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Distribution-free calculation of the standard error ofChain Ladder reserve estimates
David Fischinger
31. Marz 2018
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Inhaltsverzeichnis
1) Einleitung
2) Chain Ladder
3) Notation und grundlegende Resultate
4) Berechnung des MSE und des Standardfehlers
5) Beispiele
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Einleitung
Einleitung
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Einleitung
Spatschaden
IBNR-Schaden (”incurred but not reported”)
⇒ bereits eingetreten, aber dem Versicherungsunternehmen noch nichtbekannt
IBNER-Schaden (”incurred but not enough reserved”)
⇒ am Ende des Geschaftsjahres bereits bekannt, Hohe aber nochabschatzbar
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Einleitung
Spatschaden
viele Methoden zur Berechnung der Ruckstellung fur die Spatschaden
z.B Chain Ladder Verfahrenoft deutlich andere Ergebnisse
Herausforderung von bisherigen Daten auf Spatschaden zu schließen
Standardfehler als
Maß fur Unsicherheit der verwendeten DatenVergleichsmoglichkeit mit anderen Verfahren
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Einleitung
Grundlage
Paper ”Distribution-free calculation of the standard error of ChainLadder reserve estimates” von Thomas Mack von 1993
Ziel:
moglichst einfache Formel fur den Standardfehler des Schatzers derChain Ladder Ruckstellung herleiten
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Chain Ladder
Chain Ladder
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Chain Ladder
Vorgehensweise
Vergangenheit ZukunftAbwicklungsdreiecke
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Chain Ladder
Schadensdreieck
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Chain Ladder
Schadensdreieck
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Chain Ladder
Schadensdreieck
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Chain Ladder
Schadensdreieck
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Notation und grundlegende Resultate
Notation und grundlegende Resultate
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Notation und grundlegende Resultate
Notation
Definition
Die Zufallsvariablen Cik sind die kumulierten Claims eines Schadenjahres iwobei 1 ≤ i ≤ I fur ein Entwicklungsjahr k mit 1 ≤ k ≤ I .
Der Wert von Cik ist uns bekannt fur i + k ≤ I + 1
Definition
Die Zufallsvariablen Ri sind die zu schatzenden Schadenreserven fur einSchadenjahr i = 2, ..., I und sind definiert durch
Ri = CiI − Ci ,I+1−i
und die gesamte Schadenreserve durch
R =I∑
i=2
Ri
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Notation und grundlegende Resultate
Notation
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Notation und grundlegende Resultate
Annahmen des Chain Ladder Verfahren
1) Entwicklungsfaktoren:
∃ Entwicklungsfaktoren f1, ..., fI−1 > 0
Sie erfullen:
E(Ci ,k+1|Ci1, ...,Cik) = Cik fk 1 ≤ i ≤ I , 1 ≤ k ≤ I − 1 (1)
fk wird geschatzt durch
fk :=
∑I−kj=1 Cj ,k+1∑I−kj=1 Cj ,k
1 ≤ k ≤ I − 1
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Notation und grundlegende Resultate
Annahmen des Chain Ladder Verfahren
2) Ulimate Claims und Schadenreserven
Die zukunftigen Ultimate Claims CiI werden geschatzt durch
CiI := Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1
und die Schadensreserven Ri durch
Ri = Ci ,I+1−i (fI+1−i · ... · fI−1 − 1).
3) Unabhangigkeit
{Ci1, ...,CiI}, {Cj1, ...,CjI}, i 6= j sind unabhangig (2)
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Notation und grundlegende Resultate
Satz 3.1
Sei D := {Cik |i + k ≤ I − 1} die Menge aller bisher beobachteten Daten.Mit den Voraussetzungen (1) und (2) folgt
E(CiI |D) = Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1
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Notation und grundlegende Resultate
Beweis.
Um den Beweis ubersichtlicher zu gestalten, definieren wir uns zuerst
Ei (X ) := E(X |Ci1, ...,Ci ,I+1−i )
E(CiI |D) = Ei (CiI )
= Ei
(E(CiI |Ci1, ...,Ci ,I−1)
)= Ei (Ci ,I−1 · fI−1)
= Ei (Ci ,I−1) · fI−1
= etc .
= Ei (Ci ,I+1−i ) · fI+1−i · ... · fI−1
= Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1
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Notation und grundlegende Resultate
Unverzerrte und unkorrelierte Schatzer
Definition
Ein Schatzer θ heißt erwartungstreu bzw. unverzerrt fur eineZufallsvariabel θ, wenn gilt
E[θ] = θ
Definition
Zwei Schatzer θ1 und θ2 heißen unkorreliert wenn gilt
E[θ1θ2] = E[θ1]E[θ2]
also die COV(θ1, θ2
)= 0 ist.
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Notation und grundlegende Resultate
Satz 3.2
Mit den Annahmen (1) und (2) ist der Schatzer fk unverzerrt undunkorreliert fur 1 ≤ k ≤ I − 1.
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Notation und grundlegende Resultate
Beweis.
Unverzerrtheit:Sei
Bk := {Cij |j ≤ k , i + j ≤ I + 1}, 1 ≤ k ≤ I .
Mit der Voraussetzung (1) und (2) folgt
E(Ci ,k+1|Bk) = E(Ci ,k+1|Ci1, ...,Cik) = Cik fk
Zusammen der Definition von fk und der Linearitat desErwartungsertes folgt dann
E(fk |Bk) =
I−k∑j=1
E(Cj ,k+1|Bk)
I−k∑j=1
Cjk
= fk
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Notation und grundlegende Resultate
Beweis.
Dieses fuhrt zu
E(fk) = E(E(fk |Bk)) = fk , 1 ≤ k ≤ I − 1
Unkorreliertheit von fk und fj :Sei j < k , dann gilt
E(fj fk) = E(E(fj fk |Bk))
= E(fjE(fk |Bk))
= E(fj)fk
= E(fj)E(fk)
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Notation und grundlegende Resultate
Satz 3.3
Unter den Annahmen (1) und (2) ist
CiI = Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1
ein unverzerrter Schatzer fur E(CiI |D) und
Ri = CiI − Ci ,I+1−i
ein unverzerrter Schatzer fur Ri .
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Notation und grundlegende Resultate
Beweis.
Wir wissen bereits:
E(CiI |D) = Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1
Wiederholung des vorherigen Beweises fur das Produkt von paarweiseverschiedenen fk , fuhrt zu
E(fI+1−i · ... · fI−1) = fI+1−i · ... · fI−1
Weiters gilt
E(CiI ) = Ci ,I+1−i · E(fi+1−i · ... · fI−1)
= Ci ,I+1−i · fI+1−i · ... · fI−1
= E(CiI |D)
womit die Unverzerrtheit folgt. Analog lasst sich die zweite Behauptungzeigen.
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Berechnung des MSE und des Standardfehlers
Berechnung des MSE und des Standardfehlers
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Berechnung des MSE und des Standardfehlers
MSE
Definition
Der bedingte mittlere quadratische Fehler (MSE) des Schatzers CiI von CiI
ist gegeben durchmse(CiI ) = E((CiI − CiI )
2|D)
wobei D = {Cik |i + k ≤ I + 1} die Menge aller bereits zur Verfugungstehenden Daten ist.
Fur den MSE gilt
mse(Ri ) = E((Ri − Ri )2|D) = E((CiI − CiI )
2|D) = mse(CiI )
und damitmse(CiI ) = Var(CiI |D) + (E(CiI |D)− CiI )
2
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Berechnung des MSE und des Standardfehlers
Varianz der Cik
Schatzer der Chain Ladder Faktoren fk sind Cik -gewichtetes Mittel
Var(Ci ,k+1|Ci1, ...,Cik) soll invers proportional zu Cik sein , also
Var(Ci ,k+1|Ci1, ...,Cik) = Cikσ2k 1 ≤ i ≤ I , 1 ≤ k ≤ I − 1 (3)
mit unbekannten Parametern σ2k fur 1 ≤ k ≤ I − 1.
Diese Forderung ist eine weitere, implizite Annahme, die aus demChain Ladder verfahren resultiert
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Berechnung des MSE und des Standardfehlers
Schatzer fur die Varianz der Cik
Genauso wie fur den Schatzer fk lasst sich zeigen, dass
σ2k =1
I − k − 1
I−k∑i=1
Cik
(Ci ,k+1
Cik− fk
)2
, 1 ≤ k ≤ I − 2
ein unverzerrter Schatzer fur σ2k , 1 ≤ k ≤ I − 2 ist.
Fur die Wahl von σ2I−1 gibt es zwei Moglichkeiten:
1. Wenn fI−1 = 1 ⇒ σ2I−1 = 0
2.
σ2I−1 = min
(σ4I−2
σ2I−3
,min(σ2I−3, σ2I−2)
)
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Berechnung des MSE und des Standardfehlers
Satz 4.1 (Varianzzerlegung)
Fur die Varianz einer Zufallsvariable X gilt
Var(X ) = E(
Var(X |Y ))
+ Var(E(X |Y )
)
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Berechnung des MSE und des Standardfehlers
Beweis.
Sei U := E(X |Y ) eine Zufallsvariable mit Erwartungsert
E(U) = E(E(X |Y )
)= E(X )
Fur die Varianz gilt:
Var(U) = E(U2)−(E(U)
)2= E(U2)−
(E(X )
)2Andererseits hat die bedingte Varianz den Erwartungswert
E(
Var(X |Y ))
= E(E(X 2|Y )
)− E(U2) = E(X 2)− E(U2)
Damit erhalten wir
E(
Var(X |Y ))
+ Var(E (X |Y )
)= E(X 2)−
(E(X )2
)= Var(X )
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Berechnung des MSE und des Standardfehlers
Satz 4.2
Unter den Annahmen (1), (2) und (3) konnen wir den mse(Ri ) durch
mse(Ri ) = C 2iI
I−1∑k=I+1−i
σ2kf 2k
(1
Cik
+1
I−k∑j=1
Cjk
)
schatzen, wobei Cik = Ci ,I+1−i · fI+1−i · ...·, k > I + 1− i die geschatzten
Werte der zukunftigen Cik sind und Ci ,I+1−i = Ci ,I+1−i gilt.
Der Standardfehler von Ri ist dann definiert durch
s.e(Ri ) =
√mse(Ri )
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Berechnung des MSE und des Standardfehlers
Satz 4.3
Mit der Notation und den Vorraussetzungen des vorherigen Satzes kannder MSE der gesamten Reserve R durch
mse(R) =I∑
i=2
[(s.e(Ri )
)2+ CiI
(I∑
j=i+1
CjI
)I−1∑
I+1−i
2σ2k
f 2kI−k∑n=1
Cnk
]
geschatzt werden.
Der Standardfehler von R ist dann wiederum definiert durch
s.e(R) =
√mse(R)
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Beispiele
Beispiele
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Beispiele
D.A.S Rechtsschutz AG
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Beispiele
D.A.S Rechtsschutz AG
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Beispiele
D.A.S Rechtsschutz AG
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Beispiele
OBV VVaG
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Beispiele
OBV VVaG
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Beispiele
OBV VVaG
David Fischinger 31. Marz 2018 40 / 41
Beispiele
Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!
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