Download - 3 - Fungsi Analitik (1)
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 1/12
FUNGSI ANALITIK
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 2/12
Definisi
◦Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau
atau monogenik) di titik z0 apabila f’(z) ada di sem
titik pada suatu lingkungan z0.
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 3/12
Misal D himpunan (daerah) terbuka, maka :
1. Fungsi () disebut fungsi analitik pada D bila ′() ada
setiap ∈ (atau () berlaku PCR untuk setiap ∈ ).
2. Fungsi () disebut fungsi analitik di = bila () ana
pada lingkungan dari (lingkungan dari adalah lingk
terbuka yang berpusat di dan jari-jari r).
3. Fungsi () disebut entire bila () analitik untuk setiap(atau () berlaku PCR untuk setiap ∈ ).
4. Bila () gagal analitik di = (atau () tidak berlaku
= maka disebut titik singular dari ()
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 4/12
Implikasi antara fungsi Entire, fungsi Anfungsi Differensiabel dan fungsi Kontin
Entire Analtik
DifferensiabelKontinyu
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 5/12
FUNGSI HARMONIK
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 6/12
Definisi
◦Fungsi (,) disebut fungsi harmonik pada suatu
domain bila pada domain tersebut berlaku persam
Laplace, yaitu , , = 0
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 7/12
Contoh 1
Tunjukkan bahwa fungsi , = cos merupakan fharmonik.
Jawab :
= cos = cos
= − sin = − cos
= cos − cos = 0
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 8/12
◦Misalkan , dan (,) harmonik pada D da
berlaku PCR, maka , disebut sekawan (conju
harmonik dari (,) atau sebaliknya.
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 9/12
Contoh 2
Carilah sekawan harmonik dari fungsi , = cos
Jawab :
Mula-mula harus diperiksa bahwa H adalah fungsi harmonikcontoh soal 1 sudah ditunjukkan bahwa H adalah fungsi har
Misal G(x,y) adalah sekawan harmonik dari H(x,y).
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 10/12
Maka harus berlaku PCR, yaitu :
, = (,) dan , = −(,)
= cos = − sin
Dengan menggunakan PCR diperoleh :
, = (,) = cos
Maka :
, =
cos = sin ()
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 11/12
Selanjutnya dicari dengan menggunakan persamaan laiPCR, yaitu , = −(,) .
Mula –
mula dicari turunan parsial H terhadap x, yaitu : , = sin () maka , = sin ′()
Sedangkan , = cos
Maka , = − sin
Jadi − sin = − sin ′() maka = 0 =
Sekawan harmonik dari , adalah , = sin
8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)
http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 12/12
Latihan
1. Diketahui , = − 2 . Tentukan :
a. Nilai agar , merupakan fungsi harmonik
b. Fungsi , = , (, ) merupakan fungsi ana
2. Carilah fungsi analitik = , , bila ,
3. Tunjukkan bahwa , harmonik dan tentukan sekawa , bila :
a. , = −
b. , =
+