Construccion de los intervalosmodales

SIGLA/X Group1

Resumen

The ground idea of interval mathematics is that ordinary set-theoreticalintervals are the consistent context for numerical computing. However, thisinterval context presents basic structural and semantical rigidities arising fromits set-theoretical foundation.To correct this situation, modal interval analysisdefines intervals starting from the identification of real numbers with the setsof predicates they accept (or reject). This report gives an account of te grounddefinitions and structures which support the semantically oriented system ofmodal intervals.

1. Introduccion

Si a y b son dos numeros reales, el intervalo clasico [a, b] (la marca distinguira losintervalos clasicos de los intervalos modales) viene definido de modo conjuntista por

[a, b] := {x R | a x b}

que extiende la interpretacion de un numero real x al conjunto unitario {x}. Dadoque en la matematica aplicada un valor real x no tiene interes por s mismo sinopor los predicados que satisface, parece natural sustituir la identificacion anteriorx {x}, que subyace en la teora intervalar clasica, por la que identifica a unnumero real con el conjunto de propiedades que verifica.

En una operacion de calculo con informacion digital numerica, un resultado interva-lar X senala y acota algun numero real x (o numeros) que verifica un determinadopredicado P(x) y este hecho de senalar requiere necesariamente una eleccion entrelos cuantificadores existencial y universal para construir una de las dos expresioneslogicas:

(x X ) P (x) : existe un elemento x de X que verifica P (x)

(x X ) P (x) : todo elemento x del conjunto X verifica P (x)

1SIGLA/X membership: Calm R., Estela M.R., Gardenes E., Jorba L., Mielgo H., Sainz M.A.,Trepat A.

1

Dentro del contexto de los intervalos clasicos no existe ninguna indicacion sobrecual de estas dos alternativas semanticas corresponde a cada valor intervalar, puestoque su definicion conjuntista agota la informacion que poseen. El efecto de estefallo de los intervalos clasicos puede ser ilustrado mediante las siguientes cuatroproposiciones referidas a la relacion a+x = b entre numeros reales, con a[1,2] yb[3,7]:

1) ( [1, 2]) (x [2, 5]) (b [3, 7]) a+x = b

2) (a [1, 2]) (b [3, 7]) (x [1, 6]) a+x = b

3) (x [1, 6]) (a [1, 2]) (b [3, 7]) a+x = b

4) (b [3, 7]) (a [1, 2]) (x [2, 5]) a+x = b

Tenemos que 1) y 4) son verdaderas para la solucion X=[2,5] de la ecuacion in-tervalar [1,2]+X= [3,7], mientras que 2) y 3), a pesar de que son correctas, estanfuera del alcance de esta ecuacion. Por otra parte, cuando la suma hay que hacerlade forma digital el unico redondeo posible para los intervalos clasicos es el redondeoexterno y la ecuacion debe ser, por ejemplo, [1,2]+X [2.9,7.1]; en este caso 1)pasara a ser

1) (a [1, 2]) (x [2, 5]) (b [2,9, 7,1]) a+x = b

pero 4) dejara de ser cierta, ya que el redondeo externo de [3,7] sera incompatiblecon el cuantificador universal . Mas aun, en el caso de la proposicion 1), su solucionno puede obtenerse mediante las operaciones propias de la teora de los intervalosclasicos.

2. Construccion de los intervalos modales

Para reducir las deficiencias provenientes de la ambiguedad semantica y la falta decompletitud estructural de los intervalos conjuntistas clasicos, los intervalos modalesvan a ser definidos como pares formados por un intervalo conjuntista junto con uncuantificador, universal o existencial, que proporcionara un modo de seleccion.

Consideremos el contexto formado por:

a) el conjunto R de los numeros reales

b) el conjunto I(R) de los intervalos clasicos en R

I(R) = {[a, b] | a, b R, a b}

cuyos elementos representaremos por A, X,..., etc.

2

c) el conjunto Pred(R) de las funciones proposicionales en una variable sobre elreferencial R:

Pred(R) = {P (.) | P (.) : R {0, 1}}

d) los cuantificadores, universal y existencial.

Los cuantificadores existencial y universal se representaran por U y E usando unanotacion mas natural que la representacion clasica mediante y . Como los cuantifi-cadores son operadores que transforman predicados reales en predicados intervalaresal igual que actua, por ejemplo, el operador integral

(x,A)

f(x) = F (A)

escribiremos

E(x,A) P (x)

U(x,A) P (x)

indicando ambos argumentos, el ndice real x y el argumento intervalar A.

Definimos un intervalo modal A como un elemento del producto cartesiano (I(R),{E,U})

A := (A,QA)

donde QA es uno de los cuantificadores E o U. As un intervalo modal es un parformado por un intervalo conjuntista clasico y un cuantificador. Al intervalo cerradoA le llamamos extension y al cuantificador QA modalidad

ext(A,QA) := A mod(A,QA) := QA

Los conjuntos basicos de intervalos modales son:

I(R) := {(A,QA) | A I(R), QA {U,E}}

Ie(R) := {(A,E) | A I(R)}

Iu(R) := {(A,U) | A I(R)}

Ip(R) := {(A,QA) I(R) | E(x,R) (A = [x, x])}

que verifican I(R) = Ie(R) Iu(R). Y as, los intervalos modales constituyen otraextension de la recta real, distinta de la extension que representan los intervalosclasicos.

Definimos como coordenadas de un intervalo modal A = (A,QA)

Inf(A) :=

{mn(A) si QA =E

max(A) si QA =USup(A) :=

{max(A) si QA =E

mn(A) si QA =U

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Introducimos la siguiente notacion canonica para los intervalos modales:

[a, b] :=

{([a, b],E) si a b

([b, a],U) si a b

De aqu en adelante la notacion [a,b], incluso cuando a b, no indicara un intervalocerrado clasico, es decir, un conjunto de puntos, sino un intervalo modal. As [1,3]no es el conjunto de valores reales entre 1 y 3, que representaremos por [1,3], sinoel intervalo modal, es decir, el par ([1,3],E); asimismo [3,1] es el par ([1,3],U).

Se verifican las propiedades siguientes

1. Inf([a,b]) = a y Sup([a,b]) = b

2. ext([a,b]) = [mn{a, b},max{a, b}] y mod([a, b]) =

{E si a b

U si a b

En efecto,

1. Inf([a, b]) =

{mn([a, b]) = a si a b

max([b, a]) = a si a b

Sup([a, b]) =

{max([a, b]) = b si a b

mn([b, a]) = b si a b

2. Por definicion del intervalo [a,b].

Por estas propiedades anteriores podemos escribir

I(R) = {[a, b] | a, b R}

Ie(R) = {[a, b] | a, b R, a b}

Iu(R) = {[a, b] | a, b R, a b}

Ip(R) = {[a, a] | a R}

Un intervalo [a,b]Ie(R) se le denomina intervalo propio y, si es el resultado deun calculo, senala ciertos valores desconocidos x situados entre a y b; un intervalo[a,b]Iu(R) se denomina intervalo impropio y, si es el resultado de un calculo, senalacualquier valor real entre a y b. En particular, un intervalo como [a,a] se denominaintervalo puntual; su extension es el conjunto unitario {a} y su modalidad es E o Upudiendo ser considerado indistintamente como intervalo propio o como impropio.En el diagrama de Moore tenemos el grafico correspondiente a la Figura 1.

4

A3 puntual

A1 impropio

A2 propio

a2

a3a1

b1

b2

b3

Figura 1: Diagrama de Moore

El cuantificador modal Q, que va a ser la principal herramienta del analisis intervalarmodal, asocia a cada predicado real un predicado intervalar segun la definicionsiguiente: para una variable x R, un predicado P (.) Pred(R) y un intervalomodal (A,QA) I(R)

Q(x, (A,QA))P (x) :=

{E(x,A)P (x) si mod(A)=E

U(x,A)P (x) si mod(A)=U

Por ejemplo,

Q(x, ([3, 1],E)) x 0 := E(x, [3, 1]) x 0

Q(x, ([1, 2],U)) x 0 := U(x, [1, 2]) x 0

Se verifica que Q(x, [a, b]) =

{E(x, [a, b]) si a b

U(x, [b, a]) si a bcomo se deduce de la definicion

de cuantificador modal.

3. Igualdad e inclusion

As como un intervalo clasico es identificable con un predicado: X x X , vamosa establecer la identificacion de un intervalo modal con un conjunto de predicados:A = (A, QA) Pred(A), lo que permite extender las relaciones de igualdad einclusion de los intervalos clasicos a los intervalos modales.

Dado un intervalo modal A = (A,QA) denominamos conjunto de predicados de Aal conjunto de las funciones proposicionales aceptadas por A, es decir

Pred(A) := {P (.) Pred(R) | Q(x,A) P (x)}

de modo que un intervalo modal es un aceptador de predicados, a diferencia delintervalo clasico que es en s un predicado.

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Se verifican las propiedades

1. Si A = (A,E), entonces Pred(A) = (x,A){P (.) Pred(R) | P (x) = 1}

2. Si A = (A,U), entonces Pred(A) = (x,A){P (.) Pred(R) | P (x) = 1}

donde (x,X ) es el operador union de una familia de conjuntos indexada por xperteneciente al conjunto X y (x,X ) el correspondiente operador interseccion.

En efecto,

1. P(.)Pred(A) E(x,A) P(x) E(x,A) (P(.){P(.)Pred(R) | P(x)=1 })

P (.) (x,A){P (.) Pred(R) | P (x) = 1}

2. P(.)Pred(A) U(x,A) P(x) U(x,A) (P(.){P(.)Pred(R) | P(x)=1 }

P (.) (x,A){P (.) Pred(R) | P (x) = 1}

Para cualquier intervalo modal A = (A,QA) podemos tambien considerar el con-junto de las funciones proposicionales rechazadas por A

Copred(A) := {P (.) Pred(R) | Q(x,A)P (x)}

y diremos que P (.) es covalidado o rechazado por A.

Por ejemplo, (. 0)Copred([7,1]) es equivalente a

Q(x, [7,1]) x 0 U(x, [1, 7]) x 0 E(x, [1, 7])x < 0

Se verifican las propiedades

1. Copred(A) = Pred(R)Pred(A)

2. Copred(A) 6=

En efecto,

1. P(.)Copred(A) Q(x,A) P(x) P(.)/Pred(A)

2. Si A = (A,QA), como . < mn(A) / Pred(A) es Pred(A) 6= Pred(R)

Copred(A) 6=

Definimos

6

Igualdad : A = B si y solo si Pred(A) = Pred(B)

Inclusion : A B si y solo si Pred(A) Pred(B)

Estas definiciones de e = entre intervalos modales mediante e = conjuntistaspermiten identificar los intervalos modales con el conjunto de predicados reales queaceptan y constituyen el fundamento estructural semantico de la teora de intervalosmodales. Todo lo que se diga a partir de ahora es deductivo.

Obviamente A = B equivale a A B y B A.

La igualdad y la inclusion pueden caracterizarse mediante el conjunto de copredica-dos segun los resultados:

1. A B equivale a Copred(A) Copred(B)

2. A = B equivale a Copred(A) = Copred(B)

En efecto,

1. A B Pred(A) Pred(B) Pred(R) Pred(A) Pred(R)Pred(B)

Copred(A) Copred(B)

2. A = B (A B , B A)

Copred(A) Copred(B) , Copred(B) Copred(A)

Copred(A) = Copred(B)

Las principales propiedades de la igualdad y la inclusion son las siguientes

1. A B equivale a

a) ext(A) ext(B) si mod(A) = mod(B) = E

b) ext(A) ext(B) si mod(A) = mod(B) = U

c) ext(A) ext(B) 6= si mod(A) = U y mod(B) = E

d) ext(A) = ext(B) = [a,a] si mod(A) = E y mod(B) = U

2. [a1, a2] [b1, b2] equivale a (a1 b1, a2 b2)

3. [a1, a2] = [b1, b2] equivale a (a1 = b1, a2 = b2)

En efecto,

1. Sean A = (A,QA) y B = (B,QB). Como A B equivale a Pred(A,QA) Pred(B,QB) segun las modalidades de A y B tendremos los siguientes casos:

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a) Pred(A,E) Pred(B,E) equivale a A B pues

Directo: A 6 B E(a,A) a / B ((. = a) Pred(A,E), (. = a) / Pred(B,E)) Pred(A,E) 6 Pred(B,E)

Recproco: Si A B, P(.)Pred(A,E) E(x,A) P(x) E(x,B) P(x) P(.)Pred(B,E)

b) Pred(A,U) Pred(B,U) equivale a B A pues

Directo: B 6 A E(b,B) b / A ((. A) Pred(A,U) , (. A) /Pred(B,U)) Pred(A,U) 6 Pred(B,U)

Recproco: Si B A, P(.)Pred(A,U) U(x,A) P(x) U(x,B) P(x) P(.)Pred(B,U)

c) Pred(A,U) Pred(B,E) equivale a A B 6= pues

Directo: A B = ((. A) Pred(A,U) , (. A) /Pred(B,E)) Pred(A,U) 6 Pred(B,E)

Recproco: Si A B 6= , P(.)Pred(A,U) U(x,A) P(x) E(x,B) P(x) P(.)Pred(B,E)

d) Pred(A,E) Pred(B,U) equivale a A = B = {a} pues

Directo: a A (. = a)Pred(A,E) (. = a)Pred(B,U) B = {a}y si existiera otro b A, entonces((. = b) Pred(A,E), (. = a)Pred(B,U)) Pred(A,E) 6 Pred(B,U)

Recproco: Si A = B = {a}, P(.)Pred(A,E) P(a) U(x,B)P(x) P (.) Pred(B,U)

2. Si [a1, a2] [b1, b2] equivale a

si a1 a2 y b1 b2, entonces mod([a1,a2]) = E , mod([b1,b2]) = E por loque

[a1, a2] = ext([a1, a2]) ext([b1, b2]) = [b1, b2]

a1 = mn(a1, a2) mn(b1, b2) = b1, a2 = max(a1, a2) max(b1, b2) = b2

si a1 a2 y b1 b2, entonces mod([a1,a2]) = U , mod([b1,b2]) = U por loque

[a2, a1] = ext([a1, a2]) ext([b1, b2]) = [b2, b1]

a1 = max(a1, a2) max(b1, b2) = b1, a2 = mn(a1, a2) mn(b1, b2) = b2

si a1 a2 y b1 b2, entonces mod([a1,a2]) = U , mod([b1,b2]) = E porlo que

[a2, a1] [b1, b2]

6=

a1 = max(a1,a2) min(b1,b2) = b1 , a2 = min(a1,a2) max(b1,b2) = b2

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si a1 a2 y b1 b2, entonces mod([a1,a2]) = E , mod([b1,b2]) = U porlo que

[a1, a2] = [b2, b1]

= {a}

a1 = min(a1,a2) max(b1,b2) = b1 , a2 = max(a1,a2) min(b1,b2) = b2

3. [a1, a2] = [b1, b2] ([a1, a2] [b1, b2], [b1, b2] [a1, a2])

(a1 b1, a2 b2), (b1 a1, b2 a2)) (a1 = b1 , a2 = b2)

Es interesante notar la identidad formal de las relaciones de igualdad e inclu-sion en I(R) e I(R).

Ejemplo 3.1

Para A = [2, 4] y B = [1, 5] tenemos que

mod(A) = mod(B) = E, ext(A) = [2, 4] [1, 5] = ext(B), a1 b1, a2 b2

lo que equivale a que A B.

Para A = [5, 1] y B = [4, 2] tenemos que

mod(A) = mod(B) = U, ext(A) = [1, 5] [2, 4] = ext(B), a1 b1, a2 b2

lo que equivale a que A B.

Para A = [5, 1] y B = [2, 6] tenemos que

mod(A) = U mod(B) = E, ext(A) ext(B) = [1, 5] [2, 6] 6= , a1 b1, a2 b2

lo que equivale a que A B.

Si A = [a1,a2] y B = [b1,b2] son tales que a1 b1 y a2 b2 diremos que A es menoro igual que B, denotandose por A B.

En el plano de Moore un diagrama para la inclusion y la relacion menor o igual es

BC B

B AD B

B E

Figura 2: Inclusion y menor o igual

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Facilmente se observa que en I(R) las relaciones y son de orden parcial y entredos intervalos A y B se verifica una de las siguientes situaciones (no excluyentes)

A B o B A o A B o B A

lo que hace que los algoritmos intervalares sean esencialmente mas complejos quelos algoritmos numericos ya que entre numeros la alternativa es simplemente a bo b a

4. Operadores intervalares

Introducimos los operadores que denominaremos dualidad, propio e impropio

dualidad: Dual(A,QA) := (A,Dual(QA))

propio: Prop(A,QA) := (A,E)

impropio: Impr(A,QA) := (A,U)

que, en funcion de los extremos, son

Dual([a, b]) = [b, a]

Prop([a, b]) = [mn{a, b},max{a, b}] Ie(R)

Impr([a, b]) = [max{a, b},mn{a, b}] Iu(R)

y verifican los siguientes resultados

1. Q(x,A) P(x) equivale a Q(x,Dual(A)) P(x)

2. P(.)Copred(A) equivale a P(.)Pred(Dual(A))

3. P(.)Pred(Prop(A)) equivale a P(.)Copred(Impr(A))

4. Si P(.)Pred(Impr(A)), entonces

P(.)Pred(Prop(A)) , P(.)Copred(Prop(A)) , P(.)Copred(Impr(A))

5. A B equivale a Dual(A) Dual(B)

6. Impr(A) Prop(A)

En efecto,

1. a) Si A = (A,E)Q(x,A)P (x) = E(x,A)P (x) U(x,A)P (x) Q(x,Dual(A))P (x)

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b) Si A = (A,U)Q(x,A)P (x) = U(x,A)P (x) E(x,A)P (x) Q(x,Dual(A))P (x)

2. P (.) Copred(A) Q(x,A)P (x) Q(x,Dual(A))P (x) P (x) Pred(Dual(A))

3. Por la propiedad 2).

4. Por la propiedad 2) y 3) y porque

P(.)Pred(Impr(A)) U(x,A)P(x) E(x,A) P(x) P(.)Pred(Prop(A))

5. Si A = [a1,a2] y B = [b1,b2], entonces

A B (a1 b1 , a2 b2) [b2,b1] [a2,a1] Dual(A) Dual(B)

6. Impr(A) Prop(A) ya que min{a,b} max{a,b}

5. El retculo de los intervalos modales

Introduciremos ahora las operaciones nfimo y supremo para los retculos definidospor las relaciones de orden parcial y sobre I(R).

Definimos en I(R) dos operaciones reticulares sobre una familia de intervalos defi-nida por {A(i) | iI, A(i) I(R)}, con la relacion de orden , denominadas meety join

meet : (i, I)A(i) = A I(R) tal que U(i, I)(X A(i)) X A

join : (i, I)A(i) = B I(R) tal que U(i, I)(X A(i)) X B

hacen que (I(R),) sea un retculo.

Otras dos operaciones reticulares, que llamaremos Bottom y Top vienen defini-das por la relacion sobre I(R):

B(i, I)A(i) = C I (R) tal que U(i, I)(X A(i)) X C

T(i, I)A(i) = D I (R) tal que U(i, I)(X A(i)) X D

hacen que (I(R),) sea un retculo.

El calculo es facil pues se obtienen en funcion de los extremos. Si A(i) = [a1(i), a2(i)]

(i, I)A(i) = [mn(i, I)a1(i), max(i, I)a2(i)]

(i, I)A(i) = [max(i, I)a1(i), mn(i, I)a2(i)]

B(i, I)A(i) = [mn(i, I)a1(i), mn(i, I)a2(i)]

T(i, I)A(i) = [max(i, I)a1(i), max(i, I)a2(i)]

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Estas operaciones vienen representadas en un diagrama de Moore tal como indicala figura

A(1)

A(3)

A(2)

A = A(i)

B = A(i)

A(5)

A(4)

A(6)

D = T A(i)

C = B A(i)

Figura 3: Join, Meet, Top y Bottom

Se comprueba de forma inmediata que tambien

Dual((i, I)A(i)) = (i, I)Dual(A(i))

Dual((i, I)A(i)) = (i, I)Dual(A(i))

Ejemplo 5.1

Para los intervalos A(1) = [1, 2] , A(2) = [3,1] , A(3) = [4, 2], A(4) = [1,1] yA(5) = [2, 1] tenemos

(i, I)A(i) = [max{1, 3, 4, 1}, mn{2,1, 2,1, 2}] = [4,1]

(i, I)A(i) = [mn{1, 3, 4, 1}, max{2,1, 2,1, 1}] = [1, 2]

Estos operadores permiten dar una caracterizacion de los intervalos de I(R), yaque si A I(R), entonces

A =

{(a,A)[a, a] si A es propio

(a,A)[a, a] si A es impropio

como facilmente se obtiene del calculo anterior. Si definimos el operador join-meet

(a,A) :=

{(a,A) si A es propio

(a,A) si A es impropio

podemos interpretar un intervalo A I(R) mediante

A = (a,A)[a, a]

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6. Predicados intervalares

Una clase especialmente simple e interesante de predicados esta constituida porpredicados del tipo P1(x) =x [1, 2]

o bien P2(x) = x / [1, 2], tales que los

puntos de R estan en un intervalo clasico ([1, 2] para P1(x)) o fuera de el ([1, 2]

para P2(x)). Consideremos el conjunto de funciones proposicionales del tipo x X

y x / X

Pred(R) := {P (.) | E(X , I(R)) P (.) = (. X )}

Copred(R) := {P (.) | E(X , I(R)) P (.) = (. / X )}

Para cualquier intervalo A = (A,QA) podemos definir los siguientes subconjuntosde Pred(A) y Copred(A)

Pred(A) := {(. X ) Pred(R) | Q(x,A)x X }

Copred(A) := {(. / X ) Copred(R) | Q(x,A)x / X }

Los elementos de Pred(R) y Copred(R) se denominan predicados y copredicadosintervalares, respectivamente, por lo que Pred(A) es el conjunto de los predicadosintervalares aceptados por A y Copred(A) es el conjunto de los copredicados inter-valares rechazados por A. Las principales propiedades que verifican son las siguientes

1. (. /X)Copred(A) equivale a (. X)Pred(Dual(A))

2. (. X)Pred(A) equivale a Impr(X) A

3. (. /X)Copred(A) equivale a A Prop(X)

En efecto,

1. Sale directamente de la propiedad 2) de la seccion 4.

2. Si A = (A,E) es

(. X)Pred(A) E(x,A) xX X A 6= Impr(X) A

Si A = (A,U) es

(. X)Pred(A) U(x,A) xX A X Impr(X) A

3. (. / X ) Copred(A) (. X)Pred(Dual(A)) Impr(X) Dual(A)

A Prop(X) = X

Las equivalencias 2) y 3) permiten las identificaciones

Pred(A) {Impr(X) | Impr(X) A}

Copred(A) {Prop(X) | Prop(X) A}

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Sera deseable que Pred(AB) fuera igual a Pred(A) Pred(B) y que Pred(AB)fuera igual a Pred(A) Pred(B) lo que no es cierto. Por ejemplo,

Pred([1, 2] [3, 4]) = Pred([3, 2])

pero el predicado x{1.5,3.5} pertenece a Pred([1,2]) y a Pred([3,4]) y, por lo tanto,a la interseccion de ambos pero no a Pred([3,2]). Asmismo, el predicado x = 2.5pertenece a Pred([1,4]), que es igual a Pred([1,2][3,4]), pero no Pred([1,2]) ni aPred([3,4]). Sin embargo esto no va a impedir una buena estructura semantica parael retculo de los intervalos modales.

Las relaciones entre las operaciones reticulares y entre intervalos modales yla union e interseccion de sus predicados intervalares vienen establecidas por lassiguientes propiedades

1. Pred(AB) Pred(A) Pred(B)

2. Pred(AB) Pred(A) Pred(B)

3. Copred(AB) Copred(A) Copred(B)

4. Copred(AB) Copred(A) Copred(B)

5. Pred(AB) = Pred(A) Pred(B)

6. Pred(AB) Pred(A) Pred(B)

7. Copred(AB) Copred(A) Copred(B)

8. Copred(AB) = Copred(A) Copred(B)

En efecto,

1. Como

A B Ay

A B B

Pred(A B) Pred(A)

yPred(A B) Pred(B)

Pred(AB) Pred(A)Pred(B)2. Como

A B Ay

A B B

Pred(A B) Pred(A)

yPred(A B) Pred(B)

Pred(AB) Pred(A)Pred(B)

3. La demostracion es analoga a la 1)

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4. La demostracion es analoga a la 2)

Desde un punto de vista estructural, el fracaso que representa el hecho de que en 1)y 2) no se verifique la igualdad viene del hecho de que el sistema (I(R), ) es unsubretculo del (Pred(R), ) y las operaciones reticulares y corresponden alsubsistema mas restringido (Pred(I(R)), ) (I(R), ) e impide la existencia deuna asociacion mas fuerte entre el retculo de intervalos y el retculo de los intervaloscomo conjuntos de predicados.

Consideremos en lugar del conjunto de predicados Pred(X) el conjunto mas restrin-gido Pred(X) que va a permitir obtener algunas relaciones de igualdad, no todas,expresadas en las demas propiedades.

5.

(. X ) Pred(A B) Impr(X ) A B Impr(X ) A

yImpr(X ) B

(. X ) Pred(A)

y(. X ) Pred(B)

(. X ) Pred(A) Pred(B)6.

(. X ) Pred(A) Pred(B) (. X ) Pred(A)

o(. X ) Pred(B)

Impr(X ) A

oImpr(X ) B

Impr(X ) A B (. X ) Pred(A B)7.

(. / X ) Copred(A) Copred(B) (. / X ) Copred(A)

o(. / X ) Copred(B)

Prop(X ) A

oProp(X ) B

Prop(X ) A B (. / X ) Copred(A B)8. (. /X)Copred(AB) (. X)Pred(Dual(A)Dual(B))

(. X)(Pred(Dual(A))Pred(Dual(B)))

((. X )Pred(Dual(A)), (. X )Pred(Dual(B)))

((. / X )Copred(A),(. / X )Copred(B))

(. / X ) (Copred(A) Copred(B))

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La inclusion e igualdad en el conjunto de los intervalos modales son conceptos denaturaleza intervalar puesto que ligan los intervalos modales a los conjuntos depredicados que aceptan o rechazan. Pero sus propiedades demuestran que la estruc-tura intrnseca del conjunto de intervalos modales con sus operaciones -meet y-join no permite una total asociacion ni con el conjunto total de los predicadosque aceptan o rechazan ni con los conjuntos mas especializados de predicados ocopredicados intervalares. Los intervalos modales son intrnsecamente unilaterales,desde el punto de vista de su asociacion con conjuntos de predicados, puesto quepueden identificarse con el conjunto de predicados del intervalo que validan, A Pred(A), unicamente cuando se consideran los predicados intervalares comunes aalguna familia de intervalos modales {A(i) | iI}, en cuyo caso {Pred(A(i)) | iI}es igual a Pred({A(i) | iI}). Asmismo pueden ser identificados con el conjuntode copredicados que rechazan A Copred(A) unicamente cuando se consideranlos copredicados intervalares comunes a una familia de intervalos modales {A(i) |iI}, en cuyo caso {Copred(A(i)) | iI} es igual a Pred({ A(i) | iI}). Por otraparte es interesante notar que todas las inclusiones de las propiedades anteriores seconvierten en igualdades cuando entre A y B existe la relacion A B.

Definimos la implicacion de predicados para presentar los conjuntos mnimos depredicados que determinan Pred(A) y Pred(A). Para R(.), S(.)Pred(R)

(R(.) S(.)) := U(x,R) (R(x) S(x))

Definimos ahora el conjunto mnimo de predicados de un intervalo modal A I(R)como

Pred(A) :=

{{(. = x0) | x0 A

} si A es propio

{(. A)} si A es impropio

de forma que Pred(A) es el subconjunto de predicados de Pred(R) que son extensionde los elementos de Pred(A) y Pred(A) es el subconjunto de Pred(A) formadopor los elementos del tipo (. X ), para X I(R).

Se define el conjunto mnimo de copredicados de un intervalo modal A I(R) como

Copred(A) :=

{{(. A)} si A es propio

{(. = x0) | x0 A} si A es propio

de forma que Copred(A) es el subconjunto de predicados de Pred(R) que son restric-cion de los elementos de Copred(A) y Copred(A) es el subconjunto de Copred(A)formado por los elementos del tipo (. X ), para X I(R)

7. Caso n-dimensional

La teora completa n-dimensional conducira a un desarrollo demasiado largo antesde entrar en la teora de las extensiones modales intervalares de funciones que es el

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principal objetivo del curso. Por ello introduciremos solamente algunas definicionesbasicas y resultados, de la extension n-dimensional.

Definimos el conjunto de intervalos modales n-dimensionales I(Rn) como una ge-neralizacion natural de I(R)

I(Rn) := (I(R))n = {A = (A1,...,An) | A1 I(R),..., An I

(R)}

A veces es util separar los intervalos componentes de A en propios e impropios yexpresar

A := (Ap , Ai) con Ap Ie(Rnp), Ai Iu(R

ni ), np + ni = n

Si A = (A1,...,An) y B = (B1,...,Bn) son intervalos modales n-dimensionales se define,

A = B si y solo si (A1 = B1, ..., An = Bn)

A B si y solo si (A1 B1, ..., An Bn)

Para A = (A1,...,An) I(Rn), X = (X1,...,X

n)I(Rn) y x = (x1,...,xn) R

n sedefinen

xX si y solo si (x1X

1, ..., xnX

n)

Pred(A) := {(. X) | (. X1)Pred(A1), ..., (. X

n)Pred(An)} =

= {(. X) | Q(x1,A1)...Q(xn ,An) (x1X

1, ..., xnX

n)}

(observese la conmutatividad de Q(x1,A1)...Q(xn ,An) (x1X

1,..., xnX

n) por cons-tar de componentes de variables resueltas)

Copred(A) := {(. /X) | (. /X1)Copred(A1),..., (. /X

n)Copred(An)} =

= {(. /X) | (Q(x1,A1)...Q(xn ,An) (x1 /X

1 or...or xn /X

n))}

Si X = (X1,...,Xn) I(Rn) y X = (X1,...,X

n)I(Rn) se definen

Dual(X)=(Dual(X1), , Dual(Xn))

Prop(X) = Prop(X) := ((X1,E),...,(X

n ,E))

Impr(X) = Impr(X) := ((X1,U),...,(X

n ,U))

y, analogamente al caso 1-dimensional, se verifica que

(. X ) Pred(A) equivale a Impr(X ) A

(. / X ) Copred(A) equivale a Prop(X ) A

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Se definen las operaciones reticulares join y meet para familias indexadas de in-tervalos con n componentes {A(i) | iI, A(i) I(Rn)} del siguiente modo: siA(i) = (A1(i), . . . , An(i)), entonces

(i, I)A(i) := ((i, I)A1(i), . . . ,(i, I)An(i))

(i, I)A(i) := ((i, I)A1(i), . . . ,(i, I)An(i))

8. Norma semantica para el calculo digital

Veamos ahora una aplicacion de la teora previa a la interpretacion de resultadosintervalares con redondeo, desde el punto de vista de la informacion que contienen.

Si DI R es una escala digital para los numeros reales. Sea el conjunto de losintervalos modales digitales

I(DI) := {[a, b] I(R) | a DI, b DI}

Se definen los redondeos externo e interno de un intervalo A = [a, b] I(R) comolos intervalos de I(DI) definidos por

Ex([a, b]) := [l(a), r(b)]

In([a, b]) := [r(a), l(b)]

Se verifica que In(A) = Dual(Ex(Dual(A))) ya que

In(A) = [r(a), l(b)] = Dual([l(b), r(a)]) = Dual(Ex([b, a])) = Dual(Ex(Dual(A)))

De los resultados de la identificacion de intervalos modales con los conjuntos depredicados que aceptan o rechazan, concluimos que Ex(F ) F para el calculo delredondeo exterior de un intervalo exacto F , In(F ) F para el calculo de su redondeointerno y que

In(F ) F Ex(F )

lo cual es equivalente a la relacion

Pred(In(F )) Pred(F ) Pred(Ex(F ))

y a laCopred(In(F )) Copred(F ) Copred(Ex(F )).

Este resultado significa que la informacion positiva a priori (predicados que sonanalticamente aceptados por el calculo desconocido de F ) se induce de F a Ex(F ),y la informacion negativa a priori (predicados reales que por razones analticasson rechazados por F ) se induce del mismo modo a In(F ). Contrariamente, la infor-macion a posteriori, aceptada o rechazada por los intervalos calculados Ex(F ) eIn(F ), se induce de Ex(F ) a F (los predicados negativos a posteriori), y de In(F )

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a F (los predicados positivos a posteriori). Los predicados que no son ni aceptadospor In(F ) ni rechazados por Ex(F ) no se pueden decidir a posteriori para F .

En particular, en el caso de intervalos clasicos, con el redondeo externo, si A1 A

2,solamente estan disponibles la informacion a priori Pred(A1)

E(x,A1)P (x) E(x,A

2)P (x)

y la informacion a posteriori Copred(A2)

U(x,A2)P (x) U(x,A

1)P (x)

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Referencias

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9. Problemas

1. A partir de la igualdad ax = b, averiguar cuales de las siguientes proposicionesson ciertas

a) (a [3, 8]) (x [1, 2]) (b [8, 16]) ax = b

b) (a [3, 8]) (x [1, 2]) (b [8, 16]) ax = b

c) (a [3, 8]) (x [1, 2]) (b [8, 16]) ax = b

d) (b [8, 16]) (x [1, 2]) (a [3, 8]) ax = b

e) (b [8, 16]) (x [1, 2]) (a [3, 8]) ax = b

2. Para los intervalos modales ([3, 4],E), ([5, 0],U), ([3, 3],E) y ([3, 3],U), ha-llar extension, modalidad, nfimo, supremo y expresarlos en notacion canonica.

3. Para los intervalos modales [3,1], [4, 6], [5,10] y [4, 4], expresarlos comopares (conjunto, cuantificador) y hallar nfimo, supremo, extension y modali-dad.

4. Representar graficamente los intervalos modales ([3,3],U), ([1, 2],U) y([3, 4],E).

5. Averiguar si son ciertas o no las proposiciones

a) Q(x, ([3, 4],E)) x < 0

b) Q(x, ([1, 2],U)) x+ 16 < 4

c) Q(x, [1, 3]) x2 + x+ 1 < 2

d) Q(x, [4,2]) |x+ 3| < |x+ 1|

6. Decidir si

a) (1 + x2 0) Pred([4, 1])

b) (1 + x2 < 3) Pred([4, 2])

c) (x+ 5 [4, 5]) Pred([1,3])

d) (3x 4 > x2) Copred([0, 3])

e) (x < 7) Copred([2, 2])

f ) (x+ 5 [4, 5]) Copred([1,3])

7. Comprobar que

a) Pred([3, 5]) = (x, [3, 5]){P (.) | P (x)}

b) Pred([1,4]) = (x, [4,1]){P (.) | P (x)}

8. Averiguar si son ciertas las siguientes inclusiones

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a) [4, 5] [1,3]

b) [6, 1] [4, 15]

c) ([3, 4],U) ([1, 10],U)

d) ([0, 0],E) ([5, 6],U)

e) ([1, 2],E) [1, 1]

9. Comprobar que [4, 1] [2, 3] y que

Pred([4, 1]) Pred([2, 3])

Copred([4, 1]) Copred([2, 3])

10. Averiguar si [6, 2] [1, 10] y ([4, 5],E) ([6, 8],U).

11. Comprobar si

a) Dual([3, 6]) Prop([4, 5])

b) Impr([4, 8]) Dual([3, 4],U)

c) Q(x, [3, 1])P (x) Q(x, [1, 3])P (x)

d) P (.) Copred([3, 1]) P (.) Pred([1, 3])

12. Calcular

a) [3,1] [4, 5]

b) ([3, 2], [5, 6], [1,3])

c) ([8, 6], [1, 2], [1, 5], [0, 3], [2, 2])

d) (([3,4], [1, 3], [5,8])) ((i, [1, 6])[i, i+ 3])

e) (B(i, {1, 6, 8})[i 1, i 5]) (T(i, [1, 2])[i2 + 1, 1])

13. Verificar si

a) (. [1, 4]) Pred([1, 2],U)

b) (. [3,1]) Pred([7, 0])

c) (. / [0, 0]) Copred([1, 1],E)

d) (. / [1, 3]) Copred([4,3])

14. Para los intervalos A = [3, 2] y B = [1, 6] comprobar que

Pred(A B) Pred(A) Pred(B)

Pred(A B) Pred(A) Pred(B)

y averiguar si

Pred(A B) Pred(A) Pred(B)

15. Comprobar si

([3, 4], [2,1], [1, 2]) ([1, 8], [3,5], [0, 3]) y

Prop([3,4], [2, 2]) Impr([3, 2], [1, 6])

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