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Escuela de Ingeniería IndustrialCurso de Investigación de Operaciones I
Introducción a la Investigación deOperaciones y Modelación
Matemática
Presentado por: Carlos Julio Vidal Holguín
Santiago de Cali, marzo-julio de 2016
Contenido
• Reseña histórica de la Investigación de
Operaciones (IO)
• Naturaleza de la IO
• Principales técnicas de la IO y aplicaciones
• El proceso de diseño en ingeniería
• Modelos: El problema del salvavidas
• Ejemplo de Programación Lineal
• Taller propuesto
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Breve reseña histórica de la IO• Primeros modelos de programación matemática en el
área de economía (Quesnay, Walras, Leontief).
• Segunda Guerra Mundial (1939 –1945).
• Revolución Industrial (Siglo XIX) y división funcional del
trabajo.
• George Dantzig (1947): Método Simplex para PL.
• En 1952 se funda la ORSA y TIMS. Década de los 50’s y
60’s: Desarrollo notable de la mayoría de las técnicas de
la IO, paralelo al desarrollo de los computadores.
• Fusión de ORSA + TIMS = INFORMS en 1995.• Auge actual con INFORMS (https://www.informs.org/About-
INFORMS) con más de 12.000 miembros, y postgrados en
un gran número de universidades.
Naturaleza de la IO• La IO Aplica el método científico.
• La IO busca soluciones óptimas de problemas
reales.
• La IO es generalmente desarrollada y utilizadapor grupos interdisciplinarios.
• La IO tiene un amplio punto de vista.
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Naturaleza de la IO• “La IO se ocupa de la modelación y de la toma de
decisiones óptimas en sistemas determinísticosy probabilísticos de la vida real.”
• “La IO es una disciplina relacionada con la aplicación de
métodos analíticos avanzados para ayudar a tomar
mejores decisiones. Empleando técnicas de otras
ciencias, tales como modelación matemática, análisis
estadístico y optimización matemática, la IO encuentra
soluciones óptimas o cercanas a éstas de problemas
complejos de decisión. La IO está íntimamenterelacionada con la ingeniería industrial, la administración
de operaciones y las ciencias de la computación.”*
*Fuente: https://www.informs.or g/About-INFORMS/What-is-Operations-Research. Consultada MAR_2016.
Principales técnicas de la IO y sus aplicaciones• Progr amación Matemátic a : Optimización de cadenas de
suministro, planeación de producción, optimización de inversiones,
asignación de personal, diversas aplicaciones en Logística, etc.
• Modelos d e redes : Optimización de sistemas de producción-
distribución, control de proyectos, optimización de cadenas de
suministro, optimización de redes de transporte, etc.
• Progr amación Dinám ica : Estrategia de ventas, planeación de la
producción, etc.
• Teoría de colas y c adenas de Markov : Control de tránsito,programación del tráfico aéreo, diseño de sistemas de servicio,
diseño de presas, etc.
• Teoría de inven tar io s : Sistemas de pronósticos y control de
inventarios.
• Simulación : Aplicaciones en infinidad de sistemas reales.
• Análisi s de deci sio nes : Selección óptima de alternativas.
https://www.informs.org/About-INFORMS/What-is-Operations-Researchhttps://www.informs.org/About-INFORMS/What-is-Operations-Researchhttps://www.informs.org/About-INFORMS/What-is-Operations-Research
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El Proceso de Diseño en Ingeniería
¿Qué es un modelo?
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Arte y ciencia de la Modelación Matemática
El Problema del Salvavidas(Programación no-lineal)
Un salvavidas se encuentra situado en un punto S sobre una
playa plana y recta, situado a 30 m de la orilla, como muestra
la Figura de la transparencia siguiente. Dentro del agua, en
un punto P, situado 80 m a la izquierda de S y 100 m dentro
del agua, se encuentra un bañista en peligro de ahogarse. El
salvavidas puede correr a una velocidad lineal constante de9 m/seg sobre la tierra y nadar a una velocidad lineal
constante de 2.5 m/seg. ¿Qué debe hacer el salvavidas
para llegar a la persona lo más rápido posible?
El problema del salvavidas: Enunciadoagua
arena
P
S
30m
100m
80 m
V agua = 2.5 m/s
V arena = 9.0 m/s
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El problema del salvavidas: Análisis
arena
agua P
S
30m
100m
80 m
x 80 x
El problema del salvavidas: Formulación
Objetivo: Minimizar tiempo de llegada
del salvavidas a la persona:
Tiempo total T = T arena + T agua
agua
agua
arena
arena
v
d
v
d T
m800
seg 5.2
100
9
30)80()(min
2222
x
x x xT
arena
agua P
S
30m
100m
80 m
x 80 x
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Solución óptima del
problema del salvavidas:
Excel
El problema del salvavidas: Solución óptima
arena
agua
x * = 25.13 m
P
S
30m
100m
80 m
x *
Intuitivo: En línea
recta (x = 61.54 m)
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/SOLUCION%20PROBLEMA%20DEL%20SALVAVIDAS%20AGO%202014.xlsxhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/SOLUCION%20PROBLEMA%20DEL%20SALVAVIDAS%20AGO%202014.xlsx
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El problema del salvavidas: Gráfica
44.00
46.00
48.00
50.00
52.00
54.00
56.00
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T i e m p o t ( x ) e n s e g u n d o s
x (m)
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• Velocidad sobre la arena y sobre el agua =
constantes (no hay aceleración ni desaceleración)• La persona que está en peligro está inmóvil
• No hay oleaje fuerte en el agua
• El límite arena – agua no se mueve
• No hay obstáculos en la playa ni en el agua
• El límite arena – agua es recto y la playa es plana
• ¿Otros?
El problema del salvavidas: Supuestos
Realismo vs. Posibilidad de Solución
EL ARTE DE MODELAR
Identificación de las características fundamentales delsistema
Diseño de modelos eficientes y efectivos
Tiempo computacional aceptable
Realismo
Herramientas para la toma de decisiones
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Ejemplos de diversos
modelos matemáticos
Localización de una nueva bodega
PUNTO
i PRODUCTO
VOLUMEN
TOTAL V i
(Ton/año)
COSTO DE
TRANSPORTE CT i
[$ / (Ton∙km)]
COORDENADA
x i
(km)
COORDENADA
y i
(km)
P1 A 2,000 0.050 3 8
P2 B 3,000 0.050 8 2
C1 A&B 2,500 0.075 2 5
C2 A&B 1,000 0.075 6 4
C3 A&B 1,500 0.075 8 8
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Localización de una nueva bodega
id
iCT
iV
C
i
i
i
T
aninstalacióladesdeDistancia
hacia Transporte de Costo
punto delVolumen
te transpor de totalCosto
: Notación
Ejemplo de localización continua (Modelo)
• Se consideran distancias Euclidianas
• La función objetivo a minimizar es entonces:
bodega.nuevaladeónlocalizacilaes ),( donde
)()(
te transpor de totalcostoMinimizar
1
22
1
y x
y y x xCT V d CT V C n
i
iiii
n
i
iiiT
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Oferta para ocupación de un hotel
Un hotel turístico exclusivo muy demandado recibe una serie de ofertas para ocupación de uno de sus
mejores conjuntos de habitaciones entre Mayo 1 y Agosto 31. Las ofertas varían en cuanto al preciode las habitaciones, ya que existen diferentes tipos de clientes, y en cuanto al día de llegada y al díade salida de los turistas. Por ejemplo, una oferta puede ser por $800,000 entre Junio 15 y Junio 18,mientras que otra oferta puede ser por $1.000.000 entre Junio 16 y Junio 20. Como el ejemplomuestra, no se permite superposición de ofertas, ya que se supone que cada una de ellas ocuparíacompletamente las habitaciones disponibles. Por lo tanto, de las dos ofertas mostradas en el ejemplo,sólo una puede escogerse. También, pueden existir períodos de tiempo donde no exista oferta alguna.Formule un modelo de redes que permita encontrar la mejor forma de seleccionar las ofertas entreMayo 1 y Agosto 31, de tal forma que se maximice el ingreso total del hotel para este período.
Mayo1 Ago.31Jun.15Jun.16 Jun.17
Jun.18 Jun.19 Jun.20…
…
$800,000
$1,000,000
Ejemplo de Programación Lineal
• Se producen dos productos (P1 y P2)
• Dos recursos:
– Capacidad de la máquina (hr de operación/año)
– Cantidad limitada de materia prima r (ton/año)• Hay una demanda máxima de cada producto
• Se busca maximizar la utilidad neta total
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PRODUCTOEficiencia(hr/ton)
Consumo(tonr/tonp)
Demanda(ton/año)
Utilidad($/ton)
P1 0.12 1.45 50,000 100
P2 0.18 1.15 35,000 160
LIMITE 8,400
hr/año
80,000
ton/año
Información básica para el modelo
Variables de decisión
• P 1 = Cantidad a producir del producto P1,
expresada en ton /año
• P
2 = Cantidad a producir del producto P2,expresada en ton /año
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Modelo de Programación Lineal
Maximizar U = 100P1 + 160P2 [$ / año]
Sujeto a:
0.12P1 + 0.18P2 8,400 [hr / año]
1.45P1 + 1.15P2 80,000 [tonr / año]
P1 50,000 [ton p / año]
P2 35,000 [ton p / año]
(P1, P2) 0 [ton p / año]
DefinirAlternativas de
Solución (es) Definir
Restricciones a la
(s) Solución (es) Definir Criterio o
Función Objetivo
MODELOS SON SOPORTE, NO
DECISIONES !!!
MODELOS SON SOPORTE, NO
DECISIONES !!
MODELOS PL
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MODELOS PL
Problema
Actividades
Recursos
Paráme
tros
Objetivo
Variables deDecisión
Consumo deRecursos
Restricciones
FunciónObjetivo
Esquema de un Modelo de Programación Matemática
MODELOS Y PROCESO DEDISEÑO EN INGENIERÍA
Ventajas
• Consideración de aspectos
fundamentales difíciles de
abordar sin un modelo.
• Definición precisa: objetivos,
estructura y restricciones delsistema.
• Evaluación sistemática de
alternativas
• Rápido análisis de sensibilidad
Desventajas
• Necesidad de muchos datos
de alta precisión (costosos)
• Necesidad de conocimientos
especializados: formulación,
solución y análisis deresultados
• Se requiere sistemas de
computación y programas
complejos y costosos
• Tiempos de solución largos
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A possible classification of Optimization Problems
Clasificación de los modelos de optimización
Optimización de procesos químicos. 2007 – 2008. DIQUIMA – ETSII
(Cortesía de Pablo Manyoma)
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Taller 1
Una compañía petrolera está planeando construir un oleoducto para llevar petróleo crudo desdeun pozo hasta un punto donde se embarcará en tanques y será transportado a la refinería. Lafigura siguiente muestra la disposición geográfica del pozo y del punto de embarque.
Los costos de construcción del oleoducto son los siguientes:Por la ribera del río donde está ubicado el pozo de petróleo: $72/KmPor la ribera del río donde está ubicado el punto de embarque: $90/KmAtravesando el río (por cualquier parte): $150/Km
Formule un modelo matemático que le permita determinar cómo debe construirse el oleoducto detal forma que el costo total de construcción sea mínimo. Defina para ello las variables de decisiónadecuadas y construya la función objetivo y las restricciones con base en dichas variables.
Problema No. 1
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Su compañía posee tres plantas, en las cuales elabora un componente pequeño para un productoindustrial. La compañía comercializa el producto a través de cinco distribuidores en el país.Los pronósticos de ventas indican que los requerimientos mensuales por distribuidor son lossiguientes:
DISTRIBUIDOR 1 2 3 4 5
Demanda mensual (Unid) 2,700 2,700 9,000 4,500 3,600
La capacidad mensual de producción en cada planta y los costos unitarios de producción seilustran en el siguiente cuadro:
PLANTA 1 2 3
Capacidad (Unid) 4,500 9,000 11,250
Costo Unitario de producción ($/Unid) 60 30 54
Los costos de envío a distribuidores desde las plantas se muestran en el cuadro siguiente, en$/Unid:
DISTRIBUIDOR 1 2 3 4 5
Planta 1 1.5 2.1 3.3 4.5 4.8
Planta 2 2.4 1.8 3.0 3.6 4.5
Planta 3 3.0 2.7 2.7 3.0 4.8
Formule un modelo matemático que le permita determinar dónde producir los componentes y laforma de des acharlos hacia los distribuidores.
Problema No. 2
Problema No. 31) Para la elaboración de un producto químico se cuenta con 4 materias primas: A, B, C y D que
contienen cierto factor f tal como se indica en el cuadro siguiente:
MATERIA PRIMAFACTOR
f (%)
COSTO
($/Kg)
A 51 4.00
B 11 2.00
C 14 2.40
D 36 3.00
Se trata de obtener una mezcla de una tonelada, cuyo contenido del factor f sea por lo menos del
18% y con la condición que las materias primas B y C no constituyan más del 20% de la mezcla,con el mínimo costo posible.
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Una industria de papel produce pulpa la cual puede vender al mercado local o utilizar para
fabricar papel blanco o cartón. Una tonelada de cartón requiere 0.7 ton de pulpa, mientrasque una tonelada de papel blanco consume 0.9 ton de pulpa (el cartón y el papel blancorequieren de otras materias primas que no se consideran en este problema). La pulpa se produce a partir de bagazo de caña de azúcar, con un rendimiento del 40%. Se dispone de260,000 ton/año de bagazo. Las instalaciones para producir pulpa tienen capacidad para 250ton/día. La máquina de cartón trabaja a una velocidad efectiva de 200 ton/día y la de papel blanco a 150 ton/día. La producción se hace durante 335 días al año, ya que el resto detiempo se dedica a mantenimiento.
Cada tonelada de papel blanco producida arroja al río 10 unidades de contaminación; unatonelada de cartón arroja 6 unidades y cada tonelada de pulpa arroja 20 unidades. Se permiteun máximo total de 1,000,000 unidades de contaminación/año arrojada al río. Las utilidadesnetas por tonelada de pulpa, cartón y papel blanco son $50, $60 y $80, respectivamente.
Formule un modelo de programación lineal que permita estimar el mejor plan de producciónanual. Asuma que todo lo que se produce puede venderse.
Problema No. 4