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Copyrights©. 2005-2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado

Rev.2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S.A.©, 2006-2010)

Diseño de ExperimentosANOVA

(extracto de Mejoramiento de Procesos

por medio de toma de decisiones basada en datos por Omar Mora)Rev.2



Diseño Experimental (DEX)

El diseño experimental (DEX) suele ser circunscrito al concepto de Diseño de Experimentos Factorial. Esto es un enfoque limitado. En un contexto amplio DEX abarca todas las técnicas que permiten una comparación de factores, en diferentes niveles, para poder identificar diferencias significativas entre ellos.

Las pruebas de hipótesis, el análisis de regresión, ANOVA son técnicas de DEX de amplio espectro de uso, y pueden dar grandes retribuciones a quienes las empleen de forma cautelosa y responsable.



Diseño Experimental BásicoEl diseño experimental, abreviado en

inglés como DEX, los analistas, deliberadamente cambia uno o más factores, variable de procesos, con el fin de observar si los efectos de los cambios tienen relación con las variables de respuesta.

Comúnmente cuando se habla de diseño experimental, la mayor parte de los analistas evoca técnicas como diseño factorial, diseño de Taguchi, Placket-Burman, Central Composite, Superficies de Respuesta, entre otros.

Y esto está bien.

No obstante, a manera de lograr un enfoque más integral de lo que es diseño experimental, se dirá que un buen analista debe manejar con propiedad al menos las siguientes herramientas estadísticas antes de ingresar en el diseño experimental:

• Tamaño de Muestra• Pruebas de Hipótesis• ANOVA• Análisis de Regresión y Correlación

Y conocedor de lo anterior, el estudio y aplicación del diseño experimental le resultará mucho más sencillo, que si asume que es un concepto separado, o independiente.



Diseño Experimental BásicoEn este documento se iniciar el

tema de diseño experimental por medio del estudio de ANOVA de una y dos vías.

Posteriormente, se trabajará el tema de diseño factorial de dos niveles, y otras variedades. Pero, no se pretende que esta explicación sea exhaustiva, si no más bien, introductoria.

No está dentro del alcance de este documento temas como diseño de mezclas, diseño de experimentos de Taguchi.

Si el lector requiere ahondar en los conocimientos sobre este tema, le recomendamos acudir a la bibliografía anotada al final de este documento.



Niveles de Análisis

Lógico

EstadísticoExperimental



A designed experiment is a test or series of tests in which purposeful changes are made to the input variables of a process that we may observe and identify corresponding changes in the output response.

Entradas PROCESO

Salidas

x1 x2 xp

z1 z2 zq

...

...

...

...

y

Factores Controlables (Entradas)

Factores Incontrolables (Entradas)

ANOVA como DEX



ANOVA: Conceptos Básicos

• ANOVA es un herramienta estadística que se emplea para comparar los desempeños promedio de un determinado número de poblaciones.

• ANOVA es el acrónimo para el término en inglés, Analysis of Variance.

• Típicamente ANOVA y Análisis de Regresión son considerados métodos analíticos avanzados.

• “Las técnicas iniciales de análisis de varianzas fueron desarrolladas por el estadístico y genetista Ronald Fisher entre 1920 y 1930, y algunas veces se les conoce como ANOVA de Fisher o Análisis de Varianza de Fisher.” (5)



ANOVA: son promedios

El acrónimo ANOVA causa un poco de confusión.

Recuerde: ANOVA es un método usado con la intención de determinar la existencia de diferencias entre un número de promedios poblacionales.

El principio de parsimonia es sumamente necesario, al enfrentar la posibilidad de usar una ANOVA

Si bien ANOVA es acerca de promedios, es necesario verificar ciertas fuentes de variación antes de poder ejecutar un análisis tipo ANOVA.



ANOVA: Modelos Conceptuales

• Modelo de Efectos Fijos: el supuesto para este modelo es que los datos en cada población bajo estudio, provienen o se pueden explicar por medio de una distribución normal, y los promedios podrían o no diferir.

• Modelo de Efectos Aleatorios:los supuestos de este caso asumen que los datos describen una jeraquía de poblaciones disímiles cuyas differencias son inhabilitadas por la jeraquía misma.

• Modelo Mixto: estos modelos pueden utilizarse para explicar condiciones donde ambos, los modelos de efectos fijos y aleatorios, están presentes.

ADVERTENCIA: el alcance de este documento es sobre el Modelo de Efectos Fijos, solamente.



“…ANOVA es similar a la regresión en el sentido que es utilizada para investigar y modelar la relación entre una variable de respuesta y una o más variables independientes” MINITAB Stat Guide. MINITAB Release 14



Navaja de Occam y ANOVA

“Si solamente se están comparando dos medias, entonces la ANOVA dará los mismos resultados que una prueba de hipótesis t, para mustras independientes (si estamos comparando dos grupos diferentes de casos u observaciones) o una prueba t para muestras dependientes (si estamos comparando dos variables en un solo especimen de casos u observaciones)”

Traducción a partir de (6)



Prueba de Hipótesis y ANOVA

En el Diseño Experimental, específicamente en el uso de ANOVA y DOE Factorial, se debe tener presente que el conocimiento y destreza tanto en prueba de hipótesis como en análisis de regresión es fundamental para una correcta interpretación del resultado de la ANOVA o el DOE.

Estos elementos se reforzarán con la práctica y ejemplos.

La hipótesis nula que subyace es:

nH ...: 210



Supuestos en la ANOVA

Hay dos supuestos básicos en ANOVA:

1. Los datos se han extraído por muestreo es independiente y aleatorios de “j” poblaciones bajo estudio.

2. Las “j” poblaciones están normalmente distribuidas con una media “” QUE PODRIAN O NO (he aquí la esencia de la ANOVA) ser iguales; sin embargo, las varianzas “²” son iguales en las “j” poblaciones.

Violentar estos supuestos podría originar consecuencias en las conclusiones del estudio.



Supuesto de Normalidad

Supuesto de Normalidad:

Los efectos de incumplir este supuestos están relacionados con el estadístico de prueba usado por la ANOVA, mejor conocido como prueba F.

Muchos autores establecen que la prueba F es sorprendentemente robusta y tolera desviaciones de los datos del modelo Normal. La principal restricción podr{ia estar relacionad con el nivel de Curtosis de los datos.

Cuando la curtosis no es mesocúrtica, si no que es leptocurtica, el valor de F tiende a ser bajo y no se puede rechazar la hipótesis nula, a pesar que sea incorrecta. Si los datos tienen platicurtosis, sucedería algo similar: se rechazaría aun cuando la hipótesis nula era correcta.



Supuesto de Homogeneidad de Varianzas

La homogenidad de varianzas, como supuesto, considera que las varianzas en los diferentes grupos son idénticas.

“Si las varianzas en dos grupos independientes son diferentes, entonces adicionar los datos de esos grupos en uno solo, no es apropidado, y no conducirá a una correcta estimación de la varianza común dentro-del-grupo (since que no existe varianza común)” Traducción adaptada de (6)



Supuesto de Homogeneidad de Varianzas

Igualmente, la prueba F es muy robusta, y tolera desviaciones de incumplimiento de homogeneidad de varianzas;sin embargo, pueden existir casos en los que los promedios están correlacionados con varianzas entre las celdas que conforman la tabla de ANOVA. Es un factor dificil de identificar.

Algunos sugieren crear un gráfico de dispersión que confronte varianzas contra promedios, y comprobar si hay correlaciones

En la práctica, estas sugerencias son poco utilizadas, pero es necesario tener presente la necesidad de validar los supuestos



Pasos para Aplicar ANOVAEste es un procedimiento sugerido

por Blackberry&Cross, sobre la base de conceptos teóricos y prácticas operativas industriales, estudiadas durante varios años.

Algunos autores podrían diferer del orden o necesidad de ciertos pasos, pero cada paso sugerido se considera necesario para desarrollar metodología y resultados más confiables



1. Descripción clara del problema2. Determinación del modelo de análisis3. Definición de la hipótesis nula4. Determinación del tamaño de Muestra5. Realizar una prueba de igualdad de varianzas6. Realizar una prueba de Bondad de Ajuste para Normalidad7. Configurar la tabla de ANOVA8. Ejecutar la prueba de ANOVA 9. Analizar los resultados (incluye análisis de residuos) 10. Conducir pruebas de Tukey, HSU y/o ANOM11. Concluir sobre el Experimento ANOVA

Pasos para Aplicar ANOVA



Tamaño de Muestra para ANOVA

Recuérdese que cuando se trabaja con problemas de tamaño de muestra (Power and Sample Size, en inglés) siempre hay dos formas de abordarlo:

• Prospectivo: antes de correr el experimento

• Retrospectivo: después de correr el experimento

Se recomienda utilizar el enfoque prospectivo, siempre que sea posible.

Todo problema de tamaño de muestra requiere al menos:

1. Desviación estándar (en modelos de datos continuos)

2. Diferencia mínima detectable entre el más pequeño y más grande de los factores medios.

3. Poder de la prueba



Tamaño de Muestra para ANOVA

Asuma que ha hecho un experimento ANOVA, con el fin de entender como el envejecimiento de los materiales afecta su resistencia media. Usted quiere encontrar la diferencia, en un grupo de datos controlado, con niveles promedio entre 10 y 14 unidades de resistencia. El sigma del proceso que se tiene ha sido registrado en 2.5. Usted tomó una muestra inicial de 8, en un enfoque retrospectivo de muestreo.Calcule el tamaño de muestra, con un nivel de poder de prueba del 90%. Use MINITAB 15.



Poder de la Prueba

“El poder de la prueba es la probabilidad de correctamente rechazar H0 cuando es falsa. En otras palabras, es la probabilidad de que se identifique una diferencia significativa (efecto) cuando existe”

MINITAB Stat Guide



Fundamentos de Cálculo de ANOVA

Este material abarca solamente los tipos de ANOVA conocidos como:

ANOVA Una-Vía (One-Way ANOVA)

ANOVA Dos-Vías (Two-Way ANOVA)

No se incluyen en este materiales modelos para ANOVA no-balanceada. Para mayor información consulte (8).



ANOVA de Una VíaEsta modalidad de ANOVA puede sintetizarse en un diseño experimental,

en donde se analiza un (1) factor, en múltiples niveles.

Típicamente, se llama a los niveles del factor “tratamientos”.

De forma estricta, la ANOVA de Una Vía es un OFAT.

Su utilidad es de gran valor, tanto en la práctica como en el ejercicio conceptual.



ANOVA de Una-Vía Tamaño Muestra

NOTA: no se ha estudiado los elementos de ANOVA DE UNA VÍA, pero se utlizará este menú de tamaño de muestra como ilustración

Power and Sample Size

One-way ANOVA

Alpha = 0.05 Assumed standard deviation = 2.5 Number of Levels = 5

SS Sample MaximumMeans Size Power Difference 8 8 0.661089 4

The sample size is for each level.



Power and Sample Size

One-way ANOVA

Alpha = 0.05 Assumed standard deviation = 2.5 Number of Levels = 5

SS Sample Target MaximumMeans Size Power Actual Power Difference 8 14 0.90 0.923493 4 8 16 0.95 0.956893 4 8 21 0.99 0.990934 4

The sample size is for each level.

ANOVA de Una-Vía Tamaño Muestra



Prueba Igualdad de Varianzas

Para ejecutar estas pruebas use el menú de MINITAB

Stat > ANOVA > Test for Equal Variances.

Asuma que tiene un producto en el cual el espesor es una dimensión crítica. El producto se fabrica por medio de termoformado plástico

Usted sabe que el sistema de termoformado se comporta como sigue:

Cuando trabaja a 25 psi, y cuando trabaja a 41 psi debería ser lo mismo

¿Las varianzas en ambos niveles (25 y 41 psi) serán iguales?



Prueba: Bonferroni y Levene

Test for Equal Variances: Diameter versus Pressure

95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Pressure N Lower StDev Upper 25 9 2.91929 4.55522 9.7110 41 9 3.54091 5.52519 11.7789

F-Test (normal distribution)Test statistic = 0.68, p-value = 0.598

Levene's Test (any continuous distribution)Test statistic = 0.05, p-value = 0.824



Ilustración de Igualdad de VarianzasPre

ssure

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

41

25

12108642

Pre

ssure

Diameter

41

25

2520151050

F-Test

0.824

Test Statistic 0.68P-Value 0.598

Levene's Test

Test Statistic 0.05P-Value

Test for Equal Variances for Diameter



Homogeneidad de Varianzas

Varios Métodos En general los métodos de igualdad de varianzas se categorizan en

Pruebas estadísticas

– Barlett's (mejor con datos normales)

– F-test (muy robusta; se ve afectada por la curtosis alta o baja)

– Levene (menos poderosa, pero es no-paramétrica)

Medición de Varianza

– Desviación Estándar

– Varianza

– Bonferroni: intervalos de confianza



Prueba de NormalidadLas pruebas de Normalidad sugeridad son1. Anderson Darling2. Kolmogorov-Smirnov3. Ryan-Joiner4. P-Value

Con anterioridad se han mencionado otras pruebas.



Tabla de ANOVA y Fórmulas

aaan

n

n

aa yyy

yyy

yyy

yya

yy

yy

222

111

21

2221

1211

2

1Tratamiento Observaciones Totales Medias

y y

ANOVA una-vía: un solo factor en múltiples niveles



n

jiji yy

1

nyy ii / ai ,...,2,1

a

i

n

jijyy

1 1

Nyy / anN

Fórmulas Específicas



Medición de la Variabilidad en ANOVA

a

i

n

jijT N

yySS

1

2

1

2

Al igual como se explicó en los elementos de análisis de regresión, la ANOVA como modelo experimental está compuesto de un factor sistemático y otro aleatorio.

La variabilidad total se mide por de SST, en donde SS significa Suma de Cuadrados, del inglés Sum of Squares. errorostratamientT SSSSSS



SS Tratamientos = Suma de cuadrados de las diferencias entre las medias de los tratamientos y el promedio general.

SS error = Suma de cuadrados de las diferencias de las observaciones dentro de un tratamiento del promedio del tratamiento.

El concepto de tratamiento y error son complicados, cuando se ejecutan las primeras experimentaciones con ANOVA.

En este documento se omitirán las ecuaciones para el cálculo manual de la Suma de Cuadrados de los Tratamientos y la Suma de Cuadrados de los Errores. Se enfocará el estudio en la confección e interpretación de la ANOVA.



1

)1(

1

anSS

MSnaSSMS

MSMSaSS

Total

EE

E

osTratamientosTratamientosTratamient

Fuentes de Variación

Suma Cuadrados

Grados

LibertadCuadrado

Medio F0

Tratamientos

Error

Total

TABLA DE ANOVA-Sumaria



1

)1(

1

anSS

MSnaSSMS

MSMSaSS

Total

EE

E

osTratamientosTratamientosTratamient

Fuentes de Variación

Suma Cuadrados

Grados

LibertadCuadrado

Medio F0

Tratamientos

Error

Total

TABLA DE ANOVA-Sumaria

Los conceptos de análisis de regresión se adicional en la interpretación de la ANOVA

R² =

Total

osTratamient

SS

SS



Cuadrado Medio y Varianza

Recuérdese que

En el caso de la ANOVA, la varianza de los tratamientos y del error se estima por medio de los Cuadrados Medios

2

21

0 S

SF

error

osTratamient

MS

MSF 0



Ejemplo:

Una compañía fabricante de aleaciones, ha decidido entender mejor su proceso. De momento se sabe que la adición de determinados metales favorece la resistencia; el equipo de ingeniería conoce que adicionar bronce en diferentes proporciones, a la amalgama, podría explicar la mejoría en la resistencia. El problema está en el costo del bronce, y su problema de abastecimiento. El departamento de ingeniería expone entonces que la resistencia está dada en función de la proporción de bronce. Se decide utilizar diferentes proporciones: 5%, 10%, 15% y 20%. Para cada concentración se han tomado 6 especímenes, de acuerdo con un muestreo aleatorio retrospectivo.



Porcentaje de Bronce

(%)1 2 3 4 5 6 Totales Promedio

5 7 8 15 11 9 10 60 10.00

10 12 17 13 18 19 15 94 15.67

15 14 18 19 17 16 18 102 17.00

20 19 25 22 23 18 20 127 21.17

OBSERVACIONES RECOLECTADAS

383 15.96TOTALES

Resistencia en PSI de las Amalgamas



Ejemplo: Verificación de Supuestos

30252015105

99

95

90

80

70

605040

30

20

10

5

1

Resistencias

Perc

ent

Mean 15.96StDev 4.723N 24AD 0.326P-Value 0.505

Probability Plot of ResistenciasNormal

20

15

10

5

9876543210

Trata

mie

nto




Bartlett's Test

Levene's Test




Ejemplo:Construcción Tabla ANOVA

Acceda al Menú de MINITAB 15:

STAT ►ANOVA ►One Way

La variable de respuesta es la Resistencia del metal. El factor, tratamiento, es el porcentaje de bronce.

Para efectos de análisis es conveniente registrar los residuales y los valores de ajuste del modelo (fit)



Como parte del proceso de validación de los resultados de una ANOVA, es altamente recomendado que se seleccionen los gráficos:

– Análisis cuatro-en-uno– Valores individuales– Cajas-y-bigotes

Estos gráficos deben estudiarse, para entender el comportamiento de los valores individuales, así como de los valores residuales

Ejemplo:Construcción Tabla ANOVA



Ejemplo:Comparaciones Múltiples

En algunas ocasiones las pruebas de comparación múltiple, resultan un recurso adicional para identificar si hay evidencia estadística de diferencia entre los tratamientos.

Para efectos de ilustracíón en MINITAB 15 se procederá a analizar las pruebas:

• Tukey• HSU



Ejemplo: Análisis Gráfico

2015105

25

20

15

10

5

Tratamiento

Resi

stenci

as

Individual Value Plot of Resistencias vs Tratamiento

2015105

25

20

15

10

5

Tratamiento

Resi

stenci

as

Boxplot of Resistencias



5.02.50.0-2.5-5.0

99

90

50

10

1

Residual

Perc

ent

N 24AD 0.259P-Value 0.684

20.017.515.012.510.0

4

2

0

-2

-4

Fitted Value

Resi

dual

420-2-4

4.8

3.6

2.4

1.2

0.0

Residual

Fre

quency

24222018161412108642

4

2

0

-2

-4

Observation Order

Resi

dual

Normal Probability Plot Versus Fits

Histogram Versus Order

Residual Plots for Resistencias

Ejemplo: Análisis Gráfico



Comportamiento de los Residuos

Los residuos son la diferencia entre los datos observados (Oi) y los datos esperados (Ei), o también llamados ajustados, ya que provienen de una curva de ajuste o modelo.

Si la diferencia entre Oi-Ei es igual a cero (0), significa que el modelo y los datos se ajustan perfectamente.

Los residuos deben seguir un comportamiento normal, con media cero (0) y varianza desconocida, pero calculable.

Para que la ANOVA , u otros modelos sean válidos, es necesario que estas condiciones se cumplan.



Ejemplo: ANOVA Sumaria

One-way ANOVA: Resistencias versus Tratamiento

Source DF SS MS F PTratamiento 3 382.79 127.60 19.61 0.000Error 20 130.17 6.51Total 23 512.96

S = 2.551 R-Sq = 74.62% R-Sq(adj) = 70.82%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev +---------+---------+---------+--------- 5 6 10.000 2.828 (----*----)10 6 15.667 2.805 (----*-----)15 6 17.000 1.789 (----*-----)20 6 21.167 2.639 (-----*----) +---------+---------+---------+--------- 8.0 12.0 16.0 20.0

Pooled StDev = 2.551



Ejemplo: Comparación de HSU



Ejemplo: Comparación de Tukey



ANOMCon frecuencia, en la práctica, el

concepto de ANOVA resulta dificil de visualizar para muchos. Una alternativa gráfica para solventar este inconveniente de interface, es la prueba conocida como ANOM (Analysis of Means).

ANOM puede aplicarse para datos normales, binomiales o poisson, y provee un despliegue gráfico de su resultado. Puede diferir de la ANOVA en el resultado final, por lo que el analista debe ser cauto. Toda herramienta tiene diferente nivel de poder.

En MINITAB 15, el menú es:

STAT►ANOVA ►ANOM

Es recomendable acompañar las pruebas de ANOVA, con un análisis ANOM.



ANOM



ANOVA de Dos VíasEsta modalidad de ANOVA tiene la propiedad de poder incorporar dos ,

factores, cada uno con “a” cantidad de niveles.

La ANOVA de Dos Vías no es un OFAT, y es un modelo experimental más complejo.

La ANOVA de dos vías, permite entender el efecto del factor A, el factor B, además de su interacción AB, lo que la convierte en una herramienta muy poderosa.

Igualmente, es un diseño experimental de amplia utilidad práctica.



ANOVA dos vías: dos factores en “a” niveles

)(

,

,,

)(

,

,,

)(

,

,,

)(

,

,,

)(

,

,,

)(

,

,,)(

,

,,

)(

,

,,

)(

,

,,

21

2

2

2221

1

1

1211

22

2

2212

22

22

222221

21

21

212211

1

1

2111

12

12

122121

11

11

112111

ab

abn

abab

a

na

aa

a

na

aa

n

bn

bb

n

nn

b

bn

bb

nn

y

y

yy

y

y

yy

y

y

yy

y

y

yy

y

y

yy

y

y

yyy

y

yy

y

y

yy

y

y

yy

Factor A

Factor B

1

2

a

1 2 b

1y

2y

ay

1y 2y by y



b

j

n

kijki yy

1 1

aibn

yy ii ,...,2,1

a

i

n

kijkj yy

1 1b

an

yy jj ,...,2,1j

n

kijkij yy

1 b1,2,...,j

,...,2,1i

a

n

yy ijij

a

i

b

j

n

kijkyy

1 1 1

abn

yy

ANOVA dos vías: fórmulas



La hipótesis nula en una ANOVA de dos vías, se expresa como:

H0: No hay efecto significativo del Factor A, No hay efecto significativo del Factor B, No hay efecto significativo por la interacción entre AB

INTERACCIONES

Las interacciones suceden cuando el efecto de un factor, sobre la variable de respuesta depende del nivel de otro factor.

Re

spu

est

aR

esp

ue

sta

-1 Factor A 1

-1 Factor A 1

B= -1

B= 1

B= -1

B= 1

No Interacción Significativa

Interacción Significativa



)1()1(

)1)(1()1)(1(

11

11

0

0

0

nab

SSMSnabSS

MS

MSF

ba

SSMSbaSS

MS

MSF

b

SSMSbSS

MS

MSF

a

SSMSaSS

EEE

E

ABABABAB

E

BBBB

E

AAAA

1abnSST

Fuente de Variación

Suma Cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrado Medio

F0

A

B

Interacci{on

Error

Total

ANOVA dos vías: Tabla Sumaria



Ejemplo:

Una empresa del sector electrónico tiene un proceso de introducción de nuevos productos (NPI, de sus siglas en inglés). Como parte de los retos que el equipo NPI debe enfrentar, se encuentra tomar la decisión acerca del modo de fabricación de la cubierta plástica que protejerá a un transmisor tierra-aire. Se sabe que pueden fabricarse las cubiertas por dos tecnologías alternativas: inyección y termoformado.

Igualmente hay tres materiales, polímeros, que se pueden emplear: ABS(1), Acetal(2), Policarbonato(3).

Se ha decido hacer tres muestras piloto para cada técnica con cada polímero. Una ANOVA de dos vías resulta funcional para análisis de este experimento, donde la variable de respuesta es un coeficiente de curvatura, por cálculo indirecto.



1 4.0, 4.5, 4.3 5.4, 4.9, 5.6 28.7

2 5.6, 4.9, 5.4 5.8, 6.1, 6.3 34.1

3 3.8, 3.7, 4.0 5.5, 5.0, 5.0 27.0

40.2 49.6 89.8

Polímero Inyección Termoformado

12.8 15.9

15.9 18.2

15.511.5

a=3, b=2, n=3

Curvaturaiy

jyy



0.500.250.00-0.25-0.50

99

90

50

10

1

Residual

Perc

ent

N 18AD 0.353P-Value 0.425

6.05.55.04.54.0

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

Fitted Value

Resi

dual

0.30.20.10.0-0.1-0.2-0.3-0.4

3

2

1

0

Residual

Fre

quency

18161412108642

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

Observation Order

Resi

dual

Normal Probability Plot Versus Fits

Histogram Versus Order

Residual Plots for Curvatura

Ejemplo: Análisis Gráfico ANOVA 2-vías



Polímero

Método

321

Term

ofor

mad

o

Inye

cciòn

Term

oformad

o

Inye

cciòn

Term

oformad

o

Inye

cciòn

6.5

6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

Curv

atu

ra

Boxplot of Curvatura




Polímero

Método

321

Term

ofor

mad

o

Inye

cciòn

Term

oformad

o

Inye

cciòn

Term

oformad

o

Inye

cciòn

6.5

6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

Curv

atu

ra

Individual Value Plot of Curvatura vs Polímero, Método




Ejemplo: Supuesto Igualdad de Varianzas

Polímero Método

3

2

1

Termoformado

Inyecciòn

Termoformado

Inyecciòn

Termoformado

Inyecciòn




Bartlett's Test

Levene's Test




Ejemplo: Efectos Principales ANOVA 2-vías

321

5.75

5.50

5.25

5.00

4.75

4.50

TermoformadoInyecciòn

Polímero

Mean

Método

Main Effects Plot for CurvaturaData Means



Ejemplo: Interacciones ANOVA 2-vías


6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

321

6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

Polímero

Método

123

Polímero

InyecciònTermoformado

Método

Interaction Plot for CurvaturaData Means



Ejemplo: Intervalos ANOVA 2-vías


6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

Método

Curv

atu

ra

Interval Plot of Curvatura95% CI for the Mean



Ejemplo: Intervalos ANOVA 2-vías

Polímero

Método

321

Term

ofor

mad

o

Inye

cciòn

Term

oformad

o

Inye

cciòn

Term

oformad

o

Inye

cciòn

7

6

5

4

3

Curv

atu

ra

Interval Plot of Curvatura95% CI for the Mean



Ejemplo: Tabla ANOVA Dos-Vías, Sumaria



ANOVA: Taller

Recolecte y estudie los datos necesarios, que le permitan confeccionar un estudio de ANOVA de una o dos vías.

Solamente practicando se logrará desarrollar destrezas analíticas.



Diseños completamente aleatorios

La manera en que se toman los datos para diferentes tratamientos, en un experimento, como lo es una ANOVA, algunas veces obedece a:

• La comodidad para tomarlos • El costo de recolección• La necesidad de aleatorización

completa• Ningún criterio

Sin duda, de las anteriores opciones que explican cómo se planifícó la recolección de datos, la más conveniente, apropiada, y recomendada, es la aleatorización completa de los datos.

La aleatorización es una de las medidas que se adoptan para combatir los efectos indeseables de las llamadas “variables furtiuvas”.

Las “variables furtivas” son cualitativas o cuantitativas, y no hay certeza sobre cuando puedan presentarse y afecten el evento en estudio. Estas variables generalmente son aquellas que el investigador, analista, no ha identificado, pero que si afectan la variable de respuesta.

La aleatorización compesa el problema, pero no lo elimina. La manifestación de las “variables furtivas” se observa en la suma de cuadrados del error.




Nadie puede anticipar la presencia de una “variable furtiva”.

Aun cuando el proceso de generar un diseño completamente aleatorio sea más costoso, lento en la práctica, o dificil de asimilar gerencialmente, es una forma de mitigar el riesgo de concluir inapropiadamente después de aplicar la ANOVA (u otros diseños experimentales).

“Aleatorio o nada”. Es una frase de algunos especialistas, que evoca el grado imperativo de generar aleatorización en los modelos.

MINITAB 15 no genera la aleatorización de forma automática, pero se puede hacer utilizando varios menús.

Se mostrará el procedimiento seguidamente, gracias a un ejemplo.




Modelo No Aleatorio

Modelo Aleatorio




Con ayuda de MINITAB 15, es posible lograr el proceso de aleatorización de las corridas para los tratamientos.

Acceda a los menús:

Calc►Make Pattern Data ► Simple Set of Numbers: para crear el listado de los tratamientos (también puede usar texto en Calc►Make Pattern Data ► Text Values)

Calc ► Make Pattern Data ► Simple Set of Numbers: para crear la lista de corrida, en orden estándar.

Calc ► Random Data ► Sample from Columns: le ayudará a crear la lista aleatoria de corrida a partir del orden estándar

Stat ► Quality Tools ► Run Charts: es un procedimiento recomendado por Blackberry&Cross, para verificar si el orden aleatorio lo es en buena medida.



18161412108642

20

15

10

5

0

Observation

Ale

ato

rio

Number of runs about median: 11Expected number of runs: 10.0Longest run about median: 3Approx P-Value for Clustering: 0.686Approx P-Value for Mixtures: 0.314

Number of runs up or down: 10Expected number of runs: 11.7Longest run up or down: 3Approx P-Value for Trends: 0.163Approx P-Value for Oscillation: 0.837

Run Chart of Aleatorio

18161412108642

20

15

10

5

0

Observation

Corr

ida

Number of runs about median: 2Expected number of runs: 10.0Longest run about median: 9Approx P-Value for Clustering: 0.000Approx P-Value for Mixtures: 1.000

Number of runs up or down: 1Expected number of runs: 11.7Longest run up or down: 17Approx P-Value for Trends: 0.000Approx P-Value for Oscillation: 1.000

Run Chart of Corrida



Transformación de RespuestasComo se ha mencionado, y practicado,

el comportamiento de los residuos debe ser normal, con media cero, y varianza desconocida, pero calculable. Algunas veces esta situación no se presenta, y hace que el modelo no sea válido.

Las causas pueden ser múltiples:

– Sistema de medición inadecuado– Datos mal digitados– Efectos por redondeo– Otro tipo de discrepancias.

Muchas de estas discrepancias pueden ser resueltas gracias a la aplicación de transformaciones matemáticas de los datos originales

Las transformaciones más comunes en el caso de ANOVA son:

– Logarítmica– Datos discretos– Datos Fraccionados– Datos en Escalafón

Los detalles acerca del proceso de transformación están fuera del alcance de este documento.



ANOVA Dos Vías y GLMEn MINITAB 15 la manera de

resolver problema de ANOVA de Dos Vías, puede lograrse por medio de diferentes menús:

Stat► ANOVA ► Balanced ANOVA

Stat ► ANOVA ► General Linear Model

Estos dos menús de MINITAB 15 ofrecen más posibilidades analíticas.

Con su facilitador, proceda a utilizar los datos que se muestran al lado, para resolver un ejercicio que emplee las opciones señaladas antes.



TallerTratamiento

Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1213,5 1173 1143 1209 1174,5 1117,5 1255,5 86,6 83,1

2 1174,5 1227 1180,5 1264,5 1246,5 1185 1204,5 1254 1168,5

3 1167 1252,5 1192,5 1207,5 1183,5 1195,5 1212 1284 1168,5

4 1149 1263 1129,5 1158 1251 1246,5 1254 1258,5 1198,5

5 1233 1135,5 1233 1239 1215 1146 1251 1290 1255,5

6 1117,5 1221 1180,5 1186,5 1167 1203 1179 1155 1207,5

7 1207,5 1170 1113 1255,5 1161 1213,5 1242 1200 1221

8 1155 1228,5 1261,5 1228,5 1176 1218 1104 1263 1122

9 1237,5 1248 1255,5 1168,5 1171,5 1260 1240,5 1150,5 1291,5

Considere un proceso en el cual la temperatura puede colocarse en diferentes niveles. Se han escogido 9 niveles distintos. Para niveles se han tomado 9 observaciones. Construya un gráfico de cajas-y-bigotes para ilustrar el comportamiento de este fenómeno. Luego confecciones una ANOVA de una-vía. Puede descargar los datos desde www.sixsigmacostarica.com



Aclaraciones

Este documento utiliza material contenido en MINITAB 15. Todos esos ejemplos son propiedad de MINITAB Inc.

A la fecha de edición e impresión de este documento, MINITAB 15 no cuenta con versión en español, por lo que los resultados se dejan en este texto tal y como se obtienen de la versión en inglés del software.

Esta obra pretende funcionar como un complemento didáctico para todos aquellos usuarios de MINITAB 15, que son hispano-parlantes, y como una guía para los representantes de MINITAB en América Latina.

Puede entonces catalogarse este documento como una guía ampliada a la ayuda (HELP) de MINITAB 15, para usuarios que recientemente se introducen al uso del software, pero no debe confundirse con una obra que compite con textos de MINITAB Inc.

No es el propósito de este documento ser un libro en estadística, mejoramiento continuo o similar, ni tampoco pretende este material reemplazar el entrenamiento certificado de MINITAB Inc., el cual se recomienda grandemente.



Simbología en este documento

En este documento se hará uso de diferente nomenclatura, cuando se acceda a MINITAB 15

Por ejemplo:

FILE ►Print Setup en donde el símbolo “►” significa, que el usuario debe acceder a un submenú del menú FILE, según el ejemplo

MTB> en donde el símbolo “>” es parte de la nomenclatura de comandos de MINITAB

Ctrl + S, que implica que el símbolo “+” muestra la unión de secuencia de teclas, en este caso la tecla “Ctrl” seguida de la tecla “S”



Bibliografía1. Douglas Montgomery, Introduction to Quality Control. Wiley and Sons,

20042. Forrest W. Breyfogle III, John Wiley and Sons, 20033. Omar Mora. Quality Engineer Manual of Formulas, 20024. MINITAB Inc. MINITAB 15 Stat Guide, 20075. Traducción de Wikipedia, 2005 http://en.wikipedia.org/wiki/ANOVA6. MINITAB Stat Guide. MINITAB Release 14 7. STATSoft Electronic Textbook www.statsoft.com, 2005

8. Montgomery D.C.1991.Design and Analysis of Experiments. Tercera Edición, New York, WIley & Sons.

9. Design of Experiments with MINITAB. Paul Mathews, ASQ Press,2004



Todas las figuras y datos específicamente referidos, así como el logo y el nombre de MINITAB 15, pertenecen a MINITAB Inc.

Windows, Microsoft, Office, Microsoft Excel son marcas registradas de Microsoft Inc.

Blackberry&Cross, la marca y el logo, son propiedad de Blackberry&Cross S.A.

Este documento fue preparado por Blackberry&Cross para uso en Centroamérica y demás países de Latinoamérica

Este documento está en constante revisión y mejoramiento, y el usuario acepta usarlo “como es”.

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