distribuciÓn normal multidimensional. en particular, si n=2
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
MULTIDIMENSIONAL
DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIDIMENSIONAL
( )1
... , , ;nn
n
X
N matriz n n simétrica ydefinida nonegativa
X
m m
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷Î S Î S ´ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
R
( ) ( ) ( )1
12 21
( ) 2 exp2
nt nf x x x xp m m
- - -ì üï ïï ïÛ = S - - S - " Îí ýï ïï ïî þ
r r r rR
En particular, si n=2
21 1 1 2
2 22 1 2 2
,X
NY
m s rs s
m rs s s
æ æ ööæ ö æ ö ÷÷ç ç÷ ÷ç ç ÷÷÷ ç ÷çÎ Ûç ç ÷÷÷ ÷ç çç ç ÷÷÷ ÷ç çç ç ÷÷ç çè ø è øè è øø
( )( ) ( ) ( )( )2 2
1 2 1 22 2 22
1 21 21 2
1 1, exp 2
2(1 )2 1
x y x yf x y
m m m mr
s sr s sps s r
ì æ öüï ï÷- - - -çï ï÷ï ïç ÷= + -çí ý÷çï ï÷- ç- ÷çï ïè øï ïî þ
Por lo tanto,
2
0 1,
0 1
XN
Y
r
r
æ ö ææöæ öö÷ ÷ ÷÷ç çç ç÷ ÷ ÷÷Î Ûç çç ç÷ ÷ ÷÷ç çç ç÷ ÷ ÷÷ç çç çè ø èè øè øø
( ) ( )2 222
1 1, exp 2 ,
2(1 )2 1f x y x y xyr
rp r
ì üï ïï ïÛ = + -í ýï ï-- ï ïî þ
Equivalentemente a la consideración de normalidad anterior, se tiene que
2(0,1) ( ,1 ),YX N e N xX x
r rÎ Î -=
y en consecuencia, la función de regresión de Y sobre X será
( )( ) .Yy g x E xX x
r= = ==
{ }2 2( , )/ 2( , ) .
x y x y xy kf x y dxdy
ra
+ - £=ò
cuyas curvas de nivel serán tales quea 2 2 2x y xy kr+ - =
NORMAL BIDIMENSIONAL: Código fuente en R que dibuja curvas de nivel y la función de regresión teórica. Compara por Monte Carlo el comportamiento bajo este modelo de diferentes estimadores da la función de regresión teórica: regresión lineal simple, polinómica de orden 2, Nadaraya-Watson y polinómica local de grado 1.
• require(lokern,KernSmooth,ellipse)• r=0.75• #plot(ellipse(r,scale=c(1,1),centre=c(0,0),level=0.95),lwd=2,type="l",xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),main="Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.75",sub="MODELO:
X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)")• #polygon(ellipse(r,scale=c(1,1)),density=20,col=1)• x1<-seq(-3,3,length=1000)• y1<-r*x1• plot(x1,y1,lwd=2,col=7,type="l")• #legend("top",legend="Función de regresión teórica (recta)",lwd=2,col=7)• x<-rnorm(1000,0,1)• y<-r*x+rnorm(1000,0,1-(r^2))• lines(x,y,type="p",xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),main="Función de regresión",sub="MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2), r=0.5; N=100000")
• poli1<-lm(y~x)• abline(poli1,lwd=2,col=3)
• poli2<-lm(y~x+I(x^2))• df<-data.frame(x=x1)• y1<-predict(poli2,df)• lines(x1,y1,lwd=2,col=5)
• v<-dpill(x,y)• lines(locpoly(x,y,bandwidth=v,gridsize=length(x1),range.x=c(-3,3)),type="l",lwd=2,col=4) #corrige efecto frontera
• res<-glkerns(x,y)• lines(ksmooth(x,y,"normal",bandwidth=res$bandwidth,range.x=c(-3,3),n.points=length(x1)),lwd=2,col=2)• #lines(ksmooth(x,y,bandwidth=0.5),lwd=2,col=2)• legend("top",legend=c("Función de regresión teórica","Estimación por regresión polinómica (grado 1: recta)"• ,"Estimación por regresión polinómica (grado 2)","Estimación por regresión lineal local","Estimación por Nadaraya-Watson"),lwd=2,col=c(7,3,5,4,2))
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=-1
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=-0.75
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=-0.5
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=-0.25
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.25
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.5
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.75
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=1
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
1 2
1 2
0
1
1 2
1 2
0
2; 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.5
x
y
1 2
1 2
0
1; 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.5
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.5
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2)x
y
Función de regresión teórica (recta)
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.5
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2); N=10x
y
Función de regresión teóricaEstimación por regresión polinómica (grado 1: recta)Estimación por regresión polinómica (grado 2)Estimación por regresión lineal localEstimación por Nadaraya-Watson
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.5
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2); N=100x
y
Función de regresión teóricaEstimación por regresión polinómica (grado 1: recta)Estimación por regresión polinómica (grado 2)Estimación por regresión lineal localEstimación por Nadaraya-Watson
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.5
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2); N=1000x
y
Función de regresión teóricaEstimación por regresión polinómica (grado 1: recta)Estimación por regresión polinómica (grado 2)Estimación por regresión lineal localEstimación por Nadaraya-Watson
1 2
1 2
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
3
Normal bidimensional (curva de nivel 0.95): r=0.5
MODELO: X=N(0,1), (Y/X=x)=N(rx,1-r^2); N=10000x
y
Función de regresión teóricaEstimación por regresión polinómica (grado 1: recta)Estimación por regresión polinómica (grado 2)Estimación por regresión lineal localEstimación por Nadaraya-Watson
1 2
1 2
0
1