diseno y comportamiento concreto ii

Concreto Estructural Comportamiento y Diseo

l ng. Guiller1110 Santa11a, Ph.D. Mie111bro del Cont 318 del ACI Escuela de Ingeniera Civil Universidad de Costa Rica

II Semestre 2011

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL IC-801 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

Texto preparado 11ican1ente con10 respaldo al curso IC-801 Estrucluras de Concrclo i1nparlido en la Escuela de Ingeniera Civil de la Universidad de Costa Rica por el Prof. Guillermo San1ana. Se utilizaron co1no base para la preparacin de este docu1ncnto el reglamento ACI JJBS-08: Regla111e11to para Concreto E'strnctural y Co111e11tario, el tex to Rei11forced Concrete: 1Weclia11ics a11d Desig11 de los prof'esores J.K. Wight y James G. MacGregor y el C6digo Sls111ico de Costa Rica 2010. No se reco1nicnda e l uso de este texto para ninguna otra finalidad nls que para la aqu establecida.

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INDICE

l. INTRODUCCIN .............................................. 1 1.1 E'itructuras de Co11crcto Reforza.do ....................................................... .. ..... ..... ...... ......................... I 1.2 Mecnica del Co11crcto R eforzado - ................................ 1 1.3 :El.Clllent()S de co11creto reforza.do ................ .......... ........................................... .. ...... .. ........................ 2 1.4 Factores incidentes en la escogencia del concreto para una estructura ....... .................................. 3

2. PROCESO DE DISEO ................................... 11 2.1 Objetivos del Di'lCo ............ ......... ....................................................... ... .... .... ................................... 11 2.2 Proceso de Di'lCo ................ ............................................................... .... .... ...... .. ............................... 11 2.3 E.stados Lnite y el Diseo del Concreto Refor:zado ..................................... .... .............................. 12

2.3.1 Estados Ln1ite ................................................................................................ ... ........................... 12 2.3.2 Diseo ~)ara Estados Lmite ............................................................................ .............................. 13 2.3.3 Relaci611 Bsica de Diseo .................................................................. .. ....................................... 14

2.4 Seguridad Estructl1ral ... ............................ ........................................................................................ 15 2.5 Clculo i>robabilstico de los factores de seguridad ........................................................................ 16 2.6 ProcediJnientos de diseo especificados por la 11or1na A CI ............................. ..... ......................... 18

2.6. l Disefio por Resiste11cia .. ................ ............................................. ....... .... ...... ... ..... ... ...................... 18 2.6.2 Dise1lo por Esft1erzos de Trabajo ............................................................ ..... ... ..... .......... ................ 18 2.6.3 Diseo Plstico ........ ........ ......... .... .................................................................. ..... ..... ....... ............. 18

2.7 Factores y combiJ1aciones de carga en el ACI 318S-08 ..................................... ... ..... ..................... 20 2.7. I Tern1in0Joga y Notacin .... ........................................................... ........................... .................... 21 2.7.2 Factores de carga y combinaciones de carga en las secciones 9.2. I a 9.2.5 de la norma ACI ...... 21 2.7.3 Factores de reduccin de resistencia,?, seccin 9.3 nom1a ACI. ... ................... ........................... 25

2.8 Cargas y solicitaciones .............. ........................................................ ...... .... .... .... ............................... 25 2.8. 1 Solicitaciones Directas e Indirectas ............................................. .. .... .... .... ................................... 25 2.8.2 Clasificacin de cargas ...................................................................... .... .... ......... .......................... 26 2.8.3 Especificaciones de cargas ................................................................. ... ...... .. ..... .......................... 27 2.8.4 Cargas muertas ...................................................................................... ..... .... ..... .. ....................... 27 2.8.5 Cargas vivas debidas a uso y ocupacin ................................................. ....... ........... .................... 29 2.8.6 Clasificacin de ed ificaciones para cargas de viento. nieve y sismo ................... ......................... 31 2.8.7 Cargas de techo, L,, y cargas de lluvia, R ..................................................................................... 31 2.8.8 Cargas de co11suucci611 ............................................................. ... ........ .. ......... .............................. 31 2.8.9 Cargas de vie11to .................................................................................. .. ...... ................................. 32 2.8. 10 Cargas autoeqLLi_librantes .............................................................................. ............................... 34-

3 . .MATERIALES ............................................... 47 3.1 O> ocre to ................................... ............................................................................ ..... ......................... 4 7 3.2 Resistencia del co11crcto ...... ........................................................................... ....... ............................. 47

3.2. 1 Mecanisn10 de agrietamiento y falla del concreto sometido a conipresin ..... .............................. 47 3.2.2 Resistencia del Concreto a la Compresin ..................................................... .............................. 50 3.2.3 Resistencia del Concreto a la Traccin ..................................... ...... ... .... .... .... ............................... 52 3.2.4 Resistencia bajo cargas biaxiales y criaxiales .............................................. .... .... ......................... 55

3.3 Propiedades mecnica5 del concreto .......................................................... ... ...... ..... ........................ 57 3.3. 1 Cwva esfuerzo-deformacin para concreto nornllll en con1presin .......... .... ............................... 57 3.3.2 Curva de esfuerzo-deforn1acin para concreto nornial en traccin ............... ............................... 60

3.4 Refueno .................................................................................................... .. ....................................... 60 3.4. I Barras corrugadas laminadas en caliente ............................................. .. ....................................... 61

4. FLEXIN ...................................................... 83 4.1 Introducci11 ................... .. ...... .. .... ............................................................. .. .... ..... .............................. 83

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4. 1. 1 Regiones B y Regiones D ............................................................................................................. 83 4.1.2 A11.li sis versus Diseo .................................................................................................................. 83 4.1.3 Resi slencia requerida y resistencia de diseo ...................................... ......................................... 84 4.1.4 Mornentos posiLivos y 1nonientos negativos ................................................................................. 84 4.1.5 Sn1bolos y abreviacior1es .................................................................................. ..... ...................... 84

4.2 Teora de Flcxi11 ... ........................ ..................................................................... ............................... 85 4.2. l Teora de flexin para concreto reforzado ............................................... ..................................... 85

4.3 Anlisis de vigas de co11creto reforzado ............................................................................................ 88 4.3. l Anlisis de la capacidad a flexin de una viga de seccin transversal general .... ......................... 88 4.3.2 Fallas controladas por Traccin y Compresin y Falla Balanceada ............................................. 89 4.3.3 Anlisis de vigas rectangulares con refuerzo de traccin nicaniente ......... ... .............................. 91

4 .4 Diseo de vigas r ectangularcs ......................................................................................................... I 00 4.4. l Factores generales que afectan el djseo de vigas rectangulares ................. ............................... 100 4.4.2 Diseo de Vigas Rectangu lares con Refuerzo de Traccin ........................ ..... ........................... 106

4 .5 Vigas T ................. ................... ............................................................. ..... ... ..................................... 117 4.5.1 Inuoduccin .................................................................................... ... .... .... .... ............................. 117 4.5.2 Aplicaciones prcticas de vigas T .................................................................. ............................. 1 17 4.5.3 Ancho efectivo del ala y refuerzo transversal ............................................................................. 117 4.5.4 Anlisis de Vigas T .............................................................................. .... .. ..... ............................ 118 4.5.5 Diseo de vigas T ................ ....................................................................................................... 124

4.6 Vigas 0011 acero de co1npresi1.1 ... .................................................................................................... 127 4.6.1 Efecto del refuerzo de con1presi6n sobre la resistencia y e l con1portan1i ento ............................ 127 4.6.2 Razo11es para llsai refuerzo a con1presin ................................................... ....... ..... .................... 127 4.6.3 Anlisis de vigas con refuerzo de traccin y conipresin ........................... ................................ 128 4.6.5 Aros para refuerzo de cor11presin ................................................................. ....... ...................... 131

5. CORTANTE EN VIGAS ................................. 163 5 .1 Introduccin y teora bsica . .......................................................................................................... 163

5.1. 1 Esfuerzos en vigas elsticas no-agrietadas ...................................... .. ...... ................................... 163 5.1.2 Esfuerzo cortante promedio entre grietas ...................................... .. ... ..... ... ... ............................. 165 5. 1.3 Accin de viga y accin de arco ................................................................................................. 165 5 . 1.4 Refuerzo a cortante .............................................................................. ................ ... .. .................. 166

5 . .2 Comportamiento de vigas durante la falla en cortante ................................................................ 166 5.2. 1 Con1po1tan1iento de vigas sin refuerzo en el alnia ...................................................................... 167 5.2.2 Regio11es B yD ........................................................................................................................... 168 5.2.3 Ag-rieLan1je11to i11cli11ado ............................................................................................................. 168 5.2.4 Fuerzas internas en una viga sin estribos .................................. .................................................. 169 5.2.5 Factores que afectan la resistencia al cortante en vigas sin refuerzo en alma ............................. 170 5.2.6 Con1portan1iento de vigas con refuerzo en el alnia ................................ ..................................... 171

5.3 Anlisis y diseo de vigas de R/C ante cortante (A en ..................................... .. .. ........ ................ 172 5.3.1 Estados lnte de falla de cortante: Vigas sin refuerzo en el aln1a .. .... ..... .... ... ............................ l 72 5.3.2 Estados lnlite de falla de cortante: Vigas con refuerzo en el aln1a ............ ................................ 173 5.3.3 Refuerzo nr1i n10 en el aln1a ..... ........................................................... .. ......... ..... ....................... '175 5.3.4 Factor de reduccin de resistencia a.I cortante ............................ ................ ................................ 175 5.3.5 Ubicacin del cortante mxin10 para el diseo de vigas ............................................................. 175 5.3.6 Cortante al centro de vigas cargadas unifonnen1ente .............. .... .. .... ......... ... ............................. 176

5 .4 Cortante en vigas y columnas sujetas a carga axial ...................... ..... ... ..... ... ... ............................. 179 5 .4. 1 Traccin axial ...................... ...................................................... .... .... .... .... .... ............................. 180 5.4.2 Con1presin axial ...... ..................................................................... ...... .. .... ................................. 180

6. TORSIN .................................................... 199 6.1 I"ntroducci11 .......................... ..... ... ................................................................................ ... ................ 199

6.1. 1 Esfuerzos cortantes debidos a torsin en elen1entos no-agrietados ............................................ 199 6.1.2 Esfuerzos principales debidos a torsin ...................................................................................... 202

6.2 Comporta1niento de clc1nentos de concreto reforzado sujetos a torsin ...... .. ..... ........................ 203

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6.2. 1 Torsin pura .................................................................................... ... .... .... .... ............................. 203 6.2.2 CortanLe, Mon1ento y Torsin con1binados ..................................... .... ....................................... 204

6.3 Mtodos de diseo 1>ara torsin ................ .............................. ....... ..... ... .... ........ ............................. 204-6.3. 1 Mtodo de diseiio por fle~i611 sesgada-ACI 1971 a 1989 .......................................................... 204

6.4 Mtodo de cercha es1>acial plstica/tubo de pared delgada ......................................................... 206 6.4.1 Ln1ite inferior para la consideracin de la torsin ..................................................................... 206 6.4.2 A.rea. de estribos J'ara torsin ................................................................. .... .... ...... ....................... 207 6.4.3 Area de refuerzo lo11gitudinal ... ....................................................................... .. ... ....................... 208 6.4.4 ' ' a101 de 0 ....................................................................................... ..... ......................... .............. 211 6.4.5 Mon1ento y torsin combinados ....................................................... .. .... .... .. .. ...... ....................... 211

6.5 Diseo para flexin, cortante y torsin-ACI 318-08 ........................ ...... .. .... ................................. 212 6.5. 1 Seleccin de seccin transversal para torsin ..................................... ........................................ 212 6.5.2 Ubicacin de seccin crtica para torsin .................................................... ............................... 212 6.5.3 Definicin de Acp y pcp ............................................................................................................. 213 6.5.4 Definicin deAoh ...................................................................... ..... ..... .. .... ................................. 213 6.5.5 Refuerzo para la torsin: Cantidades y detalles .................................. ........... ............................. 213

6.6 Aplicacin del 1ntodo de diseo para tors in- ACI 3 18-08 .................. .... ................................... 216 6.6.1 Repaso de los pasos en el n1todo de diseo .............................................................................. 2 16

7. DESARROLLO, ANCLAJE Y EMPALME DEL REFUERZO DE ACERO .................................... 235

7. l Introducci11 .. ............. .............................................................................. ... .... ..... ............................ 235 7.1. 1 Esfuerzo proniedio de adherencia en un viga ...................................... ........ .. .. ........................... 235 7 .1.2 Esfuerzos de adherencia en prisn1a cargado axialnlCnte ............................................................. 236 7. 1.3 Esfuerzo de adherencia real en un viga ...................................................................................... 236 7 .1.4 Prueba de extraccin para esfuerzos de adherencia ............................ ........................................ 237

7.2 Mecanismo de transferencia por adherencia .............................. .............. ..... .... .. ......................... 237 7 .3 Longitud de desarrollo ............................................................ ......... .. .... .... .... .... ............................. 238

7 .3. 1 Longitud de desarrollo para traccin .......................................................................................... 238 7.3.2 Longitudes de desarrollo para con1presin .......................................... .. .... ................................. 240 7 .3.3 Longitudes de desarrollo para barras aglonteradas .............................. .... .... .. ............................. 240

7 .4 Anclajes mediante ganchos ...................................................................... .. ..................................... 241 7.4. 1 Con1portan1ienLo de ganchos de anclaje .............................................. .... ................................... 241 7 .4.2 Diseiio de ga11cl1os de a11claje ..................................................................................................... 241

7.5 Diseo para a11cla,jcs .................................................................... ............................. ............ ........... 242 7.6 Corte de barras y longitud de desarrollo de barras en e le1nentos a llexin ........ ....................... 248

7 .6. 1 Por qu se cortan las barras ........................................................... ............................................. 248 7.6.2 Ubicacin de puntos de corte por flexin ............................................................... .................... 248 7 .6.3 Desarrollo de refuerzo (barras) en puntos de fuerza mxin1a en Ja barra ... ...... ........ .................. 250 7 .6.4 Desarrollo de barras en regiones de mo1nento positivo .............................................................. 251 7.6.5 Efecto de discontinuidades en puntos de cone de barras ........................................ .. .................. 253 7 .6.6 Recuisicos prua i11tegridad estrucruraJ ......................................................................................... 254

7. 7 Clculo de puntos de corte de barras .................................................. .... .... .. ................................. 255 7.7. I Procedin1iento general ................................................................................. .. ............................. 255 7.7.2 Clculo grfico de puntos de corte por flexin ...................................... ...... .... ........................... 262

7 .8 EmpaJmcs ....................................................................................... ...... ... .... .... .... ............................. 263 7 .8. 1 Traslapos de traccin ..................................................................... .... .... .... ..... ..... ....................... 263 7.8.2 Traslapos de con1presin ................................................................... .... .... ................. ................ 264 7.8.3 En1paln1es soldados, n1ecnicos y extremo-a-extren10 ........................ .... .... .. ............................. 264

8. CONDICIONES DE SERVICIO ...................... 287 8. l lntroducci11 ...................... ............................................................................................................... 287 8.2 Anlisis elstico de secciones de viga ............................................................................................. 287

8.2.1 Clculo de El ........................................................................... .... .. ...... .. .... .... ..................... .... .... 287

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8.2.2 Esfuerzos debidos a cargas de servicio en viga agrietada ........................................................... 290 8.2.3 Seccin transformada corregida por edad ................................................................................... 291

8.3 Agrietamic11to ........................................................................................... .. .......... ........................... 291 8.3. 1 Ti1X>s de Grietas ...................................................................... ............. .. .... ................................. 291 8.3.2 Nonnati va para el Control de Agrietan1iento .......................................... ................................... 293 8.3.3 Refuerzo en las caras laterales del alnia .................................................. ........... .... .................... 293

8.4 l>4.!Dexio11es c11 Vigas de Concreto .......................................................... ... .... .... ...... ............ ........... 294 8.4. l Con1portan1iento de carga-detlexin de una viga de concreto ......................... .. ... .... .................. 294 8.4.2 Rigidez a la Flexin y Momento de Inercia .............................. ........... .... ... ................................ 294 8.4.3 Detlexiones instantneas y adicionales ante carga sostenida ........... ............ ... ............................ 296

8.5 ACI 318-08 Artculo 8.3 Mtodos de anlisis ......................................... .. ...... .. ............................. 303

9. COLUMNAS ................................................ 315 9 .1 Introduccin .............................. ..... ..................................................... ........ .... ................................. 315 9.2 Columnas con aros y columnas helicoidales ....................................... .. ...... ................................... 315

9.2. 1 Con1po1tamiento de colun1nas con aros y colun1nas helicoidales ............................................... 316 9.2.2 Capacidad de colun1nas cargadas axialmence ..................................... ............ ............................ 317

9.3 Diagrama'i de i11tcr acci11 ........................................................................ .. ..... ... ............................. 317 9.4 Diagra1na~ de Interaccin para Columna


10. 1 1.3 Patrones de carga para esfuerzo cortanie n1xin10 debido a transferencia de cortante y n1on1e11Lo co111bi 11ados .......................................................................................................................... 392 10. 11 .4 C lcu lo del 1nomen10 alrededor del centroide del pern1etro de cortante ............................... 392 10. 11 .S Consideracin de uansferencia de n10niento en an1bas direcciones principales ..................... 393 10. 11 .6 Anlisis alterno del mxin10 esfuerzo de cortante debido a transferencia de cortante y mon1ento con1bi nados en conexiones exteriores ................................................ .... .. ........................... 394 10. 1 1. 7 Refuerzo de cortante para conexiones losa-colun111a que transfieren cortante y n10niento .... 394

10-12 Requisitos de Detalle y de Refuerzo ............................................... ...... ............. ... ....................... 399 l 0.12. 1 Abacos . ....... ................ .... ...................................................... ...... ... .. ........ .. ................... ..... ...... 399 1O.12.2 Capiteles de Columnas ............................................................... .... .... .... .. .. .... ......................... 400 10. 12.3 Descolgado para cortante ......................................................... ...... .... .... .... ............................. 401 10. 12.4 Refuerzo .......................... ............................................................ .. .... ..... ... .... ......................... 401

10-13 Diseo d e Losas sin Vigas .............................................................. .... .... .... .... .... ......................... 404 10-14 Diseo d e Losas con Vigas en Dos Direcciones .............................. .. .... ..................................... 404 10-15 Cargas de Construccin en Losas ................................................... .... .... ................................... 412 10-16 Defle.xiones en Sis temas de Losas en Dos Dirccciones ............................... .. ............................. 412 10-17 Uso de Postcn.-;ionamicnto ........................................ ..................... ........................... ...... ...... ...... 413

11 LOSAS EN DOS DIRECCIONES: ANLISIS ELSTICO Y DE LNEA DE FLUENCIA ............. 463 12 DISEO SISMO RESISTENTE ..................... 479

12-.1 I.ntr


12.11 M uros Estructurales .................................................................... ........ .... ........ ... .. ....................... 509 12.12 Elementos de P


10. LOSAS EN DOS DIRECCIONES: COMPORTAMIENTO, ANLISIS Y DISEO

10.1 Introduccin Los sistemas est1ucturales consistentes de vigas continuas involucran el uso de losas en una direccin que acarrean la carga hacia las vigas. Si se incorporan las vigas dentro del peralte de la losa 1nis1na, se obtiene como resultado un siste1na co1no el que se muestra en la figura 10-1. En ese caso, la losa distribuye cargas en dos direcciones. La carga en A puede pensarse co1no dist1ibui da hacia By C mediante una banda de losa, y de B hacia D y E y as sucesiva1nente por 1nedio de otras bandas de losa. Co1no la losa debe transmi tir cargas en dos direcciones, se le denomina losa e11 dos direcciolles .

Las losas en dos direcciones representan una forma estructural ni ca del concreto reforzado entre los principales 1nateriales estructurales. Es eficiente, econmica y arnpliainente usada en sistemas estructurales. En la prctica las losas en dos direcciones se presentan en varias fo11nas. Paia cargas relati vainente bajas, co1no las de los apartamentos y edificios siinilares, se usan placas pla11as. Co1no se puede ver en la figura 10-2a, esta placa es siinple1nente una losa de espesor unifo11ne apoyada sobre columnas. En un edificio de apruta1nentos la parte superior de la losa sera alfo1nbrada y la parte inferior tend1a un acabado de cielo raso del apartamento inferior. Las placas planas son ms econ61nicas pru-a luces de 4.5 a 6 m.

Para luces 1ns grandes, el espesor requerido para transferir el cortante de las caigas verticales hacia las colu1nnas excede al requerido paia flex in. Co1no resultado, el concreto en la zona central del panel no es usado eficiente1nente. Para ali vianar la losa, para reduci r los 1no1nentos y para ahorrar material, la losa en la prute cent1-al puede sustituirse con nervaduras perpendiculares como las que se 1nuestran en la figura 10-2b. Se debe notar que cerca de las columnas, se retiene la profundidad co1npleta de la losa para transferir el cortante de las cargas de la losa hacia las colu1nnas. A este tipo de losa se les deno1nina losa nervada (o sistema de viguetas e1i dos direcciones) y se le da forma 1nediante encofrado de fibra de vidrio o domos de 1netal. Las losas nervadas se usan para luces de 7.5 a 12 1n.

Para cargas altas en usos industriales, se puede usar el siste1na de losa plana mostrado en la figura 10-2c. En este caso, la tt-ansferencia de cortante hacia la colu1nna se alcanza engrosando la losa alrededor de la columna con bacos o ensanchando la columna mediante capiteles. El baco no1malmente se extiende un sexto de la luz en ambas direcciones desde la colu1nna, dando resistencia y rigidez adicionales en la regin de la columna sin necesidad de au1nentar el volumen de concreto en el centto de la luz. Las

' losas planas se usan para cargas en exceso de 500 kg/ln- y para luces de 6 a 9 metros. Capiteles co1no los 1nostrados en la figura 10-2c son 1nenos co1nunes hoy en da que lo que fueron en la pri 1nera 1nitad del siglo pasado, debido al costo del encofrado. El sistema

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de losas puede incorporar vigas entre algu nas o entre todas las colu1nnas. Si los paneles resullantes son aproxi1nada1nente cuadrados, el sislema se deno1nina losa con vigas e11 dos direccio11es (Fig. 10-2d).

10.2 Antedecentes histricos de las losas en dos direcciones Uno de los captu los 1ns interesantes en e] desarrollo de las estructuras de concreto reforzado concierne a las losas en dos direcciones. Debido a que la mecnica de la accin de losa no se entenda bien cuando se construyeron las p1i1neras losas, surgieron sistemas patentados a Ja par de 1ntodos se1niempricos de di seo. Los trabajos publicados en los Estados Unidos sobre losas generaron copiosas y coloridas discusiones, con cada dueo de patente intentando probar que sus teoras estaban correctas y todas las dems equivocadas.

No est claro quienes construyeron las primeras losas planas. En su excelente resumen de la histori a de las losas, Sozen y Siess sostienen que la pri 1nera verdadera losa plana estadounidense fue construida por C.A.P. Turner en 1906 en Minneapolis. En ese mismo ao, Maillart const:Juy una losa plana en Suiza. Las Josas de Tu111er eran conocidas como Josas hongo porque las columnas se ensanchaban para sostener la losa, Ja cual tena acero colocado en bandas en cuatro direcciones (i .e., dos direcciones 01togonaJes y las diagonales). Estas bandas se doblaban hacia abajo desde la parte superior de la losa encima de las colu1nnas hacia Ja parte inferior en el cent10 de la losa. Prute del acero era doblado hacia abajo dent10 de Ja columna, y se colocaban barras dobladas en crculo alrededor de las colu1nnas (Fig. 10-3).

Los prilneros edificios con losas se construyeron bajo el 1iesgo del diseador, quien frecuente1nente deba aportru una garanta por vrui os aos y usuahnente deba realizar pruebas de carga en las losas antes de que el cliente las aceptara. Tu111er bas sus diseos en los anli sis realizados por H.T. Eddy, funda1nentados en un anli sis incompleto de la teora de placas. En esta poca, el uso de la analoga de viga transversal en diseo condujo a la equivocada creencia de que nicamente prute de la carga deba ser acarreada en cada direccin, de 1nanera que la esttica por alguna razn no aplicaba en la construccin de Josas.

En 1914, J. R. Nichols us la esttica para calcular el 1no1nento total en un panel de Josa. Este anlisis es Ja base del diseo de losas en la norma ACI 318 vigente y se presentar ms adelante. La priJnera frase de su trabajo estableca "Aun cuando la esttica no es suficiente para detenninar Jos esfuerzos en Josas planas de concreto reforzado, si impone ciertos requisitos 1n ninos en esos esfuerzos." Eddy atac esta proposicin diciendo que "La suposicin e1Tnea funda1nental de este trabajo apruece en la pri1nera frase ... " Tumer pensaba que el trabajo "involucra la combinacin nica de los 1ns diversos absurdos imaginab les desde el punto de vista lgico, prctico y teri co." A. W. Buel afinn que no haba podido encont:Jar un sola verdad en el trabajo ni siquiera una explicacin de hechos." Mas au n, el sinti que era "contradicho por los hechos." El anlisis de Nichols sugera que los di seos de losas entonces vigentes subesti1naban los 1no1nentos por entre



un 30 y un 50 por ciento. El enojo de las discusiones parece ser inversa1nente proporcional a la cantidad de sub-diseo de su sistema de losas favo1ito.

Aun cuando el anlisis de Nichols es correcto y fue aceptado co1no tal a 1nediados de los aos 20, no fue sino hasta 1971 en que la norma ACI 318 lo reconoci en su totalidad y estableci que las losas planas fueran diseadas para el 100 porciento de los momentos predichos por Ja esttica.

10.3 Comportamiento de losa cargada a falla en flexin

Hay cuatro o 1ns etapas en el comportruniento de una losa en dos direcciones cargada hasta la fall a en flex in:

1. Antes del agrieta1niento, la losa se compo1ta co1no una placa elstica. Para cargas de coito plazo, las deformaciones, los esfuerzos y las deflex iones pueden calcularse con anlisis elstico.

2. Despus del agrieta1niento pero antes de la fluencia del refuerzo, la losa deja de tener rigidez unifonne, ya que las regiones agrietadas tienen una rigidez a la flex in, El , 1nenor que las regiones no agrietadas; ade1ns, la losa deja de ser isotrpica ya que los patrones de grietas pueden ser diferentes en las dos direcciones. Aun cuando estas condiciones violan las suposiciones de la teora elstica, las p1uebas experimentales confirman que la teo1ia predice los momentos adecuada1nente. Las losas de edificios nonnales generahnente presentan agrietruniento parcial ante cargas de servicio.

3. Eventuahnente se inicia la fluencia del refuerzo en una o 1ns regiones de gran 1no1nento y se esparce a travs de la losa confor1ne los 1no1nentos se redistribuyen de reas en fluencia hacia zonas todava elsticas. El avance de la fluencia a travs de una losa e1npotrada en cuatro lados se presenta en la fi gura 10-4. En este caso, la fluencia ini cial ocu rre en respuesta a 1no1nento negativo que forma rtu las plsticas localizadas en el centro de los lados largos (Fig. 10-4b). Estas rtulas se expanden a lo largo del lado mayor, y eventuahnente, aparecen nuevas rtulas en los extre1nos de la losa (Fig. 10-4c). Mientras tanto, los 1no1nentos positivos en la franja central en la direccin corta se incre1nentan, debido a la redistribucin de mo1nentos causada por las rtulas plsticas en los extre1nos de esta franja. Finabnente el refuerzo fluye debido al momento positivo en esta franja como se muestra en la figwa 10-4c. Con aumento adicional de la carga, las regiones de fluencia, deno1ninadas l1ieas de flu encia, dividen la losa en se1ies de placas elsticas triangulrues y trapezoidales como se inuestra en la figwa 10-4d. Las cargas correspondientes a este estado de co1nporta1niento pueden estimarse mediante el uso de anlisis de lnea deflue11cia.

4. Aun cuando las lneas de fluencia dividen la placa para fonnar un mecanismo plstico, las rtulas se entraban conforme au1nenta la deflexin y la losa forma un arco de co1npresin 1nuy somero, tal como se 1nuestra en la fi gura 10-5. Esto supone que la est1uctura que rodea la losa es lo sufici ente1nente rgida como para



proveer las reacciones al arco. Este estado de co1npo1ta1niento no se toma en cuenta en los 1ntodos de diseo vigentes.

Esta revisin de co1nporta1niento se presenta para sealar, pri1nero, que el anlisis elstico de Josas e1npieza a perder precisin confor1ne las cargas exceden las cargas de servicio, y segundo, que ocwre una gran redistribucin de 1no1nentos una vez que se inicia Ja fluencia. En este caso se ha considerado una Josa sobre 1nuros o vigas muy rgidas. En el caso de una losa soportada por columnas aisladas, co1no Ja que se muestra en la figura 10-2a, se observara un comportamiento si1nilar excepto que el primer agrietamiento ocur1i1a en Ja prute superior de la losa alrededor de Ja columna seguido de agrietamiento en la prute infe1ior de la losa a mitad de distancia entre las colu1nnas.

Las losas que fallan en flexin son extremadamente dctiles. Las losas, en particular las placas planas, pod1an ta1nbin presentar un modo de falla frgi 1 en cortante. El co1nportruniento y la resistencia en cortante de losas en dos direcciones sern discutidos en las secciones 10.7 y 10.8.

10.4 Anlisis de Momentos en losas en dos direcciones La figura 10-6 1nuestra un entrepiso hecho de tablones siinple1nente apoyados sobre vigas simplemente apoyadas. El entrepiso soporta una carga de q Mg/1n2. El 1no1nento por unidad de ancho en Jos tablones en la seccin A -A es

c. ( 2 m = 1 1 m-Mo/ m 8 o

El momento total en todo el ancho del entrepiso es

( 1 0~ 1 )

Esta es la ecuacin ya conocida para el momento mx i1no en un entrepiso si1nplemente apoyado de ru1cho C2 y de luz e I Los tablones aplican una carga uniforme de ql 1/2 en cada viga. El 1no1nento en la seccin B-B en una viga es

M = q 1 --1... 1n-Ma ( e ) c2

lb 2 8 o

El momento total en a1nbas vigas es

e; M 0 _0 =(ql 1)-g 1n-Mg ( 10-2)



Es importante notar que la carga completa fue transferida hacia Este y Oeste mediante los tablones, causando un 1no1nento equivalente a ivc; /8, donde ~v = qC2 Luego la carga co1npleta fue transferida hacia Norte y Sur por las vigas, causando un 1no1nento similar en las vigas. Lo 1nis1no sucede exactamente en la losa en dos direcciones 1nostrada en la figura 10-7. Los 1no1nentos totales requeridos a lo largo de las secciones A-A y B-B, respectiva mente, son

(10-1, 10-2)

De nuevo, Ja cruga co1npleta fue transferida hacia Este y Oeste, y luego la carga completa fue transfe1ida hacia No1te y Sur, esta vez por la losa en a1nbos casos. Esto, por supuesto, debe ser cierto sie1npre sin i1nportar si la estructura tiene losas en una direccin y vigas, losa en dos direcciones o cualquier otro sistema.

10.4.1 Anlisis de 1no1nentos en losas segn Nichols

El anlisis presentado en la derivacin de (10- 1) y (10-2) fue publicado en 1914 por Nichols. El anlisis original de Nichols fue presentado para una losa sobre columnas circulares, en vez de apoyos puntuales como se supuso en la derivacin de (10-1) y (10-2). Como las colu1nnas rectangulares son ms comunes hoy da, la de1ivacin que se presenta a continuacin considera ese caso. Se supone:

1. Panel rectangulru inte1ior tpico en una estructura grande y 2. que todos los paneles en la estructura estn so1netidos a la 1nis1na carga uniforme.

Estas dos suposiciones se hacen para garantizar que las lneas de 1no1nento mximo, y por lo tanto las lneas sobre las cuales los cortantes y los 1no1nentos torsionantes son nulos, sern las lneas de siinetra en la estructura. Esto per1nite aislru la porcin de la losa mostrada en achurado en la figura I0-8a. Esta porcin esta deli1n itada por las lneas de . ,

s1metna

Las reacciones a las cargas ve1ticales se transmiten hacia la losa 1nediante co1tante alrededor de Ja crua de las colu1nnas. Es necesario saber o suponer, Ja distribucin de este cortante para calcular Jos 1no1nentos en este panel de losa. La 1nxi1na transferencia de cortante ocurre en las esquinas de Ja columna, la mnima transferencia ocurre en el centro de las caras de Ja colu1nna. Por esta razn se supone que

3. las reacciones en la columna estn concentradas en las cuatro esquinas de cada colu1nna.

La figura 10-8b 1nuestra una vi sta en elevacin del ele1nento de losa con las fuerzas y momentos actuando en ella. La carga aplicada es (qC1C2 /2) en el centro del panel



achurado, rnenos la carga en el rea ocupada por la colurnna ( qc1c2 /2 ). Esta carga es equilibrada por la reaccin hacia arriba en las esqu inas de la colu1nna.

El 1noniellfO esttico total, M 0 , es la suma del momento negativo, M 1, y el rnomento positivo, M 2, caJculados su1nando momentos aJrededor de la lnea A-A:

y

M = qC2 o 8

La norma ACI ha si1nplificado ligeramente esta expresin reernplazando el termino en parntesis cuadrados con e;, donde Cn es la luz entre las caras de las columnas, dada por en= e, -e, y donde

( l 0-4)

Una co1nparacin entre (10-3) y (10-4) muestra que l! difiere leve1nente del trmino entre parntesis cuadrados en (10-3) y que Ja ecuacin para el momento esttico total puede reescribirse co1no (ACI 318 Ec. 13-4)

?

M = ql2C~ ( l 0-5) () 8 Para colu1nnas c irculares, Nichols supuso el cortante di stribuido un ifonnemente aJrededor de la cara de la colurnna, obteniendo

? 3 M = qC2 C J _ 4dc + ~ !!:s._

8 7rC1 3 C1 ( l 0-6)

donde de es el di1netro de la columna o el capitel de la colu1nna. Nichols simplifico esta expresin corno

(10-7)

El artculo ACI 318 13.6.2.2 expresa esto mediante la ecuacin (l 0-5), donde .Cn est basado en la luz entre colu1nnas cuadradas equivalentes con un rea igual que la columna circular. En este caso, c1 = dc ~;r/2 = 0.886dc .

Para columnas cuadradas, el rango usual de c1 / C1 es aproxi1nada1nente de 0.05 a O. 15. Para c1/ C1 = 0.05 y c1 = c2 , ( 10-3) y ( 10-5) dan M 0 = KqC2 C~ /8, donde K = 0.900 y 0.903, respectivarnente. Para c1/ C1 = 0. 15 los valores respectivos de K son 0.703 y 0.723.



As, ( 10-5) aproxi1na de 1nanera cercana los momentos en una losa apoyada en columnas cuadradas, tomndose 1ns conservadora conforme c1/C1 se incre1nenta.

Para columnas ciJculares, el rango usual de de/ C1 es aproxi1nada1nente de 0.05 a 0.20. Para de/ C1 = 0.05 , (10-6) da K = 0.936 , mientras (10-5), con f. 11 defin.ido usando c1 =de -J; / 2 , da K = 0.913. Para de/ l 1 = 0.2, Jos valores co1Tespondientes de K obtenidos con (10-6) y (10-5) son 0.748 y 0.677, respectiva1nente. De esta forma, para columnas circulares, ( 10-5) tiende a subestimar M 0 por cerca de un 1 O por ciento, comparado con (10-6).

Si se estudia el equlib1io del elemento mostrado en la figura 10-8c, se puede encontrar una ecuacin para M" s1nilru, pero con [1 y ( 1 y c1 y c2 interca1nbiados. Esto indica una vez ms que la carga total debe satisfacer equilibrio de 1no1nentos en ambas direcciones el y .c2.

10.5 Distribucin de momentos en losas

10.5.1 Relacin entre ctrrvaturas y momentos en losas

Los principios del anlisis elstico de losas en dos direcciones se presentan brevemente en la Seccion 11.1. La ecuacin bsica para momentos es la ecuacin (11-6). Frecuente1nente, en el estudio de placas de concreto, el coeficiente de Poisson, v, se toma como nulo. En ese caso, ( 11-6) se reduce a

= _ Er3 (2z)

mx ' 12 ax-

"' = _ Er3 ( 2~)

y 12 0)1" ( 10-8)

m = _ Et3

( o2z )

X 12 OXOy

En estas ecuaciones, a2z/ ax2 representa la curvatura en una franja de losa en la direccin X, y a2z/ax2 representa la cwvatura en una franja de losa en la direccin y donde la curvatura de una franja de losa es

] E ----

r z



donde res el radio de curvatura (distancia desde el eje centroidal de la losa hasta el centro de la curva fonnada por la losa deflectada), 1/r es la curvatura, z es la distancia desde el eje centroidal hasta la fibra en donde ocurre la defonnacin unitaria E. En un miembro elstico a flexin, la curvatura es

l M -=--

r El

Esto muestra la relacin directa entre momento y cun1atura. De esta fo1ma, si se visualiza la losa defor1nada, se puede estimar cualitativamente la distiibucin de momentos.

La figura 10-9a 1nuest1a una losa rectangular sobre vigas rgidas en todos los apoyos. En ella se rnuestran una franja longitudinal y dos transversales. Las deforrnadas de estas franjas y su co1Tespondiente diagrarna de momento se 1nuestran en las figuras 10-9b a d. Cuando la defonnada es cncava hacia abajo, el rnomento causa co1npresin abaj~sto es, el momento es negativo. Esto tambin se puede colegir de ( 10-8). Corno z fue tomado como positivo hacia abajo, una curvatura positiva o2 z/ ox2 co1Tesponde a una curva que es cncava hacia abajo. De la ecuacin (10-8), una curvatura positiva corresponde a un momento negativo. La 1nagn itud del momento es proporcional a la curvatura.

La deflexin 1ns grande, 6 2 , ocurre en el centro del panel. Por Jo tanto, las curvaturas (y por ende Jos 1no1nentos en la franja B) son mayores que Jos de la franja A. La parte central de la franja Ces esencialmente plana, indicando que Ja 1nayor pru1e de la carga en esa regin es trans1nitida por accin transversal en una direccin en el sentido corto de la Josa.

La existencia del 1no1nento torsionante, rn."f)., en una losa puede i lusaaise por medio de la analoga de la franja transversal. La figura 10-1 O muestra una seccin transversal de la franja B de la losa de la fi gura 10-9. Aqu, la losa es representada por rnedio de una serie de vigas transversales oii entadas en direccin paralela a la fianja C, la cual tambin se muestra en la fi gwa 10-9. Las franjas de losa perpendiculares a la seccin deben distorsionruse corno se rnuestra en la figura 13-1 O, debido a los 1nornentos torsionantes 1n."f) .

10.5.2 Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rgidas.

La distribucin de 1no1nentos en una serie de losas cuadradas y rectangulares se puede representar 1nediante 1ntodos grficos. La distribucin de momentos negativos, MA, y de momentos positivos, M 8 , a lo lrugo de lneas transversales a la losa se indican corno se muestra en la figwa 10-13a y b. Estas distribuciones pueden dibujarse como lneas slidas y reas so1nbreadas, o como una serie de escalones, co1no se indican mediante lneas a trazos para MA. La altura de la curva en cualquier punto indica la rnagnitud del rnomento en ese punto. Ocasionalmente, la distribucin del 1no1nento flexionante en la franja A-B-C a travs de la losa ser graficada como se rnuestra en las figuras 10- 11 c o L0-9.



Los momentos se expresan en trminos de Cqb2 , donde bes la di1nensin corta del panel. El valor de C sera 0. 125 en una losa en una direccin, cuadrada, sim plemente apoyada. Las unidades sern en Mg-m/m. En todos los casos, los diagra1nas de momentos corresponden a losas con carga u11iformemente distribuida, q.

La figura 10-13 1nuestra los diagramas de momentos para una losa cuadrada simplemente apoyada. Los 1no1nentos actan alrededor de Jos ejes 1nostrados (si1nilares a figura 10-1 la). Los mo1nentos 1nx.imos en la Josa ocurren alrededor de un eje a lo largo de la diagonal, co1no se 1nuestra en la figura 10-12b.

Es i.Jnport:'lnte recordar que la carga total debe ser transferida de apoyo a apoyo por momentos en la losa o en las vigas. La figura 1O-l3a 1nuestra una losa simplemente apoyada en dos extre1nos y apoyada en vigas rgidas en los otros dos extre1nos. Los momentos en la losa (que son iguales que los de la figura 10- l 2a) contabili zan nicamente el 19 por ciento del 1nomento total. El balance de 1no1nentos se divide entre las dos vigas segn se 1nuestra.

La figwa l0- l 3b 1nuestra el efecto de reduccin de la rigidez de las dos vigas de borde. Aqu, la rigidez u11itruia de las vigas perimetrales ha sido reducida hasta ser igual a la de la losa. De esta fo11na el 1no1nento total es resistido por accin de losa en una direccion. El hecho de que los 1no1nentos alTededor del eje A-A sea constante indica que las curvaturas a 1nitad de luz de todas las franjas que cubre esa luz son iguales. Por otro lado, las curvaturas en la franja a lo lrugo del eje B-B en Ja figura 10-13a son mucho ms pequeas que las de la franja C-C, debido a que B-B est prxi1no a la viga rgida. Esto explica por qu los 1no1nentos de la losa en la figura 10-13a decrecen hacia las vigas peri metrales.

Las esquinas de una losa si1nplemente apoyada tienden a levantarse del apoyo, como se discutir ms adelante en esta seccin. Los diagramas de 1no1nento que se han presentado aqu suponen que las esquinas no pueden levantarse debido a la presencia de una fuerza concentrada hacia abajo.

En las figuras 10-14 a l 0-16 se presentan las distribuciones de 1no1nentos para otras configuraciones de losa. Los diagramas de momentos en losas cuadradas con apoyo de empotramiento que se 1nuestran en la figura 1O- l5a contabilizan el 36 por ciento de los momentos estticos; el resto est en las vigas de borde. Confor1ne au1nenta la razn de largo a ancho, la porcin central de la losa se semeja mas a losa en una direccin.

10.5.3 Momentos en losas apoyadas sobre columnas aisladas.

En una placa plana o losa plana, la losa se apoya di recta1nente sobre columnas sin vigas. En este caso, las pa1tes 1ns rgidas de la losa son las que van de colu1nna a columna a lo largo de los cuatro lados del panel. Como resultado, los 1no1nentos son 1nayores en esas porciones de la losa.



La figura 10- l 7a ilustra los rnomentos en un panel interior tpico que fonna parte de una losa muy grande y en donde todos los paneles estn cargados un ifon11e111ente con cargas iguales. La losa est apoyada sobre columnas circu lares de un di111etro e = O. IC. Los mayores 1110111entos posit ivos y negativos ocurren en las franjas que van de columna a colutnna. En las figuras 10-l 7b y c, se muestran los diagrrunas de curvatura y de momento prua las franjas a lo largo de los ejes A-A y B-B. A1nbas franjas presentan momentos negativos adyacentes a las columnas y tnomentos positivos a 1nitad de luz. En la figura 10-l 7d, se presenta el promedio del diagrruna de 1no1nentos de la figwa 1O.l7a sobre la franja de la columna de ancho C2 /2 y el pro1nedio de Ia franja inter1nedia entre franjas de colu1nnas. El procedimiento de diseo de la nor1na ACI considera el promedio de 1no1nentos sobre el ancho de la franja de colwnna y el de la franja intermedia. La co1npruacin de las figura 10-17a y d 1nuestra que, in1ned.iatamente adyacente a las colu1nnas, los 1nomentos elsticos tericos pueden ser considerablemente mayores que lo indicado por los valores promedi o.

El momento estti co total, M0 , aqu considerado es

La distribucin de 1no1nentos presentada en la figura 10-15, prua una losa cuadrada empotrada en todos los apoyos 1nediante vigas rgidas se vuelve a presentar en la figura 10-18a con los 1no1nentos pro1nediados para las franjas de colu1nna e inte1media de la misma 1nanera que se haba presentado en la figura 10-17 para el caso de momentos en placa plana. Ade1ns, la su1na de los momentos de las vigas y de los 1no1nentos de la franja de colu1nna ha sido divid.ida entre el ancho de la franja de colu1nna y graficada como el 11io11ze1zto total de la franja de colu11111a. La dist1ibucin de in omentos en la figura 10-17d es 1nuy si1nilar a la distribucin de 1no1nentos prua las franj as de columna e intennedia 1nostrados en la fi gura 10-18a.

La figura 10- l 8b 1nuestra un caso intermedio en el cual la 1igidez de la viga, lb, es igual a la rigidez Is de la losa de ancho C2. Aun cuando la divisin del 1no1nento entre la losa y la viga es diferente, la distribucin de los mo1nentos totales es nueva1nente si 1nilar a la mostrada en las fi guras l 0-17 d y 10-l 8a.

El procediiniento de diseo en la norma ACI aprovecha esta si1nilitud en la distribucin de momentos totales 1nediante la presentacin de un procedi1niento unificado de diseo para la gruna co1npleta, desde losas apoyadas sobre colu1nnas aisladas hasta losas apoyadas sobre vigas en dos direcciones.

10.6 Diseo de losas

La Seccin ACI 318S-08 13.5 permite el diseo de losas 1ned iante cualquier procedimiento que sati sfaga ambos, equilibrio y compati bil id ad geo1ntJica, siempre y cuando cada seccin tenga una resistencia aJ 1nenos igual a la resistencia requerida y que

lng. Guillermo Santana, Ph.D. 368 Concreto Estructural .docx 112011


se cumpl an los requisitos de funcionalidad. En la nor1na ACI se presentan en detalle dos procedimientos de diseo. Estos procedimientos son, el 1ntodo directo de diseo--consideredo en la Seccin 10.7-y el mtodo de diseo de p1tico equivalente-presencado en la Seccin 10-8. Estos dos mtodos difieren principalmente en la manera en la cual se calculan los 1no1nentos en las losas. El clculo de los 1no1nentos en el mtodo de di seo directo se basa en el 1no111e11to esttico total, M 0 , ya analizado anteriormente. En este 1ntodo, la losa es analiz.ada panel por panel, y se util iza la ecuacin (10-5) para calcular el momento total en cada panel y en cada direccin. El momento esttico es luego dividido en momentos positivos y 1no1nentos negativos, y stos a la vez son divididos en franjas de columna y franjas centrales.

El segu ndo 1ntodo se denomina mtodo de prtico equivalente. En l, la losa se subdivide en una serie de p11icos bidimensionales (en cada direccin), y los momentos positivos y negativos se calculan 1nediante un anlisis e lstico de p1ticos. Una vez que se obtienen los 1no1nentos positi vos y negativos, estos se subdividen en fra njas de co lumna y franjas cenuales de la misma manera que en el 1ntodo diJecto de diseo. Otros 1ntodos, co1no el mtodo de lneas de fluencia (Captulo 11 ) y el 1ntodo de "franjas" son per1nitidos de acuerdo con la seccin ACI 3 18 13.5.

10.6. l Pasos en el diseo de losas

Los pasos a seguir en el diseo de una losa en dos direcciones son los siguientes:

l . Escogencia del trazado y el tipo de losa a usar. Los diferentes tipos de losas en dos diTecciones y sus usos han sido discutidos breve1nente en la seccin l 0.1. La escogencia del tipo de losa esta altamente influenciado por consideraciones arquitectnicas y constructivas.

2. Escogencia del espesor de losa. Generalmente, e l espesor de la losa se escoge para prevenir deflexiones excesivas ante cargas de servicio. Iguallnente impo1tante es escoger el espesor adecuado para resist ir e l cortante tanto en las columnas interiores co1no exteriores (ver Seccin 10. 1 O).

3. Escogencia del 1ntodo de clculo de los mo1nentos de di seo. El 1ntodo del prtico equivale1ite usa anlisis elstico para calcular los 1no1nentos positivos y negativos en los diferentes paneles de la losa. El nztodo directo de disefo usa coeficientes para calcular esos momentos.

4. Clculo de 1no1nentos positivos y negativos en la losa.

5. Clculo de la distribucin de momentos a travs del ancho de la losa. La distribucin lateral de momentos en un panel depende de la geomet1a de la losa y de la ri gidez de las vi gas (si las hay). Este procedi1niento es el 1nis1no independi ente1nente de si los momentos negativos y positi vos se calculan con e l mtodo directo o con el de prtico equ ivalente.



6. Si hay vigas, una porcin del momento debe ser asignada a las vigas.

7. La cuanta de refuerzo se escoge para los mornentos obten idos en los pasos 5 y 6. (Nota: los pasos 3 a 7 deben ser efectuados para a1nbas direcciones principales)

8. Se verifican las resistencias de cortante alrededor de las colu1nnas.

Varios de los par1netros usados en este proceso sern definidos con anterioridad a la realizacin del diseo de losas.

10.6.2 R.azn de rigidez entre viga y losa, a_[ Las losas se construyen usual1nente con vigas que van de colu1nna a colu1nna alrededor del per1netro del edificio. Estas vigas rigidizan los bordes de la losa y ayudan a disminuir las detlexiones de los paneles internos de la losa. Losas con 1nucha carga y losas nervadas con luces 1nuy grandes usualmente cuentan con vigas uniendo a todas las columnas de la estructura.

En la norma ACI, los efectos de la rigidez de Las vigas sobre las deflexiones y la distribucin de 1no1nentos se expresan como una funcin de ur, definido como la rigidez a la flexin, 4EI/C, de la viga dividida por la rigidez a la flexin de un ancho de la losa limitado laterahnente por las lneas de centro de los paneles adyacentes a cada lado de la .

viga:

Como las longitudes, .(, de la viga y la losa son iguales, esta cantidad es presentada en la norma en fonna si1npli fi cada como

(10-9)

Donde E c/J y E cs son Jos 1ndulos de elasticidad de Ja viga y Ja losa de concreto, respecti vrunente, !1) e Is son los 1nomentos de inercia de la viga y la losa no agrietadas. Las secciones consideradas para el clculo de lb e Is se 1nuestran en la figura 10-19. La luz perpendicular a la direccin de diseo es C2 . En la figura 1 O-l9c, los paneles adyacentes a la viga en consideracin tiene luces transversales diferentes. El clculo de C2 en tal caso se ilustra en el Ejernplo 10-4. Si no hay viga, a1 =O .

ACI 3 18 13.2.4 define una viga monoltica o totalmente cornpuesta co1no el alma de la viga ms una porcin de la losa a cada lado de la viga extendindose una distancia igual a la proyeccin rnayor de la viga ar1i ba o debajo de la losa, pero no rnayor que cuatro veces



el espesor de la losa. Esto se ilustra en la figura 10-20. Una vez que se han escogido los tamaos de la viga y de la losa, se pueden calcu lar los valores de ar usando principios bsicos de la rnecnica.

Ejemplo 10-1 Clculo de a.f para una viga de borde Una Josa de 20 c1u de espesor est apoyada sobre una viga de borde de peralte total de 40 cm por 30 cm de ancho, co1no se muestra en la figura 10-21 a. La losa y Ja viga fueron coladas monolticamente, tienen concreto de igual resistencia, y 1ndulo de elasticidad Ec. Calcule a. Co1no f~ = f,~ y E,._, = Ecb entonces (10-9) se reduce a a= lb/!, .

O Clculo de l b. La seccin transversal de la vga es corno se 1nuestra en Ja figura 10-21 b. El centrode de 1 a viga est localizado a 17 .5 cm de la f ibra superior de la losa. El momento de inercia de la viga es

403 30 x + (30x 40) x2.52 +

12 20x 23

12 + (20x 20)x 7.52 = 203,000 cm4

8 Clculo de Is. f~ se calcula para la parte achurada de Ja losa segn la figura 10-2lc: 2a3 1, = 315 x = 21O,000 cm 4

. 12

@ Clculo de a.. - !_p_ _ 203, 000 - o 967

1 - - - . /_, 2 10,000

o

l0.6.3 Espesor 1nni1no de losas en dos direcciones

EJ artculo ACI 3 J 8S-08 9 .5 .3 define espesores mnj rnos que generalrnente son suficientes para li1nitar las deflexones de las losas en valores aceptables. Se pueden usar Josas ms delgadas si se puede demostrar que las deflexiones calculadas no van a ser excesivas. El clculo de deflexiones en losas se presenta en la Seccin 10.6.

Losas si1i vigas entre columnas internas

Para una Josa sin vigas entre columnas internas y con una razn de luz larga vs. luz corta de 2 o menos, el espesor 1nn.i 1no se puede tomar de Ja Tabla 10-1 (ACI Tabla 9 .5(c)), pero no 1nenor que 12.5 c1n en losas sin bacos o l O c1n en losas con bacos con dimensiones definidas en el artcu lo ACI 3 l 8S-08 13.2.5.

La norma ACI 318S-08 penni te el uso de losas ms delgadas si las detlexiones calculadas satisfacen los lrnites dados en la ACI 3 18 Tabla 9.S(b).



Como se hace ver en la nota c de la Tabla 10-1, una viga debe tener una razn de rigidez ex. de 0.8 o rnayor para ser denominada como viga de borde. Se puede demostrar que una viga de borde con peralte de al menos el doble del espesor h de la losa, y un rea de al menos 4'12, sie1npre tendr un '!.mayor que 0.8. Esta regla prctica puede ser usada para simplificar la seleccin de los espesores de losa.

El espesor calculado con la Tabla 10-1 debe ser redondeado hacia arriba por 1 cm para losas de 15 c1n o ms de espesor. Redondeando hacia arriba se logra una losa ms gida y por lo tanto con 1nenores deflexiones. Estudios sobre deflexiones en losas presentados por Thompson y Scanlon (Thompson & Scanlon, 1988) sugieren que losas sin vigas internas debe1ian tener espesores un 1Oo/o1nayor que los valores 1nnimos recomendados por ACI para evitar deflexones excesivas.

Losas co11. vigas entre apoyos ititernos

Para losas con vigas entre apoyos in ternos, el artculo ACI 3 l 8S-08 9.5.3.3 brinda los . . "' .

siguientes espesores 1n1n11nos:

(a) Para a ;,, ~ 0.2, los espesores mnimos de la Tabla 10-1 gobiernan. (b) Para 0.2 < a1,,, < 2.0, el espesor no puede ser 1nenor que

e (o.8+ y ) 11 14000 h = > 12cm 36+5,B( fin - 0.2)

(c) Para a1,,, > 2.0 , el espesor no puede ser menor que

e (o.8+ f > ) 11 14000 h = > 9 c1n

36 + 9/3

(10-10)

( 10-11 )

(d) En extrernos discontinuos, deber proveerse una viga de borde con una razn de rigidez a,no rnenor que 0.8 o bien el espesor de la losa deber incretnentarse al menos un 10% en ese borde del panel.

En (b) y (c),

h = espesor total e,, =luz libre 1nayor del panel de losa en consideracin "" = pro1nedio de los valores de a para los cuatro lados del panel ,B= razn de luz libre 1nayor sobre luz libre menor del panel

El espesor de una losa puede estar gobernado por el cortante. Esto es particularmente posible si los 1no1nentos son transferidos a las colurnnas de los bordes y puede ser importante en colurnnas inten1as entre dos luces con longitudes rnuy diferentes. La



escogencia del espesor de losa para satisfacer los requisitos de cortante segn se presenta en la Seccin 10.1 O. En resu1nen, esa seccin establece que se puede escoger un espesor de losa de tal fonna que V,, = 0.50 a 0.55( if>Vc) en col u 1nnas de borde y V,, = 0.85 a 1.0 ( if>Vc) en colu1nnas internas.

10.7 El mtodo directo de diseo El mtodo directo de diseo tambin pudo haber sido deno1ninado el "1ntodo directo de anlisis," porque este 1ntodo da valores para mo1nentos en varias pru1es del panel de losa obviando Ja necesidad de un anlisis estructural. El lector debe darse cuenta que este mtodo de di seo se introdujo en un tiempo en el que ta 1nayora de los clculos ingenieriles se hacan con reglas de calculo y el no haba disponibilidad de ningun artefacto que hiciera clculos repetitivos corno los requeridos para analizar un siste1na de entrepisos de losas continuas. Por tanto, para paneles de losa continuos con luces relativamente unifor1nes y sujetos a cargas distri buidas, se desarrollaron seri es de coeficientes de 1no1nentos que condujeran a un diseo seguro prua flexion en sistemas de entrepisos en dos direcciones.

10.7.1 Lintaciones en el uso del mtodo directo de diseo

El mtodo directo de diseo es ms fcil de usar que el 1ntodo del p11ico equivalente, pero puede ser aplicado nica1nente a Josas multipaneles relativamente regulares. Las limitaciones, dadas en el rutculo ACI 318S-08 13.6.1, incluyen lo siguiente:

1. Debe haber un 1nni1no de tres luces continuas en cada direccin. De esta forma, la estructura 1nas pequea a considerar ser una de nueve paneles (3 por 3). Si hay menos de tres paneles, los 1nomentos negativos inten1os provenientes del mtodo directo de diseo tienden a ser mu y pequeos.

2. Los paneles rectangulrues deben tener una razn de lrugo vs. ancho no mayor que 2. Cuando esta razn es 1nayor que 2, el co1nporta1niento unidireccional se torna predo1ninante.

3. Las longitudes de luces sucesivas en cada direccin no debern diferir en ms de un tercio de la longitud de la luz mayor. Este lnite es exigido para incentivar el uso de cie1tos detalles de corte de barras estandarizados.

4. Las colu1nnas pueden estar sesgadas de la cuadricula rectangulru del edificio hasta por un 10% de la luz pru


5. Todas las cargas deben ser nicamente gravitacionales y un fonnemente distribuidas en todo el panel. El mtodo directo de diseo no puede ser usado para prticos no arriostrados, losas de fundacin o losas preesforzadas.

6. La carga viva de servicio (no inayorada) no deber ser 1nayor que dos veces el valor de la carga 1nuerta de servicio. Solicitaciones de tablero o de franja con razones de carga viva vs. carga muerta 1nuy grandes pueden conducir a momentos ms grandes que los supuestos por este mtodo de anlisis.

7. Para un panel con vigas en las dos direcciones entre apoyos, la 1igidez relativa de las vigas en las dos direcciones perpendiculares dadas por a11c;j a12 c~ no deber ser 1nenor que 0.2 ni 1nayor que 5. El trmino OfSe define 1ns adelante y ( 1 y l 2 son las 1 u ces en las dos direcciones.

Las limitaciones 2 y 7 no penni ten el uso del mtodo directo de diseo para paneles de losa que trans1niten carga como losas en una direccin.

10.7.2 Distribucin interna de momentos en paneles - Losas sin vigas entre apoyos

Mome11to esttico, M0

Para diseo, la losa se considera como una serie de prticos en dos direcciones, como se muestra en la figwa 10-22. Estos prticos se extienden hasta la 1nitad de la luz del panel a cada lado de la lnea de colu1nnas. En cada luz de cada w10 de los p1ticos, es necesario calcular el 1no1nento esttico total, M 0 Por lo tanto se tendr

donde q11 = carga 1nayorada por unidad de rea C2 = longitud transversal de la franja C11 = luz libre entre colu1nnas

(l 0-5)

Para el clculo de C11 , las columnas circulares o colu1nnas con capitel de dimetro de se reemplazan por una colu1nna cuadrada de 0.886dc de lado. En la figura 10-22 se muestran los valores de C2 y C11 para los paneles en cada una de las direcciones consideradas. El ejemplo 10-2 ilustra el clculo de M0 en un panel de losa tpi co.



Ejemplo 10-2 Clculo del momento esttico, M0 Calcule el 1no1nento esttico total, M 0 , para los paneles de losa 1nostrados en la figura 10-23. La losa es de 20 c1n de espesor y soporta una carga viva de 500 kg/1n2.

O Clculo de las cargas uniformes mayoradas.

q11 = l .2(0.2x 2.40)+ 1.6(0.50) = 1.38 Mg/m2 Se debe notar que co1no el CSCR-02 permite una reduccin de la carga viva, la carga viva debe ser 1nultiplicada por el correspondiente factor de reduccin antes de calcular q,,.

8 Consideracin del pa11el A entre columnas 1 y 2. El panel A se 1nuestra como la zona achurada en la figura 10-23a. Los momentos calculados en esta parte del ejemplo seran usados para disear el refuerzo paralelo a la lnea 1-2 en este panel. De la ecuacin (10-5) (ACI Ec. (13-3)),

donde C11 = luz ljbre entre columnas (n = 6.70 - _!_(0.50) -_!_(0.60) = 6.15 m

2 2 C2 =longitud transversal de la franja c2 = 6.40/2 + 6.10/2 = 6.25 m

Por lo tanto, '

M _ 1.38 x 6.2s x 6. 1 s- _ 40 8 M - - g-1n " 8 .

e> Consideracin del panel B entre columnas 1 y 4. El panel B se 1nuestra como la zona achurada en la f igura l 0-23b. Los mo1nentos calculados en esta parte del ejemplo seran usados para disear el refuerzo paralelo a Ja lnea 1-4 en este panel.

En Ja figura 10-23c se 1nuestra una seccin de la losa con las colu1nnas l y 4. La columna 4 tiene un capitel. El rutcu lo ACI 318 13 .1.2 define el di1netro efectivo de este capi teJ como el diJnetro, 1nedido en la base de Ja losa o del baco, del 1nayor cono circular recto con un vrtice de 90 que pueda inscribirse dentro de la colu1nna y el capitel. El contorno de tal cono se 1nuestra con lnea de trazos en la figura 10-23c y el di1netro, de, es 60 cm. Para propsitos del clculo de (,h los apoyos circulares son ree1nplazados con columnas

rectangulares equivalentes de lado e,= dcFfi , o bien 0.886d,.. . Por lo tanto,



1 1 C,, = 6. 10 - 2 (0.30)- 2 (0.886 x 0.60) = 5.68 1n e 2 = 5.80/2 + 6.70/2 = 6.25 m

M = 1.38 x 6.25 x 5.682 = 34.8 Mo-in o 8 b

o

Mome11tos positivos y negativos en paneles

En el mtodo de diseo directo, el momento estatico total factorizado, Mo, se divide en momentos facto1izados positivos y negativos de acuerdo con las reglas dadas en la Seccin l 3.6.3 de la nonna ACI 318S-08. Estos se ilustran en la fi gwa 10-24. En los paneles inte1i ores, el 65 por ciento de M 0 es asignado a la regin de 1nomento negativo y el 35 por ciento a las regiones de momento positivo. Esto es aproxi1nada1nente lo mismo como para una viga doble1nente empotrada con carga unifonne1nente distribuida, donde el 1nomento negativo es el 67 por ciento de Mu y el mo1nento positi vo es el 33 por ciento.

El extremo externo de un panel exterior tiene un empotra1niento considerablemente menor que el apoyo inte1110. La divisin de Mu en un panel externo en regiones de momentos positivos y negativos se presenta en la Tabla 10-2. En dicha tabla, "borde externo no restringido" se refiere a una losa cuyos border exte1nos descansan sobre, pero no estan adheridas a, por eje1nplo una pared de mampostera. "Borde exte1110 totalmente restringido" se refiere a una losa cuyos borde exterior es apoyado por, y es continua con, una pared de concreto con una 1igidez a la flexion tan grande o 1nas grande que la de la losa.

Si los 1no1nentos negativos calculados en dos lados del apoyo son diferentes, la seccin de momento negativo de la losa se disena para el 1nayor de los dos.

Disposicin para patrones de carga

En el diseo de vigas de concreto con refuerzo continuo, se llevan a cabo anlisis para unas cuantas di stribuciones de carga viva para obtener los 1nayores valores de momento positivo y negativo en cada luz. En el caso de una losa diseada 1nediante el mtodo de diseo directo, no se hace este anlisis. El mtodo de diseo directo puede ser usado solamento cuando la carga viva no excede dos veces la carga 1nue1ta. Los efectos de los patrones de carga no son grandes en tal caso.

Disposicin para cargas concentradas

La mayora de las nor1nas de construccin recomiendan que los entrepisos de oficinas sean d iseados para el efecto 1ns grande ya sea de una carga unifonnente di stribuida sobre todo un panel o de una carga concentrada colocada en cualquier pa1te del entrepiso y distribuida en un rea de 75 c1n por 75 cm. Las disposiciones para diseo de losas del ACI aplican n ica1nente para el caso de carga unifonne. Woodring y Siess estudiaron los 1nomentos debidos a cargas concentradas actuando sobre paneles interiores cuadrados.



Para placas planas cuadradas de 6, 7.5 y 9 rn, los momentos 1nayores debidos a una carga concentrada de 900 kg sobre un rea cuadrada de 75 cm son equivalentes cargas uniformes de 19 1 o -112 kg/1n2 , 132 o -78 kg/m2, y 98 o -64 kg/1n2, respecti vamente, para los tres trunaos de losa. La carga uniforme equivalente positi va (hacia abajo) son menores que las cargas de 196 a 489 kg/1n2 usadas en diseo de entrepisos de apartamentos y oficinas y por lo tanto no gobiernan. Las cargas uni fonnes equivalen tes negativa indican que, en algn punto de Ja Josa, el peor efecto de la carga concentrada es equivalente al de una carga unifo1me hacia arriba. Co1no todas stas son menores que la carga muerta de un entrepiso de concreto, el caso de la carga concentrada tampoco gobierna aqu ta1npoco. En resumen, el diseo para el caso de carga unifo1me cumpli r el caso de Ja carga concentrada de 900 kg para las losas cuadradas de 6 1n o 1nayores. Para cargas concentradas grandes, se puede usar un anlisis de prtico equivalente.

Definici1i de franjas de colu1nna y frallja s ce11.trales

Como mostr en la figura 1O- l7a, los momentos varan en fonna continua a travs del ancho del panel de losa. Para ayudar en la colocacin del acero de refuerzo, los momentos de diseo se pro1nedian en las franjas de colu1nna y en las centrales como se muestra en la fi gura 10-17d. Los anchos de estas franjas se definen en los artcu los ACI 318 13.2. 1 y 13.2.2 y se ilustran en la figura 10-25. Las franjas de colu1nna en ambas direcciones se extienden una cuarta de la luz menor, C1110 , a cada lado de la lnea de columnas.

Distribucin de momentos entre franjas de coluninas y franjas centrales La Seccin 13.6.4 del ACI 318S-08 define la fraccin de los 1no1nentos positivos y negati vos asignadas a las franjas de columna. La cantidad restante de 1nomento positivo y negati vo se asigna a la franja central adyacente (fi gura 10-27). La divisin es funcin de a1 1 C2 / C1 , que depende de la razn de aspecto del panel, C2 / C1 , y de la ri gidez relativa, a1 1 , de las vigas (si existi esen) paralelas a e internas en la franja de la columna.

La Tabla 10-3 presenta los porcentajes de distribucin del 1no1nento negativo factorizado para la franja de colu1nna en todos los apoyos internos. Para un siste1na de entrepiso sin vigas interiores, a1 1C2 /C1 se toma como cero, porque a1 1 =O. En este caso, el 75 por ciento del ino1nento negativo se asigna a la franja de colu1nna y el restante 25 por ciento se divide en partes iguales entre las dos franjas centrales adyacentes. Para casos en donde est presente una viga en la franja de columna (en la direccin C1) y a1 1C2 / C1 > 1.0 , aplica la tercera fila de la Tabla 10-3. Es posible que se requiera de interpolacin lineal basado en la razn C2 / C1 Para casos en donde O< a1, C2 / C1 < 1.0 , se req ui ere interpolacin lineal entre los porcentajes dados en la segunda y tercera fil a de la Tabla 10-3. Procedi1nientos si1nilares se utilizan para la distribucin de 1no1nentos factori zados en otros puntos a lo largo de la luz.



La Tabla 10-4 presenta los porcentajes de distribucin del 1no1nento positivo factorizado de la franja de colu1nna en el centro del vano para a1nbos vano inte1i or y vano exterior. Para siste1nas de entrepiso sin vigas interiores, el 60 por c iento del 1no1n ento positivo es asignado a la franja de colu1nna, y el restante 40 por ciento se d ivide por partes iguales entre Jas franjas centrales adyacentes. Si hay una viga presente en la franja de columna (en la dj reccin C1 ), aplicarn ya sea los porcentajes de la tercera fila o bien una interpoJacin entre los porcentajes dados en la segunda y la tercera fi la de la Tabla 10-4.

En un borde exte1i or, la divisin del momento negativo factorizado en el extremo exterior d istribujda a las franjas de columna y centraJ perpendiculares al borde depende tambin de la rigidez torsionaJ de la viga de borde, caJculada co1no el 1ndulo de co1tante, G, multiplicado por la constante torsionaJ, C, de la viga de borde, dividido entre la rigidez a a la flexin de la losa perpendicular a la viga de borde (i.e., El para una losa con un ancho igual a la longitud de la viga de borde desde el centro de un vano hasta el centro del vano contiguo, co1no se 1nuestra en la figura 1O- l9d). Suponiendo que el coeficiente de Poisson es cero se t iene G = E/2, entonces la razn de rigidez torsional se define como

(10- 12)

donde la seccin transversal de la viga de borde se to1na co1no se define en la Seccin 13.2.4 de la nor1na ACI y la figura 10-20. Si no hay viga de borde, /3, se puede considerar iguaJ a cero.

El trmino C en (10-12) se refiere a la constante torsional de la viga de borde. Esta es ms o menos equivalente al momento polar de inercia. Se calcula d ividiendo la seccin transversal en rectngulos y efectuando la sumatoria

C=L: ( 1- 0 .63 'rJx3y y 3

(10-13)

dondex es la longitud del lado corto de un rectngulo y y es el lado largo. La subdivisin de la seccin transversal de los elementos en torsin se ilustra en la fi gura 10-26. Diferentes co1nbinaciones de rectngulos deben ser probadas para obtener el valor mxi1no de C. El valor 1nximo normalmente se obtiene cuando el rectngulo ms ancho se toma lo 1ns largo posible. As, los rectngulos escogidos en la figura 10-26b dar un vaJor mayor de e que el que daran los de la figura 10-26a.

La Tabla 10-5 presenta la dist1ibucin porcentuaJ del 1no1nento negativo facto1izado para la franja de colwnna en el apoyo exterior. Esta tabla funciona de 1nanera similar a las Tablas 10-3 y 10-4, con la adicin de dos fil as 1ns para to1nar en cuenta la presencia o ausencia de una viga de borde trabajando en torsin para t ransferir parte del momento negativo de la losa a la colu1nna. Cuando no hay losa de borde (/3, =O), todo el momento negativo es asignado a la franja de la columna. Esto es razonable porque no hay elemento torsional de borde para transfe1ir el momento desde la franja central hasta la columna. S i



una viga de borde rgida est presente (/3, > 2.5). 1 a Tab la 10-5 da porcentajes especficos para ser asignados a la franja de columna, dependiendo del valor de a1 1 y de la razn C2 /C1 , tal co1no se hizo en las Tablas 10-3 y 10-4. Para valores de /J, entre 2.5 y O.O, y vaJores de ( .r1C2 /C 1) entre 1.0 y O.O, pueden ser requeridos dos o tres niveles de interpolacin lineal para deter1ninar el porcentaje de 1no1nento negativo asignado a Ja franje de colu1nna.

Si est presente una viga en la franja de columna (en Ja direccin C1 ), una porcin del momento de Ja franja de colwnna es asignado a Ja viga, tal co1no se especifica en la Seccin 13.6.5 de la no11na ACI. Si la viga tiene a1 1C2 j C1 > 1.0 . el 85 porciento del momento de la franja de columna es asignado a Ja viga y el 15 porciento a la losa. Esto es discutido 1ns a fondo en la Seccin 10-14 y en el Eje1nplo 10-15.

Ejemplo 10-3 Clculo de los momentos en un panel interior de una placa plana

La figura 10-27 1nuestra un panel interior de un entrepiso de placa plana en un edificio de apartamentos. El es~esor de la losa es de 14 cm. La Josa sostiene una carga vi va de diseo de 250 kg/1n y una carga muerta superimpuesta de 125 kg/1n2 debida a particiones. Las colu1nnas y la Josa tienen un concreto de igual resistencia. La altura de entrepisos es 2.75 1n. Calcule los momentos de las franjas de columna y central en la direccin corta del panel.

Soluci1i:

1. Clculo de las cargas factorizadas. q,, = l .2(0. 14 x 2400 + 125 )+ 1.6 (250) = 953 kg/ 1n 2

Se debe notar que si la nonna vigente permite la reduccin de la carga viva, la carga de 250 kg/m2 pueden ser 1nultiplicados por el factor reco1nendado. La reduccin deber estar basada en un rea tributari a igual al area totaJ del panel .C1 x C2 (Notar que: Ku.. = l.O ).

2. Clculo de los momentos en los tramos cortos de la losa. a. Clculo de f,, y C2 y divisin de Ja Josa en franjas central y de columna.

e,, = 4.0 - 0.25 = 3.75 1n C2 = 4.40 m

La franja de colu1nna se extiende el menor valor entre C2 /4 y C1 /4 a cada lado del eje de columnas, co1no se 1nuestra en la figura 10.25 (Seccin 13.2.l , ACI 318). Por lo tanto, Ja franja de colu1nna se extiende 4.0/4=1.0 m a cada lado del eje de colu1nnas. El ancho total de la franja de colu1nna es 2.0 m. Cada franja central se extiende desde el borde de la franja de colu1nna hasta la lnea central del panel. El ancho total de las dos franjas centrales es 4.40- 2.0 = 2.40 m.

b. Clculo de Mo.



M = q11 C2 C! _ 0.953 x4.0 x3.752 _ 670 M . " 8 8 - . g-1n ( 10-5)

c. Divisin de M 0 en momentos positivos y negativos. De acuerdo con la Seccin 13.6.3.2 de la norma ACL

Mo1nento negativo= -0.65M0

= -4.35 Mg-1n Momento positivo = 0.35M0 = 2.35 Mg-m

Este procediJniento se ilustra en la figura 10-28a, y la distribucin de 1nomentos totales resultante se 1nuestra en la figura 10-28b.

D

d. Divisin de 1nomentos entre las franjas central y de colu1nna. Momentos negativos: De la tabla 10-3 para a1 , C2 /.C1 = O ( .ri = O porque no hay vigas entre las colu1nnas A y Ben este panel),

Mo1nento negativo franja de columna= 0.75 x -4.35 = -3.26 Mg-m Mo1nento negativo franja central = 0.25 x -4.35 = - 1 .09 Mg-1n

La mitad, - 0.545 Mg-1n , va a cada franj a central adyacente. Co1no los paneles adyacentes tienen el 1nis1no ancho, ( 2 , un momento si1nil ar ser asignado a la otra mi tad de cada franja central de manera que el mo1nento negativo total de la franja central es - 1 .09 Mg-1n. Monientos positivos: De la tabla 10-4 para a 11 C2 / C1 =O,

Mo1nento positivo franja de columna= 0.6x 2.35 = 1.41 Mg-m Mo1nento positivo franja central = 0.4x 2.35 = 0.94 Mg-1n

Estos clculos se ilustran en la figura 10-28a. Las distribuciones de momentos en las franjas de colu1nna y central resultantes se resumen en Ja figura 10-28c. En Ja figura 10-29, los 1no1nentos en cada franja han sido divididos entre el ancho de esa franj a Este diagra1na es 1nuy si1nilar a la distribucin elstica de 1no1nentos presentada e la figura 1 O- l 7d.

3. Clculo de los momentos en los tramos largos de la losa. Aun cuando no ha sido solicitado en este ejemplo, en el diseo de losas, ser necesario ahora repetir los pasos 2(a) hasta 2(d) para la luz larga.

Ejemplo 10-4 Clculo de momentos en un panel exterior de una placa plana

Calcular Jos 1no1nentos positivos y negativos en las franjas central y de columna del panel exterior de la Josa entre las columnas B y E en Ja figura 10-30. La Josa tiene 20 cm de espesor y soporta una carga 1nue1ta superimpuesta de servicio de 125 kg/m2 y una carga viva de servicio de 300 kg/1n2. La viga de borde tiene 30 c1n de ancho por 40 cm de peralte y ha sido colada 1nonolticamente con la losa.



Soluci1i:

l. Clculo de las cargas factorizadas. q,, = 1.2(0.20 x2400+125)+ 1.6(300) = 121 O kg/ rn2

Igual que en el eje1nplo anterior, si la norma vigente pennite la reduccin de la carga viva, la carga de 300 kg/1n2 pueden ser multiplicados por el factor reco1nendado. La reduccin deber estar basada en el rea ( 1 x C2

2. Clculo de Jos momentos en el tramo BE. a. Clculo de .C

11 y C2 y divisin de la losa en franjas central y de columna.

(" = 6.40- 0.35 - 0.40 = 6.03 m 2 2

.C 2 (prom.) = 5.80 m La franja de colu1nna se extiende el menor valor eno-e C2 /4 y C1 /4 a cada lado del eje de co lumnas. La franja de colu1nna se extiende 6.40/4 = 1.52 1n hacia el eje AD y 5.50/4 = 1.37 1n hacia el eje CF, como se muestra en la figu ra 10-30a. El ancho total de la franja de colu1nna es 2.90 m. La mi tad de la franja central entt-e BE y CF ti ene un ancho de 1.371n y Ja otra 1nitad es de 1.52m, co1no se muestra.

b. Clculo de Mo. M = qll.(2.C! = 1.2 1X5.80 X 6.032 = 31 .9 M O'-ffi (10-5)

(J 8 8 ;:, c. Divisin de M0 en momentos positivos y negativos. La disttibucin del

1no1nento hacia las regiones positiva y negativa es segn la Tabla 10-2. En la tenninologa de la Tabla 10-2, sta es una "losa sin vigas ent1-e apoyos inte111os y con viga de borde." Segn la tabla, el 1no1nento total se divide de acuerdo a lo sigui ente,

Mo1nento negativo interior M ,, = -0.70M 0 = -22.3 Mg-rn Mo1nento positivo M ,, = 0.50M

0 = 16.0 Mg-1n

Mo1nento negativo exterior M ,, = - 0.30M" = - 9.60 Mg-1n Este clcu lo se ilustra en la figura 10-31. Los mo1nentos positivo y negativos se muestran en la figura J 0-30b.

d. Divisin de momentos entre las franjas central y de columna. Mo1nentos negativos interiores: Esta divisin es funcin de .ri C2 / .(1 , el cual es nuevamente cero, porque no hay vigas paralelas al eje BE. De la Tabla 10-3,

Momento negativo interior franja de columna = 0.75 x - 22.3 =-16.7 Mg-m = - 5.76Mg-m/ mde ancho de franja de columna

Mo1nento negativo inte1ior franja central= 0.25 x - 22.3 = -5.60 Mg-m La mitad de esto va a cada una de las mi tades de franja centtal adyacentes a la franja de colu1nna BE. Mo11ientos positivos: De la tabla 10-4,



Mo1nento positivo franja de columna = 0.60x 16.0 = 9.60 Mg-m = 3.3 1 Mg-m/ mde ancho de franja de columna

Mo1nento positivo franja central = 0.4x 16.0 = 6.40 Mg-1n La mitad de esto va a cada una de las mi tades de franja central. Mo1nentos negativos exteriores: De la Tabla 10-5, el 1no1nento negativo exterior se divide segn .ri C2 / C1 , (nuevamente igual a cero porque no hay viga paralela a (1)

fJ. = Ec:bC (10-12) l 2Ecsi s

donde Ecb y C se refieren al elemento de torsin 1nostrado en la figura 10-32, y Ecs e Is se refieren a la franja de losa siendo diseada (la franja de colu1nna y las dos mitades de franja central achuradas en la figura 10-30a). Para calcular C, se divide la viga de borde en dos rectngulos. Se considerarn las dos posibilidades 1nostradas en la figura l 0-32. Para la figura 10-32a, la ecuacin ( 10-13) da

C = (1- 0.63x 30/40)303 X 40 + ( l - 0.63x 20/ 20)203 X 20 = 209 600 Cm4 3 3 '

Para la figura l0-32b, C = 146, l 00 cm4 Se toma el 1nayor de estos dos valores; por lo tanto e= 209,600 cm4 . Is es el 1no1nento de inercia de la franja de losa que est siendo considerada, la cual tiene b = 5.79 m y h = 20 cm . Por lo tanto,

(579)x 203 l = = 386 000 c1n4 12 '

Como ; es el 1nis1no en la viga y en la losa, Ec:b = Ec.r y

/J. = 209,000 = 0.27 1 t 2(386,000)

Interpolando en la Tabla 10-5, se tiene

Para /3, = O: 100 por ciento para la franja de colu1nna Para /3, = 2.5: 75 por ciento para la franja de colu1nna

Por lo tanto, para /3, = 0.271 , 97.2 por ciento para la franja de columna, y se tiene

Mo1nento negativo exte1ior franja de columna = 0.972x-9.60 = - 9.33 Mg-m Mo1nento negativo exte1ior franja central = 0.25 x - 22.3 = - 0.27 Mg-m


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