dinamica de sistemas - practica 6

5/22/2018 Dinamica de Sistemas - Practica 6

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CUADERNO DE PRCTICAS DE

LABORATORIO PARA LA ASIGNATURA DE

DINAMICA DE SISTEMAS

MATERIAL (INTEGRADO, RECOPILADO O ELABORADO) POR:

ING. JESUS LEONEL ARCE VALDEZ

Cd. Guadalupe Victoria, Dgo., DICIEMBRE del 2013

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR

DE LA REGIN DE LOS LLANOS


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ndice

Introduccin .................................................................................................................................1

Objetivo (Competencias) ............................................................................................................1

Fundamento .................................................................................................................................1

Respuesta Escaln Unitario De Sistemas De Primer Orden. .............................................1

Sistemas De Segundo Orden.................................................................................................3

Procedimiento (Descripcin) ......................................................................................................6

Equipo necesario .....................................................................................................................6

Material de apoyo ....................................................................................................................6

Desarrollo de la prctica .........................................................................................................7

Resultados................................................................................................................................. 15Conclusiones............................................................................................................................. 16

Referencias bibliogrficas........................................................................................................ 16


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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO


Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 1

Introduccin

En esta prctica se trabajara con anlisis en el dominio del tiempo, parte de la

prctica consta de un trabajo analtico que despus ser corroborado mediante el

uso del MatLab.Tal y como se vio en la prctica anterior, Matlab trabaja con un

nico tipo de elementos: las matrices. Los tipos de datos bsicos con los que

vamos a trabajar para el procesado de seales unidimensionales, secuencias o

seales bidimensionales. Todos estos datos pueden ser representados de una

manera sencilla mediante matrices. De esta forma, se intuye que Matlab es una

herramienta potente para el procesado de seales, debido a la facilidad que

presenta para el tratamiento matricial de datos.

Objetivo (Competencias)

Que el alumno comprenda y refuerce los conocimientos aprendidos en clase

sobre el tema de Anlisis en el Dominio del Tiempo con la ayuda del software

MatLab y sus respectivas herramientas.

Analizar sistemas deprimer y segundo orden.

Hallar la respuesta de sistemas ante entradas tpicas.

Conocer como el sistema se comporta en estado estable

Fundamento

Respuesta Escaln Unitario De Sistemas De Primer Orden.

Dado que la transformada de Laplace de la funcin escaln unitario es l/s,

sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:


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Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuacin obtenemos:

La ecuacin anterior plantea que la salida c (t) es inicialmente cero y al final se

vuelve unitaria. Una caracterstica importante de tal curva de respuesta

exponencial c (t) es que, para t = T, el valor de c (t) es 0.632, o que la respuesta c

(t) alcanz 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t

= T en c (t). Es decir,

Observe que, conforme ms pequea es la constante de tiempo T, ms rpida es

la respuesta del sistema. Otra caracterstica importante de la curva de respuesta

exponencial es que la pendiente de la lnea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que

La respuesta alcanzara el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de

respuesta inicial. A partir de la ecuacin anterior vemos que la pendiente de lacurva de respuesta c (t) disminuye en forma monofnica de 1/T en t = 0

Figura 1. Pendiente de la Curva de Respuesta.


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La curva de respuesta exponencial c (t) aparece en la figura anterior. En una

constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del

valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor

final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente,

del valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro del 2% del

valor final. El estado estable se alcanza matemticamente slo despus de un

tiempo infinito. Sin embargo,en la prctica, una estimacin razonable del tiempo

de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para

alcanzar la lnea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.

Sistemas De Segundo Orden

La funcin de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:

Figura 2. Funcin de Transferencia de un Sistema de 2do Orden.

El comportamiento dinmico del sistema de segundo orden se describe a

continuacin en trminos de dos parmetros y En. El valor de toma diferentes

valores dependiendo de su ubicacin en el plano s.

El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo

(>0), esto causa que la respuesta escaln unitario establezca un valor final


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constante en el estado estable debido al exponente negativo (-wnt). Por lo tanto el

sistema es estable.

El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo

( 1. La respuesta transitoria

de los sistemas crticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si =

0, la respuesta transitoria no se amortigua.

Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escaln unitario.

Consideraremos tres casos diferentes:

Caso subamortiguado (0 < < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe como

Caso crticamente amortiguado ( = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi

iguales, el sistema se aproxima mediante uno crticamente amortiguado. Los

polos se encuentran ubicados en:


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Caso sobreamortiguados ( > 1): en este caso,los dos polos de C(s)/R(s) son

reales negativos y diferentes.

Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos

prcticos, las caractersticas de desempeo deseadas del sistema de control se

especifican en trminos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que

pueden almacenar energa no responden instantneamente y exhiben respuestas

transitorias cada vez que estn sujetos a entradas o perturbaciones. Con

frecuencia, las caractersticas de desempeo de un sistema de control se

especifican en trminos de la respuesta transitoria para una entrada escaln

unitario, dado que sta es fcil de generar y es suficientemente drstica. (Si se

conoce la respuesta a una entrada escaln, es matemticamente posible calcular

la respuesta para cualquier entrada.

La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escaln unitario depende

de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias

de varios sistemas, es una prctica comn usar la condicin inicial estndar de

que el sistema est en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas

con respecto al tiempo son cero. De este modo, las caractersticas de respuesta

se comparan con facilidad. La respuesta transitoria de un sistema de control

prctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el

estado estable. Al especificar las caractersticas de la respuesta transitoria de un

sistema de control para una entrada escaln unitario, es comn especificar losiguiente:


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1. Tiempo de retardo, td

2. Tiempo de levantamiento crecimiento, tr

3. Tiempo pico, tp

4. Sobrepaso mximo, Mp

5. Tiempo de asentamiento, ts

Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma grfica en la

figura:

Figura 3. Respuesta Transitoria de un Sistema.

Procedimiento (Descripcin)

Equipo necesario

Laptop o computadora

Material de apoyo

Matlab


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Desarrollo de la prctica

Trabajo analtico.

Obtenga analticamente la constante de tiempo, valor en estado establecimiento,

el tiempo de establecimiento, el error en estado estable para una entrada tipo

paso y realice un bosquejo de la respuesta paso, si R1=R2=1k C=1uF.

Procedimiento:

=

, = 0, =

=

+

Igualando las corrientes:

=

=

+

Por lo tanto la funcin de transferencia es la siguiente:


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()()

=

+

Sustituyendo los valores de R1=R2=1ky C=1F:

()()

=1000

1000+

() =1000

(1000+)=

1000

+ 1000=

+

+1000=

1

1

+1000

() =

El modelo simplificado de un sistema mecnico rotacional de una camilla se

representa en la siguiente figura:

Si:

J=3kgm2 (momento inercial)

B=7Nm/rad/seg (coeficiente de friccin viscosa)

w= velocidad angular rad/seg

T= torque Nm


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Nota:Determine la funcin de transferencia del sistema, y bosqueje la grfica de

la velocidad VS tiempo si la entrada del sistema es un escaln unitario.

Procedimiento:

=

+

() = + (

)

= () + ()

La funcin de transferencia queda de la siguiente manera:

()

=1

+

Sustituyendo los valores de J=3kgm^2, b=7nm/rad/seg:

() =1

(3 + 7)=

17

3

7(3 + 7)

() =


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2 + 1

1

+ 1

H

Y(s)X(S)

+

-

Obtenga analticamente la frecuencia natural, factor de amortiguamiento, mximo

sobrepico, tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, error en estado

estable del siguiente sistema (suponga que H=1):

()()

=2

2 + 3 + 3=

2 +1.5+1.5

Igualando los trminos de la ecuacin caracterstica tenemos:

1.5 = 2 1.5 = = 1.5 = 1.2241.5

= 32 2

= 0.6124 = 0.877 = 3.24483 =

4

= 5.3333 = 1 = 0.9682 = 1.0399

Trabajo Prctico.

Utilice MatLab para obtener la salida del sistema ante una entrada paso y una

entrada rampa del inciso a) del trabajo analtico, compare el resultado con el

obtenido analticamente.


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>> num=1000;

>> den=[1 1000];

>> g=tf(num,den)

g =

1000

--------

s + 1000

Continuous-time transfer function.

>> step(g)

Figura 4. Respuesta escaln del inciso (a).


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>> den=[1 1000 0];

>> g=tf (num, den)

g =

1000

------------

S^2 + 1000 s

Continuous-time transfer function.

>> step (g)

Figura 5. Respuesta Rampa del inciso (a).


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A partir del ejercicio del inciso a) genere las familias de curvas para diferentes

valores de amortiguamiento (valores que usted elija), compare el tiempo de

establecimiento, y el error en estado estable.

a) R1=R2=1K Y C=10F

b) R1=1K, R2=2K Y C=10F

c) R1=2K, R2=1K Y C=10F

d) R1=1K, R2=2K Y C=100F

Figura 6. Familia de Curvas de amortiguamiento.


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Obtenga la respuesta a la entrada que se indica a continuacin para el sistema

mecnico rotativo del ejercicio del inciso b).

Figura 7. Respuesta a la entrada.


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Resultados

Conteste claramente las siguientes preguntas (evite ser redundante):

1. Qu sucede si la realimentacin H es igual a dos para el literal anterior?

2. Cul es el error absoluto y el error actuante?

El error actuante es aquel tendra de un sistema de realimentacin unitaria

mientras que el absoluto es aquel que se caracteriza por ser de fcil

aplicacin y por proporcionar un amortiguamiento y una respuesta

aceptables a la salida del lazo de control.

3. Realice una breve descripcin de los conocimientos adquiridos con la

realizacin de esta prctica.

A lo largo de esta prctica se adquirir varios conocimientos nuevos, as como

el anlisis de sistemas en el dominio en el tiempo y como graficar las

respuestas de este sistema usando la herramienta del MATLAB.


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4. Mencione al menos tres comandos que se haya empleado en la realizacin

de la presente prctica.

Algunos de los comandos utilizados en la realizacin de esta prctica fueron

ltiview() que nos permite visualizar las grficas de los sistemas invariantes

en el tiempo, tf([num],[den]) el cual nos regresa la funcin de transferencia

definida por nosotros, y step() la cual nos permite introducir una funcin

escaln al sistema.

Conclusiones

Luego de realizar el modelado de los sistemas fsicos detalladamente de laprctica realizada, se pudo entender que la forma en que estos determinados o

definidos sistemas es cmo se comportan de acuerdo a ciertas condiciones dadas

a las que reaccionan, as como lo son : Tanto la funcin de entrada de tiempo como

las perturbaciones y sobre todo Ios valores de sus elementos Ios cuales se

sustituyen en las ecuaciones las cuales dan el comportamiento de la curva en la

grfica y as observar su comportamiento ya que con ello se efectan anlisis para

la elaboracin de proyectos y en cuanto a estos evitar su mal funcionamiento dando

as un buen rendimiento. Tambin se determin un poco ms sobre el

funcionamiento del amplificador operacional y como es que se comporta de acuerdo

a un grafica en la cual pudimos apreciar sus caractersticas de funcionamiento.

Referencias bibliogrficasAutor(es) Ao de

impresinTtulo del libro Edicin Editorial Lugar de

impresin

gata,Katsuhiko

2003Ingeniera decontrolmoderna

4aPearsonEducacin

Espaa

UmezEronini,Eronini

2001Dinmica desistemas ycontrol

1a Thomson Mxico


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