panjang 5 m. Setelah terjadi tumbukan peluru dan balok bergerak bersama-sama. Hitunglah :

a. Energi yang berubah bentuk saat terjadi tumbukan

b. Gaya hambat balok terhadap peluru bila peluru dapat masuk sejauh 5 cm ke dalam balok

c. Besar sudut maksimum yang ditempuh peluru dan balok setelah tumbukan

2. Sebuah benda bermassa 5 kg mula-mula bergerak dengan kecepatan v0=2 i+3 jm / s, kemudian mengalami gaya dengan komponen x berubah terhadap waktu menurut gambar di samping. Komponen y gaya berubah linier terhadap waktu mengikuti persamaan F y=4 t. Tentukan :

a. Impuls yang dialami benda antara t=0 dan t=5sb. Momentum linier benda saat t=5sc. Kecepatan benda saat t=5sd. Gaya rata-rata yang dialami benda selama 5 s tersebut


10 cmpeluru

3 mθ

3. Sebuah danau berada 100 m di atas permukaan laut penuh dengan air yang sangat segar dan bersih. Air danau ini dialirkan ke suatu pelabuhan laut untuk mengisi persediaan air kapal laut. Penyaluran air ini menggunakan pipa berjejari 20 cm dan setelah sampai di pelabuhan saluran ini dibagi menjadi 25 pipa dengan jejari 5 cm sebagai saluran ke kapal. Setiap kapal memerlukan air bersih sebanyak 200 kiloliter untuk sekali perjalanan.

a. Hitunglah debit air danau yang mampu dialirkan ke pelabuhanb. Tentukan waktu yang diperlukan untuk mengisi penampungan air di kapal laut

saat 15 kapal secara bersamaan mengisi airc. Berapa kecepatan air saat keluar dari pipa kecil?


10

-10

2

4

5 t(s)

F(N)

JAWABAN :

1. Diketahui :a. m p=50 gram=0.05 kg

b. v p=200 m /sc. S = 10 cmd. mk=10 kg

e. l=5 m

a. Energi yang berubah bentuk saat terjadi tumbukan

m p v p+mk vk=v (m p+mk )0.05 (200 )+10 (0 )=v (0.05+10)10=10.05 vv=0.995 m /s

ΔEK = E awal – E akhir

= 12

. m p v p2−1

2(m p+mk ) v2

= 12

(0.05 )(200)2−12

(0.05+10 )(0.995)2

= 1000−4.975= 995.025 Joule

b. Gaya hambat balok terhadap peluru bila peluru dapat masuk sejauh 5 cm ke dalam balok

v t2=vo

2−2. a . s

v t2=2. a . s

(200)2=2.a .5 . 10−2

a=400000 m / s2

F=m p . a

F=0.05(400000)F=20000 N

c. Besar sudut maksimum yang ditempuh peluru dan balok setelah tumbukan

EK = EP12

m v2=m .g . h

12(0.995)2=10 h


h=0.0495 m

(5+x ) cosθ=5x cosθ=0.05

5 m

5 cosθ+xcos θ=55 cosθ+0.05=55 cosθ=4.95

cosθ=4.955

θ=8.1°

2. Diketahui :a. m=5 kg

b. vo=2 i+3 jms

c. f y=4 t

a. Impuls yang dialami benda antara t=0 dan t=5s

- Impuls pada sumbu x (didapat dari grafik)

o12

(10 ) (3 )+ 12

(−10 ) (2 )=15−10=5

- Impuls pada sumbu y

o ∫0

5

4 t=(2. (5 )2 )−0=50

I=√52+502=√25+2500=√2525=5√101

b. Momentum linier benda saat t=5s

P=F t . t

P=0(5)P=0

c. Kecepatan benda saat t = 5s

P=m. v0=5. vv=0 m /s

d. Gaya rata-rata yang dialami benda selama 5 s tersebut


5 m

X

F= It=5√101

5=√101 N

3. Diketahui :a. r1=20 cm=0.2 m

b. h=100 mc. 25 pipadengan jejarimasing masing=5 cmd. vkapal=200kiloliter

a. debit air danau yang mampu dialirkan ke pelabuhan

v=√2gh

A=π r12

Q=A . v

Q=π r12 .√2gh

Q=π (0.2 )2 .√2 (10 ) (100 )Q=π .(0.04 )(20√5)Q=1.789 π m3/sQ=1789 π l /s

b. waktu yang diperlukan untuk mengisi penampungan air di kapal laut saat 15 kapal secara bersamaan mengisi air

Q2=Q1

15=1789 π

15

t=15 vQ2

t=15(200. 103)

1789 π15

t=450000001789 π

t=25153.7π

s



Ujian Tengah Semester Genap 2009/2010Fisika Dasar 1 (3 sks) – Fisika Mekanika dan KalorWaktu : 100 menitSifat : Tutup Buku

Petunjuk : a. Gunakan pulpen bertinta biru atau hitamb. Tidak diperbolehkan menggunakan pensil, kalkulator HP, dan saling meminjamkan alat tulisc. Gunakan g = 10 m/s2 dan ρ air = 103 kg/m3

d. Gunakan satuan dan angka penting yang tepat

1. Benda m1 dan m2 dihubungkan dengan pegas yang memiliki konstanta pegas 100 N/m terletak pada lantai licin seperti gambar di sebelah kiri. Massa m1 dan m2 adalah 990 g dan 1 kg dalam keadaan diam dan pegas tidak mengalami tekanan.Sebuah peluru “P” dengan massa 10 g memiliki kecepatan 100 m/s menumbuk benda m1 dan tertinggal di benda m1. Berapakah jarak perubahan panjang pegas maksimum?

2. Lihat gambar di bawah, jika θi = 45o , Φ = 30o dan vi adalah 100 m/s, tentukan jarak d ( lintasan bidang miring )?

3. Lihat gambar di bawah. S1 dan S2 adalah sumber bunyi dengan daya keluaran 200 mW dan 300 mW. P adalah pendengar dalam hal ini kuping manusia. Tentukanlah

intesitas suara yang didengar jika :a. Hanya S1 yang berbunyi?b. Hanya S2 yang berbunyi?c. S1 dan S2 yang berbunyi ?


4. Lihat gambar di sebelah bawah. Jika tinggi h2 adalah 2 cm, berapakah tinggi h1? (massa jenis mercury 13,6 g/cm3)


1. Benda m1 dan m2 dihubungkan dengan pegas yang memiliki konstanta pegas 100 N/m terletak pada lantai licin seperti gambar di sebelah kiri. Massa m1 dan m2 adalah 990 g dan 1 kg dalam keadaan diam dan pegas tidak mengalami tekanan.Sebuah peluru “P” dengan massa 10 g memiliki kecepatan 100 m/s menumbuk benda m1 dan tertinggal di benda m1. Berapakah jarak perubahan panjang pegas maksimum?

Kasus Pertama : peluru mengenai m1

Pada kasus ini hukum kekekalan momentum berlaku tetapi hukum kekekalan energi tidak berlaku karena ada energi yang hilang untuk menghentikan peluru .

mpV p+m1 V 1=(mp+m1)V 1' ⇒V 1

' =1m

s

Kasus Kedua : Pegas tertekan maksimum pada saat V(m1+mp ) = Vm2

Pada kasus ini berlaku hokum kekekalan momentum dan hokum kekekalan energi.

(mp+m1 )V 1' +m2 V 2=( mp+m1+m2 )V 2

' ⇒V 2' =0,5

ms

0,5( mp+m1 )(V 1' )2=0,5(mp+m1+m2) (V 2

' )2+0,5 kx 2⇒ x=0 ,0707 m

2. Lihat gambar di sebelah bawah, jika θi = 45o , Φ = 30o dan vi adalah 100 m/s, tentukan jarak d ( lintasan bidang miring )?

Perpindahan peluru secara horizontal adalah :

x=V i cos (θi )∗t=50√2∗t

Perubahan ketinggian bidang miring terhadap perpindahan peluru secara horizontal adalah :


h=x∗tg(Φ )=50√2∗t∗√33

=50√63

∗t

Sehingga berlaku :

V i sin(θ i)∗t−0,5∗g∗t2=50√63

∗t ⇒ t=50√2−50√6

30,5∗9,8

=6 ,0992 S

d= xcos(Φ )

=V i cos (θi )cos (Φ )

∗t=100∗0,5∗√20,5∗√3

6 ,0992=497 , 9976 m

3. Lihat gambar di sebelah kiri. S1 dan S2 adalah sumber bunyi dengan daya keluaran 200 mW dan 300 mW. P adalah pendengar dalam hal ini kuping manusia. Tentukanlah intesitas suara yang didengar jika :

a. Hanya S1 yang berbunyi ?b. Hanya S2 yang berbunyi ?c. S1 dan S2 yang berbunyi ?

Jarak S1 terhadap P adalah :6,4031 m

Jarak S2 terhadap P adalah 5 m

Jawaban a :

I 1=P1

A1

= 0,24∗3 ,14∗(6 ,4031 )2

=3 , 882∗10−4 Wm

TI 1=10*log( I 1

I 0)=10*log( 3 ,882∗10−4

10−12 )=85 , 891db

Jawaban b :

I 2=P2

A2

= 0,34∗3 ,14∗(5 )2

=9 ,549∗10−4 Wm

TI 2=10*log( I 2

I 0)=10*log( 9 ,549∗10−4

10−12 )=89 ,8 db

Jawaban c :


I t=I 1+ I 2=3 , 882∗10−4+9 , 549∗10−4=1 , 343∗10−3Wm

TI t=10 *log( I t

I 0)=10 *log( 1 ,343∗10−3

10−12 )=91 ,281 db

4. Lihat gambar di sebelah kiri. Jika tinggi h2 adalah 2 cm, berapakah tinggi h1? (massa jenis mercury 13,6 g/cm3)

Asumsikan tinggi air pada kolom kiri adalah h3 maka :

ρw∗g∗(h1+h2+h2 )= ρw∗g∗h3+ ρm∗g∗h2

h2=h2∗( ρm−ρw )

ρw

=0 ,02∗(13 ,6−1 )

1=0 , 252m


UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008/2009Mata Kuliah : Fisika Panas

Hari / Tanggal : Selasa, 31 Maret 2009Waktu : 90 Menit

Jurusan : Teknik Metalurgi B

1. Seorang teknisi diminta untuk menggunakan sebuah termometer yang tidak diketahui skalanya. Lalu dia melakukan pengukuran pada air yang membeku dan didapat nilai -15° dan ketika dilakukan pengukuran pada air mendidih didapat nilai +60°. Untuk membuat termometer tersebut dapat terbaca, sang engineer membuat persamaan konversi linier. Jika dia ingin mengkonversi ke dalam skala Celcius, tentukanlah persamaan konversi linier yang dibuat sang engineer.

2. Sebuah kawat baja dan kawat tembaga dengan diameter 2 mm dihubungkan ujungnya. Pada suhu ruang 40°C keduanya memiliki panjang 2 m pada kondisi tidak teregang. Kedua ujung kawat yang lain kemudian diikat pada sebuah dinding berjarak 4 m dengan tegang kawat diabaikan. ketika suhu ruang diturunkan menjadi 20°C tentukanlah gaya tegang kawat.

3. Sebuah pizza yang memiliki diameter 70 cm dan tebal 2 cm dipanaskan menjadi 100°C sedang mengambang di luar angkasa. Tentukanlah:a. Laju energi yang hilangb. Laju perubahan temperatur

α baja=11 x 10−6℃−1 ρpizza=500 kg/m3

α tembaga=17 x 10−6℃−1σ=5,67 x10−8W /m2 K4

Y baja=20 x1010 N /m2 c pizza=0,6 cal /g℃

Y tembaga=11 x1010 N /m2 e pizza=0,8


Jawaban

1.

Konversi

x−(−15)60−(−15)

= y−0100−0

x+1575

= y100

4 x+60=3 y

x=34

y−15

2. 2 m 2 m d1 = d2 = 2 mm

T1 = 40°C = 313 K

T2 = 20°C = 293 K

F = … ?

A=14

π d2= 14

π (2. 10−3 )2=3,14. 10−6 m2

Baja

α baja=11.10−6℃−1

Y baja=20.1010 N /m2

∆ L=Lo α ∆ T=2 (11.10−6 ) 20=4,4. 10−4 m

σ=Yε

FA

=Y∆ LLo


S C

60 100

-15 0

x y

baja tembaga

F=Y∆ LLo

A=20. 1010 .4,4 .10−4 .3,14 .10−6

2

Fbaja=138,16 N

Tembaga

α tembaga=17. 10−6℃−1

Y tembaga=11.1010 N /m2

∆ L=Lo α ∆ T=2 (17.10−6 ) 20=6,8. 10−4 m

F=Y∆ LLo

A=11.1010 .6,8 . 10−4 .3,14 .10−6

2

F tembaga=117,436 N

3. Pizza

d = 70 cm = 0,7 m

Tebal = 2 cm = 0,02 m

T = 100°C = 373 K

ρpizza=500 kg/m3

σ=5,67. 10−8 W /m2 K 4

c pizza=0,6 cal /g℃=2,5 J / g℃=2500 J /kg℃

e pizza=0,8

a) Laju energi yang hilang?

P=eσ T 4 A

Qt=0,8 (5,67.10−8 ) (373 )4(2 La+Ls)

Qt=878,03(2 π ( 0,7

2 )2

+π ( 0,72 )0,02)

Qt=695,12 J /s

b) Laju perpindahan temperatur

Qt=695,12

mc ∆ Tt

=695,12


∆ Tt

=695,12mc

=695,12ρvc

= 695,12(500 ) π r2t (2500)

= 695,12

(500 ) π (0,35 )2 (0,02 )(2500)

∆ Tt

=0,072℃ /s


diktat 2011_ui

Documents

dan bidang dan

garis vektor

b2 piptek bem ftui

dan bidang tersebut

tentukan apakah vektorvektor

deta piptek bem ftui

2x3 piptek bem ftui

garis dari