Distribuciones de Probabilidad

Who? Universidad Anahuac Mexico Norte

From? M.C. RAFAEL TORRES ESCOBARtorresc.rafael@gmail.com

Movil: 55-4886-4566

When? Enero 2015

Agenda

Distribucionesde probabilidad

discretas

Distribucionesde probabilidad

continuas

Variable Aleatoria Discreta

VariableAleatoria

Una variable aleatoria es una variable que toma valoresnumericos realizados por los resultados contenidos en elespacio muestral generado por un experimento aleatorio.

VariableAleatoriaDiscreta

Una variable aleatoria es una variable aleatoria discretasi no puede tomar mas que una cantidad numerable devalores.

Variable Aleatoria Discreta

Funcion deprobabilidad

La funcion de probabilidad, P(x), de una variable aleato-ria discreta X expresa la probabilidad de que X tome elvalor x , como una funcion de x . Es decir,

P(x) = P(X = x), para todos los valores de x

Variable Aleatoria Discreta

Propiedadesque debensatisfacer

Sea X una variable aleatoria discreta que tiene una dis-tribucion de probabilidad P(x). En ese caso,

1 0 P(x) 1 para cualquier valor x2 P(X = x) = f (x)

3 las probabilidades individuales suman 1, es decir,x

P(x) = 1

donde la notacion indica que el sumatorio abarca todoslos valores posibles de x.

Funcion masa de probabilidadEjercicios

Ejercio1 Un embarque de 20 computadoras portatiles similares pa-ra una tienda minorista contiene 3 que estan defectuosas.Si una escuela compra al azar 2 de estas computadoras,calcule la distribucion de probabilidad para el numero decomputadoras defectuosas.

Funcion masa de probabilidadEjercicios

Ejercicio2 Los datos siguientes se obtuvieron por conteo del numerode salas de operaciones en uso en el Hospital GeneralTampa durante un periodo de 20 das: en tres de estosdas solo se uso unasala de ciruga; en cinco de estos dasse usaron dos; en ocho das se utilizaron tres, y en cuatrodas se usaron las cuatro salas de operaciones del hospital.

a) Use el metodo de frecuencia relativa a efecto de cons-truir una distribucion de probabilidad para el numerode salas de operacion en uso en cualquier da dado.

b) Trace una grafica de la distribucion de probabilidad.

c) Muestre que su distribucion de probabilidad satisfa-ce las condiciones requeridas para una distribucion deprobabilidad discreta valida.

Funcion masa de probabilidadEjercicios

Ejercicio3 Considerese una variable aleatoria X que puede tomarlos valores 1,2,3,4,5 y cuya funcion de probabilidad esf (x) = 2x+135 . Represente las probabilidades en formaexplcita asociadas a cada valor de la variable aleatoriaX

Funcion masa de probabilidadEjercicios

Ejercicio4 A continuacion se presentan las distribuciones de frecuen-cias porcentuales de la satisfaccion laboral para una mues-tra de altos directivos y gerentes de rango medio en el areade sistemas de informacion (SI). Las puntaciones varande baja, 1 (muy insatisfecho), a alta, 5 (muy satisfecho).

Puntuacion de Altos directivos Gerentes de rangosatisfaccion laboral de SI medio de SI

1 5 42 9 103 3 124 42 465 41 28

Distribucion acumuladaEjemplos

DistribucionAcumulada

La funcion de la distribucion acumulativa F (x) de unavariable aleatoria discreta X con distribucion de probabi-lidad f (x) es

F (x) = P(X x) =tx

f (t), para < x

Distribucion acumuladaEjemplos

Ejemplo En un despacho contable se encontro que en el manejo decuentas de la empresa, el numero de errores graves X co-metidos por sus contadores tiene la siguiente distribucionde probabilidad.

x 0 1 2 3

P(X = x) 0.6 0.1 0.2 0.1

Encontrar su funcion de probabilidad acumulada.

Distribucion acumuladaEjemplos

Ejercicio1 Un tecnico proporciona servicio a las maquinas de correoen algunas empresas del area de Phoenix. Dependiendodel tipo de falla, la visita de servicio puede durar 1, 2, 3o 4 horas. Los distintos tipos de falla ocurren aproxima-damente con la misma frecuencia.

a) Elabore una distribucion de probabilidad para la dura-cion de una visita de servicio.

b) Cual es la probabilidad de que una visita de serviciodure tres horas?

c) El tecnico acaba de llegar a una visita de servicio, perodesconoce el tipo de falla. Son las 3:00 p.m. y lostecnicos de servicio trabajan solo hasta las 5:00 p.m.Cual es la probabilidad de que tenga que trabajartiempo extra para reparar la maquina hoy?

Distribucion acumuladaEjemplos

Ejercicio2 La tabla siguiente es una distribucion de probabilidad par-cial para las utilidades proyectadas de MRA Company(x =utilidades en miles de dolares) para el primer ano deoperacion (el valor negativo denota una perdida).

x f (x)

-100 0.100 0.20

50 0.30100 0.25150 0.10200 ?

a) Cual es el valor apropiado para f (200)? Cual es suinterpretacion de este valor?

b) Que probabilidad existe de que MRA sea rentable?

c) Cual es la probabilidad de que obtenga por lo menos$100,000?

Distribucion acumuladaEjemplos

Ejercicio3 Un psicologo determino que el numero de sesiones reque-ridas para ganarse la confianza de un paciente nuevo esde 1, 2 o 3 sesiones. Sea x una variable aleatoria queindica el numero de sesiones requeridas para ganarse laconfianza de un paciente. Se ha propuesto la funcion deprobabilidad siguiente.

f (x) =x

6, para x = 1, 2 o 3

a) Esta funcion de probabilidad es valida? Explique porque.

b) Cual es la probabilidad de que se requieran exac-tamente 2 sesiones para ganarse la confianza de unpaciente?

c) Cual es la probabilidad de que sean necesarias porlo menos 2 sesiones para ganarse la confianza de unpaciente?

Valor Esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad discreta

Valor esperadoo promedio E (x) = =

xf (x)

Valor Esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad discreta

Ejemplo Numero de autos que se venden en un da

x f (x) xf (x)

0 0.18 0(0.18)1 0.392 0.243 0.144 0.045 0.01

Valor Esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad discreta

VarianzaVar(x) = 2 =

(x )2f (x)

Una formula alternativa es:

Var(x) = 2 =

x2f (x) 2

Valor Esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad discreta

Ejemplo deVarianza

Numero de autos que se venden en un da

x f (x) x2f (x)

0 0.18 0(0.18)1 0.39 1(0.39)2 0.24 4(0.24)3 0.144 0.045 0.01

Valor Esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad discreta

Ejercicio1 Dada la funcion de probabilidad

x 0 1 2

f (x) 0.25 0.45 0.25

a) Trace la funcion de probabilidad.

b) Calcule y trace la distribucion de probabilidad acumu-lada.

c) Halle la media de la variable aleatoria X .

d) Halle la varianza de X .

Valor Esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad discreta

Ejercicio2 El estudio American Housing Survey reporto los datos si-guientes sobre el numero de recamaras ocupadas en casaspropias y rentadas en las ciudades centrales (sitio web dela Oficina del Censo de Estados Unidos, 31 de marzo de2003).

Numero de casa (miles)

Recamaras Rentadas Propias

0 547 231 5 012 5412 6 100 3 8323 2 644 8 690

4 o mas 557 3 783

Valor Esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad discreta

Ejercicio 2

a) Defina una variable aleatoria x =numero de recama-ras en las casas rentadas y elabore una distribucion deprobabilidad para la variable aleatoria (x = 4 repre-senta 4 o mas recamaras.)

b) Calcule el valor esperado y la varianza del numero derecamaras en las casas rentadas.

c) Defina una variable aleatoria y =numero de recamarasen las casas propias, y elabore una distribucion de pro-babilidad para la variable aleatoria ( y = 4 representa4 o mas recamaras.)

d) Calcule el valor esperado y la varianza para el numerode recamaras en las casas propias.

e) Que observaciones puede hacer de la comparaciondel numero de recamaras en casas rentadas en com-paracion con las casas propias?

Disrtibucion de probabilidad continua

Definition Cuando se trata con variables continuas, a f (x) por lo ge-neral se le llama funcion de densidad de probabilidad (fdp)o simplemente funcion de densidad de X . La funcion f (x)es una funcion de densidad de probabilidad (fdp) para lavariable aleatoria continua X , definida en el conjunto denumeros reales, si

1 f (x) 0 x R2 f (x)dx = 1

3 P(a < X < b) = ba f (x)dx

Disrtibucion de probabilidad continua

Ejemplo Suponga que el error en la temperatura de reaccion, enoC, en un experimento de laboratorio controlado, es unavariable aleatoria continua X que tiene la funcion de den-sidad de probabilidad

f (x) =

{x2

3 , 1 < x < 20, en otro caso

a) Verifique que f (x) es una funcion de densidad

b) Calcule P(0 < X 1)

Disrtibucion de probabilidad continua

Solucion

Disrtibucion de probabilidad continua

Definition(Distribucion

acumulada)

La distribucion acumulada F (x), de una variable continuaX con funcion de densidad f (x), es

F (x) = P(X x) = x

f (t)dt, para < x

Disrtibucion de probabilidad continua

Ejemplo Calcule F (x) para funcion de densidad del ejemplo ante-rior y utilice el resultado para evaluar P(0 < X 1)

f (x) =

{x2

3 , 1 < x < 20, en otro caso

Disrtibucion de probabilidad continua

Ejercicio1 Considere la siguiente funcion de densidad

f (x) =

{x30450 30 x 60

0, en otro caso

Calcule F (x)

Disrtibucion de probabilidad continua

Ejercicio2 El Departamento de Energa (DE) asigna proyectos me-diante licitacion y, por lo general, estima lo que deberaser una licitacion razonable. Sea b el estimado. El DEdetermino que la funcion de densidad de la licitacion ga-nadora (baja) es

f (y) =

{5

8b ,25b y 2b,

0, en otro caso

Calcule F (y) y utilice el resultado para determinar la pro-babilidad de que la licitacion ganadora sea menor que laestimacion preliminar b de DE.

Valor esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad continua

Definition(Valor

esperado)

El valor esperado de una variable aleatoria continua Xesta dado por:

E (X ) =

xf (x)

Ejemplo Sea X una variable aleatoria con las siguiente funcion dedensidad:

f (x) =

{x30450 , 30 x 60

0, en otro caso

Valor esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad continua

Definition(Varianza)

La varianza de una variable aleatoria continua X se definecomo:

Var(X ) = 2 = E [X E (X )]2 =

(x )2f (x)dx

Una forma alternativa de expresar la varianza es:

Var(X ) = E (X 2) [E (X )]2

Valor esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad continua

Ejemplo Sea X una variable aleatoria con las siguiente funcion dedensidad:

f (x) =

{x30450 , 30 x 60

0, en otro caso

Para encontrar la varianza de X primero se debe encontrarel valor esperado de X y de X 2

E (X 2) =

6030

x2x 30

450dx

Valor esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad continua

Ejercicio1 La demanda semanal de una bebida para una cadena localde tiendas de abarrotes, en miles de litros, es una variablealeatoria continua X que tiene la siguiente densidad deprobabilidad

f (x) =

{2(x 1), 1 < x < 20, en otro caso

Calcular media y varianza de X

Valor esperado y VarianzaDistribucion de probabilidad continua

Ejercicio2 La vida util de un medicamento es una variable aleatoriacon la siguiente funcion de densidad.

f (x) =

{2000

(x+100)3, x > 0

0, en otro caso

a) Encuentre la probabilidad de que un paquete de esemedicamento tenga una vida util de a lo mas 200 das

b) De entre 90 y 130 das

c) Encuentre la vida util promedio de la medicina

d) Encuentre la varianza de la vida util de la medicina

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