11

430201 Engineering Statics430201 Engineering Statics((สถตยศาสตรวศวกรรมสถตยศาสตรวศวกรรม))

รศรศ..ดรดร.. สทธชยสทธชย แสงอาทตยแสงอาทตยสาขาวชาวศวกรรมโยธาสาขาวชาวศวกรรมโยธาสานกวชาวศวกรรมศาสตรสานกวชาวศวกรรมศาสตร

22

บททบทท 7: 7: แรงภายในแรงภายใน ( (internal forcesinternal forces))จดประสงคจดประสงค

เพอใหเขาใจถงเพอใหเขาใจถงวธตดหนาตดวธตดหนาตดในในการหาคาแรงภายในทเกดขนการหาคาแรงภายในทเกดขนในในชนสวนของชนสวนของโครงสรางโครงสรางเพอไดทราบและเขาใจถงวธการเพอไดทราบและเขาใจถงวธการเขยนเขยนแผนภาพแผนภาพ shear diagram shear diagram และและแผนภาพแผนภาพ moment diagrammoment diagram โดยใชโดยใชวธตดหนาตดและโดยใชวธตดหนาตดและโดยใชความสมพนธระหวางแรงแผความสมพนธระหวางแรงแผกระจายกระจาย แรงเฉอนแรงเฉอน และโมเมนตดดและโมเมนตดด

33

การประยกตใชงานแรงภายใน

ทาไมคานจงมหนาตดไมคงท?

คานถกใชรองรบหลงคาของปมนามน

ในกรณน อะไรทาใหเราตองออกแบบคานในลกษณะดงกลาว? และเราจะหาคาไดอยางไร?

44

SUT Engineer

ในกรณน หนาตดของเสาดงกลาวแคบทปลายเสาและกวางขนทโคนเสา ทาไมถงเปนเชนนน?

เสารองรบแผนปายโฆษณาจะตองถกยดแนนทฐานราก เพอความมเสถยรภาพ

เปนเพราะแรงและ moment ภายในใชหรอไม? เราจะหามนไดอยางไร?

การประยกตใชงานแรงภายใน

55

7.1 แรงภายใน (internal forces) ของชนสวนโครงสรางในการออกแบบคาน เราจะตองหาคาแรงและ moment ภายในสงสดทเกดขนในคานกอน เพอใชหาขนาดของหนาตดคาน ททาใหวสดทใชทาคานมกาลงเพยงพอในการรบแรงกระทาขนตอนการหาคาแรงภายในทจด C

1. เขยน FBD ของคาน และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยา

2. ทาการตดคานทจด C และเขยน FBD ของสวนทตด โดยระบแรงและ moment ภายใน ใหครบ

3. ใชสมการความสมดลหาแรงภายใน66

ใน 2 มต internal forces ทเกดขนทหนาตดของชนสวนโครงสรางประกอบดวย

Internal forces ทางดานซายมอและขวามอของจด C มคาเทากน แตทศทางตรงกนขาม

Shear forces (V, กระทาขนานกบหนาตด)Normal หรอ axial forces (N, กระทาตงฉากกบหนาตด)

Bending moment (M)

77

ตวอยางท 7-1จงหาแรงในแนวแกน แรงเฉอน และโมเมนตดดทเกดขนทจด D ของคาน

ชนสวน BC เปนชนสวนโครงสรางแบบใด?คาถาม:

88

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบจาก FBD เราควรเรมใชสมการสมดลของแรงหรอของโมเมนต?

0;AM+ =∑

0; 1060.7cos45 0ox xF A

+

→ = − =∑

0;yF+ ↑ =∑

Ay

Ax

45o

sin 45 (2)oBCF 500(3)(1) 0− =

1060.7 NBCF =

750 NxA =

1060.7sin 45oyA + 500(3) 0− =

750 NyA =

500(3) N

1.5 m 1.5 m

1060.7 NFBC

99

2. หาคาแรงในชนสวนของคาน

0; 750 0x DF N+

→ = + =∑

0; 500(1) 750 0y DF V+ ↑ = − − + =∑

0; 500(1)(0.5) 750(0.5) 0D DM M+ = + − =∑

750 NDN = −

250 NDV =

125 N-mDM =

750 N750 N

1060.7 N

500(1)N

750 N

1010

ตวอยางท 7-2จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบและจดเชอมตอของ frame และแรงใน

แนวแกน แรงเฉอน และโมเมนตดดทเกดขนทจด E

เนองจากโครงเฟรมมแรงปฏกรยาทจด A และจด C รวมสคา เราจะตองทาอยางไร?

1111

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

1.5(3)(1.5) (3) 0xB− =

0; CM+ =∑

2.25 kNxB =

0;AM+ =∑12.25(3) 3(2)1 (3) 02 yB− − =

1.25 kNyB =

1.5(3)

2.25kN

0.5(3)2

1 m

1.25kN

0.75kN

1.25kN

1.25kN

1.25kN

2.25kN

จากรป เราจะเรมโดยใช FBD ของชนสวนใด?

1212

2. หาคาแรงในชนสวนของโครงเฟรม

0; 1.25 0

1.25 kNy E

E

F NN

+ ↑ = − =

=∑

0; 2.25 1.5(1.5) 0 0

x

E

E

FV

V

+

→ =

+ − ==

∑

+ 0;EM =∑

1.5 m

2.25(1.5) 1.5(1.5)0.75 0EM − + =

1.6875 kN.m 1.69 kN.m

EM ==

1.5 m

1.5 m

1.25kN

2.25kN

1.5(1.5)

0.75 m

1313

EXAMPLEจงหาแรงภายในทจด C

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

By

400 N

Ax

Ay

3 m 2 m

1.2 m

→+ Σ Fx = 0;Ax – 400 = 0Ax = 400 N

+ Σ MB = 0;Ay(5) – 400 (1.2) = 0

Ay = 96 N

↑+ Σ Fy = 0;By – 96 = 0By = 96N

1414

→+ Σ Fx = 0;NC – 400 = 0NC = 400 N

96 N VC

MCNC

1.5 m

A400 N

C

2. หาคาแรงในชนสวนของโครงเฟรม

96 N

400 N

400 N

96 N

3 m 2 m

1.2 m

↑+ Σ Fy = 0;– VC – 96 = 0VC = – 96 N

+ Σ MC = 0;96 (1.5) + MC = 0MC = – 144 N-m

1.5 m

96 N 96 N

144 N-m400 N1.5 m

A400 N

C

1515

7.2 Shear and Moment Equations and Diagramคาน (beam) เปนองคอาคารทมลกษณะตรง วางอยในแนวนอน และถกกระทาโดย loads ทตงฉากกบแนวแกนของคาน (transverse loads)

ประเภทของคานถกจดตามลกษณะการรองรบ

1616

ขนตอนทสาคญทสดในการออกแบบคานคอ การหาคาสงสดของแรงเฉอนและ bending moment ทเกดขนภายในตวคานและตาแหนงทเกด ซงจะทาไดโดยการเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram

1717

Beam Sign Convention

1818

ขนตอนในการวเคราะห 1. เขยน FBD ของคาน และหาคาแรงปฏกรยา2. เลอกพกด x โดยใหคาพกดแตละอนอยในชวงทอยระหวาง F, M, หรอ distributed loads w

3. ตดคานทพกด x1 หรอ x2 แลวเขยน FBD ของชนสวนของคาน

4. ใชสมการความสมดลหาสมการแรงเฉอน V(x) และ moment M(x)

5. เขยน shear diagram และ moment diagram โดยใหแกน x เปนแกนนอนและ function ของ V(x) และ M(x) เปนแกนตง

x1

x2x1

x2

1919

จดทตองใหความสนใจเปนพเศษจดทตองใหความสนใจเปนพเศษปลายคานปลายคานจดรองรบจดรองรบจดทจดท concentrated load concentrated load กระทากระทาจดทจดท couple moment couple moment กระทากระทาจดเรมตนของจดเรมตนของ distributed load distributed load

จดทมการเปลยนแปลงจดทมการเปลยนแปลง distributed load distributed loadจดสนสดของจดสนสดของ distributed load distributed load

2020

EXAMPLE

3 m 6 m6 kN

9 kN m

3 m 6 m6 kN

9 kN m

AyDy

Dx

จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

0; 0x xF D+

← = =∑

0;

6 0y

y y

FA D

↑ + =

− + =∑

0;DM+ =∑9 6(6) (9) 0y- A+ =

5 kNyA =

1 kNyD =

2121

3 m6 m

6 kN9 kN m

5 kN 1 kN

x1

x2

1

2

0 <33< 9

xx

≤≤

เราควรแบงพกดของคานออกเปนกชวง?

2222

5 kN

x1 V

M 10 <3=0; =5 kNy

xF V≤

∑

3 m6 kN

V

M

5 kN

x2

3 m 6 m6 kN

5 kN 1 kN

23< 9=0 =5 kN-6 kN=-1 kNy

xF V

≤

∑

9 kN m

( ) 1 1=0; = 5 kN =5 kN-mM M x x∑

( ) ( )( )2 2=0 = 5 kN - 6 kN -3M M x x∑( )2= 18- kN-mx

2323

V (kN)

M (kN-m)

V = -1 kN

V = 5 kN

M = 5x1 kN-m

M = (18-x2) kN-m

1

1

0 <3; =5 kN =5 kN-m

x VM x

≤

( )2

2

3< 9; =-1 kN = 18- kN-m

x VM x

≤

15 kN-m

9 kN-m

2424

1

1

0 <3; =5 kN =5 kN-m

x VM x

≤

( )2

2

3< 9; =-1 kN = 18- kN-m

x VM x

≤

ขอสงเกต

2. ตรงจดท point load พงลงกระทา shear diagram จะมคาลดลงเทากบคาของ point load ดงกลาว

1. dM Vdx

=

3. ตรงจดท moment ทวนเขมฯ กระทา moment diagram จะมคาลดลงเทากบคาของ moment ดงกลาว

V (kN)

M (kN-m)

V = -1 kN

V = 5 kN

M = 5x1 kN-mM = (18-x2) kN-m

2525

EXAMPLE

4 m 4 m

50 kN/m

A C

4 m 4 m

50 kN/m

จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

0;yF↑ + =∑

Ay

Cx

Cy

0; = 0x xF C+

→ =∑

0;AM+ =∑-50(8)(4)+ (8)=0yC

=200 kNyC

= 200 kNyA

+200-50(8) = 0yA

50(8) kN

2626

x50 kN/m

200 kN V

M

= 0; = 200 -50( )2xM M x x ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠∑

4 m 4 m50 kN/m

200 kN 200 kN

0; 200 kN -50yF V x= =∑0 8x≤ ≤

2= 200 - 25 kN-mx x

50x

2727

V (kN)

M (kN-m)

200 50V x= −

2200 25M x x= −

200 kN

-200 kN

4 m200(4)-25(42)= 400 kN-m

2828

ขอสงเกต

3. ตรงจดท shear มคาเทากบศนย moment ทจดดงกลาวมกมคาสงสด (หรอตาสด)

1. ( )dV w xdx

= −

2. dM Vdx

=

200 50V x= −2200 25M x x= −

V (kN)

M (kN-m)

4 m

2929

ตวอยางท 7-3จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

0; 0x xF A+

→ = =∑0;CM =∑

0;

2.5 2(5) 0y

y

FC

↑ + =

+ − =∑

5(10) 2(5) 5 50 02yA ⎛ ⎞− + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠2.5 kNyA =

7.5 kNyC =

2(5) kN2.5 m

7.5 kN

0 kN

2.5 kN3030

2. หาสมการของแรงเฉอนและสมการของโมเมนต

7.5 kN

0 kN

2.5 kN

10 5 mx≤ <

0;yF+ ↑ =∑12.5 2 0x V− − =

12.5 2V x= −

0;M =∑1 1 1

12 2.5 02

M x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

21 12.5M x x= −

2x1

3131

0;yF+ ↑ =∑2.5 2(5) 0V− − =

7.5V = −

( )2 22(5) 2.5 2.5 50 0M x x+ − − − =

0;M =∑

27.5 75M x= − +

25 m 10 mx≤ <2(5) kN

2.5 m

3232

10 5 mx≤ <

12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ <

7.5V = −

27.5 75M x= − +

0-7.5107.5-7.5915-7.58

22.5-7.5730-7.56

37.5-7.55-12.5-7.55

-6-5.54-1.5-3.53

1-1.521.50.5102.50MVx

3333

10 5 mx≤ <

12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ <

7.5V = −

27.5 75M x= − +

3434

ขอสงเกต1. ตรงจดท moment ทศตามเขมฯ กระทา

moment diagram จะมคาเพมขนเทากบคาของ couple moment ดงกลาว

2. ( )dV w xdx

= −

3. dM Vdx

=

10 5 mx≤ < 12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ < 7.5V = −

27.5 75M x= − −

3535

ตวอยางท 7-4จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

0; 0x xF B+

→ = =∑0;BM =∑

0;

B 0.75 0.5(3)(1.5) 0y

y

F↑ + =

+ − =∑

1 1(3) (3)(1.5) (3) 02 3yA ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠0.75 kNyA =

0.5(3)1.5 kN

1 m

kN 5.1=yB3636

2. หาสมการของแรงเฉอนและสมการของโมเมนต

0 kN1.5 kN0.5 kN

โดยการใชสามเหลยมคลาย( ) 1.5

3w x

x=

( ) 0.5 kN/mw x x=

0;yF+ ↑ =∑10.75 (0.5 ) 02

x x V− − =

20.75 0.25V x= −0;M =∑

1 1(0.5 )( ) 0.75 02 3

M x x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

30.75 0.08333M x x= −

0.5(x)0.5x

x/3

3737

20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −

0-1.530.384757-1.07252.70.648005-0.692.40.803253-0.35252.10.864002-0.061.80.8437510.18751.50.7560010.391.20.614250.54750.90.4320.660.6

0.222750.72750.300.750

M(x)V(x)x

3838

20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −

20 0.75 0.25V x= = −1.732 mx =

max3

0.75(1.732)

0.08333(1.732) 0.866 kN-m

M =

−=

( )dV w xdx

= −dM Vdx

=

ตรงจดท shear มคาเทากบศนย moment ทจดดงกลาวมกจะมคาสงสด (หรอตาสด)

3939

ตวอยาง

Pw

aL

b

จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

= 100 kN/m = 15 m = 5 m = 10 m = 1000 kN

wLabP

4040

1000 kN100 kN/m

5 m

15 m

10 m

Ay

Ax

Cy

0; -100(5) -1000 0y y yF A C↑ + = + =∑

0; 0x xF A+

→ = =∑= 0;AM+∑

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ100(5) kN

=750 kNyC

( )-100(5)(2.5)-1000(10)+ 15 =0yC

=750 kNyA

4141

Pw

aL

b

x1

x2

x3

เราควรแบงพกดของคานออกเปนกชวง?

4242

750 kN

100 kN/m

V

M

x1

0;M =∑

1

1

0 50; 750 kN -100y

xF V x≤ ≤

= =∑

1

1

at 0, 750 kN 0at 5, 250 kN 2500 kN-m

x V Mx V M

= = == = =

11 1750 -100( )

2xM x x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠2

1 1750 -50 kN-mx x=

100x1

4343

750 kN

100 kN/m

V

M

5 m

x2

25 100; 750 kN -100(5) 250 kNy

xF V

≤ <

= = =∑

2-

2

at 5, 250 kN 2500 kN-m

at 10 , 250 kN 3750 kN-m

x V Mx V M

= = =

= = =

100(5) kN

( )2 2750 -100(5) - 2.5M x x=0;M =∑( )2 2750 -500 1250 kN-mx x= +

4444

1000 kN

750 kN

100 kN/m

V

M

10 m

5 m

310 150; 750 kN -100(5) -1000 -750 kNy

xF V< ≤

= = =∑

at 10 ; -750 kN 3750 kN-mat 15; -750 kN 0 kN-m

x V Mx V M

+= = == = =

x3

0;M =∑

100(5) kN2.5 m

( )3 3 3750 -100(5) - 2.5 -1000 ( -10)M x x x=

( )3 3-750 -500 11250 kN-mx x= +

4545

( )

2

2

5 10 m 250 kN 250 1250 kN-m

xVM x

< <=

= +

1

12

1 1

0 5 m 750 kN -100

750 -50 kN-m

xV xM x x

≤ <=

=

( )

3

3

10 15 m -750 kN -750 11250 kN-m

xVM x

< ≤

=

= +

4646

V (kN)

M (kN-m)

1750 kN-100V x=

-750 kNV =

21 1750 -50 kN-mM x x=

250 kNV =

( )2250 1250 kN-mM x= +

5 m

5 m

10 m

10 m

2500

250

3750

( )3-750 11250 kN-mM x= +

750

750

4747

V

-1000

-500

0

500

1000

0.0 5.0 10.0 15.0V

M

0500

1000150020002500300035004000

0.0 5.0 10.0 15.0

M

4848

V (kN)

M (kN-m)

1750 kN-100V x=

-750 kNV =

21 1750 - 50 kN-mM x x=

250 kNV =

( )2250 1250 kN-mM x= +

5 m

5 m

10 m

10 m

2500

250

3750

( )3-750 11250 kN-mM x= +

750

750

1000 kN100 kN/m

aL

b

( )dV w xdx

= −

dM Vdx

=

ตรงจดท point load พงลงกระทา shear diagram จะมคาลดลงเทากบคาของ point load ดงกลาว

4949

EXAMPLE

5050

7.3 ความสมพนธระหวางแรงแผกระจาย แรงเฉอน และโมเมนตดดชวยทาใหเขยน shear diagram และ moment diagram ไดงายขน

5151

ชวงของคานทถกกระทาโดยแรงแผกระจาย

5252

ชวงของคานทถกกระทาโดยแรงกระทาเปนจดและโมเมนตแรงคควบ

5353

สรป:1.

2..

3.

4.

5.

6. เมอโมเมนตแรงคควบมทศทางตามเขมนาฬกาแลว moment diagram จะมคาเพมขน = คาโมเมนตแรงคควบ

เมอแรงกระทาเปนจดมทศทางพงลง แลว shear diagram จะมคาลดลง = คาแรงดงกลาว

การเปลยนแปลงของโมเมนตระหวางจดมคา =พนทภายใต shear diagram ระหวางจดดงกลาว

slope ของ moment diagram ทจดใดๆ มคา = คาของแรงเฉอนทจดนน

slope ของ shear diagram ทจดใดๆ มคา = คาลบของแรง w ทจดนน

การเปลยนแปลงของแรงเฉอนระหวางจดมคา = คาลบของพนทภายใตแรง w ระหวางจดดงกลาว

5454

ขอสงเกต:

ถาแรงถาแรง ww((xx) ) อยในรปอยในรป polynomial polynomial ทมทม degree n degree n แลวแลว VV((xx) ) จะจะอยในรปอยในรป polynomial polynomial ทมทม degree n degree n+1 +1 และและ MM((xx) ) จะอยในรปจะอยในรป polynomial polynomial ทมทม degree n+2degree n+2

ww((xx) = 0) = 0 V=constantV=constant M=linearM=linear

3 m 6 m6 kN

9 kN m 1

1

0 <3; =5 kN =5 kN-m

x VM x

≤

( )2

2

3< 9; =-1 kN = 18- kN-m

x VM x

≤

5555

ww((xx) =constant) =constant V=linearV=linear M=quadraticM=quadratic

ww((xx) =linear) =linear V=quadraticV=quadratic M=cubicM=cubic

4 m 4 m

50 kN/m

A C

200 50V x= −2200 25M x x= −

20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −

5656

ตวอยาง

x (m)

1000Slope = - 500

Slope = - 500

V(N)

x (m)Slope = 0

Slope = 1000-1000

M (N-m)

0

0

5757

ตวอยาง

x (m)

V(N)1080

Slope = - 400Slope = 0

600 600

x (m)M (N-m)

-1588 Slope = 600Slope = 1080

Slope = 600-100

-580

5858

ตวอยาง

x (m)

V (N) Slope = 03.5

M (N-m)

1.5

-1.5-3.5

x (m)

Slope = 3.57

Slope = 1.5 10Slope = -1.5

7 Slope = -3.5

5959

ตวอยาง

x (m)

V (N) Slope = 0100

-500 Slope = 0

x (m)

M (N-m) Slope = 1001000

Slope = -500-1500

Slope = -5002500

6060

ตวอยางท 7-6

6161 6262

ตวอยางท 7-7

6363

4.4 kN 15.2 kN 1.4 kN 6.0 kN

6464